ESO 2
/ Olimpiada 45 ejercicios (incluyendo 41 corregidos)
- Lógica (4 ejercicios)
- Aritmética (8 ejercicios)
- Acerca de los cocientes (3 ejercicios)
- Uso del poder (1 ejercicio)
- Álgebra y ecuaciones (2 ejercicios)
- Geometría (3 ejercicios)
- A las suites (4 ejercicios)
- Geometría con el teorema de Pitágoras (5 ejercicios)
- Geometría con el teorema de Tales (1 ejercicio)
- Geometría con trigonometría (2 ejercicios)
- Proporcionalidad, porcentaje, unidad (2 ejercicios)
- Probabilidad (1 ejercicio)
- Algoritmos (4 ejercicios)
- Fin de año: con notable identidad (1 ejercicio)
a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12C
dice
que
la
persistencia
de
377
es
4
.
1
¾Cuál
es
la
persistencia
de
cada
uno
de
los
números?
a
77
b
28
534
c
6
785
791
2
La
persistencia
de
cada
uno
de
los
números
2
019
,
4
806
y
13
970
875
es
igual
a
1
.
¾Qué
resultado
general
parecen
ilustrar
estos
resultados?
Justifica
tu
respuesta.
3
¾Existe
algún
dígito
que
se
pueda
insertar
en
la
escritura
de
un
número
sin
cambiar
su
persistencia?
4
Encuentre
un
número
escrito
con
20
dígitos
cuya
persis-tencia
sea
4
.
5
¾Cuáles
son
las
posibles
persistencias
de
un
número
cuya
escritura
contiene
un
dígito
par
y
un
5?
E.8704
El
código
EAN-13
(European
Ar-ticle
Numbering)
es
un
código
de
barras
utilizado
por
el
com-ercio
y
la
industria
que
permite
identificar
objetos
de
forma
única
y
ser
leído
por
un
escáner.
Este
código
de
barras
se
compone
de
13
dígitos
(enteros
comprendidos
entre
0
y
9
)
,
,
siendo
el
último
una
clave
de
control
calculada
a
partir
de
los
12
dígitos
anteriores.
Un
código
de
barras
se
simboliza
mediante
la
siguiente
tabla
:
.
.
.
donde
se
han
introducido
los
trece
dígitos
que
componen
el
código
de
barras.
El
dígito
C
es
la
clave
de
verificación.
Para
determinarla,
se
calcula:
S
=
a
1
+
a
3
+
a
5
+
a
7
+
a
9
+
a
11
+3
×
a
2
+
a
4
+
a
6
+
a
8
+
a
10
+
a
12
.
C
es
entonces
el
dígito
tal
que
S
+
C
es
un
múltiplo
de
10
.
1
¾Es
válido
el
código
4971850187820
?
2
Determinar
C
para
que
el
código
978204732850
C
sea
válido.
3
Se
ha
sustituido
un
número
por
x
en
el
código
32525
x
7041767
.
¾Qué
valor
debe
tener
x
para
que
este
código
sea
válido?
4
El
código
3742278085985
no
es
válido.
¾Cuáles
pueden
ser
los
valores
de
los
dos
primeros
dígitos
de
la
izquierda
en
otros
códigos
válidos
que
contengan
los
11
mismos
dígitos
a
la
derecha?
E.8829
Partida
de
dardos
Se
juega
a
los
dardos
en
una
diana
que
tiene
tres
zonas
:
una
de
5
puntos,
otra
de
7
puntos
y
otra
de
11
puntos.
Nos
intere-san
las
diferentes
puntuaciones
posibles,
ya
que
el
número
de
dardos
no
está
limitado.
Por
ejemplo,
30
es
una
puntuación
posible,
ya
que
:
30
=
11
+
7
+
7
+
5
ou
30
=
5
+
5
+
5
+
5
+
5
+
5
.
1
Comprueba
que
26
,
43
y
220
012
son
puntuaciones
posi-bles.
2
Se
dice
que
dos
juegos
son
idénticos
si,
en
cada
uno
de
ellos,
cada
zona
de
la
diana
tiene
el
mismo
número
de
dardos.
Por
ejemplo,
los
juegos
correspondientes
a
las
puntuaciones
:
7+5+5+11
y
5
+
7
+
11
+
5
son
idénticos.
a
Encuentre
cuatro
juegos
diferentes
que
den
la
pun-tuación
40
.
b
Demuestre
que
hay
dos
juegos
diferentes
y
solo
dos
que
corresponden
a
la
puntuación
34
.
3
Encuentre
todas
las
puntuaciones
que
se
pueden
obtener
con
un
lanzamiento
de
tres
dardos
que
hayan
alcanzado
todos
la
diana.
Presentar
los
resultados
de
forma
organi-zada.
4
a
Demostrar
que
14
y
los
cuatro
números
enteros
sigu-ientes
son
puntuaciones
posibles.
b
Determinar
la
lista
de
números
enteros
positivos
distin-tos
de
cero
que
no
corresponden
a
ninguna
puntuación.
E.8841
Un
programa
de
cálculo
Este
es
un
programa
de
cálculo:
Sea
N
un
número
natural
escrito
en
el
sistema
decimal:
Paso
n
o
1:
Localizar
la
cifra
X
de
las
unidades
de
N
.
Paso
n
o
2:
Calcular
N
−
X
.
Sea
M
el
número
obtenido.
Paso
n
o
3:
Dividir
M
entre
10
.
Sea
D
el
número
obtenido.
Paso
n
o
4:
Calcular
D
+2
X
.
Sea
R
el
número
obtenido.
Paso
n
o
5:
Si
R
es
diferente
de
N
,
pasar
al
paso
n
o
6.
Si
no,
detener
y
mostrar
R
.
Paso
n
o
6:
Si
R
se
escribe
con
un
solo
dígito,
detener
y
mostrar
R
.
Si
no
es
así,
asigne
a
N
el
valor
R
y
reanude
el
programa
de
cálculo
en
el
paso
n
o
1.
1
¾Qué
resultado
se
muestra
cuando
se
introduce
N
=15
en
el
programa
de
cálculo?
2
¾Qué
ocurre
cuando
se
introduce
N
=2015
en
el
pro-grama
de
cálculo?
3
¾Qué
números
pueden
aparecer
en
la
pantalla
final?
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/8704
sacados/8704
a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12C
chapExoCorrec/8829
sacados/8829
chapExoCorrec/8841
sacados/8841
7777722222Exemple de pyramide de Pascale avecm7etn2On n’a représenté ici que les cinq premières lignes
346
E.8844
Números
en
cadena
1
→
2
9
→
10
25
→
↓
↑
↓
↑
4
←
3
8
11
24
↓
↑
↓
↑
5
→
6
→
7
12
23
↓
↑
16
←
15
←
14
←
13
22
↓
↑
17
→
18
→
19
→
20
→
21
Los
números
enteros
consec-utivos
1
,
2
,
3
,
4
,
etc..
.
.
están
dispuestos
en
las
casillas
de
una
tabla
según
el
esquema
adjunto.
El
número
8
se
en-cuentra
en
la
intersección
de
la
segunda
fila
y
la
tercera
columna.
El
número
13
se
encuentra
en
la
intersección
de
la
cuarta
fila
y
la
cuarta
columna.
¾Qué
número
se
encuentra
en
la
intersección
de
la
vigésima
quinta
fila
y
la
vigésima
quinta
columna?
E.8845
Unos
con
nueves
1
Calcular
las
sumas
:
a
=
99
+
999
;
b
=
99
+
999
+
9999
2
Consideramos
el
número
N
definido
como
la
suma
:
N
=
99
+
999
+
9
999
+
·
·
·
+
9999
:
:
:
999
El
primer
término
de
esta
suma
se
escribe
con
dos
cifras
9
;
se
suman
los
números
que
se
escriben
con
tres
y
luego
con
cuatro
cifras
9
,
etc..
.
.
El
último
término
de
la
suma
se
escribe
con
cien
cifras
9
.
Se
realiza
la
suma
y
se
escribe
N
en
escritura
decimal
ordinaria.
¾Cuántas
veces
aparece
el
número
1
en
esta
escritura?
E.8846
Nos
interesan
las
diversas
formas
de
escribir
un
número
natural
como
suma
de
otros
números
naturales
(para
evitar
repeticiones,
se
escriben
en
orden
as-cendente)
.
Por
ejemplo
:
5
=
1+1+1+1+1
5
=
1
+
1
+
1
+
2
5
=
1
+
1
+
3
5
=
1
+
2
+
2
5
=
1
+
4
5
=
2
+
3
son
las
seis
descomposiciones
posibles
del
número
5
.
A
cada
una
de
las
sumas
así
escritas
se
le
asocia
el
producto
de
sus
términos.
Los
resultados
obtenidos
para
5
son
1
,
2
,
3
,
4
y
6
.
1
¾Cuáles
son
las
descomposiciones
posibles
del
número
7
?
¾Cuáles
son
los
productos
correspondientes?
¾Cuál
es
el
mayor?
2
Ahora
nos
interesan
las
descomposiciones
del
número
28
,
que
no
intentaremos
escribir,
y
los
productos
correspon-dientes.
a
Consideramos
una
descomposición
cualquiera
del
número
28
en
la
que
aparece
el
número
1
.
Llamamos
P
al
producto
asociado.
Encontrar
una
descomposición
cuyo
producto
asociado
sea
superior
a
P
.
b
Consideramos
cualquier
descomposición
del
número
28
en
la
que
aparezca
el
número
5
.
Llamamos
R
al
pro-ducto
asociado.
Encuentre
una
descomposición
cuyo
producto
asociado
sea
mayor
que
R
.
c
¾Qué
descomposición
de
28
da
el
producto
asociado
más
grande?
E.8847
Se
denomina
pirámide
de
Pascal
a
una
pila
de
casillas
completadas
de
la
siguiente
manera
:
se
eligen
dos
números
enteros
positivos
m
y
n
;
el
primer
número
de
cada
fila
es
igual
a
m
(en
el
ejemplo
siguiente
m
=7
;
el
último
número
de
cada
fila
es
igual
a
n
(en
el
ejemplo
siguiente
n
=2
)
;
un
número
escrito
en
una
casilla
es
igual
a
la
suma
de
los
números
escritos
en
las
dos
casillas
situadas
justo
encima.
1
a
Reproduce
y
completa
el
ejemplo
de
la
pirámide
de
Pascal
anterior.
b
Para
cada
fila,
calcula
la
suma
de
los
números
que
aparecen
en
ella.
¾Qué
observas?
2
Si
consideramos
la
pirámide
de
Pascal
asociada
a
los
números
enteros
m
=1
y
n
=1
,
¾en
qué
fila
la
suma
de
los
números
será
igual
a
1024
?
3
Demuestra
que,
para
cualquier
número
entero
m
y
n
,
la
suma
de
los
números
de
la
cuarta
línea
es
igual
al
doble
de
la
suma
de
los
números
de
la
tercera
línea.
4
Completa
la
pirámide
de
Pascal
que
aparece
a
contin-uación
:
3.
Acerca
de
los
cocientes
E.8708
Expansión
decimal
Al
realizar
la
división
de
28
entre
27
,
encontramos
:
1
;
037
037
037
037
:
:
:
La
división
planteada
produce
una
escritura
decimal
periódica
ilimitada
del
cociente
28
27
.
El
período
de
esta
escritura
consta
de
tres
cifras
repetidas
(aquí
037)
.
El
5
e
decimal
es
3
.
1
¾Cuál
es
el
52
e
decimal
de
28
27
?
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/8844
sacados/8844
chapExoCorrec/8845
sacados/8845
chapExoCorrec/8846
sacados/8846
chapExoCorrec/8847
sacados/8847
7777722222Exemple de pyramide de Pascale avecm7etn2On n’a représenté ici que les cinq premières lignes
346
chapExoCorrec/8708
sacados/8708
53157428961811666138521041510...17...5168
345121314282930
2
Cuando
dividimos
19
entre
13
,
encontramos
:
1
;
461
538
461
538
461
538
:
:
:
¾De
cuántos
dígitos
está
formado
el
período?
¾Cuál
es
el
100
e
decimal
de
19
13
?
3
Cuando
dividimos
9
533
entre
270
,
encontramos
:
35
;
307
407
407
40
:
:
:
¾De
cuántos
dígitos
está
formado
el
período?
¾Cuál
es
el
1
000
e
decimal
de
9
533
270
?
4
La
escritura
decimal
de
1
97
muestra
un
período
de
96
dígitos
que
comienza
con
0309...
¾Cuál
es
el
96
e
dígito
de
este
período?
E.8756
Los
egipcios
solo
utilizaban
frac-ciones
con
numerador
1
,
a
excepción
de
la
fracción
2
3
.
Para
hallar
el
doble
de
sus
fracciones
con
numerador
1
,
se
disponía
de
tablas
cuyo
uso
se
describe
a
continuación
:
Por
ejemplo,
leyendo
la
primera
línea,
tenemos
:
El
doble
de
1
5
es
1
3
+
1
15
1
Interpreta
la
tercera
línea
de
la
tabla.
2
Falta
un
número
en
la
línea
del
15
y
otro
en
la
línea
del
17
.
Encuentre
estos
dos
números.
3
¾Por
qué
solo
hay
números
impares
en
la
primera
columna?
E.8850
¾Y
al
final,
qué
queda?
Se
escribe
la
lista
de
los
cien
números
:
1
,
1
2
,
1
3
,
1
4
,
.
.
.
,
1
98
,
1
99
,
1
100
a
la
que
aplicamos
el
siguiente
procedimiento
:
elegimos
los
números
a
y
b
de
la
lista
y
los
sustituimos
por
el
único
a
+
b
+
ab
,
y
luego
continuamos
de
la
misma
manera.
En
cada
paso,
el
número
pierde
una
unidad.
Al
final,
ya
no
se
puede
continuar,
solo
queda
un
número.
1
Si
procedemos
sistemáticamente
y
empezando
por
la
izquierda:
a
¾Qué
lista
obtenemos
después
del
primer
paso?
¾Y
tras
la
segunda?
b
¾Qué
número
obtenemos
tras
las
99
etapas?
2
¾Y
si
empezamos
por
la
derecha?
3
Si
procedemos
al
azar,
¾qué
resultados
podemos
obtener?
4.
Uso
del
poder
E.8851
1
¾Cuál
es
el
número
de
cifras
del
número
:
N
=10
2006
−
2006
2
¾Cuál
es
la
suma
de
los
dígitos
de
N
?
5.
Álgebra
y
ecuaciones
E.8806
Nuevo
Loto
En
una
partida
de
lotería,
cada
jugador
recibe
tarjetas
en
las
que
figuran
números
enteros.
Se
sortean
fichas
numeradas
y
se
anuncia
en
voz
alta
el
número
que
figura
en
cada
una
de
ellas.
Se
gana
cuando
se
han
anunciado
todos
los
números
de
una
línea
de
la
tarjeta.
½Esta
noche
las
reglas
han
cambiado
un
poco!
El
organizador
reparte
tarjetas
en
las
que
figuran
nueve
números
distribuidos
en
tres
filas
de
tres
números
consecu-tivos
(la
tabla
anterior
es
un
ejemplo
de
una
de
estas
tarje-tas)
.
1
El
organizador
anuncia
:
ˇ
se
ofrece
un
premio
a
quien
complete
una
fila
de
números
cuya
suma
sea
41
ı
.
¾Se
puede
ganar?
2
El
organizador
anuncia
:
ˇ
Se
ofrece
un
premio
de
conso-lación
a
quien
complete
una
línea
de
números
cuya
suma
sea
57
ı.
¾Cuáles
son
los
números
inscritos
en
una
línea
ganadora?
3
A
partir
de
ahora
:
ˇ
Se
ofrece
un
premio
de
consolación
a
quien
presente
una
línea
de
números
cuyo
producto
sea
múltiplo
de
6
ı.
¾Quién
gana?
En
esta
pregunta,
las
tarjetas
tienen
tres
líneas
de
cuatro
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/8756
sacados/8756
53157428961811666138521041510...17...5168
chapExoCorrec/8850
sacados/8850
chapExoCorrec/8851
sacados/8851
chapExoCorrec/8806
sacados/8806
345121314282930
816
23-2332818833813
números
consecutivos.
4
El
organizador
anuncia
:
ˇ
si
al
sumar
1
al
producto
de
los
cuatro
números
de
una
misma
línea,
se
obtiene
un
cuadrado
perfecto
∗
,
entonces
se
gana
un
premio
ı.
¾Quién
gana?
∗
Recordemos
que
un
cuadrado
perfecto
es
el
cuadrado
de
un
número
entero
E.9472
Nos
interesan
los
cuadrados
mági-cos
3
×
3
:
son
tablas
de
tres
filas
y
tres
columnas
(denomi-nadas
respectivamente
L
1
,
L
2
,
L
3
y
C
1
,
C
2
,
C
3
)
en
las
que
se
inscriben
9
números,
de
modo
que
las
sumas
de
los
números
escritos
en
cada
fila,
en
cada
columna
y
en
cada
diagonal
(las
diagonales
se
designan
por
D
1
y
D
2
)
son
iguales.
Esta
suma
común
se
denota
S
,
es
la
constante
del
cuadrado
mágico.
1
En
el
cuadrado
de
al
lado,
se
escriben
los
números
enteros
comprendidos
en-tre
1
y
9
.
Complételo
para
convertirlo
en
un
cuadrado
mágico.
2
De
las
dos
tablas
siguientes,
solo
una
es
mágica.
¾Cuál?
2
Designamos
con
x
un
número
cualquiera.
Nos
pregun-tamos
si
es
posible
crear
un
cuadrado
mágico
3
×
3
en
el
que
figuren
los
nueve
números
:
16
x
−
10
;
2
x
−
3
;
−
2
;
4
x
−
4
;
12
x
−
8
10
x
−
7
;
6
x
−
5
;
8
x
−
6
;
14
x
−
9
a
¾Cuál
sería
la
constante
de
este
cuadrado
mágico?
b
Proponer
un
cuadrado
mágico
3
×
3
utilizando
estos
nueve
números.
3
Proponer
finalmente
dos
cuadrados
mágicos
3
×
3
:
a
Un
cuadrado
de
9
números
todos
negativos
;
b
Un
cuadrado
de
constante
S
30
6.
Geometría
E.8705
Seis
semicírculos
de
radio
1
,
y
los
diámetros
de
tres
de
ellos,
determinan
el
dominio
que
se
muestra
a
continuación.
¾Cuál
es
el
área
de
este
dominio?
E.8842
Una
espiral
https://chingmath.fr
sacados/9472
816
23-2332818833813
23-2332818833813
chapExoCorrec/8705
sacados/8705
chapExoCorrec/8842
sacados/8842
étape 0
étape 1
étape 2
étape 3
étape 0
étape 1
étape 2
Esta
espiral
se
obtiene
trazando
sucesivamente
cuartos
de
cír-culo
con
radios
cada
vez
mayores.
El
primer
cuarto
de
círculo
tiene
un
radio
de
1
,
al
igual
que
el
segundo.
El
tercer
cuarto
de
círculo
tiene
un
radio
de
2
,
el
cuarto
de
3
y
el
siguiente
de
5
.
1
¾Cuál
es
el
radio
del
sexto
cuarto
de
círculo?
¾Y
el
del
séptimo?
¾Y
el
del
décimo?
2
El
radio
del
decimoquinto
cuarto
de
círculo
es
610
y
el
del
decimosexto
es
987
.
¾Cuál
es
el
radio
del
decimosép-timo?
3
¾Cuál
es
el
radio
del
vigésimo
cuarto
de
círculo?
E.8843
El
mejor
embalaje
Siete
tubos
cilíndricos
de
diámetro
20
cm
se
envuelven
con
cinta
adhesiva.
Pueden
disponerse
planos
o
en
haz,
como
se
muestra
en
las
figuras
siguientes.
En
cada
caso,
¾cuál
es
la
longitud
de
una
vuelta
de
la
cinta,
redondeada
al
milímetro
más
próximo?
Pista:
uso
:
ı
≈
3
;
1416
7.
A
las
suites
E.8828
Excava
cada
vez
más,
pero
cada
vez
menos.
1
La
alfombra
de
Sierpinski
Consideremos
un
cuadrado
de
lado
27
.
En
cada
paso,
eliminamos
el
cuadrado
central
de
cada
cuadrado
gris.
¾En
qué
etapa
el
área
de
la
alfombra
se
vuelve
inferior
a
la
mitad
del
área
inicial?
2
La
esponja
de
Sierpinski
Consideremos
ahora
un
cubo
de
arista
a
.
En
cada
etapa,
vaciamos
cada
cubo
de
siete
cubos
pe-queños
en
su
interior,
como
se
muestra
a
continuación.
¾En
qué
etapa
el
volumen
de
la
esponja
se
vuelve
inferior
a
la
mitad
del
volumen
inicial?
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/8843
sacados/8843
chapExoCorrec/8828
sacados/8828
étape 0
étape 1
étape 2
étape 3
étape 0
étape 1
étape 2
Etape no1Etape no2Etape no3
AUBMNZPODWCV
E.9471
Toda
la
fruta
está
dispuesta
en
fila
en
el
puesto
del
vendedor.
Las
naranjas
están
dispuestas
en
una
pirámide
de
base
cuadrada.
El
nivel
superior
contiene
una
sola
naranja.
Este
piso
lleva
la
marca
E
1
.
El
piso
de
abajo
se
anotará
E
2
,
y
así
sucesivamente.
Cada
naranja
se
asienta
sobre
otras
cuatro.
1
a
¾Cuántas
naranjas
hay
en
el
suelo
E
2
?
b
¾Cuántas
naranjas
hay
en
el
E
3
piso?
c
¾Cuántas
naranjas
hay
en
el
piso
E
10
?
d
¾Hay
un
piso
con
exactamente
64
naranjas?
e
¾Hay
un
piso
con
exactamente
200
naranjas?
2
¾Cuántas
naranjas
componen
:
a
una
pirámide
con
2
pisos?
b
¾una
pirámide
con
3
pisos?
c
¾una
pirámide
con
10
pisos?
3
Las
naranjas
del
puesto
se
han
dispuesto
formando
una
pirámide
de
siete
pisos.
Desgraciadamente,
la
pirámide
resultó
demasiado
inestable
y
hubo
que
formar
otras
más
pequeñas.
Propón
una
organización
piramidal
de
base
cuadrada
que
permita
disponer
todas
las
naranjas.
To-das
las
pirámides
estarán
completas
y
cada
una
tendrá,
al
menos,
3
pisos.
E.9473
Se
construye
una
secuencia
de
pa-
trones
mediante
un
proceso
cuyas
tres
primeras
etapas
se
muestran
a
continuación
:
La
unidad
de
superficie
es
el
cuadrado
de
la
cuadrícula
1
Para
cada
una
de
las
etapas
2
y
3
:
a
Determine
el
área
total
de
las
partes
interiores
claras;
b
Determine
el
área
total
de
las
partes
negras.
2
a
¾Cuál
es,
en
el
paso
4
,
el
área
total
de
las
partes
interiores
claras?
Y
la
de
las
partes
negras?
b
¾Y
en
el
paso
20
?
E.9474
Una
escalera
puede
subirse
de
uno
en
uno
o
de
dos
en
dos.
La
figura
de
la
derecha
muestra
un
ejemplo.
1
¾De
cuántas
maneras
se
puede
subir
una
escalera
un
es-calón?
dos
escalones?
tres
escalones?
cuatro
escalones?
cinco
escalones?
2
¾De
cuántas
formas
distintas
se
puede
subir
una
escalera
de
20
peldaños?
8.
Geometría
con
el
teorema
de
Pitágoras
E.8703
En
la
ciudad
de
Nimes,
unas
obras
han
llevado
al
descubrimiento
de
un
magnífico
mosaico
ro-mano
de
principios
del
siglo
III,
conocido
como
ˇmosaico
de
Penteoı.
Este
mosaico
se
compone
de
varios
paneles
figura-tivos
de
diversas
formas
geométricas,
separados
por
ˇ
tren-zası
(torsadas)
.
Es
obra
de
un
maestro
artesano
con
sólidos
conocimientos
de
ˇgeometría
prácticaı
y
capaz
de
ensamblar
arcos
de
círculo
en
diversas
formas
para
componer
finalmente
un
todo
armonioso.
En
la
figura
anterior,
se
ha
extraído
mentalmente
del
mosaico
un
óvalo
incluido
en
un
cuadrado
ABCD
de
lado
3
unidades,
a
su
vez
dividido
en
9
cuadrados.
Sabemos
que
el
óvalo
está
https://chingmath.fr
sacados/9471
sacados/9473
Etape no1Etape no2Etape no3
sacados/9474
chapExoCorrec/8703
sacados/8703
AUBMNZPODWCV
O2cmDEFsocle0;5cm0;5cmABC5cm2cm4cm
2cmGH5cm
1cm3cmZIGZAGAméricain3cmNoeudPapillon3cmGavageABCDEF
formado
por
4
cuartos
de
círculo.
1
¾Cuál
es
el
centro
de
cada
uno
de
estos
cuartos
de
cír-culo?
2
Calcular
el
perímetro
de
este
óvalo.
3
Calcular
el
área
de
este
óvalo.
4
a
Construir
un
óvalo
de
este
tipo
(tomaremos
3
cm
como
unidad)
.
b
Deducir
la
construcción
de
una
figura
con
el
mismo
perímetro,
pero
con
un
área
más
pequeña.
c
Construir
una
figura
con
el
mismo
perímetro,
pero
con
un
área
igual
a
4
unidades
de
área.
E.8711
Las
hormigas
1
A
continuación
se
muestran
dos
sólidos
:
un
par-alelepípedo
y
una
esfera
sobre
los
que
se
mueven
dos
hormigas.
La
hormiga
n
o
1
se
mueve
sobre
el
paralelepípedo
sigu-iendo
el
recorrido
formado
por
los
segmentos
[
AB
]
y
[
BC
]
.
La
hormiga
n
o
2
se
desplaza
sobre
una
bola
con
centro
O
y
radio
2
cm
que
descansa
sobre
una
base
de
1
cm
de
altura.
Parte
del
punto
D
,
se
dirige
a
E
,
siguiendo
el
segmento
[
DE
]
,
y
luego
llega
al
punto
F
siguiendo
el
semicírculo
de
diámetro
[
EF
]
.
¾Qué
hormiga
recorre
el
camino
más
corto?
2
Dos
hormigas
se
desplazan
sobre
un
cilindro
de
radio
2
cm
.
La
hormiga
n
o
1
parte
del
punto
G
y
describe
el
círculo
superior
del
cilindro
varias
veces
seguidas.
La
hormiga
n
o
2
,
por
su
parte,
se
desplaza
por
el
cilindro
siguiendo
la
trayectoria
marcada
con
flechas
de
G
a
H
,
tomando
el
camino
más
corto,
y
luego
vuelve
a
subir
por
G
por
el
mismo
camino.
Las
dos
hormigas
comienzan
su
recorrido
al
mismo
tiempo
y
se
desplazan
a
la
misma
velocidad,
que
se
supone
constante.
a
¾Se
encontrará
la
hormiga
n
o
2
con
la
hormiga
n
o
1
a
su
regreso
a
G
?
b
Imaginemos
que
las
dos
hormigas
continúan
movién-dose
de
esta
manera
sin
detenerse
¾Podrán
encon-trarse
en
algún
momento
en
G
?
Indicaciones
:
redondearemos
todos
los
resultados
al
milímetro
más
cercano.
Se
utilizará:
ı
≈
3
;
1416
E.8805
¾Sabes
clavar
clavos?
La
señora
Briqueau
quiere
colgar
un
cuadro
en
su
salón.
El
cuadro
es
rectangular
y
mide
84
cm
de
largo
y
56
cm
de
alto.
El
sistema
de
sujeción
consiste
en
una
cuerda
de
60
cm
de
largo,
atada
a
la
parte
posterior
del
cuadro
en
dos
puntos
situados
ambos
a
21
cm
del
borde
superior
del
cuadro
y
cada
uno
a
20
cm
de
uno
de
los
bordes
laterales.
La
pared
destinada
a
colgarlo
es
rectangular
y
mide
2
;
68
m
de
alto
por
3
;
78
m
de
ancho.
La
señora
Briqueau
desea
que,
una
vez
colocado,
el
marco
quede
centrado
en
anchura
(con
el
mismo
espacio
a
la
izquierda
y
a
la
derecha
del
marco)
y
que
su
borde
inferior
quede
horizontal
y
a
1
;
42
m
del
suelo.
1
¾A
qué
distancia
del
borde
izquierdo
de
la
pared
debe
colocar
la
señora
Briqueau
el
gancho?
2
¾Qué
forma
tendrá
la
cuerda
cuando
el
marco
esté
colo-cado?
3
¾A
qué
distancia
de
la
parte
superior
de
la
pared
deberá
colocar
el
gancho
la
señora
Briqueau?
(redondeado
al
milímetro)
?
E.8808
Los
cordones
Hay
varias
formas
de
atarse
los
cordones
de
los
zapatos.
Aquí
hay
tres
:
¾Cuál
es
el
cordón
más
largo?
(No
se
tiene
en
cuenta
la
longitud
de
los
cordones
que
se
uti-lizan
para
hacer
el
nudo)
.
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/8711
sacados/8711
O2cmDEFsocle0;5cm0;5cmABC5cm2cm4cm
2cmGH5cm
chapExoCorrec/8805
sacados/8805
chapExoCorrec/8808
sacados/8808
1cm3cmZIGZAGAméricain3cmNoeudPapillon3cmGavageABCDEF
ABCDE
4cm5cm5cm
CBAFG
491681?936
E.8809
En
los
ojos
Esquematizamos
los
ojos
mediante
discos
de
radios
5
mm
.
Ojo
de
gato
[
BC
]
y
[
DE
]
son
dos
diámet-ros
perpendiculares.
La
pupila
está
limitada
por
dos
arcos
de
circunferencia
de
centros
respectivos
B
y
C
,
que
pasan
por
D
.
Bunny
eye
La
pupila
está
delimitada
por
un
círculo
con
el
mismo
centro
que
el
ojo
y
radio
3
mm
.
¾Cuál
de
estos
dos
ojos
tiene
la
pupila
más
grande?
9.
Geometría
con
el
teorema
de
Tales
E.8710
La
corona
Los
vértices
del
polígono
sombreado
que
se
muestra
a
contin-uación
están
situados
en
rectas
paralelas
separadas
por
5
cm
.
La
ˇ
base
ı
tiene
una
longitud
de
4
cm
.
¾Cuál
es
el
área
de
este
polígono?
10.
Geometría
con
trigonometría
E.8807
Hexágonos
encajables
Sea
H
1
un
hexágono
regular
in-scrito
en
un
círculo
y
H
2
un
hexá-gono
regular
circunscrito
al
mismo
círculo.
En
la
figura
siguiente
(,
que
no
es
a
escala
real)
,
A
,
B
y
C
designan
tres
vértices
consecutivos
del
hexágono
H
2
y
G
y
F
,
los
puntos
medios
re-spectivos
de
los
segmentos
[
AB
]
y
[
BC
]
,
son
dos
vértices
del
hexágono
H
1
.
El
área
del
hexágono
H
2
es
340
m
2
.
¾Cuál
es
el
área
del
hexágono
H
1
?
E.9014
En
la
figura
siguiente
se
han
indi-cado
las
áreas
de
seis
cuadrados.
Uno
de
los
vértices
del
cuadrado
blanco
oblicuo
coincide
con
un
vértice
del
cuadrado
de
área
1
.
¾Cuál
es
el
área
de
este
cuadrado?
11.
Proporcionalidad,
porcentaje,
unidad
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/8809
sacados/8809
ABCDE
chapExoCorrec/8710
sacados/8710
4cm5cm5cm
chapExoCorrec/8807
sacados/8807
CBAFG
chapExoCorrec/9014
sacados/9014
491681?936
E.8804
BavardaCar
El
señor
A
debe
realizar
un
viaje
en
coche
de
350
km
(sin
peaje)
.
.
Debe
recoger
por
el
camino
a
otras
cuatro
personas,
la
señora
B
,
el
señor
C
,
la
señora
D
y
el
señor
E
,
que
se
dirigen
al
mismo
lugar
que
él.
Recoge
a
la
señora
B
después
de
60
km
de
viaje
y
luego
sigue
conduciendo
durante
60
km
antes
de
recoger
al
señor
C
y
a
la
señora
D
.
Recoge
al
señor
E
a
200
km
de
la
llegada.
El
gasto
en
combustible
se
estima
en
36
;
40
e
.
Se
barajan
diferentes
modos
de
reparto
de
los
gastos
entre
todos
los
ocupantes
del
coche
.
1
Primer
modo:
cada
uno
paga
la
misma
cantidad.
¾Cuál
es
esa
cantidad?
2
Segundo
modo:
la
parte
de
cada
uno
es
proporcional
a
la
distancia
que
ha
recorrido
en
el
coche.
¾Cuál
es
la
parte
de
cada
uno?
3
Tercer
método:
la
parte
de
cada
uno
se
calcula
te-niendo
en
cuenta,
en
cada
tramo,
el
número
de
personas
presentes
en
el
coche
y
la
longitud
del
tramo.
¾Cuál
es
la
parte
de
cada
uno?
E.8840
Carrera
de
persecución
Recientemente
se
ha
creado
un
nuevo
tipo
de
carrera
a
pie.
Todos
los
corredores
salen
al
mismo
tiempo
y
no
hay
línea
de
meta
que
cruzar.
Media
hora
más
tarde,
un
coche
sale
en
su
persecución.
Todo
corredor
que
sea
adelantado
por
el
coche
queda
eliminado.
El
último
corredor
adelantado
es
declarado
ganador
de
la
carrera.
El
objetivo
de
cada
corredor
es
recorrer
la
mayor
distancia
posible
antes
de
ser
alcanzado
por
el
coche.
Esta
es
la
organización
de
la
carrera:
Los
corredores
salen
a
las
10
de
la
mañana.
El
coche
que
los
persigue
sale
30
minutos
más
tarde.
Au-menta
su
velocidad
progresivamente
:
Durante
la
primera
hora,
circula
a
15
km
=
h
;
La
hora
siguiente,
circula
a
16
km
=
h
;
La
hora
siguiente,
circula
a
17
km
=
h
;
Las
dos
horas
siguientes,
circula
a
20
km
=
h
;
A
continuación,
estabiliza
su
velocidad
a
35
km
=
h
.
1
Robert
fue
alcanzado
por
el
coche
una
hora
después
de
su
salida.
¾Qué
distancia
recorrió?
2
Michèle
fue
alcanzada
por
el
coche
dos
horas
después
de
su
salida.
¾A
qué
velocidad
media
corrió?
3
Philippe
recorrió
30
km
antes
de
ser
alcanzado.
¾A
qué
hora
lo
alcanzó
el
coche?
4
El
ganador
de
la
carrera
del
año
pasado
recorrió
78
km
.
¾Cuánto
tiempo
corrió
y
a
qué
velocidad
media?
5
Victoire
cree
que
este
año
podrá
correr
durante
horas
a
14
km
=
h
.
Si
lo
consigue,
¾qué
distancia
recorrerá?
12.
Probabilidad
E.8848
Verdadero
-
Falso
Ludovic
debe
responder
a
un
test
de
25
preguntas.
Las
re-spuestas
son
ˇ
Verdadero
ı
ı
o
ˇ
Falso
ı.
ı.
Su
profesor
de
matemáticas
da
la
siguiente
indicación
:
en
cualquier
serie
de
5
respuestas
consecutivas,
hay
exactamente
tres
respuestas
ˇ
Verdadero
ı.
1
¾Por
qué
no
es
válida
la
siguiente
lista?
Pregunta
1
V
Pregunta
2
F
Pregunta
3
V
Pregunta
4
V
Pregunta
5
F
Pregunta
6
F
.
.
.
.
.
.
2
¾Cuántas
respuestas
ˇ
Verdadero
ı
hay
en
la
lista
de
25
respuestas?
3
El
profesor
indica
que
la
respuesta
a
la
primera
pregunta
es
ˇ
Falso
ı.
Ludovic
afirma
que
sabe
la
respuesta
a
la
sexta
sin
haber
leído
las
preguntas.
¾Cómo
lo
ha
hecho?
4
El
profesor
le
susurra
a
Ludovic
que
la
respuesta
a
la
última
pregunta
también
es
ˇ
Falso
ı.
Ludovic
afirma
que
ahora
puede
encontrar
todas
las
respuestas
sin
leer
las
preguntas.
¾Tiene
razón?
13.
Algoritmos
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/8804
sacados/8804
chapExoCorrec/8840
sacados/8840
chapExoCorrec/8848
sacados/8848
nombre entiermodulonombre entier=0
66modulo11=0
64modulo11=0
quandest cliquémettre à50% de la taille initialebasculer sur le costumeballon bleumettreordonnéeà-155mettrepointsà0aller à x:0y:ordonnéesiordonnéemodulo11=0alorsmettrepointsàpoints*3basculer sur le costumeballon jaunesiordonnéemodulo7=0alorsmettrepointsàpoints*2basculer sur le costumeballon violetmettrepointsàpoints+10basculer sur le costumeballon bleusinonsinonattendre2secondesajouter àordonnée15aller à x:0y:ordonnéesiordonnée<150alorsrépéter indé∏nimentligne 0ligne 1ligne 2ligne 3ligne 4ligne 5ligne 6ligne 7ligne 8ligne 9ligne 10ligne 11ligne 12ligne 13ligne 14ligne 15ligne 16ligne 17ligne 18
12364758910111213141517161819202122
quandest cliquéeInitialisationavancer deVitessetournerde90degréssiCapteurtouché?alorsrépéter indé∏nimentde∏nir Initialisationaller àDépartmettreVitesseà5
E.8706
En
Scratch,
el
comando
siguiente
comprueba
si
un
número
entero
es
divisible
por
otro
número
entero.
Por
lo
tanto,
la
proposición
es
ver-dadera,
ya
que
66=6
×
11
.
En
otras
palabras,
66
es
divisible
por
11
.
Por
el
contrario,
la
proposición
es
falsa,
ya
que
64
no
es
divisible
por
11
.
El
siguiente
comando
se
utiliza
para
programar
el
desplaza-miento
vertical
de
un
sprite
que
representa
un
balón
que
cam-bia
de
color
(azul,
violeta
o
amarillo)
en
función
de
su
orde-nada
y
cada
paso
permite
modificar
el
número
de
puntos.
a
Cada
vez
que
se
pasa
por
el
bucle
ˇ
Si
la
ordenada
es
infe-rior
a
150
ı,
¾en
cuánto
aumenta
la
ordenada
del
balón?
b
Si
la
ordenada
del
balón
es
igual
a
55
,
explique
por
qué
el
número
de
puntos
se
multiplica
por
3
.
c
Si
la
ordenada
del
balón
es
igual
a
100
,
¾qué
ocurre
con
el
número
de
puntos?
d
¾Para
qué(s)
ordenadas(s)
el
balón
pasa
por
el
color
amar-illo?
¾Por
qué?
e
¾Cuál
será
la
puntuación
final
del
balón?
f
¾Por
qué
número
debo
sustituir
el
valor
ˇ10ı
(línea
14)
para
que
la
puntuación
final
sea
igual
a
955
?
g
¾Por
qué
número
hay
que
sustituir
el
valor
2
(línea
11)
para
que
el
número
de
puntos
sea
igual
a
17
300
?
E.8707
Gymkhana
para
robots
Se
coloca
un
robot
sobre
una
plataforma
cuadriculada
en
la
que
se
disponen
obstáculos
numerados.
Se
coloca
en
la
salida,
listo
para
avanzar
en
la
dirección
de
la
flecha.
Este
robot
está
equipado
con
un
sensor
de
presencia
situado
en
la
parte
delantera.
Este
sensor
permite
detectar
un
ob-stáculo
situado
delante
de
él.
Por
último,
este
robot
también
está
equipado
con
un
chip
que
permite
programar
sus
movimientos
con
un
lenguaje
por
bloques
tipo
ˇ
Scratch
ı
ı
o
ˇ
MBlock
ı.
ı.
El
siguiente
programa
se
ha
implantado
en
el
chip
de
este
robot.
A
continuación,
el
robot
se
pone
en
marcha
mediante
la
ban-dera
verde.
1
Indique
la
lista
de
los
diez
primeros
obstáculos
encontra-dos.
2
¾Cuál
será
el
50
ème
obstáculo
con
el
que
se
encontrará?
3
¾Cuál
será
el
2019
ème
obstáculo
con
el
que
se
encontrará?
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/8706
sacados/8706
nombre entiermodulonombre entier=0
66modulo11=0
64modulo11=0
quandest cliquémettre à50% de la taille initialebasculer sur le costumeballon bleumettreordonnéeà-155mettrepointsà0aller à x:0y:ordonnéesiordonnéemodulo11=0alorsmettrepointsàpoints*3basculer sur le costumeballon jaunesiordonnéemodulo7=0alorsmettrepointsàpoints*2basculer sur le costumeballon violetmettrepointsàpoints+10basculer sur le costumeballon bleusinonsinonattendre2secondesajouter àordonnée15aller à x:0y:ordonnéesiordonnée<150alorsrépéter indé∏nimentligne 0ligne 1ligne 2ligne 3ligne 4ligne 5ligne 6ligne 7ligne 8ligne 9ligne 10ligne 11ligne 12ligne 13ligne 14ligne 15ligne 16ligne 17ligne 18
chapExoCorrec/8707
sacados/8707
12364758910111213141517161819202122
quandest cliquéeInitialisationavancer deVitessetournerde90degréssiCapteurtouché?alorsrépéter indé∏nimentde∏nir Initialisationaller àDépartmettreVitesseà5
123456ABCDBonnesNerépondspasFaussesScore00=8-A2-B2=A2*5+B2*(-2)+C2*(-3)017-23026-22035-21044-2000=8-A2-B2=A2*5+B2*(-2)+C2*(-3)00=8-A2-B2=A2*5+B2*(-2)+C2*(-3)
quandaestpressémettreà250%delatailleinitialemettrecyclesà0costumesuivantRépéter14foisajouteràcycles1stoptoutsicycles=40alorsrépéterindé∏nimentcycles:40chrono:12.7
E.8712
Louise,
Nassim,
Ilam
y
Sophie
participan
en
un
concurso
televisivo
que
consta
de
2
rondas.
En
la
1
ère
ronda,
estos
cuatro
concursantes
deben
responder
cada
uno
a
tres
preguntas.
Por
cada
respuesta
correcta,
el
ju-gador
gana
5
puntos,
pierde
2
puntos
si
no
responde
y
pierde
3
puntos
si
su
respuesta
es
incorrecta.
El
candidato
que
obtenga
menos
puntos
es
eliminado
en
la
1
er
ronda.
Louise
solo
responde
a
2
preguntas,
una
de
las
cuales
es
in-correcta.
Nassim
responde
a
todas
las
preguntas
:
2
son
correctas.
Ilam
responde
correctamente
a
las
primeras
2
preguntas,
pero
no
responde
a
la
última.
Sophie
solo
responde
a
una
pregunta,
pero
es
correcta.
1
a
¾Qué
concursante
es
eliminado
en
esta
1
ère
ronda
del
juego?
b
Enumera
todas
las
puntuaciones
posibles
que
puede
obtener
un
concursante
que
juegue
a
este
juego
en
la
1
ère
ronda.
2
En
la
2
ème
ronda
del
juego,
el
principio
es
el
mismo,
pero
los
concursantes
deben
responder
a
8
preguntas.
Zoe
ve
este
juego
en
su
casa.
Saca
su
tableta
y
abre
una
hoja
de
cálculo
en
un
procesador
de
textos.
Esto
es
lo
que
escribe
:
¾A
partir
de
cuántas
respuestas
correctas
se
puede
obtener
una
puntuación
positiva?
E.8713
Las
doce
imágenes
siguientes
están
extraídas
de
un
archivo
de
imágenes
animadas
(que
contiene
realmente
15
imágenes
sucesivas)
que
muestran
el
desarrollo
de
una
flor
desde
su
nacimiento
hasta
su
muerte.
Solo
la
primera
y
la
última
imagen
están
colocadas
correctamente.
1
re
parte
:
Indique
el
orden
de
desplazamiento
de
las
otras
diez
imágenes
durante
la
animación.
2
ème
parte
:
Preguntas
preliminares
:
comprensión
del
algoritmo
a
¾Qué
hay
que
hacer
para
iniciar
el
programa?
b
¾Cuántos
ciclos
de
la
flor
se
pueden
observar
antes
de
que
se
detenga
el
programa?
c
¾Cuál
es
la
ˇ
duración
ı
de
la
animación?
d
¾La
variable
ciclos
que
se
muestra
es
el
número
de
ciclos
ya
ejecutados
o
el
rango
del
ciclo
que
se
está
ejecutando?
Justifique
su
elección.
Pregunta
1
¾Cuál
sería
la
duración
de
la
animación
para
exactamente
5
ciclos?
9
ciclos?
Pregunta
2
Cuando
el
cronómetro
muestra
el
final
del
9
ème
ˇ
segundo
ı,
,
¾cuál
es
el
número
de
ciclos
que
se
muestra?
¾Qué
ˇ
traje
ı
del
ˇ
duende
ı
aparecería
en
la
imagen
en
ese
mo-mento?
14.
Fin
de
año:
con
notable
identidad
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/8712
sacados/8712
123456ABCDBonnesNerépondspasFaussesScore00=8-A2-B2=A2*5+B2*(-2)+C2*(-3)017-23026-22035-21044-2000=8-A2-B2=A2*5+B2*(-2)+C2*(-3)00=8-A2-B2=A2*5+B2*(-2)+C2*(-3)
chapExoCorrec/8713
sacados/8713
quandaestpressémettreà250%delatailleinitialemettrecyclesà0costumesuivantRépéter14foisajouteràcycles1stoptoutsicycles=40alorsrépéterindé∏nimentcycles:40chrono:12.7
ABCHKJ
OABCD
OABCDEFGH
E.8757
El
triángulo
ABC
adjunto
es
tal
que
:
AC
=
13
;
AB
=
14
;
BC
=
15
Sean
H
,
J
,
K
los
pies
de
las
alturas
que
parten
respectiva-mente
de
los
vértices
C
,
A
,
B
.
1
Demuestre
que
CH
es
un
número
entero.
2
Demuestra
que
AJ
es
un
número
decimal
y
que
BK
es
un
cociente
de
números
enteros.
3
Propón
un
triángulo
cuyos
tres
lados
y
tres
alturas
ten-gan
longitudes
que
sean
números
enteros.
15.
Ejercicios
no
clasificados
E.9747
Suma
de
números
En
este
ejercicio,
los
números
considerados
son
enteros
es-critos
según
la
numeración
decimal.
Para
este
ejercicio,
llamamos
peso
de
un
número
N
a
la
suma
de
sus
cifras.
1
¾Cuál
es
el
peso
del
número
29
?
Cuál
es
el
peso
del
número
7
646
?
2
Sugiere
tres
números
diferentes
del
mismo
peso
42
.
3
¾Es
correcto
afirmar
que
ˇ
cuantas
más
cifras
tiene
un
número,
mayor
es
su
peso
ı?
4
¾Cuál
es
el
menor
número
de
pesos
50
?
5
¾Cuál
es
el
menor
número
de
pesos
2
022
?
6
¾Podemos
encontrar
un
número
que
se
escriba
sólo
con
5
y
7
y
cuyo
peso
sea
53
?
7
¾Podemos
encontrar
un
número
escrito
sólo
con
3
y
6
y
cuyo
peso
sea
200
?
E.9748
Cuadrado
inscrito
en
un
círculo
inscrito.
.
.
La
unidad
de
longitud
es
el
cm.
Atención
:
las
figuras
no
es-tán
a
escala.
Todos
los
resultados
numéricos
solicitados
deben
ser
valores
exactos.
En
la
figura
anterior
se
representa
el
círculo
C
1
,
con
centro
O
y
radio
2
.
Los
segmentos
[
AC
]
y
[
BD
]
son
dos
diámetros
perpendiculares
de
este
círculo.
1
¾Cuál
es
la
naturaleza
del
cuadrilátero
ABCD
?
Se
dice
que
el
círculo
C
1
es
el
círculo
circunscrito
al
cuadrado
ABCD
.
2
¾Cuál
es
el
área
de
la
parte
sombreada
de
la
figura?
Consideremos
el
cuadrado
EFGH
cuyos
lados
son
paralelos
a
los
de
ABCD
y
tangentes
al
círculo
C
1
.
Se
dice
que
el
círculo
C
1
está
inscrito
en
el
cuadrado
EFGH
.
Del
mismo
modo
que
antes,
consideramos
que
el
círculo
C
2
está
circun-scrito
al
cuadrado
EFGH
.
La
siguiente
figura
representa
esta
situación.
3
Calcula
el
área
de
la
parte
sombreada
en
esta
nueva
figura.
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/8757
sacados/8757
ABCHKJ
chapExoCorrec/9747
sacados/9747
Olympiades
Mars 2022
chapExoCorrec/9748
sacados/9748
Olympiades
Mars 2022
OABCD
OABCDEFGH
Corde à13noeuds et triangle égyptien
ABCDEF
4
Siguiendo
el
mismo
principio,
se
puede
construir
una
nueva
figura
con
un
círculo
C
3
circunscrito
a
un
nuevo
cuadrado
IJKL
cuyos
lados
serían
tangentes
a
C
2
y
par-alelos
a
los
lados
del
cuadrado
EFGH
.
¾Cuál
es,
en
esta
nueva
figura,
el
área
comprendida
entre
el
círculo
C
3
y
los
lados
del
cuadrado
IJKL
?
E.9749
Tríadas
pitagóricas
Se
da
una
unidad
de
longitud
en
el
plano.
Un
triángulo
ABC
tiene
los
siguientes
lados
:
AB
=
15
;
AC
=
8
;
BC
=
17
1
Demuestra
que
este
triángulo
es
rectángulo,
indicando
qué
punto
es
el
vértice
del
ángulo
recto.
De
manera
más
general,
nos
interesan
los
triángulos
rectán-gulos
cuyos
lados
tienen
longitudes
enteras.
Se
establece
:
AB
=
m
;
AC
=
n
;
BC
=
p
.
Supongamos
que
m<n<p
y
digamos
que
el
trío
(
m
;
n
;
p
)
es
pitagórico
.
2
a
Si
(
m
;
n
;
p
)
es
un
triplete
pitagórico,
¾qué
punto
es
el
vértice
del
ángulo
recto
del
triángulo
rectángulo
ABC
asociado?
b
Demuestra
que
3
;
4
;
5
es
un
triplete
pitagórico.
Los
triángulos
asociados
son
los
ˇ
triángulos
egipcios
ı.
c
Demuestra
que,
si
el
triplete
m
;
n
;
5
es
pitagórico,
entonces
m
=3
y
n
=4
.
La
tablilla
Plimpton
322
(Universidad
de
Columbia,
Nueva
York)
da
testimonio
de
las
in-vestigaciones
realizadas
por
los
babilonios.
4
Se
supone
que
el
triplete
(5
;
n
;
p
)
es
pitagórico.
a
Demostrar
que
:
p
−
n
p
+
n
=25
b
Comparar
p
+
n
y
p
−
n
y
deducir
sus
valores
y,
final-mente,
los
valores
de
p
y
n
.
El
triángulo
asociado
se
denomina
ˇ
babilónico
ı.
5
¾Existen
números
enteros
m
y
p
tales
que
el
triplete
(
m
;
5
;
p
)
sea
pitagórico?
E.9750
Ángulo
desconocido
El
ángulo
en
C
del
triángulo
ABC
mide
70
o
.
Se
ha
colocado
en
el
lado
[
BC
]
el
punto
D
y
en
el
lado
[
AC
]
el
punto
E
,
de
modo
que
:
BD
=
DE
=
EA
.
Los
segmentos
[
BE
]
y
[
AD
]
se
cortan
en
F
.
¾Cuál
es
la
medida
del
ángulo
AFB
?
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/9749
sacados/9749
Olympiades
Mars 2022
Corde à13noeuds et triangle égyptien
chapExoCorrec/9750
sacados/9750
Olympiades
Mars 2022
ABCDEF