Bachillerato 2 / Vectores, líneas y planos en el espacio 35 ejercicios (100% corregidos)

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ABCDEFGHIJKL ijkOABCDEFGH ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ 1. Vectores espaciales E.2759 En el espacio, consideremos el par-alelepípedo ABCDEFGH . Denotamos I , J , K , L los respec-tivos puntos medios de las aristas [ AB ] , [ CD ] , [ EF ] , [ GH ] . 1 a Dar a todos los vectores igual al vector −→ AJ . b Dar todos los vectores iguales al vector −−→ ED . c Dar todos los vectores iguales al vector −−→ DK . 2 Da un representante de cada una de las siguientes sumas : a −−→ AD + −→ LF = −→ : : : b −→ DI + −−→ BF + −→ HI = 2 · −→ : : : c −−→ HB + −−→ CD = −−−→ : : : B E.2771 El espacio está provisto de un marco de referencia O ; −→ i ; −→ j ; −→ k ; este marco de referencia y la cuadrícula asociada se muestran a continuación : Determina las coordenadas de los puntos A , B , C , D , E , F , G , H . E.2760 El cubo que se muestra a continuación está formado por 8 cubos pequeños idénticos colocados uno al lado del otro: 1 En cada pregunta, determina el vector, con origen A , que representa la suma : a −−→ MY + −−→ KW b −→ A Ω + −→ V S + −−→ CX c −−→ Ω H + −→ ZE + −−→ QC d −→ AG + −−→ BH + −→ OI 2 En cada pregunta, determina el vector, con extremo A , que representa la suma : a −→ U Ω + −→ V L b −→ LZ + −−→ XZ + −−→ SX c −−→ Y Q + −→ AY + −→ SA d −−→ X Ω + −−→ XH + −→ GZ https://chingmath.fr chapExoCorrec/2759 sacados/2759 ABCDEFGHIJKL chapExoCorrec/2771 sacados/2771 ijkOABCDEFGH chapExoCorrec/2760 sacados/2760 ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ
BDFHIJKLMNOPQRSTUVWXY−i−j−k ABCDEFGH ABCDEFGHIJKL E.4180 En el espacio O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , consider-amos los cubos siguientes : 1 ¾Qué puntos de la figura verifican y 0 ? 2 a ¾Está incluido el cubo recto PQJKXY ST en el semiespacio definido por la desigualdad : x 0 b ¾Está incluido el cubo recto FDBHWUSY en el semiespacio definido por la desigualdad : z 0 3 Describa los siguientes semiespacios : a x 0 b z 0 c y − z 0 2. Posición relativa E.6816 Considera el cubo ABCDEFGH que se muestra a continuación : 1 Dar la posición relativa de los siguientes pares de rectas : a ( EH ) y ( BC ) b ( EB ) y ( FA ) c ( BA ) y ( EG ) d ( EC ) y ( AG ) 2 Indique la posición relativa de los siguientes pares de rec-tas y planos : a ( EH ) y ( AFG ) b ( HD ) y ( FAG ) c ( FA ) y ( DHG ) d ( BC ) y ( HFA ) 3 Indique la posición relativa de los siguientes planos : a ( HED ) y ( BCF ) b ( HGA ) y ( DCB ) E.6817 En el espacio consideremos el cubo ABCDEFGH y los puntos I , J , K , L medios de los seg-mentos [ EH ] , [ CG ] , [ AB ] , [ AD ] respectivamente. Da las posiciones relativas de los siguientes pares de rectas : a ( IL ) y ( FB ) b ( AG ) y ( KJ ) c ( KL ) y ( HF ) d ( EL ) y ( HD ) https://chingmath.fr chapExoCorrec/4180 sacados/4180 BDFHIJKLMNOPQRSTUVWXY−i−j−k chapExoCorrec/6816 sacados/6816 ABCDEFGH chapExoCorrec/6817 sacados/6817 ABCDEFGHIJKL
ABCDEFGH MNABCDEFGH ABCDEFGHKLMPQ E.2885 Considera el ABCDEFGH par-alelepípedo que se muestra a continuación : Sea O el punto medio del segmento [ AG ] : 1 Demuestra que el punto O es el punto medio del segmento [ EC ] . 2 Demostrar que el punto O es punto medio del segmento [ HB ] . E.2775 Considera el cubo ABCDEFGH y los puntos M y N del espacio. 1 Supongamos que el punto M pertenece al plano ( EFB ) ; justifiquemos que las rectas ( AD ) y ( HM ) no son copla-narias. 2 Supongamos el punto M perteneciente al plano ( EHD ) : a Justifica que las rectas ( AD ) y ( HM ) son coplanarias. b Localiza el punto L de intersección de las rectas ( AD ) y ( HM ) . 3 Según la posición del punto N en el espacio, di si las rectas ( GF ) y ( HN ) son coplanarias ; en caso afirmativo, sitúa su punto de intersección : a N ∈ ( HEF ) b N ∈ ( HDC ) E.2795 Consideremos el cubo ABCDEFGH . Los puntos K , L , M son los respectivos puntos medios de las aristas [ EH ] , [ HG ] , [ EF ] . Los puntos P y Q representan la intersección de la recta ( KL ) con los planos ( ABF ) y ( CBF ) respectivamente. 1 a Justifica que el punto P es la intersección de las rec-tas ( EF ) y ( KL ) . b Deduce que el punto K es el punto medio del segmento [ PL ] . Admitimos que, por un razonamiento similar, el punto L es la mitad del segmento [ KQ ] : 2 Justifique la siguiente igualdad vectorial: −−→ PQ = 3 2 · −→ AC https://chingmath.fr chapExoCorrec/2885 sacados/2885 ABCDEFGH chapExoCorrec/2775 sacados/2775 MNABCDEFGH chapExoCorrec/2795 sacados/2795 ABCDEFGHKLMPQ
ABCDEFGH ABCDEIJ E.585 Definición : dos rectas son coplanares si pertenecen al mismo plano. En el cubo ABCDEFGH de al lado: 1 Entre los pares de rectas siguientes, ¾cuáles son coplanares entre sí? a ( EA ) et ( FB ) b ( HE ) et ( CB ) c ( HC ) et ( AD ) d ( GA ) et ( CA ) e ( HB ) et ( DA ) En la siguiente pregunta, utilizaremos las tres definiciones siguientes : Definiciones: Dos rectas son paralelas en el espacio si son coplanares y si son paralelas en ese plano. Dos planos son paralelos cuando no tienen ningún punto en común o cuando se confunden. Una recta y un plano son paralelos cuando : o bien P y Δ no tienen ningún punto en común. o bien la recta Δ está incluida en el plano P 2 Entre los pares siguientes, ¾cuáles definen un par de ob-jetos paralelos? a ( GD ) et ( AB ) b ( EB ) et ( HGC ) c ( EF ) et ( DC ) d ( BAH ) et ( GFH ) Vocabulario : Solo se habla de rectas perpendiculares en el caso de rectas coplanares. Definición : Dos rectas son ortogonales si son paralelas respectiva-mente a dos rectas perpendiculares de un mismo plano Una recta es ortogonal a un plano si es ortogonal a todas las rectas de ese plano. 3 Indique los pares siguientes que son ortogonales : a ( EF ) et ( HE ) b ( DB ) et ( AB ) c ( HD ) et ( ABC ) d ( HB ) et ( BFG ) e ( AC ) et ( HDF ) f ( HF ) et ( GCF ) 3. En paralelo E.2766 La figura siguiente representa la pirámide ABCDE de base cuadrada ; los puntos I y J rep-resentan los respectivos puntos medios de las aristas [ BE ] y [ CE ] . 1 Justifica que los puntos A , D , I , J son coplanarios. 2 a Justifica que las rectas ( AI ) y ( DJ ) son secantes. b Observa M su punto de intersección. Sitúa el punto M en la figura anterior. 3 Deduce la recta de intersección de los planos ( ABE ) y ( CDE ) . 4. Identificación espacial E.2814 En el espacio provisto del sistema de referencia A ; −→ i ; −→ j ; −→ k , considera el paralelepípedo rect-angular ABCDEFGH y los dos puntos M y N . https://chingmath.fr chapExoCorrec/585 sacados/585 ABCDEFGH chapExoCorrec/2766 sacados/2766 ABCDEIJ chapExoCorrec/2814 sacados/2814
ijkABCDEFGHMN xyzMMNNPP xyzMMNNPP ABCDEFGHO 1 Determina las coordenadas del punto M cuando : a M es un punto del plano ( EFB ) . b M es un punto del plano ( HGD ) . 2 Determina las coordenadas del punto N cuando : a N es un punto del plano ( EFH ) . b N es un punto en el plano ( EAD ) . E.2793 Consideremos el plano provisto de un sis-tema de referencia O ; −→ i ; −→ j ; −→ k ortonormal representado a continuación : Consideremos los tres puntos M , N , P : 1 a El punto M es la proyección ortogonal de M sobre el plano ( Oxy ) . Determine las coordenadas del punto M en este plano. b El punto N es la proyección ortogonal de N sobre el plano ( Oyz ) . Determine las coordenadas del punto N en este plano. c El punto P es la proyección ortogonal de P sobre el plano ( Oxz ) . Determine las coordenadas del punto P en este plano. 2 Determina las coordenadas de los tres puntos M , N , P en este sistema de referencia. E.2776 Se proporciona un marco de referencia ortonormal, cuyas graduaciones en los ejes se muestran ; con-sideremos los tres puntos M , N , P y sus respectivas proyec-ciones M , N , P sobre el plano ( OIJ ) , cuyas representa-ciones son las siguientes : 1 a Determinar las coordenadas del punto M perteneciente al plano ( OIJ ) . b Dar las coordenadas del punto M . 2 Determina las coordenadas del punto N y del punto P . E.4024 Considere el cubo ABCDEFGH que se muestra a continuación con centro O . Determine las coordenadas de los puntos de cada uno de los vértices del cubo y del punto O en cada uno de los siguientes marcos de referencia : a B ; −−→ BC ; −−→ BA ; −−→ BF b A ; −→ AE ; −−→ AB ; −−→ AD c O ; −−→ OF ; −−→ OG ; −−→ OE 5. Colinealidad E.2779 1 Demuestra que los siguientes pares de vectores son colin-eales : a −→ u 6 ; 21 ; 9 ; −→ v 4 ; 14 ; 6 b −→ u 3 ; 5 ; 4 3 ; −→ v 6 5 ; 2 ; 8 15 https://chingmath.fr ijkABCDEFGHMN chapExoCorrec/2793 sacados/2793 xyzMMNNPP chapExoCorrec/2776 sacados/2776 xyzMMNNPP chapExoCorrec/4024 sacados/4024 ABCDEFGHO chapExoCorrec/2779 sacados/2779
ABCDEFGHIKJ −nOABCVue en perspective cavalière de la réπexiond’un rayon lumineux sur le plan(OAB ABCDOIS 2 Justifica que los dos vectores siguientes no son colineales: −→ u 5 ; 8 ; 3 ; −→ v 3 ; 24 5 ; 8 5 E.2792 Considera el cubo ABCDEFGH que se mues-tra al lado y los tres puntos definidos por: El punto K es el punto medio de [ EF ] ; el punto I verifica la relación −→ AI = 1 3 ·−−→ AB ; el punto J verifica la relación −→ AJ = 2 3 ·−−→ AD . Using the benchmark A ; −−→ AB ; −−→ AD ; −→ AE , demuestre que las rectas ( IJ ) y ( KH ) son paralelas. E.6880 Un catadióptrico es un disposi-tivo óptico formado por tres espejos en forma de ˇ esquina de cubo ı, con las caras reflectantes orientadas hacia el interior. Se encuentran en los reflectores de algunos vehículos, así como en los aparatos de topografía. Los puntos O , A , B y C son vértices de un cubo, de tal man-era que el sistema de coordenadas O ; −→ OA ; −−→ OB ; −−→ OC es un sistema ortonormado. Este sistema de coordenadas se utilizará en todo el ejercicio. Los tres espejos del catadióptrico están representados por los planos ( OAB ) , ( OBC ) y ( OAC ) . Los rayos luminosos se modelan mediante rectas. Reglas de reflexión de un rayo luminoso admitidas : cuando un rayo luminoso de vector director −→ v a ; b ; c es reflejado por el plano ( OAB ) , un vector director del rayo reflejado es −→ v a ; b ; − c ; cuando un rayo luminoso con vector director −→ v a ; b ; c se refleja en el plano ( OBC ) , un vector director del rayo reflejado es −→ v − a ; b ; c ; Cuando un rayo luminoso con vector director −→ v a ; b ; c se refleja en el plano ( OAC ) , el vector director del rayo reflejado es −→ v a ; − b ; c ; Propiedad de los catadióptricos Utilizando las reglas anteriores, demuestre que si un rayo lumi-noso con vector director −→ v a ; b ; c se refleja sucesivamente en los planos ( OAB ) , ( OBC ) y ( OAC ) , el rayo final es par-alelo al rayo inicial. E.6886 Consideremos la pirámide regular SABCD con vértice S formada por la base cuadrada ABCD y los triángulos equiláteros que se representan a continuación. El punto O es el centro de la base ABCD con OB =1 . Recordemos que el segmento [ SO ] es la altura de la pirámide y que todas las aristas tienen la misma longitud. 1 Justifica que el sistema de coordenadas O ; −−→ OB ; −−→ OC ; −→ OS es ortonormal. En el resto del ejercicio, nos situaremos en el sistema de co-ordenadas O ; −−→ OB ; −−→ OC ; −→ OS . 2 Definimos el punto K mediante la relación −−→ SK = 1 3 · −→ SD y denotamos I el punto medio del segmento [ SO ] . a Determina las coordenadas del punto K . b Deduzca que los puntos B , I y K están alineados. c Se denota L el punto de intersección de la arista [ SA ] con el plano ( BCI ) . Justificar que las rectas ( AD ) y ( KL ) son paralelas. d Determinar las coordenadas del punto L . https://chingmath.fr chapExoCorrec/2792 sacados/2792 ABCDEFGHIKJ chapExoCorrec/6880 sacados/6880 −nOABCVue en perspective cavalière de la réπexiond’un rayon lumineux sur le plan(OAB chapExoCorrec/6886 sacados/6886 Extrait d'Antilles-Guyane Juin 2016 ABCDOIS
(d(dAB (d(dAB ABCDEFGHIJ PABCABC P(d(dABAB PABCDEFGHIJLK 6. Objetos en el espacio E.579 Comprueba que en los dos dibujos sigu-ientes, A y B son los puntos de intersección respectivamente de las rectas ( d ) y ( d ) con el plano ( P ) E.588 Responde sí o no a las siguientes pregun-tas : 1 ¾Dos puntos definen siempre una única recta? 2 ¾Tres puntos definen siempre un único plano? 3 ¾La intersección de dos planos es un punto? E.581 En el espacio, consideremos el cubo ABCDEFGH cuya representación se da a continuación : En la siguiente representación, I es un punto perteneciente a la recta ( GH ) y J pertenece a la recta ( AB ) . A continuación se proponen cuatro afirmaciones. Di si cada una de estas afirmaciones es verdadera o falsa, justificando tu respuesta. 1 El triángulo EHD rectángulo en H . 2 Las rectas ( AC ) y ( GH ) son secantes en I . 3 El cuadrilátero BCHE es un rectángulo. 4 J es el punto de intersección de ( CG ) y ( AB ) . E.587 Consideremos en el espacio un plano ( P ) y A , B , C no pertenecientes a este plano y no alineados. Ob-servamos : A el punto de intersección de la recta ( BC ) con ( P ) ; B el punto de intersección de la recta ( AC ) con ( P ) ; C es el punto de intersección de la recta ( AB ) con ( P ) ; Demuestra que los puntos A , B y C están alineados. E.584 En el espacio, consideremos un plano ( P ) y dos rectas paralelas ( d ) y ( d ) . A y B son puntos de las rectas ( d ) y ( d ) , respectivamente. Llamamos A y B a los respectivos puntos de intersección de las rectas ( d ) y ( d ) con el plano ( P ) . 1 Justifica que los puntos A , B , A y B son coplanarios. 2 Justifica que, en la gráfica, las rectas ( AB ) y ( A B ) no son paralelas. 3 Sitúa, en la figura, el punto de intersección de las rectas ( AB ) y ( A B ) . 7. Normas de impacto E.2768 ABCDEFGH es un cubo; considere-mos el plano ( P ) cuya sección con el cubo es el cuadrilátero IJKL https://chingmath.fr chapExoCorrec/579 sacados/579 (d(dAB (d(dAB chapExoCorrec/588 sacados/588 chapExoCorrec/581 sacados/581 ABCDEFGHIJ chapExoCorrec/587 sacados/587 PABCABC chapExoCorrec/584 sacados/584 P(d(dABAB chapExoCorrec/2768 sacados/2768 PABCDEFGHIJLK
ABCDEFGHIJKLMN ABCDE ABCDEFGHIJKL Justifica que IJKL es un paralelogramo. E.6885 ABCDEFGH es un cubo con aristas iguales a 1 . Sea I el centro de [ AB ] . Sea P el plano paralelo al plano ( BGE ) y que pasa por el punto I . Se admite que la sección del cubo por el plano P represen-tada arriba es un hexágono cuyos vértices I , J , K , L , M y N pertenecen respectivamente a las aristas [ AB ] , [ BC ] , [ CG ] , [ GH ] , [ HE ] y [ AE ] . Demostrar que el punto N es el punto medio del segmento [ AE ] . 8. Teorema del tejado E.5404 Considera la pirámide ABCDE , que se muestra a continuación, de base cuadrada : 1 Determina la posición de la recta ( d ) intersección de los planos ( ABE ) y ( CDE ) . 2 Representa la recta ( d ) . E.2796 Consideremos el cubo ABCDEFGH . Los puntos I , J , K , L son los puntos medios respectivos de los bordes [ AD ] , [ DC ] , [ EH ] , [ HG ] . El punto Q es el punto de intersección de la recta ( KL ) y el plano ( CBF ) . El punto S es el punto de intersección de la recta ( IJ ) y el plano ( CBF ) . 1 Coloca los puntos Q y S en la figura. 2 Justificar que las rectas ( QB ) y ( FS ) son coplanares y secantes. Se indica M su punto de intersección. 3 Deduzca el trazado de la recta ( d ) , intersección de los planos ( KLB ) y ( FIJ ) . 9. Ejercicios no clasificados https://chingmath.fr chapExoCorrec/6885 sacados/6885 ABCDEFGHIJKLMN chapExoCorrec/5404 sacados/5404 ABCDE chapExoCorrec/2796 sacados/2796 ABCDEFGHIJKL
ABCDEFGHIJ OIJABCDE IJKPP ABCDEFGHIJKL E.6818 Considera el cubo ABCDEFGH que se muestra a continuación : Sean I y J los respectivos puntos medios de los segmentos [ AE ] y [ BC ] . De las cuatro afirmaciones siguientes, sólo una es correcta. Indique cuál y justifique su elección. a Las rectas ( IJ ) y ( EC ) son estrictamente paralelas. b Las rectas ( IJ ) y ( EC ) no son coplanarias. c Las rectas ( IJ ) y ( EC ) son secantes. d Las rectas ( IJ ) y ( EC ) son coincidentes. E.4913 Considera la pirámide ABCDE de base rectangular ABCD que se muestra a continuación : Sean I y J los respectivos puntos medios de los segmentos [ EB ] y [ EC ] , y O el centro del rectángulo ABCD . 1 a Justifica que las rectas ( IJ ) y ( BC ) son paralelas. b Justifica que las rectas ( IJ ) y ( AD ) son paralelas. 2 Justifica que la recta ( AD ) es paralela al plano ( OIJ ) . E.4948 Sean ( P ) y ( P ) dos planos secantes. Sean I , J dos puntos del plano ( P ) y K un punto del plano ( P ) . Traza la recta de intersección de los planos ( P ) y ( IJK ) . Justifica tu planteamiento. E.4942 Considera el cubo de abajo donde están los puntos I , J , K y L son los respectivos puntos medios de los seg-mentos [ AB ] , [ AD ] , [ HG ] y [ GF ] . 1 Justifica que las rectas ( IJ ) y ( BD ) son parale-las. 2 a Justifica que los puntos H , D , B y F son coplanarios. b Justifica que las rectas ( HF ) y ( DB ) son paralelas. c Demuestra que los puntos I , J , K , L son coplanarios. 3 ¾Cuál es la naturaleza del cuadrilátero IJKL ? https://chingmath.fr chapExoCorrec/6818 sacados/6818 Extrait d'Antilles-Guyanne Juin 2013 ABCDEFGHIJ chapExoCorrec/4913 sacados/4913 OIJABCDE chapExoCorrec/4948 sacados/4948 IJKPP chapExoCorrec/4942 sacados/4942 ABCDEFGHIJKL
ABCDEFGHIJKL ABCDIJE (d1(d2P1P2 E.580 En el espacio, consideramos el par-alelepípedo ABCDEFGH . Denotamos por I y J los puntos medios respectivos de las aristas [ EF ] y [ FG ] . Denotemos por K la intersección de las rectas ( AE ) y ( BI ) ; Denotemos por L el punto de intersección de las rectas ( BJ ) y ( CG ) . 1 Justifica que los puntos I , J , K y L pertenecen a un mismo plano. 2 Demuestra que las rectas ( IJ ) y ( KL ) son paralelas. E.583 En el espacio, se considera la pirámide ABCDE de base cuadrada ; se denotan por I y J los medios respectivos de las aristas [ EB ] y [ EC ] : 1 a Demostrar que los puntos A , D , I y J son coplanares. b Demostrar, sin utilizar ningún argumento gráfico, que las rectas ( AI ) y ( DJ ) son secantes. c Denotemos por M el punto de intersección de las rec-tas ( AI ) y ( DJ ) . Situar el punto M en el gráfico. 2 a Demostrar que el punto M pertenece a los planos ( AEB ) y ( DEC ) . b De ello se deduce que la recta ( EM ) es la recta de intersección de los planos ( AEB ) y ( DEC ) . 3 De ello se deduce que ( EM ) es paralela a la base ABCD de la pirámide. E.5503 En el espacio, considera dos planos ( P 1 ) y ( P 2 ) que contienen respectivamente las rectas ( d 1 ) y ( d 2 ) paralelas entre sí. Si los planos ( P 1 ) y ( P 2 ) son secantes entre sí entonces las rectas ( d 1 ) y ( d 2 ) son paralelas a la recta de intersección de estos dos planos. https://chingmath.fr chapExoCorrec/580 sacados/580 ABCDEFGHIJKL chapExoCorrec/583 sacados/583 ABCDIJE chapExoCorrec/5503 sacados/5503 (d1(d2P1P2