Bachillerato 2 / Combinatoria y recuento 30 ejercicios (incluyendo 14 corregidos)

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ABC1 ABC2 ABC3 ABC4 ABC5 ABC6 ABC1 ABC2 ABC3 ABC4 ABC5 ABC6 ABC 1. Nociones sobre conjuntos E.7514 En un universo Ω , considera los tres sucesos A , B y C que se muestran a continuación. Para cada pregunta, expresa la parte sombreada utilizando los sucesos A , B , C , los símbolos de encuentro, intersección y complementario. E.7515 En un universo Ω , considera los tres sucesos A , B y C que se muestran a continuación. Para cada pregunta, consideramos una parte del universo Ω denominada M : 1 M = A ∩ C 2 M = C ∩ A ∩ B ∩ C 3 M = A ∪ B ∪ C 4 M = B ∩ C ∩ A 5 M = A ∩ B ∩ C ∪ B ∩ C ∩ A 6 M = A ∩ B ∩ C ∪ B ∩ A ∩ C ∪ C ∩ A ∩ B Representa cada uno de los conjuntos M en las representa-ciones siguientes : E.7575 En un universo Ω , consideramos los tres eventos A , B y C repre-sentados a continuación : ¾Qué conjunto designa la parte sombreada representada ar-riba? 1 A ∩ B ∩ C ∪ A ∩ B ∩ C 2 A ∩ B ∩ C ∩ B ∪ C 3 A ∪ B ∪ C ∩ A ∪ B 4 C ∩ B ∪ C https://chingmath.fr chapExoCorrec/7514 sacados/7514 ABC1 ABC2 ABC3 ABC4 ABC5 ABC6 chapExoCorrec/7515 sacados/7515 ABC1 ABC2 ABC3 ABC4 ABC5 ABC6 chapExoCorrec/7575 sacados/7575 ABC
ABABABAB ABABABAB ABC ABC E.7508 En un universo Ω , considera los dos sucesos A y B . 1 Representa en los diagramas siguientes los dos sucesos M y N definidos por: M = A ∩ B ; N = A ∪ B 2 Deseamos establecer la igualdad de los conjuntos A ∩ B = A ∪ B : a Para cualquier suceso elemental ! , establece la impli-cación: ! ∈ A ∩ B = ⇒ ! ∈ A ∪ B b Para cualquier suceso elemental ! , establece la impli-cación: ! ∈ A ∪ B = ⇒ ! ∈ A ∩ B E.7516 En un universo Ω , consideramos los dos eventos A y B . 1 Representar en los diagramas siguientes los dos sucesos M y N definidos por: M = A ∪ B ; N = A ∩ B 2 Se desea establecer la igualdad de los conjuntos A ∪ B = A ∩ B : a Para cualquier evento elemental ! , establecer la impli-cación: ! ∈ A ∪ B = ⇒ ! ∈ A ∩ B b Para cualquier evento elemental ! , establecer la impli-cación: ! ∈ A ∩ B = ⇒ ! ∈ A ∪ B E.7517 En un universo Ω , considera los tres sucesos A , B y C . 1 En los diagramas siguientes, represente los dos sucesos M y N definidos por: M = A ∩ B ∪ C ; N = A ∩ B ∪ A ∩ C 2 Deseamos establecer la igualdad de los conjuntos : A ∩ B ∪ C = A ∩ B ∪ A ∩ C a Para cualquier suceso elemental ! , establecer la impli-cación: ! ∈ A ∩ B ∪ C = ⇒ ! ∈ A ∩ B ∪ A ∩ C b Para cualquier suceso elemental ! , establecer la impli-cación: ! ∈ A ∩ B ∪ A ∩ C = ⇒ ! ∈ A ∩ B ∪ C E.10408 En un universo Ω , considera los tres sucesos A , B y C . 1 En los diagramas siguientes, represente los dos sucesos M y N definidos por: M = A ∪ B ∩ C ; N = A ∪ B ∩ A ∪ C 2 Deseamos establecer la igualdad de los conjuntos : A ∪ B ∩ C = A ∪ B ∩ A ∪ C a Para cualquier suceso elemental ! , establecer la impli-cación: ! ∈ A ∪ B ∩ C = ⇒ ! ∈ A ∪ B ∩ A ∪ C b Para cualquier suceso elemental ! , establecer la impli-cación: ! ∈ A ∪ B ∩ A ∪ C = ⇒ ! ∈ A ∪ B ∩ C 2. Factorial E.8651 Resuelve en N , las siguientes ecuaciones : a n ! = 5040 b ( n + 1)! = 720 c n ! = 72 × ( n − 2)! E.8652 Determina el valor de las siguientes ex-presiones : a 9! × 12! 8! × 11! b (15!) 2 13! × 14! 3. Factorial y combinatoria https://chingmath.fr chapExoCorrec/7508 sacados/7508 Loi de Morgan ABABABAB chapExoCorrec/7516 sacados/7516 ABABABAB chapExoCorrec/7517 sacados/7517 Loi de Morgan ABC ABC sacados/10408 ABC ABC sacados/8651 sacados/8652
E.4103 Hay 26 cartas que contienen las 26 le-tras del alfabeto. De este mazo se extraen sucesivamente tres cartas sin reemplazo. 1 ¾Cuántas palabras de tres letras (con o sin significado) se pueden formar? Justifica que este número se escribe : 26! 23! 2 a ¾Cuántas palabras que empiecen por la letra B se pueden crear? b Deduce la probabilidad del suceso : A 1 : ˇ La palabra empieza por la letra B ı. 3 Determine la probabilidad del suceso : A 2 : ˇ La segunda letra de la palabra es la letra B ı. 4 ¾Cuál es la probabilidad del suceso : C : ˇ La palabra contiene la letra B ı. E.4165 A continuación se representan todas las combinaciones de 3 dígitos entre los cinco primeros números naturales distintos de cero. 1 ; 2 ; 3 ; 1 ; 2 ; 4 ; 1 ; 2 ; 5 ; 1 ; 3 ; 4 1 ; 3 ; 5 ; 1 ; 4 ; 5 ; 2 ; 3 ; 4 ; 2 ; 3 ; 5 2 ; 4 ; 5 ; 3 ; 4 ; 5 Una urna contiene seis bolas numeradas del 1 al 6 . El juego consiste en sacar simultáneamente tres bolas de esta urna. Se supone que cada extracción es independiente y que todas las extracciones son equiprobables. 1 a Escriba todas las combinaciones posibles de dos números entre los cinco primeros números naturales distintos de cero. Justifique que el número de estas combinaciones es igual a: 5! 2! · (5 − 2)! b Deduzca el número de combinaciones de tres números entre los seis primeros números naturales distintos de cero. c Establezca la siguiente igualdad : 6! 3! · (6 − 3)! = 20 2 Supongamos que las bolas numeradas del 1 al 4 son azules y que las demás son rojas. ½ a Escribiendo todas las combinaciones de 2 nombres en-tre los cuatro primeros números naturales distintos de cero, establecer que el número de tales combinaciones es igual a: 4! 2! · (4 − 2)! b Deducir el número de combinaciones que logran el suceso : E : ˇ deux bolas son azules y sólo una es rouge ı c Determina la probabilidad del suceso E . E.7577 Una asociación está compuesta por 18 miembros, 7 hombres y 11 mujeres. Cada año, se debe elegir al comité de gestión. Está compuesto por un presidente y dos vicepresidentes. Los estatutos de la asociación estipulan lo siguiente : si el presidente es un hombre, los dos vicepresidentes deben ser mujeres ; si la presidenta es una mujer, los dos vicepresidentes deben ser hombres ; ¾Cuántos comités de gestión diferentes se pueden formar con los miembros de la asociación? a 154 b 385 c 616 d 1386 4. Combinación E.4181 Determina el valor de las siguientes ex-presiones : a 15 13 + 9 6 b 15 7 + 15 8 − 16 8 E.4182 Resuelve en N , la ecuación : 8 k =56 E.7828 Con ayuda de la calculadora, determine el valor de los siguientes coeficientes binomiales : a 5 3 a 12 5 a 8 6 a 7 2 E.4172 Recordatorios : si n y p son dos números naturales tales que p n , entonces : n p = n ! p !( n − p )! Demostrar que para todo número natural n y para todo número natural p tales que 1 p n , se tiene : n p = n − 1 p − 1 + n − 1 p 5. El triángulo de Pascal E.131 Las tres partes del ejercicio son in-dependientes. Los resultados solicitados se darán en forma de fracciones ir-reducibles. En este ejercicio se extraen al azar las ocho cartas que com-ponen las cuatro reinas y los cuatro reyes de una baraja. Preliminares : https://chingmath.fr chapExoCorrec/4103 sacados/4103 chapExoCorrec/4165 sacados/4165 chapExoCorrec/7577 sacados/7577 sacados/4181 sacados/4182 chapExoCorrec/7828 sacados/7828 chapExoCorrec/4172 sacados/4172 sacados/131 Antilles - 2002 - 7 points - obligatoire
Escribe el triángulo de Pascal dando los números n p para n menor o igual que 8. 1 Primera modalidad : Se extraen simultáneamente tres cartas al azar de entre las ocho. a Determina el número de extracciones posibles. b Determinar el número de empates que incluyen tres reyes. c Determinar la probabilidad de hacer una extracción de tres cartas del mismo nivel, es decir, tres reyes y tres reinas. 2 Segunda modalidad : puede utilizarse un árbol a Calcula la probabilidad del suceso R 1 ˇ La primera carta extraída es una roi ı b Sabiendo que la primera carta extraída es un rey, cal-cula la probabilidad de que la segunda carta siga siendo un rey. c Determina la probabilidad de obtener dos reyes. d ¾Cuál es la probabilidad de obtener dos figuras del mismo nivel, es decir, dos reyes o dos reinas? e ¾Cuál es la probabilidad de no obtener dos cifras del mismo nivel? 3 Tercer modo: Se extrae una carta y se devuelve a la baraja de ocho cartas antes de la siguiente extracción. Las extracciones son independientes. a Calcular la probabilidad de obtener un corazón al ex-traer una carta de las ocho elegidas. b Se realizan cuatro extracciones sucesivas. i Determinar la probabilidad p 1 de obtener un corazón cuatro veces. ii Determine la probabilidad p 2 de obtener exacta-mente dos corazones. c Utilizando la calculadora, dar el número de extrac-ciones necesarias para que la probabilidad de obtener sólo corazones sea inferior a 10 − 6 . E.129 Consideremos un conjunto X con 5 elemen-tos. Representemos el conjunto X de la siguiente manera : X = a ; b ; c ; d ; e Denotemos por n m el número de subconjuntos con m ele-mentos de un conjunto con n elementos. 1 a Representar todas las partes de X que contienen 2 elementos, de modo que el elemento a no forme parte de ellas. b Justificar que el número de partes con 2 elementos de X , sabiendo que a no forma parte de ellas, es igual a 4 2 . 2 a Representar todas las partes de X que contienen 2 elementos, de modo que a pertenezca a estas subpartes. b Justificar que el número de partes con 2 elementos, sa-biendo que a forma parte de ellas, es igual a 4 1 3 Deduzca que : 4 1 + 4 2 = 5 2 4 Justifique que para todo número natural m y n tales que m<n , se cumple la relación: n − 1 m − 1 + n − 1 m = n m E.5385 1 Reconstruye el triángulo de Pascal para n =7 . 2 Utilizando la tabla de la pregunta 1 , da los valores de los siguientes coeficientes binomiales : a 5 3 a 4 0 a 4 2 a 7 5 3 Utilizando la calculadora, determina el valor de los sigu-ientes coeficientes binomiales : a 5 3 a 12 5 a 8 6 a 7 2 6. Probabilidad combinatoria E.4254 Una urna contiene cinco bolas in-distinguibles al tacto : dos verdes y tres rojas. Se extraen simultáneamente dos bolas al azar de la urna. La variable aleatoria igual al número de bolas verdes extraídas es X . 1 Comprueba que P ( X =0)= 3 10 determina entonces la dis-tribución de probabilidad de la variable aleatoria X . 2 Calcula la esperanza matemática de la variable aleatoria X . 3 Calcula la probabilidad del siguiente suceso : A : ˇ las dos bolas extraídas son iguales couleur ı E.4259 Una urna contiene 4 bolas negras y 3 bolas rojas indistinguibles al tacto. Se extraen dos bolas al azar simultáneamente. 1 Considera el suceso : A : ˇ las dos bolas extraídas son de la misma couleur ı. Determine la probabilidad del suceso A . 2 Considere el suceso : A : ˇ sólo una de las dos bolas extraídas es rouge ı. Determine la probabilidad del suceso B . https://chingmath.fr sacados/129 chapExoCorrec/5385 sacados/5385 sacados/4254 sacados/4259
E.4263 Para cada una de las siguientes pre-guntas, una o dos de las respuestas propuestas son correctas. No se espera ninguna justificación : 1 Se extrae una carta al azar de una baraja de 32 cartas. La probabilidad de no obtener ni un as ni una pica es igual a: a 5 8 b 21 32 c 11 32 d 3 8 2 Se extraen dos cartas al azar simultáneamente de una baraja de 32 cartas. La probabilidad de no obtener ni un as ni una pica es igual a: a 105 248 b 21 2 32 2 c 21 2 32 2 d 5 2 8 2 7. Anuarios de bachillerato antiguos (anteriores a 2012) E.3119 Un mueble tiene 10 cajones T 1 , T 2 , . . . , T 10 . Una persona coloca al azar una pelota en unos cajones y a otra se le encarga encontrar el cajón que contiene la pelota utilizando la siguiente estrategia : La persona abre el cajón T 1 . Si la bola está en el cajón T 1 , la búsqueda está completa, en caso con-trario la persona abre el cajón T 2 , y así sucesivamente suite. . . respetando el orden de los números de los ca-jones. Observa que con esta estrategia, el cajón T 10 nunca se abre. Para i enteros entre 1 y 10 ( 1 i 10 ) , llamamos B i al suceso ˇ la bola está en el cajón T i ı. Denotamos X a la variable aleatoria igual al número de ca-jones que se abrieron para localizar la bola con esta estrategia. 1 Dar el conjunto de valores posibles de X . 2 a Demuestre que, para i entero entre 1 y 8 ( 1 i 8 ) , el suceso [ X = i ] es el suceso B i . b Justifique que el suceso [ X =9] es la unión de los suce-sos B 9 y B 10 . c Determine la distribución de probabilidad de X . d Calcular la esperanza matemática de X . E.3174 Para cada una de las tres pregun-tas, solo una de las tres propuestas es correcta. El candidato indicará en la copia el número de la pregunta y la letra correspondiente a la respuesta elegida. No se requiere justificación. Una respuesta correcta vale 1 punto ; una respuesta incorrecta resta 0 ; 5 puntos ; la ausencia de respuesta se cuenta como 0 puntos. Si el total es negativo, la nota se reduce a cero. Una urna contiene 10 boletos indistinguibles al tacto de 3 tipos : 4 están marcados con ˇ oui ı ; 3 están marcados con ˇ non ı ; 3 están marcados con ˇ en blanco ı. En una primera partida, el jugador comienza apostando 30 céntimos de euro. A continuación, saca un boleto de la urna y lo vuelve a colocar en ella después de leerlo. Si el boleto sacado está marcado con ˇ oui ı, el jugador recibe 60 céntimos de euro ; si está marcado con ˇ non ı, no recibe nada. Si el bo-leto extraído está marcado con ˇ blanco ı, recibe 20 céntimos de euro. Pregunta 1 El juego es : a favorable para el jugador b desfavorable para el jugador c equitativo Pregunta 2 El jugador juega 4 partidas independientes entre sí. La probabilidad de que saque al menos una vez un boleto marcado con ˇ oui ı es igual a: a 216 625 b 544 625 c 2 5 En un segundo juego, el jugador saca simultáneamente dos boletos de la urna. Pregunta 3 La probabilidad de que obtenga dos boletos de diferentes tipos es igual a: a 4 15 b 11 30 c 11 15 https://chingmath.fr sacados/4263 Extrait d'Antilles-Guyane Juin 2010 sacados/3119 Antilles-Guyane 4 points septembre 1998. sacados/3174
E.3137 Una urna contiene 4 bolas blancas y 2 bolas negras indistinguibles al tacto. 1 Se realizan tres extracciones sucesivas al azar de una bola según el siguiente procedimiento : después de cada extrac-ción, si la bola extraída es blanca, se vuelve a colocar en la urna y, si es negra, no se vuelve a colocar en la urna. Se designa por X la variable aleatoria igual al número de bolas negras obtenidas al final de los tres sorteos. Se puede utilizar un árbol ponderado. a ¾Cuáles son los valores que toma X ? b Calcular P ( X =0) . c Ahora se propone determinar P ( X =1) . Demuestre que la probabilidad de que la única bola negra extraída se obtenga en la segunda extracción es igual a 8 45 . Teniendo en cuenta que la única bola negra puede salir en la primera, segunda o tercera extracción, cal-cular P ( X =1) 2 Volvemos a la urna en su composición inicial: 4 bolas blancas y 2 bolas negras indistinguibles al tacto. Sea n un número natural mayor o igual a 3. Ahora hacemos n sucesivas extracciones aleatorias de una bola de la urna según el mismo procedimiento : después de cada extracción, si la bola extraída es blanca, la volve-mos a meter en la urna y si es negra, no la volvemos a meter. Sea k un número entero comprendido entre 1 y n . Sea N el suceso : ˇ la k -ésima bola extraída es negra y todas las demás son blancası . Sea A el suceso : ˇ hay una bola blanca en cada una de las primeras k − 1 extracciones y una bola negra en la k -segunda ı. Sea B el suceso : ˇ obtenemos una bola blanca en cada uno de los ( n − k ) últimos sorteos ı. Calcula P ( A ) , P A ( B ) y P ( N ) . E.3230 Se denota p A ( B ) la probabilidad condicional del evento B sabiendo que el evento A se ha pro-ducido. Una urna contiene 4 bolas rojas y 2 bolas negras indistin-guibles al tacto. 1 Se realiza un sorteo aleatorio sin reposición de dos bolas de la urna. Se anota A 0 el evento : ˇ no se ha obtenido ninguna bola negra ı Anotamos A 1 el evento : ˇ se ha obtenido una sola bola negra ı ; Anotamos A 2 el evento : ˇ se obtuvieron dos bolas negras ı Calcular las probabilidades A 0 , A 1 y A 2 . 2 Tras esta primera extracción, quedan 4 bolas en la urna. Se realiza de nuevo una extracción aleatoria sin reposi-ción de dos bolas de la urna. Se anota B 0 el evento : ˇ no se ha obtenido ninguna bola negra en el sorteo n o 2 ı Se anota B 1 el evento : ˇ se obtuvo una sola bola negra en el sorteo n o 2 ı Anotamos B 2 el evento : ˇ se obtuvieron dos bolas negras en el sorteo n o 2 ı a Calculer p A 0 ( B 0 ) , p A 1 ( B 0 ) et p A 2 ( B 0 ) . b Deducir p ( B 0 ) . c Calcular p ( B 1 ) y p ( B 2 ) . d En este segundo sorteo se ha obtenido una sola bola negra. ¾Cuál es la probabilidad de haber obtenido una sola bola negra en el primero? 3 Consideremos el evento R : ˇ se necesitaron exactamente dos extracciones para que las dos bolas negras fueran ex-traídas de la urna ı. Demuestre que : p ( R )= 1 3 . https://chingmath.fr sacados/3137 sacados/3230
E.4162 Los robots se encuentran en el centro de gravedad O de un triángulo cuyos vértices son S , I y X . Cada uno se desplaza en tres etapas sucesivas de la siguiente manera : En cada etapa, pasa por uno de los tres vértices S , I y X y luego llega al punto O ; los robots están programados de tal manera que, en una etapa, la probabilidad de pasar por el vértice S es igual a la de pasar por el vértice X y la probabilidad de pasar por el vértice S es el doble que la de pasar por el vértice I ; los diferentes pasos son independientes entre sí ; no se tienen en cuenta los pasos por O . Parte A - Un solo robot Hay un solo robot en el punto O . 1 Demuestra que, en cada etapa, la probabilidad de que el robot pase por el vértice I es igual a 1 5 . 2 Denotemos por E el evento : ˇ durante las tres etapas, el robot pasa sucesivamente por los vértices 3 , S , I y X en este orden ı. Demostrar que la probabilidad de E es igual a 4 125 . 3 Anotamos F el evento : ˇ Durante las tres etapas, el robot pasa exactamente por los vértices 3 , S , I y X en cualquier orden ı. . Determine la probabilidad de F . Parte B - Varios robots Hay robots en el punto O , cuyos movimientos son independi-entes entre sí. ¾Cuál es el número mínimo n de robots que debe haber para que la probabilidad del evento : ˇ al menos uno de los robots pase sucesivamente por los vértices S , I y X en ese orden ı sea superior o igual a 0 ; 99 ? E.3191 Se lanza un dado tetraédrico con los números 1 , 2 , 3 y 4 en sus cuatro caras. Leemos el número en la cara oculta. Para k ∈{ 1 ; 2 ; 3 ; 4 } , anotamos p i la probabilidad de obtener el número k en la cara oculta. El dado está desequilibrado de modo que los números p 1 , p 2 , p 3 y p 4 en este orden, forman una progresión aritmética: 1 Sabiendo que p 4 =0 ; 4 demostrar que : p 1 = 0 ; 1 ; p 2 = 0 ; 2 ; p 3 = 0 ; 3 2 El dado se lanza tres veces seguidas. Se supone que los lanzamientos son independientes de dos en dos. a ¾Cuál es la probabilidad de obtener en orden los números 1 , 2 , 4 ? b ¾Cuál es la probabilidad de obtener tres números dis-tintos dispuestos en orden ascendente? 3 El dado se lanza 10 veces seguidas. Se supone que los lan-zamientos son independientes. Denotamos X la variable aleatoria que cuenta el número de veces que se obtiene el número 4 . a Para 1 i 10 , exprese en función de i la probabilidad del suceso [ X = i ] . b Calcule la esperanza matemática de X . Interprete el resultado obtenido. c Calcular la probabilidad del evento [ X 1] . Se dará un valor redondeado a las milésimas. 4 Sea n un número natural distinto de cero. Se lanza el dado n veces, suponiendo que los lanzamientos son inde-pendientes entre sí. Denotemos por U n la probabilidad de obtener por primera vez el número 4 en el n -ésimo lanzamiento. a Demuestre que U n es una sucesión geométrica y que es convergente. b Calcular S n = n i =1 U i y estudiar la convergencia de la sucesión S n . c Determinar el menor entero n tal que S n > 0 ; 999 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/4162 sacados/4162 sacados/3191
E.4198 Se observa durante un largo peri-odo el número de accidentes de motos en un cruce. Entonces, es posible proponer el siguiente modelo : para n motocicletas que cruzan el cruce durante un año ( n , siendo un número grande desconocido) , , se admite que la variable aleatoria S n , que suma el número de accidentes de motocicletas en ese cruce durante ese año, sigue una ley binomial; se estima que la es-peranza matemática de S n , indicada por E ( S n ) , es igual a 10 . Sea p la probabilidad de que una motocicleta sufra un acci-dente en este cruce durante el año considerado. 1 Calcular p y justificar la igualdad : P ( S n = k ) = n k · 10 n k · 1 − 10 n n − k donde k es un número natural tal que 0 k n . 2 a Establecer la igualdad : ln P ( S n =0) = − 10 × ln 1 − 10 n − 10 n donde ln designa la función logaritmo natural. Deduzca que : lim n ↦→ + ∞ P ( S n =0)=e − 10 . b Demostrar que : P ( S n = k +1) = P ( S n = k ) × n − k n − 10 × 10 k + 1 donde k es un número natural tal que 0 k n − 1 . c Demostrar que si : lim n ↦→ + ∞ P ( S n = k ) = e − 10 · 10 k k ! para 0 k n , entonces también tenemos : lim n ↦→ + ∞ P ( S n = k +1) = e − 10 · 10 k +1 ( k + 1)! para 0 k +1 n . d Demuestre utilizando un razonamiento por recurrencia sobre el número natural k que : lim n ↦→ + ∞ P ( S n = k ) = e − 10 · 10 k k ! donde k es un número natural tal que 0 k n . 3 Supongamos que el número n es lo suficientemente grande como para que podamos admitir que e − 10 · 10 k k ! es una aproximación aceptable de P ( S n = k ) . Utiliza esta aproximación para calcular, con una precisión de 10 − 4 , la probabilidad de que durante este año se produzcan al menos tres accidentes de scooter en este cruce. 8. Ejercicios no clasificados E.10638 Determine los dos números naturales a y b tales que : n n + 1 ! = a n ! − b n + 1 ! https://chingmath.fr chapExoCorrec/4198 sacados/4198 sacados/10638