a
ESO
Prim 6
ESO 1
ESO 2
ESO 3
Ressource
Fuera ESO
Bach.
ESO 4
Bachi 1
Bachi 1- STMG
Bachi 2-STMG
Bachi 2
Bachi 2 - Comp.
Bachi 2 - Exp.
Ressource
Fuera Bachi.
4
3
2
1
ESO 2
/ Otros
9 ejercicios (incluyendo 3 corregidos)
a
Trillizos pitagóricos
(2 ejercicios)
Raíces cuadradas
(1 ejercicio)
El sistema GPS y la triangulación
(3 ejercicios)
1.
T
ril
lizos
pitagóric
os
E.1951
El
triplete
a
;
b
;
c
)
de
en
teros
se
dice
que
es
pitagórico
si
:
a
2
+
b
2
=
c
2
A
quí,
un
estudio
de
v
arias
formas
de
obtener
triples
pitagóri-
cos
:
1
La
fórm
ula
pitagórica
:
a
Complete
la
siguien
te
tabla
:
n
2
n
+1
2
n
2
+2
n
2
n
2
+2
n
+1
1
2
5
b
Dem
uestre,
utilizando
la
calculadora,
que
para
:
n
=
1
;
n
=
2
;
n
=
5
T
rillizos
de
en
teros
:
2
n
+1
;
n
2
+2
n
;
2
n
2
+2
n
+1
son
tripletes
pitagóricos.
2
Fórm
ula
de
Platón
:
a
Complete
la
siguien
te
tabla
:
n
2
n
n
2
−
1
n
2
+1
1
2
6
b
Dem
uestre,
utilizando
la
calculadora,
que
para
:
n
=
1
;
n
=
2
;
n
=
6
los
tripletes
de
en
teros
2
n
;
n
2
−
1
;
n
2
+1
son
tripletes
pitagóricos.
3
Fórm
ula
de
Euclides
:
a
Complete
la
siguien
te
tabla
:
m
n
2
mn
m
2
−
n
2
m
2
+
n
2
2
1
3
2
5
2
b
Dem
uestre,
utilizando
la
calculadora,
que
los
tres
tripletes
de
en
teros
2
mn
;
m
2
−
n
2
;
m
2
+
n
2
son
tripletes
pitagóricos.
E.1345
1
Utilizando
la
doble
distributividad,
dem
uestre
la
sigu-
ien
te
igualdad
:
(2
n
2
+
2
n
)(2
n
2
+
2
n
)
=
4
n
4
+
8
n
3
+
4
n
2
2
Dé
la
forma
desarrollada
y
reducida
de
la
siguien
te
ex-
presión
:
(2
n
+
1)
2
(Utilic
e
la
doble
distributividad
c
on
(2
n
+1)(2
n
+1)
)
3
Establezca
la
siguien
te
igualdad
:
(2
n
2
+
2
n
+
1)
2
=
4
n
4
+
8
n
3
+
8
n
2
+
4
n
+
1
4
Dem
uestre
que
el
triplete
2
n
+1
;
2
n
2
+2
n
;
2
n
2
+2
n
+1
es
un
triplete
pitagórico
para
to
do
n
en
tero
p
ositiv
o.
2.
R
aíc
es
cuadr
adas
E.1956
Definición
:
(pr
ovisional)
Sea
a
un
n
úmero
p
ositiv
o.
Se
denomina
raíz
cuadrada
del
n
úmero
a
al
n
úmero
p
ositiv
o
tal
que
su
cuadrado
es
igual
a
a
.
Comencemos
p
or
demostrar
que
solo
existe
un
n
úmero
que
hace
conm
utar
el
siguien
te
diagrama
:
1
Sup
ongamos
la
existencia
de
dos
n
úmeros
a
y
b
p
ositiv
os
tales
que
a
2
=
b
2
.
a
Desarrollar
y
reducir
la
expresión
:
(
a
+
b
)(
a
−
b
)
.
b
¾Qué
p
o
demos
decir
de
los
dos
n
úmeros
x
y(
y
que
v
erifican
:
x
×
y
=
0
c
Deduzcamos
que
:
a
−
b
=
0
.
A
cabamos
de
demostrar
la
unicidad
de
la
raíz
cuadrada.
La
definición
an
terior
se
transforma
en
:
Definición
:
sea
a
un
n
úmero
p
ositiv
o.
Se
denomina
raíz
cuadrada
del
n
úmero
a
al
único
n
úmero
p
ositiv
o
tal
que
su
cuadrado
v
ale
a
.
Se
denota
este
n
úmero
a
Estudio
de
algunas
propiedades
algebraicas
:
2
a
Calcular
el
cuadrado
del
n
úmero
5
×
3
.
b
Comparar
5
×
3
y
√
15
.
c
Con
el
mismo
méto
do,
demostrar
la
siguien
te
igualdad
para
cualquier
n
úmero
a
y
b
p
ositiv
o
:
√
a
×
√
b
=
√
a
×
b
3
a
Simplifica
el
siguien
te
cálculo
:
7
3
×
7
3
b
Completa
la
siguien
te
frase
:
7
3
es
un
n
úmero
cuy
o
cuadrado
es
.
.
.
.
.
.
c
Del
mismo
mo
do,
demostrar
que
para
to
dos
los
n
úmeros
p
ositiv
os
a
y
b
,
con
b
=
0
,
se
tiene
a
b
=
a
b
Algunas
simplificaciones
de
fracciones
:
4
a
¾Qué
n
úmero
elev
ado
al
cuadrado
es
igual
a
5
2
?
b
Deduzca
el
v
alor
de
5
2
.
c
Del
mismo
mo
do,
para
cualquier
n
úmero
real
p
ositiv
o
a
,
determinar
el
v
alor
de
a
2
.
5
a
Establecer
la
igualdad
50
=
5
2
elev
ando
cada
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
sacados/1951
sacados/1345
sacados/1956
E
F
G
miem
bro
al
cuadrado.
(Estable
c
er
la
igualdad
utilizando
la
igualdad)
b
Determinar
dos
n
úmeros
en
teros
a
y
b
tales
que
:
50
=
a
2
×
b
c
Utilizando
las
pregun
tas
2
et
4
,
establecer
la
igual-
dad
de
otra
manera
:
50
=
5
2
3.
El
sistema
GPS
y
la
triangulación
E.1344
Los
únicos
instrumen
tos
p
ermitidos
son
la
regla
y
el
compás
:
1
En
la
figura
siguien
te,
sitúe
el
pun
to
M
que
cumpla
las
siguien
tes
condiciones
:
E
M
=
5
cm
;
F
M
=
4
cm
;
GM
=
7
cm
2
¾Son
suficien
tes
dos
pun
tos
para
determinar
con
precisión
la
p
osición
de
un
tercer
pun
to
en
el
plano?
Justifique
su
respuesta.
Observ
ación
:
la
La
triangularización
median
te
la
medición
de
distancias
(o
la
trilater
ación)
p
ermite
cono-
cer
la
p
osición
exacta
de
un
pun
to
a
partir
de
su
distancia
con
resp
ecto
a
otros
pun
tos.
En
el
plano,
en
la
sup
erficie
de
la
Tierra,
se
necesitan
al
menos
tres
pun
tos
para
lo
calizar
con
exactitud
un
pun
to.
E.1346
Nota
:
El
cuarzo
es
un
mineral
que
p
ermite
sincronizar
to
dos
los
relo
jes
actuales.
El
cuarzo
se
obtiene
a
partir
del
sílice,
que
p
osee
el
efecto
piezo
eléctrico
descubierto
p
or
Pierre
y
Jacques
Curie
en
1880.
A
con
tin
uación
se
ofrece
una
brev
e
descrip
ción
del
efecto
piezo
eléctrico
:
sometido
a
tensiones
mecánicas
(pr
esión,
estir
amiento)
,
desarrolla
un
camp
o
eléctrico
;
sometido
a
un
camp
o
eléctrico,
el
cuarzo
sufre
deforma-
ciones.
La
primera
propiedad
se
utiliza,
en
particular,
en
los
en-
cendedores
de
gas
:
al
pulsar
un
b
otón,
el
encendedor
crea
un
arco
eléctrico.
La
segunda
propiedad
se
utiliza
en
minimotores
(nanote
c-
nolo
gía)
.
En
los
relo
jes,
un
sistema
electrónico
p
ermite
alternar
estas
dos
propiedades
y
estabilizar
esta
alternancia
a
una
frecuen-
cia
de
32
768
H
z
:
así,
el
cuarzo
vibrará
de
forma
regular
32
768
v
eces
p
or
segundo.
Sup
ongamos
cuatro
ob
jetos
que
p
oseen
un
relo
j
in
terno
a
jus-
tado
a
la
misma
hora
:
3
emisores
(
E
,
F
,
G
)
y
1
receptor
(
R
)
.
Se
sup
one
que
las
ondas
emitidas
p
or
los
3
transmisores
se
propagan
a
la
v
elo
cidad
de
la
luz,
cuy
o
v
alor
es
3
×
10
8
m
=
s
(en
r
e
alidad
299
792
458
m
=
s
)
.
El
receptor
R
,
a
justado
a
la
misma
hora,
puede
medir
el
tiemp
o
recorrido
p
or
la
señal
de
cada
emisor.
A
con
tin
uación
se
m
uestra
uno
de
sus
registros
:
Tiemp
o
de
parcours
de
la
señal
Distance
real
(en
cm
)
Distancia
a
la
escala
(en
cm
)
de
E
a
R
0
;
0004
s
de
F
a
R
0
;
001
s
de
G
a
R
0
;
0017
s
1
Calcular
la
distancia
que
separa
el
pun
to
M
de
cada
uno
de
los
receptores.
2
Estos
son
los
pun
tos
E
,
F
,
G
represen
tados
en
un
mapa
a
escala
1
=
6
000
000
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/1344
sacados/1344
E
F
G
sacados/1346
E
F
G
S
1
S
2
O
R
S
E
F
G
H
I
R
S
E
F
G
H
I
Premier cas
Second cas
S
R
E
F
G
H
I
S
R
E
F
G
H
I
Troisième cas
Quatrième cas
R
S
T
Colo
car
el
pun
to
R
(las
líne
as
de
c
onstruc
ción
deb
en
p
er-
mane
c
er
visibles)
.
Nota
:
el
sistema
de
p
osicionamien
to
GPS
(Glob
al
Position-
ing
System)
está
compuesto
p
or
29
satélites
en
órbita.
Cada
uno
de
estos
satélites
llev
a
a
b
ordo
un
relo
j
atómico
(vé
ase
el
r
e
cuadr
o)
y
en
vía
una
señal
a
in
terv
alos
regulares
que
in-
cluy
e
la
p
osición
del
satélite
y
la
fec
ha
y
hora
de
emisión
del
mensa
je.
Los
sistemas
de
relo
jes
de
cuarzo
tienen
un
margen
de
er-
ror
de
unos
p
o
cos
segundos
al
año,
mien
tras
que
los
relo
jes
atómicos,
basados
en
las
propiedades
vibratorias
del
átomo
de
cesio,
tienen
una
precisión
de
unos
p
o
cos
segundos
p
or
millón
de
años.
Un
observ
ador
O
situado
en
la
Tierra
que
recib
e
la
señal
de
dos
satélites
y
es
capaz
de
medir
la
distancia
que
lo
separa
de
ellos.
Esto
no
es
suficien
te
para
cono-
cer
su
p
osición
exacta
:
la
in
ter-
sección
de
dos
esferas
puede
ser
un
círculo.
P
ara
que
un
receptor
GPS
funcione
correctamen
te,
es
nece-
sario
recibir
como
mínimo
las
señales
de
4
satélites
para
determinar
su
p
osición
en
la
Tierra.
E.1347
A
quí
ha
y
cuatro
figuras
que
represen
tan
los
mismos
pun
tos
R
y
S
y
una
curv
a
de
niv
el
en
tre
estos
dos
pun
tos.
1
Completa
la
siguien
te
tabla
:
En
cada
uno
de
los
casos,
completa
la
siguien
te
tabla
:
R
F
S
F
R
F
−
S
F
R
I
S
I
R
I
−
S
I
1
o
2
o
3
o
4
o
Nota
:
cada
una
de
estas
curv
as
represen
ta
el
conjun
to
de
pun
tos
tal
que
la
diferencia
de
distancia
que
los
separa
de
los
pun
tos
R
y
S
es
constan
te.
Estas
curv
as
se
denominan
hip
érb
olas
y
los
pun
tos
R
y
S
se
denominan
fo
cos
de
la
hip
érb
ola.
Estas
curv
as
se
utilizan,
en
tre
otras
cosas,
para
determi-
nar
el
epicen
tro
de
un
terremoto
:
no
se
cono
ce
la
hora
de
emisión
de
las
ondas
sísmicas,
p
ero
se
detecta
la
diferencia
de
llegada
de
la
señal
en
tre
dos
receptores.
En
este
caso,
tam
bién
se
necesitan
tres
receptores
para
cono-
cer
la
p
osición
exacta
de
la
fuen
te
de
emisión.
3
A
con
tin
uación
se
m
uestra
un
corte
de
la
Tierra,
donde
los
pun
tos
R
,
S
y
T
represen
tan
receptores
situados
en
la
sup
erficie
terrestre
:
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
E
F
G
S
1
S
2
O
sacados/1347
R
S
E
F
G
H
I
R
S
E
F
G
H
I
Premier cas
Second cas
S
R
E
F
G
H
I
S
R
E
F
G
H
I
Troisième cas
Quatrième cas
R
S
T
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
S
T
Agde
Sète
Mon
tp
ellier
Nîmes
Balaruc
D31
D31
A9
27
k
m
Balaruc
A9
90
k
m
Nîmes
D31
54
k
m
Nîmes
D31
A9
Balaruc
14
k
m
1
2
3
A
B
C
D
E
F
Nom
bre
de
demi-journées
T
arif
A
T
arif
B
1
8
35
2
16
40
3
4
5
Se
sab
e
que
:
las
ondas
sísmicas
llegaron
al
mismo
tiemp
o
al
receptor
R
y
al
S
mien
tras
que
la
señal
llegó
con
Δ=4
s
segundos
de
an-
telación
al
receptor
S
en
comparación
con
el
receptor
T
.
Determinar
la
p
osición
exacta
del
fo
co
F
del
terremoto.
4.
Ejer
cicios
no
clasific
ados
E.6336
P
aul
quiere
ir
de
Agde
a
Mon
tp
ellier.
Tiene
dos
op
ciones
:
o
bien
toma
la
autopista
A9
,
o
bien
toma
la
carretera
departamen
tal
D31
.
A
con
tin
uación
se
m
ues-
tra,
de
forma
esquemática,
la
información
que
obtiene
en
un
mapa
:
1
Calcula
que
circula
a
una
v
elo
cidad
media
de
110
k
m
=
h
p
or
la
autopista
y
de
75
k
m
=
h
p
or
las
carreteras
departa-
men
tales.
¾Qué
ruta
deb
e
tomar
para
llegar
lo
más
rápido
p
osible
a
la
ciudad
de
Mon
tp
ellier?
2
En
la
misma
ruta,
A
deline
sale
a
las
9
h
p
or
la
carretera
departamen
tal,
mien
tras
que
Juliette
sale
a
las
9
h
15
.
¾Cuál
de
las
dos
conductoras
llegará
an
tes
a
Mon
tp
el-
lier?
E.8945
Una
aso
ciación
ofrece
div
ersas
actividades
para
man
tener
o
cupados
a
los
niños
duran
te
las
v
acaciones
escolares.
Existen
v
arias
tarifas
:
T
arifa
A
:
8
e
p
or
media
jornada
;
T
arifa
B
:
un
ab
ono
de
30
e
que
da
derec
ho
a
una
tarifa
preferen
te
de
5
e
p
or
media
jornada.
Se
ha
preparado
un
arc
hiv
o
de
ho
ja
de
cálculo
para
calcular
el
coste
a
pagar
en
función
del
n
úmero
de
medias
jornadas
de
actividades
para
cada
una
de
las
tarifas
propuestas
:
Las
pregun
tas
1
,
2
,
4
y
5
no
requieren
justificación.
1
Completa
esta
tabla.
2
Encuen
tra
en
tre
las
siguien
tes
respuestas
la
fórm
ula
que
se
in
tro
dujo
en
la
celda
B3
an
tes
de
estirarla
hacia
la
derec
ha
:
a
=8
×
B1
b
=30
×
B1+5
c
=5
×
B1+30
×
BA
d
=30+5
×
B1
e
=35
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
S
T
sacados/6336
Agde
Sète
Mon
tp
ellier
Nîmes
Balaruc
D31
D31
A9
27
k
m
Balaruc
A9
90
k
m
Nîmes
D31
54
k
m
Nîmes
D31
A9
Balaruc
14
k
m
chapExoCorrec/8945
sacados/8945
1
2
3
A
B
C
D
E
F
Nom
bre
de
demi-journées
T
arif
A
T
arif
B
1
8
35
2
16
40
3
4
5
quand
est cliqué
cacher
mettre la taille du stylo à
1
e∑acer tout
aller à x:
0
y:
0
Rectangle
ajouter
40
à
x
ajouter
-20
à
y
répéter
5
fois
de∏nir rectangle
stylo en position d’écriture
s’orienter à
90
degrés
avancer de
40
tourner
de
90
degrés
avancer de
20
tourner
de
90
degrés
répéter
2
fois
relever le stylo
ajouter
1
à la taille du stylo
E.8898
Queremos
crear
un
friso
formado
p
or
rectángulos.
P
ara
ello,
hemos
escrito
el
siguien
te
programa
:
Recordemos
que
la
instrucción
ˇ
orien
tar
90
ı
es
orien
tar
hori-
zon
talmen
te
hacia
la
derec
ha.
En
este
ejercicio
no
es
necesario
justificar.
1
¾Cuáles
son
las
co
ordenadas
del
pun
to
inicial
de
la
parcela?
2
¾Cuán
tos
rectángulos
dibuja
el
script
principal?
3
Dibuja
a
mano
alzada
la
figura
obtenida
con
el
script
principal.
4
a
Sin
mo
dificar
el
script
principal,
hemos
obtenido
la
siguien
te
figura
formada
p
or
rectángulos
de
longitud
40
píxeles
y
anc
h
ura
20
píxeles.
Prop
onga
una
mo
difi-
cación
del
blo
que
ˇ
rectangle
ı
que
p
ermita
obtener
esta
figura.
b
¾Dónde
p
o
demos
en
tonces
añadir
la
instrucción
:
en
el
script
principal
para
obtener
la
figura
de
aba
jo?
h
ttps:/
/c
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chapExoCorrec/8898
sacados/8898
quand
est cliqué
cacher
mettre la taille du stylo à
1
e∑acer tout
aller à x:
0
y:
0
Rectangle
ajouter
40
à
x
ajouter
-20
à
y
répéter
5
fois
de∏nir rectangle
stylo en position d’écriture
s’orienter à
90
degrés
avancer de
40
tourner
de
90
degrés
avancer de
20
tourner
de
90
degrés
répéter
2
fois
relever le stylo
ajouter
1
à la taille du stylo
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ESO
Prim. 6
ESO 1
ESO 2
ESO 3
Bachi.
ESO 4
Bachi. 1
Bachi. 2
Bachi. 2 opt. Complémentaire
Bachi. 2 opt. Experte
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