Bachillerato 2 / Representación, ecuación cartesiana 88 ejercicios (incluyendo 80 corregidos)

a
1. Sistemas de resolución E.6348 Resuelve el siguiente sistema : x + 2 y − z = − 2 3 x + y + 2 z = − 1 x − y + 3 z = 3 (Se demostrará que este sistema admite una única solución triplete) . E.8653 Resuelve el siguiente sistema : 3 x + y − z = 1 x − y + 2 z = 2 − x + 5 y − 9 z = − 5 (Se demostrará que este sistema no admite solución) E.8654 Resuelva el siguiente sistema : x + y − z = 5 2 x − y + 4 z = − 2 5 x − y + 7 z = 1 (Se demostrará que este sistema admite infinitas soluciones que se escribirán en la forma ( : : : ; : : : ; z ) donde z ∈ R ) 2. Representaciones paramétricas de una línea recta E.5400 Dar una representación paramétrica de la recta ( d ) que pasa por el punto A y admite el vector −→ u como vector director en cada uno de los siguientes casos : a A 3 ; 0 ; − 2 ; −→ u − 1 ; − 2 ; 1 b A 2 ; − 1 ; 1 ; −→ u 2 ; 0 ; − 4 E.4038 El espacio está provisto de un sistema de coordenadas ortonormales O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . Consideremos el punto A de coordenadas − 2 ; 8 ; 4 y el vec-tor −→ u de coordenadas 1 ; 5 ; − 1 . Determinar una representación paramétrica de la recta ( d ) que pasa por A y tiene vector director −→ u . E.4035 Indique si la siguiente afirmación es verdadera o falsa y justifique su respuesta. El espacio se refiere al sistema de coordenadas ortonormales O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . La recta del espacio, que pasa por el punto B de coordenadas 2 ; 3 ; 4 y admite el vector −→ u 1 ; 2 ; 3 como vector director, tiene como representación paramétrica: x = t + 1 y = 2 t + 1 z = 3 t + 1 donde t ∈ R 3. Representaciones paramétricas de líneas y posiciones relativas E.6347 Consideremos el espacio provisto de un sistema de coordenadas O ; −→ i ; −→ j ; −→ k y la recta ( d ) que ad-mite la representación paramétrica: x = − 1 + t y = 1 + 2 t z = 2 − 3 t , t ∈ R 1 a Demostrar que el punto A 1 2 ; 4 ; − 5 2 pertenece a la recta ( d ) . b Demuestra que el punto B − 9 4 ; 3 2 ; − 23 4 no pertenece a la recta ( d ) . 2 Consideramos la recta ( d ) que admite la representación paramétrica: x = 1 + 3 2 · t y = 3 − 3 t z = − 4 − 9 2 · t , où t ∈ R a Demostrar que el punto A pertenece a la recta ( d ) . b ¾Cuál es la posición relativa de las rectas ( d ) y ( d ) ? E.5401 Consideremos el espacio provisto de un sistema de coordenadas O ; −→ i ; −→ j ; −→ k y las dos rectas ( d ) y ( d ) que admiten las representaciones paramétricas : ( d ) : x = 3 + 2 · t y = − 1 − 2 · t z = 2 + 6 · t ( d ) : x = − 1 − t y = − 1 + t z = − 3 · t donde t ∈ R 1 Demuestre que las rectas ( d ) y ( d ) son paralelas. 2 Demuestra que las rectas ( d ) y ( d ) son estrictamente par-alelas. (Se demostrará que un punto de ( d ) no pertenece a ( d ) ) https://chingmath.fr chapExoCorrec/6348 sacados/6348 chapExoCorrec/8653 sacados/8653 chapExoCorrec/8654 sacados/8654 chapExoCorrec/5400 sacados/5400 chapExoCorrec/4038 sacados/4038 chapExoCorrec/4035 sacados/4035 Extrait Antilles-Guyane Septembre 2010 chapExoCorrec/6347 sacados/6347 chapExoCorrec/5401 sacados/5401
E.5413 En el espacio provisto de un sistema de referencia O ; −→ i ; −→ j ; −→ k ortonormal, considera los dos pun-tos M y N con coordenadas : M − 1 ; 2 ; 3 ; N 1 ; − 2 ; 9 ( d ): x = − 1 + t y = 2 − 2 t z = 3 + 9 t ( d ): x = 3 + 2 t y = - 6 - t z = 12 − 2 t ( d  ): x = − 3 + t y = 6 − 2 t z = - 3 + 3 t donde t es un real que atraviesa el conjunto de los reales. 1 a À ¾A qué rectas pertenece el punto M ? b Parmi las rectas ( d ) , ( d ) y ( d  ) , que representa la recta ( MN ) ? 2 Determine, por otro método, otra representación de la recta ( MN ) . . E.4057 El espacio está referido a un sis-tema de referencia ortonormal O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . Sea A el punto de coordenadas 3 ; 1 ; 3 . Considere la recta D en el espacio que pasa por A y con vec- tor de dirección −→ u 1 ; 2 ; − 1 y la recta D con ecuaciones paramétricas : x = 3 + 2 t y = 3 + t z = t où t ∈ R Diga cuál de las tres afirmaciones siguientes es correcta. No se requiere justificación : 1 Les las rectas D y D son coplanarias y paralelas; 2 Les las rectas D y D son coplanarias y secantes ; 3 Les las rectas D y D no son coplanarias. E.4067 Consideremos las dos rectas ( d ) y ( d ) cuyas representaciones paramétricas son, respectiva-mente : x = 2 + 4 · t y = 1 − 2 · t z = − 3 + t donde t ∈ R x = 5 − 2 · k y = − 1 + k z = 2 − 1 2 · k donde k ∈ R . Demuestra que las rectas ( d ) y ( d ) son coplanares. 4. Representaciones paramétricas de una línea y resolución de sistemas E.5402 Considere el espacio con un sistema de referencia O ; −→ i ; −→ j ; −→ k y las dos rectas ( d ) y ( d ) cuya rep-resentación paramétrica es : ( d ) : x = − t y = − 1 − t z = 5+ 3 t ; t ∈ R ( d ) : x = 4+ t y = 3+ t z = − 1 ; t ∈ R Demuestre que las rectas ( d ) y ( d ) son coplanarias y secantes. Especifique las coordenadas del punto de intersección. E.5409 En el espacio provisto de un sistema de coordenadas O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , consideramos las dos rectas ( d ) y ( d ) que admiten las siguientes representaciones paramétri-cas : ( d ) : x = 1 + t y = 1 + 3 t z = − t , t ∈ R ( d ) : x = 2 + t y = − 6 − 2 t z = 3 + t , t ∈ R Demuestre que las rectas ( d ) y ( d ) son secantes y determine las coordenadas de su punto de intersección. E.5403 Consideremos el espacio provisto de un sistema de coordenadas O ; −→ i ; −→ j ; −→ k y las dos rectas ( d ) y ( d ) que admiten la representación paramétrica: ( d ) : x = 1 − t y = 1 + t z = 2 + t donde t ∈ R ( d ) : x = − 2 − t y = − 1 − t z = − 1 + t donde t ∈ R Justifique que estas dos rectas no son coplanares. E.2679 Consideremos las dos rectas de representaciones paramétricas respectivas : x = 2 − 3 t y = 1 + t z = − 3 + 2 t donde t ∈ R menos1cm; menos1cm x = 7 + 2 u y = 2 + 2 u z = − 6 − u donde u ∈ R Demuestra que estas dos rectas son secantes y determina las coordenadas del punto de intersección. E.4066 Consideremos las dos rectas de representación paramétrica respectivas : x = 2 − 3 t y = 1 + t z = − 3 + 2 t donde t ∈ R x = 7 + 2 u y = 2 + 2 u z = − 6 − u donde u ∈ R Demuestra que estas dos rectas son secantes. Da las coorde-nadas del punto de intersección. E.4065 El espacio está provisto de un sis-tema de coordenadas ortonormales O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . Consideremos las rectas ( d ) y ( d ) , que admiten respectiva-mente las siguientes representaciones paramétricas : x = 1 + 2 · t y = − 2 − 3 · t z = − 1 − t donde t ∈ R x = 2 − k y = 1 + 2 · k z = k donde k ∈ R . Demuestre que las rectas ( d ) y ( d ) no son coplanares. https://chingmath.fr chapExoCorrec/5413 sacados/5413 chapExoCorrec/4057 sacados/4057 chapExoCorrec/4067 sacados/4067 chapExoCorrec/5402 sacados/5402 chapExoCorrec/5409 sacados/5409 chapExoCorrec/5403 sacados/5403 chapExoCorrec/2679 sacados/2679 Extrait de Pondichery Avril 2010 chapExoCorrec/4066 sacados/4066 sacados/4065
E.8655 Consideremos las rectas (Δ) y (Δ ) , cuyas representaciones paramétricas son, respectivamente : x = 3 + 2 · t y = − 3 − t z = 6 + 3 · t donde t ∈ R x = − 1 − k y = 2 + 2 · k z = 1 − k donde k ∈ R . Demuestra que las rectas (Δ) y (Δ ) son coplanares. 5. Representaciones paramétricas de líneas y ortogonalidades E.5414 En el espacio provisto de un sistema de coordenadas ortonormales O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , consideramos las dos rectas ( d ) y ( d ) definidas por su representación paramétrica: ( d ) x = − 3 + 2 t y = − 4 + 3 t z = 3 − t donde t ∈ R ( d ) x = 1 + 2 t y = − 3 − 2 t z = − 2 t donde t ∈ R 1 Demuestre que las rectas ( d ) y ( d ) son ortogonales entre sí. 2 ¾Son secantes las rectas ( d ) y ( d ) ? Si es así, especifique el punto de intersección. E.6968 En el espacio provisto de un sistema de coordenadas ortonormales O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , consideramos dos rectas ( d ) y ( d ) que admiten la representación paramétrica: ( d ) x = − 3 + 2 · t y = − t z = − 1 + t t ∈ R ; ( d ) x = − 1 − 2 · t y = 1 + 3 · t z = − t t ∈ R 1 Demuestre que las rectas ( d ) y ( d ) son secantes. Se de-terminarán las coordenadas de su punto de intersección M . 2 a Consideremos los dos vectores −→ u 2 ; − 1 ; 1 y −→ v − 2 ; 3 ; − 1 . Determinemos las coordenadas de un vector −→ n que sea ortogonal a los dos vectores −→ u y −→ v . b Deduzca una representación paramétrica de la recta (Δ) que pasa por el punto M y es ortogonal a las dos rectas ( d ) y ( d ) . E.4096 Se admite que si ( d ) y ( d ) son dos rectas no coplanares, existe una única recta (Δ) perpendicular a ( d ) y ( d ) . El espacio se refiere al sistema de coordenadas ortonormales O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . Se denota por ( d ) la recta de las abscisas y por ( d ) la recta que admite la representación paramétrica: x = − t y = 3 + 3 · t z = 1 − t donde t ∈ R Consideramos la recta (Δ) perpendicular común a ( d ) y ( d ) . Demuestra que existen dos números reales b y c tales que el vector: −→ w = b · −→ j + c · −→ k es un vector director de (Δ) . E.6405 Consideremos el espacio provisto de un sistema de coordenadas O ; I ; J ; K y las dos rectas ( d ) y ( d ) que admiten como ecuación paramétrica: ( d ) x = 3 + t y = − 5 + t z = 4 donde t ∈ R ; ( d ) x = 2 + 2 · t y = 3 + t z = − 2 − t donde t ∈ R 1 Demuestra que las rectas ( d ) y ( d ) no son coplanares. 2 Supongamos la existencia de una recta (Δ) perpendicular a la recta ( d ) y perpendicular a la recta ( d ) a Justificar la existencia de un real t tal que la recta (Δ) admite como representación paramétrica: x = 3+ t + t y = − 5+ t − t z = 4 + t donde t ∈ R b Deduzca una ecuación paramétrica de la recta (Δ) . E.4036 El espacio se refiere al sistema de coordenadas ortonormales O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . Se denota D la recta de las abscisas y D , la recta de repre-sentación paramétrica: x = − t y = 3 + 3 t z = 1 − t 1 Justificar que las rectas D y D no son coplanares. 2 Consideramos la recta Δ perpendicular común a D y D . Demuestre que existen dos reales b y c tales que el vector −→ w = b · −→ j + c · −→ k es un vector director de Δ . 6. Representaciones paramétricas de un plano E.5424 En el espacio provisto de un sistema de coordenadas O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , consideramos los tres puntos : A 2 ; 0 ; − 1 ; B 1 ; 0 ; 3 ; C 2 ; 1 ; 1 1 Justifique que los puntos A , B y C definen un plano. 2 Eligiendo −−→ AB ; −→ AC como par de vectores directores, de-muestre que el plano ( ABC ) admite como representación https://chingmath.fr chapExoCorrec/8655 sacados/8655 chapExoCorrec/5414 sacados/5414 chapExoCorrec/6968 sacados/6968 chapExoCorrec/4096 sacados/4096 chapExoCorrec/6405 sacados/6405 sacados/4036 Extrait d'Amerique du Sud Novembre 2010 chapExoCorrec/5424 sacados/5424
paramétrica el siguiente sistema : x = − t + 2 y = t z = 4 t + 2 t − 1 donde t ∈ R ; t ∈ R 3 Justificar que el punto D 1 ; − 2 ; − 1 pertenece al plano ( ABC ) . E.5425 En el espacio provisto de un sistema de coordenadas O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , consideramos los tres puntos : A 3 ; − 1 ; 2 ; B 3 ; 1 ; 1 ; C 2 ; − 1 ; 1 1 Justifique que los puntos A , B y C definen un plano. 2 Determinar una representación paramétrica del plano ( ABC ) . E.6350 En el espacio provisto de un sistema de coordenadas O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , consideramos los tres puntos : A 2 ; 0 ; − 1 ; B 1 ; 2 ; 2 ; C − 1 ; 1 ; − 2 1 a ¾Los puntos A , B , C determinan un plano? Justi-fique su respuesta. b Determinar una representación paramétrica del plano ( ABC ) 2 a Consideramos el punto D 0 ; 3 ; 1 . ¾Pertenece el punto D al plano ( ABC ) ? Justifique su respuesta. b Consideremos el punto E 7 ; 0 ; 4 . ¾Pertenece el punto E al plano ( ABC ) ? Justifique su respuesta. 7. Coplanaridad E.6945 1 Considera los tres vectores : −→ u 1 ; − 1 ; 2 ; −→ v 1 ; 1 ; 3 ; −→ w − 1 ; − 9 ; − 7 Demuestra que los vectores −→ u , −→ v , −→ w son coplanarios. 2 Considera los tres vectores : −→ u 2 ; − 2 ; 1 ; −→ v 1 ; 4 ; − 2 ; −→ w 1 ; − 16 ; 6 Demuestra que los vectores −→ u , −→ v , −→ w no son coplanarios. E.6947 Considera el espacio con un sistema de referencia. En cada caso y sin justificación, dar la relación: −→ w = ¸ · −→ u + ˛ · −→ v que establece la coplanaridad de los vectores −→ u , −→ v , −→ w . 1 −→ u 3 ; 2 ; 0 ; −→ v 1 ; 0 ; 1 ; −→ w 7 ; 6 ; − 2 2 −→ u 1 ; 0 ; − 1 ; −→ v 3 ; − 1 ; 2 ; −→ w 1 ; − 1 ; 4 E.2780 A lo largo de este ejercicio, consider-aremos los dos siguientes sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas : S : 5 a − 2 b 3 11 c = 0 − a + 3 b + 2 c = 0 − a + b − c = 0 T : − 2 a + b − 5 c = 0 a − 3 b − 5 c = 0 5 a − 2 b + 14 c = 0 Nos situamos en un sistema de referencia ( O ; I ; J ; K ) para estudiar la coplanaridad de los vectores en el espacio : 1 a Demuestre que el sistema S sólo admite como solución el triplete 0 ; 0 ; 0 . b Deduzca que los vectores : −→ p 5 ; − 1 ; − 1 ; −→ q − 2 ; 3 ; 1 ; −→ s 11 ; 2 ; − 1 no son coplanares. 2 Consideremos los tres vectores siguientes : −→ u − 2 ; 1 ; 5 ; −→ v 1 ; − 3 ; − 2 ; −→ w − 5 ; − 5 ; 14 a Justificar que la coplanaridad de estos tres vectores es equivalente a la condición : S ( T ) = 0 ; 0 ; 0 b De ello se deduce que los tres vectores −→ u , −→ v , −→ w son coplanares. E.2791 Dotamos al espacio de un marco de refer-encia O ; I ; J ; K : 1 Considera los cuatro puntos siguientes : A − 5 ; − 2 ; 3 ; B 0 ; 0 ; 6 C − 7 ; − 1 ; 7 ; D − 21 ; − 3 ; 9 Demuestra que los puntos A , B , C , D son coplanarios. 2 Considera los 5 puntos siguientes : E − 2 ; 1 ; − 1 ; F − 4 ; 3 ; − 2 G − 3 ; 4 ; − 4 ; H − 5 ; 6 ; 2 ; L − 11 ; 8 ; 5 Demuestra que la recta ( HL ) no es paralela al plano ( EFG ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5425 sacados/5425 chapExoCorrec/6350 sacados/6350 chapExoCorrec/6945 sacados/6945 chapExoCorrec/6947 sacados/6947 chapExoCorrec/2780 sacados/2780 sacados/2791
DABCHEFG−i−j−k OABC−i−j−kOABC−i−j−k OABC−i−j−k OABC−i−j−k OABC−i−j−k E.2800 En el espacio provisto de un sistema de referencia O ; I ; J K , considera los cuatro puntos sigu-ientes : A 5 ; − 4 ; 3 ; B 7 ; − 5 ; 6 C 10 ; − 2 ; 1 ; D − 11 ; − 14 ; 17 Demuestra que los puntos A , B , C , D son coplanarios. E.2815 Se consideran los dos vectores siguientes definidos por sus coordenadas en un espacio dotado de un sistema de referencia : −→ u = 3 ; 2 ; 1 ; −→ v = − 1 ; 3 ; 1 Considere el vector −→ w definido en función de x un número real por sus coordenadas : −→ w 2 ; 16 ; x Determinar le (s) valeur (s) de x tel (ellos) que los vectores −→ u , −→ v , −→ w son coplanarios. E.5437 En el espacio provisto de un sistema de referencia O ; I ; J ; K ortonormal, considera cuatro puntos marcados por sus coordenadas : A 3 ; − 1 ; 5 ; B − 2 ; 2 ; 3 ; C − 1 ; − 2 ; 4 ; D 5 ; 8 ; 4 Son coplanarios los puntos A , B , C , D ? E.6316 En el espacio provisto de un sistema de referencia O ; I ; J ; K ortonormal, considera cuatro puntos marcados por sus coordenadas : A 3 ; − 1 ; 5 menos1cm; menos1cm B − 2 ; 2 ; 3 menos1cm; menos1cm C − 1 ; − 2 ; 4 menos1cm; menos1cm D 5 ; 8 ; 4 Son coplanarios los puntos A , B , C , D ? 8. Ecuación cartesiana del plano E.4125 Considera el cubo ABCDEFGH que se muestra a continuación : El espacio recibe el sistema de referencia D ; −−→ DA ; −−→ DC ; −−→ DH . 1 Nombra los planos que admiten las siguientes ecuaciones cartesianas : a z = 0 b y = 1 c x + y = 1 d x + y + z = 2 e x + y + z = 1 f x − y = 0 2 Determina la ecuación cartesiana de cada uno de los sigu-ientes planos : a ( EHD ) b ( FGH ) c ( HDC ) 3 a Justifica que el vector −−→ BG es ortogonal al plano ( EFC ) . b Deduce una ecuación del plano ( EFC ) . E.4119 Considera los cuatro puntos siguientes : 1 el plano ( P 1 ) es paralelo al plano ( OAB ) y pasa por el punto C ; 2 plano ( P 2 ) pasa por los puntos A , B , C ; 3 el ( P 3 ) plano medio del segmento [ OB ] ; 4 el plano ( P 4 ) es paralelo al plano ( OAB ) y pasa por el punto O ; Asocia una de las siguientes representaciones a cada plano y da su ecuación cartesiana. E.5418 En el espacio dotado de un sistema de ref-erencia O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , consideremos el plano ( P ) que pasa por el punto A 1 ; 2 ; − 1 y admitiendo el vector −→ n 1 ; − 1 ; 3 como vector normal. 1 Determina una ecuación cartesiana del plano P . Pertenecen 2 B 2 ; 8 ; 1 y C − 2 ; 5 ; 1 al plano P ? https://chingmath.fr chapExoCorrec/2800 sacados/2800 chapExoCorrec/2815 sacados/2815 chapExoCorrec/5437 sacados/5437 chapExoCorrec/6316 sacados/6316 chapExoCorrec/4125 sacados/4125 DABCHEFG−i−j−k chapExoCorrec/4119 sacados/4119 OABC−i−j−kOABC−i−j−k OABC−i−j−k OABC−i−j−k OABC−i−j−k chapExoCorrec/5418 sacados/5418
E.5416 En el espacio provisto de una O ; −→ i ; −→ j ; −→ k ortonormal, consideremos el plano ( P ) que pasa por el punto A y admite −→ n como vector normal donde : A 3 ; 1 ; 2 ; −→ n 2 ; 1 ; − 1 Considera los puntos M y N dos puntos del espacio donde : M 4 ; − 2 ; 1 ; N − 2 ; 8 ; 2 Pertenecen los puntos M y N al plano ( P ) ? E.4092 El espacio E está referido a un sis-tema de coordenadas ortonormal O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . Considere-mos los puntos A , B y C de coordenadas respectivas 1 ; 0 ; 2 , 1 ; 1 ; 4 et − 1 ; 1 ; 1 . 1 Demuestra que los puntos A , B y C no están alineados. 2 Sea −→ n el vector de coordenadas 3 ; 4 ; − 2 . a Comprueba que el vector −→ n es ortogonal a los vectores −−→ AB y −→ AC . b Deduce una ecuación cartesiana del plano ( ABC ) . E.4097 El espacio está provisto de un sis-tema de referencia ortonormal O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . Considera los puntos : A 1 ; − 1 ; 4 ; B 7 ; − 1 ; − 2 ; C 1 ; 5 ; − 2 1 Justifica que los tres puntos A , B , C forman un plano. 2 Demuestra que el vector −→ n 1 ; 1 ; 1 es un vector normal al plano ( ABC ) . 3 Deduce que x + y + z − 4=0 es una ecuación cartesiana del plano ( ABC ) . E.4095 El Espacio se refiere a un sistema de coordenadas O ; −→ i ; −→ j ; −→ k ortonormal. Consideremos los dos puntos : A 8 ; 0 ; 8 ; B 10 ; 3 ; 10 ainsi que la recta ( d ) admite como representación paramétrica: ( d ) : x = − 5 + 3 t y = 1 + 2 t z = − 2 t où t ∈ R 1 a Donner una representación paramétrica de la recta (Δ) definida por A y B . b Démontrer que ( d ) y (Δ) no son coplanarios. 2 Le plano ( P ) es paralelo a ( d ) y contiene a (Δ) . De-mostrar que el vector −→ n 2 ; − 2 ; 1 es un vector normal a ( P ) . Determinar una ecuación cartesiana del plano ( P ) . 9. Ecuación cartesiana del plano - hallar el vector normal E.4111 El espacio está provisto de un sistema de referencia ortonormal O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . Consideremos el plano ( P ) que admite la siguiente ecuación cartesiana : ( P ) : 5 · x − 2 · y + z − 5 = 0 1 Dar las coordenadas de un vector −→ n normal al plano ( P ) . 2 Determinar la ecuación del plano ( Q ) paralelo al plano ( P ) y que pasa por el punto A 5 ; − 1 ; 2 . E.5419 En el espacio provisto de un sistema de referencia O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , considera los tres puntos : A 1 ; 1 ; − 2 ; B 3 ; − 1 ; 2 ; C 0 ; 2 ; 1 1 Justifica que los tres puntos definen un plano. 2 Determina un vector normal distinto de cero al plano ( ABC ) que tenga sus coordenadas enteras. 3 Determina una ecuación cartesiana del plano ( ABC ) . E.4112 El espacio está provisto de un marco de referencia ortonormal O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . Considera los puntos A 2 ; − 3 ; − 1 y B − 1 ; 1 ; 0 . Determinar la ecuación del plano mediador del segmento [ AB ] . E.4251 En el plano dotado de un sistema de referencia ortonormal O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , damos los tres puntos : A 1 ; 2 ; − 1 ; B − 3 ; − 2 ; 3 ; C 0 ; − 2 ; − 3 1 Demuestra que el vector −→ n 2 ; − 1 ; 1 es un vector nor-mal al plano ( ABC ) . 2 Determinar una ecuación cartesiana del plano ( ABC ) . E.4245 El espacio está provisto de un sistema de referencia ortonormal O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . considerar los puntos : A 1 ; − 1 ; 4 ; B 7 ; − 1 ; − 2 ; C 1 ; 5 ; − 2 1 Calcula las coordenadas de los vectores −−→ AB , −→ AC y −−→ BC . 2 Demuestra que el triángulo ABC es equilátero. 3 Demuestra que el vector −→ n 1 ; 1 ; 1 es un vector normal al plano ( ABC ) . 4 Deduce que x + y + z − 4=0 es una ecuación cartesiana del plano ( ABC ) . 10. Posiciones relativas de los planes https://chingmath.fr chapExoCorrec/5416 sacados/5416 chapExoCorrec/4092 sacados/4092 chapExoCorrec/4097 sacados/4097 chapExoCorrec/4095 sacados/4095 chapExoCorrec/4111 sacados/4111 chapExoCorrec/5419 sacados/5419 chapExoCorrec/4112 sacados/4112 chapExoCorrec/4251 sacados/4251 chapExoCorrec/4245 sacados/4245 Extrait d'Antilles-Guyane Septembre 2009
E.5420 En el espacio provisto de un sistema de referencia O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , consideramos los dos planos ( P ) y ( P ) admitiendo como ecuación cartesiana : ( P ) : 2 x − y + z + 3 = 0 ; ( P ) : − 4 x + 2 y − 2 z − 1 = 0 Justifica que estos dos planos son paralelos. E.5463 En el espacio dotado de un sis-tema de referencia ortonormal O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , damos los tres puntos : A 1 ; 2 ; − 1 ; B − 3 ; − 2 ; 3 ; C 0 ; − 2 ; − 3 1 a Demuestra que los puntos A , B y C no están alinea-dos. b Demuestre que el vector −→ n 2 ; − 1 ; 1 es un vector nor-mal al plano ( ABC ) . 2 Sea ( P ) el plano cuya ecuación cartesiana es : x + y − z + 2 = 0 Demostrar que los planos ( ABC ) y ( P ) son perpendicu-lares. E.5536 Consideremos : ( P 1 ) el plano de ecuación : x + y + z =0 ; ( P 2 ) el plano de ecuación : x +4 y +2=0 . 1 Demuestra que los planos ( P 1 ) y ( P 2 ) son secantes. 2 Verificar que la recta ( d ) , intersección de los planos ( P 1 ) y ( P 2 ) , tiene como representación paramétrica: x = − 4 t − 2 y = t z = 3 t + 2 donde t ∈ R . 11. Plano secante y representación paramétrica de la intersección E.3129 El espacio está provisto de un sis-tema de coordenadas ortonormales O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . Sea ( P 1 ) el plano de ecuación cartesiana − 2 x + y + z − 6=0 y ( P 2 ) el plano de ecuación cartesiana x − 2 y +4 z − 9=0 . 1 Demuestre que ( P 1 ) y ( P 2 ) son perpendiculares. Recordemos que dos planos son perpendiculares si, y solo si, un vector normal distinto de cero a uno es ortogonal a un vector normal distinto de cero al otro. 2 Sea ( D ) la recta de intersección de ( P 1 ) y ( P 2 ) . Demuestra que una representación paramétrica de ( d ) es : x = − 7 + 2 t y = − 8 + 3 t z = t E.5421 En el espacio provisto de un sistema de coordenadas O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , consideramos los dos planos ( P ) y ( P ) que admiten la ecuación cartesiana : ( P ) : x + 2 y − z + 3 = 0 ; ( P ) : 4 x − 2 y + z − 1 = 0 1 Justifique que estos dos planos son secantes. 2 Determinar una representación paramétrica de la recta ( d ) intersección de los planos ( P ) y ( P ) . E.4093 En el espacio provisto de un sis-tema de coordenadas ortonormales O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , consider-amos los dos planos ( P 1 ) y ( P 2 ) que admiten las ecuaciones cartesianas : ( P 1 ) : 2 x + y + 2 z + 1 = 0 ; ( P 2 ) : x − 2 y + 6 z = 0 Demuestre que los planos ( P 1 ) y ( P 2 ) se secan según una recta ( d ) cuya representación paramétrica se determinará. E.4039 El espacio está referido a un sistema de referencia ortonormal O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . Consider-emos : los cuatro puntos : A 0 ; 0 ; 3 ; E 2 ; 0 ; 4 ; C − 1 ; 1 ; 2 ; D 1 ; − 4 ; 0 los dos planos : ( P 1 ) : 7 x + 4 y − 3 z + 9 = 0 ; ( P 2 ) : x − 2 y = 0 . las dos rectas que admiten como representación paramétrica: (Δ 1 ) x = − 1 + t y = − 8 + 2 t z = − 10 + 5 t donde t ∈ R ; (Δ 2 ) x = 7 + 2 t y = 8 + 4 t z = 8 − t donde t ∈ R . Para cada pregunta, sólo una de las cuatro proposiciones es correcta. El candidato debe indicar en la copia el número de la pregunta y la letra correspondiente a la respuesta elegida. No se requiere justificación. Una respuesta correcta suma 0 ; 5 punto ; una respuesta incor-recta resta 0 ; 25 punto ; la ausencia de respuesta se contabiliza 0 punto. Si el total es negativo, la nota se reduce a 0 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5420 sacados/5420 chapExoCorrec/5463 sacados/5463 Extrait Liban Mai 2011 chapExoCorrec/5536 sacados/5536 chapExoCorrec/3129 sacados/3129 chapExoCorrec/5421 sacados/5421 chapExoCorrec/4093 sacados/4093 chapExoCorrec/4039 sacados/4039
El plano ( P 1 ) es El plan ( ABC ) Le plan ( BCD ) Le plan ( ACD ) Le plan ( AED ) La recta (Δ 1 ) contiene El punto A El punto B Le punto C Le punto D Position relative to ( P 1 ) and de (Δ 1 ) (Δ 1 ) est strictement parallèle à ( P 1 ) (Δ 1 ) est incluse dans ( P 1 ) (Δ 1 ) coupe ( P 1 ) (Δ 1 ) is orthogonale to ( P 1 ) Position relative de (Δ 1 ) et de (Δ 2 ) (Δ 1 ) est strictement parallèle à (Δ 2 ) (Δ 1 ) et (Δ 2 ) sont confondues (Δ 1 ) et (Δ 2 ) sont sécantes (Δ 1 ) et (Δ 2 ) sont non coplanaires L’intersec-ción de ( P 1 ) et de ( P 2 ) est a derecho del cual uno representa-sentation paramétrico-trico est x = t y = - 2+ 1 2 t z = 3 t x = 2 t y = t z =3+6 t x = 5 t y =1 − 2 t z = t x = − 1 + t y =2 + t z = − 3 t E.5537 Consideremos los dos planos ( P 1 ) y ( P 2 ) de ecuaciones cartesianas : ( P 1 ) : 2 x + y − z + 1 = 0 ; ( P 2 ) : x − y + 2 z + 3 = 0 1 Justifique que los planos ( P 1 ) y ( P 2 ) son secantes. 2 Determinar una ecuación paramétrica de la recta de in-tersección de los planos ( P 1 ) y ( P 2 ) . E.4131 El espacio se refiere al sistema de coordenadas ortonormales O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . Consideremos los planos ( P ) y ( Q ) con las ecuaciones respec-tivas : x + y + z = 0 ; 2 x + 3 y + z − 4 = 0 1 Demuestre que la intersección de los planos ( P ) y ( Q ) es la recta ( d ) , cuya representación paramétrica es : x = − 4 − 2 t y = 4 + t z = t donde t ∈ R . 2 Sea – un número real. Consideremos el plano ( P λ ) de ecuación : (1 − – ) · ( x + y + z ) + – · (2 x + 3 y + z − 4) = 0 a Verifique que el vector −→ n 1+ – ; 1+2 – ; 1 es un vector normal al plano ( P λ ) . b Da un valor del número real – para el que los planos ( P ) y ( P λ ) se confunden. c ¾Existe un número real – para el que los planos ( P ) y ( P λ ) son perpendiculares? 3 Determinar una representación paramétrica de la recta ( d ) , intersección de los planos ( P ) y ( P − 1 ) . Demostrar que las rectas ( d ) y ( d ) coinciden. 4 En esta pregunta, se tendrá en cuenta en la evaluación cualquier rastro de investigación, aunque sea incompleta, o cualquier iniciativa, aunque no haya dado resultado. Consideremos el punto A 1 ; 1 ; 1 . Determinar la distancia del punto A a la recta ( d ) , es decir, la distancia entre el punto A y su proyección or-togonal sobre la recta ( d ) . 12. Posiciones relativas de líneas y planos E.4088 El espacio está provisto de un marco de referencia ortonormal O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . Consideramos : ( P ) es el plano que pasa por A 3 ; 1 ; 2 y de vector nor-mal −→ n 1 ; − 4 ; 1 ; ( d ) es la recta que pasa por B 1 ; 4 ; 2 con vector de di-rección −→ u 1 ; 1 ; 3 . 1 Demuestra que el plano ( P ) tiene la ecuación cartesiana : x − 4 y + z − 1 = 0 2 Demuestra que la recta ( d ) es estrictamente paralela al plano P . E.5451 En el espacio referido a un sistema de coordenadas ortonormales O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , consideramos la recta ( d ) , de la que damos una representación paramétrica, y el plano ( P ) , del que damos una ecuación cartesiana : ( d ) : x = 1 − 2 t y = t z = − 5 − 4 t donde t ∈ R ; ( P ) : 3 x +2 y − z − 5 = 0 Demuestre que la recta ( d ) es estrictamente paralela al plano ( P ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5537 sacados/5537 chapExoCorrec/4131 sacados/4131 Reunion Septembre 2010 5 points chapExoCorrec/4088 sacados/4088 chapExoCorrec/5451 sacados/5451 Extrait d'Asie Juin 2012
ABCDEFGHIJ E.5422 En el espacio provisto de una referencia O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , consideramos la recta ( d ) que admite la rep-resentación paramétrica y el plano ( P ) que admite la ecuación cartesiana definida por: ( d ) : x = 3 − t y = 2 − t z = t ; ( P ) : 2 x − 4 y − 2 z + 3 = 0 1 a Justifique que la recta ( d ) es paralela al plano ( P ) . b ¾Está incluida la recta ( d ) en el plano ( P ) ? 2 Consideremos el plano ( P ) que admite como ecuación cartesiana : ( P ) : 2 x − 4 y − 2 z + c = 0 donde c ∈ R Determinar el valor del parámetro c para que la recta ( d ) esté incluida en el plano ( P ) . E.4083 El espacio se refiere a un sistema de coordenadas ortonormales directas O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . Con-sideremos los puntos : A − 2 ; 0 ; 1 ; B 1 ; 2 ; − 1 ; C − 2 ; 2 ; 2 Supongamos que los puntos A , B y C no están alineados. 1 Verifique que una ecuación cartesiana del plano ( ABC ) es : 2 x − y + 2 z + 2 = 0 2 Sean ( P 1 ) y ( P 2 ) los planos de ecuaciones respectivas : x + y − 3 z + 3 = 0 ; x − 2 y + 6 z = 0 Demuestre que los planos ( P 1 ) y ( P 2 ) se secan según una recta ( d ) cuyo sistema de ecuaciones paramétricas es : x = − 2 y = − 1 + 3 t z = t donde t ∈ R 3 Demostrar que la recta ( d ) y el plano ( ABC ) son secantes y determinar las coordenadas de su punto de intersección. E.5423 En el espacio provisto de un sistema de coordenadas O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , consideramos la recta ( d ) que admite la representación paramétrica y el plano ( P ) que ad-mite la ecuación cartesiana definida por: ( d ) : x = 1 + t y = 2 − t z = 3 + 2 t ; ( P ) : 3 x − y + 2 z + 1 = 0 1 Justifique que la recta ( d ) es secante al plano ( P ) . 2 Determine las coordenadas del punto de intersección de la recta ( d ) y el plano ( P ) . E.3113 Considera la recta paramétrica: x = t + 2 y = − 2 t z = 3 t − 1 donde t ∈ R y el plano cuya ecuación cartesiana es : x + 2 · y + z − 3 = 0 Justifica que este plano y esta recta son paralelos. E.4037 El espacio está provisto de un marco de referencia ortonormal O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . Obsérvese ( D ) la recta que pasa por los puntos A 1 ; − 2 ; − 1 y B 3 ; − 5 ; − 2 . 1 Montrer que una representación paramétrica de la recta ( D ) es : x = 1 + 2 t y = − 2 − 3 t z = − 1 − t avec t ∈ R . 2 On obsérvese ( D ) la recta cuya representación paramétrica es : x = 2 − k y = 1 + 2 k z = k avec k ∈ R . Demuestre que las rectas ( D ) y ( D ) no son coplanarias. 3 On considere el plano ( P ) de ecuación 4 · x + y +5 · z +3 = 0 . a Montrer que el plano ( P ) contiene a la recta ( D ) . b Montrer que el plano ( P ) y la recta ( D ) se cortan en un punto C cuyas coordenadas especificaremos. E.4129 En el espacio, consideramos el cubo ABCDEFGH . Los puntos I y J representan respectiva-mente los centros de las caras ABCD y ABFE . Equipamos el espacio con el sistema de coordenadas A ; −−→ AB ; −−→ AD ; −→ AE . 1 a Da las coordenadas de los puntos I y J . b Da una representación paramétrica de la recta ( IJ ) . 2 Consideramos la recta (Δ) que admite la representación paramétrica: x = 1 + t y = 1 2 + 2 · t z = − t donde t ∈ R Demuestre que las rectas (Δ) y ( IJ ) no son coplanares. 3 a Justifique que el plano ( AGH ) admite como ecuación : y − z = 0 b Determinar las coordenadas del punto de intersección de la recta ( IJ ) y el plano ( AGH ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5422 sacados/5422 chapExoCorrec/4083 sacados/4083 Extrait de Nouvelle-Caledonie Mars 2011 chapExoCorrec/5423 sacados/5423 chapExoCorrec/3113 sacados/3113 Extrait de Pondichery Avril 2010 chapExoCorrec/4037 sacados/4037 Extrait Liban Juin 2010 chapExoCorrec/4129 sacados/4129 ABCDEFGHIJ
E.5450 En el marco de referencia O ; −→ i ; −→ j ; −→ k ortonormal del espacio, consideramos los planos ( P ) y ( P ) de ecuaciones : ( P ) : x − y − z − 2 = 0 ; ( P ) : x + y + 3 z = 0 1 Consideramos la recta ( d ) admitiendo como repre-sentación paramétrica: x = − 3 − 2 t y = 2 t z = 1 + 2 t où t ∈ R a Justifier que la recta ( d ) es ortogonal al plano ( P ) . b Determinar las coordenadas del punto M de intersec-ción del plano ( P ) con la recta ( d ) . 2 Consideramos la recta (Δ) que tiene la representación paramétrica: x = 1 − t y = − 1 − 2 t z = t où t ∈ R a Justifier que los planos ( P ) y ( P ) son secantes. b Demostrar que la recta (Δ) es la recta de intersección de los planos ( P ) y ( P ) . 13. Ecuación cartesiana del plano y proyección ortogonal E.3213 Para este ejercicio, copie su re-spuesta para cada pregunta. Cada respuesta correcta vale 1 punto. No se penaliza la falta de respuesta. Se restará 0 ; 5 punto por cada respuesta incorrecta. La nota final del ejercicio no podrá ser inferior a cero. Sea O ; −→ i ; −→ j ; −→ k un sistema de coordenadas ortonormales. 1 La recta que pasa por A 1 ; 2 ; − 4 y B − 3 ; 4 ; 1 y la recta ( d ) representada por: x = − 11 − 4 t y = 8 + 2 t z = 11 + 5 t donde t ∈ R a seccionantes b estrictamente paralelas c confondues d no coplanares 2 Sean el plano P de ecuación 2 x +3 y − z +4=0 y la recta D representada por: x = t y = t z = 8 + t donde t ∈ R a P et D son secantes b P et D son estrictamente paralelas c D está incluida en P d Ninguna de estas posibilidades es cierta. 3 La distancia del punto A 1 ; 2 ; − 4 al plano de ecuación 2 x + 3 y − z + 4 = 0 es : a 8 √ 14 7 b 16 c 8 √ 14 d 8 7 4 Sean el punto B − 3 ; 4 ; 1 y la esfera S de ecuación x 2 + y 2 + z 2 = 16 : a B está dentro de S b B está fuera de S c B está sobre S d No se sabe E.4242 En el espacio con un sistema de referencia ortonormal O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , damos los puntos : A 3 ; 2 ; − 1 ; B − 6 ; 1 ; 1 C 4 ; − 3 ; 3 ; D − 1 ; − 5 ; − 1 1 Verifique que una ecuación cartesiana del plano ( BCD ) es : − 2 · x − 3 · y + 4 · z − 13 = 0 2 Determina las coordenadas del punto H , ortogonalmente proyectado desde el punto A sobre el plano ( BCD ) . 3 Calcula el producto escalar: −−→ BH · −−→ CD E.4240 El espacio se refiere a un sistema de coordenadas ortonormales O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . Consideremos el plano P de ecuación − x +3 · y − z +5=0 y el punto A 1 ; − 2 ; 1 1 Determinar la representación paramétrica de la recta ( d ) que pasa por el punto A y es ortogonal al plano P . 2 Deduzca las coordenadas del punto H proyectado ortog-onalmente desde el punto A sobre el plano P . 3 Determine la distancia del punto A al plano P . E.6084 Nos situamos en el espacio provistos de un sistema de referencia ortonormal. Consideremos el plano P con ecuación : x − y + 3 z + 1 = 0 y la recta D cuya representación paramétrica es : x = 2 t y = 1 + t z = − 5 + 3 t , où t ∈ R Damos los puntos : A 1 ; 1 ; 0 ; B 3 ; 0 ; − 1 ; C 7 ; 1 ; − 2 1 Justificar que la recta D y el plano P se intersecan. De-termina las coordenadas de su punto de intersección. 2 ¾Son paralelos los planos P y ( ABC ) ? Justifica tu re-spuesta? 3 Determina las coordenadas del punto M proyectado or-togonalmente desde el punto A sobre el plano P . 14. Un poco más https://chingmath.fr chapExoCorrec/5450 sacados/5450 chapExoCorrec/3213 sacados/3213 Antilles-Guyane Septembre 2005 4 points chapExoCorrec/4242 sacados/4242 Extrait de la Reunion Juin 2005 chapExoCorrec/4240 sacados/4240 chapExoCorrec/6084 sacados/6084
ABCDEFGHI E.4317 Consideremos un cubo ABCDEFGH , con aristas de longitud 1 . Denotemos por I el punto de intersección de la recta ( EC ) y el plano ( AFH ) . 1 Nos situamos en el sistema de coordenadas D ; −−→ DA ; −−→ DC ; −−→ DH . En este sistema de coordenadas, las coordenadas de los vértices del cubo son : A 1 ; 0 ; 0 ; B 1 ; 1 ; 0 ; C 0 ; 1 ; 0 ; D 0 ; 0 ; 0 E 1 ; 0 ; 1 ; F 1 ; 1 ; 1 ; G 0 ; 1 ; 1 ; H 0 ; 0 ; 1 a Determinar una representación paramétrica de la recta ( EC ) . b Determinar una ecuación cartesiana del plano ( AFH ) . c Deduzca las coordenadas del punto I y, a continuación, demuestre que el punto I es la proyección ortogonal del punto E sobre el plano ( AFH ) . d Verificar que la distancia del punto E al plano ( AFH ) es igual a 3 3 . e Demostrar que la recta ( HI ) es perpendicular a la recta ( AF ) . ¾Qué representa el punto I para el triángulo AFH ? 2 En la continuación de este ejercicio, se tendrá en cuenta en la evaluación cualquier rastro de investigación, aunque sea incompleto, o de iniciativa, aunque no haya dado re-sultado. Definiciones : Un tetraedro se dice de tipo 1 si sus caras tienen la misma área; se dice de tipo 2 si las aristas opuestas son ortogonales dos a dos ; se dice que es de tipo 3 si es a la vez de tipo 1 y de tipo 2 . Especifique de qué (s) tipo (s) es el tetraedro EAFH . E.5462 El espacio está referido a un sis-tema de referencia ortonormal O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . Sea ( P ) el plano de ecuación 3 x + y − z − 1=0 y ( d ) la recta cuya representación paramétrica es : x = − t + 1 y = 2 t z = − t + 2 où t denota un número real. 1 a Le ¾Pertenece el punto C 1 ; 3 ; 2 al plano ( P ) ? Jus-tifica. b Démontrer que la recta ( d ) está incluida en el plano ( P ) . 2 Soit ( Q ) el plano que pasa por el punto C y es ortogonal a la recta ( d ) . a Déterminer una ecuación cartesiana del plano ( Q ) . b Calculer las coordenadas del punto I , punto de inter-sección del plano ( Q ) y la recta ( d ) . c Montrer que : CI = √ 3 . 3 Soit t un número real y M t el punto de la recta ( d ) de coordenadas : M t − t +1 ; 2 t ; − t +2 a Vérifier que para cualquier número real t ,: CM t 2 = 6 t 2 − 12 t + 9 . b Muestre que CI es el valor mínimo de CM t cuando t describe el conjunto de los números reales. 15. Lección - Vectores y espacios E.5504 Consideremos el espacio provisto de un sistema de coordenadas ortonormales O ; −→ i ; −→ j ; −→ k : 1 ( P ) un plano que pasa por el punto A y admite el vector −→ n ( a ; b ; c ) como vector normal. Demuestre que el plano ( P ) admite como ecuación carte-siana la siguiente ecuación : a · x + b · y + c · z + d = 0 donde d ∈ R . 2 Sean a , b , c , d cuatro números reales donde a , b , c son todos distintos de cero. Demuestre que el conjunto de puntos que satisfacen la ecuación cartesiana siguiente es un plano del espacio : a · x + b · y + c · z + d = 0 E.5505 Una recta es ortogonal a un plano si, y sólo si, es ortogonal a dos rectas que se cruzan en ese plano. 16. Anuales antiguas (anteriores a 2012) https://chingmath.fr chapExoCorrec/4317 sacados/4317 Asie Juin 2011 5 points ABCDEFGHI chapExoCorrec/5462 sacados/5462 chapExoCorrec/5504 sacados/5504 chapExoCorrec/5505 sacados/5505
E.3153 El espacio está provisto de un sistema de coordenadas ortonormales O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . 1 Consideremos el plano P que pasa por el punto B 1 ; − 2 ; 1 y tiene vector normal −→ n − 2 ; 1 ; 5 , y el plano R de ecuación cartesiana x +2 y − 7=0 a Demuestre que los planos P y R son perpendiculares. b Demuestra que la intersección de los planos P y R es la recta Δ que pasa por el punto C − 1 ; 4 ; − 1 y tiene vector director −→ u 2 ; − 1 ; 1 . c Sea el punto A 5 ; − 2 ; − 1 . Calcular la distancia del punto A al plano P y luego la distancia del punto A al plano R . d Determine la distancia del punto A a la recta Δ . 2 a Sea, para cualquier número real t , el punto M t de coordenadas 1+2 · t ; 3 − t ; t . Determinar, en función de t , la longitud AM t . Denotemos por ’ ( t ) esta longitud. Definimos así una función ’ de R en R . a Estudiar el sentido de las variaciones de la función ’ en R ; especificar su mínimo. b Interpretar geométricamente el valor de este mínimo. E.4055 El espacio está provisto de un sistema de coordenadas ortonormales O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . El objetivo de este ejercicio es determinar la posición relativa de los objetos en el espacio. P es el plano que pasa por A 3 ; 1 ; 2 y tiene como vector normal −→ n 1 ; − 4 ; 1 ; D es la recta que pasa por B 1 ; 4 ; 2 y tiene como vector director −→ u 1 ; 1 ; 3 . S es la esfera con centro Ω 1 ; 9 ; 0 que pasa por A . 1 Intersección del plano P y la recta D . a Demostrar que el plano P tiene como ecuación carte-siana : x − 4 y + z − 1 = 0 b Mostrar que la recta D es estrictamente paralela al plano P . 2 Intersección del plano P y la esfera S . a Calcular la distancia d del punto Ω al plano P . b Calcular el radio de la esfera S . Deducir la intersección del plano P y la esfera S . 3 Intersección de la recta D y la esfera S . a Determinar una representación paramétrica de la recta D . b Determinar una ecuación cartesiana de la esfera S . c Deduzca que la recta D corta la esfera S en dos pun-tos distintos M y N , cuyas coordenadas no se determi-narán. E.3126 El espacio está provisto de un sis-tema de coordenadas ortonormales directas O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . No es necesario hacer ningún dibujo. Las preguntas 3 et 4 son independientes de las preguntas 1 et 2 . Consideremos los cuatro puntos A , B , C y I con coordenadas respectivas : A -1 2 1 ; B 1 -6 -1 ; C 2 2 2 ; I 0 1 -1 1 a Calcule el producto vectorial −−→ AB ∧ −→ AC . b Determinar una ecuación cartesiana del plano que con-tiene los tres puntos A , b , C . 2 Sea ( Q ) el plano de ecuación : x + y − 3 z +2=0 y ( Q ) el plano de referencia O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . a ¾Por qué ( Q ) y ( Q ) son secantes? b Da un punto E y un vector director −→ u de la recta de intersección (Δ) de los planos ( Q ) y ( Q ) . 3 Escriba una ecuación cartesiana de la esfera S con centro I y radio 2. 4 Consideremos los puntos J y K con coordenadas respec-tivas : -2 0 0 ; 1 0 1 Determinar con cuidado la intersección de la esfera ( S ) y la recta ( JK ) . 17. Curso - programa antiguo: Espacios E.3906 Sea D el punto de coordenadas x D ; y D ; z D y P el plano con ecuación a · x + b · y + c · z + d =0 , donde a , b y c son números reales que no son todos cero. Demostrar que la distancia del punto D al plano P viene dada por: d ( D; P ) = | a · x D + b · y D + c · z D + d | a 2 + b 2 + c 2 https://chingmath.fr chapExoCorrec/3153 sacados/3153 France Septembre 2005 5 points chapExoCorrec/4055 sacados/4055 sacados/3126 France septembre 1998 4 points chapExoCorrec/3906 sacados/3906
ABCDEFGHIJK E.4090 Sean a , b , c y d números reales tales que : ( a ; b ; c ) = 0 ; 0 ; 0 . Sea P el plano de ecuación a · x + b · y + c · z + d =0 . Consideremos el punto I de coordenadas ( x I ; y I ; z I ) y el vec-tor −→ n de coordenadas ( a ; b ; c ) . El objetivo de esta parte es demostrar que la distancia de I al plano P es igual a: ⏐ ⏐ ax I + by I + cz I + d ⏐ ⏐ √ a 2 + b 2 + c 2 1 Sea Δ la recta que pasa por I y es ortogonal al plano P . Determinar, en función de a , b , c , x I , y I y z I , un sistema de ecuaciones paramétricas de Δ . 2 Se denota por H el punto de intersección de Δ y P . a Justificar que existe un real k tal que : −→ IH = k · −→ n . b Determinar la expresión de k en función de a , b , c , d , x I , y I y z I . c Deducir que : IH = ⏐ ⏐ a · x I + b · y I + c · z I ⏐ ⏐ a 2 + b 2 + c 2 18. Ejercicios no clasificados E.7247 Resuelve el sistema de ecuaciones : x 2 + y 2 + z 2 = 1 x + y + z = 1 E.8139 La figura de al lado muestra un cubo ABCDEFGH . Los tres puntos I , J , K están definidos por las siguientes condiciones : I es la mitad del segmento [ AD ] J es tal que : −→ AJ = 3 4 · −→ AE K es el punto medio del segmento [ FG ] . Sea R la proyección ortogonal del punto F sobre el plano ( IJK ) . El punto R es, por tanto, el único punto del plano ( IJK ) tal que la recta ( FR ) es ortogonal al plano ( IJK ) . El interior del cubo se define como el conjunto de puntos M ( x ; y ; z ) tales que : 0 <x < 1 0 <y < 1 0 <z < 1 Está el punto R dentro del cubo? E.5417 En el espacio provisto de un sistema de referencia O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , consideremos el plano P que admite como ecuación cartesiana : 2 · x + 3 · y − z + 1 = 0 Admite el vector −→ u 4 ; − 2 ; 2 un representante incluido en el plano ( P ) . E.3858 El espacio está provisto de un marco de referencia ortonormal O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . Considera : el plano P que pasa por el punto B 1 ; − 2 ; 1 y del vector normal −→ n − 2 ; 1 ; 5 ; el plano R de ecuación cartesiana : x +2 y − 7=0 . 1 Demuestra que los planos P y R son perpendiculares. 2 Demostrar que la intersección de los planos P y R es la recta Δ que pasa por el punto C − .1 ; 4 ; − 1 y vector director −→ u 2 ; − 1 ; 1 . 3 Sea el punto A 5 ; − 2 ; − 1 . Calcula la distancia del punto A al plano P y luego la distancia del punto A al plano R . 4 Determina la distancia del punto A a la recta Δ . E.4089 El plano Q de la ecuación x − y + z − 11=0 es tangente a una esfera S cuyo centro es el punto Ω de coordenadas 1 ; − 1 ; 3 . 1 Determinar el radio de la esfera S . 2 Determinar un sistema de ecuaciones paramétricas de la recta Δ que pasa por Ω y es ortogonal al plano Q . 3 Deduzca las coordenadas del punto de intersección de la esfera S y el plano Q . E.4106 En el espacio provisto de un marco de referencia ortonormal O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , damos los puntos : A 3 ; 2 ; − 1 ; B − 6 ; 1 ; 1 C 4 ; − 3 ; 3 ; D − 1 ; − 5 ; − 1 1 Verifique que una ecuación cartesiana del plano ( BCD ) es : − 2 · x − 3 · y + 4 · z − 13 = 0 2 Determina las coordenadas del punto H , ortogonalmente proyectado desde el punto A sobre el plano ( BCD ) . 3 Calcula el producto escalar −−→ BH · −−→ CD . https://chingmath.fr chapExoCorrec/4090 sacados/4090 chapExoCorrec/7247 sacados/7247 sacados/8139 ABCDEFGHIJK chapExoCorrec/5417 sacados/5417 chapExoCorrec/3858 sacados/3858 Extrait de France Septembre 2005 sacados/4089 chapExoCorrec/4106 sacados/4106
ABCDEFGH HGFEDCBAIJ DABCHEFGJI E.4134 El espacio está provisto del sistema de referencia ortonormal O ; −→ i ; −→ j ; −→ k y denotamos por P el plano de ecuación : 3 · x + 2 · y = 29 1 Demuestra que P es paralela al eje ( Oz ) con vector de dirección −→ k . 2 Determinar las coordenadas de los puntos de intersección del plano P con los ejes ( Ox ) y ( Oy ) de los respectivos vectores directores −→ i y −→ j . 3 Haz una figura y dibuja las rectas de intersección del plano P con los tres planos coordenados. 4 En la figura anterior, sitúa sobre la recta de intersección de los planos P y ( xOy ) , los puntos cuyas coordenadas sean enteras y positivas. E.4329 Consideremos el cubo ABCDEFGH de lado 1 representado a continuación : En todo el ejercicio, el espacio se refiere al sistema de coorde-nadas ortonormales D ; −−→ DA ; −−→ DC ; −−→ DH . Se denota K el baricentro de los puntos ponderados ( D ; 1) y ( f ; 2) . Parte A 1 Demuestre que el punto K tiene coordenadas 2 3 ; 2 3 ; 2 3 . 2 Demuestra que las rectas ( EK ) y ( DF ) son ortogonales. 3 Calcular la distancia EK . Parte B Sea M un punto del segmento [ HG ] . Se denota m = HM ( m es, por lo tanto, un número real perteneciente a [0 ; 1] ) . 1 Demostrar que, para cualquier número real m perteneciente al intervalo 0 ; 1 , el volumen del tetrae-dro EMFD , en unidades de volumen, es igual a 1 6 . 2 Demostrar que una ecuación cartesiana del plano ( MFD ) es : ( − 1 + m ) · x + y − m · z = 0 . 3 Se denota d m la distancia del punto E al plano ( MFD ) . a Demostrar que, para todo número real m perteneciente al intervalo 0 ; 1 : d m = 1 √ 2 · m 2 − 2 · m + 2 b Determinar la posición de M en el segmento [ HG ] para la que la distancia d m es máxima. c Deduzca que cuando la distancia d m es máxima, el punto K es la proyección ortogonal de E sobre el plano ( MFD ) E.6068 Consideremos el cubo ABCDEFGH , con aristas de longitud 1 , y denotemos por I y J los puntos medios de las aristas [ AB ] y [ CG ] . Utilizaremos el sistema de coordenadas A ; −−→ AB ; −−→ AD ; −→ AE 1 Determinar la ecuación cartesiana del plano EFJ . 2 Determinar las coor-denadas del punto P proyectado del punto I sobre el plano ( EFJ ) . 3 Determinar la distancia IP . 4 Demostrar que el volumen del tetraedro EFIJ es igual a 1 6 . E.4046 Consideremos un cubo ABCDEFGH con aristas de longitud 1 . Denotemos por I el punto medio de [ EF ] y por J la imagen de E mediante la simetría con centro en F . En todo el ejercicio, el espacio se refiere al sistema de coorde-nadas ortonormales A ; −−→ AB ; −−→ AD ; −→ AE ) . 1 a Determinar las coordenadas de los puntos I y J . b Verificar que el vector −→ DJ es un vector normal al plano ( BGI ) . c Deducir una ecuación cartesiana del plano ( BGI ) . d Calcular la distancia del punto F al plano ( BGI ) . (fuera del programa 2012) . 2 Se denota (Δ) la recta que pasa por F y es ortogonal al plano ( BGI ) . a Dar una representación paramétrica de la recta (Δ) . b Demostrar que la recta (Δ) pasa por el centro K de la cara ADHE . c Demuestre que la recta (Δ) y el plano ( BGI ) se secan en un punto, denominado L , de coordenadas 2 3 ; 1 6 ; 5 6 . d En esta pregunta, se tendrá en cuenta en la evaluación cualquier rastro de investigación, aunque sea incom-pleto. ¾Es el punto L el ortocentro del triángulo BGI ? https://chingmath.fr sacados/4134 Extrait Centres Etrangers Juin 2009 sacados/4329 ABCDEFGH chapExoCorrec/6068 sacados/6068 HGFEDCBAIJ chapExoCorrec/4046 sacados/4046 Liban Juin 2009 4 points DABCHEFGJI
ABCDEFGHIJK E.6882 ABCDEFGH designa un cubo de lado 1 . El punto I es el centro del segmento [ BF ] . El punto J es el punto medio del segmento [ BC ] . El punto K es el punto medio del segmento [ CD ] . Parte A En esta parte no se pide ninguna justificación Se admite que las rectas ( IJ ) y ( CG ) se cortan en un punto L . Construir, en la figura proporcionada anteriormente y de-jando visibles las líneas de construcción : el punto L ; la intersección D de los planos ( IJK ) y ( CDH ) ; la sección del cubo por el plano ( IJK ) . Parte B El espacio se refiere al sistema de coordenadas A ; −−→ AB ; −−→ AD ; −→ AE . 1 Indique las coordenadas A , G , I , J y K en este sistema de coordenadas. 2 a Demuestre que el vector −→ AG es normal al plano ( IJK ) . b Deduzca una ecuación cartesiana del plano ( IJK ) . 3 Se designa por M un punto del segmento [ AG ] y t el real del intervalo 0 ; 1 tal que −−→ AM = t · −→ AG . a Demostrar que : MI 2 =3 · t 2 − 3 · t + 5 4 b Demostrar que la distancia MI es mínima para el punto N 1 2 ; 1 2 ; 1 2 . 4 Demostrar que para este punto N 1 2 ; 1 2 ; 1 2 : a N pertenece al plano ( IJK ) . b La recta ( IN ) es perpendicular a las rectas ( AG ) y ( BF ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6882 sacados/6882 ABCDEFGHIJK