a
ESO
Prim 6
ESO 1
ESO 2
ESO 3
Ressource
Fuera ESO
Bach.
ESO 4
Bachi 1
Bachi 1- STMG
Bachi 2-STMG
Bachi 2
Bachi 2 - Comp.
Bachi 2 - Exp.
Ressource
Fuera Bachi.
4
3
2
1
Bachillerato 2
/ Ortogonalidad, distancia en el espacio
60 ejercicios (incluyendo 47 corregidos)
a
Líneas y ortogonalidad
(2 ejercicios)
Líneas, planos y ortogonalidad
(3 ejercicios)
Plano medio
(2 ejercicios)
Distancia en el espacio
(4 ejercicios)
Definición del producto escalar
(2 ejercicios)
Fórmula de bilinealidad
(2 ejercicios)
Cálculo del producto escalar
(2 ejercicios)
Producto escalar y ortogonalidad
(3 ejercicios)
Determinar la medida de un ángulo
(6 ejercicios)
Vectores normales a un plano
(3 ejercicios)
Determinar un vector normal a un plano
(4 ejercicios)
Proyección ortogonal sobre un plano
(10 ejercicios)
Distancia de un avión
(3 ejercicios)
Proyección ortogonal sobre una línea
(3 ejercicios)
Distancia de una línea recta
(5 ejercicios)
Producto escalar y relación vectorial
(1 ejercicio)
image PNG : /home/_math/_exercice/d10/10386/image/Untitled.png
A
B
C
D
E
F
G
H
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
M
N
A
B
C
D
E
F
G
H
A
B
C
D
E
F
G
H
A
B
C
D
I
1.
Líne
as
y
orto
gonalidad
E.5398
En
el
espacio,
considera
el
cub
o
AB
C
D
E
F
GH
que
se
m
uestra
a
con
tin
uación
:
1
Justifica
que
las
rectas
(
E
F
)
y
(
GC
)
son
ortogonales.
2
Justifica
que
las
rectas
(
AD
)
y
(
H
F
)
no
son
ortogonales.
3
¾Son
ortogonales
las
rectas
(
AG
)
y
(
B
G
)
?
E.6815
La
figura
siguien
te
represen
ta
un
cub
o
AB
C
D
E
F
GH
.
Los
pun
tos
I
y
J
son
los
resp
ectiv
os
pun
tos
medios
de
las
aristas
[
GH
]
y
[
F
G
]
.
Los
pun
tos
M
y
N
son
los
resp
ectiv
os
cen
tros
de
las
caras
AB
F
E
y
B
C
GF
.
De
las
siguien
tes
prop
osi-
ciones,
sólo
una
es
correcta.
¾Cuál
es?
a
Las
rectas
(
I
J
)
y
(
M
N
)
son
p
erp
endiculares.
b
Las
rectas
(
I
J
)
y
(
M
N
)
son
secan
tes,
no
p
erp
endicu-
lares.
c
Las
rectas
(
I
J
)
y
(
M
N
)
son
ortogonales.
d
Las
rectas
(
I
J
)
y
(
M
N
)
son
paralelas.
Justifica
tu
respuesta.
2.
Líne
as,
planos
y
orto
gonalidad
E.576
Considera
el
cub
o
AB
C
D
E
F
GH
de
lado
5
cm
que
se
m
uestra
a
con
tin
uación
:
1
Dem
uestra
que
el
plano
(
AB
C
)
es
ortogonal
a
la
recta
(
AE
)
2
Calcula
la
longitud
de
la
diagonal
[
E
C
]
.
E.5399
En
el
espacio,
considera
el
cub
o
AB
C
D
E
F
GH
que
se
m
uestra
a
con
tin
uación
:
1
a
Justifica
que
(
AF
)
es
ortogonal
al
plano
(
E
B
C
)
.
b
Deduce
que
(
AF
)
y
(
E
C
)
son
ortogonales.
2
a
Justifica
que
(
H
F
)
es
ortogonal
al
plano
(
E
C
G
)
.
b
Deduce
que
(
H
F
)
y
(
E
C
)
son
ortogonales.
3
Deduce
que
(
E
C
)
es
ortogonal
al
plano
(
AF
H
)
.
E.5397
La
figura
de
al
lado
m
uestra
un
tetraedro
regular
AB
C
D
y
I
la
mitad
del
segmen
to
[
B
D
]
.
Justifica
que
la
recta
(
B
D
)
es
ortogonal
al
plano
(
AI
C
)
.
3.
Plano
me
dio
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/5398
sacados/5398
A
B
C
D
E
F
G
H
chapExoCorrec/6815
sacados/6815
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
M
N
chapExoCorrec/576
sacados/576
A
B
C
D
E
F
G
H
chapExoCorrec/5399
sacados/5399
A
B
C
D
E
F
G
H
chapExoCorrec/5397
sacados/5397
A
B
C
D
I
A
B
C
D
I
J
A
B
C
D
E
F
I
j
k
i
O
S
F
G
E
E.6966
En
el
espacio,
considera
el
tetraedro
regular
AB
C
D
que
se
m
uestra
a
con
tin
uación
:
Los
pun
tos
I
y
J
son
los
pun
tos
medios
de
los
segmen
tos
[
AD
]
y
[
B
C
]
resp
ectiv
amen
te.
1
a
Justifica
que
el
plano
(
J
AD
)
es
el
plano
medio
del
segmen
to
[
B
C
]
.
b
¾Cuál
es
la
p
osición
relativ
a
de
las
rectas
(
B
C
)
y
(
I
J
)
?
2
Justifica
que
las
rectas
(
AD
)
y
(
I
J
)
son
p
erp
endiculares.
3
¾Son
paralelas
las
rectas
(
AD
)
y
(
B
C
)
?
Justifica
tu
re-
spuesta.
E.6868
Consideremos
un
sólido
AD
E
C
B
F
formado
p
or
dos
pirámides
idén
ticas
que
tienen
como
base
com
ún
el
cuadrado
AB
C
D
con
cen
tro
I
.
A
con
tin-
uación
se
m
uestra
una
represen
tación
en
p
ersp
ectiv
a
de
este
sólido.
T
o
das
las
aristas
tienen
una
longitud
de
1
.
1
Justifique
que
las
rectas
(
D
E
)
y
(
F
B
)
son
paralelas.
2
Justifique
que
los
planos
(
AB
F
)
y
(
C
E
D
)
son
paralelos.
4.
Distancia
en
el
esp
acio
E.2963
Recordatorios
:
En
el
espacio
pro
visto
de
un
sistema
de
co
ordenadas,
sean
A
y
B
dos
pun
tos
y
I
el
pun
to
medio
del
segmen
to
[
AB
]
:
AB
=
x
B
−
x
A
2
+
y
B
−
y
A
2
+
z
B
−
z
A
2
I
x
A
+
x
B
2
;
y
A
+
y
B
2
;
z
A
+
z
B
2
En
el
espacio
pro
visto
de
un
sistema
de
co
ordenadas
ortonor-
males
O
;
I
;
J
;
K
,
consideramos
cuatro
pun
tos
iden
tificados
p
or
sus
co
ordenadas
:
A
3
;
−
1
;
5
;
B
−
2
;
2
;
3
;
C
−
1
;
−
2
;
4
;
D
1
2
;
1
2
;
4
1
¾Están
alineados
los
pun
tos
A
,
B
y
C
?
2
Dem
uestra
que
el
triángulo
AB
C
es
isósceles
en
C
.
3
Justificar
que
el
pun
to
D
es
el
pie
de
la
altura
del
trián-
gulo
AB
C
que
sale
del
v
értice
C
.
E.914
En
el
espacio
pro
visto
del
sis-
tema
de
referencia
O
;
I
;
J
;
K
ortonormal,
consideremos
la
es-
fera
S
con
cen
tro
O
y
radio
2
:
Considera
los
pun
tos
E
y
F
cuy
as
co
ordenadas
son
:
E
0
;
96
;
1
;
28
;
1
;
2
F
1
;
2
;
−
√
15
5
;
1
;
4
1
Dem
uestra
que
los
pun
tos
E
y
F
son
pun
tos
de
la
esfera
S
.
2
Sea
G
el
pun
to
diametralmen
te
opuesto
al
pun
to
F
de
la
esfera
S
.
Justifica
que
el
triángulo
E
F
G
es
rectángulo.
E.2777
Consideremos
el
espacio
pro
visto
de
un
sistema
de
referencia
ortonormal
(
O
;
I
;
J
;
K
)
.
Considera
los
tres
pun
tos
A
,
B
,
C
definidos
p
or
sus
co
ordenadas
:
A
180
;
153
;
96
;
B
180
;
135
;
120
;
C
190
;
133
;
106
1
Dem
uestra
que
los
pun
tos
A
,
B
,
C
p
ertenecen
a
la
misma
esfera
S
con
cen
tro
O
.
2
Establecer
que
el
triángulo
AB
C
es
acutángulo
C
.
3
a
¾Es
un
lado
del
triángulo
AB
C
un
diámetro
de
la
esfera
S
?
b
¾Puedes
nom
brar
una
propiedad
del
plano
que
no
pueda
extenderse
al
espacio?
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/6966
sacados/6966
A
B
C
D
I
J
chapExoCorrec/6868
sacados/6868
A
B
C
D
E
F
I
chapExoCorrec/2963
sacados/2963
chapExoCorrec/914
sacados/914
j
k
i
O
S
F
G
E
chapExoCorrec/2777
sacados/2777
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
I
A
B
C
D
E
F
G
H
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
E.6752
En
el
espacio,
consideremos
el
cub
o
AB
C
D
E
F
GH
de
arista
1
.
El
espacio
recib
e
el
marco
de
referencia
C
;
−
−
→
C
B
;
−
−
→
C
D
;
−
−
→
C
G
ortonormal.
Los
pun
tos
I
,
J
,
K
,
L
,
M
,
N
son
los
resp
ectiv
os
pun
tos
medios
de
los
segmen
tos
[
AB
]
,
[
B
C
]
,
[
C
G
]
,
[
GH
]
,
[
H
E
]
,
[
E
A
]
.
1
Determina
las
co
ordenadas
de
los
pun
tos
I
,
K
y
L
.
2
a
Determinar
las
co
ordenadas
del
pun
to
O
pun
to
medio
del
segmen
to
[
I
L
]
.
b
Determina
las
longitudes
O
K
y
K
L
.
3
Se
acepta
que
el
p
olígono
I
J
K
LM
N
es
un
hexágono
reg-
ular.
P
or
tan
to,
el
pun
to
O
es
el
cen
tro
de
este
p
olígono.
a
Da
la
medida
del
ángulo
K
O
L
.
b
Determina
el
área
del
triángulo
K
O
L
.
5.
Definición
del
pr
o
ducto
esc
alar
E.8891
Definición
:
Sean
−
→
u
y
−
→
v
dos
v
ectores
del
espacio.
El
pro
ducto
escalar
de
los
v
ectores
−
→
u
y
−
→
v
,
denotado
p
or
−
→
u
·
−
→
v
,
se
define
como
el
pro
ducto
escalar
−
−
→
AB
·
−
→
AC
donde
:
el
v
ector
−
−
→
AB
(r
esp.
−
→
AC
)
es
un
represen
tan
te
del
v
ector
−
→
u
(r
esp.
−
→
v
)
.
el
cálculo
del
pro
ducto
escalar
−
−
→
AB
·
−
→
AC
se
realiza
en
un
plano
que
con
tiene
los
pun
tos
A
,
B
,
C
.
Propuesta
:
sea
A
,
B
,
C
tres
pun
tos
que
definen
los
dos
v
ectores
distin
tos
de
cero
−
−
→
AB
y
−
→
AC
.
El
pro
ducto
escalar
−
−
→
AB
y
−
→
AC
tiene
como
v
alor
:
−
−
→
AB
·
−
→
AC
=
AB
×
AC
×
cos
B
AC
Consideremos
el
cub
o
AB
C
D
E
F
GH
de
lado
1
represen
tado
al
lado.
El
pun
to
I
es
el
pun
to
medio
del
segmen
to
[
AB
]
.
1
Determinar
el
v
alor
del
pro
ducto
escalar
−
−
→
F
E
·
−
−
→
F
B
2
Determinar
el
pro
ducto
escalar
:
−
→
I
A
·
−
→
I
B
3
a
¾Cuál
es
la
naturaleza
del
triángulo
AC
H
?
b
¾Deduzca
el
v
alor
del
pro
ducto
escalar
−
−
→
H
A
·
−
−
→
H
C
?
E.8892
Propuesta
:
sean
−
→
u
y
−
→
v
dos
v
ectores
distin
tos
de
cero
del
espacio.
los
v
ectores
−
→
u
y
−
→
v
son
ortogonales
en
tre
sí
si,
y
solo
si,
−
→
u
·
−
→
v
=
0
Si
los
v
ectores
−
→
u
y
−
→
v
son
colineales
en
tre
sí
:
−
→
u
y
−
→
v
tienen
el
mismo
sen
tido
:
−
→
u
·
−
→
v
=
−
→
u
×
−
→
v
−
→
u
y
−
→
v
tienen
sen
tido
con
trario
:
−
→
u
·
−
→
v
=
−
−
→
u
×
−
→
v
En
el
espacio,
consideramos
el
cub
o
AB
C
D
E
F
GH
de
lado
1
represen
tado
al
lado,
donde
los
pun
tos
I
y
J
son
resp
ectiv
a-
men
te
los
medios
de
los
segmen-
tos
[
GH
]
y
[
AD
]
.
Utilizando
las
propiedades
del
cub
o
y
del
cuadrado,
determine
el
v
alor
de
los
pro
ductos
es-
calares
:
a
−
−
→
E
H
·
−
−
→
D
H
b
−
−
→
AB
·
−
−
→
D
C
c
−
−
→
B
C
·
−
−
→
GF
6.
Fórmula
de
biline
alidad
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/6752
sacados/6752
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
chapExoCorrec/8891
sacados/8891
I
A
B
C
D
E
F
G
H
chapExoCorrec/8892
sacados/8892
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
H
G
F
E
D
C
B
A
I
J
A
B
C
D
E
F
G
H
−
i
−
k
−
j
E.5410
Propuesta
:
Sean
−
→
u
,
−
→
v
,
−
→
w
y
k
n
úmeros
reales.
Se
tienen
las
siguien
tes
iden
tidades
:
−
→
u
·
−
→
v
=
−
→
v
·
−
→
u
−
→
u
·
−
→
v
+
−
→
w
=
−
→
u
·
−
→
v
+
−
→
u
·
−
→
w
−
→
u
·
k
·
−
→
v
=
k
·
−
→
u
·
−
→
v
=
k
−
→
u
·
−
→
v
En
el
espacio,
consideramos
el
cub
o
AB
C
D
E
F
GH
de
lado
1
represen
tado
al
lado,
donde
los
pun
tos
I
y
J
son
resp
ectiv
a-
men
te
los
medios
de
los
segmen-
tos
[
GH
]
y
[
AD
]
.
Méto
do
:
en
el
cálculo
del
pro
ducto
escalar,
se
utiliza
la
relación
de
Chasles
para
descomp
oner
los
dos
v
ectores
en
v
ectores
colineales
u
ortogonales
en
tre
sí.
Esto
facilita
el
cálculo
de
los
pro
ductos
escalares.
He
aquí
un
ejemplo
:
P
ara
calcular
el
pro
ducto
escalar
−
→
I
E
·
−
−
→
GF
,
se
utiliza
la
de-
scomp
osición
del
v
ector
−
→
I
E
:
−
→
I
E
=
−
→
I
H
+
−
−
→
H
E
En
tonces
se
puede
escribir
:
−
→
I
E
·
−
−
→
GF
=
−
→
I
H
+
−
−
→
H
E
·
−
−
→
GF
=
−
→
I
H
·
−
−
→
GF
+
−
−
→
H
E
·
−
−
→
GF
=
0
+
H
E
×
GF
=
0
+
1
×
1
=
1
Utilizando
tam
bién
la
relación
de
Chasles,
determine
el
v
alor
de
los
siguien
tes
pro
ductos
escalares
:
a
−
→
AF
·
−
−
→
H
G
b
−
→
J
F
·
−
−
→
AB
c
−
→
I
J
·
−
−
→
E
F
E.4188
En
este
ejercicio,
se
pide
al
candidato
que
resp
onda
con
ˇ
VERD
ADER
Oı
o
ˇ
F
ALSOı,
sin
justificación,
a
una
lista
de
afirmaciones.
Cada
respuesta
que
se
a
juste
a
la
realidad
matemática
da
0
;
4
pun
tos.
Cada
re-
spuesta
errónea
resta
0
;
1
pun
tos.
La
ausencia
de
respuesta
no
se
con
tabiliza.
El
total
no
puede
ser
negativ
o.
Se
da
el
cub
o
AB
C
D
E
F
GH
,
con
aristas
de
longitud
1
,
y
los
pun
tos
medios
I
y
J
de
las
aristas
[
AB
]
y
[
C
G
]
.
Los
elemen-
tos
útiles
de
la
figura
se
m
uestran
al
lado.
El
candidato
deb
e
ev
aluar
cada
una
de
las
10
afirmaciones
siguien
tes.
Affirmation
V
rai
F
aux
1
−
→
AC
·
−
→
AI
=
1
2
2
−
→
AC
·
−
→
AI
=
−
→
AI
·
−
−
→
AB
3
−
−
→
AB
·
−
→
I
J
=
−
−
→
AB
·
−
→
I
C
4
−
−
→
AB
·
−
→
I
J
=
AB
×
I
C
×
cos
ı
3
7.
Cálculo
del
pr
o
ducto
esc
alar
E.8890
En
el
espacio
con
un
sistema
de
referencia
ortonormal.
1
Consideremos
los
dos
v
ectores
−
→
u
1
;
2
;
3
y
−
→
v
2
;
−
1
;
1
,
determinar
el
pro
ducto
escalar
−
→
u
·
−
→
v
.
2
Consideremos
los
dos
v
ectores
−
→
w
−
2
;
0
;
1
y
−
→
t
−
1
;
1
;
−
1
,
determinar
el
pro
ducto
escalar
−
→
w
·
−
→
t
.
E.8921
Propuesta
:
para
cualquier
v
ector
−
→
u
y
−
→
v
:
−
→
u
2
=
−
→
u
2
−
→
u
·
−
→
v
=
1
2
·
−
→
u
+
−
→
v
2
−
−
→
u
2
−
−
→
v
2
−
→
u
·
−
→
v
=
1
2
·
−
→
u
2
+
−
→
v
2
−
−
→
u
−
−
→
v
2
−
→
u
·
−
→
v
=
1
4
·
−
→
u
+
−
→
v
2
−
−
→
u
−
−
→
v
2
Consideremos
el
paralelepíp
edo
AB
C
D
E
F
GH
represen
tado
a
con
tin
uación
:
Equipamos
el
espacio
con
el
sistema
de
co
ordenadas
O
;
−
→
i
;
−
→
j
;
−
→
k
represen
tado
arriba.
En
tonces
tenemos
las
medidas
:
AB
=
10
;
AD
=
5
;
AE
=
4
1
Determinar
los
v
alores
de
−
→
AC
,
−
−
→
C
G
y
−
→
AC
·
−
−
→
C
G
.
2
Deducir
la
medida
de
la
diagonal
[
AG
]
.
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/5410
sacados/5410
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
chapExoCorrec/4188
sacados/4188
H
G
F
E
D
C
B
A
I
J
chapExoCorrec/8890
sacados/8890
chapExoCorrec/8921
sacados/8921
A
B
C
D
E
F
G
H
−
i
−
k
−
j
I
J
K
A
B
C
D
E
F
G
H
A
B
C
D
E
F
G
H
A
B
C
D
E
F
G
H
M
8.
Pr
o
ducto
esc
alar
y
orto
gonalidad
E.2778
En
el
espacio
con
un
sistema
de
referencia
ortonormal,
considera
los
tres
pun
tos
siguien
tes
:
A
6
;
5
;
1
;
B
−
4
;
2
;
−
4
;
C
4
;
7
;
2
Dem
uestra
que
el
triángulo
AB
C
es
un
triángulo
rectángulo
en
C
.
E.8893
En
el
espacio,
considera
el
cub
o
AB
C
D
E
F
GH
que
se
m
uestra
a
con
tin
uación
y
donde
los
pun
tos
I
,
J
,
K
son
los
resp
ectiv
os
pun
tos
medios
de
los
seg-
men
tos
[
AB
]
,
[
D
G
]
,
[
E
H
]
.
Consideremos
el
espacio
pro
visto
del
sistema
de
referencia
D
;
−
−
→
D
A
;
−
−
→
D
C
;
−
−
→
D
H
.
Dem
uestra
que
las
rectas
(
I
J
)
y
(
C
K
)
son
ortogonales.
E.8920
Considera
el
paralelepíp
edo
AB
C
D
E
F
GH
que
se
m
uestra
a
con
tin
uación
donde
:
AB
=
a
con
a
∈
R
∗
+
;
AD
=
1
;
AE
=
1
1
Justifica
que
las
rectas
(
H
B
)
y
(
AG
)
son
coplanarias.
2
Determina
el
v
alor
de
a
para
que
las
rectas
(
H
B
)
y
(
AG
)
sean
p
erp
endiculares.
9.
Determinar
la
me
dida
de
un
ángulo
E.4082
El
espacio
se
refiere
a
un
O
;
−
→
i
;
−
→
j
;
−
→
k
marco
de
referencia
ortonormal
directo.
Consideremos
los
pun
tos
:
A
−
2
;
0
;
1
;
B
1
;
2
;
−
1
;
C
−
2
;
2
;
2
1
Calcula
el
pro
ducto
escalar
−
−
→
AB
·
−
→
AC
y
luego
las
longitudes
AB
y
AC
.
2
Deduce
la
medida
del
ángulo
B
AC
,
redondeada
al
grado
más
pró
ximo.
3
Justifica
que
los
pun
tos
A
,
B
y
C
no
están
alineados.
E.4310
En
un
sistema
de
co
ordenadas
ortonormales
del
espacio,
consideramos
los
tres
pun
tos
:
E
2
;
1
;
−
3
;
F
1
;
−
1
;
2
;
G
−
1
;
3
;
1
Indique
si
la
siguien
te
afirmación
es
v
erdadera
o
falsa
y
justi-
fique
su
respuesta
:
una
medida
en
grados
del
ángulo
geométrico
F
E
G
,
re-
dondeada
al
grado,
es
50
o
.
E.6967
Consideremos
un
cub
o
AB
C
D
E
F
GH
cuy
a
represen
tación
en
p
ersp
ectiv
a
caballada
se
m
uestra
a
con
tin
uación
:
Las
aristas
tienen
una
longitud
de
1
.
El
espacio
se
refiere
al
sistema
de
co
ordenadas
ortonormales
D
;
−
−
→
D
A
;
−
−
→
D
C
;
−
−
→
D
H
A
cada
n
úmero
real
x
del
in
terv
alo
0
;
1
se
le
aso
cia
el
pun
to
M
del
segmen
to
[
D
F
]
tal
que
:
−
−
→
D
M
=
x
·
−
−
→
D
F
Nos
in
teresa
la
ev
olución
de
la
medida
„
en
radianes
del
án-
gulo
E
M
B
cuando
el
pun
to
M
recorre
el
segmen
to
[
D
F
]
.
T
enemos
:
0
„
ı
1
¾Cuál
es
el
v
alor
de
„
si
el
pun
to
M
coincide
con
el
pun
to
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/2778
sacados/2778
chapExoCorrec/8893
sacados/8893
I
J
K
A
B
C
D
E
F
G
H
chapExoCorrec/8920
sacados/8920
A
B
C
D
E
F
G
H
chapExoCorrec/4082
sacados/4082
Extrait de Nouvelle-Caledonie Mars 2011
chapExoCorrec/4310
sacados/4310
chapExoCorrec/6967
sacados/6967
Extrait Liban Juin 2017
A
B
C
D
E
F
G
H
M
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
D
?
¾Y
con
el
pun
to
F
?
2
Sup
ongamos
que
el
pun
to
M
tiene
como
co
ordenadas
M
(
x
;
x
;
x
)
.
Demostrar
que
:
cos
(
„
)
=
3
·
x
2
−
4
·
x
+1
3
·
x
2
−
4
·
x
+2
(Par
a
el
lo,
p
o
demos
fijarnos
en
el
pr
o
ducto
esc
alar
de
los
ve
ctor
es
−
−
→
M
E
y
−
−
→
M
B
)
E.10377
En
el
espacio
pro
visto
de
un
sistema
de
referencia
ortonormal,
considera
los
tres
pun
tos
:
A
5
;
−
3
;
1
;
B
1
;
2
;
3
;
C
4
;
−
3
;
−
1
1
Dem
uestra
que
el
triángulo
AB
C
es
rectángulo
en
A
.
2
Calcula
el
pro
ducto
escalar
−
−
→
B
A
·
−
−
→
B
C
y
luego
las
longi-
tudes
AB
y
B
C
.
3
Deduce
la
medida
en
grados
del
ángulo
AB
C
redondeado
al
grado.
E.10378
En
el
espacio
con
un
sistema
de
referen-
cia
ortonormal,
considera
los
tres
pun
tos
:
A
−
2
;
4
;
0
;
B
8
;
−
5
;
1
;
C
−
3
;
3
;
1
1
Dem
uestra
que
el
triángulo
AB
C
es
rectángulo
en
A
.
2
Calcula
el
pro
ducto
escalar
−
−
→
B
A
·
−
−
→
B
C
y
luego
las
longi-
tudes
AB
y
B
C
.
3
Deduce
la
medida
en
grados
del
ángulo
AB
C
redondeado
al
grado.
E.10379
En
el
espacio
pro
visto
de
un
sistema
de
co
ordenadas
ortonormales,
consideramos
los
tres
pun
tos
:
A
1
;
−
3
;
−
5
;
B
0
;
2
;
−
2
;
C
1
;
−
3
;
−
5
1
Dem
uestra
que
el
triángulo
AB
C
es
rectángulo
en
A
.
2
Calcular
el
pro
ducto
escalar
−
−
→
B
A
·
−
−
→
B
C
y
luego
las
longi-
tudes
AB
y
B
C
.
3
Deduzca
la
medida
en
grados
del
ángulo
AB
C
re-
dondeada
al
grado.
10.
V
e
ctor
es
normales
a
un
plano
E.5411
Definición
:
Sea
P
un
plano
del
espacio
que
admite
los
v
ectores
−
→
u
y
−
→
v
no
colineales
como
v
ectores
directores.
Un
v
ector
−
→
n
se
dice
normal
al
plano
P
si
es
ortogonal
a
cada
uno
de
los
v
ectores
−
→
u
y
−
→
v
.
En
el
espacio
pro
visto
de
un
sistema
de
co
ordenadas
ortonor-
males
O
;
−
→
i
;
−
→
j
;
−
→
k
,
consideramos
los
tres
pun
tos
A
,
B
y
C
con
co
ordenadas
:
A
0
;
1
;
−
1
;
B
1
;
−
1
;
−
8
;
C
−
1
;
0
;
0
1
Determinar
los
pro
ductos
escalares
−
−
→
AB
·
−
→
u
y
−
→
AC
·
−
→
u
.
2
¾Qué
se
puede
decir
del
v
ector
−
→
u
3
;
−
2
;
1
en
relación
con
el
plano
(
AB
C
)
?
E.5412
En
el
espacio
pro
visto
de
un
sis-
tema
de
referencia
O
;
−
→
i
;
−
→
j
;
−
→
k
ortonormal,
consideremos
los
tres
pun
tos
A
,
B
y
C
de
co
ordenadas
:
A
1
;
0
;
0
;
B
1
;
1
;
1
;
C
7
;
2
;
−
1
Dem
uestra
que
el
v
ector
−
→
u
−
1
;
2
;
−
2
es
un
v
ector
normal
al
plano
(
AB
C
)
.
E.8900
AB
C
D
E
F
GH
denota
un
cub
o
de
lado
1
.
El
pun
to
I
es
la
mitad
del
segmen
to
[
B
F
]
.
El
pun
to
J
es
la
mitad
del
segmen
to
[
B
C
]
.
El
pun
to
K
es
la
mitad
del
segmen
to
[
C
D
]
.
Arriba
está
el
plano
(
I
J
K
)
.
El
espacio
está
referido
al
sistema
de
referencia
A
;
−
−
→
AB
;
−
−
→
AD
;
−
→
AE
.
1
Da
las
co
ordenadas
A
,
G
,
I
,
J
y
K
en
este
marco
de
referencia.
2
Demostrar
que
el
v
ector
−
→
AG
es
normal
al
plano
(
I
J
K
)
.
11.
Determinar
un
ve
ctor
normal
a
un
plano
E.8919
En
el
plano
dotado
de
un
sistema
de
referencia
O
;
−
→
i
;
−
→
j
;
−
→
k
ortonormal,
consideremos
un
plano
(
P
)
que
admite
los
v
ectores
−
→
u
2
;
1
;
1
y
−
→
v
2
;
−
1
;
−
2
no
colineales
como
v
ectores
directores.
Sea
−
→
n
(
x
;
y
;
z
)
un
v
ector
normal
al
plano
(
P
)
.
1
Dem
uestra
que
las
co
ordenadas
del
v
ector
−
→
n
v
erifican
el
sistema
:
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
sacados/10377
sacados/10378
sacados/10379
chapExoCorrec/5411
sacados/5411
chapExoCorrec/5412
sacados/5412
chapExoCorrec/8900
sacados/8900
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
chapExoCorrec/8919
sacados/8919
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
A
B
C
D
E
F
G
H
I
2
x
+
y
+
z
=
0
2
x
−
y
−
2
z
=
0
2
Anotamos
−
→
n
el
v
ector
normal
al
plano
(
P
)
te-
niendo
como
dimensión
1
y
anotamos
sus
co
ordenadas
:
−
→
n
x
;
y
;
1
a
Determina
las
co
ordenadas
del
v
ector
−
→
n
.
b
Prop
oner
un
v
ector
−
→
n
normal
al
plano
(
P
)
de
co
or-
denadas
en
teras.
E.5415
En
el
espacio
pro
visto
de
un
sistema
de
referencia
O
;
−
→
i
;
−
→
j
;
−
→
k
,
consideremos
los
tres
pun
tos
A
,
B
y
C
de
co
ordenadas
:
A
2
;
−
1
;
−
1
;
B
−
1
;
3
;
1
;
C
1
;
1
;
−
1
1
Dem
uestra
que
los
pun
tos
A
,
B
y
C
definen
un
plano.
2
Determina
un
v
ector
distin
to
de
cero
−
→
u
con
co
ordenadas
en
teras
y
ortogonal
al
plano
(
AB
C
)
.
E.8901
El
espacio
está
referido
al
sistema
de
referencia
ortonormal
O
;
−
→
i
;
−
→
j
;
−
→
k
.
P
ara
cada
una
de
las
pregun
tas,
determine
las
co
ordenadas
de
un
v
ector
−
→
n
distin
to
de
cero
y
ortogonal
a
los
dos
v
ectores
−
→
u
y
−
→
v
:
−
→
u
5
;
0
;
1
et
−
→
v
−
1
;
1
;
2
.
E.8902
Considera
el
paralelepíp
edo
rectan-
gular
AB
C
D
E
F
GH
que
se
m
uestra
a
con
tin
uación
:
Los
pun
tos
I
y
J
son
los
resp
ectiv
os
pun
tos
medios
de
los
segmen
tos
[
AE
]
y
[
AB
]
.
Los
pun
tos
medios
de
las
distin
tas
aristas
se
m
uestran
en
la
figura.
1
Muestra
la
sección
del
plano
(
D
I
F
)
y
el
paralelepíp
edo.
Justifica
tu
construcción.
2
Se
da
al
plano
el
sistema
de
referencia
A
;
−
→
AJ
;
−
−
→
AD
;
−
→
AE
ortonormal.
Determinar
un
v
ector
−
→
n
,
de
co
ordenadas
en
teras,
normal
al
plano
(
D
I
F
)
.
12.
Pr
oye
c
ción
orto
gonal
sobr
e
un
plano
E.8905
Definición
-
propuesta
:
En
el
espacio
pro
visto,
consideramos
un
pun
to
A
y
un
plano
(
P
)
.
Se
denomina
pro
y
ección
ortogonal
del
pun
to
A
sobre
el
plano
(
P
)
,
al
único
pun
to
M
de
in
tersección
del
plano
P
con
la
recta
que
pasa
p
or
el
pun
to
A
y
es
ortogonal
al
plano
P
Corolario
:
en
el
espacio,
consideramos
un
pun
to
A
y
un
plano
(
P
)
.
La
pro
y
ección
H
del
pun
to
A
sobre
el
plano
(
P
)
es
el
único
pun
to
del
pun
to
(
P
)
tal
que
la
recta
(
AH
)
es
ortogonal
al
plano
(
P
)
.
AB
C
D
E
F
GH
es
el
cub
o
de
arista
1
represen
tado
en
la
ho
ja
adjun
ta
que
se
completará
y
en
tregará
con
la
copia.
El
espacio
se
refiere
al
sistema
de
co
ordenadas
ortonormales
A
;
−
−
→
AB
;
−
−
→
AD
;
−
→
AE
.
Consideremos
el
pun
to
I
de
co
ordenadas
I
1
3
;
1
3
;
1
3
.
1
a
Establezca
la
igualdad
:
1
3
·
−
−
→
D
B
+
1
3
·
−
−
→
D
E
=
−
→
D
I
b
Dem
uestre
que
el
pun
to
I
p
ertenece
al
plano
(
B
D
E
)
.
2
Demostrar
que
el
pun
to
I
es
la
pro
y
ección
del
pun
to
A
en
el
plano
(
B
D
E
)
.
E.8918
En
el
plano
pro
visto
de
una
O
;
−
→
i
;
−
→
j
;
−
→
k
ortonormal,
consideremos
el
pun
to
M
5
;
2
;
−
1
y
el
plano
(
P
)
que
pasa
p
or
el
pun
to
A
5
;
−
6
;
−
6
y
admitiendo
el
v
ector
−
→
n
2
;
1
;
2
como
v
ector
normal.
Demostrar
que
el
pun
to
H
1
;
0
;
−
5
es
la
pro
y
ección
ortog-
onal
del
pun
to
M
sobre
el
plano
(
P
)
.
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/5415
sacados/5415
chapExoCorrec/8901
sacados/8901
chapExoCorrec/8902
sacados/8902
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
chapExoCorrec/8905
sacados/8905
A
B
C
D
E
F
G
H
I
chapExoCorrec/8918
sacados/8918
H
G
F
E
D
C
B
A
I
J
E.8909
Consideremos
el
cub
o
AB
C
D
E
F
GH
,
con
aristas
de
longitud
1
,
y
denotemos
p
or
I
y
J
los
pun
tos
medios
de
las
aristas
[
AB
]
y
[
C
G
]
.
Utilizaremos
el
sistema
de
co
ordenadas
A
;
−
−
→
AB
;
−
−
→
AD
;
−
→
AE
Denotemos
p
or
M
el
pun
to
de
co
ordenadas
:
M
1
2
;
2
5
;
4
5
1
Demostrar
que
el
pun
to
M
es
la
pro
y
ección
del
pun
to
I
sobre
el
plano
(
E
F
J
)
2
Dem
uestre
que
el
v
olumen
del
tetraedro
E
F
I
J
es
igual
a
1
6
.
E.10380
En
el
espacio
pro
visto
de
un
sistema
de
co
ordenadas
ortonormales,
consideramos
el
pun
to
A
1
;
2
;
3
y
el
plano
P
cuy
a
ecuación
es
:
P
:
2
·
x
−
2
·
y
−
4
·
z
+
2
=
0
Dem
uestre
que
el
pun
to
H
2
;
1
;
1
es
la
pro
y
ección
ortogonal
del
pun
to
A
sobre
el
plano
P
.
E.10381
En
el
espacio
con
un
sistema
de
co
or-
denadas
ortonormal,
considera
el
pun
to
A
−
19
;
11
;
6
y
el
plano
P
con
ecuación
:
P
:
−
6
·
x
+
4
·
y
+
z
−
5
=
0
Dem
uestra
que
el
pun
to
H
−
1
;
−
1
;
3
es
la
pro
y
ección
ortog-
onal
del
pun
to
A
sobre
el
plano
P
.
E.10382
En
el
espacio
pro
visto
de
un
sistema
de
co
ordenadas
ortonormales,
consideramos
el
pun
to
A
1
;
2
;
2
y
el
plano
P
cuy
a
ecuación
es
:
P
:
x
+
2
·
y
+
3
·
z
−
5
=
0
Dem
uestre
que
el
pun
to
H
4
7
;
8
7
;
5
7
es
la
pro
y
ección
ortog-
onal
del
pun
to
A
sobre
el
plano
P
.
E.10383
En
el
espacio
dotado
de
un
sistema
de
referencia
ortonormal,
consideremos
el
pun
to
A
3
;
3
;
3
y
el
plano
P
admitiendo
como
ecuación
cartesiana
:
2
·
x
−
y
+
z
+
1
=
0
Determina
las
co
ordenadas
del
pun
to
H
pro
y
ectado
ortogo-
nalmen
te
desde
el
pun
to
A
sobre
el
plano
P
.
E.10384
En
el
espacio
con
un
sistema
de
refer-
encia
ortonormal,
consideremos
el
pun
to
A
8
3
;
4
3
;
−
8
3
y
el
plano
P
con
ecuación
cartesiana
:
x
+
2
·
y
−
z
+
2
=
0
Determina
las
co
ordenadas
del
pun
to
H
pro
y
ectado
ortogo-
nalmen
te
desde
el
pun
to
A
sobre
el
plano
P
.
E.10385
En
el
espacio
con
un
sistema
de
co
orde-
nadas
ortonormal,
considere
el
pun
to
A
2
;
−
3
;
−
3
y
el
plano
P
cuy
a
ecuación
cartesiana
es
:
−
2
·
x
+
y
+
4
·
z
−
2
=
0
Determinar
las
co
ordenadas
del
pun
to
H
pro
y
ectado
ortogo-
nalmen
te
desde
el
pun
to
A
sobre
el
plano
P
.
E.10386
hacer
13.
Distancia
de
un
avión
E.8910
Propuesta
:
En
el
espacio
pro
visto,
consideramos
un
pun
to
A
y
un
plano
(
P
)
.
Denotamos
p
or
H
la
pro
y
ección
ortogonal
del
pun
to
A
sobre
el
plano
(
P
)
.
La
distancia
AH
tiene
p
or
v
alor
:
AH
=
⏐
⏐
−
−
→
AB
·
−
→
n
⏐
⏐
−
→
n
Definición
:
En
el
espacio,
consideramos
un
pun
to
A
y
un
plano
(
P
)
,
se
denomina
distancia
del
pun
to
A
al
plano
(
P
)
,
la
distancia
del
pun
to
AH
donde
el
pun
to
H
es
la
pro
y
ección
ortogonal
del
pun
to
A
sobre
el
plano
(
P
)
En
el
espacio
pro
visto
de
un
sistema
de
co
ordenadas
ortonor-
males
O
;
−
→
i
;
−
→
j
;
−
→
l
,
consideramos
los
cuatro
pun
tos
:
A
2
;
2
;
0
;
B
4
;
−
4
;
1
;
C
5
;
−
2
;
−
1
;
M
6
;
4
;
4
1
Dem
uestre
que
los
pun
tos
A
,
B
,
C
no
están
alineados.
2
Demostrar
que
el
v
ector
−
→
n
2
;
1
;
2
es
un
v
ector
normal
al
plano
(
AB
C
)
.
3
Determinar
la
distancia
del
pun
to
M
al
plano
(
AB
C
)
.
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/8909
sacados/8909
H
G
F
E
D
C
B
A
I
J
sacados/10380
chapExoCorrec/10381
sacados/10381
sacados/10382
sacados/10383
sacados/10384
sacados/10385
sacados/10386
fichierPlus/10386/
chapExoCorrec/8910
sacados/8910
A
B
C
D
E
F
G
H
I
I
H
H
G
F
E
D
C
B
A
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
E.8906
Consideremos
un
cub
o
AB
C
D
E
F
GH
,
con
aristas
de
longitud
1
.
Denotemos
p
or
I
el
pun
to
de
in
ter-
sección
de
la
recta
(
E
C
)
y
el
plano
(
AF
H
)
.
En
el
espacio,
consideramos
el
cub
o
AB
C
D
E
F
GH
represen-
tado
a
con
tin
uación
y
utilizamos
el
sistema
de
co
ordenadas
ortonormales
D
;
−
−
→
D
A
;
−
−
→
D
C
;
−
−
→
D
H
.
Denotamos
p
or
I
la
pro
y
ección
ortogonal
del
pun
to
E
sobre
el
plano
(
AF
H
)
.
1
Justifique
que
la
recta
(
E
C
)
es
ortogonal
al
plano
(
AH
F
)
.
2
Comprueb
e
que
la
distancia
del
pun
to
E
al
plano
(
AF
H
)
es
igual
a
3
3
.
E.8911
Prop
osición
:
La
pro
y
ección
ortogonal
H
de
un
pun
to
A
sobre
un
plano
P
es
el
único
pun
to
del
plano
P
más
pró
ximo
a
A
.
Consideremos
el
cub
o
AB
C
D
E
F
GH
que
se
m
uestra
a
con-
tin
uación
y
el
espacio
está
referido
al
sistema
de
referencia
ortonormal
A
;
−
−
→
AB
;
−
−
→
AD
;
−
→
AE
.
Denotamos
I
al
pun
to
de
co
ordenadas
1
3
;
1
;
1
y
la
sección
p
or
el
plano
(
F
H
I
)
se
m
uestra
som
breada.
1
Demostrar
que
el
v
ector
−
→
n
de
co
ordenadas
3
;
−
3
;
2
es
normal
al
plano
(
AC
I
)
2
Determina
la
distancia
del
pun
to
F
al
plano.
3
Sea
H
la
pro
y
ección
ortogonal
del
pun
to
F
sobre
el
plano
(
AC
I
)
.
Demostrar
que
el
pun
to
H
tiene
co
ordenadas
:
H
7
22
;
15
22
;
12
22
14.
Pr
oye
c
ción
orto
gonal
sobr
e
una
líne
a
E.8915
Definición
-
prop
osición
:
En
el
espacio,
consideramos
un
pun
to
A
y
una
recta
(
d
)
con
v
ector
director
−
→
u
.
Se
denomina
pro
y
ección
ortogonal
del
pun
to
A
sobre
la
recta
(
d
)
,
el
pun
to
de
in
tersección
de
la
recta
(
d
)
con
el
plano
que
pasa
p
or
el
pun
to
A
y
que
tiene
−
→
u
como
v
ector
normal.
Corolario
:
en
el
espacio,
consideramos
una
recta
(
d
)
y
un
pun
to
A
que
no
p
ertenece
a
(
d
)
.
La
pro
y
ección
ortog-
onal
del
pun
to
A
sobre
la
recta
(
d
)
es
el
único
pun
to
M
p
ertenecien
te
a
(
d
)
y
tal
que
el
v
ector
−
−
→
AM
es
ortogonal
a
cualquier
v
ector
director
de
la
recta
(
d
)
.
En
el
espacio
pro
visto
de
un
sistema
de
co
ordenadas
ortonor-
males
O
;
;
−
→
i
;
−
→
j
,
consideramos
los
tres
pun
tos
:
A
7
;
3
;
0
;
B
6
;
−
1
;
−
8
;
C
−
4
;
4
;
2
Consideramos
el
pun
to
H
2
;
1
;
−
4
.
1
Demostrar
que
el
pun
to
H
p
ertenece
a
la
recta
(
B
C
)
.
2
Establecer
que
H
es
la
pro
y
ección
ortogonal
del
pun
to
A
sobre
la
recta
(
B
C
)
.
E.8903
AB
C
D
E
F
GH
denota
un
cub
o
de
lado
1
,
el
pun
to
I
es
el
pun
to
medio
del
segmen
to
[
B
F
]
y
el
pun
to
J
es
el
pun
to
medio
del
segmen
to
[
AG
]
.
El
espacio
está
referido
al
sistema
de
referencia
A
;
−
−
→
AB
;
−
−
→
AD
;
−
→
AE
.
1
Establece
que
el
pun
to
J
es
el
pun
to
pro
y
ectado
del
pun
to
I
sobre
la
recta
(
AG
)
.
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/8906
sacados/8906
A
B
C
D
E
F
G
H
I
chapExoCorrec/8911
sacados/8911
I
H
H
G
F
E
D
C
B
A
chapExoCorrec/8915
sacados/8915
sacados/8903
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
A
B
C
D
S
I
2
Determina
la
distancia
I
J
.
E.8916
En
el
espacio,
consideremos
la
pirámide
AB
C
D
S
con
base
cuadrada
y
caras
laterales
que
son
to
das
triángulos
equiláteros.
Denotamos
I
el
cen
tro
del
segmen
to
[
AB
]
.
El
espacio
recib
e
el
marco
de
referencia
A
;
−
−
→
AB
;
−
−
→
AD
;
−
→
k
ortonormal
directo.
1
Justifica
que
el
v
ector
−
→
C
S
tiene
co
ordenadas
:
−
→
C
S
−
1
2
;
−
1
2
;
2
2
Observ
a
H
(
x
;
y
;
z
)
la
pro
y
ección
ortogonal
del
pun
to
A
sobre
la
recta
(
C
S
)
.
2
Justifica
que
existe
un
real
k
que
p
ermite
escribir
las
co-
ordenadas
del
pun
to
H
:
H
−
1
2
·
k
+1
;
−
1
2
·
k
+1
;
2
2
·
k
3
Deduce
las
co
ordenadas
del
pun
to
H
.
15.
Distancia
de
una
líne
a
r
e
cta
E.8912
Prop
osición
:
en
el
espacio
pro
visto
de
un
sistema
de
ref-
erencia
ortonormal,
consideremos
una
recta
(
d
)
que
pasa
p
or
un
pun
to
A
y
tiene
como
v
ector
director
−
→
u
y
B
otro
pun
to
del
plano.
Denotando
H
el
pun
to
pro
y
ectado
B
so-
bre
la
recta
(
d
)
,
tenemos
:
B
H
=
−
−
→
B
A
−
−
−
→
B
A
·
−
→
u
−
→
u
2
−
→
u
Definición
:
en
el
espacio
pro
visto
de
un
sistema
de
refer-
encia
ortonormal,
consideramos
una
recta
(
d
)
y
un
pun
to
B
en
el
espacio.
Llamamos
distancia
del
pun
to
B
a
la
recta
(
d
)
,
la
distancia
B
H
donde
H
es
la
pro
y
ectada
del
pun
to
B
sobre
la
recta
(
d
)
.
El
espacio
está
referido
a
un
sistema
de
referencia
O
;
−
→
i
;
−
→
j
;
−
→
k
ortonormal
y
se
consideran
los
pun
tos
A
,
B
y
C
cuy
as
co
ordenadas
son
:
A
5
;
0
;
1
;
B
−
5
;
2
;
8
;
C
7
;
−
4
;
−
4
Establece
que
el
pun
to
A
está
a
una
distancia
3
de
la
recta
(
B
C
)
.
E.8914
Prop
osición
:
el
pro
y
ecto
ortogonal
H
del
pun
to
A
de
la
recta
(
d
)
es
el
único
pun
to
de
la
recta
(
d
)
más
cercano
al
pun
to
A
.
El
espacio
está
referido
a
un
sistema
de
referencia
O
;
−
→
i
;
−
→
j
;
−
→
k
ortonormal
y
consideramos
los
pun
tos
A
,
B
y
C
cuy
as
co
ordenadas
son
:
A
3
;
4
;
−
7
;
B
−
5
;
−
1
;
−
6
;
C
−
1
;
−
3
;
−
2
Denotamos
p
or
H
la
pro
y
ección
ortogonal
del
pun
to
A
sobre
la
recta
(
B
C
)
.
1
Determina
la
distancia
del
pun
to
A
a
la
recta
(
B
C
)
.
2
Establece
que
el
pun
to
H
tiene
co
ordenadas
:
H
−
3
;
−
2
;
−
4
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/8916
sacados/8916
A
B
C
D
S
I
chapExoCorrec/8912
sacados/8912
chapExoCorrec/8914
sacados/8914
A
B
C
D
E
F
G
H
I
H
G
F
E
D
C
B
A
I
I
R
H
G
F
E
D
C
B
A
E.8907
AB
C
D
E
F
GH
denota
un
cub
o
de
lado
1
,
el
pun
to
I
es
el
pun
to
medio
del
segmen
to
[
B
F
]
.
El
espacio
está
referido
al
sistema
de
referencia
A
;
−
−
→
AB
;
−
−
→
AD
;
−
→
AE
.
Determina
la
distancia
del
pun
to
I
a
la
recta
(
AG
)
.
E.8904
Considera
el
cub
o
AB
C
D
E
F
GH
que
se
m
uestra
en
la
ho
ja
adjun
ta.
A
lo
largo
del
ejerci-
cio,
el
espacio
se
refiere
al
sistema
de
referencia
ortonormal
A
;
−
−
→
AB
;
−
−
→
AD
;
−
→
AE
.
Sea
I
el
pun
to
de
co
ordenadas
1
3
;
1
;
1
y
R
la
pro
y
ección
ortogonal
de
I
sobre
la
recta
(
AC
)
.
1
Establece
que
:
I
R
=
11
3
.
2
El
pun
to
R
p
ertenecien
te
a
la
recta
(
AC
)
,
existe
un
t
real
tal
que
:
−
→
AR
=
t
·
−
→
AC
a
Expresa
las
co
ordenadas
del
pun
to
R
en
función
de
t
.
b
Utilizando
la
pregun
ta
1
,
determina
las
co
ordenadas
del
pun
to
R
.
E.4100
El
espacio
está
referido
a
un
sistema
de
referencia
ortonormal
O
;
−
→
i
;
−
→
j
;
−
→
k
.
Los
pun
tos
A
,
B
y
C
tienen
las
co
ordenadas
:
A
1
;
−
2
;
4
;
B
−
2
;
−
6
;
5
;
C
−
4
;
0
;
−
3
Denotamos
p
or
H
la
pro
y
ección
ortogonal
del
pun
to
O
sobre
la
recta
(
B
C
)
.
Sea
t
el
n
úmero
real
tal
que
:
−
−
→
B
H
=
t
·
−
−
→
B
C
1
Dem
uestre
que
:
t
=
−
−
→
B
O
·
−
−
→
B
C
−
−
→
B
C
2
2
Deduce
el
real
t
y
las
co
ordenadas
del
pun
to
H
.
16.
Pr
o
ducto
esc
alar
y
r
elación
ve
ctorial
E.4094
Considera
un
tetraedro
AB
C
D
y
denota
H
la
pro
y
ección
ortogonal
del
pun
to
A
sobre
el
plano
(
B
C
D
)
.
Demostrar
que,
si
las
alturas
del
tetraedro
AB
C
D
que
surgen
de
los
pun
tos
A
y
B
son
concurren
tes,
en
tonces
la
recta
(
B
H
)
es
una
altura
del
triángulo
B
C
D
.
17.
Ejer
cicios
no
clasific
ados
E.4247
Consideremos
un
cub
o
AB
C
D
E
F
GH
con
aristas
de
longitud
3
.
Elegimos
el
sistema
de
co
ordenadas
ortonormales
D
;
−
→
i
;
−
→
j
;
−
→
k
tal
que
:
−
→
i
=
1
3
·
−
−
→
D
A
;
−
→
j
=
1
3
·
−
−
→
D
C
;
−
→
k
=
1
3
·
−
−
→
D
H
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/8907
sacados/8907
A
B
C
D
E
F
G
H
I
chapExoCorrec/8904
sacados/8904
H
G
F
E
D
C
B
A
I
I
R
sacados/4100
chapExoCorrec/4094
sacados/4094
sacados/4247
Extrait de Polynesie Septembre 2007
H
G
F
E
D
C
B
A
1
Determinar
las
co
ordenadas
del
pun
to
L
baricen
tro
del
sistema
(
C
;
2
)
;
(
E
;
1
)
.
Se
admite
que
los
v
ectores
−
→
AE
y
−
→
D
L
tienen
las
siguien
tes
co-
ordenadas
:
−
→
AE
0
;
0
;
3
;
−
→
D
L
1
;
2
;
1
Sea
(
a
;
b
)
un
par
de
n
úmeros
reales.
Se
denota
M
el
pun
to
de
la
recta
(
AE
)
tal
que
:
−
−
→
AM
=
a
·
−
→
AE
y
N
el
pun
to
de
la
recta
(
D
L
)
tal
que
:
−
−
→
D
N
=
b
·
−
→
D
L
2
Demostrar
que
los
v
ectores
−
−
→
M
N
son
ortogonales
a
los
v
ectores
−
→
AE
y
−
→
D
L
si
y
solo
si
el
par
(
a
;
b
)
v
erifica
el
sis-
tema
:
−
a
+
2
b
=
1
3
a
−
b
=
0
3
De
ello
se
deduce
que
existe
un
único
pun
to
M
0
de
(
AE
)
y
un
único
pun
to
N
0
de
(
D
L
)
tales
que
la
recta
(
M
0
N
0
)
sea
ortogonal
a
las
rectas
(
AE
)
y
(
D
L
)
.
4
Determinar
las
co
ordenadas
de
los
pun
tos
M
0
y
N
0
y
luego
calcular
la
distancia
M
0
N
0
.
E.4034
El
espacio
está
referido
al
sistema
de
referencia
ortonormal
O
;
−
→
i
;
−
→
j
;
−
→
k
.
La
esfera
de
cen
tro
A
1
;
1
;
1
y
radio
10
es
tangen
te
al
plano
P
de
ecuación
x
+
y
+
z
=
0
.
E.4110
El
espacio
se
refiere
al
sistema
de
co
ordenadas
ortonormales
O
;
−
→
i
;
−
→
j
;
−
→
k
.
Consideremos
un
plano
(
P
)
que
admite
los
v
ectores
−
→
u
y
−
→
v
no
colineales
como
v
ectores
directores
y
cuy
as
co
ordenadas
son
:
−
→
u
2
;
−
1
;
3
et
−
→
v
−
1
;
1
;
1
.
Se
denota
p
or
−
→
n
(
x
;
y
;
z
)
un
v
ector
normal
al
plano
(
P
)
1
Justifique
que
las
co
ordenadas
del
v
ector
−
→
n
son
solu-
ciones
del
sistema
de
ecuaciones
:
2
x
−
y
+
3
z
=
0
−
x
+
y
+
z
=
0
2
a
Eligiendo
z
=
1
,
determine
las
co
ordenadas
del
único
v
ector
−
→
n
1
normal
al
plano
y
cuy
a
co
ordenada
es
1
.
b
Determine
las
co
ordenadas
de
otro
v
ector
−
→
n
normal
al
plano
(
P
)
.
c
¾Qué
se
puede
decir
de
los
v
ectores
−
→
n
1
y
−
→
n
?
E.4130
Consideremos
el
espacio
pro
visto
de
un
sistema
de
referencia
O
;
−
→
i
;
−
→
j
;
−
→
j
ortonormal.
Consideremos
la
recta
(
d
)
que
pasa
p
or
el
pun
to
A
1
;
−
2
;
3
y
admitiendo
como
v
ector
director
el
v
ector
−
→
u
−
2
;
0
;
1
.
Siendo
M
el
pun
to
del
espacio
de
co
ordenadas
1
;
−
1
;
13
,
determina
las
co
ordenadas
de
la
pro
y
ección
H
del
pun
to
M
sobre
la
recta
(
d
)
.
E.8908
Consideremos
el
espacio
pro
visto
de
un
sistema
de
referencia
O
;
−
→
i
;
−
→
j
;
−
→
j
ortonormal.
Sea
(
P
)
el
plano
que
admite
como
ecuación
cartesiana
:
3
·
x
−
y
+
2
·
z
=
0
Consideremos
el
pun
to
N
15
;
1
;
6
.
Determine
las
co
orde-
nadas
del
pun
to
I
pro
y
ectado
ortogonalmen
te
desde
el
pun
to
N
en
el
plano
(
P
)
.
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
sacados/4034
Extrait Antilles-Guyane Septembre 2010
chapExoCorrec/4110
sacados/4110
chapExoCorrec/4130
sacados/4130
chapExoCorrec/8908
sacados/8908
ChingMath
by ChingLab
©
ESO
Prim. 6
ESO 1
ESO 2
ESO 3
Bachi.
ESO 4
Bachi. 1
Bachi. 2
Bachi. 2 opt. Complémentaire
Bachi. 2 opt. Experte
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