Bachillerato 2 / Logaritmos 70 ejercicios (incluyendo 68 corregidos)

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ChingQuizz : 5 ejercicios disponibles para la evaluación de QCM : 1. Introducción E.3709 Sea f la función definida por en 0 ; 1 : f ( x ) = x − 2 √ x + 1 Demuestre que para todo x perteneciente al intervalo 0 ; 1 : f ◦ f ( x ) = x E.3877 En el plano provisto del sistema de refer-encia ortonormal O ; I ; J , consideremos las curvas C e y C representativas de las funciones exponencial y logarítmica: 1 Determina gráficamente los valores de las dos imágenes siguientes : exp ◦ ln (1) ; ln ◦ exp (0) 2 Utilizando la primera bisectriz del plano, determina, si es posible, el valor de las siguientes imágenes : a exp ◦ ln (2) b exp ◦ ln (3) c exp ◦ ln ( − 1) d ln ◦ exp ( − 1) e ln ◦ exp (1) f ln ◦ exp (1 ; 5) E.3878 Resuelve las siguientes ecuaciones : a e x = 3 b e 3 x − 1 = 4 c 2 · e x = − 2 d ln( x ) = 2 e ln(2 · x +1) = 5 f ln x + 3 2 = 3 E.3879 1 a Resuelve cada una de las siguientes inecuaciones : 3 x + 1 > 0 ; − x + 2 > 0 b Determina el conjunto de definición de las funciones f y g : f ( x ) = ln(3 x +1) ; g ( x ) = ln( − x +2) 2 Determina el conjunto de definición de las siguientes fun-ciones : a h ( x ) = ln x 2 d j ( x ) = ln e x − 1 e k ( x ) = ln e x − e − x f ‘ ( x ) = 1 ln( x ) − 1 2. Manipulaciones algebraicas E.3880 Expresa cada uno de los siguientes números de la forma : a + b · ln 2 a;b ∈ R a ln(4) b ln 2 2 c ln(6) − ln 3 2 d ln 2 · e 2 e ln 2 e 3 f ln e 5 E.3881 Simplifica las siguientes expresiones : a ln e 2 · x b ln 2 · e 3 x − 1 c 2 · ln x + ln x d ln( x +1) − ln( x − 1) E.6874 Establece las siguientes igualdades : a ln 16 + ln 4 = 6 · ln 2 b ln 7 5 = − ln 5 7 c ln 3 2 − ln 9 8 = ln 4 3 d ln 8 ln 2 = 3 E.6875 Consideremos la función f definida por: f ( x ) = ln e x +e − x 1 Justifique que la función f está definida en R . 2 En R , establecer la identidad : f ( x )= x +ln 1+e − 2 x 3 Deduzca que la función f es positiva en R + . E.6876 1 ¾Qué se puede decir de la imagen de dos números op-uestos por la función exponencial? 2 ¾Qué se puede decir de la imagen de dos números inversos por la función logarítmica? https://chingmath.fr chapExoCorrec/3709 sacados/3709 chapExoCorrec/3877 sacados/3877 -4-3-2-1234I-2-1234JOCeC chapExoCorrec/3878 sacados/3878 chapExoCorrec/3879 sacados/3879 chapExoCorrec/3880 sacados/3880 chapExoCorrec/3881 sacados/3881 chapExoCorrec/6874 sacados/6874 chapExoCorrec/6875 sacados/6875 chapExoCorrec/6876 sacados/6876
E.3882 Consideremos la función f definida por: f ( x ) = ln x + x 2 +1 + ln − x + x 2 +1 1 Consideremos la función u definida por: u ( x ) = ln − x + x 2 +1 Por disyunción de casos, establecer que la función u está definida en R . 2 Admitir que la función f está definida en R . Establece-mos que la función f es la función nula. E.5174 Sea f la función definida en 0 ; + ∞ por: f ( x )= x +e − x Consideremos la sucesión u n n 1 de términos positivos definida por: u 1 = 0 ; u n +1 = f ( u n ) = u n + e − u n Se admite que para todo número x positivo, se cumple la relación: ln(1+ x ) x 1 Deduzca que, para todo número natural n distinto de cero: ln( n +1) ln( n ) + 1 n 2 Demuestre que, para todo número natural n distinto de cero: f ln( n ) = ln( n ) + 1 n 3 Demuestre por recurrencia que, para todo número natu-ral n distinto de cero: ln n u n 4 Deduzca el límite de la sucesión u n n 1 . E.4232 Consideramos la función f definida en R por: f ( x ) = ln e x +2 · e − x La curva ( C ) representativa de la función f en un sistema de referencia. Denotamos ( d ) la recta con ecuación y = x 1 Montrer que, para cualquier x real: f ( x ) = x + ln 1+2 · e − 2 · x 2 Étudier la posición relativa de la curva C f y la recta ( d ) . E.10387 Consideremos la función f definida en R ∗ + por: f ( x ) = 6 × ln(2 x ) Definimos la función g en R ∗ + por: g ( x ) = f (2 x ) 1 Establecemos que para todo x perteneciente al intervalo R ∗ + , se tiene : g ( x ) − f ( x ) = ln(64) 2 En un sistema de coordenadas ortonormales, consider-amos las dos curvas C f y C g representativas respectiva-mente de las funciones f y g . ¾Qué interpretación se puede dar a la pregunta 1 en relación con las curvas C f y C g ? 3. Ecuaciones y desigualdades logarítmicas E.3883 Para cada pregunta, especifica el con-junto solución de la ecuación y luego resuélvela: a ln(5 x +1) = ln( x − 1) b 2 · ln(3 − x ) = ln(2) c ln(3 x +1) = 5 d 3 · e 2 x − 1 = 2 e ln x 2 − ln x − 2 = 0 f e 2 x + 4 · e x − 1 = 0 E.3884 Resuelve, en R , los dos sistemas de ecua-ciones siguientes : a 2 · ln x − 3 · ln y = − 11 ln x + ln y = 2 b ln(2 · x + y ) = 0 ln( x ) + ln( y ) = 1 E.5899 1 Resuelve en − 1 ; + ∞ , la inecuación : ( E ): ln( x +1) ln x 2 +1 2 Resuelve en − 3 ; 2 , la inecuación : ( F ): ln(4 − 2 x ) < ln( x +3) E.5897 Considera la inecuación : ( E ): ln( x +1) ln(2 − x ) 1 Dar la mayor parte I de R en la que las dos expresiones ln( x +1) y ln(2 − x ) están definidas. 2 Resuelve la inecuación ( E ) . E.3885 Determinar el conjunto de resolución de cada una de estas desigualdades y resolverlas : a ln( x ) > 9 b ln( x ) 1 2 c ln x 2 − 3 · ln x +1 > 0 d − ln x 2 +4 · ln x +1 0 e e 3 · x < 0 f e 2 · x − e x − 6 > 0 https://chingmath.fr chapExoCorrec/3882 sacados/3882 chapExoCorrec/5174 sacados/5174 chapExoCorrec/4232 sacados/4232 sacados/10387 chapExoCorrec/3883 sacados/3883 chapExoCorrec/3884 sacados/3884 chapExoCorrec/5899 sacados/5899 chapExoCorrec/5897 sacados/5897 chapExoCorrec/3885 sacados/3885
E.4192 Un recipiente contiene un gas for-mado por dos tipos de partículas : 75 % de partículas A y 25 % de partículas B . Las partículas A son radiactivas y se transforman espontánea-mente en partículas B ; cada partícula A da una partícula B cuando se transforma. Observamos p ( t ) la proporción de partículas A en el gas. Así, en el tiempo t =0 , tenemos p (0)=0 ; 75 . De forma más general, si t se expresa en años, tenemos : p ( t ) = 0 ; 75 · e − λ · t où – es una constante real. La vida media de las partículas del tipo A es igual a 5 730 años. 1 Calculer – , redondeada a la 10 − 5 más próxima. 2 ¾Al cabo de cuántos años las 10 % partículas de tipo A se habrán transformado en partículas de tipo B ? 3 Déterminer el valor de t para el que habrá tantas partícu-las de tipo A como partículas de tipo B (redondeando a la unité) . más próxima. E.6254 Consideremos la función f definida en 0 ; + ∞ por: f ( x ) = 5 · e − x − 3 · e − 2 x + x − 3 Denotemos por C f la representación gráfica de la función f y por D la recta de ecuación y = x − 3 en un sistema de coorde-nadas ortogonales del plano. Se admite que la curva C f se sitúa por encima de la recta ( D ) en el intervalo 0 ; + ∞ . Denotemos por M el punto de abscisa x de la curva C f , por N el punto de abscisa x de la recta D y nos interesemos por la evolución de la distancia MN . 1 Para todo x del intervalo 0 ; + ∞ , determinar la expre-sión de la distancia MN en función de x . Se anotará g esta función. 2 Denotemos por g la función derivada de la función g en el intervalo 0 ; + ∞ . Para todo x del intervalo 0 ; + ∞ , calcular g ( x ) . 3 Demuestre que la función g tiene un máximo en el inter-valo 0 ; + ∞ que determinaremos. Dé una interpretación gráfica. E.10389 Resuelve la inecuación : ln x + 1 ln 2 x − 3) 4. Ecuaciones de potencias y desigualdades E.3886 Resuelve, en Z , las siguientes inecua-ciones : a 5 n 2 b 0 ; 1 n 2 c ln 2 n < e 2 d ln 2 n − ln 3 n 2 E.5898 1 Consideremos la sucesión u n geométrica de primer tér-mino 5 y razón 2 3 . a ¾Cuál es el límite de la sucesión u n ? b Determinar el menor entero natural n que cumple la desigualdad : u n < 0 ; 01 2 Consideremos la sucesión geométrica v n de primer tér-mino 2 y razón 4 5 . Denotemos por S n la suma de los ( n +1) primeros términos de la sucesión v n : S n = v 0 + v 1 + · · · + v n a Justifique que la sucesión S n es creciente. b Expresar la suma S n en función del rango n . c Justificar que, a partir de un determinado rango, todos los términos de la sucesión S n pertenecen al intervalo 9 ; 9 ; 10 . d Determinar el menor entero natural n que cumple S n ∈ 9 ; 9 ; 10 . E.3288 Consideremos la función f definida en 1 ; + ∞ por: f ( x ) = 1 + 1 x 10 1 Estudia el sentido de la variación y el límite en + ∞ de la función f . 2 Demuestre que existe en el intervalo 1 ; + ∞ un único número real ¸ tal que f ( ¸ )=1 ; 9 . 3 Determina el número natural n 0 tal que : n 0 − 1 ¸ n 0 . 4 Demuestre que, para cualquier número natural n mayor o igual que 16 , tenemos : 1 + 1 n 10 1 ; 9 . E.5204 Una empresa fabrica artículos. Tras una serie de comprobaciones, se detecta que un artículo tiene al menos un defecto con una probabilidad de 0 ; 0494 . Un pequeño minorista hace un pedido de artículos a esta em-presa. Las existencias son lo suficientemente grandes como para que la selección de estos artículos se trate como un sor-teo sucesivo e independiente. 1 Pide 25 artículos, calcula, à 10 − 3 al más cercano, la prob-abilidad de que haya más de 2 artículos defectuosos en su pedido. 2 Quiere que la probabilidad de tener al menos un artículo defectuoso en su pedido se mantenga por debajo de 50 % . Determine el valor máximo del número n de artículos que puede pedir. 5. Ecuaciones y desigualdades con cambio de variables https://chingmath.fr chapExoCorrec/4192 sacados/4192 Extrait France Septembre 2004 chapExoCorrec/6254 sacados/6254 sacados/10389 chapExoCorrec/3886 sacados/3886 chapExoCorrec/5898 sacados/5898 chapExoCorrec/3288 sacados/3288 chapExoCorrec/5204 sacados/5204 Extrait d'Antilles-Guyanne Juin 2003
E.5846 Resuelve la ecuación y la inecuación que aparecen a continuación : a e 2 x + 2 · e x − 3 = 0 b e 2 x + e x − 2 < 0 E.6872 Resuelve la inecuación : 2 · e 2 · x +6 · e x − 8 < 0 E.3705 Sea f la función definida por la relación: f ( x ) = 2e 2 x − e x e 2 x − e x + 1 1 Determinar el conjunto D f de definición de la función f . 2 Se denota f la función derivada de la función f . De-muestre que la función f admite la expresión : f ( x ) = − e x · e 2 x − 4 · e x + 1 e 2 x − e x + 1 2 3 a Estudie el signo del polinomio x 2 − 4 x +1 . b Deduzca que la función f admite la siguiente tabla de signos : x −∞ a b + ∞ f ( x ) − 0 + 0 − Se precisarán los valores de a y b . 4 a Determinar el límite de f en −∞ y en + ∞ . b Elaborar la tabla de variaciones de la función f . Con ayuda de la calculadora, se indicarán los valores de f ( a ) y f ( b ) redondeados al centésimo. E.1255 Sea f la función definida en R por: f ( x )=1 − 4 · e x e 2 · x +1 . Observe C su curva representativa en un sistema de referencia ortogonal O ; −→ i ; −→ j . En el gráfico siguiente, hemos dibujado la curva C . Interseca el eje x en los puntos A y B . El propósito de esta parte es demostrar algunas propiedades de la función f que se pueden conjeturar a partir de la gráfica. 1 La función f parece ser creciente en el intervalo 0 ; + ∞ . a Verifica que para cualquier real x : f ( x ) = 4 · e x · e 2 · x − 1 e 2 · x + 1 2 b Deduce la dirección de variación de la función f en el intervalo 0 ; + ∞ 2 La recta de ecuación x =0 parece ser un eje de simetría de la curva C . Demuestra que esta conjetura es cierta. (Pregunta ajena al temario de 2012) 3 Denotemos por a la abscisa del punto A y establezcamos c =e a . a Demuestre que el número real c es una solución de la ecuación : x 2 − 4 · x + 1 = 0 Deduzca el valor exacto de a . b Indique el signo de f ( x ) según los valores de x . E.5845 Resuelve las siguientes inecuaciones : a e x + 3 e x − 1 > 0 b − e 2 x − e x + 2 > 0 6. Límites E.3888 Determina el valor de los siguientes límites: a lim x ↦→ + ∞ 2 · ln x + x b lim x ↦→− 3 + ln( x +3) − 3 · x c lim x ↦→ 0 + ln( x ) − 1 x d lim x ↦→ + ∞ ln e x +1 e lim x ↦→ 0 + e − 2 · ln x +1 f lim x ↦→ + ∞ ln x 2 − x 7. Límites por crecimiento comparativo E.3889 Determina los siguientes límites: a lim x ↦→ + ∞ ln x x b lim x ↦→ 0 + x · ln x c lim x ↦→ 0 ln(1+ x ) x d lim x ↦→ 0 + ln( x ) · ( x 2 + 2) e lim x ↦→ + ∞ x − 2 ln x f lim x ↦→ + ∞ x · ln 1+ 1 x https://chingmath.fr chapExoCorrec/5846 sacados/5846 chapExoCorrec/6872 sacados/6872 chapExoCorrec/3705 sacados/3705 chapExoCorrec/1255 sacados/1255 -4-3-2-101234-11ijBA chapExoCorrec/5845 sacados/5845 chapExoCorrec/3888 sacados/3888 chapExoCorrec/3889 sacados/3889
E.4305 El plano está provisto de un sis-tema de coordenadas ortonormales O ; −→ i ; −→ j . Considere-mos la función numérica ’ definida en R por: ’ ( x ) = ln x 2 − 2 · x +2 − x 1 Determinar el límite de ’ en −∞ . 2 a Demuestre que, para todo número real x estricta-mente positivo, ’ ( x ) = x · 2 · ln x x + ln 1 − 2 x + 2 x 2 x − 1 b Deduzca el límite de ’ en + ∞ . 8. Derivados E.3887 Determina la expresión de la función derivada de cada una de las siguientes funciones : a f ( x ) = x · ln x b g ( x ) = ln x + 1 x 2 + 1 c h ( x ) = ln 1 − x d j ( x ) = ln e x − 1 E.5148 Consideremos la función f definida en 0 ; + ∞ por: f ( x ) = x 2 · ln x La curva ( C ) representativa de la función f en el plano dotado de un sistema de referencia ortonormal. 1 a Determine el límite de f en + ∞ . b Estudiar las variaciones de f en 0 ; + ∞ 2 Para esta pregunta, cualquier rastro de investigación, por incompleto que sea, se tendrá en cuenta en la evaluación. Demuestre que existe una única tangente a la curva C que pasa por O . Especifica una ecuación de esta tan-gente. 9. Derivadas y tangentes E.4230 Sea f la función definida en el intervalo 0 ; + ∞ por: f ( x ) = x · 1 − ln x 1 Justifica que la función f es derivable en 0 ; + ∞ y que tiene como derivada la función f cuya expresión es : f ( x ) = − ln x 2 Sea a un número real estrictamente positivo. Consider-emos la tangente ( T a ) en el punto A de la curva C de abscisa a . a Determina, en función del número real a , las coorde-nadas del punto A , punto de intersección de la recta ( T a ) y el eje y. b Explicar un procedimiento sencillo para construir la tangente ( T a ) . Construye sobre la representación grá-fica de la curva C dada a continuación, la tangente ( T a ) en el punto A situado en la figura. https://chingmath.fr chapExoCorrec/4305 sacados/4305 chapExoCorrec/3887 sacados/3887 chapExoCorrec/5148 sacados/5148 chapExoCorrec/4230 sacados/4230 ijCaAf(a
E.1616 Consideremos la función f definida en 0 ; + ∞ por: f ( x ) = x + ln x x Observamos C la curva representativa de la función f en el plano provista de una referencia ortonormal O ; −→ i ; −→ j de unidad gráfica 3 cm . 1 Determina el límite en 0 de la función f . Cuál es la interpretación gráfica de este resultado? Admitimos que la función f admite como derivada la función f cuya expresión es : f ( x ) = 1 + 1 − ln x x y que la función f es estrictamente creciente. Denotamos ( d ) a la recta de ecuación y = x . 2 a Determine la abscisa del punto A de la curva C en el que la tangente ( T ) es paralela a la recta ( d ) . b Determina la ecuación de la tangente ( T ) . 3 Dibuja con la calculadora las rectas ( d ) y ( T ) y la curva C . 10. Estudios de funcionamiento E.4971 1 Considere la función g definida en R ∗ + por la relación: g ( x ) = 2 + 2 x 2 · ln x − 1 Demuestre que la función g es estrictamente positiva en R ∗ + . 2 Consideremos la función f definida en R ∗ + por la relación: f ( x ) = x 2 + ln x 2 a Determina la expresión de la derivada f , luego la se-gunda derivada f  de la función f . b Demuestre que la función f admite un mínimo único en R ∗ + . E.4316 Consideremos la función g definida en 0 ; + ∞ por: g ( x ) = ln x 2 x 1 Establecer la relación: g ( x ) = 4 · ln x x 2 2 Calcula la derivada g de la función g . 3 a Determina los límites de la función g en 0 y + ∞ . b Elabora la tabla de variaciones de la función g . E.3897 El plano se refiere a un sistema de coordenadas ortonormales O ; −→ i ; −→ j . Se considera la fun-ción f definida en el intervalo 0 ; + ∞ par : f ( x )= − 3 − ln x +2 · ln x 2 Se denota C su curva representativa. 1 a Resolver en 0 ; + ∞ la ecuación : f ( x )=0 . (Podemos plantear: ln x = X ) . b Resolver en 0 ; + ∞ la desigualdad : f ( x ) > 0 . 2 a Determinar los límites de f en 0 y en + ∞ . b Calcular f ( x ) . c Estudiar el sentido de variación de f y elaborar su tabla de variaciones. 3 Determinar una ecuación de la tangente T a la curva ( C ) en el punto de abscisa e 5 4 . 4 Se propone estudiar la posición de la curva ( C ) con re-specto a la recta ( T ) . Para ello, consideramos la función ’ , definida en 0 ; + ∞ par : ’ ( x ) = f ( x ) − 4 · e − 5 4 · x − 41 8 a Montrer que : ’ ( x )= 4 · ln x − 1 x − 4 · e − 5 4 y calcular ’  ( x ) . b Estudiar el sentido de variación de ’ sur 0 ; + ∞ . De ello se deduce que, para todo x perteneciente a 0 ; + ∞ , se tiene : ’ ( x ) 0 . c Calculer ’ e 5 4 . Para cualquier x perteneciente a 0 ; + ∞ , determina el signo de ’ ( x ) . Deduce la posición de la curva ( C ) relativa a la recta ( T ) . 5 Dibuja la curva ( C ) et la recta ( T ) . (unidad gráfica : 2 cm ) 11. Estudio de funciones y del teorema del valor intermedio E.4297 Sea f la función definida en el intervalo 0 ; + ∞ por: f ( x ) = ln x 2 + 4 1 Estudia la dirección de variación de la función f en el intervalo 0 ; + ∞ . 2 Sea g la función definida en el intervalo 0 ; + ∞ por: g ( x ) = f ( x ) − x a Estudia la dirección de variación de la función g en el intervalo 0 ; + ∞ . b Demuestre que en el intervalo 2 ; 3 la ecuación g ( x )= 0 admite una única solución, que denotaremos ¸ . Dar el valor redondeado de ¸ en 10 − 1 . c Justifica que el número real ¸ es la solución única de la ecuación f ( x )= x . https://chingmath.fr chapExoCorrec/1616 sacados/1616 Extrait Antilles-Guyane Septembre 2010 sacados/4971 A verifier chapExoCorrec/4316 sacados/4316 Inspiree d'Asie Juin 2011 chapExoCorrec/3897 sacados/3897 Extrait Antilles-Guyane Septembre 2001 chapExoCorrec/4297 sacados/4297
E.5963 Se denomina f a la función definida en el intervalo I = − 2 ; + ∞ por: f ( x ) = 1 + x · ln( x +2) Se denota ( C f ) a la curva representativa de f en el sistema de coordenadas ortonormales O ; −→ i ; −→ j . Parte A : estudio de la función f 1 Estudio de las variaciones de la derivada f : a f designa la función derivada primera de f y f  la fun-ción derivada segunda. Calcular f ( x ) y luego f  ( x ) para x perteneciente al intervalo − 2 ; + ∞ . b Estudiar las variaciones de f en el intervalo − 2 ; + ∞ . c Determinar los límites de f en − 2 y en + ∞ . 2 Estudiar el signo de f ( x ) . a Demostrar que en el intervalo − 2 ; + ∞ la ecuación f ( x )=0 admite una única solución ¸ perteneciente al intervalo − 0 ; 6 ; − 0 ; 5 . b Deduzca el signo de f ( x ) según los valores de x . 3 Estudio de las variaciones de f : a Estudie las variaciones de la función f en el intervalo − 2 ; + ∞ . b Determinar los límites de f en − 2 y en + ∞ . c Elaborar la tabla de variaciones de f . Con ayuda de la calculadora, se indicarán las coordenadas del punto de abscisa ¸ con una precisión de 10 − 3 . Parte B Sea x 0 un número real perteneciente al intervalo − 2 ; + ∞ , llamamos T x 0 a la tangente a la curva ( C f ) en el punto de abscisa x 0 . Se observa que, para x perteneciente al intervalo − 2 ; + ∞ : d ( x ) = f ( x ) − f ( x 0 ) · x − x 0 + f ( x 0 ) 1 Estudio de las variaciones de d : a Verifica que, para todo x perteneciente al intervalo − 2 ; + ∞ : d ( x ) = f ( x ) − f ( x 0 ) b Utilizando el crecimiento de la función f , da el signo de d ( x ) según los valores de x . Deduzca las variaciones de d en el intervalo − 2 ; + ∞ . 2 Determine la posición relativa de ( C f ) y T x 0 . E.5149 1 Sea f la función definida en 0 ; + ∞ par : f ( x ) = x · e x − 1 a Determinar el límite de la función f en + ∞ y estudiar el sentido de variación de f . b Demostrar que la ecuación f ( x )=0 admite una única solución ¸ en el intervalo 0 ; + ∞ . Determinar un valor aproximado de ¸ a 10 − 2 cerca. c Determinar el signo de f ( x ) según los valores de x . 2 Se denota C la curva representativa de la función ex-ponencial y Γ la de la función logaritmo neperiano en el plano provisto de un sistema de coordenadas ortonor-males O ; −→ i ; −→ j . Las curvas C f y Γ se muestran a continuación : Sea x un número real estrictamente positivo. Sea M el punto de C de abscisa x y N le el punto de Γ d de abscisa x . Recordemos que para cualquier real x estrictamente pos-itivo: e x > ln( x ) . a Muestre que la longitud MN est mínima cuando x = ¸ . Da un valor aproximado de esta longitud al 10 − 2 más cercano. b Usando la pregunta 1 , demuestra que : e α = 1 ¸ . Deduce que la tangente en C el punto de abscisa ¸ y la tangente en Γ au el punto de abscisa ¸ sont son paralelas. 12. Estudio de funciones con estudio de una función auxiliar E.109 Consideremos la función f definida en 1 ; + ∞ por: f ( x ) = x − ln( x ) x 1 Sea g la función definida en 1 ; + ∞ por: g ( x ) = x 2 − 1 + ln( x ) Demuestre que la función g es positiva en 1 ; + ∞ . 2 a Demuestre que, para cualquier x de 1 ; + ∞ : f ( x ) = g ( x ) x 2 b Deduzca la dirección de variación de f en 1 ; + ∞ . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5963 sacados/5963 chapExoCorrec/5149 sacados/5149 Extrait Antilles-Guyanne Juin 2011 -123456I-12345678JOCMN chapExoCorrec/109 sacados/109
E.5141 Parte A Consideremos la función g definida en el intervalo 0 ; + ∞ por: g ( x )=2 x 3 − 1+2 · ln x 1 Étudier las variaciones de la función g en el intervalo 0 ; + ∞ . 2 Justifique que existe un único real ¸ tal que g ( ¸ )=0 . Dar un valor aproximado de ¸ , redondeado a la centésima. 3 Determinar el signo de la función g en el intervalo 0 ; + ∞ . Parte B Consideremos la función f definida en el intervalo 0 ; + ∞ por: f ( x )=2 x − ln x x 2 Sea C la curva representativa de la función f en el plano, provista de un sistema de referencia ortogonal O ; −→ i ; −→ j . 1 Déterminer los límites de la función f en 0 y + ∞ . 2 Justifier que f ( x ) tiene el mismo signo que g ( x ) . 3 Determinar la tabla de variaciones de la función f . 4 Tracer la curva C en el sistema de referencia O ; −→ i ; −→ j . Las unidades serán 2 cm en el eje x y 1 cm en el eje y. E.3891 Consideremos la función f definida en 0 ; + ∞ por: f ( x ) = x + ln x x Denotemos por C la curva representativa de la función f en el plano provisto de un sistema de coordenadas ortonormales O ; −→ i ; −→ j de unidad gráfica 3 cm . I- Estudio de una función auxiliar Consideremos la función f definida en 0 ; + ∞ por: g ( x ) = x 2 + 1 − ln x 1 Estudiar las variaciones de g en 0 ; + ∞ . 2 Deducir el signo de g en 0 ; + ∞ . II- Estudio de la función f y trazado de su curva rep-resentativa C 1 Determinar el límite en 0 de la función f . ¾Cuál es la interpretación gráfica de este resultado? 2 Determinar el límite en + ∞ de f . 3 Sea f la función derivada de la función f . Calcular f ( x ) para todo real x de 0 ; + ∞ . 4 Deduzca el sentido de variación de f en 0 ; + ∞ y, a con-tinuación, elabore la tabla de variaciones de la función f . Consideremos la recta D de ecuación y = x . 5 Determine el punto A de la curva C en el que la tangente T es paralela a la recta D . 6 En el sistema de coordenadas O ; −→ i ; −→ j , trazar las rec-tas D y T y la curva C . E.5959 Parte A : Estudio de una función auxiliar g Sea g la función definida en el intervalo 0 ; + ∞ por: g ( x ) = 2 x 2 − x 2 + 1 · ln x 2 +1 1 Al detallar los cálculos realizados, demuestre que : g ( x ) = 2 x − 2 x · ln x 2 +1 2 Estudie la dirección de variación de g sobre el intervalo 0 ; + ∞ . 3 Montrer que existe un único real, que denotaremos ¸ , en el intervalo e − 1 ; e 2 − 1 , tal que g ( ¸ )=0 ; dar el valor aproximado de ¸ al 10 − 2 más próximo. 4 Determine el signo de g ( x ) , para x perteneciente al inter-valo 0 ; + ∞ . Partie B: Estudia la función f La función f está definida en 0 ; + ∞ por: f (0) = 0 ; f ( x ) = ln 1+ x 2 x lorsque x =0 . Su curva representativa ( C f ) , en el plano referido a un sistema de referencia de origen O se da a continuación : 1 a Demuestre que : lim x ↦→ 0 f ( x ) x = 1 . Deduzca que f es derivable en 0 y dé el valor de f (0) . b Verifique que, para x estrictamente positiva: f ( x ) = g ( x ) x 2 · 1 + x 2 Investigue la dirección de variación de f en el intervalo 0 ; + ∞ . 2 a Muestre que, para x 1 : 0 f ( x ) ln 2 x 2 x b En deduce el límite de f en + ∞ . 13. Estudio de las familias de funciones E.5962 Se da al plano un sistema de co-ordenadas ortonormal O ; −→ i ; −→ j . Partie A Sea f la función definida en 0 ; + ∞ por: f ( x ) = 1 + 2 · ln x x 2 Sea ( C ) la curva representativa de f y sea ( C ) la de la función h definida en 0 ; + ∞ por: h ( x )= 1 x . 1 Calculer la derivada f de f y estudiamos las variaciones de f . 2 Pour cualquier x de 0 ; + ∞ , planteamos : g ( x ) = 1 − x + 2 · ln x a Étudier las variaciones de la función g . b Muestre que la ecuación g ( x )=0 admite una solución única en cada uno de los intervalos 0 ; 2 y 2 ; 4 . Sea ¸ la solución perteneciente a 2 ; 4 . Dé una caja para ¸ de magnitud 10 − 2 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5141 sacados/5141 Extrait du Liban Mai Juin 2012 chapExoCorrec/3891 sacados/3891 chapExoCorrec/5959 sacados/5959 Extrait Centres etrangers Juin 1999 chapExoCorrec/5962 sacados/5962 Extrait d'Asie Juin 2003
3 a Montrer que f ( x ) − 1 x = g ( x ) x 2 y deduzca que ( C ) y ( C ) se intersecan en dos puntos. b Muestre que, para cualquier real x mayor o igual que 4 , la siguiente desigualdad doble es cierta: 0 <f ( x ) 1 x Partie B Consideremos, para cualquier número entero n mayor o igual que 1 , la función f n definida en 0 ; + ∞ por: f n ( x ) = 1 + 2 ln x x 2 n 1 Calculer la derivada f n de la función f n . 2 Resuelve la ecuación f n ( x )=0 . Sea x n la solución de esta ecuación. 3 Determine el límite de la sucesión x n . . E.5150 Para todo número natural n mayor o igual que 1 , se designa por f n la función definida por: f n ( x ) = x n · e − x Se denota C n su curva representativa en un sistema de coor-denadas ortogonales O ; −→ i ; −→ j del plano. En el gráfico siguiente se ha representado una curva C k donde k es un número natural distinto de cero, su tangente T k en el punto de abscisa 1 y la curva C 3 . La recta T k corta el eje de abscisas en el punto A de coorde-nadas 4 5 ; 0 . 1 a Determinar los límites de la función f 1 en −∞ y en + ∞ . b Estudiar las variaciones de la función f 1 y elaborar la tabla de variaciones de f 1 . c Utilizando el gráfico, justifique que k es un número entero mayor o igual que 2 . 2 a Demuestre que para n 1 , todas las curvas C n pasan por el punto O y otro punto cuyas coordenadas se darán. b Verificar que para todo número natural n mayor o igual a 2 , y para todo número real x : f n ( x ) = x n − 1 · ( n − x ) · e − x 3 En el gráfico, la función f 3 parece admitir un máximo al-canzado para x =3 . Valida esta conjetura mediante una demostración. 4 a Demuestra que la recta T k corta el eje de abscisas en el punto de coordenadas k − 2 k − 1 ; 0 . b A partir de los datos del enunciado, deduzca el valor del entero k . E.5856 Parte A Consideremos la familia de funciones f k definida para k ∈ N por: f k ( x )=( x + k ) · e x + x Denotemos por C k la curva representativa de la función f k en un sistema de coordenadas ortonormales. ¾Qué función de la familia f k admite la recta ( d ) de ecuación y = x − e − 2 como tangente en el punto de abscisa − 2 ? Parte B 1 Consideremos la función g definida por: g ( x ) = ( x + 1) · e x + e − 2 . a Determina la expresión de la función g . b Elabora la tabla de variaciones de la función g . 2 Deduce de las preguntas anteriores la posición relativa de la curva C 1 y de la recta ( d ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5150 sacados/5150 -12345I-2-123JOC3CkTk chapExoCorrec/5856 sacados/5856
E.5848 Dado un número real k consider-amos la función f k definida en R por: f k ( x ) = 1 1 + e − k · x El plano está provisto de un sistema de coordenadas ortonor-males O ; −→ i ; −→ j . Parte A En esta parte, elegimos k =1 . Tenemos que, para todo número real x : f 1 ( x ) = 1 1 + e − x La representación gráfica C 1 de la función f 1 en el sistema de coordenadas O ; −→ i ; −→ j se muestra a continuación : 1 Determinar los límites de f 1 ( x ) en + ∞ y −∞ e interpre-tar gráficamente los resultados obtenidos. 2 Demuestre que, para cualquier número real x : f 1 ( x )= e x 1+e x . 3 Se denomina f 1 la función derivada de f 1 en R . Calcular, para todo real x , f 1 ( x ) . Deduzca las variaciones de la función f 1 sobre R . Parte B En esta parte, se elige k = − 1 y se desea trazar la curva C − 1 que representa la función f − 1 . Para cualquier número real x , llamamos P al punto de C 1 de abscisa x y M al punto de C − 1 de x . Se denota K por el punto medio del segmento [ MP ] . 1 Demostrar que, para todo número real x : f 1 ( x )+ f − 1 ( x )=1 . 2 Deducir que el punto K pertenece a la recta de ecuación y = 1 2 . 3 Trazar la curva C − 1 en el sistema de coordenadas sigu-iente. E.5849 En todo lo que sigue, m denota cualquier número real. Parte A Sea f la función definida y derivable sobre el conjunto de los números reales R tal que : f ( x ) = ( x + 1) · e x 1 Calcula el límite de f en + ∞ y en −∞ . 2 Sea f la función derivada de la función f en R . Demuestre que para cualquier real x : f ( x )=( x +2) · e x . 3 Elabora la tabla de variaciones de f sobre R . . Parte B Definimos la función g m sobre R mediante : g m ( x ) = x + 1 − m · e − x y anotamos C m la curva de la función g m en un sistema de referencia O ; −→ i ; −→ j del plano. 1 a Demuestra que : g m ( x )=0 si, y sólo si, f ( x )= m . b Deduce de A , sin justificar, el número de puntos de intersección de la curva C m con el eje x en función del real m . 2 A continuación se muestran las curvas C 0 , C e y C − e (obtenidas tomando los valores 0 , e y − e como m re-spectivamente) . Identifica cada una de estas curvas en la siguiente figura, justificando. 3 Estudia la posición de la curva C m respecto a la recta D de ecuación y = x +1 según los valores del real m . E.6964 Sea k un real estrictamente posi-tivo. Consideremos las funciones f k definidas en R por: f k ( x ) = x + k · e − x Observa C k la curva representativa de la función f k en un plano con un sistema de referencia ortonormal. A continuación se han representado algunas curvas C k para distintos valores de k . Para cualquier real estrictamente positivo k , la función f k admite un mínimo en R . El valor en el que se alcanza este mínimo es la abscisa del punto A k de la curva C k . Parecería que, para cualquier real estrictamente positivo k , los puntos A k están alineados. ¾Es así? https://chingmath.fr chapExoCorrec/5848 sacados/5848 -4-3-2-101234-2-112ijC1 chapExoCorrec/5849 sacados/5849 -2-1012345-3-2-1123456ijCourbe2Courbe3Courbe1 chapExoCorrec/6964 sacados/6964 Extrait Liban Juin 2017 -4-3-2-123456I23456JO
14. Suites E.3925 1 Consideremos la función g definida en 1 ; + ∞ por: g ( x ) = ln(2 x ) + 1 − x a Esta pregunta requiere el desarrollo de un determinado procedimiento que consta de varias etapas. En la eval-uación se tendrán en cuenta la claridad del plan de estudio, el rigor de los razonamientos y la calidad de la redacción. Demuestre que la ecuación g ( x )=0 admite en 1 ; + ∞ una única solución denominada ¸ . b Demostrar que : ln 2 · ¸ + 1 = ¸ 2 Sea la sucesión u n definida por u 0 =1 y para todo número natural n , por: u n +1 = ln(2 · u n ) + 1 . Se designa por (Γ) la curva de ecuación y =ln(2 · x )+1 en un sistema de coordenadas ortonormales O ; −→ i ; −→ j . Esta curva se muestra a continuación : a Utilizando la curva (Γ) , construya en el eje de abscisas los cuatro primeros términos de la sucesión. b Demuestre que para todo número natural n : 1 u n u n +1 3 c Demuestre que la sucesión u n converge hacia ¸ . E.5861 Consideremos la sucesión u n definida por: u 0 =1 ; u n +1 = 2 u n 1 a Demuestra que, para todo número natural n : 0 <u n 2 b Determina el sentido de variación de la sucesión u n . c Demuestre que la sucesión u n es convergente. No se pide el valor de su límite. 2 Consideremos la sucesión v n definida, para todo número natural n , por: v n =ln u n − ln2 a Demuestra que la sucesión v n es la sucesión ge- ométrica de razón 1 2 y primer término v 0 = − ln2 . b Determinar, para todo número natural n , la expresión de v n en función de n , y luego de u n en función de n . c Determinar el límite de la sucesión u n . E.5167 Sea f la función definida en 0 ; + ∞ por: f ( x ) = x + e − x Denotemos por ( C ) la curva representativa de f en un sistema de coordenadas ortonormales O ; −→ i ; −→ j . Parte A 1 Estudiar las variaciones de la función f en 0 ; + ∞ . 2 Determinar el límite de f en + ∞ . Parte B Consideremos la sucesión u n n 1 de términos positivos definida por: u 1 = 0 ; u n +1 = f ( u n ) = u n + e − u n 1 Demuestre que, para todo número real x positivo: ln(1+ x ) x Podemos estudiar la función g definida en 0 ; + ∞ por: g ( x ) = x − ln(1+ x ) 2 Deduzca que, para todo número natural n distinto de cero: ln( n +1) ln( n ) + 1 n 3 Demostrar que, para todo número natural n distinto de cero: f ln( n ) = ln( n ) + 1 n 4 Demostrar por recurrencia que, para todo número natu-ral n distinto de cero: ln n u n 5 Deduzca el límite de la sucesión u n n 1 . E.6908 Sea u n la sucesión definida por u 0 =1 y, para cualquier número natural n : u n +1 = u n − ln u n 2 +1 Admitimos que la función f definida por: f ( x ) = x − ln x 2 +1 es creciente en R . 1 Demuestre por recurrencia que, para cualquier número natural n , u n pertenece a 0 ; 1 . 2 Estudia las variaciones de la secuencia u n . 3 Demuestre que la sucesión u n es convergente. 4 Observamos ‘ su límite, y admitimos que ‘ verifica la igualdad : f ( ‘ ) = ‘ Deducimos el valor de ‘ . 15. Secuencias y sumas de términos https://chingmath.fr chapExoCorrec/3925 sacados/3925 -12345678I-3-2-1234JO chapExoCorrec/5861 sacados/5861 chapExoCorrec/5167 sacados/5167 Extrait Liban Mai 2011 chapExoCorrec/6908 sacados/6908
E.3289 Proponemos estudiar la sucesión ( u n ) de números reales definida por: u 1 = 3 2 ; u n +1 = u n · 1 + 1 2 n +1 1 Demuestre por recurrencia que u n > 0 para cualquier número natural n 1 . 2 Demuestre por recurrencia que para cualquier número natural n 1 : ln u n = ln 1+ 1 2 + ln 1+ 1 2 2 + · · · + ln 1+ 1 2 n E.3293 Consideremos la sucesión v con término general v n definida por: v n = ln n n +1 para todo n ∈ N ∗ donde ln denota la función logaritmo neperiano. Definimos la suma S n para cualquier número natural distinto de cero n por: S n = v 1 + v 2 + · · · + v n Demostremos por recurrencia que, para cualquier número nat-ural n : S n = − ln n +1 E.5961 Consideremos la función f definida en R por: f ( x ) = ln 1+e − x Parte A 1 Determine el límite de f en −∞ y, a continuación, el límite de f en + ∞ . 2 Estudiar el sentido de variación de f . Parte B Aquí hay dos funciones extraídas de algoritmos que toman como argumento un número natural mayor o igual a 1 : Algoritmo 1 Función f(n) a ← 0 k ← 1 Mientras ...... a ← a+ exp( - k) k ← k + 1 Fin Mientras que Devolver k Algoritmo 2 Función g(n) a ← 0 Para i que va de 1 a n b ← ln 1+ exp( − i) ... Fin Para Devolver a 1 Consideremos la sucesión a n definida por: a n = e − 1 + e − 2 + · · · + e − n para todo n ∈ N ∗ . Se admite que la sucesión a n es creciente y converge hacia el valor 1 e − 1 Complete los puntos suspensivos del algoritmo 1 para que el valor devuelto por la función f sea el rango del primer término de la sucesión a n que alcance un valor aproxi- mado de 1 e − 1 a 10 − 4 cuando el valor proporcionado como argumento sea el valor 4 2 Se define la sucesión S n definida en N ∗ por: S n = f (1) + f (2) + · · · + f ( n ) . Complete el algoritmo 2 para que el valor devuelto por la función g sea el valor del término de rango n cuando el valor de rango se proporciona a la función g como ar-gumento. Parte C 1 Sean u y v las funciones definidas en 0 ; + ∞ por: u ( t ) = ln 1+ t − t ; v ( t ) = ln 1+ t − t + 1 2 · t 2 a Estudiar las variaciones de u y v . b Deducir que, para cualquier número real t positivo, se tiene : t − 1 2 t 2 ln 1+ t t 2 Sea n un número natural distinto de cero ( n 1) . Consid-eremos el número : S n = f (1) + f (2) + · · · + f ( n ) a Demostrar que para todo número natural n : 1 − e − n e − 1 − 1 2 × 1 − e − 2 n e 2 − 1 S n 1 − e − n e − 1 b Se admite la siguiente proposición : Proposición: Sean u n , v n y w n tres sucesiones tales que : u n v n w n para todo n ∈ N convergentes respectivamente hacia los números k , ‘ y m Entonces, tenemos el marco: k ‘ m y admitimos que la sucesión ( S n ) tiene un límite real L . Demostrar que : ⏐ ⏐ ⏐ L − 1 e − 1 ⏐ ⏐ ⏐ 1 2 · e 2 − 1 E.6909 Consideremos la secuencia u n definida para cualquier entero estrictamente positivo n por: u n = 1 + 1 2 + 1 3 + · · · + 1 n − ln n 1 Denotemos por f la función definida en el intervalo 1 ; + ∞ por: f ( x ) = 1 x + 1 + ln x x + 1 a Elabora la tabla de variaciones de la función f . b Deduce el signo de la función f . 2 a Demuestre que para cualquier número entero estric-tamente positivo: u n +1 − u n = f ( n ) b Deduce la dirección de variación de la secuencia u n . 16. Logaritmos y probabilidades E.4195 En un juego aleatorio, el evento G ˇ se gana la partida ı ı tiene una probabilidad de : P ( G ) = 23 180 1 Un jugador repite este juego seis veces de forma indepen-diente. Calcula la probabilidad de que gane exactamente dos y da un valor redondeado a 10 − 2 . 2 ¾Qué número mínimo de partidas debe jugar un jugador https://chingmath.fr chapExoCorrec/3289 sacados/3289 chapExoCorrec/3293 sacados/3293 chapExoCorrec/5961 sacados/5961 Inspire de sportif de haut-niveau Septembre 1999 chapExoCorrec/6909 sacados/6909 chapExoCorrec/4195 sacados/4195
para que la probabilidad de ganar al menos una sea su-perior a 0 ; 9 ? E.4155 Una urna contiene 10 bolas blan-cas y n bolas rojas, siendo n un número natural mayor o igual que 2 . Se pide a un jugador que saque bolas de la urna. En cada extracción, todas las bolas tienen la misma probabilidad de salir. El jugador extrae 20 veces sucesivamente y con entrega una bola de la urna. Los sorteos son independientes. Determi-nar el valor mínimo del entero n para que la probabilidad de obtener al menos una bola roja durante estas 20 extracciones sea estrictamente mayor que 0 ; 999 . E.6047 Un jugador comienza un video-juego y juega varias partidas consecutivas. Se admite que : la probabilidad de que gane la primera partida es 0 ; 1 ; si gana una partida, la probabilidad de ganar la siguiente es igual a 0 ; 8 ; si pierde una partida, la probabilidad de ganar la sigu-iente es igual a 0 ; 6 . Se observa que, para todo número natural n distinto de cero: G n el evento ˇ el jugador gana la partida n -ésima ı ; p n la probabilidad del evento G n . Por lo tanto, tenemos : p 1 =0 ; 1 1 Utilizando la fórmula de las probabilidades totales, de-muestre que para todo número natural n distinto de cero: p n +1 = 1 5 · p n + 3 5 . 2 Demuestre por recurrencia que para todo número natural n distinto de cero: p n = 3 4 − 13 4 · 1 5 n 3 Determinar el límite de la sucesión p n cuando n tiende a + ∞ . 4 ¾Para qué valores del número natural n se tiene : 3 4 − p n < 10 − 7 ? 17. Cursos E.3890 Requisitos previos: Se supone que se conocen la derivada de la función exponencial y la fórmula de derivación de u ◦ v , así como sus condiciones de uso. Se supone que se sabe que la función ln es derivable en 0 ; + ∞ y que para todo x de 0 ; + ∞ , se tiene : exp ln x = x A partir de estos cuatro argumentos, demuestre que la derivada de la función ln es la función definida en 0 ; + ∞ que asocia x con 1 x . E.3963 En este ejercicio, se pide a los candidatos que establezcan, siguiendo el procedimiento prop-uesto, dos resultados del curso. Recordatorio : la función ln es definida y derivable en 0 ; + ∞ , positiva en 1 ; + ∞ , y verifica: ln 1 = 0 Pour tous réels strictement positifs x et y , ln( x · y ) = ln x + ln y Pour tout réel strictement positif x , ln( x ) = 1 x ln(2) ≈ 0 ; 69 à 10 − 2 près. Consideremos la función f definida en 0 ; + ∞ por: f ( x ) = x − ln x 1 Estudiar las variaciones de f y deducir que f admite un mínimo en 0 ; + ∞ . 2 Deduzca el signo de f y, a continuación, que, para todo x> 1 : 0 < ln x x < x x 3 Deduzca que : lim x ↦→ + ∞ ln x x = 0 . E.3280 Restitución organizada de connaissances Requisitos previos: La función logaritmo neperiano es derivable en el in-tervalo 0 ; + ∞ ; Su función derivada es la función inversa : x ↦−→ 1 x . ln(1) = 0 Demuestre que para todos los números reales estrictamente positivos ¸ y x : ln( ¸x ) = ln( ¸ ) + ln( x ) E.6091 Para cada una de las siguientes afirmaciones, indica si es verdadera o falsa y justifica la re-spuesta elegida. Considera la función g definida en − 1 2 ; + ∞ mediante : g ( x ) = 2 x · ln 2 x + 1 Proposición 1: En − 1 2 ; + ∞ , la ecuación g ( x )=2 x tiene solución única e − 1 2 . Proposición 2: El coeficiente director de la tangente a la curva representativa de la función g en el punto de abscisa 1 2 es : 1+ln4 . E.3659 Requisitos previos: Recordemos que : lim x ↦→ + ∞ e x x = + ∞ 1 Demostrar que : lim x ↦→ + ∞ ln x x =0 . 2 Deduzcamos que para todo número natural n distinto de cero: lim x ↦→ + ∞ ln x x n = 0 https://chingmath.fr chapExoCorrec/4155 sacados/4155 chapExoCorrec/6047 sacados/6047 chapExoCorrec/3890 sacados/3890 Extrait Antilles-Guyane Septembre 2010 chapExoCorrec/3963 sacados/3963 Amerique du Sud Novembre 2008 chapExoCorrec/3280 sacados/3280 Extrait Antilles-Guyane Juin 2006 chapExoCorrec/6091 sacados/6091 chapExoCorrec/3659 sacados/3659 Centres etrangers Juin 2008
18. Ejercicios no clasificados E.3653 Sea f la función definida en R por: f ( x )=e x − x − 1 1 Determina el signo de f (se pueden estudiar las varia-ciones de la función f ) . Establece la siguiente desigualdad para cualquier número natural distinto de cero n : e 1 n 1 + 1 n 2 Utilizando la desigualdad anterior, demuestre que para cualquier número natural distinto de cero n : 1 + 1 n n e E.9729 Sea f la función definida en R por: f ( x ) = x + 2 − 4 · e x e x + 3 C es su curva representativa en el plano relativa a una refer-encia ortonormal O ; −→ i ; −→ j de unidad gráfica 2 cm . 1 a La función derivada de f se denota f . Calcula f ( x ) y demuestra que, para cualquier x real, tenemos : f ( x ) = e x − 3 e x + 3 2 b Determina las direcciones de las variaciones de f en R . 2 Determina la ecuación de la tangente ( T ) a la curva C en el punto de abscisa 0 . E.101 1 Resuelve el siguiente sistema, donde u y v son números reales : u + 1 2 · v = 0 u − 1 4 · v = 3 2 2 Sea f una función definida en R por: f ( x ) = a · e x + b e x + 1 ( a y b reales) Halla los valores de los reales a y b , sabiendo que la curva representativa de la función f en un sistema de coor-denadas O ; −→ i ; −→ j pasa por O y que la tangente a la curva en este punto es paralela a la recta (Δ) de ecuación y = 3 2 x − 2 . 3 Sea g la función definida en R por: g ( x )=e x − 2 e x +1 a Resolver en R la ecuación : g ( x )=0 . b Resolver en R la desigualdad : g ( x ) 1 https://chingmath.fr chapExoCorrec/3653 sacados/3653 Inspire de Nouvelle-Caledonie Novembre 2007 chapExoCorrec/9729 sacados/9729 chapExoCorrec/101 sacados/101 France - septembre 2001 - 4 points