Bachillerato 2 / Primitivas y ecuaciones diferenciales 58 ejercicios (incluyendo 48 corregidos)

a
Cϕ Cf Cg Ch -4-3-2-1234I-4-3-2-1234JO -4-3-2-1234I-4-3-2-1234JOCf 1. Introducción a las primitivas E.3575 Consideremos cuatro funciones ’ , f , g , h definidas en el intervalo − 4 ; 4 . Sus curvas representa-tivas se dan a continuación, en el mismo marco de referencia ortonormal: Cuál de f , g y h puede admitir la función ’ como función derivada? E.3560 Sea f una función derivable en el inter-valo − 4 ; 4 y que admite como derivada la función f . En el marco de referencia inferior, se dibuja la curva repre-sentativa de la función f . 1 a ¾Cuál es el valor del número derivado de la función f en 1 ? b Diga el coeficiente director de todas las tangentes indi-cadas en la recta de ecuación x =1 . 2 Dibuja una representación ˇ possible ı de la función f en este marco de referencia. E.3561 Consideremos una función f derivable en − 4 ; 4 . En el marco de referencia ortonormal O ; I ; J a continuación se da la curva representativa C f de la función f derivada de la función f . 1 a ¾Cuál es el número derivado de la función f en − 2 ? b A lo largo de la recta con ecuación x = − 2 se represen-tan tangentes ; cuál es el coeficiente de estas tangentes. 2 Dibuja una curva representativa C f aceptable de la fun-ción f cuyas tangentes en puntos de abscisa − 4 , − 2 , 0 , 2 , 4 son, en cada caso, una de las tangentes propuestas en la gráfica. 2. Ecuación diferencial: y = f E.6911 Completa los puntos : 1 Se denota f una función que verifica: f ( x )=2 · x . Una posible expresión de f es : f ( x ) = : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 Se denota por g una función que verifica: g ( x )= x 2 . Una posible expresión de g es : g ( x ) = : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 Se denota por h una función que verifica: h ( x )= − 2 . Una expresión posible de h es : h ( x ) = : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 Se denota por j una función que verifica: j ( x )= 1 x 2 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3575 sacados/3575 Cϕ Cf Cg Ch chapExoCorrec/3560 sacados/3560 -4-3-2-1234I-4-3-2-1234JO chapExoCorrec/3561 sacados/3561 -4-3-2-1234I-4-3-2-1234JOCf chapExoCorrec/6911 sacados/6911
Una posible expresión de j es : j ( x ) = : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 Se denota por k una función que verifica: k ( x )= − 1 x . Una posible expresión de k es : k ( x ) = : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 Se denota por ‘ una función que verifica: ‘ ( x )=e x . Una posible expresión de ‘ es : ‘ ( x ) = : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 Se denota por m una función que verifica: m ( x )= 1 x . Una posible expresión de m es : m ( x ) = : : : : : : : : : : : : : : : : : : E.5206 Para cada pregunta, determina la expre-sión de una función f que admita como derivada la expresión propuesta : a f ( x ) = 3 b f ( x ) = 2 x + 1 c f ( x ) = x 3 d f ( x ) = − 2 x e f ( x ) = 1 √ x f f ( x ) = e 2 x E.6912 Da una primitiva de cada una de las funciones siguientes : a f ( x ) = 2 · x + 1 b g ( x ) = 1 − 3 x c h ( x ) = 1 x + 1 x 2 d j ( x ) = e 2 · x E.4292 Consideremos la función f definida en 0 ; + ∞ por: f ( x ) = ln( x ) + 1 − 1 x 1 Determina los límites de la función f en los límites de su conjunto definidor. 2 Estudiar las variaciones de la función f en el intervalo 0 ; + ∞ . 3 Determinar la imagen de 1 por la función f . Deduce el signo de f ( x ) cuando x describe el intervalo 0 ; + ∞ . 4 Demuestre que la función F definida en el intervalo 0 ; + ∞ por: F ( x ) = x · ln x − ln x es una primitiva de la función f sobre este intervalo. 5 Demuestre que la función F es estrictamente creciente en el intervalo 1 ; + ∞ . 6 Demuestre que la ecuación F ( x )=1 − 1 e admite una única solución en el intervalo 1 ; + ∞ que denotaremos ¸ . 7 Dar un marco de ¸ de amplitud 10 − 1 . E.4301 Sea f la función definida en R por: f ( x )= 4 1+7 · e − x 1 Verifique que para cualquier real x : f ( x )= 4 · e x e x +7 2 Determina una primitiva de la función f en R . 3 Calcular el valor medio de f en el intervalo 0 ; ln7 . 3. Determinación de una primitiva de una función de referencia E.5207 Determina una primitiva de cada una de las siguientes funciones : a f ( x ) = 2 x + 1 b g ( x ) = 1 − 3 x c h ( x ) = 2 x 2 d i ( x )= x 2 + x +1 e j ( x ) = 4 x 3 f k ( x ) = 1 − 2 x 2 E.3992 Determina una primitiva de cada una de las siguientes funciones : a f ( x ) = − 1 x 2 b g ( x ) = 2 x 2 c h ( x ) = 1 2 · √ x d j ( x ) = 2 √ x e k ( x ) = 1 x f ‘ ( x ) = − 1 2 x g m ( x ) = e x h n ( x ) = 3e x i p ( x ) = − e x 4. Determinación de una primitiva del compuesto de funciones E.5209 Determina una primitiva de cada una de las siguientes funciones : a f ( x ) = ( x + 3) 4 b g ( x ) = (2 − x ) 3 c h ( x ) = (2 x − 3) 2 d j ( x ) = x · ( x 2 + 1) 6 e k ( x ) = 3 x 2 · ( x 3 − 2) 3 f ‘ ( x ) = x 4 · (1 − x 5 ) 2 E.3930 Determina una primitiva para cada una de las siguientes funciones : a f ( x ) = − 3 · x 2 + 2 · x − 1 b g ( x ) = 3 · x 5 + 1 c h ( x ) = (3 + x ) 2 d j ( x ) = (2 − x ) 3 e k ( x ) = (5 x + 1) 4 f ‘ ( x ) = x 3 · x 4 + 1 4 https://chingmath.fr chapExoCorrec/5206 sacados/5206 chapExoCorrec/6912 sacados/6912 chapExoCorrec/4292 sacados/4292 chapExoCorrec/4301 sacados/4301 chapExoCorrec/5207 sacados/5207 chapExoCorrec/3992 sacados/3992 chapExoCorrec/5209 sacados/5209 chapExoCorrec/3930 sacados/3930
E.5214 Determina una primitiva de cada una de las siguientes funciones : a f ( x ) = x 2 · ( x 3 − 5) 5 b g ( x ) = x x 2 + 1 c h ( x ) = 6 x + 2 (3 x 2 + 2 x − 5) 2 d j ( x ) = 6 x + 2 3 x 2 + 2 x − 5 E.5211 Determina una primitiva de las sigu-ientes funciones : a f ( x ) = e 3 x +1 b g ( x ) = x · e x 2 c h ( x ) = e 1 x x 2 d j ( x ) = e √ x x e k ( x ) = e x +1 x x 2 f ‘ ( x ) = e ln( x )+1 x E.5221 Determina una primitiva de cada una de las siguientes funciones : a f ( x ) = 3 x − 5 x 5 b g ( x ) = 1 x − x c h ( x ) = x · 2 x 2 − 3 4 d j ( x ) = 2 − x x 2 − 4 x e k ( x ) = 6 x + 2 3 x 2 + 2 x − 3 f ‘ ( x ) = x · e x 2 E.3931 Determina una primitiva para cada una de las siguientes funciones : a f ( x ) = x + 1 + 1 x + 1 x 2 b g ( x ) = 1 x + 1 2 c h ( x ) = 1 x + 1 d j ( x ) = x x 2 + 1 2 e ‘ ( x ) = x x + 1 f m ( x ) = 6 x + 1 3 · x 2 + x − 5 2 g n ( x ) = − 3 (3 x + 2) 2 h p ( x ) = 6 x + 1 6 · x 2 + 2 · x + 2 E.5210 Determina una primitiva de las sigu-ientes funciones : a f ( x ) = 2 2 x + 3 b g ( x ) = 1 1 − 3 x c h ( x ) = x x 2 + 1 d j ( x ) = − 1 (1 + x ) 2 e k ( x ) = 2 (3 x + 1) 2 f ‘ ( x ) = x x 4 + 2 x 2 + 1 E.10393 Sea f una función continua en un inter-valo I . Se define la función g en el intervalo I mediante : g ( x ) = f 3 · x para x ∈ I . Denotemos por F y G las primitivas respectivas de las fun-ciones f y g en el intervalo I . De entre las relaciones siguientes, ¾cuál se cumple para las funciones F y G ? a G ( x ) = F ( x ) + 3 b G ( x ) = 1 3 · F ( x ) c G ( x ) = F ( x ) − 3 d G ( x ) = 3 · F ( x ) 5. Algunas primitivas especiales E.6006 1 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = x − 1 · e x Determina la expresión de la función f derivada de la función f . 2 Deduce la expresión de una primitiva de la función g definida en R por: g ( x ) = x · e x E.6005 1 Consideremos la función f definida en R + por la expre- sión : f ( x ) = 2 3 · x · √ x Determina la expresión de la derivada f de la función f . 2 Deduce la expresión de una primitiva de la función raíz cuadrada. E.5212 Consideremos la función f definida por: f ( x ) = x · ln x − x 1 Determina la expresión de la función derivada f . 2 Deduce la expresión de las primitivas de la función loga-ritmo neperiano. 6. Encontrar una primitiva E.5222 Sea g la función definida en el intervalo 1 ; + ∞ por: g ( x ) = 1 x ( x 2 − 1) 1 Determine los números reales a , b y c tales que, para todo x> 1 : g ( x ) = a x + b x + 1 + c x − 1 2 Encuentra una primitiva G de g en el intervalo 1 ; + ∞ . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5214 sacados/5214 chapExoCorrec/5211 sacados/5211 chapExoCorrec/5221 sacados/5221 chapExoCorrec/3931 sacados/3931 chapExoCorrec/5210 sacados/5210 sacados/10393 chapExoCorrec/6006 sacados/6006 chapExoCorrec/6005 sacados/6005 chapExoCorrec/5212 sacados/5212 chapExoCorrec/5222 sacados/5222
E.6004 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = 4 · e 2 x +2 − e x +1 e 2 x +2 − 1 1 Demuestra que la función f tiene la expresión : f ( x ) = 3 · e 2 x +2 e 2 x +2 − 1 + e x +1 e x +1 + 1 (Sugerencia : recuerde factorizar e 2 x +2 − 1 ) 2 Deduce la expresión de una primitiva de la función f . 7. Determinación de una primitiva con una condición inicial E.5223 Para cada pregunta, determine la prim-itiva de la función que cumple la condición propuesta : a f ( x ) = x 2 · ( x 3 + 2) 4 ; F ( − 1) = 1 b g ( x ) = x 3 x 2 − 2 ; G (3) = ln 5 c h ( x ) = x x ; H (4) = 3 d j ( x ) = ( x + 1)e x 2 +2 x ; J (1) = e 3 E.3950 Para cada pregunta, determina la prim-itiva de la función que verifica la condición propuesta : a f ( x ) = x 2 − 2 · x + 4 x ; F (1) = 2 b g ( x ) = x · e x 2 ; G (1) = 3 · e c h ( x ) = 5 (4 · x − 3) 2 ; H (1) = 1 d j ( x ) = 2 · x − 3 x 2 − 2 x + 1 ; J (0) = − 2 E.6917 Consideremos las dos funciones f y g definidas en R por: f ( x )=ln x 2 +1 ; g ( x )=ln 2 · x 2 +2 1 Determina la imagen de 0 por cada una de estas dos fun-ciones. 2 Establecer que estas dos funciones son primitivas de una misma función, que especificaremos. 8. Ecuaciones diferenciales: ejemplos de soluciones E.3647 Considere la ecuación diferencial : ( E ): y + y =e − x Demuestre que la función u definida sobre el conjunto de los números reales R por u ( x )= x · e − x es una solución de la ecuación diferencial. E.3663 1 Determina la expresión de la función f verificando la siguiente ecuación diferencial : f = f f (0) = 2 Justifica tu respuesta. 2 Determina la expresión de la función g que verifica la siguiente ecuación diferencial : g = 2 · g g (0) = 1 Justifica tu respuesta. 3 Determina la expresión de la función h que verifica la siguiente ecuación diferencial : h = 2 · h h (0) = 2 Justifica tu respuesta. E.3664 1 Considere la ecuación diferencial : ( E ) : y + y = e − x Demuestre que la función u definida sobre el conjunto de los números reales R por: u ( x ) = x · e − x es una solución de la ecuación diferencial ( E ) . 2 Sea f la función definida en R por: f ( x ) = 9 2 · e − 2 x − 3 · e − 3 x Demuestre que la función f verifica la ecuación diferen-cial: y + 2 y = 3 · e − 3 x https://chingmath.fr chapExoCorrec/6004 sacados/6004 chapExoCorrec/5223 sacados/5223 chapExoCorrec/3950 sacados/3950 chapExoCorrec/6917 sacados/6917 sacados/3647 chapExoCorrec/3663 sacados/3663 chapExoCorrec/3664 sacados/3664
-2-1I-12JOCfCgChCk E.3673 Buscamos determinar el conjunto de funciones f , definidas y derivables en el intervalo 0 ; + ∞ que verifican la condición ( E ) : para cualquier número real estrictamente positivo x : x · f ( x ) − f ( x ) = x 2 · e 2 x 1 Demuestre que si una función f , definida y derivable en el intervalo 0 ; + ∞ , verifica la condición ( E ) , entonces la función g definida en el intervalo 0 ; + ∞ por: g ( x ) = f ( x ) x verifica: ( E ) : pour cualquier número real x estrictamente positivo: g ( x ) = e 2 x 2 Conjetura la expresión de las funciones g verificando : g ( x ) = e 2 x 3 ¾Cuál es la función definida y derivable en el intervalo 0 ; + ∞ que verifica la condición ( E ) y se anula en 1 2 ? E.3690 Para cualquier real k positivo o cero, considere la función f k definida en R por: f k ( x ) = x + 1 − k · e x 1 + k · e x 1 Justifica que, para cualquier k real positivo o cero, la función f k es solución de la ecuación diferencial : ( E ) : 2 · y = ( y − x ) 2 + 1 . 2 Deduce el sentido de las variaciones de f k en R . E.8474 Consideremos la ecuación diferen-cial: y + 3 · y x = 1 y la función f definida en R ∗ por: f ( x )= 1 x 3 + x 4 Demuestre que la función f es una solución de esta ecuación diferencial. E.8475 Considere la ecuación diferencial : 2 · y + x · y =0 Demuestre que la función f definida en R a continuación es una solución de esta ecuación diferencial : f ( x ) = e − x 2 4 9. Ecuaciones diferenciales: y = ay E.3679 Resuelve en R las ecuaciones diferen-ciales: a y = − 3 y b y − y = 0 c 5 y − 2 y = 0 d y = − 3 y E.3680 Para cada pregunta, determine el valor de a ∈ R para que la función f sea solución de la ecuación diferencial : y = a · y a f ( x ) = − 3 · e 4 x b f ( x ) = 4 · e 0 , 2 x E.3681 Determinar las soluciones de las sigu-ientes ecuaciones diferenciales : a y − 3 y = 0 ; f (0) = 2 b 2 y + 3 y = 0 ; f (0) = − 1 c 3 y − 2 y = 0 ; f 3 2 = 2 d y − 3 y = 0 ; f (6) = e 3 E.3683 En el marco de referencia a continuación se representan cuatro curvas representativas de funciones que verifican la ecuación diferencial : y = a · y para a ∈ R . Observando las tangentes a estas curvas en el punto de ab-scisa 0 , determina la ecuación diferencial verificada por cada una de estas funciones. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3673 sacados/3673 chapExoCorrec/3690 sacados/3690 chapExoCorrec/8474 sacados/8474 chapExoCorrec/8475 sacados/8475 chapExoCorrec/3679 sacados/3679 chapExoCorrec/3680 sacados/3680 chapExoCorrec/3681 sacados/3681 chapExoCorrec/3683 sacados/3683 -2-1I-12JOCfCgChCk
-2-1I-12JOCfCgChCk E.3682 A continuación se muestran, en el marco de referencia, cuatro curvas que representan funciones que sat-isfacen la ecuación diferencial : y = y . Determina las condiciones iniciales que definen cada una de estas funciones. 10. Ecuaciones diferenciales: y = ay + b E.3692 Resuelve las siguientes ecuaciones difer-enciales : a y + y = 2 b y − 3 · y = − 3 c 6 · y = 3 · y + 2 d 5 · y = 3 2 · y + 1 3 E.3693 Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales : a 4 · y − y = 4 ; y (1) = e b 15 · y + 24 · y = 12 ; y 5 4 = 2 c − 3 2 · y + 1 4 · y = − 1 ; y (3) = 6 + 2 · e 11. Ecuaciones diferenciales: y = ay + f E.3685 Considera la función f definida en el intervalo 0 ; + ∞ por: f ( x ) = ln e 2 x − 1 e x Compruebe que f es una solución de la ecuación diferencial : y + y = e x e x − 1 − e x e x + 1 E.3686 Sea f la función definida en R por: f ( x ) = e − 2 x · ln 1 + 2 · e x Consideremos la ecuación diferencial : ( E ) : y + 2 · y = 2 · e − x 1 + 2 · e x 1 Verifique que la función f es solución de ( E ) . 2 Demuestra que una función ’ es solución de ( E ) si, y solo si, ’ − f es solución de la ecuación diferencial : ( E ) : y + 2 y = 0 . 3 Resuelve ( E ) y deduce las soluciones de ( E ) . E.4304 Considera las dos ecuaciones difer-enciales : ( E ) : y + y = e − x ( E ) : y + y = 0 1 Demuestre que la función u definida en el conjunto de los números reales R por u ( x )= x · e − x es una solución de la ecuación diferencial ( E ) . 2 Resuelve la ecuación diferencial ( E ) . 3 Sea v una función definida y derivable en R . Demuestre que la función v es una solución de la ecuación diferen-cial ( E ) si, y sólo si, la función v − u es una solución de la ecuación diferencial ( E ) . 4 Deduce todas las soluciones de la ecuación diferencial ( E ) . 5 Determinar la solución única g de la ecuación diferencial ( E ) tal que g (0) = 2 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3682 sacados/3682 -2-1I-12JOCfCgChCk chapExoCorrec/3692 sacados/3692 chapExoCorrec/3693 sacados/3693 Extrait de repere - Hachette chapExoCorrec/3685 sacados/3685 chapExoCorrec/3686 sacados/3686 Antilles-Guyane Septembre 2000 sacados/4304
E.3655 Sea f la función definida en R por: f ( x ) = 9 2 · e − 2 x − 3 · e − 3 x Sea la ecuación diferencial : ( E ): y +2 y =3e − 3 x . 1 Resuelve la ecuación diferencial : ( E ): y +2 y =0 . 2 Deduce que la función h definida en R por: h ( x ) = 9 2 · e − 2 x es una solución de ( E ) . 3 Comprueba que la función g definida en R por: g ( x ) = − 3e − 3 x es solución de la ecuación ( E ) . 4 Observando que f = g + h , demuestre que f es una solu-ción de ( E ) . E.3678 La función f se define en el inter-valo 0 ; + ∞ mediante : f ( x ) = 20 x + 10 · e − 1 2 x Se denota por y ( t ) el valor, en grados Celsius, de la tem-peratura de una reacción química en el instante t , siendo t expresado en horas. El valor inicial, en el instante t =0 , es y (0)=10 . Se admite que la función que, para todo número real t perteneciente al intervalo 0 ; + ∞ , asocia y ( t ) , es solución de la ecuación diferencial ( E ) : ( E ) : y + 1 2 y = 20 · e − 1 2 t 1 Verificar que la función f es solución de la ecuación difer-encial ( E ) en el intervalo 0 ; + ∞ . 2 Se propone demostrar que esta función f es la única solu-ción de la ecuación diferencial ( E ) , definida en el inter-valo 0 ; + ∞ , que toma el valor 10 en el instante 0 . a Denotemos por g cualquier solución de la ecuación diferencial ( E ) , definida en 0 ; + ∞ que verifica g (0)= 10 . Demostrar que la función g − f es solución, en el intervalo 0 ; + ∞ , de la ecuación diferencial : ( E ) : y + 1 2 · y = 0 b Resolver la ecuación diferencial ( E ) . c Concluir. E.3684 Parte A - Resolución de una ecuación diferencial. Consideremos la ecuación diferencial : y − 2 y = e 2 x ; ( E ) 1 Demostrar que la función u definida en R por: u ( x ) = x · e 2 x es una solución de ( E ) . 2 Resolver la ecuación diferencial : y − 2 · y = 0 ( E 0 ) 3 Demostrar que una función v definida en R es solución de ( E ) si y solo si v − u es solución de ( E 0 ) . 4 Deduzca todas las soluciones de la ecuación ( E ) . 5 Determine la función, solución de ( E ) , que toma el valor 1 en 0 . Parte B - Estudio de una función. El plano se refiere al sistema de coordenadas ortonormales O ; −→ i ; −→ j . Sea la función f definida en R por: f ( x ) = x + 1 · e 2 x Se observa C la curva representativa de f en el sistema de coordenadas O ; −→ i ; −→ j . 1 Estudiar el límite de f en + ∞ y luego el límite de f en −∞ . 2 Sea x un número real. Calcular f ( x ) . Estudiar las variaciones de f y elaborar su tabla de varia-ciones. Especificar el signo de f ( x ) para cualquier número real x . Parte C - Resolución de una ecuación. 1 Demostrar que la ecuación f ( x )=2 admite una solución única x 0 en el intervalle 0 ; 2 ; 0 ; 3 . 2 Copie y complete la siguiente tabla : x 0 ; 05 0 ; 1 0 ; 15 0 ; 2 0 ; 25 0 ; 3 f ( x ) Los valores de f ( x ) se redondearán con una precisión de 10 − 2 por defecto. 3 En el papel milimetrado que se muestra a continuación, donde las unidades son 10 cm en abscisas y 5 cm en orde-nadas, traza el arco de la curva C para x perteneciente a 0 ; 0 ; 3 . Hacer aparecer x 0 en el gráfico. https://chingmath.fr sacados/3655 Extrait Antilles Guyane Juin 2008 sacados/3678 Extrait France Septembre 2005 chapExoCorrec/3684 sacados/3684
E.3687 Buscamos resolver la ecuación diferencial : (1) : y − 2 y = x · e x 1 Resuelve la ecuación diferencial : (2) : y − 2 y = 0 , donde y denota una función derivable en R . 2 Sean a y b dos números reales y sea u la función definida en R por: u ( x ) = a · x + b · e x a Determinar a y b de forma que u sea solución de la ecuación (1) . b Demuestre que v es una solución de la ecuación (2) si, y sólo si, u + v es una solución de (1) . c Deduce el conjunto de soluciones de (1) . 3 Determina la solución de la ecuación (1) que se cancela en 0 . E.3966 Consideremos la ecuación diferen-cial: ( E ): y =2 · y +cos x 1 Determina dos números reales a y b tales que la función f 0 definida en R por: f 0 ( x )= a · cos x + b · sin x sea una solución f 0 de ( E ) . 2 Resuelve la ecuación diferencial : ( E 0 ) : y =2 · y . 3 Demuestre que f es una solución de ( E ) si, y sólo si, f − f 0 es una solución de ( E 0 ) . 4 Deduce las soluciones de ( E ) . 5 Determina la solución k de ( E ) verificando k ı 2 =0 E.3689 Consideremos la ecuación diferen-cial: ( E ) : y − 3 y = − 3 e 1 + e − 3 x 2 Dada una función ’ derivable en R y la función f definida en R por: f ( x )=e − 3 x · ’ ( x ) . 1 Demuestre que f es derivable en R y para cualquier x real, exprese ’ ( x ) − 3 · ’ ( x ) como una función de f ( x ) . 2 Determina f de modo que ’ sea solución de ( E ) en R y verifica: ’ (0)= e 2 . 12. Otras ecuaciones diferenciales E.3676 Se busca modelar de dos maneras diferentes la evolución del número, expresado en millones, de hogares franceses que poseen un televisor de pantalla plana, en función del año. Sea g ( x ) el número, expresado en millones, de dichos hogares en el año x . Se establece x =0 en 2005 , g (0)=1 y g es una solución que no se anula en 0 ; + ∞ de la ecuación diferencial : ( E ) : y = 1 20 · y · (10 − y ) 1 Consideramos una función y que no se anula en 0 ; + ∞ y ponemos z = 1 y a Demostrar que y es solución de ( E ) si, y solo si, z es solución de la ecuación diferencial : ( E 1 ) : z = − 1 2 · z + 1 20 b Resolver la ecuación ( E 1 ) y deducir las soluciones de la ecuación ( E ) . 2 Demuestre que g está definida en 0 ; + ∞ por: g ( x ) = 10 9e − 1 2 x + 1 3 Estudie las variaciones de g en 0 ; + ∞ . 4 Calcular el límite de g en + ∞ e interpretar el resultado. 5 ¾En qué año superará los 5 millones el número de hogares que poseen este tipo de equipamiento? E.3691 En realidad, en un sector obser-vado de una región determinada, un depredador impide ese crecimiento matando una cierta cantidad de roedores. Se de-nota u ( t ) el número de roedores vivos en el tiempo t (expre-sado en años) en esa región, y se admite que la función u , así definida, satisface las condiciones : ( E 2 ) u ( x ) = u ( t ) 4 − u ( t ) 2 12 pour t ∈ R ∗ + u (0) = 1 donde u designa la función derivada de la función u . 1 Supongamos que, para todo número real positivo t , se tiene u ( t ) > 0 . Consideramos, en el intervalo 0 ; + ∞ , la función h definida por h = 1 u . Demostrar que la función u cumple las condiciones ( E 2 ) si, y solo si, la función h cumple las condiciones : ( E 3 ) h ( t ) = − 1 4 · h ( t ) + 1 12 pour t ∈ R ∗ + h (0) = 1 donde h designa la función derivada de la función h . 2 Dar las soluciones de la ecuación diferencial : y = − 1 4 · y + 1 12 y deduzca la expresión de la función h , y luego la de la función u . 3 En este modelo, ¾cómo se comporta el tamaño de la población estudiada cuando t tiende a + ∞ ? https://chingmath.fr chapExoCorrec/3687 sacados/3687 Antilles-uyane Juin 2001G chapExoCorrec/3966 sacados/3966 Extrait Amerique du Sud Novembre 2007 sacados/3689 Extrait France Septembre 2003 chapExoCorrec/3676 sacados/3676 chapExoCorrec/3691 sacados/3691 Extrait France Juin 2005
E.3773 Proponemos determinar todas las funciones f definidas y derivables en el intervalo 0 ; + ∞ verificando la ecuación diferencial : ( E ) : x · f ( x ) − (2 x + 1) · f ( x ) = 8 · x 2 1 a Demuestre que si f es una solución de ( E ) entonces la función g definida en el intervalo 0 ; + ∞ por: g ( x ) = f ( x ) x es una solución de la ecuación diferencial : ( E ) : y = 2 · y + 8 b Demuestre que si h es una solución de ( E ) entonces la función f definida por f ( x )= x · h ( x ) es una solución de ( E ) . 2 Resuelve ( E ) y deduce todas las soluciones de ( E ) . E.3646 1 Sea f una función definida y derivable en el intervalo 0 ; + ∞ verificando para cualquier número real x estric-tamente positivo: xf ( x ) − f ( x ) = x 2 · e 2 x Sea g la función definida en 0 ; + ∞ por: g ( x )= f ( x ) x Demuestre que para cualquier número real estrictamente positivo x , tenemos : g ( x ) = e 2 x 2 Consideremos la función h definida en el intervalo 0 ; + ∞ por: h ( x ) = 1 2 x e 2 x − e 2 x Determina, según los valores del número real positivo x , el signo de h ( x ) . E.3688 Se denomina ( E ) a la ecuación difer-encial: y  − y = 0 , donde y es una función numérica definida y dos veces deriv-able en el conjunto R de los números reales. 1 Determinar los números reales r tales que la función h , definida por h ( x )=e r · x , sea solución de ( E ) . 2 Verificar que las funciones ’ definidas por ’ ( x )= ¸ · e x + ˛ · e − x , donde ¸ y ˛ son dos números reales, son solu-ciones de ( E ) . Se admite que así se obtienen todas las soluciones de ( E ) . 3 Determinar la solución particular de ( E ) cuya curva rep-resentativa pasa por el punto de coordenadas ln 2 ; 3 4 y admite en ese punto una tangente cuyo coeficiente di-rector es 5 4 . 13. Curso - plan de estudios antiguo: Ecuaciones diferenciales E.3283 Requisitos previos: Las soluciones de la ecuación diferencial y = − –y son las funciones : x ↦−→ C e − λx donde C es una constante real. 1 Demuestre la existencia y la unicidad de la solución z de la ecuación diferencial ( E λ ): z = − ( –z +1) tal que z (0) = 1 . 2 Dé la expresión de esta función, que denotaremos por z 0 . E.3284 Consideremos la ecuación diferen-cial ( E ) : y = 1 16 · y 1 Se sabe que la función x ↦−→ e x 16 es solución de la ecuación diferencial ( E ) . Demuestre entonces que el con-junto de soluciones de la ecuación ( E ) es el conjunto de funciones, definidas en R , de la forma x ↦−→ K · e x 16 , donde K es un número real cualquiera. 2 Demuestre que existe una solución única de la ecuación diferencial ( E ) que toma el valor − 4 en 0 . 14. Ejercicios no clasificados E.10394 Consideremos la función f definida en R ∗ + por: f ( x ) = 2 · x · ln( x ) La primitiva F de la función f tal que F (1) = − 1 2 admite como expresión : a F ( x ) = x 2 · ln( x ) − 1 2 · x b F ( x ) = x · ln( x ) − 1 2 · x 2 c F ( x ) = x · ln( x ) − 1 2 · x d F ( x ) = x 2 · ln( x ) − 1 2 · x 2 E.10395 Consideremos la función f definida en R ∗ + por: f ( x ) = x 2 − 2 · e x La primitiva F de la función f tal que F (1) = − 1 2 tiene la expresión : a F ( x ) = x 2 − 2 · e x b F ( x ) = x 2 − 2 · x · e x c F ( x ) = x 3 − 2 · e x d F ( x ) = x 3 − 2 · x · e x https://chingmath.fr chapExoCorrec/3773 sacados/3773 Metropole et La reunion Septembre 2008 sacados/3646 sacados/3688 chapExoCorrec/3283 sacados/3283 Extrait de France Septembre 2006 chapExoCorrec/3284 sacados/3284 sacados/10394 sacados/10395