ESO 2 / Cosinus 28 ejercicios (100% corregidos)

a
ABC35o52o 54o38oABCMN(AB==(MN ABCDI ABChypothénusecôtéadjacentà¸côtéopposéุABChypothénusecôtéopposéà˛côtéadjacentà˛˛ ABCDEF ChingQuizz : 6 ejercicios disponibles para la evaluación de QCM : 1. Un recordatorio de los ángulos E.6436 Determina la medida del ángulo BCA : E.6437 Considera un triángulo ABC tal que : BAC = 54 o ; ACB = 38 o Los puntos M y N pertenecen a los segmentos [ AC ] y [ BC ] respectivamente y son tales que ( AB ) == ( MN ) . Determina la medida del ángulo MNC . E.9015 Consideremos el rectángulo ABCD tal que DAC =65 o . El punto I de la diagonal [ AC ] se coloca de tal forma que el triángulo ABI es rectángulo en I : 1 Determina la medida del ángulo DCA . 2 Determina las medidas de todos los ángulos de los trián-gulos ADC , AIB y BIC . 2. Introducción E.9017 Definición : en un triángulo rectángulo : el lado opuesto al ángulo recto se denomina hipotenusa en relación con un ángulo formado por la hipotenusa, el otro lado del ángulo se denomina lado adyacente al ángulo y el otro lado se denomina lado opuesto al ángulo . Consideremos los dos triángulos rectángulos ABC y DEF , rectángulos respectivamente en B y en F , representados a continuación : 1 a Nombra la hipotenusa del triángulo ABC . b Indique el lado adyacente al ángulo BAC . 2 Indique el lado opuesto al ángulo FDE https://chingmath.fr chapExoCorrec/6436 sacados/6436 ABC35o52o chapExoCorrec/6437 sacados/6437 54o38oABCMN(AB==(MN chapExoCorrec/9015 sacados/9015 ABCDI chapExoCorrec/9017 sacados/9017 ABChypothénusecôtéadjacentà¸côtéopposéุABChypothénusecôtéopposéà˛côtéadjacentà˛˛ ABCDEF
A1B1C125oA2B2C225oA3B3C325oA4B4C425o ABChypothénusecos¸ACAB¸ABChypothénusecos˛BCAB˛ ABCH E.4917 Consideramos que los cuatro trián-gulos que se muestran a continuación son rectángulos y tienen un ángulo de 25 o . 1 Tomando las medidas de la figura anterior, completa la tabla siguiente, redondeando las longitudes al milímetro más próximo: Triángulo 1 2 3 4 Hypoténuse Côté adyacente al ángulo de 25 o 2 À Utilizando la calculadora, da los valores de los co-cientes solicitados redondeados a la centésima más próx-ima: Triángulo 1 2 3 4 Longueur du côté adjacent à l’angle de 25 o Longueur de l’hypoténuse E.9029 Definición-propuesta : En un triángulo rectángulo, para un ángulo agudo ¸ de este triángulo, se define el coseno del ángulo α por el valor del cociente : Longueur du côté adjacent à l’angle ¸ Longueur de l’hypohténuse El valor de este cociente no depende de las dimensiones del triángulo rectángulo, sino únicamente de la medida ¸ del ángulo : se denota cos( α ) . Ejemplo 1: Consideremos el triángulo ABC representado a continuación, donde el punto H es el pie de la altura que sale del punto C . 1 En el triángulo ABC , da una expresión de las relaciones trigonométricas en función de las longitudes de los seg-mentos : a cos BAC b cos ABC 2 a En el triángulo ACH , da una expresión de cos CAH . b En el triángulo BCH , da una expresión de cos CBH . https://chingmath.fr chapExoCorrec/4917 sacados/4917 A1B1C125oA2B2C225oA3B3C325oA4B4C425o chapExoCorrec/9029 sacados/9029 ABChypothénusecos¸ACAB¸ABChypothénusecos˛BCAB˛ ABCH
ABC4;9cm6;7cmDEF14km43km43o71o4;96;70;73114430;326 6km3,2km6,8kmABC28o8mm3,9mm8,9mmDEF26o qdna ABCMN C110oC2C3C4AB ABC5cm25oGIH3cm35o E.6439 Ejemplo : (los ángulos se han redondeado al grado más cer-cano) Consideremos los dos triángulos ABC y DEF siguientes : Da los siguientes valores redondeados al centésimo : a cos 28 b cos 64 Indicación : los valores de los cosenos para todos los ángulos que van de 1 o a 89 o son conocidos y están disponibles en una tabla o mediante la calculadora: E.3579 Consideremos el triángulo AMN rectángulo M ; los puntos B y C pertenecen a los segmentos [ BC ] y [ MN ] respectivamente ; la recta ( BC ) es perpendicu-lar a la recta ( AM ) : 1 Utilizando una regla graduada, da un valor aproximado de las medidas de los lados de los dos triángulos ABC y AMN . 2 Utilizando la calculadora, compara los valores aproxima-dos de los dos cocientes siguientes : BC AC ; MN AM 3 a Justifica que las rectas ( BC ) y ( MN ) son paralelas. b Justifica la igualdad de los dos cocientes siguientes : BC MN = AC AN c Deduce la siguiente igualdad : BC AC = MN AN d Compara esta igualdad con tus resultados de la pre-gunta 1 . ¾Ha habido un error en tus cálculos? De dónde ha podido venir este error? 4 Utilizando medidas y valores aproximados, compara los pares de cocientes siguientes : a AB AC ; AM AN b BC AC ; MN AM E.1154 Sea ABC 4 un triángulo rectángulo en B . El ángulo C 4 AB mide 40 o y se divide en cuatro ángu-los iguales mediante los puntos C 1 , C 2 , C 3 pertenecientes al segmento BC 4 1 Con ayuda de la regla graduada, se darán las medidas de las longitudes redondeadas al milímetro más cercano. Los cocientes de la última columna se redondearán al centésimo más cercano : i BAC i AC i AB AC i 1 2 3 4 2 Complete la siguiente tabla utilizando la tecla cos de su calculadora. Se darán los valores redondeados al milésimo: ¸ 10 o 20 o 30 o 40 o cos( ¸ ) 3. Utilizar el coseno: encontrar el lado adyacente E.4919 Consideremos los cuatro triángulos representados a continuación : https://chingmath.fr chapExoCorrec/6439 sacados/6439 ABC4;9cm6;7cmDEF14km43km43o71o4;96;70;73114430;326 6km3,2km6,8kmABC28o8mm3,9mm8,9mmDEF26o qdna chapExoCorrec/3579 sacados/3579 ABCMN chapExoCorrec/1154 sacados/1154 C110oC2C3C4AB chapExoCorrec/4919 sacados/4919 ABC5cm25oGIH3cm35o
EDF3;5cm75oJLK6;5cm20o ABC6cm33oGIH3cm65o JLK4;5cm40oEDF1;5cm48o 10o ABC4;5cm20oJKL1;5cm75o Determine la medida de las longitudes de los siguientes seg-mentos. Redondee los resultados al milímetro más cercano : a [ AC ] b [ GH ] Indicaciones : A continuación se muestra una parte de la tabla trigonométrica del coseno. ¸ o cos ¸ o ¸ o cos ¸ o ¸ o cos ¸ ¸ o cos ¸ o ¸ o cos ¸ o 0 o 1 20 o 0 ; 94 40 o 0 ; 766 60 o 0 ; 5 80 o 0 ; 174 5 o 0 ; 996 25 o 0 ; 906 45 o 0 ; 707 65 o 0 ; 423 85 o 0 ; 087 10 o 0 ; 985 30 o 0 ; 866 50 o 0 ; 643 70 o 0 ; 342 90 o 0 15 o 0 ; 966 35 o 0 ; 819 55 o 0 ; 574 75 o 0 ; 259 E.9025 Consideremos los cuatro triángulos representados a continuación : Determine la medida de las longitudes de los siguientes seg-mentos. Redondee los resultados al milímetro más cercano : a [ EF ] b [ KJ ] Indicaciones : A continuación se muestra una parte de la tabla trigonométrica del coseno. ¸ o cos ¸ o ¸ o cos ¸ o ¸ o cos ¸ ¸ o cos ¸ o ¸ o cos ¸ o 0 o 1 20 o 0 ; 94 40 o 0 ; 766 60 o 0 ; 5 80 o 0 ; 174 5 o 0 ; 996 25 o 0 ; 906 45 o 0 ; 707 65 o 0 ; 423 85 o 0 ; 087 10 o 0 ; 985 30 o 0 ; 866 50 o 0 ; 643 70 o 0 ; 342 90 o 0 15 o 0 ; 966 35 o 0 ; 819 55 o 0 ; 574 75 o 0 ; 259 E.6440 Considera los cuatro triángulos que se muestran a continuación : Determina las medidas de las longitudes de los siguientes seg-mentos redondeadas al milímetro más próximo: a [ AB ] b [ GI ] 4. Utilizar el coseno para hallar la hipotenusa E.9027 Considera los cuatro triángulos que se muestran a continuación : Determina las medidas de las longitudes de los siguientes seg-mentos redondeadas al milímetro más próximo: a [ EF ] b [ KJ ] E.9020 En un parque de escalada de árboles, la dirección quiere instalar una nueva tirolina. El cable se in-stalará a una altura de 8 m de altura y la pendiente del cable debe ser 10 o . Determina la longitud de cable, redondeada al metro más próximo, necesaria para hacer esta tirolina. 5. Utilización del coseno E.4918 Consideremos los cuatro triángulos representados a continuación : Determine la medida de las longitudes de los siguientes seg- mentos redondeadas al milímetro más cercano : a [ AB ] b [ JL ] https://chingmath.fr chapExoCorrec/9025 sacados/9025 EDF3;5cm75oJLK6;5cm20o chapExoCorrec/6440 sacados/6440 ABC6cm33oGIH3cm65o chapExoCorrec/9027 sacados/9027 JLK4;5cm40oEDF1;5cm48o chapExoCorrec/9020 sacados/9020 10o chapExoCorrec/4918 sacados/4918 ABC4;5cm20oJKL1;5cm75o
GHI5cm25oDEF3;5cm35o 4cm6cm40o20oABCMNP ABCDEFGHI Indicaciones : A continuación se muestra una parte de la tabla trigonométrica del coseno. ¸ o cos ¸ o ¸ o cos ¸ o ¸ o cos ¸ ¸ o cos ¸ o ¸ o cos ¸ o 0 o 1 20 o 0 ; 94 40 o 0 ; 766 60 o 0 ; 5 80 o 0 ; 174 5 o 0 ; 996 25 o 0 ; 906 45 o 0 ; 707 65 o 0 ; 423 85 o 0 ; 087 10 o 0 ; 985 30 o 0 ; 866 50 o 0 ; 643 70 o 0 ; 342 90 o 0 15 o 0 ; 966 35 o 0 ; 819 55 o 0 ; 574 75 o 0 ; 259 E.9026 Consideremos los cuatro triángulos representados a continuación : Determine las medidas de las longitudes de los siguientes seg-mentos redondeadas al milímetro más cercano : a [ ED ] c [ GI ] Indicación : A continuación se muestra una parte de la tabla trigonométrica del coseno. ¸ o cos ¸ o ¸ o cos ¸ o ¸ o cos ¸ ¸ o cos ¸ o ¸ o cos ¸ o 0 o 1 20 o 0 ; 94 40 o 0 ; 766 60 o 0 ; 5 80 o 0 ; 174 5 o 0 ; 996 25 o 0 ; 906 45 o 0 ; 707 65 o 0 ; 423 85 o 0 ; 087 10 o 0 ; 985 30 o 0 ; 866 50 o 0 ; 643 70 o 0 ; 342 90 o 0 15 o 0 ; 966 35 o 0 ; 819 55 o 0 ; 574 75 o 0 ; 259 E.1156 Considera los dos triángulos ABC y MNP que se muestran a continuación : Determina las longitudes de los siguientes segmentos re-dondeadas al milímetro más próximo: a [ AC ] b [ MN ] 6. Utilización del coseno recíproco E.2114 Observación : cuando se observa la tabla trigonométrica del coseno, se ve que los valores del coseno disminuyen de 1 a 0 : nunca toma dos veces el mismo valor. Propuesta de definición : En un triángulo rectángulo, el valor: r = longueur du côté adjacent longueur de l’hypoténuse de un ángulo agudo está asociado de forma única a la me-dida ¸ de dicho ángulo. Denotamos por cos − 1 ( r ) la medida de dicho ángulo. Consideremos los tres triángulos rectángulos siguientes : 1 a Realice, en la figura anterior, las medidas siguientes y anótelas en la tabla : https://chingmath.fr chapExoCorrec/9026 sacados/9026 GHI5cm25oDEF3;5cm35o chapExoCorrec/1156 sacados/1156 4cm6cm40o20oABCMNP chapExoCorrec/2114 sacados/2114 ABCDEFGHI
ABC3.5cm4.5cmGIH3cm4.5cm EDF2.5cm3.5cmJLK3cm5.7cm ABCDE5cm4;5cm2cm AB AC BC DE DF EF GH GI HI b Da el valor de los cocientes siguientes redondeados al centésimo : AC AB BC AB DF DE EF DE HI HG GI HG profundidad1pt Indicación : recordemos el extracto de la tabla trigonométrica siguiente : anchura46,8pt altura0,4pt anchura46,8pt altura0,4pt anchura46,8pt altura0,4pt anchura46,8pt altura0,4pt anchura46,8pt altura0,4pt α cos ¸ α cos ¸ α cos ¸ α cos ¸ α cos ¸ anchura46,8pt altura0,4pt anchura46,8pt altura0,4pt anchura46,8pt altura0,4pt anchura46,8pt altura0,4pt anchura46,8pt altura0,4pt 0 1 ; 000 2 0 ; 999 4 0 ; 998 6 0 ; 995 8 0 ; 990 10 0 ; 985 12 0 ; 978 14 0 ; 970 16 0 ; 961 18 0 ; 951 20 0 ; 940 22 0 ; 927 24 0 ; 914 26 0 ; 899 28 0 ; 883 30 0 ; 866 32 0 ; 848 34 0 ; 829 36 0 ; 809 38 0 ; 788 40 0 ; 766 42 0 ; 743 44 0 ; 719 46 0 ; 695 48 0 ; 669 50 0 ; 643 52 0 ; 616 54 0 ; 588 56 0 ; 559 58 0 ; 530 60 0 ; 500 62 0 ; 469 64 0 ; 438 66 0 ; 407 68 0 ; 375 70 0 ; 342 72 0 ; 309 74 0 ; 276 76 0 ; 242 78 0 ; 208 80 0 ; 174 82 0 ; 139 84 0 ; 105 86 0 ; 070 88 0 ; 035 anchura46,8pt altura0,4pt anchura46,8pt altura0,4pt anchura46,8pt altura0,4pt anchura46,8pt altura0,4pt anchura46,8pt altura0,4pt 3 Utilizando la tabla trigonométrica, da un valor aproxi-mado de cada uno de los siguientes ángulos : BAC ABC FDE FED GHI HGI E.4931 A continuación se muestra un extracto de la tabla trigonométrica del coseno con un paso de 2 o : α cos ¸ α cos ¸ α cos ¸ α cos ¸ α cos ¸ 0 1 ; 000 2 0 ; 999 4 0 ; 998 6 0 ; 995 8 0 ; 990 10 0 ; 985 12 0 ; 978 14 0 ; 970 16 0 ; 961 18 0 ; 951 20 0 ; 940 22 0 ; 927 24 0 ; 914 26 0 ; 899 28 0 ; 883 30 0 ; 866 32 0 ; 848 34 0 ; 829 36 0 ; 809 38 0 ; 788 40 0 ; 766 42 0 ; 743 44 0 ; 719 46 0 ; 695 48 0 ; 669 50 0 ; 643 52 0 ; 616 54 0 ; 588 56 0 ; 559 58 0 ; 530 60 0 ; 500 62 0 ; 469 64 0 ; 438 66 0 ; 407 68 0 ; 375 70 0 ; 342 72 0 ; 309 74 0 ; 276 76 0 ; 242 78 0 ; 208 80 0 ; 174 82 0 ; 139 84 0 ; 105 86 0 ; 070 88 0 ; 035 La siguiente figura representa cuatro triángulos ; en ella se indican las medidas : Indique el rango de cada ángulo con una precisión de dos grados : a BAC c HGI E.9028 La siguiente figura representa cuatro triángulos ; en ella se indican las medidas : Determine la medida de los siguientes ángulos redondeada al décimo de grado : a DEF b LJK 7. Utilización del coseno y del coseno inverso E.9019 Consideremos la siguiente figura, en la que : los puntos A , B , D y los puntos A , C , E están alineados ; los triángulos ABC y AED son rectángulos en B y E , respectivamente. 1 Determinar la medida del ángulo BAC , con una precisión de décimas de grado. https://chingmath.fr chapExoCorrec/4931 sacados/4931 ABC3.5cm4.5cmGIH3cm4.5cm chapExoCorrec/9028 sacados/9028 EDF2.5cm3.5cmJLK3cm5.7cm chapExoCorrec/9019 sacados/9019 ABCDE5cm4;5cm2cm
ABC7cm4cm 3;5cm2;5cm4cmABCDO HCS15o ABC13km5km 2 Utilizar la pregunta anterior para determinar la medida del segmento [ CE ] redondeada al milímetro más cercano. E.4932 Consideremos un triángulo rectán-gulo ABC en C tal que : AC = 4 cm ; AB = 7 cm 1 Determinar la medida del ángulo CAB redondeada a una décima de grado. En el resto del ejercicio, utilizaremos el valor redondeado del ángulo CAB obtenido en la pregunta anterior: 2 En esta pregunta, no utilizaremos el teorema de Pitágo-ras : a Determinar la medida del ángulo CBA redondeada al décimo de grado. b Deducir la longitud del lado [ BC ] redondeada al milímetro. E.4935 Consideremos la figura siguiente : Las rectas ( AC ) y ( BD ) se interceptan en el punto O . 1 a Déterminer la medida del ángulo BAO redondeada a la décima de grado más próxima. b Determina la medida del ángulo COD . 2 Determina el perímetro del triángulo ODC redondeado al milímetro más próximo. E.1157 Un explorador llega ante la pirámide de Keops. Coloca sus instrumentos de medición (el teodolito) en el punto H . Al estudiar la pirámide, observa que es una pirámide regular: la base C de la al-tura que parte del vértice S es también el centro de la base. También calcula la distancia HC a 550 m . Desde el punto H hasta la cima S , sus instrumen-tos de medición revelan un ángulo de 15 o . Determinar la medida de la altura SC de la pirámide de Keops redondeada al metro más cercano. 8. Coseno, teorema de Pitágoras y teorema de Tales E.9018 Considera el triángulo ABC rectán-gulo C que se muestra a continuación : 1 Determina la medida del segmento [ AC ] . 2 Deduce la medida, con aproximación de un grado, del ángulo CAB . https://chingmath.fr chapExoCorrec/4932 sacados/4932 ABC7cm4cm chapExoCorrec/4935 sacados/4935 3;5cm2;5cm4cmABCDO chapExoCorrec/1157 sacados/1157 HCS15o chapExoCorrec/9018 sacados/9018 ABC13km5km
CCOPABQ6cm altitude d’arrivéealtitude départdéniveléangledepenteABCFigure 1 SommetdénivelésecondeétapedénivelépremièreétapeDépartDEFGH3800m4100m3790m12oFigure 2 OABMN E.5988 A continuación se repre-senta el triángulo rectán-gulo BPQ en B , tal que : PB =6 cm ; PQ =8 cm El círculo C es el cír-culo circunscrito al trián-gulo BPQ . Se construye el círculo C con centro P y que pasa por el punto B . Se de-nota A el punto de inter-sección del círculo C y el segmento [ PQ ] . El objetivo del ejercicio es determinar un valor aproximado del área de la parte sombreada. 1 Determinar el área del disco C redondeada a la décima de cm 2 . Indicación : se utilizará: ı ≈ 3 ; 1416 2 a Determinar la medida, redondeada a décimas de grado, del ángulo APB . b Deduzca el área, redondeada a décimas de cm 2 , del sector angular del círculo C definido por el arco AB . 3 Deduzca una medida, redondeada a la décima de cm 2 , de la parte sombreada. E.9016 Para correr por la montaña, algunos deportistas miden su rendimiento mediante la velocidad de ascenso , , indicada con V a . V a es el cociente entre el desnivel de la carrera, expresado en metros, y la duración, expresada en horas. Ejemplo : para un desnivel de 4 500 m y una duración del recorrido de 3 h : V a = 1 500 m = h Recordatorio : el desnivel de la carrera es la diferencia entre la altitud de llegada y la altitud de salida. Un corredor de alto nivel desea alcanzar una velocidad ascen-dente de al menos 1 400 m = h en su próxima carrera La figura siguiente no está representada a escala real. El recorrido se divide en dos etapas (véase la figura 2) : Primera etapa de 3 800 m para un desplazamiento hori-zontal de 3 790 m . Segunda etapa de 4 ; 1 km con un ángulo de pendiente de aproximadamente 12 o . 1 Compruebe que el desnivel de la primera etapa es de aproximadamente 275 ; 5 m . 2 ¾Cuál es el desnivel de la segunda etapa? (Se redondeará al decímetro más cercano) 3 Desde la salida, el corredor tarda 48 minutos en llegar a la cima. ¾Alcanza el corredor su objetivo? 9. Ejercicios no clasificados E.1155 Sea OAB un triángulo rectángulo en A . Consideremos los puntos M y N , que pertenecen respec-tivamente a los segmentos [ OA ] y [ OB ] , de tal manera que el triángulo OMN sea rectángulo en M . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5988 sacados/5988 CCOPABQ6cm chapExoCorrec/9016 sacados/9016 altitude d’arrivéealtitude départdéniveléangledepenteABCFigure 1 SommetdénivelésecondeétapedénivelépremièreétapeDépartDEFGH3800m4100m3790m12oFigure 2 chapExoCorrec/1155 sacados/1155 OABMN
1 Justifica la siguiente igualdad : ON × OA = OB × OM . 2 a Con ayuda de tu transportador, indica la medida del ángulo AOB . b Realiza las mediciones, con una precisión de un milímetro, en la figura para completar la tabla sigu-iente : Segmento [ OA ] [ OM ] [ OB ] [ ON ] Longitud c Indica el valor de los cocientes, redondeados a la milésima: OM ON ; OA OB 3 a ¾Qué conjetura se puede formular sobre los cocientes OM ON y OA OB ? b Justifica, con ayuda de la pregunta 1 , , la igualdad entre los dos cocientes OM ON y OA OB . https://chingmath.fr