Bachillerato 2 / Otros anales, MCQs, afirmaciones ... 5 ejercicios corregidos

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1. Trigonometría E.3163 Un conejo quiere cruzar una carretera de 4 metros de ancho. Un camión, que ocupa toda la carretera, se aproxima a él a una velocidad de 60 km = h . El conejo decide cruzar en el último momento, cuando el camión está a solo 7 metros de él. Su arranque es fulgurante y suponemos que cruza en línea recta a la máxima velocidad posible, es decir, a 30 km = h ! La parte delantera del camión está representada por el seg-mento [ CC ] en el esquema siguiente. El conejo parte del punto A en dirección a d . Esta dirección se indica mediante el ángulo „ = BAD con : 0 „< ı 2 (en radianes) 1 Determina las distancias AD y CD en función de „ y los tiempos t 1 y t 2 que tardan el conejo y el camión en recorrer las distancias AD y CD , respectivamente. 2 Se establece : f ( „ )= 7 2 +2 · tan „ − 4 cos „ . Demostrar que el conejo habrá cruzado la carretera antes de que pase el camión si y solo si f ( „ ) > 0 . 3 Concluir. Recordatorio: La función x ↦−→ tan x es derivable en 0 ; ı 2 y tiene como derivada la función x ↦−→ 1 cos x 2 2. Declaraciones E.3169 A continuación se presentan diez afirmaciones, divididas en tres temas y numeradas del 1 a à 3 d , .El candidato deberá escribir en su copia, junto al número de la afirmación y con el mayor cuidado, la mención VERDADERO o FALSO. Cada respuesta correcta vale 0 ; 4 puntos. Cada respuesta er-rónea resta 0 ; 1 punto. No se tiene en cuenta la ausencia de respuesta. Un posible total negativo se reduce a 0. 1 Para cualquier número real x , e x designa la imagen de x por la función exponencial. Afirmación a Para todos los números reales a y b : e a b =e a b Afirmación b Para todos los números reales a y b : e a − b = e a e b Afirmación c La recta de ecuación y = x +1 es la tan-gente a la curva representativa de la fun-ción exponencial en su punto de abscisa 1. 2 Sea f una función numérica definida en un intervalo abierto I y sea a un elemento de I . Afirmación a Si f es derivable en a , entonces f es continua en a Afirmación b Si f es continua en a , entonces f es derivable en a Afirmación c Si f es derivable en a , entonces la función h ↦−→ f ( a + h ) − f ( a ) h admite un límite finito en 0 . 3 Consideremos dos sucesiones u n y v n definidas en N : Afirmación a Si lim u n =+ ∞ y si lim v n = −∞ , en-tonces lim( u n + v n )=0 Afirmación b Si ( u n ) converge hacia un real distinto de cero y si lim v n =+ ∞ , entonces la sucesión u n × v n no converge. Afirmación c Si ( u n ) converge hacia un real distinto de cero, si ( v n ) es positivo y si lim v n =0 , entonces la sucesión u n v n no converge. Afirmación d Si ( u n ) y ( v n ) convergen, entonces la sucesión u n v n converge. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3163 sacados/3163 4mCamion7mCCABD„ chapExoCorrec/3169 sacados/3169
E.6352 Para cada una de las preguntas sigu-ientes, solo una de las cuatro propuestas es correcta. En cada caso, indique la respuesta correcta sin justificación. 1 En un sistema de coordenadas espaciales, se consideran los tres puntos : A 1 ; 2 ; 3 ; B − 1 ; 5 ; 4 ; C − 1 ; 0 ; 4 . La recta paralela a la recta ( AB ) que pasa por el punto C tiene como representación paramétrica: a x = − 2 t − 1 y = 3 t z = t + 4 ;t ∈ R b x = − 1 y = 7 t z = 7 t + 4 ;t ∈ R c x = − 1 − 2 t y = 5 + 3 t z = 4 + t ;t ∈ R d x = 2 t y = − 3 t z = − t ;t ∈ R 2 El espacio está provisto de un sistema de coordenadas ortonormales O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . La recta ( D ) se define mediante la representación paramétrica: x = 5 − 2 t y = 1 + 3 t z = 4 , t ∈ R Denotamos por D la recta que pasa por el punto A de coordenadas 3 ; 1 ; 1 y tiene como vector director : −→ u = 2 · −→ i − −→ j + 2 · −→ k . Las rectas D y D son : a paralelas b confondues c no coplanares d seccionantes 3 La figura siguiente representa un cubo ABCDEFGH . Los puntos I y J son los medios respectivos de las aris-tas [ GH ] y [ FG ] . Los puntos M y N son los centros respectivos de las caras ABFE y BCGF . Las rectas ( IJ ) y ( MN ) son : a perpendiculaires b orthogonales c seccionantes, no perpendiculares d paralelas 4 El conjunto de números complejos z tal que z = z +1 z − 1 es un número real es : a el conjunto de números reales cuya parte imaginaria es igual a la parte real b el conjunto de imaginarios puros ; c el conjunto de números reales sin el número 1 ; d el número i 3. Ejercicios no clasificados E.6050 Para cada una de las cuatro prop-uestas siguientes, indique si es verdadera o falsa y justifique la respuesta elegida. Se otorga un punto por cada respuesta correcta debidamente justificada. Las respuestas sin justificación no se tienen en cuenta. No se penalizará la falta de respuesta. 1 Propuesta 1: En el plano provisto de un sistema de co-ordenadas ortonormales, el conjunto de puntos M cuyo afijo z verifica la igualdad | z − i | = | z +1 | es una recta. 2 Propuesta 2: El número complejo 1+i · 3 4 es un número real. 3 Sea ABCDEFGH un cubo. Propuesta 3: Las rectas ( EC ) y ( BG ) son ortogonales. 4 El espacio está provisto de un sistema de coordenadas ortonormales O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . Sea el plano P de ecuación cartesiana : x + y + 3 z + 4 = 0 . Denotemos por S el punto de coordenadas 1 ; − 2 ; − 2 . Proposición 4: La recta ( d ) , que pasa por S y es perpendicular al plano P , tiene como representación paramétrica: x = 2 + t y = − 1 + t z = 1 + 3 t où t ∈ R . E.8147 Antillas-Guyane Septiembre 2018 5 puntos https://chingmath.fr chapExoCorrec/6352 sacados/6352 ABCDEFGHIJMN chapExoCorrec/6050 sacados/6050 ABCDEFGH sacados/8147 Antilles-Guyane Septembre 2018 5 points