Bachillerato 2 / Límites de funciones numéricas 100 ejercicios (incluyendo 99 corregidos)

a
-5-102∞−∞-3-54-4,5xVariationdef −∞-21¸∞∞∞−∞-10∞xVariationdef ijC 1. Recordatorios generales E.3307 Cuestionario de respuesta múlti-ple: Para cada pregunta, sólo una de las tres respuestas es correcta. Una respuesta correcta puntúa 0 ; 5 punto una respuesta incor-recta resta 0 ; 25 punto ; ninguna respuesta puntúa 0 punto. Si el total de puntos es negativo, la nota global otorgada es 0 . . Sea f una función definida y derivable en el intervalo − 5 ; + ∞ cuya tabla de variaciones se da a continuación : La curva representativa de f es C : 1 En el intervalo − 5 ; + ∞ , la ecuación f ( x )= − 2 : a admite una única solución b admite dos soluciones c admite cuatro soluciones. 2 En el intervalo − 5 ; + ∞ , la función f : a admite como mínimo el valor − 5 ; b admite por máximo el valor 4 ; c admite dos máximos. 3 Sabemos que la ecuación de la tangente a C en el punto de abscisa 2 es : a y = 4 b y = 4( x − 2) c x = 4 E.3311 Consideremos una función f definida y derivable en cada uno de los intervalos −∞ ; − 2 y − 2 ; + ∞ . La función f admite la siguiente tabla de variaciones: donde ¸ es el número real estrictamente mayor que 1 tal que f ( ¸ )=0 . La representación gráfica de la función f en un sistema de referencia ortonormal O ; −→ i ; −→ j se llama C . Di para cada una de las cinco afirmaciones siguientes si es ˇ verdadera ı o si es ˇ falso ı o si ˇ no puede conclure ı. No se requiere justificación. El baremo es el siguiente : 0 ; 5 punto por respuesta correcta; 0 ; 25 punto por respuesta incorrecta; 0 punto por no contestar. No habrá nota global negativa. 1 La ecuación f ( x )=1 tiene exactamente dos soluciones. 2 f ( x ) 0 para todo x ∈ − 5 ; − 2 . 3 Si − 2 <x< 1 y x<x entonces f ( x ) <f ( x ) . 4 f ( x ) 0 para cualquier x ∈ −∞ ; − 2 . E.5018 El plano está provisto de un sis-tema de referencia ortonormal O ; −→ i ; −→ j . Consideremos una función f derivable en el intervalo − 3 ; 2 . Se dispone de la siguiente información : f (0)= − 1 la derivada f de la función f admite la curva represen-tativa C a continuación. Para cada una de las siguientes afirmaciones, di si es ver-dadera o falsa y justifica la respuesta. 1 Para cualquier real x en el intervalo − 3 ; − 1 , f ( x ) 0 . 2 La función f es creciente en el intervalo − 1 ; 2 . 3 Para cualquier x real en el intervalo − 3 ; 2 : f ( x ) − 1 . 4 Sea C la curva representativa de la función f . La tan-gente a la curva C en el punto de abscisa 0 pasa por el punto de coordenadas (1 ; 0) . 2. Recordatorios: polinomios de segundo grado E.3343 Cada uno de estos polinomios admite al menos una raíz del siguiente conjunto : − 2 ; − 1 ; 1 ; 2 Utiliza esta información para realizar " rápidamente "la fac-torización de cada uno de los siguientes polinomios: a x 2 + 2 x − 8 b 2 x 2 − 4 x − 6 c x 2 + x − 6 d 3 x 2 − 4 x + 1 e x 3 + x 2 − 2 x f 5 x 2 + 3 x − 2 https://chingmath.fr chapExoCorrec/3307 sacados/3307 -5-102∞−∞-3-54-4,5xVariationdef chapExoCorrec/3311 sacados/3311 −∞-21¸∞∞∞−∞-10∞xVariationdef chapExoCorrec/5018 sacados/5018 Metropole Juin 2012 4 points ijC chapExoCorrec/3343 sacados/3343
-7-6-5-4-3-2-12I-3-2-12JOCfCg -2-123456I-2-12JOCf E.3344 Elabora la tabla de variaciones de cada uno de los siguientes polinomios de segundo grado : a x 2 − 5 x + 1 b − 3 x 2 + x − 1 c 2( x + 1)(2 x − 1) d (2 − x )(4 + x ) E.3860 Resuelve las siguientes ecuaciones : a 3 x 2 + 4 x + 1 = 0 b 3 x 2 − 4 x + 2 = 0 c − x 2 + 2 x + 3 = 0 d 2 x 2 − 4 x + 2 = 0 e − 3 x 2 + 3 x + 3 = 0 f − x 2 + 4 x + 3 = 0 E.4986 Factoriza, si es posible, los polinomios de segundo grado siguientes : a 3 x 2 + 4 x + 1 b − 3 x 2 + 4 x − 1 c − 4 x 2 + 5 x d x 2 + 2 x − 1 e − x 2 + 4 x + 1 f 3 x 2 − 4 x + 2 E.4987 En el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J , consideremos las curvas C f y C g repre-sentativas de las funciones f y g definidas por: f ( x ) = x 2 + x − 2 ; g ( x ) = − 1 4 · x 2 − 2 · x − 2 Las preguntas siguientes deben responderse algebraicamente : 1 Determina los antecedentes de 0 por las funciones f y g . 2 a Determinar las coordenadas de los puntos de inter-sección de las curvas C f y C g . b Deduce la posición relativa de estas dos curvas. 3. Recordatorios: derivados E.3304 Consideremos la función f cuya imagen de x ∈ R viene definida por el siguiente polinomio de segundo grado : f ( x ) = x 3 − 2 x 2 + x − 3 1 a Determina la expresión de la derivada f de la fun-ción f . b Determina la tabla de signos de la función f en R . 2 Deduce la tabla de variaciones de la función f (com-pletaremos la tabla de variaciones utilizando valores re-dondeados) . 3 Utilizando la tabla de variaciones, justifica que la ecuación f ( x ) = 0 tiene solución única. E.4996 Consideremos la función f definida por: f : x ↦−→ − x 3 − 3 x 2 − 2 x 1 Determina los ceros de la función f . 2 a Dar la expresión de la función f derivada de la fun-ción f . b Elabora la tabla de variaciones de la función f en R . (se omitirán los valores de la tabla de variaciones) E.4988 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = 1 3 · x 3 − 3 2 · x 2 + x + 1 . Damos a continuación la curva C f representativa de la función f en la referencia O ; I ; J : Observa (Δ) la tangente a la curva C f en el punto de abscisa 3 . 1 a Determinar las coordenadas del punto de la curva C f con abscisa 3 . b Determinar el coeficiente director de la recta (Δ) . c Traza la recta (Δ) en el punto de referencia. 2 Determina, algebraicamente, la ecuación reducida de la recta (Δ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3344 sacados/3344 chapExoCorrec/3860 sacados/3860 chapExoCorrec/4986 sacados/4986 chapExoCorrec/4987 sacados/4987 -7-6-5-4-3-2-12I-3-2-12JOCfCg chapExoCorrec/3304 sacados/3304 chapExoCorrec/4996 sacados/4996 chapExoCorrec/4988 sacados/4988 -2-123456I-2-12JOCf
IJO -12-8-44812I-12-8-44812JOCf E.3310 Sea la ecuación ( E ): 1 x = x − 2 , donde la incógnita es un número real del intervalo 0 ; + ∞ . 1 Un alumno ha representado en su calculadora la hipér-bola de ecuación y = 1 x y la recta de ecuación y = x − 2 . A la vista del gráfico ante-rior obtenido en la pantalla de su calculadora, ¾cuántas soluciones parece admitir la ecuación ( E ) en 0 ; + ∞ 2 Un segundo alumno considera la función g definida en 0 ; + ∞ por: g ( x ) = x − 2 − 1 x a Se denota g la función derivada de g . Calcular g ( x ) . Demostrar que g es estrictamente creciente en 0 ; + ∞ . b Determinar las imágenes, mediante la función g , de los números 1 y 4 . Conjeturar el número de soluciones de la ecuación ( E ) . 3 Un tercer alumno dice : ˇPuedo resolver la ecuación ( E ) algebraicamenteı. Justificar, resolviendo la ecuación ( E ) , que este tercer alumno tiene razón. 4. Introducción a los límites de funciones E.4989 Consideremos la función f definida por: f : x ↦−→ x + 1 x 1 Indique el conjunto de definición de la función f . 2 a Mediante cálculos mentales, complete la tabla de val-ores siguiente : x 1 10 100 1000 f ( x ) b ¾Qué se puede decir del valor de ˇ f ( x ) ı cuando ˇ x ı crece enormemente? 3 a Mediante cálculos mentales, complete la tabla de val-ores siguiente : x 1 10 − 1 10 − 2 10 − 3 f ( x ) b ¾Qué se puede decir del valor de ˇ f ( x ) ı cuando ˇ x ı sigue siendo positivo, pero se vuelve cada vez más pe-queño? A continuación se muestra la curva C f representativa de la función f en un sistema de coordenadas ortonormales O ; I ; J : 4 Interprete gráficamente los resultados de la pregunta 3 . E.2289 Consideremos la función f cuya imagen de un número x se define mediante la relación: f ( x ) = sin 1 x 1 Determina el conjunto de definición de la función f . 2 a Copia y completa la tabla de valores siguiente : x 1 2 ı 1 4 ı 1 40 ı 1 2 72 ı f ( x ) b Copie y complete la tabla de valores siguiente : x 2 ı 2 5 ı 2 41 ı 2 (2 101 +1) ı f ( x ) c ¾Se puede hablar de límite para esta función cuando x se aproxima a 0? 3 Trace la curva representativa C f de esta función y luego amplíe el origen del sistema de coordenadas. ¾Qué ve? https://chingmath.fr chapExoCorrec/3310 sacados/3310 IJO chapExoCorrec/4989 sacados/4989 -12-8-44812I-12-8-44812JOCf chapExoCorrec/2289 sacados/2289
-4-2024-224Cf -4-2024-224Cg -4-2024-224Cf -4-2024-224Cg -8-4481216I-12-8-44812JOCf E.5002 El plano está provisto de un sistema de referencia O ; I ; J ortonormales en las que están represen-tadas las curvas C f y C g representativas de las funciones f y g : Gráficamente, da, si es posible, el valor de los siguientes límites: a lim x ↦→ + ∞ f ( x ) b lim x ↦→−∞ f ( x ) c lim x ↦→ 1 + f ( x ) d lim x ↦→−∞ g ( x ) e lim x ↦→ + ∞ g ( x ) f lim x ↦→− 1 + g ( x ) E.647 El plano está provisto de un sistema de referencia O ; I ; J ortonormales en las que están represen-tadas las curvas C f y C g representativas de las funciones f y g : Gráficamente, da, si es posible, el valor de los siguientes límites: a lim x ↦→−∞ f ( x ) b lim x ↦→ + ∞ f ( x ) c lim x ↦→ 1 − f ( x ) d lim x ↦→−∞ g ( x ) e lim x ↦→ + ∞ g ( x ) f lim x ↦→− 1 − g ( x ) E.4990 Consideremos la función f definida por: f : x ↦−→ x + 2 x − 4 1 Indique el conjunto de definición de la función f . 2 Determine el valor de los números reales a y b que satis-facen la siguiente identidad para todo x ∈D f : f ( x ) = a + b x − 4 3 Utilizando la expresión obtenida en la pregunta anterior: a ¾Qué se puede decir del valor de f ( x ) cuando el valor de x crece indefinidamente? b ¾Qué se puede decir del valor de f ( x ) cuando x pertenece a 4 ; 5 y su valor se aproxima cada vez más a 4 ? c ¾Qué se puede decir del valor de f ( x ) cuando x pertenece a 3 ; 4 y su valor se aproxima cada vez más a 4 ? A continuación se muestra la curva C f representativa de la función f en un sistema de coordenadas ortonormales O ; I ; J : 4 Interpreta gráficamente los resultados obtenidos anteri-ormente. https://chingmath.fr chapExoCorrec/5002 sacados/5002 -4-2024-224Cf -4-2024-224Cg chapExoCorrec/647 sacados/647 -4-2024-224Cf -4-2024-224Cg chapExoCorrec/4990 sacados/4990 -8-4481216I-12-8-44812JOCf
-22I-224JO E.2308 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = 2 5 x 2 − 1 Observamos C f la curva representa-tiva de la función f en el sistema de referencia O ; I ; J ortonormal dada enfrente : El objetivo del ejercicio es deter-minar la ecuación reducida de la tangente, denotada ( T ) , a la curva C f en el punto de abscisa 1 . 1 a Demuestre que para h un número real distinto de cero, tenemos : f (1+ h ) − f (1) h = 4 5 + 2 5 · h . b Deduce el valor del número derivado f (1) de la función f en 1 . 2 a Justifica que la expresión de la tangente ( T ) es de la forma : y 06 + b b Dar las coordenadas del punto perteneciente a la curva C f que tiene abscisa 1 . c Determina la expresión reducida de la tangente ( T ) . 3 Dibuja la tangente ( T ) en el sistema de referencia ante-rior. E.6751 Gráficamente y con ayuda de la calcu-ladora, determine los siguientes límites: a lim x ↦→ + ∞ x − 1 3 − x b lim x ↦→ 1 − √ 1 − x x − 1 c lim x ↦→− 2 + − 2 · x 2 − 2 · x + 4 2 · x + 4 d lim x ↦→ 0 − x 2 + x · 1 − 1 x 5. Límites sin formas indeterminadas E.5704 Determina los límites siguientes : a lim x ↦→ 1 + x 2 − 3 x + 5 x − 1 b lim x ↦→ 1 + 5 − x 1 − x c lim x ↦→ 0 − x 2 + x + 1 x d lim x ↦→ 0 + x − 1 − x 3 E.5703 Determina el valor de los siguientes límites: a lim x ↦→ + ∞ x + 1 x b lim x ↦→ + ∞ x + 1 1 + 1 x c lim x ↦→−∞ x 2 − x + 2 d lim x ↦→−∞ x + 2 1 − x e lim x ↦→ 0 − x + 1 x f lim x ↦→ 1 + x − 1 x + x x − 1 6. Límites con formas indeterminadas E.3336 Sin determinar los límites, especifica cuáles tienen forma indeterminada : a lim x ↦→ + ∞ 1 + 1 x x 2 + 2 · x − 1 b lim x ↦→ 0 + x 2 + 2 · x x 3 − x 2 c lim x ↦→ 2 + x 2 − x − 2 · x − 2 d lim x ↦→ 0 + x − 1 x 2 + x e lim x ↦→−∞ x 3 − 2 x 2 + 1 f lim x ↦→ + ∞ x 3 − 2 x 2 + 1 E.6787 Sin determinar los límites, especifica cuáles tienen forma indeterminada : a lim x ↦→ + ∞ x + x b lim x ↦→ + ∞ x − x c lim x ↦→ 0 + x − 1 x d lim x ↦→ + ∞ x − 1 x e lim x ↦→ 0 + x + 1 x f lim x ↦→ + ∞ x + 1 x E.4993 Determina el valor de los siguientes límites: a lim x ↦→ + ∞ 2 · x 2 + 3 · x b lim x ↦→ + ∞ − 3 · x 3 + 2 x c lim x ↦→−∞ 5 · x 2 − 3 · x 3 d lim x ↦→ + ∞ x 2 + 2 · x − ( x + 2) 2 e lim x ↦→−∞ x 2 + 3 · x f lim x ↦→−∞ x 3 − 2 · x 2 E.5705 Determine el valor de los límites sigu-ientes : a lim x ↦→ + ∞ x 2 − x b lim x ↦→−∞ x 2 + x 3 c lim x ↦→ 0 + x 1 + 1 x d lim x ↦→ 2 − 5 ( x − 2) 2 − 3 x − 2 e lim x ↦→−∞ x 3 + x − 2 f lim x ↦→ 0 + x 2 + 1 x − x + 1 x 7. Límites de fracciones racionales en el infinito https://chingmath.fr chapExoCorrec/2308 sacados/2308 -22I-224JO chapExoCorrec/6751 sacados/6751 chapExoCorrec/5704 sacados/5704 chapExoCorrec/5703 sacados/5703 chapExoCorrec/3336 sacados/3336 chapExoCorrec/6787 sacados/6787 chapExoCorrec/4993 sacados/4993 chapExoCorrec/5705 sacados/5705
E.4992 1 Consideremos la función f definida por: f : x ↦−→ 3 x 2 + 5 x 3 x 3 + 4 x + 1 a Establecer la siguiente igualdad : 3 x 2 + 5 x 3 x 3 + 4 x + 1 = 3 + 5 x x · 3 + 4 x 2 + 1 x 3 b Deduce el valor del límite: lim x ↦→ + ∞ f ( x ) . 2 Consideremos la función g definida por: g : x ↦−→ 4 x 3 + 2 x + 1 2 x 3 − 2 x 2 Por razonamiento análogo al de la pregunta anterior, es-tablezca la siguiente igualdad : lim x ↦→ + ∞ g ( x ) = 2 E.607 Calcula el valor de los siguientes límites: a lim x ↦→ + ∞ x 2 + 2 x + 1 b lim x ↦→−∞ x − 3 2 · x 2 − 3 c lim x ↦→−∞ 4 · x 2 − 3 · x + 2 − 3 · x 2 d lim x ↦→−∞ x 5 + x 4 x 3 − x e lim x ↦→ + ∞ 5 · x 4 − 2 · x 3 3 · x 2 − 2 f lim x ↦→ + ∞ 2 · x 10 + x 6 · x 10 − 2 · x 3 8. Límites de fracciones racionales en 0 E.5013 Consideremos la función f cuya ima-gen de un número x está definida por la relación: f ( x )= 2 · x 3 − x x 3 +2 · x 2 1 Establece las siguientes identidades : f ( x ) = 2 − 1 x 2 1 + 2 x = 2 · x 2 − 1 x · ( x + 2) 2 Determine el valor de los siguientes límites: lim x ↦→ + ∞ f ( x ) ; lim x ↦→ 0 + f ( x ) E.4994 Determina el valor de los siguientes límites: a lim x ↦→ 0 + 1 x b lim x ↦→ 0 − 1 x c lim x ↦→ 0 − 3 x 2 d lim x ↦→ 0 + x 3 + 2 · x x 2 + x e lim x ↦→ 0 + − 2 · x 2 x 4 + x 3 f lim x ↦→ 0 − − 2 · x 2 x 4 + x 3 9. Límites de fracciones racionales con factorización E.635 Determina el valor de los siguientes límites: a lim x ↦→ 2 + 2 − x 2 · x 2 − x − 6 b lim x ↦→ 3 − x − 3 2 · x 2 − 15 · x + 27 c lim x ↦→ 1 − − 3 · x 2 + 7 · x − 4 ( x − 1) 2 d lim x ↦→− 2 + 3 · x 2 + 5 · x − 2 x 2 + 7 · x + 10 10. Límites de fracciones racionales con tabla de signos E.5014 Consideremos la función f definida por la relación: f ( x ) = x 2 + 3 · x 2 · x 2 − 10 · x + 12 1 Establezca las siguientes identidades : f ( x ) = 1 + 3 x 2 − 10 x + 12 x 2 = x · ( x + 3) ( x − 2)(2 · x − 6) 2 Elabore la tabla de signos de ( x − 2)(2 x − 6) . 3 Deduzca el valor de los siguientes límites: a lim x ↦→−∞ f ( x ) b lim x ↦→ + ∞ f ( x ) c lim x ↦→ 2 − f ( x ) d lim x ↦→ 2 + f ( x ) e lim x ↦→ 3 − f ( x ) f lim x ↦→ 3 + f ( x ) E.617 Determina el valor de cada uno de los siguientes límites: a lim x ↦→ 2 + 1 2 · x 2 − 5 · x + 2 b lim x ↦→ 2 + 1 2 · x 2 − 12 · x + 16 E.8656 Determina el valor de cada uno de los siguientes límites: a lim x ↦→− 1 − x + 4 3 x 2 − x − 4 b lim x ↦→ 1 − x 2 + x − 3 3 · x 2 − 7 · x + 4 11. Límites de fracciones racionales https://chingmath.fr chapExoCorrec/4992 sacados/4992 chapExoCorrec/607 sacados/607 chapExoCorrec/5013 sacados/5013 chapExoCorrec/4994 sacados/4994 chapExoCorrec/635 sacados/635 Ne fait intervenir que des simplifications chapExoCorrec/5014 sacados/5014 chapExoCorrec/617 sacados/617 Ne fait intervenir que des tableaux de signes chapExoCorrec/8656 sacados/8656
E.6801 Consideremos el polinomio P =3 · x 2 − x − 2 . 1 Factoriza el polinomio P dejando constancia de tu planteamiento. 2 Determina el valor de los dos límites siguientes : a lim x ↦→ 1 + 2 · x − 3 3 · x 2 − x − 2 b lim x ↦→ 1 + 2 · x − 2 3 · x 2 − x − 2 E.3337 Determine el valor de cada uno de los siguientes límites: a lim x ↦→ + ∞ 3 x 2 − x + 1 5 x 2 b lim x ↦→−∞ 2 x + 1 3 x 3 − x + 1 c lim x ↦→ 0 + x 16 − x 3 + x x 3 − x 2 d lim x ↦→ 0 − x 5 − x 4 x 6 − 2 · x 4 e lim x ↦→ 2 + 1 x 2 − x − 2 f lim x ↦→ 3 − x 2 − 6 x + 9 x 2 − 9 E.2808 Cada uno de los límites siguientes tiene una forma indeterminada. Demuestra el resultado esperado resaltando la transformación algebraica correcta: a lim x ↦→ 0 − 1 x 2 + 1 x = + ∞ b lim x ↦→ + ∞ 5 x 2 + 3 2 x 2 − 3 x + 1 = 5 2 c lim x ↦→ 3 x 2 − 5 x + 6 x − 3 = 1 E.3367 Determina el valor de cada uno de los siguientes límites: a lim x ↦→ + ∞ 3 x 6 + 2 x 3 2 x 8 − x 3 b lim x ↦→ 0 3 x 5 − x 3 x 4 + x 3 c lim x ↦→ 3 + 1 − 2 x 2 + 4 x + 6 d lim x ↦→ 2 + x 2 − 3 x + 2 − 3 x 2 + 5 x + 2 E.5011 Determina el valor de los siguientes límites: a lim x ↦→ + ∞ 2 · x 3 + x − 2 − x 2 − 2 b lim x ↦→ 0 + 3 · x 3 − 2 · x 2 x 4 + x 3 c lim x ↦→ 3 + x − 6 2 x 2 − 15 x + 27 d lim x ↦→− 1 + 2 x 2 + 5 x + 3 − x 2 + x + 2 E.5749 Determina el valor de los siguientes límites: a lim x ↦→−∞ x 4 − 3 x 2 x 2 − 4 x 4 b lim x ↦→− 2 + x − 1 2 x 2 + 5 x + 2 c lim x ↦→ 2 + 4 − 2 x 3 x 2 − 4 x − 4 E.5026 Determina el valor de los siguientes límites: a lim x ↦→ 0 + 1 x − x 2 b lim x ↦→− 1 + x 2 + 6 x + 3 2 · x 2 + x − 1 c lim x ↦→ + ∞ 3 x 2 + 14 x − 4 x + 5 − 3 x + 1 E.3641 Determina el valor de cada uno de los siguientes límites: a lim x ↦→ + ∞ 5 x 2 + 3 x − 1 3 x 3 + 2 x b lim x ↦→ 0 − 3 x 4 − 2 x x 3 + x 2 c lim x ↦→ 2 + x 2 − 4 x + 4 − 2 x 2 + 10 x − 12 d lim x ↦→− 1 + 1 2 x 2 + x − 1 E.2960 Cada uno de los límites siguientes rep-resenta una forma indeterminada ; realiza las transforma-ciones algebraicas adecuadas para determinar cada uno de sus límites: a lim x ↦→ 1 + 1 x − 1 − 1 x 2 + x − 2 b lim x ↦→−∞ 5 x 2 − 3 x + 1 2 x 2 + x − 2 12. Límites y radicales: expresión conjugada E.4991 1 Establece la siguiente igualdad algebraica para x ∈ R ∗ : x x 2 + 1 − x + 1 = x 2 + 1 + x + 1 x − 1 2 Deduce el valor del límite: lim x ↦→ 0 + x x 2 + 1 − x + 1 = − 2 E.3338 Determina el valor de cada uno de los siguientes límites: a lim x ↦→ 1 + 1 − x x + 3 − 2 b lim x ↦→− 1 + x + 1 x 2 + 4 x + 3 E.8657 Cada uno de los límites siguientes rep-resenta una forma indeterminada ; realiza las transforma-ciones algebraicas adecuadas para determinar cada uno de sus límites: a lim x ↦→ + ∞ x x − x c lim x ↦→ 2 − x − 2 2 x − 2 E.3435 Determina el valor de los límites: a lim x ↦→−∞ x 2 − 7 + x b lim x ↦→ 1 − x 2 − 1 5 − x − 2 E.8660 Determine the limit: lim x ↦→ + ∞ x x − x + 1 13. Límites y radicales: factorización E.6757 Consideremos la función f definida en R por: f ( x ) = 2 · x + 1 x 2 + 1 1 Justifique que la función f está definida en R . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6801 sacados/6801 chapExoCorrec/3337 sacados/3337 Fait intervenir des tableaux de signes et des simplifications chapExoCorrec/2808 sacados/2808 chapExoCorrec/3367 sacados/3367 chapExoCorrec/5011 sacados/5011 chapExoCorrec/5749 sacados/5749 chapExoCorrec/5026 sacados/5026 chapExoCorrec/3641 sacados/3641 chapExoCorrec/2960 sacados/2960 chapExoCorrec/4991 sacados/4991 chapExoCorrec/3338 sacados/3338 chapExoCorrec/8657 sacados/8657 chapExoCorrec/3435 sacados/3435 chapExoCorrec/8660 sacados/8660 Fait intervenir la valeur absolue pour simplification chapExoCorrec/6757 sacados/6757
-101234567-1123ijJKABTC 2 Establezca la siguiente identidad : f ( x ) = x · 2 + 1 x | x |· 1 + 1 x 2 3 Deduzca los dos límites siguientes : lim x ↦→−∞ f ( x ) ; lim x ↦→ + ∞ f ( x ) E.8658 Determine the limit: lim x ↦→ 3 − 3 − x 2 x 2 − 5 x − 3 E.8659 Cada uno de los límites siguientes tiene una forma indeterminada. Demuestra el resultado esperado resaltando la transformación algebraica correcta: a lim x ↦→ 1 − 1 − x 1 − x = 0 b lim x ↦→ 1 − x − 1 x − 1 = 1 2 c lim x ↦→ - 2 3 + 2 x − 1 3 x + 2 · 3 x + 2 = - ∞ E.3454 1 Demuestra que, para x ∈ −∞ ; − 1 √ 3 , tenemos : 3 x 2 − 1 + x = x · 1 − 3 − 1 x 2 2 Deduce el valor del siguiente límite: lim x ↦→−∞ 3 x 2 − 1 + x E.5003 Consideremos la función f definida por la relación: f : x ↦−→ x 3 + x 2 x 1 Determina el conjunto de definición de la función f . 2 a Para x ∈ − 1 ; 0 , establece la igualdad : f ( x )= − x +1 b Determina el valor del límite lim x ↦→ 0 − f ( x ) . 3 Determina el valor del límite lim x ↦→ 0 + f ( x ) . 4 ¾Podemos hablar del límite de la función f en 0 . E.8661 Determina el valor de los sigu-ientes límites: a lim x ↦→ + ∞ x 2 + x + 1 x − 1 b lim x ↦→−∞ x 2 + 1 x E.8663 Determina el límite: lim x ↦→−∞ x 4 · x 2 − 3 x + 1 14. Asimetría E.3434 Consideremos la función f definida por: f ( x ) = 4 x − 4 x + 1 1 Determina el conjunto de definición de la función f . 2 Investigar los límites de la función f en los límites de su conjunto de definición. 3 Especificar si la curva C f , representativa de la función f admite asíntotas ; se especificarán sus características. E.5714 Trazando la curva representativa de las funciones con la calculadora o con un software de trazado, haz una conjetura sobre el conjunto de definición y las asíntotas a la curva de cada una de las funciones siguientes : a f ( x ) = 1 x 2 + 1 b g ( x ) = x + 1 x 2 − 1 c h ( x ) = x 2 − 3 x + 2 x − 1 d j ( x ) = ( x 2 +1) x 2 − 2 x +1 x − 1 15. Estudio de fracciones racionales E.3303 En la figura siguiente, hemos dibu-jado la curva representativa C de una función f derivable en − 3 2 ; + ∞ . Los puntos J − 3 2 ; − 3 2 , K ( − 1 ; 0) , A 1 ; 11 4 , B (2 ; 2) are C points ; La tangente en C en A es paralela al eje x. La tangente a C en B pasa por T (4 ; 0) . La recta de ecuación y =1 es asíntota a C en + ∞ . La función f es estrictamente creciente en − 3 2 ; 1 y es-trictamente decreciente en 1 ; + ∞ . 1 Dar los valores de f − 3 2 , f ( − 1) , f (1) , f (2) así como el límite de f en + ∞ . 2 Indique, justificando sus respuestas, los números f (1) y f (2) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/8658 sacados/8658 chapExoCorrec/8659 sacados/8659 chapExoCorrec/3454 sacados/3454 Fait intervenir la valeur absolue pour simplification chapExoCorrec/5003 sacados/5003 Fait intervenir la valeur absolue pour simplification chapExoCorrec/8661 sacados/8661 Fait intervenir la valeur absolue pour simplification chapExoCorrec/8663 sacados/8663 chapExoCorrec/3434 sacados/3434 chapExoCorrec/5714 sacados/5714 chapExoCorrec/3303 sacados/3303 -101234567-1123ijJKABTC
-6-5-4-3-2-123456I-1234JO -6-4-20246-224C1 -6-4-20246-6-4-2C2 -6-4-20246-224C3 -6-4-20246-224C4 E.5004 Consideremos la función f definida por: f : x ↦−→ x 2 + 4 x − 1 x 2 − 2 x + 5 1 Determinar el conjunto de definición de la función f . 2 a Determinar los límites de la función f en los ex-tremos de su conjunto de definición. b ¾Qué asíntotas admite la función f ? 3 a Establecer que la función f derivada de la función f admite la expresión : f ( x ) = − 6 x 2 + 12 x + 18 x 2 − 2 x + 5 2 b Elaborar la tabla de variaciones de la función f . 4 Determinar la ecuación reducida de la tangente (Δ) a la curva C f en el punto de abscisa 1 . 5 Traza la recta (Δ) , las asíntotas a la curva C f y luego la curva C f en el sistema de coordenadas ortonormales O ; I ; J que se muestra a continuación : E.5025 Consideremos la función f definida en R por la relación: f ( x ) = x 3 − 4 x 2 + x + 12 4 · x 2 + 4 Observa C f la curva representativa de la función f en un sis-tema de referencia ortonormal. 1 Determina los límites de la función f en −∞ y en + ∞ . 2 a Determina el valor de los reales a y b verificando la igualdad : f ( x ) = a · x + b + 16 4 · x 2 + 4 b Observa ( d ) la recta con ecuación : y = 1 4 · x − 1 . Investiga la posición relativa de la curva C f y la recta ( d ) . 3 Determina el valor del límite: lim x ↦→ + ∞ f ( x ) − 1 4 · x − 1 4 A continuación se muestran las cuatro curvas C 1 , C 2 , C 3 , C 4 . Cuál de ellas es la curva C f representativa de la función f ? https://chingmath.fr chapExoCorrec/5004 sacados/5004 -6-5-4-3-2-123456I-1234JO chapExoCorrec/5025 sacados/5025 -6-4-20246-224C1 -6-4-20246-6-4-2C2 -6-4-20246-224C3 -6-4-20246-224C4
-2-123456I-3-2-12345JO -4-3-2-1234I-4-3-2-1234JOCf(d E.3433 Sea f definida en el conjunto − 2 ; 1 ∪ 1 ; + ∞ y cuya imagen de un número x se define mediante la relación: f ( x ) = − ( x − 2) 2 2 · ( x − 1) · ( x + 2) En el plano provisto de un sistema de coordenadas O ; I ; J , se denota C f la curva representativa de la función f . 1 a Determinar los límites de la función f en los ex-tremos de su conjunto de definición. b Especificar las posibles asíntotas de la curva C f y sus características. 2 Se denota ( d ) a la recta de ecuación y = − 1 2 . a Determinar el valor de los reales a , b , c que satisfacen la siguiente igualdad : f ( x ) = a + b · x + c 2 · ( x − 1) · ( x + 2) b Deduzca la posición de la curva C f con respecto a la recta ( d ) sur l’intervalle 1 ; + ∞ 3 a Determinar la expresión de la función derivada f de la función f . b Justificar que la curva C f admite en los puntos de ab-scisas 2 5 y 2 tangentes horizontales. c Elaborar la tabla de variaciones de la función f ; se admitirá que la imagen de 2 5 por la función f es 8 9 . 4 Determinar la ecuación de la tangente ( T ) a la curva C f en el punto de abscisa 0. 5 Trazar la curva C f en el sistema de coordenadas que se proporciona en el anexo; se representarán las asíntotas y las tangentes horizontales a la curva C f , así como las rectas ( d ) y ( T ) . E.6802 Consideremos la función f definida en R \ − 2 3 por: f ( x ) = 3 · x 2 + 5 · x + 4 3 · x + 2 Denotemos por C f la representación de la función f en el sistema de coordenadas O ; I ; J siguiente : La recta ( d ) es la representación de la función g definida por: g ( x ) = x + 1 1 a Indique, sin justificación, los límites de la función f en los extremos de su conjunto de definición. b Especifique si la curva representativa C f de la función f admite asíntotas. 2 a Determine los números reales a , b y c que satisfacen la igualdad : f ( x ) = a · x + b + c 3 · x + 2 b Deduzca que la función f admite como derivada la fun-ción f definida por: f ( x ) = 9 · x 2 + 12 · x − 2 3 · x + 2 2 c Elabore, justificando su procedimiento, la tabla de variaciones de la función f . No se indicará el valor de los extremos de f . 3 Para todo número natural n , se considera : M n el punto de ( d ) con abscisa n , N n el punto de C f con abscisa n , S n el segmento [ M n N n ] . a Representar en el gráfico los segmentos S 0 , S 1 y S 2 . b Indique la medida exacta del segmento S 0 . c ¾Qué se puede decir de la longitud del segmento [ M n N n ] cuando el valor de n tiende a + ∞ ? E.3639 Consideremos la función f definida por: f ( x ) = − 6 x 2 − 14 x + 360 ( x + 10)( x + 9) 1 Determinar los valores de x para los que la imagen de x por la función f es estrictamente positiva. 2 Determinar los valores de los siguientes límites: lim x ↦→−∞ f ( x ) ; lim x ↦→ + ∞ f ( x ) https://chingmath.fr chapExoCorrec/3433 sacados/3433 fichierPlus/3433/diapoCorrection.pdf -2-123456I-3-2-12345JO chapExoCorrec/6802 sacados/6802 -4-3-2-1234I-4-3-2-1234JOCf(d chapExoCorrec/3639 sacados/3639
-3-2-10123-4-3-2-11234ij -123I-12JO 16. Estudios de funciones exponenciales E.3618 Consideremos la función f definida por la relación: f ( x ) = 1 e x − 1 Llamamos C f a la curva representativa de la función f . 1 Determina el conjunto de definición de la función f . 2 Establecer la tabla de variaciones de la función f . 3 Especifica las distintas asíntotas de la curva C f . 4 Dibuja la curva C f . E.5851 Sea f la función definida para todo número real x del intervalo 0 ; 1 por: f ( x ) = 2 x − 2e − x + 1 e 1 a Elabore la tabla de variaciones de la función f en el intervalo 0 ; 1 . Se precisarán los valores exactos de f (0) y f (1) . b Demuestre que la función f se anula una y solo una vez en el intervalo 0 ; 1 en un número real ¸ . Da el valor de ¸ redondeado al centésimo. 2 Resuelve la siguiente ecuación en el intervalo 0 ; 1 : x − e − x + 1 = e − x − x − e − 1 + 1 E.3677 Sea f la función definida en R por: f ( x ) = 9 2 · e − 2 x − 3 · e − 3 x Llamamos C f a la curva representativa de f en un marco de referencia ortonormal O ; −→ i ; −→ j de unidad 1 cm . 1 Montrer que para cualquier x de R , tenemos : f ( x ) = 3 · e − 2 x · 3 2 − e − x . 2 Déterminer el límite de f en + ∞ y luego el límite de f en −∞ . 3 Étudier las variaciones de la función f y elaborar la tabla de variaciones de f . 4 a Determina las coordenadas del punto de intersección de la curva C f con el eje y. b Justifica que la curva C f intercepta al eje x en un único punto. Indique las coordenadas de este punto de intersección, redondeadas a la décima más próxima. 5 Calcule f (1) y trace la forma de la curva C f en el marco de referencia siguiente : E.3654 Sea f la función definida en R por: f ( x )= 9 2 · e − 2 x − 3 · e − 3 x 1 Demuestre que para cualquier x de R , tenemos : f ( x ) = 3e − 2 x · 3 2 − e − x 2 Determina el límite de f en + ∞ y luego el límite de f en −∞ . 3 Estudia las variaciones de la función f y elabora la tabla de variaciones de f . E.4299 El plano está provisto de un sis-tema de referencia ortonormal O ; −→ i ; −→ j . Consideremos la función f definida en R por: f ( x ) = x 2 · e − x Sea f la función derivada de f . 1 Determina los límites de la función f en −∞ y + ∞ . 2 Calcula f ( x ) y elabora una tabla de variaciones para f . 3 Deduce el signo de f en R . E.3658 Consideremos la función f definida en R por: f ( x ) = ( x + 1) · e − x Sea ( C ) su representación gráfica en un sistema de referen-cia ortonormal O ; −→ i ; −→ j del plano. Tomaremos 4 cm como unidad gráfica. Estudia las variaciones de la función f y los límites en los límites de su conjunto de definición. Resúmelos en una tabla de variaciones lo más completa posible. 17. Estudio de las funciones de raíz cuadrada https://chingmath.fr chapExoCorrec/3618 sacados/3618 -3-2-10123-4-3-2-11234ij chapExoCorrec/5851 sacados/5851 chapExoCorrec/3677 sacados/3677 Extrait Antilles Guyanne Juin 2008 -123I-12JO chapExoCorrec/3654 sacados/3654 Extrait Antilles Guyanes Juin 2008 chapExoCorrec/4299 sacados/4299 chapExoCorrec/3658 sacados/3658 Asie Juin 2008
-1234567I-12345JO -4-3-2-1234I-3-2-12JOCgCf E.3341 Consideremos la función f definida en el intervalo − 1 ; + ∞ por la relación: f ( x ) = x 2 + 1 x + 1 Observamos C f la curva representativa de la función f . 1 a Estudia los límites en las fronteras de su conjunto definidor. b ¾Admite la curva C f asíntotas? En caso afirmativo, especifícalo. 2 Observa ( d ) la recta de ecuación y =1 . Determina la posición relativa de C f y ( d ) . 3 a establece la siguiente igualdad : f (1+ h ) − f (1) h = 2 h 2 · h + 2 · 2 h 2 + 2 h + 2 + 2 · ( h + 2) b Deduce el valor del número derivado f (1) . 4 Dibuja en el marco de referencia inferior la curva C f . 18. Compuesto por funciones E.5008 Consideremos las dos funciones f y g definidas en − 4 ; 4 por las relaciones : f ( x ) = 2 x + 1 ; g ( x ) = x 2 − 3 Las curvas C f y C g representativas de las funciones f y g en el marco de referencia O ; I ; J que se dan a continuación : 1 Par lectura gráfica, completa las siguientes tablas de val-ores : x − 3 2 − 1 − 1 2 0 1 2 f ( x ) x − 2 − 1 0 1 2 g ( x ) 2 On considera el siguiente programa de cálculo: Prendre un número x ; Déterminer la imagen de x por la función f ; anotamos este número x ; Déterminer la imagen de x por la función g ; anotamos este número g f ( x ) . Este programa de cálculo se puede anotar me-diante la cadena : x f , −−−−−→ f ( x ) g , −−−−−→ g f ( x ) a Déterminer el valor de las siguientes expresiones : g f ( − 1) ; g f − 1 2 b Completa la siguiente tabla de valores: x − 3 2 − 1 − 1 2 0 1 2 g f ( x ) Acabamos de crear una nueva función que asocia la imagen g f ( x ) a un número x . Esta función se denomina función compuesta de f por g y se denota g ◦ f . 3 Tracer en el sistema de referencia por debajo de la curva C g ◦ f representativa de la función g ◦ f . 4 Donner la expresión, en función de x , de la función g ◦ f . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3341 sacados/3341 -1234567I-12345JO chapExoCorrec/5008 sacados/5008 -4-3-2-1234I-3-2-12JOCgCf
-3-2-123I-3-2-123JOCf -3-2-123I-3-2-123JOCg -4-3-2-1234I-4-3-2-123JOCf E.5009 Consideremos dos funciones f y g definidas en el intervalo [ − 3 ; 3] cuyas curvas representativas, respectivamente C f y C g , están dadas en un sistema de refer-encia O ; I ; J ortonormales : 1 Determina el valor de las siguientes expresiones : a f ◦ g ( − 2) b f ◦ g (1 ; 5) c f ◦ g (2) 2 Determina el valor de las siguientes expresiones : a g ◦ f ( − 3) b g ◦ f (0) c g ◦ f (1) E.5010 Consideremos la función f definida en el intervalo − 4 ; 4 cuya curva representativa C f se da a con-tinuación en el sistema de referencia ( O ; I ; J ) ortonormal: 1 Calcula las siguientes imágenes : a f ◦ f (1) b f ◦ f ( − 2) c f ◦ f (3) 2 Definimos la función f n como la función compuesta n veces de la función f por sí misma. Determina el valor de las siguientes imágenes : a f 3 (1) b f 3 ( − 3) c f 4 ( − 1) E.3309 Para cada pregunta, determine una ex-presión ˇ simplificada ı de la expresión de la compuesta f ◦ g de la función g por la función f : a f ( x ) = 2 x 2 − x + 1 ; g ( x ) = 3 x − 2 b f ( x ) = x − 2 ; g ( x ) = 4 x 2 + 12 x + 11 c f ( x ) = 1 x ; g ( x ) = 3 x + 1 2 − x d f ( x ) = x 2 − x + 1 ; g ( x ) = x e f ( x ) = x + 1 x − 1 ; g ( x ) = 1 x 19. Límites de los compuestos de funciones E.3355 Para cada pregunta, determina el límite de g ◦ f en a : a f ( x ) = 2 x 2 − 5 x − 3 ; g ( x ) = 5 − x x 2 ; a = 3 b f ( x ) = 1 x + 3 ; g ( x ) = x +1 − x ; a = − 3 c f ( x ) = cos x − 2 x ; g ( x ) = x 3 + 2 x x 3 + x 2 ; a = + ∞ https://chingmath.fr chapExoCorrec/5009 sacados/5009 -3-2-123I-3-2-123JOCf -3-2-123I-3-2-123JOCg chapExoCorrec/5010 sacados/5010 -4-3-2-1234I-4-3-2-123JOCf chapExoCorrec/3309 sacados/3309 chapExoCorrec/3355 sacados/3355
−134∞0∞-∞0∞Variationdefx -∞−10∞-∞31∞4Variationdegx -12345678I-2-1234JOCvCu E.3436 Considere las funciones numéricas f y g cuya tabla de variaciones se da a continuación : 1 Especifique el conjunto de definición de cada una de estas dos funciones. 2 Justifique que la función f admite un único cero. 3 Determine y justifique el valor de los siguientes límites: a lim x ↦→ 4 − g ◦ f ( x ) b lim x ↦→ + ∞ g ◦ f ( x ) c lim x ↦→ + ∞ g ◦ f ◦ g ( x ) d lim x ↦→− 1 f ◦ g ( x ) E.5023 Sea f una función definida en 0 ; + ∞ que cumple : f (0) = 0 ; lim x ↦→ + ∞ f ( x ) = + ∞ Consideremos la función g definida en 0 ; + ∞ por la relación: g ( x ) = 1 x · f 1 x 1 Determinar el límite de la función g en 0 . 2 Determinar el límite de la función g en + ∞ . 3 Denotemos por C la curva representativa de la función g . ¾Qué consecuencias se pueden deducir de las dos pre-guntas anteriores para la curva C ? 20. Límites y comparaciones E.3349 Consideremos las dos funciones numéri-cas u y v definidas en R , cuyas curvas representativas C u y C v se dan en el sistema de coordenadas siguiente : 1 En el sistema de coordenadas anterior, traza la curva C f representativa de una función f definida en R que cumpla la siguiente propiedad : Para todo x ∈ R , se tiene : u ( x ) f ( x ) v ( x ) 2 Supongamos que las funciones u y v admiten los sigu-ientes límites: lim x ↦→ + ∞ u ( x ) = 1 ; lim x ↦→ + ∞ v ( x ) = 1 Haga una conjetura sobre el límite de la función f en + ∞ . E.3351 Consideremos la función f definida por la relación: f ( x ) = 5 x 2 + 2 − cos x 1 Justifica que la función f está definida en R . 2 a Establece el siguiente marco: 5 x 2 + 3 f ( x ) 5 x 2 + 1 b Deduce el valor del siguiente límite: lim x ↦→ + ∞ f ( x ) E.3354 Determina los siguientes límites: a lim x ↦→ + ∞ x + sin( x ) x b lim x ↦→ + ∞ x · 2 + cos x 4 + sin x E.8662 Determina el valor del límite siguiente : lim x ↦→ + ∞ 3 + cos x 1 + x 21. Función exponencial y límite E.3614 Determina los valores de los siguientes límites: a lim x ↦→ + ∞ e − x +1 b lim x ↦→−∞ e 2 x +1 c lim x ↦→ + ∞ e − x 2 +1 d lim x ↦→ + ∞ e 1 x e lim x ↦→ 0 − e 1 x f lim x ↦→ 0 − e − 1 x E.3707 Establece el valor de los siguientes límites: a lim x ↦→−∞ x 4 + 1 x − 1 = −∞ b lim x ↦→ 0 e x − 1 e 2 x − 1 = 1 2 https://chingmath.fr chapExoCorrec/3436 sacados/3436 −134∞0∞-∞0∞Variationdefx -∞−10∞-∞31∞4Variationdegx chapExoCorrec/5023 sacados/5023 chapExoCorrec/3349 sacados/3349 -12345678I-2-1234JOCvCu chapExoCorrec/3351 sacados/3351 chapExoCorrec/3354 sacados/3354 chapExoCorrec/8662 sacados/8662 chapExoCorrec/3614 sacados/3614 chapExoCorrec/3707 sacados/3707 Extrait concours ECE Mai 2002
tempst(en jours)020406080100120140160180200220hauteur(en mètres)0.20.40.60.811.21.41.61.82 E.5847 Nos interesa saber cómo cambia la altura de una planta de maíz con el tiempo. El gráfico sigu-iente muestra esta evolución. La altura se expresa en metros y el tiempo en días. Decidimos modelizar este aumento mediante una función logística del tipo: h ( t ) = a 1 + b · e − 0 , 04 · t donde a y b son constantes reales positivas, t es la variable tem-poral expresada en días y h ( t ) denota la altura de la planta, expresada en metros. Se sabe que inicialmente, para t =0 , la planta mide 0 ; 1 m y que su altura tiende hacia una altura límite de 2 m . Determinar las constantes a y b para que la función h corre- sponda al crecimiento de la planta de maíz en estudio. E.3706 Sea f la función definida por la relación: f ( x ) = 2e 2 x − e x e 2 x − e x + 1 1 Justifica que la función f admite R como conjunto de definición. 2 Determina el valor de los límites de f en −∞ y + ∞ . 3 Establecer que la función f admite como expresión : f ( x ) = − e x · e 2 x − 4e x + 1 e 2 x − e x + 1 2 E.3665 Consideremos la función f definida para cualquier número real x por: f ( x ) = 4 · e x e x + 7 Observamos C la curva representativa de la función f . 1 Verifica que para cualquier real x : f ( x )= 4 1+7e − x 2 a Demuestre que la curva C tiene dos asíntotas cuyas ecuaciones deben especificarse. b Demuestre que la función f es estrictamente creciente en R . c Demuestre que para cualquier real x : 0 <f ( x ) < 4 . 22. Comparación de la función exponencial y el crecimiento E.3661 Determina el valor de los siguientes límites: a lim x ↦→ + ∞ e x 2 · e − x b lim x ↦→−∞ e x · x 2 − x + 1 c lim x ↦→ + ∞ e x + 1 e − x − 1 d lim x ↦→−∞ e − 3 x x 2 + 1 e lim x ↦→−∞ e − x + 3 x + 1 f lim x ↦→−∞ e − 2 x − e − x E.3615 Determina los valores de los siguientes límites: a lim x ↦→−∞ ( x + 1) · e x b lim x ↦→−∞ e x x c lim x ↦→ + ∞ x + 1 e x d lim x ↦→ + ∞ e 2 x − 3 · e x + 1 e lim x ↦→−∞ e 2 x − 3 · e x + 1 f lim x ↦→ + ∞ e x − 1 e x + 1 E.3710 Consideremos la función f definida en R \ 1 por: f ( x ) = 2 ( x − 1) 2 · e x +1 x − 1 El objetivo de este ejercicio es determinar los dos límites sigu-ientes : lim x ↦→ 1 − f ( x ) ; lim x ↦→ 1 + f ( x ) 1 Sea X = 2 x − 1 . Prove equality: 2 ( x − 1) 2 · e x +1 x − 1 = e 2 · X 2 · e X 2 Deduce el valor de los límites buscados. 23. Límites por identificación con números derivados E.3662 Determinar el valor de los siguientes límites: a lim x ↦→ 0 e 2 x − 1 x b lim x ↦→ 0 e 2 x − e x x c lim x ↦→ + ∞ x · e 1 x − 1 d lim x ↦→ + ∞ x · e 3 x − 1 e lim x ↦→−∞ x 3 · e 1 x − 1 https://chingmath.fr chapExoCorrec/5847 sacados/5847 tempst(en jours)020406080100120140160180200220hauteur(en mètres)0.20.40.60.811.21.41.61.82 chapExoCorrec/3706 sacados/3706 chapExoCorrec/3665 sacados/3665 chapExoCorrec/3661 sacados/3661 chapExoCorrec/3615 sacados/3615 chapExoCorrec/3710 sacados/3710 chapExoCorrec/3662 sacados/3662
-4-3-2-1234I2345JO -4-2246810121416182022I-224681012JO E.3777 1 Consideremos la secuencia ( u n ) definida para n entero mayor o igual que 1 por: u n = 1 + e 1 n + e 2 n + · · · + e n − 1 n Determina el límite de la sucesión ( u n ) . 2 Determina los siguientes límites: a lim x ↦→ + ∞ x · e − x x 2 + 1 b lim x ↦→ + ∞ x 2 − 2( x − 1)e x − 1 3 Sea f la función definida en R por: f ( x ) = 1 4 · e − x 2 · x 2 + x Determina los límites en −∞ y + ∞ de la función f . 4 Sea g la función definida en R ∗ por: g ( x )= x e x − 1 Podemos extender g en R por continuidad. 24. Secuencias y funciones E.3519 Se propone demostrar que las rela-ciones : u 0 = − 3 ; u n = u n − 1 − 8 2 · u n − 1 − 9 para todo n ∈ N ∗ definen bien una sucesión y que esta sucesión es convergente. 1 Consideremos la función f definida en −∞ ; 9 2 por: f ( x ) = x − 8 2 x − 9 Denotemos por C f la curva representativa de la función f . a Estudiar los límites de la función f en los límites de su conjunto de definición. Citar las asíntotas de la curva C f . b Determinar la expresión de la función f derivada de la función f . Deduzca la tabla de variaciones de la función f . c Determine la ecuación de la tangente a la curva C en el punto de abscisa 1. d Traza la curva C f en el sistema de coordenadas que aparece a continuación, así como la recta de ecuación y = x : e Utilizando este gráfico, haga una conjetura sobre el comportamiento de la sucesión u n . 2 Demuestre que para todo n de N : u n < 1 . 3 Demostrar que la sucesión es creciente y que converge. (No se pide el valor del límite) E.3416 Se trata de modelizar la evolución del número, expresado en millones, de hogares franceses que poseen un televisor de pantalla plana, en función del año. Sea u n el número, expresado en millones, de hogares que poseen un televisor de pantalla plana en el año n . Sea n =0 2005 , u 0 =1 y, para todo n 0 : u n +1 = 1 10 · u n · 20 − u n 1 Sea f la función definida en 0 ; 20 por: f ( x ) = 1 10 · x · 20 − x a Dedúzcase que para todo x ∈ 0 ; 20 : f ( x ) ∈ 0 ; 10 . b La curva representativa C de la función f en un sis-tema de referencia ortonormal se da en el apéndice. Utilice esta gráfica para representar, en el eje x, los cinco primeros términos de la sucesión u n n 0 . 2 Demuestre por recurrencia que para todo n ∈ N : 0 u n u n +1 10 . 3 Demuestre que la sucesión u n n 0 es convergente. (no preguntamos por el valor de su límite) . . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3777 sacados/3777 chapExoCorrec/3519 sacados/3519 Paris 1985 -4-3-2-1234I2345JO chapExoCorrec/3416 sacados/3416 -4-2246810121416182022I-224681012JO
E.3422 Consideremos la secuencia v n definida en N por: v 0 = 6 v n +1 = 1 ; 4 · v n − 0 ; 05 · v n 2 para cualquier n ∈ N . 1 Sea f la función definida en R por: f ( x ) = 1 ; 4 x − 0 ; 05 · x 2 a Estudia las variaciones de la función f en el intervalo 0 ; 8 . b Demuestre por recurrencia que, para cualquier número natural n : 0 v n v n +1 8 2 Establece la convergencia de la sucesión v n (no se pre-guntará el valor del límite) . E.5053 Consideremos la función f definida en R por: f ( x ) = 1 8 · x 2 + 1 2 · x + 1 2 1 Demuestre que si x ∈ 0 ; 2 entonces f ( x ) ∈ 0 ; 2 2 En esta pregunta, cualquier rastro de investigación, por incompleto que sea, o de iniciativa, por infructuosa que sea, se tendrá en cuenta en la evaluación. Definimos la secuencia u n por: u 0 = 1 2 ; u n +1 = f u n para todo n ∈ N . Establecer la convergencia de la sucesión u n (no se pre-gunta el valor del límite) . 25. Cursos E.5500 Establezca los dos límites siguientes : lim x ↦→ + ∞ e x = + ∞ ; lim n ↦→−∞ e x = 0 E.3657 Se supone conocido el resultado Propuesta: lim x ↦→ + ∞ e x x = + ∞ Demostrar que : lim x ↦→ + ∞ x · e − x =0 E.3282 Consideremos una función g con-tinua, estrictamente creciente en 0 ; + ∞ y tal que lim x ↦→ 0 g ( x )= −∞ y lim x ↦→ + ∞ g ( x )=+ ∞ . Admitimos que podemos definir en N una sucesión ( ˛ n ) de números reales tal que g ( ˛ n )= n , y que esta sucesión es es-trictamente creciente. Demostrar que la sucesión ( ˛ n ) tiende a + ∞ . 26. Compartir E.2526 Consideremos la función f definida por: f : x ↦−→ 5 x + 1 − 5 x 2 + 4 x + 1 1 Dar el conjunto de definición de la función f . 2 Determinar los límites de la función f en + ∞ y −∞ . 3 a Justifique que los dos límites siguientes representan una forma indeterminada : lim x ↦→− 1 5 − f ( x ) y lim x ↦→− 1 5 + f ( x ) . b Demuestre que, para x ∈D f , tenemos : f ( x )= − 1 x − 1 . c Deduce el valor de los dos límites que aparecen en la pregunta a . 27. Ejercicios no clasificados E.3368 Resuelve el siguiente sistema de ecua-ciones : a + 2 b − 4 c = 4 2 a − b + c = − 8 − 3 a − 2 b + c = − 3 E.10422 Consideremos la función f definida en − 3 ; + ∞ por: f : x ↦−→ x 2 + 2 x + 1 x + 3 1 Demuestre que el número derivado de f en x se escribe : f ( x ) = 3 · x 2 + 14 · x + 11 2( x + 3) x + 3 2 Elabora la tabla de signos de la función f . 3 Deduce la tabla de variaciones de la función f . 4 Dar el mínimo de la función f en su conjunto definidor. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3422 sacados/3422 chapExoCorrec/5053 sacados/5053 chapExoCorrec/5500 sacados/5500 chapExoCorrec/3657 sacados/3657 Asie Juin 2008 chapExoCorrec/3282 sacados/3282 sacados/2526 chapExoCorrec/3368 sacados/3368 chapExoCorrec/10422 sacados/10422