Bachillerato 2 / Límites de secuencias y razonamiento por recurrencia 34 ejercicios (incluyendo 32 corregidos)

a
1. Razonamiento recursivo E.3642 Restitución organizada de conocimientos. Se supondrá que se conocen los siguientes resultados : Propuesta: e 0 = 1 . Para todos los reales x y y : e x × e y = e x + y . 1 Demostrar que para todo real x : e − x = 1 e x . 2 Demostrar que para todo real x y para todo natural n : e x n = e nx E.3494 Demuestra usando razonamiento por re-currencia, que para cualquier número natural distinto de cero n , tenemos : x n − 1 = x − 1 1 + x + x 2 + · · · + x n − 1 2. Fórmula explícita para una secuencia E.4223 La sucesión u n está definida por u 0 =13 y para cualquier número natural n , tenemos : u n +1 = 1 5 · u n + 4 5 1 Demuestre por recurrencia que, para cualquier número natural : u n = 1 + 12 5 n 2 Deduce el límite de la sucesión u n . E.3660 Consideremos la sucesión ( u n ) n ∈ N definida por: u 0 = 5 ; u n = 1 + 2 n u n − 1 + 6 n para todo n ∈ N ∗ 1 Calcular u 1 , u 2 , u 3 . 2 Demostrar por recurrencia que para todo número natural n , se tiene : u n =4 n 2 +12 n +5 3 Consideremos la sucesión ( d n ) n ∈ R definida por: d n = u n +1 − u n Determinar la naturaleza de la sucesión (se precisará su primer término y su razón) . 3. Fórmula explícita, comparación y variaciones E.6713 Sea u n la sucesión definida por u 0 =2 y, para todo número natural n , por: u n +1 = 2 · u n + 2 · n 2 − n 1 Demuestre, mediante un razonamiento por recurrencia, que los términos de la sucesión u n son estrictamente positivos. 2 Demuestre que la sucesión u n es estrictamente cre-ciente en N . Consideremos también la sucesión v n definida, para todo número natural n , por: v n = u n + 2 · n 2 + 3 · n + 5 3 Establecer que la sucesión v n es una sucesión ge-ométrica de razón 2 . 4 Deducir una expresión de los términos de la sucesión u n . E.3640 Sea u n una sucesión definida por: u 0 = 1 ; u n +1 = 1 3 u n + n − 2 para todo n ∈ N 1 Mediante un razonamiento por recurrencia, demuestre que para todo número natural n 4 : u n 0 . 2 Se define la sucesión v n n ∈ N por: v n = − 2 u n + 3 n − 21 2 para todo n ∈ N a Demuestre que la sucesión v n n ∈ N es una sucesión ge-ométrica cuya razón y primer término se darán. b Deduzca que para todo n ∈ N , se tiene : u n = 25 4 · 1 3 n + 3 2 · n − 21 4 4. Suma de los términos de una secuencia E.6097 Consideremos la sucesión u n definida por: u 0 = 0 ; u n +1 = u n + 2 · n + 2 para todo n ∈ N . Definimos, para todo número natural n , la sucesión v n : v n = u n +1 − u n 1 a Expresar v n en función del número natural n . b Justificar que la sucesión v n es una sucesión arit-mética de razón 2 y precisar su primer término. 2 Se define la sucesión S n por: S n = n k =0 v k = v 0 + v 1 + · · · + v n para todo n ∈ N . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3642 sacados/3642 Liban Juin 2010 chapExoCorrec/3494 sacados/3494 chapExoCorrec/4223 sacados/4223 Extrait d'Antilles-Guyane Septembre 2008 chapExoCorrec/3660 sacados/3660 La reunion Juin 2008 chapExoCorrec/6713 sacados/6713 chapExoCorrec/3640 sacados/3640 chapExoCorrec/6097 sacados/6097
Demuestre, mediante un razonamiento por recurrencia, que : S n = ( n + 1)( n + 2) para todo n ∈ N . 5. Convergencia de secuencias monótonas E.6910 Consideremos la secuencia u n definida por: u 0 = 5 ; u n +1 = 1 3 · u n + 4 para todo n ∈ N 1 Utilizando el razonamiento por recurrencia, demuestre que la secuencia u n se incrementa en 7 . 2 Utilizando razonamientos por recurrencia, demuestre que la sucesión u n es creciente. 3 Deduce que la sucesión u n es convergente. E.3418 Consideremos la secuencia u n n ∈ N ∗ definida por: u 1 = 2 5 ; u n +1 = 1 5 · u n + 2 5 para cualquier n 1 1 Demuestra que la secuencia u n se incrementa en 1 . 2 Demuestre que la sucesión u n es creciente. 3 Justifica que la sucesión u n es convergente (no se pre-gunta el valor del límite) . E.3656 Consideremos la secuencia u n definida por: u 1 = 2 5 ; u n +1 = 1 5 · u n + 2 5 para cualquier n 1 1 Utilizando el razonamiento por recurrencia, demuestre que la secuencia ( u n ) se incrementa en 1 . 2 Demuestre que ( u n ) es creciente. 3 Justifica que la sucesión ( u n ) es convergente. E.3649 La sucesión u n se define como: u 0 =2 ; u n +1 = 1 3 · u n + 23 27 para todo n ∈ N 1 Mediante un razonamiento por recurrencia, demuestre que para todo número natural n , se tiene : u n 23 18 2 Estudiar la monotonía de la sucesión u n . 3 Establecer la convergencia de la sucesión u n . E.5732 Consideremos la secuencia u n definida por: u 0 = 1 ; u n +1 = 2 u n para cualquier número natu-ral n . 1 Demostrar que, para cualquier número natural n : 0 < u n 2 . 2 Determine la dirección de variación de la sucesión u n . 3 Demuestre que la sucesión u n es convergente. No se pregunta el valor de su límite. E.5080 Sea u n la sucesión definida para todo número natural n distinto de cero por: u 1 = 1 2 ; u n +1 = n + 1 2 · n · u n para todo n ∈ N 1 Calcular u 2 , u 3 y u 4 . 2 a Demuestre que, para todo número natural n distinto de cero, u n es estrictamente positivo. b Demuestre que la sucesión u n es decreciente. c ¾Qué se puede deducir de la sucesión u n ? 3 Para todo número natural n distinto de cero, se establece : v n = u n n a Demostrar que la sucesión v n es geométrica. Se pre-cisará su razón y su primer término v 1 . b Deducir que, para todo número natural n distinto de cero: u n = n 2 n E.6102 Sea la sucesión numérica u n definida en el conjunto de los números naturales N por: u 0 = 2 ; u n +1 = 1 5 · u n + 3 × 0 ; 5 n para todo n ∈ N . 1 a Determinar el valor del término u 1 . b Demuestre, por recurrencia, que para todo número nat-ural distinto de cero n , se tiene : u n 15 4 × 0 ; 5 n 2 Deduzca que, para todo número natural n distinto de cero: u n +1 − u n 0 3 Demuestre que la sucesión u n es convergente. 6. Divergencia de secuencias monótonas E.3473 Consideremos la secuencia u n n ∈ N definida por: u 0 = 1 ; u n +1 = 1 3 · u n + n − 2 para todo n ∈ N . 1 Calcula u 1 , u 2 y u 3 . 2 a Demuestra que para cualquier número natural n 4 : u n 0 . b Deducir que para cualquier número natural n 5 : u n n − 3 c Deduce el límite de la secuencia u n n ∈ N . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6910 sacados/6910 chapExoCorrec/3418 sacados/3418 Extrait de Asie Juin 2008 chapExoCorrec/3656 sacados/3656 Asie Juin 2008 chapExoCorrec/3649 sacados/3649 Metropoles et Reunion Septembre 2007 chapExoCorrec/5732 sacados/5732 chapExoCorrec/5080 sacados/5080 Extrait Antilles-Guyanes Juin 2012 chapExoCorrec/6102 sacados/6102 chapExoCorrec/3473 sacados/3473
0√2∞∞√2∞xVariationdef E.3442 Consideremos la secuencia u n n ∈ N definida por: u 0 = 2 u n +1 = u n + 2 n + 2 pour cualquier n ∈ N 1 Estudia la monotonicidad de la secuencia u n . 2 a Establece, razonando por recurrencia, la siguiente desigualdad para cualquier número natural n : u n > n 2 b Deducir el límite de la sucesión u n . 7. Secuencias y variaciones de funciones E.4234 Consideremos la función f definida en 0 ; + ∞ por: f ( x ) = 1 2 · x + 2 x Admitimos que la función f admite la siguiente tabla de varia-ciones : Sea u n la sucesión definida para cualquier número natural n por: u 0 = 1 2 ; u n +1 = 1 2 · u n + 2 u n 1 Utilizando el razonamiento por recurrencia, demuestre que para cualquier número natural distinto de cero n , tenemos : u n 2 2 Demuestre que para cualquier x 2 : f ( x ) x . 3 Deduce que la secuencia u n es decreciente de rango 1 . 4 Demuestra que la sucesión u n converge. E.4224 Consideremos la función f definida en 0 ; + ∞ por: f ( x ) = ln x +1 + 1 2 · x 2 1 Estudia la dirección de variación de la función f en el intervalo 0 ; + ∞ . 2 Consideremos la sucesión u n definida en N por: u 0 = 1 ; u n +1 = f u n para todo n ∈ N Demuestre utilizando razonamientos por recurrencia que, para cualquier número natural n : u n 1 . E.3645 Sea f la función definida en el intervalo 0 ; + ∞ por: f ( x ) = 6 − 5 x + 1 Admitimos que la función f es estrictamente creciente en 0 ; + ∞ . Sea ¸ el único número real positivo que verifica: f ( ¸ ) = ¸ donde ¸ = 5+ 29 2 Consideremos la secuencia u n definida por: u 0 =0 ; u n +1 = f ( u n )=6 − 5 u n +1 para todo n ∈ N 1 Demuestre que si x pertenece al intervalo 0 ; ¸ , entonces f ( x ) pertenece al intervalo 0 ; ¸ . 2 Demuestre por recurrencia que, para cualquier número natural n , tenemos : 0 u n u n +1 ¸ 3 Establece que la sucesión u n es convergente. E.10388 Considera la función f definida en R ∗ + por: f ( x ) = ln( x ) + 2 Consideremos la secuencia u n n ∈ N definida por: u 0 = e ; u n +1 = f u n 1 Establecer que para cualquier entero n ∈ N , tenemos : u n u n +1 2 a Establecer que para cualquier entero n ∈ N , tenemos : uCOPY 065 b Establecer que la sucesión u n es convergente. 8. Teorema del gendarme E.3446 Considera la secuencia u n n ∈ N verifi-cando la relación: u 0 = 4 u n +1 = 1 2 · u n + 5 u n para cualquier número natural n ∈ N 1 Utilizando el razonamiento por recurrencia, demuestre que para cualquier número natural n , tenemos : u n > 0 2 Usando razonamiento por recurrencia, establecer que para cualquier número natural n , tenemos : u n − 5 0 3 Utilizando el razonamiento por recurrencia, establecer para cualquier número natural distinto de cero n la sigu-iente desigualdad : u n − 5 1 2 n 4 Deduce de las cuestiones anteriores la convergencia de la sucesión u n y su límite. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3442 sacados/3442 chapExoCorrec/4234 sacados/4234 0√2∞∞√2∞xVariationdef chapExoCorrec/4224 sacados/4224 Extrait de Liban Juin 2008 chapExoCorrec/3645 sacados/3645 sacados/10388 chapExoCorrec/3446 sacados/3446
E.5034 Consideremos la sucesión u n definida en N por la relación: u 0 = 2 ; u n +1 = 1 2 · u n + 2 u n para todo n ∈ N 1 a Establezcamos la siguiente igualdad para todo número natural n : u n +1 − 2 = u n − 2 2 2 · u n b Deduzca, mediante un razonamiento recursivo, que para todo número natural n , se tiene : u n 2 2 a Deduzca de las preguntas anteriores el siguiente marco: 0 u n +1 − 2 u n − 2 2 b Mediante un razonamiento por recurrencia, establecer el siguiente marco para todo número natural n : 0 u n − 2 u 0 − 2 (2 n ) 3 a Dar el valor de ⏐ ⏐ u 0 − 2 ⏐ ⏐ , redondeado al milésimo. b Deduzca el límite de la sucesión u n . E.5569 Consideremos la secuencia v n definida para cualquier número natural n por: v 0 = 1 ; v n +1 = 9 6 − v n para cualquier n ∈ N 1 Demuestre por recurrencia que, para cualquier n ∈ N : 0 <v n < 3 2 a Demuestre que, para cualquier número natural n : v n +1 − v n = (3 − v n ) 2 6 − v n b Deducir que la sucesión v n es creciente. 3 Demuestra que la sucesión v n es convergente. 9. Fuerte recurrencia E.5814 Consideremos la sucesión definida por las relaciones : u 0 =3 ; u 1 =8 ; u n +1 =5 · u n − 6 · u n − 1 para todo n ∈ N ∗ 1 Determinar los valores de los términos u 2 y u 3 . 2 Mediante un razonamiento por recurrencia, demuestre que para todo número natural n distinto de cero, se tiene : u n = 2 n + 2 × 3 n 3 Determine el límite de la sucesión u n . 10. Un poco más dentro de la recurrencia E.3650 1 Sea n un número natural mayor o igual que 1 . Demostrar que : n +1 k =2 1 10 k = 1 90 · 1 − 1 10 n Es decir,: 1 10 2 + 1 10 3 + · · · + 1 10 n +1 = 1 90 · 1 − 1 10 n 2 La secuencia v n está definida por: v n =1 ; 2777 ··· 7 con n decimales consecutivos iguales a 7 . Por tanto : v 0 =1 ; 2 ; v 1 =1 ; 27 ; v 2 =1 ; 277 . Utilizando el a , demostrar que el límite de la sucesión v n es un número racional r (es decir, el cociente de dos entiers) . . E.5815 Consideremos la secuencia u n definida por u 0 = 1 2 y tal que para cualquier número natural n : u n +1 = 3 · u n 1+2 · u n 1 a Calcula u 1 y u 2 . b Demuestra, por recurrencia, que para cualquier número natural n : 0 <u n . 2 Admitimos que para cualquier número natural n : u n < 1 . a Demuestra que la sucesión u n es creciente. b Demostrar que la sucesión u n converge. (no se pre-gunta el valor del límite) . E.10610 Se define la sucesión u n por: u 0 = ; u n +1 = u n + 2 n para todo entero n ∈ N Establezca, mediante un razonamiento recursivo, la siguiente identidad para todo n ∈ N y para todo k ∈{ 0 ; 1; ::: ; n } : u n +1 = u n − k + 2 n − k · 2 k +1 − 1 11. Cursos E.5498 1 Demostrar utilizando razonamiento por recurrencia, la propiedad P n para cualquier número natural n : P n : ˇpara cualquier número real x tal que x> 0 : (1 + x ) n 1 + n · x ı Esta relación se denomina desigualdad de Bernoulli . 2 Demuestre que para cualquier número real q tal que q ∈ 1 ; + ∞ , tenemos el límite: lim n ↦→ + ∞ q n = + ∞ https://chingmath.fr chapExoCorrec/5034 sacados/5034 chapExoCorrec/5569 sacados/5569 Extrait Liban 2013 chapExoCorrec/5814 sacados/5814 chapExoCorrec/3650 sacados/3650 Extrait Metropole et Reunion Septembre 2007 chapExoCorrec/5815 sacados/5815 chapExoCorrec/10610 sacados/10610 chapExoCorrec/5498 sacados/5498
12. Ejercicios no clasificados E.3431 Consideramos las tres sucesiones a n n ∈ N , b n n ∈ N , c n n ∈ N definida por: a 0 = 1 ; b 0 = c 0 = 0 a n +1 = 1 2 · b n para todo n ∈ N b n +1 = 1 3 · a n para todo n ∈ N a n + b n + c n = 1 para todo n ∈ N 1 Demostrar que, para todo número natural n : a n +2 = 1 6 · a n . 2 De ello se deduce que, para todo número natural p : a 2 p = 1 6 p et a 2 p +1 = 0 b 2 p = 0 et b 2 p +1 = 1 3 · 1 6 p 3 Demostrar que : lim n ↦→ + ∞ a n =0 . Se admite que lim n ↦→ + ∞ b n =0 . ¾Cuál es el límite de c n cuando n tiende a + ∞ ? E.10611 Consideremos la secuencia u n definida por: u 0 = 5 ; u n +1 = u n + 2 n para todo n ∈ N Establecer, mediante razonamiento por recurrencia : u n = 2 n + 4 para todos n ∈ N E.5524 Consideremos la sucesión u n definida por: u 1 = 0 ; 1 ; u n +1 = 1 5 u n + 3 5 para todo n ∈ N ∗ 1 Demuestre por recurrencia que, para todo número natu-ral n distinto de cero, se tiene : u n = 3 4 − 13 4 · 1 5 n 2 Determinar el límite de la sucesión u n cuando n tiende a + ∞ . 3 ¾Para qué valores del entero natural n se tiene : 3 4 − u n < 10 − 7 E.5306 Las sucesiones u n n ∈ N y v n n ∈ N en términos reales se definen por: u 0 =5 ; u 1 =31 ; u n +2 =12 · u n +1 − 35 · u n para todo n ∈ N v 0 = − 1 ; v 1 = − 11 ; v n +2 =12 · v n +1 − 35 · v n para todo n ∈ N Se definen las sucesiones x n n ∈ N y y n n ∈ N mediante : x n = u n + v n ; y n = u n − v n para todo n ∈ N 1 Calcular x 0 y x 1 . Utilizando un razonamiento por recur-rencia, demostrar que la sucesión x n es una sucesión geométrica de razón 5 . 2 Demostrar igualmente que la sucesión y n es una suce-sión geométrica. 3 Calcula x n y y n en función de n ; deduce el cálculo de u n y v n en función de n . E.10543 Queremos estudiar la sucesión ( u n ) de primer término u 0 =5 definida por la siguiente relación de recurrencia : u n +1 = 1 3 u n + 4 para todo n ∈ N 1 Establecer, mediante un razonamiento por recurrencia, que para todo n ∈ N , se tiene : u n = 6 − 1 3 n 2 Deduzca la convergencia de la sucesión u n y su límite. 3 Determine a partir de qué valor de n los términos de la sucesión u n verifican : u n 5 ; 9 E.10616 Establecer, mediante un razonamiento por recurrencia y para todo n ∈ N ∗ , la identidad : 1 2 + 2 2 + · · · + n 2 = n n + 1 2 n + 1 6 https://chingmath.fr chapExoCorrec/3431 sacados/3431 chapExoCorrec/10611 sacados/10611 chapExoCorrec/5524 sacados/5524 chapExoCorrec/5306 sacados/5306 Extrait du Bac C - Amiens-Rouen Juin 1983 sacados/10543 chapExoCorrec/10616 sacados/10616