Bachillerato 2 / Funciones trigonométricas 48 ejercicios (incluyendo 46 corregidos)

a
1. Recordatorios E.5269 Utilizando las fórmulas de cos y sin de los ángulos asociados, exprese en función de cos x o sin x los siguientes números : a sin 3 ı + x b cos 5 ı 2 − x c cos x − ı 2 d cos ı 2 + x e sin ı − x + cos ı 2 − x f 3 · sin ı + x − 2 · sin ı − x + 4 · sin x − ı E.5267 Simplifica el argumento de cada una de las siguientes expresiones : a tan x + ı b tan ı 2 − x c cos x − ı d sin x − ı 2 e sin x + ı 2 f cos x + ı 2 E.5268 1 Demuestra que : cos ı 6 + cos 5 ı 6 = 0 2 Simplifica al máximo el siguiente número. (expresaremos el resultado utilizando cos ı 7 y sin ı 7 ) . 2 · cos − ı 7 + 3 · cos 8 ı 7 − 2 · sin 6 ı 7 + sin − ı 7 E.5273 1 Observando que : ı 12 = ı 3 − ı 4 Determinar los valores de cos ı 12 y sin ı 12 . 2 Determinar los valores de : cos 7 ı 12 ; sin 7 ı 12 E.5274 Demuestra la siguiente relación: sin( a + b ) · cos( a − b ) = sin a · cos a + cos b · sin b E.5275 Determina una simplificación de las sigu-ientes expresiones : 1 cos 2 x · cos x − sin 2 x · sin x 2 sin 3 x · cos 2 x − sin 2 x · cos 3 x E.5272 1 En cada uno de los casos, dibuje un círculo trigonométrico y represente cada uno de los siguientes conjuntos : a cos x ⏐ ⏐ x ∈ ı 6 ; 2 ı 3 b sin x ⏐ ⏐ x ∈ 2 ı 3 ; 7 ı 3 2 Utilizando un círculo trigonométrico, indique sin justifi-cación el conjunto de soluciones de las siguientes desigual-dades en el intervalo − ı ; ı : a sin x 3 2 b cos x − 1 2 c cos x < 0 E.3345 Resuelve, en − ı ; ı , las ecuaciones siguientes : a cos x = cos ı 4 b sin x = sin − ı 6 c cos 2 x = cos ı 4 d cos x = cos x + ı 4 E.5270 1 Resuelve en el conjunto − ı ; ı de medidas principales, las siguientes ecuaciones : a cos x = 2 2 b sin x = − 1 2 c sin x = 3 2 d tan x = 3 3 2 Resuelve las siguientes ecuaciones en R : a cos x = √ 3 2 b tan x = − 1 E.5271 Resuelve, en el intervalo − ı ; ı las siguientes ecuaciones : a 2 cos 2 x = 1 b sin 3 x = 3 2 c cos 2 x = cos x d sin 3 x = cos x E.5276 1 Simplifica la siguiente expresión : cos x + ı 4 − cos x − ı 4 2 Establece la siguiente igualdad : sin 5 x sin 2 x + sin 2 x sin x = sin 3 x 2 sin(2 x ) · sin( x ) 3 Resuelve, en el intervalo − ı ; ı la siguiente ecuación : 3 2 cos(2 x ) + 1 2 sin(2 x ) = cos ı 7 2. Propiedades de las funciones seno y coseno E.2556 1 Eligiendo un marco adecuado, demuestre que la secuen-cia u n n ∈ N converge a 0: u n = ( − 1) n 3 n + 1 2 Eligiendo un marco adecuado, demuestre que la sucesión v n n ∈ N converge; especifique su límite: u n = 2 n 2 + cos n 3 n 2 + 5 E.2568 Sea u n n ∈ N ∗ una sucesión definida por: u n = cos n − 2 n n Determine el límite de la sucesión u n . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5269 sacados/5269 chapExoCorrec/5267 sacados/5267 chapExoCorrec/5268 sacados/5268 chapExoCorrec/5273 sacados/5273 chapExoCorrec/5274 sacados/5274 chapExoCorrec/5275 sacados/5275 chapExoCorrec/5272 sacados/5272 chapExoCorrec/3345 sacados/3345 chapExoCorrec/5270 sacados/5270 chapExoCorrec/5271 sacados/5271 chapExoCorrec/5276 sacados/5276 chapExoCorrec/2556 sacados/2556 chapExoCorrec/2568 sacados/2568
−2·ı−ı0ı2·ı-2-112C −2·ı−ı0ı2·ı-2-112C -10-8-6-4-2246810I-4-224JO 24323436646668I-4-224JO −4·ı−3·ı−2·ı−ı0ı2·ı3·ı4·ı-112 E.3302 Consideremos las siguientes dos fun-ciones f y g definidas en R por: f ( x ) = 2 · cos x ; g ( x ) = cos 2 · x Asocia cada una de estas funciones con su curva representa-tiva que se muestra a continuación : E.5040 Sea a n n ∈ N una sucesión no constante de números reales. Para todo entero n , se establece : u n = sin( a n ) . Indique si la siguiente proposición es verdadera o falsa y jus-tifique su respuesta : Proposición : ˇSe puede elegir la sucesión a n n ∈ N tal que la sucesión u n n ∈ N converge hacia 2 2 ı. 3. Frecuencia y paridad E.2920 En el sistema de referencia ( O ; I ; J ) ortonormal, la curva C f representativa de la función f definida en R se representa gráficamente a continuación : La función f es periódica con periodo T . 1 a Dar las coordenadas de un vector que define una traslación por la que la curva C f es invariante. b Determinar el valor de T . 2 Da la imagen, mediante la función f , de los siguientes números : a 14 b − 16 c 56 e 58 E.2922 Consideremos la función periódica f de periodo 12. A continuación se dan algunas partes de la curva C representativa de la función f : 1 Reconstruye la gráfica de C f en el intervalo 0 ; 12 . 2 Traza la tabla de variaciones de la función f en el inter- valo 38 ; 50 . E.2921 Para cada pregunta, demuestre que la función f admite T para el periodo : a f ( x ) = sin 6 x − 3 ; T = ı 3 b f ( x ) = tan 2 x + ı 3 ; T = ı c f ( x ) = cos x 2 − sin x 2 ; T = ı d f ( x ) = ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ cos 2 x + ı 3 ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ; T = ı 2 E.3346 Consideremos la función f definida en R cuya imagen de x se define mediante la relación: f ( x ) = cos x + cos( x ) 2 Se denomina C f a la curva representativa de la función f . 1 Estudiar la paridad de la función f . 2 Estudiar la periodicidad de la función f . 3 a Estudiando las siguientes imágenes de números : 0 ; ı 3 ; ı 2 ; 2 ı 3 ; ı ; 4 ı 3 ; 3 ı 2 ; 5 ı 3 y admitiendo las siguientes propiedades : f es estrictamente decreciente en 0 ; 2 ı 3 ; f es estrictamente creciente en 2 ı 3 ; ı ; C f admite tangentes horizontales en los puntos de abscisa : 0 ; 2 ı 3 ; ı ; − 4 ı 3 Trazar la curva C f en 0 ; + ∞ . b Extender esta línea a todo el gráfico. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3302 sacados/3302 −2·ı−ı0ı2·ı-2-112C −2·ı−ı0ı2·ı-2-112C chapExoCorrec/5040 sacados/5040 chapExoCorrec/2920 sacados/2920 -10-8-6-4-2246810I-4-224JO chapExoCorrec/2922 sacados/2922 24323436646668I-4-224JO chapExoCorrec/2921 sacados/2921 chapExoCorrec/3346 sacados/3346 −4·ı−3·ı−2·ı−ı0ı2·ı3·ı4·ı-112
4. Derivados E.5277 Determina la expresión de las derivadas de las siguientes funciones : a f : x ↦−→ x 2 + cos x b g : x ↦−→ sin(2 x ) c h : x ↦−→ cos x · sin x d j : x ↦−→ sin x 2 E.2878 Determina la expresión de las funciones derivadas asociadas a las siguientes funciones : a f ( x ) = x 2 · cos x b g ( x ) = 3 x 2 − 2 · sin x 2 c h ( x ) = 3 2 · cos x d j ( x ) = cos x 3 x + sin x E.2907 Determinar la expresión de las funciones derivadas de las fun-ciones f , g , h definidas a continuación : a f ( x ) = sin x cos x b g ( x ) = (5 x − 3) 3 · cos x c h ( x ) = cos 5 x + ı 3 x 2 E.2879 Determinar las funciones derivadas de las siguientes fun-ciones : a f ( x ) = 2 x · sin 3 x +1 b g ( x ) = 2 · cos 2 x 3 − sin 1 − 2 x 5. Números derivados y límites E.3532 1 Determinar la expresión de las funciones derivadas de las siguientes funciones : a f ( x ) = cos x 2 b g ( x ) = sin x + cos x c h ( x ) = tan( x 2 + x ) d j ( x ) = cos x sin x 2 Determine los siguientes límites: a lim x ↦→ 0 cos x 2 − 1 x b lim x ↦→− π 4 sin x + cos x x + ı 4 c lim x ↦→ 0 tan( x 2 + x ) x d lim x ↦→ π 2 cos x x − ı 2 · sin x E.3568 Consideremos la función g definida en R por: g ( x ) = sin x 1 Da el número de la derivada de la función g en 0 . 2 Deduce el valor del límite: lim x ↦→ 0 sin x x 6. Estudio de las funciones E.3540 1 Consideremos la función f definida en R por: f ( x ) = cos x − 1 x para x =0 f (0) = 0 Demostrar que la función f es continua en 0 . 2 Consideremos la función g definida por la relación sobre R por: g ( x ) = E ( x ) · sin ı · x a Simplifica la escritura de la función g en cada uno de los siguientes intervalos: − 1 ; 0 ; 0 ; 1 ; 1 ; 2 b Justificar que la función g es continua en 0 y en 1 . c ¾Se puede formular una conjetura sobre el conjunto de continuidad de la función f ? d Trace la curva representativa de esta función en su cal-culadora. E.3582 Considere las dos sucesiones de números reales, u n n ∈ N ∗ y v n n ∈ N ∗ definidas por: u n = sin 1 n 2 + sin 2 n 2 + · · · + sin n n 2 v n = 1 n 2 + 2 n 2 + · · · + n n 2 1 Démontrer que la sucesión v converge a 1 2 . 2 a Demostrar que cada una de las tres funciones numéricas de variable real: x ↦−→ x − sin x ; x ↦−→ − 1 + x 2 2 + cos x x ↦−→ − x + x 3 6 + sin x toma sólo valores positivos o cero en el intervalo 0 ; + ∞ . Podemos utilizar las variaciones de cada una de estas tres funciones. b Justifique que para cualquier n 1 : 1 3 + 2 3 + · · · + n 3 n 4 . Deduce de la a la desigualdad : https://chingmath.fr chapExoCorrec/5277 sacados/5277 chapExoCorrec/2878 sacados/2878 chapExoCorrec/2907 sacados/2907 chapExoCorrec/2879 sacados/2879 chapExoCorrec/3532 sacados/3532 chapExoCorrec/3568 sacados/3568 chapExoCorrec/3540 sacados/3540 chapExoCorrec/3582 sacados/3582
v n − 1 6 × 1 n 2 u n v n pour cualquier n ∈ N . c Démontrer que la sucesión u es convergente ; ¾cuál es su límite? E.3559 1 Se designa por g la función numérica definida en 0 ; ı por: g ( x ) = x · cos x − sin x Estudiar g y elaborar su tabla de variaciones. Deducir el signo de g ( x ) en 0 ; ı . 2 Sea f la función numérica de la variable real x definida en 0 ; ı por: f (0) = 1 f ( x ) = sin x x para x ∈ 0 ; ı Recordemos que : lim x ↦→ 0 sin x x = 1 . Estudiar las variaciones de f en 0 ; ı . 3 Estudio de f en 0 . a Demostrar que, para cualquier número real x ∈ 0 ; ı : 0 x − sin x x 3 6 ( Para ello, introduciremos la función ’ definida en 0 ; ı por: ’ ( x ) = sin x − x + x 3 6 Calcularemos las derivadas ’ , ’  y ’  y deduciremos el signo de ’ ) b Demostrar que f es derivable en 0 y calcular f (0) . 4 Construir la curva representativa C de la función f en un sistema de coordenadas ortonormales O ; −→ i ; −→ j . ( Tomaremos 3 cm como unidad) . E.3648 Denotamos por g la función definida en − 1 ; 1 por: g (0) = 0 ; g ( x ) = 1 √ 1 − x 2 donde g denota la derivada de la función g en − 1 ; 1 ; no se intentará explicar g ( x ) . Consideremos la función compuesta h definida en − ı ; 0 por: h ( x ) = g cos x 1 Demostrar que para cualquier x de − ı ; 0 , tenemos h ( x )=1 , donde h denota la derivada de h . 2 Calcula h − ı 2 y luego da la expresión para h ( x ) . 7. Estudio de funciones y del teorema del valor intermedio E.6822 Diga si la siguiente afirmación es verdadera o falsa, justificando la respuesta. Afirmación La ecuación x − cos x =0 admite una única solución en el inter-valo 0 ; ı 2 . 8. Primitivo e integral E.5312 Determina una primitiva de cada una de las siguientes funciones : a f ( x ) = cos x + sin x b g ( x ) = sin(3 x ) c h ( x ) = sin x · cos x d j ( x ) = 3 x · cos x 2 E.3932 Determina una primitiva para cada una de las siguientes funciones : a f ( x ) = 5 x b g ( x ) = e x +1 + 1 c h ( x ) = 2 · x · e x 2 +1 d j ( x ) = cos x e k ( x ) = sin(3 x ) f ‘ ( x ) = sin x 2 E.5232 Considera las dos integrales siguientes : I = 0 π cos x 2 d x ; J = π 0 sin x 2 d x 1 Calcular: I + J ; I − J . 2 Deduce los valores de I y J . E.5282 Consideremos la sucesión x n definida para todo número natural n distinto de cero por: x n = 1 0 t n · cos t d t 1 a Demuestra que la sucesión x n tiene términos pos-itivos. b Estudia las variaciones de la sucesión x n . c ¾Qué se puede deducir sobre la convergencia de la suce-sión x n ? 2 a Demuestre que, para todo número natural n distinto de cero: x n 1 n + 1 b Deduzca el límite de la sucesión x n . E.5208 Calcula la integral: π 2 π 3 sin x 2 d x https://chingmath.fr chapExoCorrec/3559 sacados/3559 Algerie 1992 chapExoCorrec/3648 sacados/3648 Extrait de Metropole et Reunion Septembre 2007 chapExoCorrec/6822 sacados/6822 chapExoCorrec/5312 sacados/5312 chapExoCorrec/3932 sacados/3932 chapExoCorrec/5232 sacados/5232 chapExoCorrec/5282 sacados/5282 chapExoCorrec/5208 sacados/5208
aOCf−π2π2A 0246810121416246ijABCfCg E.5307 Consideremos la función f definida en 0 ; ı por: f ( x ) = cos 3 x · cos x 3 En un marco de referencia ortonormal O ; I ; J (tomaremos 3 cm como unidad) , consideramos la curva C f representativa de la función f . 1 a Demostrar que la función f derivada de la función f tiene la expresión : f ( x ) = − 3 · cos x 2 · sin 4 x b Elabora la tabla de signos de la función f . c Elabora la tabla de variaciones de la función f . 2 a Demuestra que, cualquiera que sea el real x pertenece a 0 ; ı , tenemos : f ( x ) = 1 8 · cos 6 x + 3 8 · cos 4 x + 3 8 · cos 2 x + 1 8 (Entre otras cosas, utilizaremos la fórmula: 2 · cos x · cos y = cos( x + y ) + cos( x − y ) ) b Calcula, en cm 2 , el área del conjunto E limitado por la curva C f , el eje x y las rectas de ecuaciones x =0 y x = ı 6 . E.6820 Una fábrica produce agua mineral embotellada. El departamento comercial ha adoptado para las etiquetas de las botellas la forma que se muestra a continuación en un sis-tema de coordenadas ortonormales del plano. La forma de estas etiquetas está delimitada por el eje de ab-scisas y la curva C de ecuación y = a · cos x con x ∈ − ı 2 ; ı 2 y a un número real estrictamente positivo. Un disco situado en el interior está destinado a recibir la infor-mación que se proporciona a los compradores. Consideramos el disco cuyo centro es el punto A de coordenadas 0 ; a 2 y radio a 2 . Admitiremos que este disco se encuentra completa-mente por debajo de la curva C para valores de a inferiores a 1 ; 4 . 1 Justifique que el área del dominio comprendido entre el eje de abscisas, las rectas de ecuación x = − ı 2 y x = ı 2 , y la curva C es igual a 2 · a unidades de área. 2 Por razones estéticas, se desea que el área del disco sea igual al área de la superficie sombreada. ¾Qué valor, re-dondeado a milésimas, hay que dar al real a para cumplir esta restricción? E.6821 Consideremos las funciones f y g definidas en el intervalo 0 ; 16 por: f ( x ) = ln x +1 ; g ( x ) = ln x +1 + 1 − cos( x ) En un sistema de referencia O ; −→ i ; −→ j , observamos C f y C g las curvas representativas de las funciones f y g . Estas curvas se indican a continuación : Compara las áreas de las dos superficies sombreadas de esta gráfica. 9. Anales E.5283 El plano se refiere a un sistema de coordenadas ortogonales O ; −→ i ; −→ j . Sea la función f definida en 0 ; + ∞ por: f ( x ) = e − x · cos(4 x ) y Γ su curva representativa trazada en el sistema de coorde-nadas O ; −→ i ; −→ j al final del ejercicio. Este gráfico se com-pletará a medida que avance el ejercicio. Consideremos también la función g definida en 0 ; + ∞ por g ( x )=e − x y llamemos C a su curva representativa en el sis-tema de coordenadas O ; −→ i ; −→ j . 1 a Demuestre que, para todo número real x perteneciente al intervalo 0 ; + ∞ : − e − x f ( x ) e − x b Deduzca el límite de f en + ∞ . 2 Determinar las coordenadas de los puntos comunes a las curvas Γ y C . 3 Se define la sucesión u n en N por: u n = f n · ı 2 . a Demuestre que la sucesión u n es una sucesión ge-ométrica. Especifique la razón. b Deduzca el sentido de variación de la sucesión u n y estudie su convergencia. 4 a Demuestre que, para todo número real x perteneciente al intervalo 0 ; + ∞ : f ( x ) = − e − x · cos(4 x ) + 4 · sin(4 x ) b Deduzca que las curvas Γ y C tienen la misma tangente en cada uno de sus puntos comunes. 5 Dar un valor aproximado, redondeado al alza a 10 − 1 , del coeficiente director de la recta T tangente a la curva Γ en el punto de abscisa ı 2 . Completa el gráfico dado trazando T y C . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5307 sacados/5307 chapExoCorrec/6820 sacados/6820 aOCf−π2π2A chapExoCorrec/6821 sacados/6821 0246810121416246ijABCfCg chapExoCorrec/5283 sacados/5283
01234-11ij ABETMTerrain vu du dessusLimiteduterrainLignemédianex 12√22√3212√22√32-12-√22-√32-12-√22-√32 E.6823 En un partido de rugby, un ju-gador debe transformar un ensayo que se ha marcado en el punto E (véase la figura adjunta) situado fuera del segmento [ AB ] . La transformación consiste en golpear el balón con el pie desde un punto T que el jugador puede elegir en cualquier lugar del segmento [ EM ] perpendicular a la línea recta ( AB ) , excepto en E . La transformación se considera exitosa si el balón pasa entre los postes marcados por los puntos A y B en la figura. Para maximizar sus posibilidades de éxito, el jugador intenta determinar la posición del punto T que hace que el ángulo ATB sea lo más grande posible. El objetivo de este ejercicio es, por lo tanto, averiguar si ex-iste una posición del punto T en el segmento [ EM ] para la que el ángulo ATB sea máximo y, si es así, determinar un valor aproximado de dicho ángulo. En lo sucesivo, denotaremos por x la longitud ET que quere-mos determinar. Las dimensiones del terreno son las siguientes : EM =50 m ; EA =25 m ; AB =5 ; 6 m Se denota ¸ la medida en radianes del ángulo ETA , ˛ la me-dida en radianes del ángulo ETB y ‚ la medida en radianes del ángulo ATB 1 Utilizando los triángulos rectángulos ETA y ETB , así como las longitudes proporcionadas, exprese tan ¸ y tan ˛ en función de x . La función tangente se define en el intervalo 0 ; ı 2 por: tan x = sin x cos x 2 Demuestra que la función tan es estrictamente creciente en el intervalo 0 ; ı 2 . 3 El ángulo ATB admite una medida ‚ perteneciente al intervalo 0 ; ı 2 , resultado admitido aquí que se puede observar en la figura. Se admite que para todos los reales a y b del intervalo 0 ; ı 2 : tan a − b = tan a − tan b 1 + tan a × tan b Demostrar que : tan ‚ = 5 ; 6 · x x 2 +765 4 El ángulo ATB es máximo cuando su medida ‚ es máx-ima. Demostrar que esto corresponde a un máximo en el intervalo 0 ; 50 de la función f definida por: f ( x ) = 5 ; 6 · x x 2 + 765 Demuestre que existe un único valor de x para el que el ángulo ATB es máximo y determine este valor de x con una precisión de un metro, así como una medida del ángulo ATB con una precisión de 0 ; 01 radianes. 10. Ecuaciones E.5482 En el plano provisto de una referencia O ; I ; J , consider-amos el círculo trigonométrico representado a continuación : 1 a En el círculo trigonométrico, coloque los dos puntos M y M que tienen como abscisa − 2 2 . b En el intervalo de las medidas principales, resuelva la ecuación : cos x = − 2 2 2 En el intervalo de las medidas principales, resuelva las siguientes ecuaciones : a sin x = 1 2 b cos x = 1 2 c sin x = − 3 2 3 Resuelva en R la siguiente ecuación : cos x = 3 2 E.2624 Resuelve en R las siguientes ecua-ciones : a sin x = 3 2 b cos x = 2 2 https://chingmath.fr 01234-11ij chapExoCorrec/6823 sacados/6823 ABETMTerrain vu du dessusLimiteduterrainLignemédianex chapExoCorrec/5482 sacados/5482 12√22√3212√22√32-12-√22-√32-12-√22-√32 chapExoCorrec/2624 sacados/2624
OIJC45oNOIJC60oM E.2874 1 Resuelve en el conjunto − ı ; ı de medidas principales, las siguientes ecuaciones : a cos x = 2 2 b sin x = − 1 2 c sin x = 3 2 d cos x = − 1 2 2 Resuelve las siguientes ecuaciones en R : a cos x = 3 2 b sin x = − 2 2 E.3110 Consideremos los dos círculos trigonométricos siguientes : 1 Indique, en el sistema de coordenadas O ; I ; J , las co-ordenadas de los puntos M y N . 2 En el intervalo − 180 o ; 180 o , resuelva las siguientes ecuaciones : a cos x = 1 2 b sin x = √ 2 2 c sin x = − 1 2 3 En el intervalo − 180 o ; 180 o , resuelve las siguientes ecuaciones : a sin x = 1 2 b cos x = √ 2 2 c cos x = − 2 2 4 ¾Qué se puede decir del conjunto de soluciones de cada una de las ecuaciones anteriores, si buscamos la medida de los ángulos en el conjunto R ? 11. Ecuaciones E.7726 1 Considera la ecuación : ( E ): sin x = 1 2 Justifica que cada elemento del conjunto : ı 6 ; 13 · ı 6 ; 25 · ı 6 ; 37 · ı 6 es una solución de la ecuación ( E ) . 2 Consideremos la ecuación : ( F ): cos 2 · x = 1 2 a Justifique que cada elemento del conjunto − ı 6 ; ı 6 es una solución de la ecuación ( F ) . b Para cualquier entero relativo k ( k ∈ Z ) , justifican que los números − ı 6 + k · ı y ı 6 + k · ı son soluciones de la ecuación ( F ) . c Deduce los valores de las cuatro soluciones de la ecuación ( F ) pertenecientes al intervalo de medidas principales − ı ; ı . E.7703 Resuelve las siguientes ecuaciones en el intervalo − ı ; ı de medidas principales : a sin x + ı 4 = √ 3 2 b cos 2 x + ı 3 = 2 2 E.7725 En el intervalo − ı ; ı de medidas principales, resuelve las dos ecuaciones siguientes : a cos 2 · x = 1 2 b sin 2 · x = √ 3 2 E.8203 Resuelve, en el intervalo − ı ; ı , las siguientes ecuaciones : a sin 2 · x = 2 2 b cos 3 · x + ı 3 = 1 2 https://chingmath.fr chapExoCorrec/2874 sacados/2874 sacados/3110 OIJC45oNOIJC60oM chapExoCorrec/7726 sacados/7726 chapExoCorrec/7703 sacados/7703 chapExoCorrec/7725 sacados/7725 sacados/8203