Bachillerato 2 / Ortogonalidad, distancia en el espacio 60 ejercicios corregidos

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1. Líneas y ortogonalidad E.5398 En el espacio, considera el cubo ABCDEFGH que se muestra a continuación : 1 Justifica que las rectas ( EF ) y ( GC ) son ortogonales. 2 Justifica que las rectas ( AD ) y ( HF ) no son ortogonales. 3 ¾Son ortogonales las rectas ( AG ) y ( BG ) ? E.6815 La figura siguiente representa un cubo ABCDEFGH . Los puntos I y J son los respectivos puntos medios de las aristas [ GH ] y [ FG ] . Los puntos M y N son los respectivos centros de las caras ABFE y BCGF . De las siguientes proposi-ciones, sólo una es correcta. ¾Cuál es? a Las rectas ( IJ ) y ( MN ) son perpendiculares. b Las rectas ( IJ ) y ( MN ) son secantes, no perpendicu-lares. c Las rectas ( IJ ) y ( MN ) son ortogonales. d Las rectas ( IJ ) y ( MN ) son paralelas. Justifica tu respuesta. 2. Líneas, planos y ortogonalidad E.576 Considera el cubo ABCDEFGH de lado 5 cm que se muestra a continuación : 1 Demuestra que el plano ( ABC ) es ortogonal a la recta ( AE ) 2 Calcula la longitud de la diagonal [ EC ] . E.5399 En el espacio, considera el cubo ABCDEFGH que se muestra a continuación : 1 a Justifica que ( AF ) es ortogonal al plano ( EBC ) . b Deduce que ( AF ) y ( EC ) son ortogonales. 2 a Justifica que ( HF ) es ortogonal al plano ( ECG ) . b Deduce que ( HF ) y ( EC ) son ortogonales. 3 Deduce que ( EC ) es ortogonal al plano ( AFH ) . E.5397 La figura de al lado muestra un tetraedro regular ABCD y I la mitad del segmento [ BD ] . Justifica que la recta ( BD ) es ortogonal al plano ( AIC ) . 3. Plano medio https://chingmath.fr chapExoCorrec/5398 sacados/5398 ABCDEFGH chapExoCorrec/6815 sacados/6815 ABCDEFGHIJMN chapExoCorrec/576 sacados/576 ABCDEFGH chapExoCorrec/5399 sacados/5399 ABCDEFGH chapExoCorrec/5397 sacados/5397 ABCDI
E.6966 En el espacio, considera el tetraedro regular ABCD que se muestra a continuación : Los puntos I y J son los puntos medios de los segmentos [ AD ] y [ BC ] respectivamente. 1 a Justifica que el plano ( JAD ) es el plano medio del segmento [ BC ] . b ¾Cuál es la posición relativa de las rectas ( BC ) y ( IJ ) ? 2 Justifica que las rectas ( AD ) y ( IJ ) son perpendiculares. 3 ¾Son paralelas las rectas ( AD ) y ( BC ) ? Justifica tu re-spuesta. E.6868 Consideremos un sólido ADECBF formado por dos pirámides idénticas que tienen como base común el cuadrado ABCD con centro I . A contin-uación se muestra una representación en perspectiva de este sólido. Todas las aristas tienen una longitud de 1 . 1 Justifique que las rectas ( DE ) y ( FB ) son paralelas. 2 Justifique que los planos ( ABF ) y ( CED ) son paralelos. 4. Distancia en el espacio E.2963 Recordatorios : En el espacio provisto de un sistema de coordenadas, sean A y B dos puntos y I el punto medio del segmento [ AB ] : AB = x B − x A 2 + y B − y A 2 + z B − z A 2 I x A + x B 2 ; y A + y B 2 ; z A + z B 2 En el espacio provisto de un sistema de coordenadas ortonor-males O ; I ; J ; K , consideramos cuatro puntos identificados por sus coordenadas : A 3 ; − 1 ; 5 ; B − 2 ; 2 ; 3 ; C − 1 ; − 2 ; 4 ; D 1 2 ; 1 2 ; 4 1 ¾Están alineados los puntos A , B y C ? 2 Demuestra que el triángulo ABC es isósceles en C . 3 Justificar que el punto D es el pie de la altura del trián-gulo ABC que sale del vértice C . E.914 En el espacio provisto del sis-tema de referencia O ; I ; J ; K ortonormal, consideremos la es-fera S con centro O y radio 2 : Considera los puntos E y F cuyas coordenadas son : E 0 ; 96 ; 1 ; 28 ; 1 ; 2 F 1 ; 2 ; − √ 15 5 ; 1 ; 4 1 Demuestra que los puntos E y F son puntos de la esfera S . 2 Sea G el punto diametralmente opuesto al punto F de la esfera S . Justifica que el triángulo EFG es rectángulo. E.2777 Consideremos el espacio provisto de un sistema de referencia ortonormal ( O ; I ; J ; K ) . Considera los tres puntos A , B , C definidos por sus coordenadas : A 180 ; 153 ; 96 ; B 180 ; 135 ; 120 ; C 190 ; 133 ; 106 1 Demuestra que los puntos A , B , C pertenecen a la misma esfera S con centro O . 2 Establecer que el triángulo ABC es acutángulo C . 3 a ¾Es un lado del triángulo ABC un diámetro de la esfera S ? b ¾Puedes nombrar una propiedad del plano que no pueda extenderse al espacio? https://chingmath.fr chapExoCorrec/6966 sacados/6966 ABCDIJ chapExoCorrec/6868 sacados/6868 ABCDEFI chapExoCorrec/2963 sacados/2963 chapExoCorrec/914 sacados/914 jkiOSFGE chapExoCorrec/2777 sacados/2777
E.6752 En el espacio, consideremos el cubo ABCDEFGH de arista 1 . El espacio recibe el marco de referencia C ; −−→ CB ; −−→ CD ; −−→ CG ortonormal. Los puntos I , J , K , L , M , N son los respectivos puntos medios de los segmentos [ AB ] , [ BC ] , [ CG ] , [ GH ] , [ HE ] , [ EA ] . 1 Determina las coordenadas de los puntos I , K y L . 2 a Determinar las coordenadas del punto O punto medio del segmento [ IL ] . b Determina las longitudes OK y KL . 3 Se acepta que el polígono IJKLMN es un hexágono reg-ular. Por tanto, el punto O es el centro de este polígono. a Da la medida del ángulo KOL . b Determina el área del triángulo KOL . 5. Definición del producto escalar E.8891 Definición : Sean −→ u y −→ v dos vectores del espacio. El producto escalar de los vectores −→ u y −→ v , denotado por −→ u · −→ v , se define como el producto escalar −−→ AB · −→ AC donde : el vector −−→ AB (resp. −→ AC ) es un representante del vector −→ u (resp. −→ v ) . el cálculo del producto escalar −−→ AB · −→ AC se realiza en un plano que contiene los puntos A , B , C . Propuesta: sea A , B , C tres puntos que definen los dos vectores distintos de cero −−→ AB y −→ AC . El producto escalar −−→ AB y −→ AC tiene como valor: −−→ AB · −→ AC = AB × AC × cos BAC Consideremos el cubo ABCDEFGH de lado 1 representado al lado. El punto I es el punto medio del segmento [ AB ] . 1 Determinar el valor del producto escalar −−→ FE · −−→ FB 2 Determinar el producto escalar: −→ IA · −→ IB 3 a ¾Cuál es la naturaleza del triángulo ACH ? b ¾Deduzca el valor del producto escalar −−→ HA · −−→ HC ? E.8892 Propuesta: sean −→ u y −→ v dos vectores distintos de cero del espacio. los vectores −→ u y −→ v son ortogonales entre sí si, y solo si, −→ u · −→ v = 0 Si los vectores −→ u y −→ v son colineales entre sí : −→ u y −→ v tienen el mismo sentido : −→ u · −→ v = −→ u × −→ v −→ u y −→ v tienen sentido contrario: −→ u · −→ v = − −→ u × −→ v En el espacio, consideramos el cubo ABCDEFGH de lado 1 representado al lado, donde los puntos I y J son respectiva-mente los medios de los segmen-tos [ GH ] y [ AD ] . Utilizando las propiedades del cubo y del cuadrado, determine el valor de los productos es-calares: a −−→ EH · −−→ DH b −−→ AB · −−→ DC c −−→ BC · −−→ GF 6. Fórmula de bilinealidad https://chingmath.fr chapExoCorrec/6752 sacados/6752 ABCDEFGHIJKLMN chapExoCorrec/8891 sacados/8891 IABCDEFGH chapExoCorrec/8892 sacados/8892 ABCDEFGHIJ
E.5410 Propuesta: Sean −→ u , −→ v , −→ w y k números reales. Se tienen las siguientes identidades : −→ u · −→ v = −→ v · −→ u −→ u · −→ v + −→ w = −→ u · −→ v + −→ u · −→ w −→ u · k · −→ v = k · −→ u · −→ v = k −→ u · −→ v En el espacio, consideramos el cubo ABCDEFGH de lado 1 representado al lado, donde los puntos I y J son respectiva-mente los medios de los segmen-tos [ GH ] y [ AD ] . Método: en el cálculo del producto escalar, se utiliza la relación de Chasles para descomponer los dos vectores en vectores colineales u ortogonales entre sí. Esto facilita el cálculo de los productos escalares. He aquí un ejemplo : Para calcular el producto escalar −→ IE · −−→ GF , se utiliza la de-scomposición del vector −→ IE : −→ IE = −→ IH + −−→ HE Entonces se puede escribir : −→ IE · −−→ GF = −→ IH + −−→ HE · −−→ GF = −→ IH · −−→ GF + −−→ HE · −−→ GF = 0 + HE × GF = 0 + 1 × 1 = 1 Utilizando también la relación de Chasles, determine el valor de los siguientes productos escalares : a −→ AF · −−→ HG b −→ JF · −−→ AB c −→ IJ · −−→ EF E.4188 En este ejercicio, se pide al candidato que responda con ˇVERDADEROı o ˇFALSOı, sin justificación, a una lista de afirmaciones. Cada respuesta que se ajuste a la realidad matemática da 0 ; 4 puntos. Cada re-spuesta errónea resta 0 ; 1 puntos. La ausencia de respuesta no se contabiliza. El total no puede ser negativo. Se da el cubo ABCDEFGH , con aristas de longitud 1 , y los puntos medios I y J de las aristas [ AB ] y [ CG ] . Los elemen-tos útiles de la figura se muestran al lado. El candidato debe evaluar cada una de las 10 afirmaciones siguientes. Affirmation Vrai Faux 1 −→ AC · −→ AI = 1 2 2 −→ AC · −→ AI = −→ AI · −−→ AB 3 −−→ AB · −→ IJ = −−→ AB · −→ IC 4 −−→ AB · −→ IJ = AB × IC × cos ı 3 7. Cálculo del producto escalar E.8890 En el espacio con un sistema de referencia ortonormal. 1 Consideremos los dos vectores −→ u 1 ; 2 ; 3 y −→ v 2 ; − 1 ; 1 , determinar el producto escalar −→ u · −→ v . 2 Consideremos los dos vectores −→ w − 2 ; 0 ; 1 y −→ t − 1 ; 1 ; − 1 , determinar el producto escalar −→ w · −→ t . E.8921 Propuesta: para cualquier vector −→ u y −→ v : −→ u 2 = −→ u 2 −→ u · −→ v = 1 2 · −→ u + −→ v 2 − −→ u 2 − −→ v 2 −→ u · −→ v = 1 2 · −→ u 2 + −→ v 2 − −→ u − −→ v 2 −→ u · −→ v = 1 4 · −→ u + −→ v 2 − −→ u − −→ v 2 Consideremos el paralelepípedo ABCDEFGH representado a continuación : Equipamos el espacio con el sistema de coordenadas O ; −→ i ; −→ j ; −→ k representado arriba. Entonces tenemos las medidas : AB = 10 ; AD = 5 ; AE = 4 1 Determinar los valores de −→ AC , −−→ CG y −→ AC · −−→ CG . 2 Deducir la medida de la diagonal [ AG ] . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5410 sacados/5410 ABCDEFGHIJ chapExoCorrec/4188 sacados/4188 HGFEDCBAIJ chapExoCorrec/8890 sacados/8890 chapExoCorrec/8921 sacados/8921 ABCDEFGH−i−k−j
8. Producto escalar y ortogonalidad E.2778 En el espacio con un sistema de referencia ortonormal, considera los tres puntos siguientes : A 6 ; 5 ; 1 ; B − 4 ; 2 ; − 4 ; C 4 ; 7 ; 2 Demuestra que el triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C . E.8893 En el espacio, considera el cubo ABCDEFGH que se muestra a continuación y donde los puntos I , J , K son los respectivos puntos medios de los seg-mentos [ AB ] , [ DG ] , [ EH ] . Consideremos el espacio provisto del sistema de referencia D ; −−→ DA ; −−→ DC ; −−→ DH . Demuestra que las rectas ( IJ ) y ( CK ) son ortogonales. E.8920 Considera el paralelepípedo ABCDEFGH que se muestra a continuación donde : AB = a con a ∈ R ∗ + ; AD = 1 ; AE = 1 1 Justifica que las rectas ( HB ) y ( AG ) son coplanarias. 2 Determina el valor de a para que las rectas ( HB ) y ( AG ) sean perpendiculares. 9. Determinar la medida de un ángulo E.4082 El espacio se refiere a un O ; −→ i ; −→ j ; −→ k marco de referencia ortonormal directo. Consideremos los puntos : A − 2 ; 0 ; 1 ; B 1 ; 2 ; − 1 ; C − 2 ; 2 ; 2 1 Calcula el producto escalar −−→ AB ·−→ AC y luego las longitudes AB y AC . 2 Deduce la medida del ángulo BAC , redondeada al grado más próximo. 3 Justifica que los puntos A , B y C no están alineados. E.4310 En un sistema de coordenadas ortonormales del espacio, consideramos los tres puntos : E 2 ; 1 ; − 3 ; F 1 ; − 1 ; 2 ; G − 1 ; 3 ; 1 Indique si la siguiente afirmación es verdadera o falsa y justi-fique su respuesta : una medida en grados del ángulo geométrico FEG , re-dondeada al grado, es 50 o . E.6967 Consideremos un cubo ABCDEFGH cuya representación en perspectiva caballada se muestra a continuación : Las aristas tienen una longitud de 1 . El espacio se refiere al sistema de coordenadas ortonormales D ; −−→ DA ; −−→ DC ; −−→ DH A cada número real x del intervalo 0 ; 1 se le asocia el punto M del segmento [ DF ] tal que : −−→ DM = x · −−→ DF Nos interesa la evolución de la medida „ en radianes del án-gulo EMB cuando el punto M recorre el segmento [ DF ] . Tenemos : 0 „ ı 1 ¾Cuál es el valor de „ si el punto M coincide con el punto https://chingmath.fr chapExoCorrec/2778 sacados/2778 chapExoCorrec/8893 sacados/8893 IJKABCDEFGH chapExoCorrec/8920 sacados/8920 ABCDEFGH chapExoCorrec/4082 sacados/4082 Extrait de Nouvelle-Caledonie Mars 2011 chapExoCorrec/4310 sacados/4310 chapExoCorrec/6967 sacados/6967 Extrait Liban Juin 2017 ABCDEFGHM
D ? ¾Y con el punto F ? 2 Supongamos que el punto M tiene como coordenadas M ( x ; x ; x ) . Demostrar que : cos( „ )= 3 · x 2 − 4 · x +1 3 · x 2 − 4 · x +2 (Para ello, podemos fijarnos en el producto escalar de los vectores −−→ ME y −−→ MB ) E.10377 En el espacio provisto de un sistema de referencia ortonormal, considera los tres puntos : A 5 ; − 3 ; 1 ; B 1 ; 2 ; 3 ; C 4 ; − 3 ; − 1 1 Demuestra que el triángulo ABC es rectángulo en A . 2 Calcula el producto escalar −−→ BA · −−→ BC y luego las longi-tudes AB y BC . 3 Deduce la medida en grados del ángulo ABC redondeado al grado. E.10378 En el espacio con un sistema de referen- cia ortonormal, considera los tres puntos : A − 2 ; 4 ; 0 ; B 8 ; − 5 ; 1 ; C − 3 ; 3 ; 1 1 Demuestra que el triángulo ABC es rectángulo en A . 2 Calcula el producto escalar −−→ BA · −−→ BC y luego las longi-tudes AB y BC . 3 Deduce la medida en grados del ángulo ABC redondeado al grado. E.10379 En el espacio provisto de un sistema de coordenadas ortonormales, consideramos los tres puntos : A 1 ; − 3 ; − 5 ; B 0 ; 2 ; − 2 ; C 1 ; − 3 ; − 5 1 Demuestra que el triángulo ABC es rectángulo en A . 2 Calcular el producto escalar −−→ BA · −−→ BC y luego las longi-tudes AB y BC . 3 Deduzca la medida en grados del ángulo ABC re-dondeada al grado. 10. Vectores normales a un plano E.5411 Definición : Sea P un plano del espacio que admite los vectores −→ u y −→ v no colineales como vectores directores. Un vector −→ n se dice normal al plano P si es ortogonal a cada uno de los vectores −→ u y −→ v . En el espacio provisto de un sistema de coordenadas ortonor-males O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , consideramos los tres puntos A , B y C con coordenadas : A 0 ; 1 ; − 1 ; B 1 ; − 1 ; − 8 ; C − 1 ; 0 ; 0 1 Determinar los productos escalares −−→ AB ·−→ u y −→ AC ·−→ u . 2 ¾Qué se puede decir del vector −→ u 3 ; − 2 ; 1 en relación con el plano ( ABC ) ? E.5412 En el espacio provisto de un sis-tema de referencia O ; −→ i ; −→ j ; −→ k ortonormal, consideremos los tres puntos A , B y C de coordenadas : A 1 ; 0 ; 0 ; B 1 ; 1 ; 1 ; C 7 ; 2 ; − 1 Demuestra que el vector −→ u − 1 ; 2 ; − 2 es un vector normal al plano ( ABC ) . E.8900 ABCDEFGH denota un cubo de lado 1 . El punto I es la mitad del segmento [ BF ] . El punto J es la mitad del segmento [ BC ] . El punto K es la mitad del segmento [ CD ] . Arriba está el plano ( IJK ) . El espacio está referido al sistema de referencia A ; −−→ AB ; −−→ AD ; −→ AE . 1 Da las coordenadas A , G , I , J y K en este marco de referencia. 2 Demostrar que el vector −→ AG es normal al plano ( IJK ) . 11. Determinar un vector normal a un plano E.8919 En el plano dotado de un sistema de referencia O ; −→ i ; −→ j ; −→ k ortonormal, consideremos un plano ( P ) que admite los vectores −→ u 2 ; 1 ; 1 y −→ v 2 ; − 1 ; − 2 no colineales como vectores directores. Sea −→ n ( x ; y ; z ) un vector normal al plano ( P ) . 1 Demuestra que las coordenadas del vector −→ n verifican el sistema : https://chingmath.fr sacados/10377 sacados/10378 sacados/10379 chapExoCorrec/5411 sacados/5411 chapExoCorrec/5412 sacados/5412 chapExoCorrec/8900 sacados/8900 ABCDEFGHIJK chapExoCorrec/8919 sacados/8919
2 x + y + z = 0 2 x − y − 2 z = 0 2 Anotamos −→ n el vector normal al plano ( P ) te-niendo como dimensión 1 y anotamos sus coordenadas : −→ n x ; y ; 1 a Determina las coordenadas del vector −→ n . b Proponer un vector −→ n  normal al plano ( P ) de coor-denadas enteras. E.5415 En el espacio provisto de un sistema de referencia O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , consideremos los tres puntos A , B y C de coordenadas : A 2 ; − 1 ; − 1 ; B − 1 ; 3 ; 1 ; C 1 ; 1 ; − 1 1 Demuestra que los puntos A , B y C definen un plano. 2 Determina un vector distinto de cero −→ u con coordenadas enteras y ortogonal al plano ( ABC ) . E.8901 El espacio está referido al sistema de referencia ortonormal O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . Para cada una de las preguntas, determine las coordenadas de un vector −→ n distinto de cero y ortogonal a los dos vectores −→ u y −→ v : −→ u 5 ; 0 ; 1 et −→ v − 1 ; 1 ; 2 . E.8902 Considera el paralelepípedo rectan-gular ABCDEFGH que se muestra a continuación : Los puntos I y J son los respectivos puntos medios de los segmentos [ AE ] y [ AB ] . Los puntos medios de las distintas aristas se muestran en la figura. 1 Muestra la sección del plano ( DIF ) y el paralelepípedo. Justifica tu construcción. 2 Se da al plano el sistema de referencia A ; −→ AJ ; −−→ AD ; −→ AE ortonormal. Determinar un vector −→ n , de coordenadas enteras, normal al plano ( DIF ) . 12. Proyección ortogonal sobre un plano E.8905 Definición - propuesta: En el espacio provisto, consideramos un punto A y un plano ( P ) . Se denomina proyección ortogonal del punto A sobre el plano ( P ) , al único punto M de intersección del plano P con la recta que pasa por el punto A y es ortogonal al plano P Corolario : en el espacio, consideramos un punto A y un plano ( P ) . La proyección H del punto A sobre el plano ( P ) es el único punto del punto ( P ) tal que la recta ( AH ) es ortogonal al plano ( P ) . ABCDEFGH es el cubo de arista 1 representado en la hoja adjunta que se completará y entregará con la copia. El espacio se refiere al sistema de coordenadas ortonormales A ; −−→ AB ; −−→ AD ; −→ AE . Consideremos el punto I de coordenadas I 1 3 ; 1 3 ; 1 3 . 1 a Establezca la igualdad : 1 3 · −−→ DB + 1 3 · −−→ DE = −→ DI b Demuestre que el punto I pertenece al plano ( BDE ) . 2 Demostrar que el punto I es la proyección del punto A en el plano ( BDE ) . E.8918 En el plano provisto de una O ; −→ i ; −→ j ; −→ k ortonormal, consideremos el punto M 5 ; 2 ; − 1 y el plano ( P ) que pasa por el punto A 5 ; − 6 ; − 6 y admitiendo el vector −→ n 2 ; 1 ; 2 como vector normal. Demostrar que el punto H 1 ; 0 ; − 5 es la proyección ortog-onal del punto M sobre el plano ( P ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5415 sacados/5415 chapExoCorrec/8901 sacados/8901 chapExoCorrec/8902 sacados/8902 ABCDEFGHIJ chapExoCorrec/8905 sacados/8905 ABCDEFGHI chapExoCorrec/8918 sacados/8918
E.8909 Consideremos el cubo ABCDEFGH , con aristas de longitud 1 , y denotemos por I y J los puntos medios de las aristas [ AB ] y [ CG ] . Utilizaremos el sistema de coordenadas A ; −−→ AB ; −−→ AD ; −→ AE Denotemos por M el punto de coordenadas : M 1 2 ; 2 5 ; 4 5 1 Demostrar que el punto M es la proyección del punto I sobre el plano ( EFJ ) 2 Demuestre que el volumen del tetraedro EFIJ es igual a 1 6 . E.10380 En el espacio provisto de un sistema de coordenadas ortonormales, consideramos el punto A 1 ; 2 ; 3 y el plano P cuya ecuación es : P : 2 · x − 2 · y − 4 · z + 2 = 0 Demuestre que el punto H 2 ; 1 ; 1 es la proyección ortogonal del punto A sobre el plano P . E.10381 En el espacio con un sistema de coor-denadas ortonormal, considera el punto A − 19 ; 11 ; 6 y el plano P con ecuación : P : − 6 · x + 4 · y + z − 5 = 0 Demuestra que el punto H − 1 ; − 1 ; 3 es la proyección ortog-onal del punto A sobre el plano P . E.10382 En el espacio provisto de un sistema de coordenadas ortonormales, consideramos el punto A 1 ; 2 ; 2 y el plano P cuya ecuación es : P : x + 2 · y + 3 · z − 5 = 0 Demuestre que el punto H 4 7 ; 8 7 ; 5 7 es la proyección ortog-onal del punto A sobre el plano P . E.10383 En el espacio dotado de un sistema de referencia ortonormal, consideremos el punto A 3 ; 3 ; 3 y el plano P admitiendo como ecuación cartesiana : 2 · x − y + z + 1 = 0 Determina las coordenadas del punto H proyectado ortogo-nalmente desde el punto A sobre el plano P . E.10384 En el espacio con un sistema de refer-encia ortonormal, consideremos el punto A 8 3 ; 4 3 ; − 8 3 y el plano P con ecuación cartesiana : x + 2 · y − z + 2 = 0 Determina las coordenadas del punto H proyectado ortogo-nalmente desde el punto A sobre el plano P . E.10385 En el espacio con un sistema de coorde-nadas ortonormal, considere el punto A 2 ; − 3 ; − 3 y el plano P cuya ecuación cartesiana es : − 2 · x + y + 4 · z − 2 = 0 Determinar las coordenadas del punto H proyectado ortogo-nalmente desde el punto A sobre el plano P . E.10386 hacer 13. Distancia de un avión E.8910 Propuesta: En el espacio provisto, consideramos un punto A y un plano ( P ) . Denotamos por H la proyección ortogonal del punto A sobre el plano ( P ) . La distancia AH tiene por valor: AH = ⏐ ⏐ −−→ AB · −→ n ⏐ ⏐ −→ n Definición : En el espacio, consideramos un punto A y un plano ( P ) , se denomina distancia del punto A al plano ( P ) , la distancia del punto AH donde el punto H es la proyección ortogonal del punto A sobre el plano ( P ) En el espacio provisto de un sistema de coordenadas ortonor-males O ; −→ i ; −→ j ; −→ l , consideramos los cuatro puntos : A 2 ; 2 ; 0 ; B 4 ; − 4 ; 1 ; C 5 ; − 2 ; − 1 ; M 6 ; 4 ; 4 1 Demuestre que los puntos A , B , C no están alineados. 2 Demostrar que el vector −→ n 2 ; 1 ; 2 es un vector normal al plano ( ABC ) . 3 Determinar la distancia del punto M al plano ( ABC ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/8909 sacados/8909 HGFEDCBAIJ sacados/10380 chapExoCorrec/10381 sacados/10381 sacados/10382 sacados/10383 sacados/10384 sacados/10385 sacados/10386 fichierPlus/10386/ chapExoCorrec/8910 sacados/8910
E.8906 Consideremos un cubo ABCDEFGH , con aristas de longitud 1 . Denotemos por I el punto de inter-sección de la recta ( EC ) y el plano ( AFH ) . En el espacio, consideramos el cubo ABCDEFGH represen-tado a continuación y utilizamos el sistema de coordenadas ortonormales D ; −−→ DA ; −−→ DC ; −−→ DH . Denotamos por I la proyección ortogonal del punto E sobre el plano ( AFH ) . 1 Justifique que la recta ( EC ) es ortogonal al plano ( AHF ) . 2 Compruebe que la distancia del punto E al plano ( AFH ) es igual a 3 3 . E.8911 Proposición: La proyección ortogonal H de un punto A sobre un plano P es el único punto del plano P más próximo a A . Consideremos el cubo ABCDEFGH que se muestra a con-tinuación y el espacio está referido al sistema de referencia ortonormal A ; −−→ AB ; −−→ AD ; −→ AE . Denotamos I al punto de coordenadas 1 3 ; 1 ; 1 y la sección por el plano ( FHI ) se muestra sombreada. 1 Demostrar que el vector −→ n de coordenadas 3 ; − 3 ; 2 es normal al plano ( ACI ) 2 Determina la distancia del punto F al plano. 3 Sea H la proyección ortogonal del punto F sobre el plano ( ACI ) . Demostrar que el punto H tiene coordenadas : H 7 22 ; 15 22 ; 12 22 14. Proyección ortogonal sobre una línea E.8915 Definición - proposición: En el espacio, consideramos un punto A y una recta ( d ) con vector director −→ u . Se denomina proyección ortogonal del punto A sobre la recta ( d ) , el punto de intersección de la recta ( d ) con el plano que pasa por el punto A y que tiene −→ u como vector normal. Corolario : en el espacio, consideramos una recta ( d ) y un punto A que no pertenece a ( d ) . La proyección ortog-onal del punto A sobre la recta ( d ) es el único punto M perteneciente a ( d ) y tal que el vector −−→ AM es ortogonal a cualquier vector director de la recta ( d ) . En el espacio provisto de un sistema de coordenadas ortonor-males O ; ; −→ i ; −→ j , consideramos los tres puntos : A 7 ; 3 ; 0 ; B 6 ; − 1 ; − 8 ; C − 4 ; 4 ; 2 Consideramos el punto H 2 ; 1 ; − 4 . 1 Demostrar que el punto H pertenece a la recta ( BC ) . 2 Establecer que H es la proyección ortogonal del punto A sobre la recta ( BC ) . E.8903 ABCDEFGH denota un cubo de lado 1 , el punto I es el punto medio del segmento [ BF ] y el punto J es el punto medio del segmento [ AG ] . El espacio está referido al sistema de referencia A ; −−→ AB ; −−→ AD ; −→ AE . 1 Establece que el punto J es el punto proyectado del punto I sobre la recta ( AG ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/8906 sacados/8906 ABCDEFGHI chapExoCorrec/8911 sacados/8911 IHHGFEDCBA chapExoCorrec/8915 sacados/8915 sacados/8903 ABCDEFGHIJ
2 Determina la distancia IJ . E.8916 En el espacio, consideremos la pirámide ABCDS con base cuadrada y caras laterales que son todas triángulos equiláteros. Denotamos I el centro del segmento [ AB ] . El espacio recibe el marco de referencia A ; −−→ AB ; −−→ AD ; −→ k ortonormal directo. 1 Justifica que el vector −→ CS tiene coordenadas : −→ CS − 1 2 ; − 1 2 ; 2 2 Observa H ( x ; y ; z ) la proyección ortogonal del punto A sobre la recta ( CS ) . 2 Justifica que existe un real k que permite escribir las co-ordenadas del punto H : H − 1 2 · k +1 ; − 1 2 · k +1 ; 2 2 · k 3 Deduce las coordenadas del punto H . 15. Distancia de una línea recta E.8912 Proposición: en el espacio provisto de un sistema de ref-erencia ortonormal, consideremos una recta ( d ) que pasa por un punto A y tiene como vector director −→ u y B otro punto del plano. Denotando H el punto proyectado B so-bre la recta ( d ) , tenemos : BH = −−→ BA − −−→ BA · −→ u −→ u 2 −→ u Definición : en el espacio provisto de un sistema de refer-encia ortonormal, consideramos una recta ( d ) y un punto B en el espacio. Llamamos distancia del punto B a la recta ( d ) , la distancia BH donde H es la proyectada del punto B sobre la recta ( d ) . El espacio está referido a un sistema de referencia O ; −→ i ; −→ j ; −→ k ortonormal y se consideran los puntos A , B y C cuyas coordenadas son : A 5 ; 0 ; 1 ; B − 5 ; 2 ; 8 ; C 7 ; − 4 ; − 4 Establece que el punto A está a una distancia 3 de la recta ( BC ) . E.8914 Proposición: el proyecto ortogonal H del punto A de la recta ( d ) es el único punto de la recta ( d ) más cercano al punto A . El espacio está referido a un sistema de referencia O ; −→ i ; −→ j ; −→ k ortonormal y consideramos los puntos A , B y C cuyas coordenadas son : A 3 ; 4 ; − 7 ; B − 5 ; − 1 ; − 6 ; C − 1 ; − 3 ; − 2 Denotamos por H la proyección ortogonal del punto A sobre la recta ( BC ) . 1 Determina la distancia del punto A a la recta ( BC ) . 2 Establece que el punto H tiene coordenadas : H − 3 ; − 2 ; − 4 https://chingmath.fr chapExoCorrec/8916 sacados/8916 ABCDSI chapExoCorrec/8912 sacados/8912 chapExoCorrec/8914 sacados/8914
E.8907 ABCDEFGH denota un cubo de lado 1 , el punto I es el punto medio del segmento [ BF ] . El espacio está referido al sistema de referencia A ; −−→ AB ; −−→ AD ; −→ AE . Determina la distancia del punto I a la recta ( AG ) . E.8904 Considera el cubo ABCDEFGH que se muestra en la hoja adjunta. A lo largo del ejerci-cio, el espacio se refiere al sistema de referencia ortonormal A ; −−→ AB ; −−→ AD ; −→ AE . Sea I el punto de coordenadas 1 3 ; 1 ; 1 y R la proyección ortogonal de I sobre la recta ( AC ) . 1 Establece que : IR = 11 3 . 2 El punto R perteneciente a la recta ( AC ) , existe un t real tal que : −→ AR = t · −→ AC a Expresa las coordenadas del punto R en función de t . b Utilizando la pregunta 1 , determina las coordenadas del punto R . E.4100 El espacio está referido a un sistema de referencia ortonormal O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . Los puntos A , B y C tienen las coordenadas : A 1 ; − 2 ; 4 ; B − 2 ; − 6 ; 5 ; C − 4 ; 0 ; − 3 Denotamos por H la proyección ortogonal del punto O sobre la recta ( BC ) . Sea t el número real tal que : −−→ BH = t · −−→ BC 1 Demuestre que : t = −−→ BO · −−→ BC −−→ BC 2 2 Deduce el real t y las coordenadas del punto H . 16. Producto escalar y relación vectorial E.4094 Considera un tetraedro ABCD y denota H la proyección ortogonal del punto A sobre el plano ( BCD ) . Demostrar que, si las alturas del tetraedro ABCD que surgen de los puntos A y B son concurrentes, entonces la recta ( BH ) es una altura del triángulo BCD . 17. Ejercicios no clasificados E.4247 Consideremos un cubo ABCDEFGH con aristas de longitud 3 . Elegimos el sistema de coordenadas ortonormales D ; −→ i ; −→ j ; −→ k tal que : −→ i = 1 3 · −−→ DA ; −→ j = 1 3 · −−→ DC ; −→ k = 1 3 · −−→ DH https://chingmath.fr chapExoCorrec/8907 sacados/8907 ABCDEFGHI chapExoCorrec/8904 sacados/8904 HGFEDCBAIIR sacados/4100 chapExoCorrec/4094 sacados/4094 sacados/4247 Extrait de Polynesie Septembre 2007 HGFEDCBA
1 Determinar las coordenadas del punto L baricentro del sistema ( C ; 2) ; ( E ; 1) . Se admite que los vectores −→ AE y −→ DL tienen las siguientes co-ordenadas : −→ AE 0 ; 0 ; 3 ; −→ DL 1 ; 2 ; 1 Sea ( a ; b ) un par de números reales. Se denota M el punto de la recta ( AE ) tal que : −−→ AM = a · −→ AE y N el punto de la recta ( DL ) tal que : −−→ DN = b · −→ DL 2 Demostrar que los vectores −−→ MN son ortogonales a los vectores −→ AE y −→ DL si y solo si el par ( a ; b ) verifica el sis-tema : − a + 2 b = 1 3 a − b = 0 3 De ello se deduce que existe un único punto M 0 de ( AE ) y un único punto N 0 de ( DL ) tales que la recta ( M 0 N 0 ) sea ortogonal a las rectas ( AE ) y ( DL ) . 4 Determinar las coordenadas de los puntos M 0 y N 0 y luego calcular la distancia M 0 N 0 . E.4034 El espacio está referido al sistema de referencia ortonormal O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . La esfera de centro A 1 ; 1 ; 1 y radio 10 es tangente al plano P de ecuación x + y + z =0 . E.4110 El espacio se refiere al sistema de coordenadas ortonormales O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . Consideremos un plano ( P ) que admite los vectores −→ u y −→ v no colineales como vectores directores y cuyas coordenadas son : −→ u 2 ; − 1 ; 3 et −→ v − 1 ; 1 ; 1 . Se denota por −→ n ( x ; y ; z ) un vector normal al plano ( P ) 1 Justifique que las coordenadas del vector −→ n son solu-ciones del sistema de ecuaciones : 2 x − y + 3 z = 0 − x + y + z = 0 2 a Eligiendo z =1 , determine las coordenadas del único vector −→ n 1 normal al plano y cuya coordenada es 1 . b Determine las coordenadas de otro vector −→ n normal al plano ( P ) . c ¾Qué se puede decir de los vectores −→ n 1 y −→ n ? E.4130 Consideremos el espacio provisto de un sistema de referencia O ; −→ i ; −→ j ; −→ j ortonormal. Consideremos la recta ( d ) que pasa por el punto A 1 ; − 2 ; 3 y admitiendo como vector director el vector −→ u − 2 ; 0 ; 1 . Siendo M el punto del espacio de coordenadas 1 ; − 1 ; 13 , determina las coordenadas de la proyección H del punto M sobre la recta ( d ) . E.8908 Consideremos el espacio provisto de un sistema de referencia O ; −→ i ; −→ j ; −→ j ortonormal. Sea ( P ) el plano que admite como ecuación cartesiana : 3 · x − y + 2 · z = 0 Consideremos el punto N 15 ; 1 ; 6 . Determine las coorde-nadas del punto I proyectado ortogonalmente desde el punto N en el plano ( P ) . https://chingmath.fr sacados/4034 Extrait Antilles-Guyane Septembre 2010 chapExoCorrec/4110 sacados/4110 chapExoCorrec/4130 sacados/4130 chapExoCorrec/8908 sacados/8908