ESO 2 / Olimpiada 45 ejercicios (incluyendo 41 corregidos)

a
123456789101112 3cm1cm1cm1cm1cm2cm2cm1cm 3773×7×71471×4×7282×8161×66 1. Lógica E.8803 El friso Se hace un friso copiando a la derecha el patrón formado por las doce columnas que se muestran a continuación : Cada columna del friso está codificada por tres símbolos, 000 si las tres casillas (de la columna) son blancas, 001 si las dos casillas superiores son blancas y la tercera noire. . . y final-mente 111 si las tres casillas son negras. 1 ¾Cómo se codifica la columna 10 del friso? La misma pregunta para la columna 14 . 2 En el patrón anterior, ¾dar el(los) colonne (s) codificado 100 ? 3 Nos dan un número entero n . Cómo se codifica la columna 12 n +5 ? 4 ¾Cómo está codificada la columna 2 017 ? E.8849 A Pierre le apasionan los números. En su coche tiene un reloj digital de cuatro cifras que da la hora desde 00:00 hasta 23:59 . Cuando Pierre está a punto de emprender un largo viaje, mira su reloj y se da cuenta de que los dos números que aparecen, los minutos y las horas, son cuadrados de números enteros (que, en un reloj digital, se escriben de la forma: 00, 01, 04, 09, 25,. . . ) Al regresar de su viaje, Pierre se da cuenta de que su reloj vuelve a mostrar cuadrados de dos números enteros. Su orde-nador de a bordo le dice que ha viajado 352 km en 4 horas y 20 minutos. ¾Cuándo podría volver Pierre de su viaje? E.8709 digo secreto Los participantes en un juego intentan salir de una habitación equipada con un digo digital y, para ello, deben descubrir el digo que deben marcar. Disponen de las dos pistas siguientes : Primera pista El digo es una combinación ordenada de cuatro dígitos difer-entes que pueden formar un número. Este número debe ser estrictamente inferior a 2 018 . Por ejemplo, 0 6 2 7 es un digo que corresponde al número 627 . ¾Cuántos digos diferentes se pueden componer? Segunda pista Entre todos los digos posibles obtenidos con la primera pista, hay uno tal que : el número formado por las cifras de los miles y las cente-nas es el doble del número formado por las cifras de las decenas y las unidades ; por ejemplo, para 1809 , 18 es el doble de 09 ; la suma de los cuatro dígitos del digo es par y no di-visible por 9 . ¾Cuál es este número? El digo que hay que marcar para salir de la habitación cor-responde al número obtenido como diferencia entre las dos respuestas obtenidas anteriormente (primera y segunda pis-tas) . ¾Cuál es este digo? E.8787 Christophe recortó cuarenta for-mas idénticas a la que se muestra a continuación (figura 1 ) . Comenzó a ensamblarlas en un friso regular (figura 2) . Cuando haya terminado de colocar la cuadragésima forma, ¾cuál será el perímetro del friso así creado? Figura 1. Figura 2. 2. Aritmética E.8702 La persistencia de un número En este ejercicio, consideramos números enteros mayores o iguales a 10 , escritos en el sistema decimal. Cuando multiplicamos los dígitos que componen la escritura de un número entero, obtenemos un nuevo número. Repeti- mos este cálculo con el nuevo número y así sucesivamente. Por ejemplo, para el número 377 : El proceso se detiene cuando se obtiene un número que se escribe con un solo dígito. Se necesitaron 4 pasos en total: se https://chingmath.fr chapExoCorrec/8803 sacados/8803 123456789101112 chapExoCorrec/8849 sacados/8849 chapExoCorrec/8709 sacados/8709 chapExoCorrec/8787 sacados/8787 3cm1cm1cm1cm1cm2cm2cm1cm chapExoCorrec/8702 sacados/8702 3773×7×71471×4×7282×8161×66
a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12C dice que la persistencia de 377 es 4 . 1 ¾Cuál es la persistencia de cada uno de los números? a 77 b 28 534 c 6 785 791 2 La persistencia de cada uno de los números 2 019 , 4 806 y 13 970 875 es igual a 1 . ¾Qué resultado general parecen ilustrar estos resultados? Justifica tu respuesta. 3 ¾Existe algún dígito que se pueda insertar en la escritura de un número sin cambiar su persistencia? 4 Encuentre un número escrito con 20 dígitos cuya persis-tencia sea 4 . 5 ¾Cuáles son las posibles persistencias de un número cuya escritura contiene un dígito par y un 5? E.8704 El digo EAN-13 (European Ar-ticle Numbering) es un digo de barras utilizado por el com-ercio y la industria que permite identificar objetos de forma única y ser leído por un escáner. Este digo de barras se compone de 13 dígitos (enteros comprendidos entre 0 y 9 ) , , siendo el último una clave de control calculada a partir de los 12 dígitos anteriores. Un digo de barras se simboliza mediante la siguiente tabla : . . . donde se han introducido los trece dígitos que componen el digo de barras. El dígito C es la clave de verificación. Para determinarla, se calcula: S = a 1 + a 3 + a 5 + a 7 + a 9 + a 11 +3 × a 2 + a 4 + a 6 + a 8 + a 10 + a 12 . C es entonces el dígito tal que S + C es un múltiplo de 10 . 1 ¾Es válido el digo 4971850187820 ? 2 Determinar C para que el digo 978204732850 C sea válido. 3 Se ha sustituido un número por x en el digo 32525 x 7041767 . ¾Qué valor debe tener x para que este digo sea válido? 4 El digo 3742278085985 no es válido. ¾Cuáles pueden ser los valores de los dos primeros dígitos de la izquierda en otros digos válidos que contengan los 11 mismos dígitos a la derecha? E.8829 Partida de dardos Se juega a los dardos en una diana que tiene tres zonas : una de 5 puntos, otra de 7 puntos y otra de 11 puntos. Nos intere-san las diferentes puntuaciones posibles, ya que el número de dardos no está limitado. Por ejemplo, 30 es una puntuación posible, ya que : 30 = 11 + 7 + 7 + 5 ou 30 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 . 1 Comprueba que 26 , 43 y 220 012 son puntuaciones posi-bles. 2 Se dice que dos juegos son idénticos si, en cada uno de ellos, cada zona de la diana tiene el mismo número de dardos. Por ejemplo, los juegos correspondientes a las puntuaciones : 7+5+5+11 y 5 + 7 + 11 + 5 son idénticos. a Encuentre cuatro juegos diferentes que den la pun-tuación 40 . b Demuestre que hay dos juegos diferentes y solo dos que corresponden a la puntuación 34 . 3 Encuentre todas las puntuaciones que se pueden obtener con un lanzamiento de tres dardos que hayan alcanzado todos la diana. Presentar los resultados de forma organi-zada. 4 a Demostrar que 14 y los cuatro números enteros sigu-ientes son puntuaciones posibles. b Determinar la lista de números enteros positivos distin-tos de cero que no corresponden a ninguna puntuación. E.8841 Un programa de cálculo Este es un programa de cálculo: Sea N un número natural escrito en el sistema decimal: Paso n o 1: Localizar la cifra X de las unidades de N . Paso n o 2: Calcular N X . Sea M el número obtenido. Paso n o 3: Dividir M entre 10 . Sea D el número obtenido. Paso n o 4: Calcular D +2 X . Sea R el número obtenido. Paso n o 5: Si R es diferente de N , pasar al paso n o 6. Si no, detener y mostrar R . Paso n o 6: Si R se escribe con un solo dígito, detener y mostrar R . Si no es así, asigne a N el valor R y reanude el programa de cálculo en el paso n o 1. 1 ¾Qué resultado se muestra cuando se introduce N =15 en el programa de cálculo? 2 ¾Qué ocurre cuando se introduce N =2015 en el pro-grama de cálculo? 3 ¾Qué números pueden aparecer en la pantalla final? https://chingmath.fr chapExoCorrec/8704 sacados/8704 a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12C chapExoCorrec/8829 sacados/8829 chapExoCorrec/8841 sacados/8841
7777722222Exemple de pyramide de Pascale avecm7etn2On n’a représenté ici que les cinq premières lignes 346 E.8844 Números en cadena 1 2 9 10 25 4 3 8 11 24 5 6 7 12 23 16 15 14 13 22 17 18 19 20 21 Los números enteros consec-utivos 1 , 2 , 3 , 4 , etc.. . . están dispuestos en las casillas de una tabla según el esquema adjunto. El número 8 se en-cuentra en la intersección de la segunda fila y la tercera columna. El número 13 se encuentra en la intersección de la cuarta fila y la cuarta columna. ¾Qué número se encuentra en la intersección de la vigésima quinta fila y la vigésima quinta columna? E.8845 Unos con nueves 1 Calcular las sumas : a = 99 + 999 ; b = 99 + 999 + 9999 2 Consideramos el número N definido como la suma : N = 99 + 999 + 9 999 + · · · + 9999 : : : 999 El primer término de esta suma se escribe con dos cifras 9 ; se suman los números que se escriben con tres y luego con cuatro cifras 9 , etc.. . . El último término de la suma se escribe con cien cifras 9 . Se realiza la suma y se escribe N en escritura decimal ordinaria. ¾Cuántas veces aparece el número 1 en esta escritura? E.8846 Nos interesan las diversas formas de escribir un número natural como suma de otros números naturales (para evitar repeticiones, se escriben en orden as-cendente) . Por ejemplo : 5 = 1+1+1+1+1 5 = 1 + 1 + 1 + 2 5 = 1 + 1 + 3 5 = 1 + 2 + 2 5 = 1 + 4 5 = 2 + 3 son las seis descomposiciones posibles del número 5 . A cada una de las sumas así escritas se le asocia el producto de sus términos. Los resultados obtenidos para 5 son 1 , 2 , 3 , 4 y 6 . 1 ¾Cuáles son las descomposiciones posibles del número 7 ? ¾Cuáles son los productos correspondientes? ¾Cuál es el mayor? 2 Ahora nos interesan las descomposiciones del número 28 , que no intentaremos escribir, y los productos correspon-dientes. a Consideramos una descomposición cualquiera del número 28 en la que aparece el número 1 . Llamamos P al producto asociado. Encontrar una descomposición cuyo producto asociado sea superior a P . b Consideramos cualquier descomposición del número 28 en la que aparezca el número 5 . Llamamos R al pro-ducto asociado. Encuentre una descomposición cuyo producto asociado sea mayor que R . c ¾Qué descomposición de 28 da el producto asociado más grande? E.8847 Se denomina pirámide de Pascal a una pila de casillas completadas de la siguiente manera : se eligen dos números enteros positivos m y n ; el primer número de cada fila es igual a m (en el ejemplo siguiente m =7 ; el último número de cada fila es igual a n (en el ejemplo siguiente n =2 ) ; un número escrito en una casilla es igual a la suma de los números escritos en las dos casillas situadas justo encima. 1 a Reproduce y completa el ejemplo de la pirámide de Pascal anterior. b Para cada fila, calcula la suma de los números que aparecen en ella. ¾Qué observas? 2 Si consideramos la pirámide de Pascal asociada a los números enteros m =1 y n =1 , ¾en qué fila la suma de los números será igual a 1024 ? 3 Demuestra que, para cualquier número entero m y n , la suma de los números de la cuarta línea es igual al doble de la suma de los números de la tercera línea. 4 Completa la pirámide de Pascal que aparece a contin-uación : 3. Acerca de los cocientes E.8708 Expansión decimal Al realizar la división de 28 entre 27 , encontramos : 1 ; 037 037 037 037 : : : La división planteada produce una escritura decimal periódica ilimitada del cociente 28 27 . El período de esta escritura consta de tres cifras repetidas (aquí 037) . El 5 e decimal es 3 . 1 ¾Cuál es el 52 e decimal de 28 27 ? https://chingmath.fr chapExoCorrec/8844 sacados/8844 chapExoCorrec/8845 sacados/8845 chapExoCorrec/8846 sacados/8846 chapExoCorrec/8847 sacados/8847 7777722222Exemple de pyramide de Pascale avecm7etn2On n’a représenté ici que les cinq premières lignes 346 chapExoCorrec/8708 sacados/8708
53157428961811666138521041510...17...5168 345121314282930 2 Cuando dividimos 19 entre 13 , encontramos : 1 ; 461 538 461 538 461 538 : : : ¾De cuántos dígitos está formado el período? ¾Cuál es el 100 e decimal de 19 13 ? 3 Cuando dividimos 9 533 entre 270 , encontramos : 35 ; 307 407 407 40 : : : ¾De cuántos dígitos está formado el período? ¾Cuál es el 1 000 e decimal de 9 533 270 ? 4 La escritura decimal de 1 97 muestra un período de 96 dígitos que comienza con 0309... ¾Cuál es el 96 e dígito de este período? E.8756 Los egipcios solo utilizaban frac-ciones con numerador 1 , a excepción de la fracción 2 3 . Para hallar el doble de sus fracciones con numerador 1 , se disponía de tablas cuyo uso se describe a continuación : Por ejemplo, leyendo la primera línea, tenemos : El doble de 1 5 es 1 3 + 1 15 1 Interpreta la tercera línea de la tabla. 2 Falta un número en la línea del 15 y otro en la línea del 17 . Encuentre estos dos números. 3 ¾Por qué solo hay números impares en la primera columna? E.8850 ¾Y al final, qué queda? Se escribe la lista de los cien números : 1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 , . . . , 1 98 , 1 99 , 1 100 a la que aplicamos el siguiente procedimiento : elegimos los números a y b de la lista y los sustituimos por el único a + b + ab , y luego continuamos de la misma manera. En cada paso, el número pierde una unidad. Al final, ya no se puede continuar, solo queda un número. 1 Si procedemos sistemáticamente y empezando por la izquierda: a ¾Qué lista obtenemos después del primer paso? ¾Y tras la segunda? b ¾Qué número obtenemos tras las 99 etapas? 2 ¾Y si empezamos por la derecha? 3 Si procedemos al azar, ¾qué resultados podemos obtener? 4. Uso del poder E.8851 1 ¾Cuál es el número de cifras del número : N =10 2006 2006 2 ¾Cuál es la suma de los dígitos de N ? 5. Álgebra y ecuaciones E.8806 Nuevo Loto En una partida de lotería, cada jugador recibe tarjetas en las que figuran números enteros. Se sortean fichas numeradas y se anuncia en voz alta el número que figura en cada una de ellas. Se gana cuando se han anunciado todos los números de una línea de la tarjeta. ½Esta noche las reglas han cambiado un poco! El organizador reparte tarjetas en las que figuran nueve números distribuidos en tres filas de tres números consecu-tivos (la tabla anterior es un ejemplo de una de estas tarje-tas) . 1 El organizador anuncia : ˇ se ofrece un premio a quien complete una fila de números cuya suma sea 41 ı . ¾Se puede ganar? 2 El organizador anuncia : ˇ Se ofrece un premio de conso-lación a quien complete una línea de números cuya suma sea 57 ı. ¾Cuáles son los números inscritos en una línea ganadora? 3 A partir de ahora : ˇ Se ofrece un premio de consolación a quien presente una línea de números cuyo producto sea múltiplo de 6 ı. ¾Quién gana? En esta pregunta, las tarjetas tienen tres líneas de cuatro https://chingmath.fr chapExoCorrec/8756 sacados/8756 53157428961811666138521041510...17...5168 chapExoCorrec/8850 sacados/8850 chapExoCorrec/8851 sacados/8851 chapExoCorrec/8806 sacados/8806 345121314282930
816 23-2332818833813 números consecutivos. 4 El organizador anuncia : ˇ si al sumar 1 al producto de los cuatro números de una misma línea, se obtiene un cuadrado perfecto , entonces se gana un premio ı. ¾Quién gana? Recordemos que un cuadrado perfecto es el cuadrado de un número entero E.9472 Nos interesan los cuadrados mági-cos 3 × 3 : son tablas de tres filas y tres columnas (denomi-nadas respectivamente L 1 , L 2 , L 3 y C 1 , C 2 , C 3 ) en las que se inscriben 9 números, de modo que las sumas de los números escritos en cada fila, en cada columna y en cada diagonal (las diagonales se designan por D 1 y D 2 ) son iguales. Esta suma común se denota S , es la constante del cuadrado mágico. 1 En el cuadrado de al lado, se escriben los números enteros comprendidos en-tre 1 y 9 . Complételo para convertirlo en un cuadrado mágico. 2 De las dos tablas siguientes, solo una es mágica. ¾Cuál? 2 Designamos con x un número cualquiera. Nos pregun-tamos si es posible crear un cuadrado mágico 3 × 3 en el que figuren los nueve números : 16 x 10 ; 2 x 3 ; 2 ; 4 x 4 ; 12 x 8 10 x 7 ; 6 x 5 ; 8 x 6 ; 14 x 9 a ¾Cuál sería la constante de este cuadrado mágico? b Proponer un cuadrado mágico 3 × 3 utilizando estos nueve números. 3 Proponer finalmente dos cuadrados mágicos 3 × 3 : a Un cuadrado de 9 números todos negativos ; b Un cuadrado de constante S 30 6. Geometría E.8705 Seis semicírculos de radio 1 , y los diámetros de tres de ellos, determinan el dominio que se muestra a continuación. ¾Cuál es el área de este dominio? E.8842 Una espiral https://chingmath.fr sacados/9472 816 23-2332818833813 23-2332818833813 chapExoCorrec/8705 sacados/8705 chapExoCorrec/8842 sacados/8842
étape 0 étape 1 étape 2 étape 3 étape 0 étape 1 étape 2 Esta espiral se obtiene trazando sucesivamente cuartos de cír-culo con radios cada vez mayores. El primer cuarto de círculo tiene un radio de 1 , al igual que el segundo. El tercer cuarto de círculo tiene un radio de 2 , el cuarto de 3 y el siguiente de 5 . 1 ¾Cuál es el radio del sexto cuarto de círculo? ¾Y el del séptimo? ¾Y el del décimo? 2 El radio del decimoquinto cuarto de círculo es 610 y el del decimosexto es 987 . ¾Cuál es el radio del decimosép-timo? 3 ¾Cuál es el radio del vigésimo cuarto de círculo? E.8843 El mejor embalaje Siete tubos cilíndricos de diámetro 20 cm se envuelven con cinta adhesiva. Pueden disponerse planos o en haz, como se muestra en las figuras siguientes. En cada caso, ¾cuál es la longitud de una vuelta de la cinta, redondeada al milímetro más próximo? Pista: uso : ı 3 ; 1416 7. A las suites E.8828 Excava cada vez más, pero cada vez menos. 1 La alfombra de Sierpinski Consideremos un cuadrado de lado 27 . En cada paso, eliminamos el cuadrado central de cada cuadrado gris. ¾En qué etapa el área de la alfombra se vuelve inferior a la mitad del área inicial? 2 La esponja de Sierpinski Consideremos ahora un cubo de arista a . En cada etapa, vaciamos cada cubo de siete cubos pe-queños en su interior, como se muestra a continuación. ¾En qué etapa el volumen de la esponja se vuelve inferior a la mitad del volumen inicial? https://chingmath.fr chapExoCorrec/8843 sacados/8843 chapExoCorrec/8828 sacados/8828 étape 0 étape 1 étape 2 étape 3 étape 0 étape 1 étape 2
Etape no1Etape no2Etape no3 AUBMNZPODWCV E.9471 Toda la fruta está dispuesta en fila en el puesto del vendedor. Las naranjas están dispuestas en una pirámide de base cuadrada. El nivel superior contiene una sola naranja. Este piso lleva la marca E 1 . El piso de abajo se anotará E 2 , y así sucesivamente. Cada naranja se asienta sobre otras cuatro. 1 a ¾Cuántas naranjas hay en el suelo E 2 ? b ¾Cuántas naranjas hay en el E 3 piso? c ¾Cuántas naranjas hay en el piso E 10 ? d ¾Hay un piso con exactamente 64 naranjas? e ¾Hay un piso con exactamente 200 naranjas? 2 ¾Cuántas naranjas componen : a una pirámide con 2 pisos? b ¾una pirámide con 3 pisos? c ¾una pirámide con 10 pisos? 3 Las naranjas del puesto se han dispuesto formando una pirámide de siete pisos. Desgraciadamente, la pirámide resultó demasiado inestable y hubo que formar otras más pequeñas. Propón una organización piramidal de base cuadrada que permita disponer todas las naranjas. To-das las pirámides estarán completas y cada una tendrá, al menos, 3 pisos. E.9473 Se construye una secuencia de pa- trones mediante un proceso cuyas tres primeras etapas se muestran a continuación : La unidad de superficie es el cuadrado de la cuadrícula 1 Para cada una de las etapas 2 y 3 : a Determine el área total de las partes interiores claras; b Determine el área total de las partes negras. 2 a ¾Cuál es, en el paso 4 , el área total de las partes interiores claras? Y la de las partes negras? b ¾Y en el paso 20 ? E.9474 Una escalera puede subirse de uno en uno o de dos en dos. La figura de la derecha muestra un ejemplo. 1 ¾De cuántas maneras se puede subir una escalera un es-calón? dos escalones? tres escalones? cuatro escalones? cinco escalones? 2 ¾De cuántas formas distintas se puede subir una escalera de 20 peldaños? 8. Geometría con el teorema de Pitágoras E.8703 En la ciudad de Nimes, unas obras han llevado al descubrimiento de un magnífico mosaico ro-mano de principios del siglo III, conocido como ˇmosaico de Penteoı. Este mosaico se compone de varios paneles figura-tivos de diversas formas geométricas, separados por ˇ tren-zası (torsadas) . Es obra de un maestro artesano con sólidos conocimientos de ˇgeometría prácticaı y capaz de ensamblar arcos de círculo en diversas formas para componer finalmente un todo armonioso. En la figura anterior, se ha extraído mentalmente del mosaico un óvalo incluido en un cuadrado ABCD de lado 3 unidades, a su vez dividido en 9 cuadrados. Sabemos que el óvalo está https://chingmath.fr sacados/9471 sacados/9473 Etape no1Etape no2Etape no3 sacados/9474 chapExoCorrec/8703 sacados/8703 AUBMNZPODWCV
O2cmDEFsocle0;5cm0;5cmABC5cm2cm4cm 2cmGH5cm 1cm3cmZIGZAGAméricain3cmNoeudPapillon3cmGavageABCDEF formado por 4 cuartos de círculo. 1 ¾Cuál es el centro de cada uno de estos cuartos de cír-culo? 2 Calcular el perímetro de este óvalo. 3 Calcular el área de este óvalo. 4 a Construir un óvalo de este tipo (tomaremos 3 cm como unidad) . b Deducir la construcción de una figura con el mismo perímetro, pero con un área más pequeña. c Construir una figura con el mismo perímetro, pero con un área igual a 4 unidades de área. E.8711 Las hormigas 1 A continuación se muestran dos sólidos : un par-alelepípedo y una esfera sobre los que se mueven dos hormigas. La hormiga n o 1 se mueve sobre el paralelepípedo sigu-iendo el recorrido formado por los segmentos [ AB ] y [ BC ] . La hormiga n o 2 se desplaza sobre una bola con centro O y radio 2 cm que descansa sobre una base de 1 cm de altura. Parte del punto D , se dirige a E , siguiendo el segmento [ DE ] , y luego llega al punto F siguiendo el semicírculo de diámetro [ EF ] . ¾Qué hormiga recorre el camino más corto? 2 Dos hormigas se desplazan sobre un cilindro de radio 2 cm . La hormiga n o 1 parte del punto G y describe el círculo superior del cilindro varias veces seguidas. La hormiga n o 2 , por su parte, se desplaza por el cilindro siguiendo la trayectoria marcada con flechas de G a H , tomando el camino más corto, y luego vuelve a subir por G por el mismo camino. Las dos hormigas comienzan su recorrido al mismo tiempo y se desplazan a la misma velocidad, que se supone constante. a ¾Se encontrará la hormiga n o 2 con la hormiga n o 1 a su regreso a G ? b Imaginemos que las dos hormigas continúan movién-dose de esta manera sin detenerse ¾Podrán encon-trarse en algún momento en G ? Indicaciones : redondearemos todos los resultados al milímetro más cercano. Se utilizará: ı 3 ; 1416 E.8805 ¾Sabes clavar clavos? La señora Briqueau quiere colgar un cuadro en su salón. El cuadro es rectangular y mide 84 cm de largo y 56 cm de alto. El sistema de sujeción consiste en una cuerda de 60 cm de largo, atada a la parte posterior del cuadro en dos puntos situados ambos a 21 cm del borde superior del cuadro y cada uno a 20 cm de uno de los bordes laterales. La pared destinada a colgarlo es rectangular y mide 2 ; 68 m de alto por 3 ; 78 m de ancho. La señora Briqueau desea que, una vez colocado, el marco quede centrado en anchura (con el mismo espacio a la izquierda y a la derecha del marco) y que su borde inferior quede horizontal y a 1 ; 42 m del suelo. 1 ¾A qué distancia del borde izquierdo de la pared debe colocar la señora Briqueau el gancho? 2 ¾Qué forma tendrá la cuerda cuando el marco esté colo-cado? 3 ¾A qué distancia de la parte superior de la pared deberá colocar el gancho la señora Briqueau? (redondeado al milímetro) ? E.8808 Los cordones Hay varias formas de atarse los cordones de los zapatos. Aquí hay tres : ¾Cuál es el cordón más largo? (No se tiene en cuenta la longitud de los cordones que se uti-lizan para hacer el nudo) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/8711 sacados/8711 O2cmDEFsocle0;5cm0;5cmABC5cm2cm4cm 2cmGH5cm chapExoCorrec/8805 sacados/8805 chapExoCorrec/8808 sacados/8808 1cm3cmZIGZAGAméricain3cmNoeudPapillon3cmGavageABCDEF
ABCDE 4cm5cm5cm CBAFG 491681?936 E.8809 En los ojos Esquematizamos los ojos mediante discos de radios 5 mm . Ojo de gato [ BC ] y [ DE ] son dos diámet-ros perpendiculares. La pupila está limitada por dos arcos de circunferencia de centros respectivos B y C , que pasan por D . Bunny eye La pupila está delimitada por un círculo con el mismo centro que el ojo y radio 3 mm . ¾Cuál de estos dos ojos tiene la pupila más grande? 9. Geometría con el teorema de Tales E.8710 La corona Los vértices del polígono sombreado que se muestra a contin-uación están situados en rectas paralelas separadas por 5 cm . La ˇ base ı tiene una longitud de 4 cm . ¾Cuál es el área de este polígono? 10. Geometría con trigonometría E.8807 Hexágonos encajables Sea H 1 un hexágono regular in-scrito en un círculo y H 2 un hexá-gono regular circunscrito al mismo círculo. En la figura siguiente (, que no es a escala real) , A , B y C designan tres vértices consecutivos del hexágono H 2 y G y F , los puntos medios re-spectivos de los segmentos [ AB ] y [ BC ] , son dos vértices del hexágono H 1 . El área del hexágono H 2 es 340 m 2 . ¾Cuál es el área del hexágono H 1 ? E.9014 En la figura siguiente se han indi-cado las áreas de seis cuadrados. Uno de los vértices del cuadrado blanco oblicuo coincide con un vértice del cuadrado de área 1 . ¾Cuál es el área de este cuadrado? 11. Proporcionalidad, porcentaje, unidad https://chingmath.fr chapExoCorrec/8809 sacados/8809 ABCDE chapExoCorrec/8710 sacados/8710 4cm5cm5cm chapExoCorrec/8807 sacados/8807 CBAFG chapExoCorrec/9014 sacados/9014 491681?936
E.8804 BavardaCar El señor A debe realizar un viaje en coche de 350 km (sin peaje) . . Debe recoger por el camino a otras cuatro personas, la señora B , el señor C , la señora D y el señor E , que se dirigen al mismo lugar que él. Recoge a la señora B después de 60 km de viaje y luego sigue conduciendo durante 60 km antes de recoger al señor C y a la señora D . Recoge al señor E a 200 km de la llegada. El gasto en combustible se estima en 36 ; 40 e . Se barajan diferentes modos de reparto de los gastos entre todos los ocupantes del coche . 1 Primer modo: cada uno paga la misma cantidad. ¾Cuál es esa cantidad? 2 Segundo modo: la parte de cada uno es proporcional a la distancia que ha recorrido en el coche. ¾Cuál es la parte de cada uno? 3 Tercer método: la parte de cada uno se calcula te-niendo en cuenta, en cada tramo, el número de personas presentes en el coche y la longitud del tramo. ¾Cuál es la parte de cada uno? E.8840 Carrera de persecución Recientemente se ha creado un nuevo tipo de carrera a pie. Todos los corredores salen al mismo tiempo y no hay línea de meta que cruzar. Media hora más tarde, un coche sale en su persecución. Todo corredor que sea adelantado por el coche queda eliminado. El último corredor adelantado es declarado ganador de la carrera. El objetivo de cada corredor es recorrer la mayor distancia posible antes de ser alcanzado por el coche. Esta es la organización de la carrera: Los corredores salen a las 10 de la mañana. El coche que los persigue sale 30 minutos más tarde. Au-menta su velocidad progresivamente : Durante la primera hora, circula a 15 km = h ; La hora siguiente, circula a 16 km = h ; La hora siguiente, circula a 17 km = h ; Las dos horas siguientes, circula a 20 km = h ; A continuación, estabiliza su velocidad a 35 km = h . 1 Robert fue alcanzado por el coche una hora después de su salida. ¾Qué distancia recorrió? 2 Michèle fue alcanzada por el coche dos horas después de su salida. ¾A qué velocidad media corrió? 3 Philippe recorrió 30 km antes de ser alcanzado. ¾A qué hora lo alcanzó el coche? 4 El ganador de la carrera del año pasado recorrió 78 km . ¾Cuánto tiempo corrió y a qué velocidad media? 5 Victoire cree que este año podrá correr durante horas a 14 km = h . Si lo consigue, ¾qué distancia recorrerá? 12. Probabilidad E.8848 Verdadero - Falso Ludovic debe responder a un test de 25 preguntas. Las re-spuestas son ˇ Verdadero ı ı o ˇ Falso ı. ı. Su profesor de matemáticas da la siguiente indicación : en cualquier serie de 5 respuestas consecutivas, hay exactamente tres respuestas ˇ Verdadero ı. 1 ¾Por qué no es válida la siguiente lista? Pregunta 1 V Pregunta 2 F Pregunta 3 V Pregunta 4 V Pregunta 5 F Pregunta 6 F . . . . . . 2 ¾Cuántas respuestas ˇ Verdadero ı hay en la lista de 25 respuestas? 3 El profesor indica que la respuesta a la primera pregunta es ˇ Falso ı. Ludovic afirma que sabe la respuesta a la sexta sin haber leído las preguntas. ¾Cómo lo ha hecho? 4 El profesor le susurra a Ludovic que la respuesta a la última pregunta también es ˇ Falso ı. Ludovic afirma que ahora puede encontrar todas las respuestas sin leer las preguntas. ¾Tiene razón? 13. Algoritmos https://chingmath.fr chapExoCorrec/8804 sacados/8804 chapExoCorrec/8840 sacados/8840 chapExoCorrec/8848 sacados/8848
nombre entiermodulonombre entier=0 66modulo11=0 64modulo11=0 quandest cliquémettre à50% de la taille initialebasculer sur le costumeballon bleumettreordonnéeà-155mettrepointsà0aller à x:0y:ordonnéesiordonnéemodulo11=0alorsmettrepointsàpoints*3basculer sur le costumeballon jaunesiordonnéemodulo7=0alorsmettrepointsàpoints*2basculer sur le costumeballon violetmettrepointsàpoints+10basculer sur le costumeballon bleusinonsinonattendre2secondesajouter àordonnée15aller à x:0y:ordonnéesiordonnée<150alorsrépéter indé∏nimentligne 0ligne 1ligne 2ligne 3ligne 4ligne 5ligne 6ligne 7ligne 8ligne 9ligne 10ligne 11ligne 12ligne 13ligne 14ligne 15ligne 16ligne 17ligne 18 12364758910111213141517161819202122 quandest cliquéeInitialisationavancer deVitessetournerde90degréssiCapteurtouché?alorsrépéter indé∏nimentde∏nir Initialisationaller àDépartmettreVitesseà5 E.8706 En Scratch, el comando siguiente comprueba si un número entero es divisible por otro número entero. Por lo tanto, la proposición es ver-dadera, ya que 66=6 × 11 . En otras palabras, 66 es divisible por 11 . Por el contrario, la proposición es falsa, ya que 64 no es divisible por 11 . El siguiente comando se utiliza para programar el desplaza-miento vertical de un sprite que representa un balón que cam-bia de color (azul, violeta o amarillo) en función de su orde-nada y cada paso permite modificar el número de puntos. a Cada vez que se pasa por el bucle ˇ Si la ordenada es infe-rior a 150 ı, ¾en cuánto aumenta la ordenada del balón? b Si la ordenada del balón es igual a 55 , explique por qué el número de puntos se multiplica por 3 . c Si la ordenada del balón es igual a 100 , ¾qué ocurre con el número de puntos? d ¾Para qué(s) ordenadas(s) el balón pasa por el color amar-illo? ¾Por qué? e ¾Cuál será la puntuación final del balón? f ¾Por qué número debo sustituir el valor ˇ10ı (línea 14) para que la puntuación final sea igual a 955 ? g ¾Por qué número hay que sustituir el valor 2 (línea 11) para que el número de puntos sea igual a 17 300 ? E.8707 Gymkhana para robots Se coloca un robot sobre una plataforma cuadriculada en la que se disponen obstáculos numerados. Se coloca en la salida, listo para avanzar en la dirección de la flecha. Este robot está equipado con un sensor de presencia situado en la parte delantera. Este sensor permite detectar un ob-stáculo situado delante de él. Por último, este robot también está equipado con un chip que permite programar sus movimientos con un lenguaje por bloques tipo ˇ Scratch ı ı o ˇ MBlock ı. ı. El siguiente programa se ha implantado en el chip de este robot. A continuación, el robot se pone en marcha mediante la ban-dera verde. 1 Indique la lista de los diez primeros obstáculos encontra-dos. 2 ¾Cuál será el 50 ème obstáculo con el que se encontrará? 3 ¾Cuál será el 2019 ème obstáculo con el que se encontrará? https://chingmath.fr chapExoCorrec/8706 sacados/8706 nombre entiermodulonombre entier=0 66modulo11=0 64modulo11=0 quandest cliquémettre à50% de la taille initialebasculer sur le costumeballon bleumettreordonnéeà-155mettrepointsà0aller à x:0y:ordonnéesiordonnéemodulo11=0alorsmettrepointsàpoints*3basculer sur le costumeballon jaunesiordonnéemodulo7=0alorsmettrepointsàpoints*2basculer sur le costumeballon violetmettrepointsàpoints+10basculer sur le costumeballon bleusinonsinonattendre2secondesajouter àordonnée15aller à x:0y:ordonnéesiordonnée<150alorsrépéter indé∏nimentligne 0ligne 1ligne 2ligne 3ligne 4ligne 5ligne 6ligne 7ligne 8ligne 9ligne 10ligne 11ligne 12ligne 13ligne 14ligne 15ligne 16ligne 17ligne 18 chapExoCorrec/8707 sacados/8707 12364758910111213141517161819202122 quandest cliquéeInitialisationavancer deVitessetournerde90degréssiCapteurtouché?alorsrépéter indé∏nimentde∏nir Initialisationaller àDépartmettreVitesseà5
123456ABCDBonnesNerépondspasFaussesScore00=8-A2-B2=A2*5+B2*(-2)+C2*(-3)017-23026-22035-21044-2000=8-A2-B2=A2*5+B2*(-2)+C2*(-3)00=8-A2-B2=A2*5+B2*(-2)+C2*(-3) quandaestpressémettreà250%delatailleinitialemettrecyclesà0costumesuivantRépéter14foisajouteràcycles1stoptoutsicycles=40alorsrépéterindé∏nimentcycles:40chrono:12.7 E.8712 Louise, Nassim, Ilam y Sophie participan en un concurso televisivo que consta de 2 rondas. En la 1 ère ronda, estos cuatro concursantes deben responder cada uno a tres preguntas. Por cada respuesta correcta, el ju-gador gana 5 puntos, pierde 2 puntos si no responde y pierde 3 puntos si su respuesta es incorrecta. El candidato que obtenga menos puntos es eliminado en la 1 er ronda. Louise solo responde a 2 preguntas, una de las cuales es in-correcta. Nassim responde a todas las preguntas : 2 son correctas. Ilam responde correctamente a las primeras 2 preguntas, pero no responde a la última. Sophie solo responde a una pregunta, pero es correcta. 1 a ¾Qué concursante es eliminado en esta 1 ère ronda del juego? b Enumera todas las puntuaciones posibles que puede obtener un concursante que juegue a este juego en la 1 ère ronda. 2 En la 2 ème ronda del juego, el principio es el mismo, pero los concursantes deben responder a 8 preguntas. Zoe ve este juego en su casa. Saca su tableta y abre una hoja de cálculo en un procesador de textos. Esto es lo que escribe : ¾A partir de cuántas respuestas correctas se puede obtener una puntuación positiva? E.8713 Las doce imágenes siguientes están extraídas de un archivo de imágenes animadas (que contiene realmente 15 imágenes sucesivas) que muestran el desarrollo de una flor desde su nacimiento hasta su muerte. Solo la primera y la última imagen están colocadas correctamente. 1 re parte : Indique el orden de desplazamiento de las otras diez imágenes durante la animación. 2 ème parte : Preguntas preliminares : comprensión del algoritmo a ¾Qué hay que hacer para iniciar el programa? b ¾Cuántos ciclos de la flor se pueden observar antes de que se detenga el programa? c ¾Cuál es la ˇ duración ı de la animación? d ¾La variable ciclos que se muestra es el número de ciclos ya ejecutados o el rango del ciclo que se está ejecutando? Justifique su elección. Pregunta 1 ¾Cuál sería la duración de la animación para exactamente 5 ciclos? 9 ciclos? Pregunta 2 Cuando el cronómetro muestra el final del 9 ème ˇ segundo ı, , ¾cuál es el número de ciclos que se muestra? ¾Qué ˇ traje ı del ˇ duende ı aparecería en la imagen en ese mo-mento? 14. Fin de año: con notable identidad https://chingmath.fr chapExoCorrec/8712 sacados/8712 123456ABCDBonnesNerépondspasFaussesScore00=8-A2-B2=A2*5+B2*(-2)+C2*(-3)017-23026-22035-21044-2000=8-A2-B2=A2*5+B2*(-2)+C2*(-3)00=8-A2-B2=A2*5+B2*(-2)+C2*(-3) chapExoCorrec/8713 sacados/8713 quandaestpressémettreà250%delatailleinitialemettrecyclesà0costumesuivantRépéter14foisajouteràcycles1stoptoutsicycles=40alorsrépéterindé∏nimentcycles:40chrono:12.7
ABCHKJ OABCD OABCDEFGH E.8757 El triángulo ABC adjunto es tal que : AC = 13 ; AB = 14 ; BC = 15 Sean H , J , K los pies de las alturas que parten respectiva-mente de los vértices C , A , B . 1 Demuestre que CH es un número entero. 2 Demuestra que AJ es un número decimal y que BK es un cociente de números enteros. 3 Propón un triángulo cuyos tres lados y tres alturas ten-gan longitudes que sean números enteros. 15. Ejercicios no clasificados E.9747 Suma de números En este ejercicio, los números considerados son enteros es-critos según la numeración decimal. Para este ejercicio, llamamos peso de un número N a la suma de sus cifras. 1 ¾Cuál es el peso del número 29 ? Cuál es el peso del número 7 646 ? 2 Sugiere tres números diferentes del mismo peso 42 . 3 ¾Es correcto afirmar que ˇ cuantas más cifras tiene un número, mayor es su peso ı? 4 ¾Cuál es el menor número de pesos 50 ? 5 ¾Cuál es el menor número de pesos 2 022 ? 6 ¾Podemos encontrar un número que se escriba sólo con 5 y 7 y cuyo peso sea 53 ? 7 ¾Podemos encontrar un número escrito sólo con 3 y 6 y cuyo peso sea 200 ? E.9748 Cuadrado inscrito en un círculo inscrito. . . La unidad de longitud es el cm. Atención : las figuras no es-tán a escala. Todos los resultados numéricos solicitados deben ser valores exactos. En la figura anterior se representa el círculo C 1 , con centro O y radio 2 . Los segmentos [ AC ] y [ BD ] son dos diámetros perpendiculares de este círculo. 1 ¾Cuál es la naturaleza del cuadrilátero ABCD ? Se dice que el círculo C 1 es el círculo circunscrito al cuadrado ABCD . 2 ¾Cuál es el área de la parte sombreada de la figura? Consideremos el cuadrado EFGH cuyos lados son paralelos a los de ABCD y tangentes al círculo C 1 . Se dice que el círculo C 1 está inscrito en el cuadrado EFGH . Del mismo modo que antes, consideramos que el círculo C 2 está circun-scrito al cuadrado EFGH . La siguiente figura representa esta situación. 3 Calcula el área de la parte sombreada en esta nueva figura. https://chingmath.fr chapExoCorrec/8757 sacados/8757 ABCHKJ chapExoCorrec/9747 sacados/9747 Olympiades Mars 2022 chapExoCorrec/9748 sacados/9748 Olympiades Mars 2022 OABCD OABCDEFGH
Corde à13noeuds et triangle égyptien ABCDEF 4 Siguiendo el mismo principio, se puede construir una nueva figura con un círculo C 3 circunscrito a un nuevo cuadrado IJKL cuyos lados serían tangentes a C 2 y par-alelos a los lados del cuadrado EFGH . ¾Cuál es, en esta nueva figura, el área comprendida entre el círculo C 3 y los lados del cuadrado IJKL ? E.9749 Tríadas pitagóricas Se da una unidad de longitud en el plano. Un triángulo ABC tiene los siguientes lados : AB = 15 ; AC = 8 ; BC = 17 1 Demuestra que este triángulo es rectángulo, indicando qué punto es el vértice del ángulo recto. De manera más general, nos interesan los triángulos rectán-gulos cuyos lados tienen longitudes enteras. Se establece : AB = m ; AC = n ; BC = p . Supongamos que m<n<p y digamos que el trío ( m ; n ; p ) es pitagórico . 2 a Si ( m ; n ; p ) es un triplete pitagórico, ¾qué punto es el vértice del ángulo recto del triángulo rectángulo ABC asociado? b Demuestra que 3 ; 4 ; 5 es un triplete pitagórico. Los triángulos asociados son los ˇ triángulos egipcios ı. c Demuestra que, si el triplete m ; n ; 5 es pitagórico, entonces m =3 y n =4 . La tablilla Plimpton 322 (Universidad de Columbia, Nueva York) da testimonio de las in-vestigaciones realizadas por los babilonios. 4 Se supone que el triplete (5 ; n ; p ) es pitagórico. a Demostrar que : p n p + n =25 b Comparar p + n y p n y deducir sus valores y, final-mente, los valores de p y n . El triángulo asociado se denomina ˇ babilónico ı. 5 ¾Existen números enteros m y p tales que el triplete ( m ; 5 ; p ) sea pitagórico? E.9750 Ángulo desconocido El ángulo en C del triángulo ABC mide 70 o . Se ha colocado en el lado [ BC ] el punto D y en el lado [ AC ] el punto E , de modo que : BD = DE = EA . Los segmentos [ BE ] y [ AD ] se cortan en F . ¾Cuál es la medida del ángulo AFB ? https://chingmath.fr chapExoCorrec/9749 sacados/9749 Olympiades Mars 2022 Corde à13noeuds et triangle égyptien chapExoCorrec/9750 sacados/9750 Olympiades Mars 2022 ABCDEF