- Introducción (4 ejercicios)
- Manipulaciones algebraicas (9 ejercicios)
- Ecuaciones y desigualdades logarítmicas (8 ejercicios)
- Ecuaciones de potencias y desigualdades (4 ejercicios)
- Ecuaciones y desigualdades con cambio de variables (5 ejercicios)
- Límites (1 ejercicio)
- Límites por crecimiento comparativo (2 ejercicios)
- Derivados (2 ejercicios)
- Derivadas y tangentes (2 ejercicios)
- Estudios de funcionamiento (3 ejercicios)
- Estudio de funciones y del teorema del valor intermedio (3 ejercicios)
- Estudio de funciones con estudio de una función auxiliar (4 ejercicios)
- Estudio de las familias de funciones (6 ejercicios)
- Suites (4 ejercicios)
- Secuencias y sumas de términos (4 ejercicios)
- Logaritmos y probabilidades (3 ejercicios)
- Cursos (5 ejercicios)
E.3882
Consideremos
la
función
f
definida
por:
f
(
x
)
=
ln
x
+
x
2
+1
+
ln
−
x
+
x
2
+1
1
Consideremos
la
función
u
definida
por:
u
(
x
)
=
ln
−
x
+
x
2
+1
Por
disyunción
de
casos,
establecer
que
la
función
u
está
definida
en
R
.
2
Admitir
que
la
función
f
está
definida
en
R
.
Establece-mos
que
la
función
f
es
la
función
nula.
E.5174
Sea
f
la
función
definida
en
0
;
+
∞
por:
f
(
x
)=
x
+e
−
x
Consideremos
la
sucesión
u
n
n
1
de
términos
positivos
definida
por:
u
1
=
0
;
u
n
+1
=
f
(
u
n
)
=
u
n
+
e
−
u
n
Se
admite
que
para
todo
número
x
positivo,
se
cumple
la
relación:
ln(1+
x
)
x
1
Deduzca
que,
para
todo
número
natural
n
distinto
de
cero:
ln(
n
+1)
ln(
n
)
+
1
n
2
Demuestre
que,
para
todo
número
natural
n
distinto
de
cero:
f
ln(
n
)
=
ln(
n
)
+
1
n
3
Demuestre
por
recurrencia
que,
para
todo
número
natu-ral
n
distinto
de
cero:
ln
n
u
n
4
Deduzca
el
límite
de
la
sucesión
u
n
n
1
.
E.4232
Consideramos
la
función
f
definida
en
R
por:
f
(
x
)
=
ln
e
x
+2
·
e
−
x
La
curva
(
C
)
representativa
de
la
función
f
en
un
sistema
de
referencia.
Denotamos
(
d
)
la
recta
con
ecuación
y
=
x
1
Montrer
que,
para
cualquier
x
real:
f
(
x
)
=
x
+
ln
1+2
·
e
−
2
·
x
2
Étudier
la
posición
relativa
de
la
curva
C
f
y
la
recta
(
d
)
.
E.10387
Consideremos
la
función
f
definida
en
R
∗
+
por:
f
(
x
)
=
6
×
ln(2
x
)
Definimos
la
función
g
en
R
∗
+
por:
g
(
x
)
=
f
(2
x
)
1
Establecemos
que
para
todo
x
perteneciente
al
intervalo
R
∗
+
,
se
tiene
:
g
(
x
)
−
f
(
x
)
=
ln(64)
2
En
un
sistema
de
coordenadas
ortonormales,
consider-amos
las
dos
curvas
C
f
y
C
g
representativas
respectiva-mente
de
las
funciones
f
y
g
.
¾Qué
interpretación
se
puede
dar
a
la
pregunta
1
en
relación
con
las
curvas
C
f
y
C
g
?
3.
Ecuaciones
y
desigualdades
logarítmicas
E.3883
Para
cada
pregunta,
especifica
el
con-junto
solución
de
la
ecuación
y
luego
resuélvela:
a
ln(5
x
+1)
=
ln(
x
−
1)
b
2
·
ln(3
−
x
)
=
ln(2)
c
ln(3
x
+1)
=
5
d
3
·
e
2
x
−
1
=
2
e
ln
x
2
−
ln
x
−
2
=
0
f
e
2
x
+
4
·
e
x
−
1
=
0
E.3884
Resuelve,
en
R
,
los
dos
sistemas
de
ecua-ciones
siguientes
:
a
2
·
ln
x
−
3
·
ln
y
=
−
11
ln
x
+
ln
y
=
2
b
ln(2
·
x
+
y
)
=
0
ln(
x
)
+
ln(
y
)
=
1
E.5899
1
Resuelve
en
−
1
;
+
∞
,
la
inecuación
:
(
E
):
ln(
x
+1)
ln
x
2
+1
2
Resuelve
en
−
3
;
2
,
la
inecuación
:
(
F
):
ln(4
−
2
x
)
<
ln(
x
+3)
E.5897
Considera
la
inecuación
:
(
E
):
ln(
x
+1)
ln(2
−
x
)
1
Dar
la
mayor
parte
I
de
R
en
la
que
las
dos
expresiones
ln(
x
+1)
y
ln(2
−
x
)
están
definidas.
2
Resuelve
la
inecuación
(
E
)
.
E.3885
Determinar
el
conjunto
de
resolución
de
cada
una
de
estas
desigualdades
y
resolverlas
:
a
ln(
x
)
>
9
b
ln(
x
)
1
2
c
ln
x
2
−
3
·
ln
x
+1
>
0
d
−
ln
x
2
+4
·
ln
x
+1
0
e
e
3
·
x
<
0
f
e
2
·
x
−
e
x
−
6
>
0
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/3882
sacados/3882
chapExoCorrec/5174
sacados/5174
chapExoCorrec/4232
sacados/4232
sacados/10387
chapExoCorrec/3883
sacados/3883
chapExoCorrec/3884
sacados/3884
chapExoCorrec/5899
sacados/5899
chapExoCorrec/5897
sacados/5897
chapExoCorrec/3885
sacados/3885
E.4192
Un
recipiente
contiene
un
gas
for-mado
por
dos
tipos
de
partículas
:
75
%
de
partículas
A
y
25
%
de
partículas
B
.
Las
partículas
A
son
radiactivas
y
se
transforman
espontánea-mente
en
partículas
B
;
cada
partícula
A
da
una
partícula
B
cuando
se
transforma.
Observamos
p
(
t
)
la
proporción
de
partículas
A
en
el
gas.
Así,
en
el
tiempo
t
=0
,
tenemos
p
(0)=0
;
75
.
De
forma
más
general,
si
t
se
expresa
en
años,
tenemos
:
p
(
t
)
=
0
;
75
·
e
−
λ
·
t
où
–
es
una
constante
real.
La
vida
media
de
las
partículas
del
tipo
A
es
igual
a
5
730
años.
1
Calculer
–
,
redondeada
a
la
10
−
5
más
próxima.
2
¾Al
cabo
de
cuántos
años
las
10
%
partículas
de
tipo
A
se
habrán
transformado
en
partículas
de
tipo
B
?
3
Déterminer
el
valor
de
t
para
el
que
habrá
tantas
partícu-las
de
tipo
A
como
partículas
de
tipo
B
(redondeando
a
la
unité)
.
más
próxima.
E.6254
Consideremos
la
función
f
definida
en
0
;
+
∞
por:
f
(
x
)
=
5
·
e
−
x
−
3
·
e
−
2
x
+
x
−
3
Denotemos
por
C
f
la
representación
gráfica
de
la
función
f
y
por
D
la
recta
de
ecuación
y
=
x
−
3
en
un
sistema
de
coorde-nadas
ortogonales
del
plano.
Se
admite
que
la
curva
C
f
se
sitúa
por
encima
de
la
recta
(
D
)
en
el
intervalo
0
;
+
∞
.
Denotemos
por
M
el
punto
de
abscisa
x
de
la
curva
C
f
,
por
N
el
punto
de
abscisa
x
de
la
recta
D
y
nos
interesemos
por
la
evolución
de
la
distancia
MN
.
1
Para
todo
x
del
intervalo
0
;
+
∞
,
determinar
la
expre-sión
de
la
distancia
MN
en
función
de
x
.
Se
anotará
g
esta
función.
2
Denotemos
por
g
la
función
derivada
de
la
función
g
en
el
intervalo
0
;
+
∞
.
Para
todo
x
del
intervalo
0
;
+
∞
,
calcular
g
(
x
)
.
3
Demuestre
que
la
función
g
tiene
un
máximo
en
el
inter-valo
0
;
+
∞
que
determinaremos.
Dé
una
interpretación
gráfica.
E.10389
Resuelve
la
inecuación
:
ln
x
+
1
ln
2
x
−
3)
4.
Ecuaciones
de
potencias
y
desigualdades
E.3886
Resuelve,
en
Z
,
las
siguientes
inecua-ciones
:
a
5
n
2
b
0
;
1
n
2
c
ln
2
n
<
e
2
d
ln
2
n
−
ln
3
n
2
E.5898
1
Consideremos
la
sucesión
u
n
geométrica
de
primer
tér-mino
5
y
razón
2
3
.
a
¾Cuál
es
el
límite
de
la
sucesión
u
n
?
b
Determinar
el
menor
entero
natural
n
que
cumple
la
desigualdad
:
u
n
<
0
;
01
2
Consideremos
la
sucesión
geométrica
v
n
de
primer
tér-mino
2
y
razón
4
5
.
Denotemos
por
S
n
la
suma
de
los
(
n
+1)
primeros
términos
de
la
sucesión
v
n
:
S
n
=
v
0
+
v
1
+
·
·
·
+
v
n
a
Justifique
que
la
sucesión
S
n
es
creciente.
b
Expresar
la
suma
S
n
en
función
del
rango
n
.
c
Justificar
que,
a
partir
de
un
determinado
rango,
todos
los
términos
de
la
sucesión
S
n
pertenecen
al
intervalo
9
;
9
;
10
.
d
Determinar
el
menor
entero
natural
n
que
cumple
S
n
∈
9
;
9
;
10
.
E.3288
Consideremos
la
función
f
definida
en
1
;
+
∞
por:
f
(
x
)
=
1
+
1
x
10
1
Estudia
el
sentido
de
la
variación
y
el
límite
en
+
∞
de
la
función
f
.
2
Demuestre
que
existe
en
el
intervalo
1
;
+
∞
un
único
número
real
¸
tal
que
f
(
¸
)=1
;
9
.
3
Determina
el
número
natural
n
0
tal
que
:
n
0
−
1
¸
n
0
.
4
Demuestre
que,
para
cualquier
número
natural
n
mayor
o
igual
que
16
,
tenemos
:
1
+
1
n
10
1
;
9
.
E.5204
Una
empresa
fabrica
artículos.
Tras
una
serie
de
comprobaciones,
se
detecta
que
un
artículo
tiene
al
menos
un
defecto
con
una
probabilidad
de
0
;
0494
.
Un
pequeño
minorista
hace
un
pedido
de
artículos
a
esta
em-presa.
Las
existencias
son
lo
suficientemente
grandes
como
para
que
la
selección
de
estos
artículos
se
trate
como
un
sor-teo
sucesivo
e
independiente.
1
Pide
25
artículos,
calcula,
à
10
−
3
al
más
cercano,
la
prob-abilidad
de
que
haya
más
de
2
artículos
defectuosos
en
su
pedido.
2
Quiere
que
la
probabilidad
de
tener
al
menos
un
artículo
defectuoso
en
su
pedido
se
mantenga
por
debajo
de
50
%
.
Determine
el
valor
máximo
del
número
n
de
artículos
que
puede
pedir.
5.
Ecuaciones
y
desigualdades
con
cambio
de
variables
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/4192
sacados/4192
Extrait France
Septembre 2004
chapExoCorrec/6254
sacados/6254
sacados/10389
chapExoCorrec/3886
sacados/3886
chapExoCorrec/5898
sacados/5898
chapExoCorrec/3288
sacados/3288
chapExoCorrec/5204
sacados/5204
Extrait d'Antilles-Guyanne
Juin 2003
E.5846
Resuelve
la
ecuación
y
la
inecuación
que
aparecen
a
continuación
:
a
e
2
x
+
2
·
e
x
−
3
=
0
b
e
2
x
+
e
x
−
2
<
0
E.6872
Resuelve
la
inecuación
:
2
·
e
2
·
x
+6
·
e
x
−
8
<
0
E.3705
Sea
f
la
función
definida
por
la
relación:
f
(
x
)
=
2e
2
x
−
e
x
e
2
x
−
e
x
+
1
1
Determinar
el
conjunto
D
f
de
definición
de
la
función
f
.
2
Se
denota
f
la
función
derivada
de
la
función
f
.
De-muestre
que
la
función
f
admite
la
expresión
:
f
(
x
)
=
−
e
x
·
e
2
x
−
4
·
e
x
+
1
e
2
x
−
e
x
+
1
2
3
a
Estudie
el
signo
del
polinomio
x
2
−
4
x
+1
.
b
Deduzca
que
la
función
f
admite
la
siguiente
tabla
de
signos
:
x
−∞
a
b
+
∞
f
(
x
)
−
0
+
0
−
Se
precisarán
los
valores
de
a
y
b
.
4
a
Determinar
el
límite
de
f
en
−∞
y
en
+
∞
.
b
Elaborar
la
tabla
de
variaciones
de
la
función
f
.
Con
ayuda
de
la
calculadora,
se
indicarán
los
valores
de
f
(
a
)
y
f
(
b
)
redondeados
al
centésimo.
E.1255
Sea
f
la
función
definida
en
R
por:
f
(
x
)=1
−
4
·
e
x
e
2
·
x
+1
.
Observe
C
su
curva
representativa
en
un
sistema
de
referencia
ortogonal
O
;
−→
i
;
−→
j
.
En
el
gráfico
siguiente,
hemos
dibujado
la
curva
C
.
Interseca
el
eje
x
en
los
puntos
A
y
B
.
El
propósito
de
esta
parte
es
demostrar
algunas
propiedades
de
la
función
f
que
se
pueden
conjeturar
a
partir
de
la
gráfica.
1
La
función
f
parece
ser
creciente
en
el
intervalo
0
;
+
∞
.
a
Verifica
que
para
cualquier
real
x
:
f
(
x
)
=
4
·
e
x
·
e
2
·
x
−
1
e
2
·
x
+
1
2
b
Deduce
la
dirección
de
variación
de
la
función
f
en
el
intervalo
0
;
+
∞
2
La
recta
de
ecuación
x
=0
parece
ser
un
eje
de
simetría
de
la
curva
C
.
Demuestra
que
esta
conjetura
es
cierta.
(Pregunta
ajena
al
temario
de
2012)
3
Denotemos
por
a
la
abscisa
del
punto
A
y
establezcamos
c
=e
a
.
a
Demuestre
que
el
número
real
c
es
una
solución
de
la
ecuación
:
x
2
−
4
·
x
+
1
=
0
Deduzca
el
valor
exacto
de
a
.
b
Indique
el
signo
de
f
(
x
)
según
los
valores
de
x
.
E.5845
Resuelve
las
siguientes
inecuaciones
:
a
e
x
+
3
e
x
−
1
>
0
b
−
e
2
x
−
e
x
+
2
>
0
6.
Límites
E.3888
Determina
el
valor
de
los
siguientes
límites:
a
lim
x
↦→
+
∞
2
·
ln
x
+
x
b
lim
x
↦→−
3
+
ln(
x
+3)
−
3
·
x
c
lim
x
↦→
0
+
ln(
x
)
−
1
x
d
lim
x
↦→
+
∞
ln
e
x
+1
e
lim
x
↦→
0
+
e
−
2
·
ln
x
+1
f
lim
x
↦→
+
∞
ln
x
2
−
x
7.
Límites
por
crecimiento
comparativo
E.3889
Determina
los
siguientes
límites:
a
lim
x
↦→
+
∞
ln
x
x
b
lim
x
↦→
0
+
x
·
ln
x
c
lim
x
↦→
0
ln(1+
x
)
x
d
lim
x
↦→
0
+
ln(
x
)
·
(
x
2
+
2)
e
lim
x
↦→
+
∞
x
−
2
ln
x
f
lim
x
↦→
+
∞
x
·
ln
1+
1
x
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/5846
sacados/5846
chapExoCorrec/6872
sacados/6872
chapExoCorrec/3705
sacados/3705
chapExoCorrec/1255
sacados/1255
-4-3-2-101234-11ijBA
chapExoCorrec/5845
sacados/5845
chapExoCorrec/3888
sacados/3888
chapExoCorrec/3889
sacados/3889
E.4305
El
plano
está
provisto
de
un
sis-tema
de
coordenadas
ortonormales
O
;
−→
i
;
−→
j
.
Considere-mos
la
función
numérica
’
definida
en
R
por:
’
(
x
)
=
ln
x
2
−
2
·
x
+2
−
x
1
Determinar
el
límite
de
’
en
−∞
.
2
a
Demuestre
que,
para
todo
número
real
x
estricta-mente
positivo,
’
(
x
)
=
x
·
2
·
ln
x
x
+
ln
1
−
2
x
+
2
x
2
x
−
1
b
Deduzca
el
límite
de
’
en
+
∞
.
8.
Derivados
E.3887
Determina
la
expresión
de
la
función
derivada
de
cada
una
de
las
siguientes
funciones
:
a
f
(
x
)
=
x
·
ln
x
b
g
(
x
)
=
ln
x
+
1
x
2
+
1
c
h
(
x
)
=
ln
1
−
x
d
j
(
x
)
=
ln
e
x
−
1
E.5148
Consideremos
la
función
f
definida
en
0
;
+
∞
por:
f
(
x
)
=
x
2
·
ln
x
La
curva
(
C
)
representativa
de
la
función
f
en
el
plano
dotado
de
un
sistema
de
referencia
ortonormal.
1
a
Determine
el
límite
de
f
en
+
∞
.
b
Estudiar
las
variaciones
de
f
en
0
;
+
∞
2
Para
esta
pregunta,
cualquier
rastro
de
investigación,
por
incompleto
que
sea,
se
tendrá
en
cuenta
en
la
evaluación.
Demuestre
que
existe
una
única
tangente
a
la
curva
C
que
pasa
por
O
.
Especifica
una
ecuación
de
esta
tan-gente.
9.
Derivadas
y
tangentes
E.4230
Sea
f
la
función
definida
en
el
intervalo
0
;
+
∞
por:
f
(
x
)
=
x
·
1
−
ln
x
1
Justifica
que
la
función
f
es
derivable
en
0
;
+
∞
y
que
tiene
como
derivada
la
función
f
cuya
expresión
es
:
f
(
x
)
=
−
ln
x
2
Sea
a
un
número
real
estrictamente
positivo.
Consider-emos
la
tangente
(
T
a
)
en
el
punto
A
de
la
curva
C
de
abscisa
a
.
a
Determina,
en
función
del
número
real
a
,
las
coorde-nadas
del
punto
A
,
punto
de
intersección
de
la
recta
(
T
a
)
y
el
eje
y.
b
Explicar
un
procedimiento
sencillo
para
construir
la
tangente
(
T
a
)
.
Construye
sobre
la
representación
grá-fica
de
la
curva
C
dada
a
continuación,
la
tangente
(
T
a
)
en
el
punto
A
situado
en
la
figura.
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/4305
sacados/4305
chapExoCorrec/3887
sacados/3887
chapExoCorrec/5148
sacados/5148
chapExoCorrec/4230
sacados/4230
ijCaAf(a
E.1616
Consideremos
la
función
f
definida
en
0
;
+
∞
por:
f
(
x
)
=
x
+
ln
x
x
Observamos
C
la
curva
representativa
de
la
función
f
en
el
plano
provista
de
una
referencia
ortonormal
O
;
−→
i
;
−→
j
de
unidad
gráfica
3
cm
.
1
Determina
el
límite
en
0
de
la
función
f
.
Cuál
es
la
interpretación
gráfica
de
este
resultado?
Admitimos
que
la
función
f
admite
como
derivada
la
función
f
cuya
expresión
es
:
f
(
x
)
=
1
+
1
−
ln
x
x
y
que
la
función
f
es
estrictamente
creciente.
Denotamos
(
d
)
a
la
recta
de
ecuación
y
=
x
.
2
a
Determine
la
abscisa
del
punto
A
de
la
curva
C
en
el
que
la
tangente
(
T
)
es
paralela
a
la
recta
(
d
)
.
b
Determina
la
ecuación
de
la
tangente
(
T
)
.
3
Dibuja
con
la
calculadora
las
rectas
(
d
)
y
(
T
)
y
la
curva
C
.
10.
Estudios
de
funcionamiento
E.4971
1
Considere
la
función
g
definida
en
R
∗
+
por
la
relación:
g
(
x
)
=
2
+
2
x
2
·
ln
x
−
1
Demuestre
que
la
función
g
es
estrictamente
positiva
en
R
∗
+
.
2
Consideremos
la
función
f
definida
en
R
∗
+
por
la
relación:
f
(
x
)
=
x
2
+
ln
x
2
a
Determina
la
expresión
de
la
derivada
f
,
luego
la
se-gunda
derivada
f
de
la
función
f
.
b
Demuestre
que
la
función
f
admite
un
mínimo
único
en
R
∗
+
.
E.4316
Consideremos
la
función
g
definida
en
0
;
+
∞
por:
g
(
x
)
=
ln
x
2
x
1
Establecer
la
relación:
g
(
x
)
=
4
·
ln
x
x
2
2
Calcula
la
derivada
g
de
la
función
g
.
3
a
Determina
los
límites
de
la
función
g
en
0
y
+
∞
.
b
Elabora
la
tabla
de
variaciones
de
la
función
g
.
E.3897
El
plano
se
refiere
a
un
sistema
de
coordenadas
ortonormales
O
;
−→
i
;
−→
j
.
Se
considera
la
fun-ción
f
definida
en
el
intervalo
0
;
+
∞
par
:
f
(
x
)=
−
3
−
ln
x
+2
·
ln
x
2
Se
denota
C
su
curva
representativa.
1
a
Resolver
en
0
;
+
∞
la
ecuación
:
f
(
x
)=0
.
(Podemos
plantear:
ln
x
=
X
)
.
b
Resolver
en
0
;
+
∞
la
desigualdad
:
f
(
x
)
>
0
.
2
a
Determinar
los
límites
de
f
en
0
y
en
+
∞
.
b
Calcular
f
(
x
)
.
c
Estudiar
el
sentido
de
variación
de
f
y
elaborar
su
tabla
de
variaciones.
3
Determinar
una
ecuación
de
la
tangente
T
a
la
curva
(
C
)
en
el
punto
de
abscisa
e
5
4
.
4
Se
propone
estudiar
la
posición
de
la
curva
(
C
)
con
re-specto
a
la
recta
(
T
)
.
Para
ello,
consideramos
la
función
’
,
definida
en
0
;
+
∞
par
:
’
(
x
)
=
f
(
x
)
−
4
·
e
−
5
4
·
x
−
41
8
a
Montrer
que
:
’
(
x
)=
4
·
ln
x
−
1
x
−
4
·
e
−
5
4
y
calcular
’
(
x
)
.
b
Estudiar
el
sentido
de
variación
de
’
sur
0
;
+
∞
.
De
ello
se
deduce
que,
para
todo
x
perteneciente
a
0
;
+
∞
,
se
tiene
:
’
(
x
)
0
.
c
Calculer
’
e
5
4
.
Para
cualquier
x
perteneciente
a
0
;
+
∞
,
determina
el
signo
de
’
(
x
)
.
Deduce
la
posición
de
la
curva
(
C
)
relativa
a
la
recta
(
T
)
.
5
Dibuja
la
curva
(
C
)
et
la
recta
(
T
)
.
(unidad
gráfica
:
2
cm
)
11.
Estudio
de
funciones
y
del
teorema
del
valor
intermedio
E.4297
Sea
f
la
función
definida
en
el
intervalo
0
;
+
∞
por:
f
(
x
)
=
ln
x
2
+
4
1
Estudia
la
dirección
de
variación
de
la
función
f
en
el
intervalo
0
;
+
∞
.
2
Sea
g
la
función
definida
en
el
intervalo
0
;
+
∞
por:
g
(
x
)
=
f
(
x
)
−
x
a
Estudia
la
dirección
de
variación
de
la
función
g
en
el
intervalo
0
;
+
∞
.
b
Demuestre
que
en
el
intervalo
2
;
3
la
ecuación
g
(
x
)=
0
admite
una
única
solución,
que
denotaremos
¸
.
Dar
el
valor
redondeado
de
¸
en
10
−
1
.
c
Justifica
que
el
número
real
¸
es
la
solución
única
de
la
ecuación
f
(
x
)=
x
.
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/1616
sacados/1616
Extrait Antilles-Guyane
Septembre 2010
sacados/4971
A verifier
chapExoCorrec/4316
sacados/4316
Inspiree d'Asie
Juin 2011
chapExoCorrec/3897
sacados/3897
Extrait Antilles-Guyane
Septembre 2001
chapExoCorrec/4297
sacados/4297
E.5963
Se
denomina
f
a
la
función
definida
en
el
intervalo
I
=
−
2
;
+
∞
por:
f
(
x
)
=
1
+
x
·
ln(
x
+2)
Se
denota
(
C
f
)
a
la
curva
representativa
de
f
en
el
sistema
de
coordenadas
ortonormales
O
;
−→
i
;
−→
j
.
Parte
A
:
estudio
de
la
función
f
1
Estudio
de
las
variaciones
de
la
derivada
f
:
a
f
designa
la
función
derivada
primera
de
f
y
f
la
fun-ción
derivada
segunda.
Calcular
f
(
x
)
y
luego
f
(
x
)
para
x
perteneciente
al
intervalo
−
2
;
+
∞
.
b
Estudiar
las
variaciones
de
f
en
el
intervalo
−
2
;
+
∞
.
c
Determinar
los
límites
de
f
en
−
2
y
en
+
∞
.
2
Estudiar
el
signo
de
f
(
x
)
.
a
Demostrar
que
en
el
intervalo
−
2
;
+
∞
la
ecuación
f
(
x
)=0
admite
una
única
solución
¸
perteneciente
al
intervalo
−
0
;
6
;
−
0
;
5
.
b
Deduzca
el
signo
de
f
(
x
)
según
los
valores
de
x
.
3
Estudio
de
las
variaciones
de
f
:
a
Estudie
las
variaciones
de
la
función
f
en
el
intervalo
−
2
;
+
∞
.
b
Determinar
los
límites
de
f
en
−
2
y
en
+
∞
.
c
Elaborar
la
tabla
de
variaciones
de
f
.
Con
ayuda
de
la
calculadora,
se
indicarán
las
coordenadas
del
punto
de
abscisa
¸
con
una
precisión
de
10
−
3
.
Parte
B
Sea
x
0
un
número
real
perteneciente
al
intervalo
−
2
;
+
∞
,
llamamos
T
x
0
a
la
tangente
a
la
curva
(
C
f
)
en
el
punto
de
abscisa
x
0
.
Se
observa
que,
para
x
perteneciente
al
intervalo
−
2
;
+
∞
:
d
(
x
)
=
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
·
x
−
x
0
+
f
(
x
0
)
1
Estudio
de
las
variaciones
de
d
:
a
Verifica
que,
para
todo
x
perteneciente
al
intervalo
−
2
;
+
∞
:
d
(
x
)
=
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
b
Utilizando
el
crecimiento
de
la
función
f
,
da
el
signo
de
d
(
x
)
según
los
valores
de
x
.
Deduzca
las
variaciones
de
d
en
el
intervalo
−
2
;
+
∞
.
2
Determine
la
posición
relativa
de
(
C
f
)
y
T
x
0
.
E.5149
1
Sea
f
la
función
definida
en
0
;
+
∞
par
:
f
(
x
)
=
x
·
e
x
−
1
a
Determinar
el
límite
de
la
función
f
en
+
∞
y
estudiar
el
sentido
de
variación
de
f
.
b
Demostrar
que
la
ecuación
f
(
x
)=0
admite
una
única
solución
¸
en
el
intervalo
0
;
+
∞
.
Determinar
un
valor
aproximado
de
¸
a
10
−
2
cerca.
c
Determinar
el
signo
de
f
(
x
)
según
los
valores
de
x
.
2
Se
denota
C
la
curva
representativa
de
la
función
ex-ponencial
y
Γ
la
de
la
función
logaritmo
neperiano
en
el
plano
provisto
de
un
sistema
de
coordenadas
ortonor-males
O
;
−→
i
;
−→
j
.
Las
curvas
C
f
y
Γ
se
muestran
a
continuación
:
Sea
x
un
número
real
estrictamente
positivo.
Sea
M
el
punto
de
C
de
abscisa
x
y
N
le
el
punto
de
Γ
d
de
abscisa
x
.
Recordemos
que
para
cualquier
real
x
estrictamente
pos-itivo:
e
x
>
ln(
x
)
.
a
Muestre
que
la
longitud
MN
est
mínima
cuando
x
=
¸
.
Da
un
valor
aproximado
de
esta
longitud
al
10
−
2
más
cercano.
b
Usando
la
pregunta
1
,
demuestra
que
:
e
α
=
1
¸
.
Deduce
que
la
tangente
en
C
el
punto
de
abscisa
¸
y
la
tangente
en
Γ
au
el
punto
de
abscisa
¸
sont
son
paralelas.
12.
Estudio
de
funciones
con
estudio
de
una
función
auxiliar
E.109
Consideremos
la
función
f
definida
en
1
;
+
∞
por:
f
(
x
)
=
x
−
ln(
x
)
x
1
Sea
g
la
función
definida
en
1
;
+
∞
por:
g
(
x
)
=
x
2
−
1
+
ln(
x
)
Demuestre
que
la
función
g
es
positiva
en
1
;
+
∞
.
2
a
Demuestre
que,
para
cualquier
x
de
1
;
+
∞
:
f
(
x
)
=
g
(
x
)
x
2
b
Deduzca
la
dirección
de
variación
de
f
en
1
;
+
∞
.
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/5963
sacados/5963
chapExoCorrec/5149
sacados/5149
Extrait Antilles-Guyanne
Juin 2011
-123456I-12345678JOCMN
chapExoCorrec/109
sacados/109
E.5141
Parte
A
Consideremos
la
función
g
definida
en
el
intervalo
0
;
+
∞
por:
g
(
x
)=2
x
3
−
1+2
·
ln
x
1
Étudier
las
variaciones
de
la
función
g
en
el
intervalo
0
;
+
∞
.
2
Justifique
que
existe
un
único
real
¸
tal
que
g
(
¸
)=0
.
Dar
un
valor
aproximado
de
¸
,
redondeado
a
la
centésima.
3
Determinar
el
signo
de
la
función
g
en
el
intervalo
0
;
+
∞
.
Parte
B
Consideremos
la
función
f
definida
en
el
intervalo
0
;
+
∞
por:
f
(
x
)=2
x
−
ln
x
x
2
Sea
C
la
curva
representativa
de
la
función
f
en
el
plano,
provista
de
un
sistema
de
referencia
ortogonal
O
;
−→
i
;
−→
j
.
1
Déterminer
los
límites
de
la
función
f
en
0
y
+
∞
.
2
Justifier
que
f
(
x
)
tiene
el
mismo
signo
que
g
(
x
)
.
3
Determinar
la
tabla
de
variaciones
de
la
función
f
.
4
Tracer
la
curva
C
en
el
sistema
de
referencia
O
;
−→
i
;
−→
j
.
Las
unidades
serán
2
cm
en
el
eje
x
y
1
cm
en
el
eje
y.
E.3891
Consideremos
la
función
f
definida
en
0
;
+
∞
por:
f
(
x
)
=
x
+
ln
x
x
Denotemos
por
C
la
curva
representativa
de
la
función
f
en
el
plano
provisto
de
un
sistema
de
coordenadas
ortonormales
O
;
−→
i
;
−→
j
de
unidad
gráfica
3
cm
.
I-
Estudio
de
una
función
auxiliar
Consideremos
la
función
f
definida
en
0
;
+
∞
por:
g
(
x
)
=
x
2
+
1
−
ln
x
1
Estudiar
las
variaciones
de
g
en
0
;
+
∞
.
2
Deducir
el
signo
de
g
en
0
;
+
∞
.
II-
Estudio
de
la
función
f
y
trazado
de
su
curva
rep-resentativa
C
1
Determinar
el
límite
en
0
de
la
función
f
.
¾Cuál
es
la
interpretación
gráfica
de
este
resultado?
2
Determinar
el
límite
en
+
∞
de
f
.
3
Sea
f
la
función
derivada
de
la
función
f
.
Calcular
f
(
x
)
para
todo
real
x
de
0
;
+
∞
.
4
Deduzca
el
sentido
de
variación
de
f
en
0
;
+
∞
y,
a
con-tinuación,
elabore
la
tabla
de
variaciones
de
la
función
f
.
Consideremos
la
recta
D
de
ecuación
y
=
x
.
5
Determine
el
punto
A
de
la
curva
C
en
el
que
la
tangente
T
es
paralela
a
la
recta
D
.
6
En
el
sistema
de
coordenadas
O
;
−→
i
;
−→
j
,
trazar
las
rec-tas
D
y
T
y
la
curva
C
.
E.5959
Parte
A
:
Estudio
de
una
función
auxiliar
g
Sea
g
la
función
definida
en
el
intervalo
0
;
+
∞
por:
g
(
x
)
=
2
x
2
−
x
2
+
1
·
ln
x
2
+1
1
Al
detallar
los
cálculos
realizados,
demuestre
que
:
g
(
x
)
=
2
x
−
2
x
·
ln
x
2
+1
2
Estudie
la
dirección
de
variación
de
g
sobre
el
intervalo
0
;
+
∞
.
3
Montrer
que
existe
un
único
real,
que
denotaremos
¸
,
en
el
intervalo
e
−
1
;
e
2
−
1
,
tal
que
g
(
¸
)=0
;
dar
el
valor
aproximado
de
¸
al
10
−
2
más
próximo.
4
Determine
el
signo
de
g
(
x
)
,
para
x
perteneciente
al
inter-valo
0
;
+
∞
.
Partie
B:
Estudia
la
función
f
La
función
f
está
definida
en
0
;
+
∞
por:
f
(0)
=
0
;
f
(
x
)
=
ln
1+
x
2
x
lorsque
x
=0
.
Su
curva
representativa
(
C
f
)
,
en
el
plano
referido
a
un
sistema
de
referencia
de
origen
O
se
da
a
continuación
:
1
a
Demuestre
que
:
lim
x
↦→
0
f
(
x
)
x
=
1
.
Deduzca
que
f
es
derivable
en
0
y
dé
el
valor
de
f
(0)
.
b
Verifique
que,
para
x
estrictamente
positiva:
f
(
x
)
=
g
(
x
)
x
2
·
1
+
x
2
Investigue
la
dirección
de
variación
de
f
en
el
intervalo
0
;
+
∞
.
2
a
Muestre
que,
para
x
1
:
0
f
(
x
)
ln
2
x
2
x
b
En
deduce
el
límite
de
f
en
+
∞
.
13.
Estudio
de
las
familias
de
funciones
E.5962
Se
da
al
plano
un
sistema
de
co-ordenadas
ortonormal
O
;
−→
i
;
−→
j
.
Partie
A
Sea
f
la
función
definida
en
0
;
+
∞
por:
f
(
x
)
=
1
+
2
·
ln
x
x
2
Sea
(
C
)
la
curva
representativa
de
f
y
sea
(
C
)
la
de
la
función
h
definida
en
0
;
+
∞
por:
h
(
x
)=
1
x
.
1
Calculer
la
derivada
f
de
f
y
estudiamos
las
variaciones
de
f
.
2
Pour
cualquier
x
de
0
;
+
∞
,
planteamos
:
g
(
x
)
=
1
−
x
+
2
·
ln
x
a
Étudier
las
variaciones
de
la
función
g
.
b
Muestre
que
la
ecuación
g
(
x
)=0
admite
una
solución
única
en
cada
uno
de
los
intervalos
0
;
2
y
2
;
4
.
Sea
¸
la
solución
perteneciente
a
2
;
4
.
Dé
una
caja
para
¸
de
magnitud
10
−
2
.
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/5141
sacados/5141
Extrait du Liban
Mai Juin 2012
chapExoCorrec/3891
sacados/3891
chapExoCorrec/5959
sacados/5959
Extrait Centres etrangers
Juin 1999
chapExoCorrec/5962
sacados/5962
Extrait d'Asie
Juin 2003
3
a
Montrer
que
f
(
x
)
−
1
x
=
g
(
x
)
x
2
y
deduzca
que
(
C
)
y
(
C
)
se
intersecan
en
dos
puntos.
b
Muestre
que,
para
cualquier
real
x
mayor
o
igual
que
4
,
la
siguiente
desigualdad
doble
es
cierta:
0
<f
(
x
)
1
x
Partie
B
Consideremos,
para
cualquier
número
entero
n
mayor
o
igual
que
1
,
la
función
f
n
definida
en
0
;
+
∞
por:
f
n
(
x
)
=
1
+
2
ln
x
x
2
n
1
Calculer
la
derivada
f
n
de
la
función
f
n
.
2
Resuelve
la
ecuación
f
n
(
x
)=0
.
Sea
x
n
la
solución
de
esta
ecuación.
3
Determine
el
límite
de
la
sucesión
x
n
.
.
E.5150
Para
todo
número
natural
n
mayor
o
igual
que
1
,
se
designa
por
f
n
la
función
definida
por:
f
n
(
x
)
=
x
n
·
e
−
x
Se
denota
C
n
su
curva
representativa
en
un
sistema
de
coor-denadas
ortogonales
O
;
−→
i
;
−→
j
del
plano.
En
el
gráfico
siguiente
se
ha
representado
una
curva
C
k
donde
k
es
un
número
natural
distinto
de
cero,
su
tangente
T
k
en
el
punto
de
abscisa
1
y
la
curva
C
3
.
La
recta
T
k
corta
el
eje
de
abscisas
en
el
punto
A
de
coorde-nadas
4
5
;
0
.
1
a
Determinar
los
límites
de
la
función
f
1
en
−∞
y
en
+
∞
.
b
Estudiar
las
variaciones
de
la
función
f
1
y
elaborar
la
tabla
de
variaciones
de
f
1
.
c
Utilizando
el
gráfico,
justifique
que
k
es
un
número
entero
mayor
o
igual
que
2
.
2
a
Demuestre
que
para
n
1
,
todas
las
curvas
C
n
pasan
por
el
punto
O
y
otro
punto
cuyas
coordenadas
se
darán.
b
Verificar
que
para
todo
número
natural
n
mayor
o
igual
a
2
,
y
para
todo
número
real
x
:
f
n
(
x
)
=
x
n
−
1
·
(
n
−
x
)
·
e
−
x
3
En
el
gráfico,
la
función
f
3
parece
admitir
un
máximo
al-canzado
para
x
=3
.
Valida
esta
conjetura
mediante
una
demostración.
4
a
Demuestra
que
la
recta
T
k
corta
el
eje
de
abscisas
en
el
punto
de
coordenadas
k
−
2
k
−
1
;
0
.
b
A
partir
de
los
datos
del
enunciado,
deduzca
el
valor
del
entero
k
.
E.5856
Parte
A
Consideremos
la
familia
de
funciones
f
k
definida
para
k
∈
N
por:
f
k
(
x
)=(
x
+
k
)
·
e
x
+
x
Denotemos
por
C
k
la
curva
representativa
de
la
función
f
k
en
un
sistema
de
coordenadas
ortonormales.
¾Qué
función
de
la
familia
f
k
admite
la
recta
(
d
)
de
ecuación
y
=
x
−
e
−
2
como
tangente
en
el
punto
de
abscisa
−
2
?
Parte
B
1
Consideremos
la
función
g
definida
por:
g
(
x
)
=
(
x
+
1)
·
e
x
+
e
−
2
.
a
Determina
la
expresión
de
la
función
g
.
b
Elabora
la
tabla
de
variaciones
de
la
función
g
.
2
Deduce
de
las
preguntas
anteriores
la
posición
relativa
de
la
curva
C
1
y
de
la
recta
(
d
)
.
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/5150
sacados/5150
-12345I-2-123JOC3CkTk
chapExoCorrec/5856
sacados/5856
E.5848
Dado
un
número
real
k
consider-amos
la
función
f
k
definida
en
R
por:
f
k
(
x
)
=
1
1
+
e
−
k
·
x
El
plano
está
provisto
de
un
sistema
de
coordenadas
ortonor-males
O
;
−→
i
;
−→
j
.
Parte
A
En
esta
parte,
elegimos
k
=1
.
Tenemos
que,
para
todo
número
real
x
:
f
1
(
x
)
=
1
1
+
e
−
x
La
representación
gráfica
C
1
de
la
función
f
1
en
el
sistema
de
coordenadas
O
;
−→
i
;
−→
j
se
muestra
a
continuación
:
1
Determinar
los
límites
de
f
1
(
x
)
en
+
∞
y
−∞
e
interpre-tar
gráficamente
los
resultados
obtenidos.
2
Demuestre
que,
para
cualquier
número
real
x
:
f
1
(
x
)=
e
x
1+e
x
.
3
Se
denomina
f
1
la
función
derivada
de
f
1
en
R
.
Calcular,
para
todo
real
x
,
f
1
(
x
)
.
Deduzca
las
variaciones
de
la
función
f
1
sobre
R
.
Parte
B
En
esta
parte,
se
elige
k
=
−
1
y
se
desea
trazar
la
curva
C
−
1
que
representa
la
función
f
−
1
.
Para
cualquier
número
real
x
,
llamamos
P
al
punto
de
C
1
de
abscisa
x
y
M
al
punto
de
C
−
1
de
x
.
Se
denota
K
por
el
punto
medio
del
segmento
[
MP
]
.
1
Demostrar
que,
para
todo
número
real
x
:
f
1
(
x
)+
f
−
1
(
x
)=1
.
2
Deducir
que
el
punto
K
pertenece
a
la
recta
de
ecuación
y
=
1
2
.
3
Trazar
la
curva
C
−
1
en
el
sistema
de
coordenadas
sigu-iente.
E.5849
En
todo
lo
que
sigue,
m
denota
cualquier
número
real.
Parte
A
Sea
f
la
función
definida
y
derivable
sobre
el
conjunto
de
los
números
reales
R
tal
que
:
f
(
x
)
=
(
x
+
1)
·
e
x
1
Calcula
el
límite
de
f
en
+
∞
y
en
−∞
.
2
Sea
f
la
función
derivada
de
la
función
f
en
R
.
Demuestre
que
para
cualquier
real
x
:
f
(
x
)=(
x
+2)
·
e
x
.
3
Elabora
la
tabla
de
variaciones
de
f
sobre
R
.
.
Parte
B
Definimos
la
función
g
m
sobre
R
mediante
:
g
m
(
x
)
=
x
+
1
−
m
·
e
−
x
y
anotamos
C
m
la
curva
de
la
función
g
m
en
un
sistema
de
referencia
O
;
−→
i
;
−→
j
del
plano.
1
a
Demuestra
que
:
g
m
(
x
)=0
si,
y
sólo
si,
f
(
x
)=
m
.
b
Deduce
de
A
,
sin
justificar,
el
número
de
puntos
de
intersección
de
la
curva
C
m
con
el
eje
x
en
función
del
real
m
.
2
A
continuación
se
muestran
las
curvas
C
0
,
C
e
y
C
−
e
(obtenidas
tomando
los
valores
0
,
e
y
−
e
como
m
re-spectivamente)
.
Identifica
cada
una
de
estas
curvas
en
la
siguiente
figura,
justificando.
3
Estudia
la
posición
de
la
curva
C
m
respecto
a
la
recta
D
de
ecuación
y
=
x
+1
según
los
valores
del
real
m
.
E.6964
Sea
k
un
real
estrictamente
posi-tivo.
Consideremos
las
funciones
f
k
definidas
en
R
por:
f
k
(
x
)
=
x
+
k
·
e
−
x
Observa
C
k
la
curva
representativa
de
la
función
f
k
en
un
plano
con
un
sistema
de
referencia
ortonormal.
A
continuación
se
han
representado
algunas
curvas
C
k
para
distintos
valores
de
k
.
Para
cualquier
real
estrictamente
positivo
k
,
la
función
f
k
admite
un
mínimo
en
R
.
El
valor
en
el
que
se
alcanza
este
mínimo
es
la
abscisa
del
punto
A
k
de
la
curva
C
k
.
Parecería
que,
para
cualquier
real
estrictamente
positivo
k
,
los
puntos
A
k
están
alineados.
¾Es
así?
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/5848
sacados/5848
-4-3-2-101234-2-112ijC1
chapExoCorrec/5849
sacados/5849
-2-1012345-3-2-1123456ijCourbe2Courbe3Courbe1
chapExoCorrec/6964
sacados/6964
Extrait Liban
Juin 2017
-4-3-2-123456I23456JO
14.
Suites
E.3925
1
Consideremos
la
función
g
definida
en
1
;
+
∞
por:
g
(
x
)
=
ln(2
x
)
+
1
−
x
a
Esta
pregunta
requiere
el
desarrollo
de
un
determinado
procedimiento
que
consta
de
varias
etapas.
En
la
eval-uación
se
tendrán
en
cuenta
la
claridad
del
plan
de
estudio,
el
rigor
de
los
razonamientos
y
la
calidad
de
la
redacción.
Demuestre
que
la
ecuación
g
(
x
)=0
admite
en
1
;
+
∞
una
única
solución
denominada
¸
.
b
Demostrar
que
:
ln
2
·
¸
+
1
=
¸
2
Sea
la
sucesión
u
n
definida
por
u
0
=1
y
para
todo
número
natural
n
,
por:
u
n
+1
=
ln(2
·
u
n
)
+
1
.
Se
designa
por
(Γ)
la
curva
de
ecuación
y
=ln(2
·
x
)+1
en
un
sistema
de
coordenadas
ortonormales
O
;
−→
i
;
−→
j
.
Esta
curva
se
muestra
a
continuación
:
a
Utilizando
la
curva
(Γ)
,
construya
en
el
eje
de
abscisas
los
cuatro
primeros
términos
de
la
sucesión.
b
Demuestre
que
para
todo
número
natural
n
:
1
u
n
u
n
+1
3
c
Demuestre
que
la
sucesión
u
n
converge
hacia
¸
.
E.5861
Consideremos
la
sucesión
u
n
definida
por:
u
0
=1
;
u
n
+1
=
2
u
n
1
a
Demuestra
que,
para
todo
número
natural
n
:
0
<u
n
2
b
Determina
el
sentido
de
variación
de
la
sucesión
u
n
.
c
Demuestre
que
la
sucesión
u
n
es
convergente.
No
se
pide
el
valor
de
su
límite.
2
Consideremos
la
sucesión
v
n
definida,
para
todo
número
natural
n
,
por:
v
n
=ln
u
n
−
ln2
a
Demuestra
que
la
sucesión
v
n
es
la
sucesión
ge-
ométrica
de
razón
1
2
y
primer
término
v
0
=
−
ln2
.
b
Determinar,
para
todo
número
natural
n
,
la
expresión
de
v
n
en
función
de
n
,
y
luego
de
u
n
en
función
de
n
.
c
Determinar
el
límite
de
la
sucesión
u
n
.
E.5167
Sea
f
la
función
definida
en
0
;
+
∞
por:
f
(
x
)
=
x
+
e
−
x
Denotemos
por
(
C
)
la
curva
representativa
de
f
en
un
sistema
de
coordenadas
ortonormales
O
;
−→
i
;
−→
j
.
Parte
A
1
Estudiar
las
variaciones
de
la
función
f
en
0
;
+
∞
.
2
Determinar
el
límite
de
f
en
+
∞
.
Parte
B
Consideremos
la
sucesión
u
n
n
1
de
términos
positivos
definida
por:
u
1
=
0
;
u
n
+1
=
f
(
u
n
)
=
u
n
+
e
−
u
n
1
Demuestre
que,
para
todo
número
real
x
positivo:
ln(1+
x
)
x
Podemos
estudiar
la
función
g
definida
en
0
;
+
∞
por:
g
(
x
)
=
x
−
ln(1+
x
)
2
Deduzca
que,
para
todo
número
natural
n
distinto
de
cero:
ln(
n
+1)
ln(
n
)
+
1
n
3
Demostrar
que,
para
todo
número
natural
n
distinto
de
cero:
f
ln(
n
)
=
ln(
n
)
+
1
n
4
Demostrar
por
recurrencia
que,
para
todo
número
natu-ral
n
distinto
de
cero:
ln
n
u
n
5
Deduzca
el
límite
de
la
sucesión
u
n
n
1
.
E.6908
Sea
u
n
la
sucesión
definida
por
u
0
=1
y,
para
cualquier
número
natural
n
:
u
n
+1
=
u
n
−
ln
u
n
2
+1
Admitimos
que
la
función
f
definida
por:
f
(
x
)
=
x
−
ln
x
2
+1
es
creciente
en
R
.
1
Demuestre
por
recurrencia
que,
para
cualquier
número
natural
n
,
u
n
pertenece
a
0
;
1
.
2
Estudia
las
variaciones
de
la
secuencia
u
n
.
3
Demuestre
que
la
sucesión
u
n
es
convergente.
4
Observamos
‘
su
límite,
y
admitimos
que
‘
verifica
la
igualdad
:
f
(
‘
)
=
‘
Deducimos
el
valor
de
‘
.
15.
Secuencias
y
sumas
de
términos
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/3925
sacados/3925
-12345678I-3-2-1234JO
chapExoCorrec/5861
sacados/5861
chapExoCorrec/5167
sacados/5167
Extrait Liban
Mai 2011
chapExoCorrec/6908
sacados/6908
E.3289
Proponemos
estudiar
la
sucesión
(
u
n
)
de
números
reales
definida
por:
u
1
=
3
2
;
u
n
+1
=
u
n
·
1
+
1
2
n
+1
1
Demuestre
por
recurrencia
que
u
n
>
0
para
cualquier
número
natural
n
1
.
2
Demuestre
por
recurrencia
que
para
cualquier
número
natural
n
1
:
ln
u
n
=
ln
1+
1
2
+
ln
1+
1
2
2
+
·
·
·
+
ln
1+
1
2
n
E.3293
Consideremos
la
sucesión
v
con
término
general
v
n
definida
por:
v
n
=
ln
n
n
+1
para
todo
n
∈
N
∗
donde
ln
denota
la
función
logaritmo
neperiano.
Definimos
la
suma
S
n
para
cualquier
número
natural
distinto
de
cero
n
por:
S
n
=
v
1
+
v
2
+
·
·
·
+
v
n
Demostremos
por
recurrencia
que,
para
cualquier
número
nat-ural
n
:
S
n
=
−
ln
n
+1
E.5961
Consideremos
la
función
f
definida
en
R
por:
f
(
x
)
=
ln
1+e
−
x
Parte
A
1
Determine
el
límite
de
f
en
−∞
y,
a
continuación,
el
límite
de
f
en
+
∞
.
2
Estudiar
el
sentido
de
variación
de
f
.
Parte
B
Aquí
hay
dos
funciones
extraídas
de
algoritmos
que
toman
como
argumento
un
número
natural
mayor
o
igual
a
1
:
Algoritmo
1
Función
f(n)
a
←
0
k
←
1
Mientras
......
a
←
a+
exp(
-
k)
k
←
k
+
1
Fin
Mientras
que
Devolver
k
Algoritmo
2
Función
g(n)
a
←
0
Para
i
que
va
de
1
a
n
b
←
ln
1+
exp(
−
i)
...
Fin
Para
Devolver
a
1
Consideremos
la
sucesión
a
n
definida
por:
a
n
=
e
−
1
+
e
−
2
+
·
·
·
+
e
−
n
para
todo
n
∈
N
∗
.
Se
admite
que
la
sucesión
a
n
es
creciente
y
converge
hacia
el
valor
1
e
−
1
Complete
los
puntos
suspensivos
del
algoritmo
1
para
que
el
valor
devuelto
por
la
función
f
sea
el
rango
del
primer
término
de
la
sucesión
a
n
que
alcance
un
valor
aproxi-
mado
de
1
e
−
1
a
10
−
4
cuando
el
valor
proporcionado
como
argumento
sea
el
valor
4
2
Se
define
la
sucesión
S
n
definida
en
N
∗
por:
S
n
=
f
(1)
+
f
(2)
+
·
·
·
+
f
(
n
)
.
Complete
el
algoritmo
2
para
que
el
valor
devuelto
por
la
función
g
sea
el
valor
del
término
de
rango
n
cuando
el
valor
de
rango
se
proporciona
a
la
función
g
como
ar-gumento.
Parte
C
1
Sean
u
y
v
las
funciones
definidas
en
0
;
+
∞
por:
u
(
t
)
=
ln
1+
t
−
t
;
v
(
t
)
=
ln
1+
t
−
t
+
1
2
·
t
2
a
Estudiar
las
variaciones
de
u
y
v
.
b
Deducir
que,
para
cualquier
número
real
t
positivo,
se
tiene
:
t
−
1
2
t
2
ln
1+
t
t
2
Sea
n
un
número
natural
distinto
de
cero
(
n
1)
.
Consid-eremos
el
número
:
S
n
=
f
(1)
+
f
(2)
+
·
·
·
+
f
(
n
)
a
Demostrar
que
para
todo
número
natural
n
:
1
−
e
−
n
e
−
1
−
1
2
×
1
−
e
−
2
n
e
2
−
1
S
n
1
−
e
−
n
e
−
1
b
Se
admite
la
siguiente
proposición
:
Proposición:
Sean
u
n
,
v
n
y
w
n
tres
sucesiones
tales
que
:
u
n
v
n
w
n
para
todo
n
∈
N
convergentes
respectivamente
hacia
los
números
k
,
‘
y
m
Entonces,
tenemos
el
marco:
k
‘
m
y
admitimos
que
la
sucesión
(
S
n
)
tiene
un
límite
real
L
.
Demostrar
que
:
⏐
⏐
⏐
L
−
1
e
−
1
⏐
⏐
⏐
1
2
·
e
2
−
1
E.6909
Consideremos
la
secuencia
u
n
definida
para
cualquier
entero
estrictamente
positivo
n
por:
u
n
=
1
+
1
2
+
1
3
+
·
·
·
+
1
n
−
ln
n
1
Denotemos
por
f
la
función
definida
en
el
intervalo
1
;
+
∞
por:
f
(
x
)
=
1
x
+
1
+
ln
x
x
+
1
a
Elabora
la
tabla
de
variaciones
de
la
función
f
.
b
Deduce
el
signo
de
la
función
f
.
2
a
Demuestre
que
para
cualquier
número
entero
estric-tamente
positivo:
u
n
+1
−
u
n
=
f
(
n
)
b
Deduce
la
dirección
de
variación
de
la
secuencia
u
n
.
16.
Logaritmos
y
probabilidades
E.4195
En
un
juego
aleatorio,
el
evento
G
ˇ
se
gana
la
partida
ı
ı
tiene
una
probabilidad
de
:
P
(
G
)
=
23
180
1
Un
jugador
repite
este
juego
seis
veces
de
forma
indepen-diente.
Calcula
la
probabilidad
de
que
gane
exactamente
dos
y
da
un
valor
redondeado
a
10
−
2
.
2
¾Qué
número
mínimo
de
partidas
debe
jugar
un
jugador
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/3289
sacados/3289
chapExoCorrec/3293
sacados/3293
chapExoCorrec/5961
sacados/5961
Inspire de sportif de haut-niveau
Septembre 1999
chapExoCorrec/6909
sacados/6909
chapExoCorrec/4195
sacados/4195
para
que
la
probabilidad
de
ganar
al
menos
una
sea
su-perior
a
0
;
9
?
E.4155
Una
urna
contiene
10
bolas
blan-cas
y
n
bolas
rojas,
siendo
n
un
número
natural
mayor
o
igual
que
2
.
Se
pide
a
un
jugador
que
saque
bolas
de
la
urna.
En
cada
extracción,
todas
las
bolas
tienen
la
misma
probabilidad
de
salir.
El
jugador
extrae
20
veces
sucesivamente
y
con
entrega
una
bola
de
la
urna.
Los
sorteos
son
independientes.
Determi-nar
el
valor
mínimo
del
entero
n
para
que
la
probabilidad
de
obtener
al
menos
una
bola
roja
durante
estas
20
extracciones
sea
estrictamente
mayor
que
0
;
999
.
E.6047
Un
jugador
comienza
un
video-juego
y
juega
varias
partidas
consecutivas.
Se
admite
que
:
la
probabilidad
de
que
gane
la
primera
partida
es
0
;
1
;
si
gana
una
partida,
la
probabilidad
de
ganar
la
siguiente
es
igual
a
0
;
8
;
si
pierde
una
partida,
la
probabilidad
de
ganar
la
sigu-iente
es
igual
a
0
;
6
.
Se
observa
que,
para
todo
número
natural
n
distinto
de
cero:
G
n
el
evento
ˇ
el
jugador
gana
la
partida
n
-ésima
ı
;
p
n
la
probabilidad
del
evento
G
n
.
Por
lo
tanto,
tenemos
:
p
1
=0
;
1
1
Utilizando
la
fórmula
de
las
probabilidades
totales,
de-muestre
que
para
todo
número
natural
n
distinto
de
cero:
p
n
+1
=
1
5
·
p
n
+
3
5
.
2
Demuestre
por
recurrencia
que
para
todo
número
natural
n
distinto
de
cero:
p
n
=
3
4
−
13
4
·
1
5
n
3
Determinar
el
límite
de
la
sucesión
p
n
cuando
n
tiende
a
+
∞
.
4
¾Para
qué
valores
del
número
natural
n
se
tiene
:
3
4
−
p
n
<
10
−
7
?
17.
Cursos
E.3890
Requisitos
previos:
Se
supone
que
se
conocen
la
derivada
de
la
función
exponencial
y
la
fórmula
de
derivación
de
u
◦
v
,
así
como
sus
condiciones
de
uso.
Se
supone
que
se
sabe
que
la
función
ln
es
derivable
en
0
;
+
∞
y
que
para
todo
x
de
0
;
+
∞
,
se
tiene
:
exp
ln
x
=
x
A
partir
de
estos
cuatro
argumentos,
demuestre
que
la
derivada
de
la
función
ln
es
la
función
definida
en
0
;
+
∞
que
asocia
x
con
1
x
.
E.3963
En
este
ejercicio,
se
pide
a
los
candidatos
que
establezcan,
siguiendo
el
procedimiento
prop-uesto,
dos
resultados
del
curso.
Recordatorio
:
la
función
ln
es
definida
y
derivable
en
0
;
+
∞
,
positiva
en
1
;
+
∞
,
y
verifica:
ln
1
=
0
Pour
tous
réels
strictement
positifs
x
et
y
,
ln(
x
·
y
)
=
ln
x
+
ln
y
Pour
tout
réel
strictement
positif
x
,
ln(
x
)
=
1
x
ln(2)
≈
0
;
69
à
10
−
2
près.
Consideremos
la
función
f
definida
en
0
;
+
∞
por:
f
(
x
)
=
x
−
ln
x
1
Estudiar
las
variaciones
de
f
y
deducir
que
f
admite
un
mínimo
en
0
;
+
∞
.
2
Deduzca
el
signo
de
f
y,
a
continuación,
que,
para
todo
x>
1
:
0
<
ln
x
x
<
x
x
3
Deduzca
que
:
lim
x
↦→
+
∞
ln
x
x
=
0
.
E.3280
Restitución
organizada
de
connaissances
Requisitos
previos:
La
función
logaritmo
neperiano
es
derivable
en
el
in-tervalo
0
;
+
∞
;
Su
función
derivada
es
la
función
inversa
:
x
↦−→
1
x
.
ln(1)
=
0
Demuestre
que
para
todos
los
números
reales
estrictamente
positivos
¸
y
x
:
ln(
¸x
)
=
ln(
¸
)
+
ln(
x
)
E.6091
Para
cada
una
de
las
siguientes
afirmaciones,
indica
si
es
verdadera
o
falsa
y
justifica
la
re-spuesta
elegida.
Considera
la
función
g
definida
en
−
1
2
;
+
∞
mediante
:
g
(
x
)
=
2
x
·
ln
2
x
+
1
Proposición
1:
En
−
1
2
;
+
∞
,
la
ecuación
g
(
x
)=2
x
tiene
solución
única
e
−
1
2
.
Proposición
2:
El
coeficiente
director
de
la
tangente
a
la
curva
representativa
de
la
función
g
en
el
punto
de
abscisa
1
2
es
:
1+ln4
.
E.3659
Requisitos
previos:
Recordemos
que
:
lim
x
↦→
+
∞
e
x
x
=
+
∞
1
Demostrar
que
:
lim
x
↦→
+
∞
ln
x
x
=0
.
2
Deduzcamos
que
para
todo
número
natural
n
distinto
de
cero:
lim
x
↦→
+
∞
ln
x
x
n
=
0
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/4155
sacados/4155
chapExoCorrec/6047
sacados/6047
chapExoCorrec/3890
sacados/3890
Extrait Antilles-Guyane
Septembre 2010
chapExoCorrec/3963
sacados/3963
Amerique du Sud
Novembre 2008
chapExoCorrec/3280
sacados/3280
Extrait Antilles-Guyane
Juin 2006
chapExoCorrec/6091
sacados/6091
chapExoCorrec/3659
sacados/3659
Centres etrangers
Juin 2008
18.
Ejercicios
no
clasificados
E.3653
Sea
f
la
función
definida
en
R
por:
f
(
x
)=e
x
−
x
−
1
1
Determina
el
signo
de
f
(se
pueden
estudiar
las
varia-ciones
de
la
función
f
)
.
Establece
la
siguiente
desigualdad
para
cualquier
número
natural
distinto
de
cero
n
:
e
1
n
1
+
1
n
2
Utilizando
la
desigualdad
anterior,
demuestre
que
para
cualquier
número
natural
distinto
de
cero
n
:
1
+
1
n
n
e
E.9729
Sea
f
la
función
definida
en
R
por:
f
(
x
)
=
x
+
2
−
4
·
e
x
e
x
+
3
C
es
su
curva
representativa
en
el
plano
relativa
a
una
refer-encia
ortonormal
O
;
−→
i
;
−→
j
de
unidad
gráfica
2
cm
.
1
a
La
función
derivada
de
f
se
denota
f
.
Calcula
f
(
x
)
y
demuestra
que,
para
cualquier
x
real,
tenemos
:
f
(
x
)
=
e
x
−
3
e
x
+
3
2
b
Determina
las
direcciones
de
las
variaciones
de
f
en
R
.
2
Determina
la
ecuación
de
la
tangente
(
T
)
a
la
curva
C
en
el
punto
de
abscisa
0
.
E.101
1
Resuelve
el
siguiente
sistema,
donde
u
y
v
son
números
reales
:
u
+
1
2
·
v
=
0
u
−
1
4
·
v
=
3
2
2
Sea
f
una
función
definida
en
R
por:
f
(
x
)
=
a
·
e
x
+
b
e
x
+
1
(
a
y
b
reales)
Halla
los
valores
de
los
reales
a
y
b
,
sabiendo
que
la
curva
representativa
de
la
función
f
en
un
sistema
de
coor-denadas
O
;
−→
i
;
−→
j
pasa
por
O
y
que
la
tangente
a
la
curva
en
este
punto
es
paralela
a
la
recta
(Δ)
de
ecuación
y
=
3
2
x
−
2
.
3
Sea
g
la
función
definida
en
R
por:
g
(
x
)=e
x
−
2
e
x
+1
a
Resolver
en
R
la
ecuación
:
g
(
x
)=0
.
b
Resolver
en
R
la
desigualdad
:
g
(
x
)
1
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/3653
sacados/3653
Inspire de Nouvelle-Caledonie
Novembre 2007
chapExoCorrec/9729
sacados/9729
chapExoCorrec/101
sacados/101
France - septembre 2001 - 4 points