ESO 2 / Recíproco del teorema de Pitágoras 40 ejercicios (100% corregidos)

a
ABC20m21m29mDEF8m15m17m BAC12m9m15m JesaisJ’utiliseJ’endéduisLes longueurs du triangleABCvéri∏ent l’égalitéde Pythagore car:*AB2CA2CB2*BC2AB2AC2*AC2BA2BC2D’après la réciproque du théorème de PythagoreChaînondéductifCalculsAB2:::AC2:::BC2::: ChingQuizz : 10 ejercicios disponibles para la evaluación de QCM : 1. Igualdad pitagórica E.8760 Definición : tres números forman un triplete pitagórico si el cuadrado de un número es igual a la suma de los cuadra-dos de los otros dos. Ejemplo : los números 6 , 8 y 10 forman un triplete pitagórico porque: 10 2 = 6 2 + 8 2 Justifica, para cada pregunta, que estos tres números forman un triplete pitagórico: a 3, 4 y 5 b 5, 12 y 13 c 9, 12 y 15 E.8761 Considera los dos triángulos ABC y DEF que se muestran a mano a continuación : 1 Utilizando una calculadora, completa las siguientes líneas de puntos : a AB 2 = : : : : : : AC 2 = : : : : : : BC 2 = : : : : : : b DE 2 = : : : : : : DF 2 = : : : : : : EF 2 = : : : : : : Definición : se dice que un triángulo verifica la igualdad pitagórica si sus longitudes forman un triplete pitagórico.. 2 Justifica que los triángulos ABC y DEF verifican la igualdad pitagórica. 2. Recíproco del teorema de Pitágoras y cadenas deductivas E.8759 Recíproco del teorema de Pitágoras: Si, en un triángulo, el cuadrado de la longitud de un lado es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, entonces ese triángulo es rectángulo y ese lado es su hipotenusa. Otra versión del enunciado : Si un triángulo verifica la igualdad pitagórica entonces este triángulo es rectángulo y el mayor de sus lados es su hipotenusa. Elías se pregunta si el muro construido en el borde de su jardín, en forma de triángulo, formará un ángulo recto. Su padre le regaló este croquis de su jardín con las medidas ex-actas del mismo : Para ayudar a Elías, completa este enlace deductivo: https://chingmath.fr chapExoCorrec/8760 sacados/8760 chapExoCorrec/8761 sacados/8761 ABC20m21m29mDEF8m15m17m chapExoCorrec/8759 sacados/8759 BAC12m9m15m JesaisJ’utiliseJ’endéduisLes longueurs du triangleABCvéri∏ent l’égalitéde Pythagore car:*AB2CA2CB2*BC2AB2AC2*AC2BA2BC2D’après la réciproque du théorème de PythagoreChaînondéductifCalculsAB2:::AC2:::BC2:::
BAC0;9cm4cm4;1cm JesaisJ’utiliseJ’endéduisChaînondéductifCalculsAB216;81AC20;81BC216 ABC13cm12cm5cmDEF29m21m20m BAC2km2;1km2;9kmFDE4;2mm5;6mm7mm DEF8;7cm6cm6;3cm E.8762 A continuación se representa un triángulo ABC a mano alzada, pero se indican sus medidas reales : Complete la cadena deductiva siguiente para demostrar que este triángulo es rectángulo. Se precisará el vértice del ángulo recto. 3. Recíproco del teorema de Pitágoras E.1797 A continuación se representan, a mano alzada, los dos triángulos ABC y DEF , cuyas medidas de los lados se indican en la figura : Demuestra que estos triángulos son rectángulos. Indica el vértice del ángulo recto. Recordatorio : los primeros cuadrados perfectos son : 1 2 = 1 11 2 = 121 21 2 = 441 31 2 = 961 41 2 = 1681 2 2 = 4 12 2 = 144 22 2 = 484 32 2 = 1024 42 2 = 1764 3 2 = 9 13 2 = 169 23 2 = 529 33 2 = 1089 43 2 = 1849 4 2 = 16 14 2 = 196 24 2 = 576 34 2 = 1156 44 2 = 1936 5 2 = 25 15 2 = 225 25 2 = 625 35 2 = 1225 45 2 = 2025 6 2 = 36 16 2 = 256 26 2 = 676 36 2 = 1296 46 2 = 2116 7 2 = 49 17 2 = 289 27 2 = 729 37 2 = 1369 47 2 = 2209 8 2 = 64 18 2 = 324 28 2 = 784 38 2 = 1444 48 2 = 2304 9 2 = 81 19 2 = 361 29 2 = 841 39 2 = 1521 49 2 = 2401 10 2 = 100 20 2 = 400 30 2 = 900 40 2 = 1600 50 2 = 2500 E.1066 Consideremos los triángulos ABC y DEF representados a mano alzada a continuación y cuyas medidas exactas se han añadido : Demuestre que estos triángulos son triángulos rectángulos. In-dique el vértice del ángulo recto. E.8783 Consideremos el triángulo DEF rep-resentado a continuación, cuyas medidas son : DE =8 ; 7 cm menos1cm; menos1cm EF =6 ; 3 cm menos1cm; menos1cm DF = 6 cm Demuestre que el triángulo DEF es un triángulo rectángulo y especifique el vértice del ángulo recto. https://chingmath.fr chapExoCorrec/8762 sacados/8762 BAC0;9cm4cm4;1cm JesaisJ’utiliseJ’endéduisChaînondéductifCalculsAB216;81AC20;81BC216 chapExoCorrec/1797 sacados/1797 ABC13cm12cm5cmDEF29m21m20m chapExoCorrec/1066 sacados/1066 BAC2km2;1km2;9kmFDE4;2mm5;6mm7mm chapExoCorrec/8783 sacados/8783 DEF8;7cm6cm6;3cm
DEF7;5cm4;5cm6cm CAB8km10km6kmEDF3—m6—m3—m ABC4.5m5m7.5mDEF15m17m8m ABC147km197km254kmDEF23;1mm25;5mm10;8mm FEO5;8cm4;2cmBA3;9cm8;9cm E.8785 Consideremos el triángulo DEF representado a continuación, cuyas medidas son : DE = 7 ; 5 cm menos1cm; menos1cm EF = 6 cm menos1cm; menos1cm DF = 4 ; 5 cm Demuestre que el triángulo DEF es un triángulo rectángulo y especifique el vértice del ángulo recto. 4. Recíproco y contrapositivo del teorema de Pitágoras E.1063 Considera los dos triángulos ABC y DEF que se muestran a continuación a mano alzada, con las medidas exactas de los lados indicadas : Especifica si estos triángulos ABC y DEF son rectángulos. E.1064 Considera los dos triángulos ABC y DEF que se muestran a mano alzada a continuación, con las medidas exactas de los lados indicadas : Determina si estos triángulos son rectángulos o no. E.1065 Determina la naturaleza de cada uno de los triángulos siguientes : 5. Teorema de Pitágoras y el recíproco E.1071 La configuración que se muestra a continuación está formada por los dos triángulos ABO y OEF , donde este último es rectángulo en F y donde : EO = 5 ; 8 cm ; DE = 4 ; 2 cm ; OA = 3 ; 9 cm OB = 8 ; 9 cm ; AB = 2 × EF https://chingmath.fr chapExoCorrec/8785 sacados/8785 DEF7;5cm4;5cm6cm chapExoCorrec/1063 sacados/1063 CAB8km10km6kmEDF3—m6—m3—m chapExoCorrec/1064 sacados/1064 ABC4.5m5m7.5mDEF15m17m8m chapExoCorrec/1065 sacados/1065 ABC147km197km254kmDEF23;1mm25;5mm10;8mm chapExoCorrec/1071 sacados/1071 FEO5;8cm4;2cmBA3;9cm8;9cm
5;26;1CBDA8;93;9 ABCD9cm12cm16cm20cm ABCDM ABCDE1;8cm2;4cm5cm3;2cm2;4cm ABCDE1;8cm2;4cm5cm3cm2;4cm 5;6mm4;2mmCBDA8;9mm3;9mm Determina la naturaleza del triángulo ABO . E.1068 Consideremos los dos trián-gulos ABC y BCD representados a continuación : 1 Calcule la longitud del segmento [ BC ] redondeada al décimo. 2 ¾Es rectángulo el triángulo ABC ? E.351 Considera el triángulo BCD y su altura [ AC ] . 1 Determina la longitud del segmento [ BC ] . 2 ¾Es el triángulo BCD rectángulo en C ? Pista: recordamos los siguientes cuadrados perfectos : 10 2 = 100 ; 14 2 = 196 ; 18 2 = 324 ; 22 2 = 484 11 2 = 121 ; 15 2 = 225 ; 19 2 = 361 ; 23 2 = 529 12 2 = 144 ; 16 2 = 256 ; 20 2 = 400 ; 24 2 = 576 13 2 = 169 ; 17 2 = 289 ; 21 2 = 441 ; 25 2 = 625 E.1070 Consideremos un rectángulo ABCD de longitud 20 cm y anchura 15 cm . El punto M es un punto del plano tal que : AM =7 cm ; MC =24 cm Una representación de esta configuración se da al lado: 1 Justifica que el triángulo ADC es rectángulo en D . 2 Determina la medida del segmento [ AC ] . 3 Demuestra que el triángulo AMC es un triángulo rectán-gulo. E.5747 Considera la siguiente figura donde los puntos A , B , C están alineados y los triángulos ABE y EBD son rectángulos en A y B respectivamente. 1 Demuestra que el segmento [ BD ] tiene longitud 4 cm . 2 Justifica que el triángulo BCD es un triángulo rectán-gulo en C . E.5750 Considera la siguiente figura donde los puntos A , B , C están alineados y los triángulos ABE y EBD son rectángulos en A y B respectivamente. 1 Demuestra que el segmento [ BD ] tiene longitud 4 cm . 2 Justifica que el triángulo BCD no es un triángulo rec-tángulo. 6. Uso de medidas aproximadas. E.1795 Considera los dos triángulos ABC y BCD que se muestran a continuación ; en la figura se han anotado las longitudes de varios segmentos. (Atención, el dibujo no está dibujado a tamaño completo) https://chingmath.fr chapExoCorrec/1068 sacados/1068 5;26;1CBDA8;93;9 chapExoCorrec/351 sacados/351 ABCD9cm12cm16cm20cm chapExoCorrec/1070 sacados/1070 ABCDM chapExoCorrec/5747 sacados/5747 ABCDE1;8cm2;4cm5cm3;2cm2;4cm chapExoCorrec/5750 sacados/5750 ABCDE1;8cm2;4cm5cm3cm2;4cm chapExoCorrec/1795 sacados/1795 5;6mm4;2mmCBDA8;9mm3;9mm
4;2cm4cm3;1cm6;6cmABCD ABCI ABCDM ABC ABCS12cm9cm8cm ABCS5cm13cm15cm 1 Calcula la longitud del segmento [ BC ] . 2 ¾Es el triángulo ABC rectángulo? E.4533 La siguiente figura muestra dos trián-gulos ABC y ABD en los que el triángulo ABD es rectángulo en A . 1 Determina la medida del segmento [ AB ] al milímetro más próximo. 2 ¾Es el triángulo ABC un triángulo rectángulo? Justifica tu respuesta. E.1067 Sea ABC un triángulo y I un punto del segmento [ AB ] tal que : CI = 5 ; 6 cm ; IB = 3 ; 3 cm ; BC = 6 ; 5 cm ; AC = 13 ; 5 cm 1 Demuestre que el triángulo CIB es rectángulo en I . 2 Da la longitud de [ AI ] , redondeada al milímetro más cer-cano. E.1069 En la figura siguiente, el cuadrilátero es un cuadrado de 3 cm de lado y el punto M está situado de tal manera que : AM =3 ; 6 cm ; MC =2 ; 24 cm 1 Demuestra que AC 4 ; 24 cm . 2 ¾Es el triángulo AMC rectángulo? Justifica tu respuesta. E.5375 Considere el triángulo ABC rectán-gulo isósceles en C que se muestra al lado donde el segmento [ AB ] tiene la medida 9 cm . Determina la longitud del segmento [ AC ] , redondeada al milímetro más próximo. 7. Uso de medidas aproximadas en el espacio E.2935 En el espacio, considera el tetraedro SABC . Los siguientes ángulos son ángulos rectos : SAB ; SBC ; SAC . Tenemos las siguientes medidas : SA = 12 cm ; AB = 9 cm ; BC = 8 cm 1 Demuestra que la longitud del segmento [ AC ] verifica: AC 2 = 145 cm . 2 Demuestra que el triángulo ABC es acutángulo en B . E.2934 En el espacio, considera el tetraedro SABC . Los siguientes ángulos son ángulos rectos : SAB ; SBC ; SAC Tenemos las siguientes medidas : AB = 5 cm ; SB = 13 cm ; SC = 15 cm 1 Determina la longitud del segmento [ BC ] , redondeada al milímetro más próximo. 2 a Determina la longitud del segmento [ SA ] . b Deduce el valor de AC . 3 ¾Es el triángulo ABC rectángulo? (usa el valor exacto de la longitud BC ) . 8. Cuadrilátero y recíproco del teorema de Pitágoras https://chingmath.fr chapExoCorrec/4533 sacados/4533 4;2cm4cm3;1cm6;6cmABCD chapExoCorrec/1067 sacados/1067 ABCI chapExoCorrec/1069 sacados/1069 ABCDM chapExoCorrec/5375 sacados/5375 ABC chapExoCorrec/2935 sacados/2935 ABCS12cm9cm8cm chapExoCorrec/2934 sacados/2934 ABCS5cm13cm15cm
ABCD8cm3;9cm8;9cm ABCDO10;5cm8;5cm6cm ABCH8;4;m11;2m14m ABCD E.4441 Considera el paralelogramo ABCD que se muestra a continuación : Demuestra que el paralelogramo ABCD es un rectángulo. E.4442 Considera el cuadrilátero ABCD que se muestra a continuación : 1 Justifica que ABCD es un paralelogramo. ¾Es 2 ABCD un rectángulo? Justifica tu respuesta. Es 3 ABCD un rombo? Justifica tu respuesta. 9. Teorema de Pitágoras/recíproco y áreas E.4532 En la selva tropical, una familia lo-cal está construyendo una cabaña, cuyo diagrama se muestra a continuación : 1 Justifica que el triángulo ABC es un triángulo rectán-gulo. 2 a Determina el área del frente ABC de esta cabaña. b Deduce la medida de la altura [ BH ] de la cabaña. 3 Determina la medida del segmento [ HC ] . E.6056 Jean-Michel es propietario de un campo, representado por el triángulo ABC de abajo. Compra a su vecino el terreno adyacente, representado por el triángulo ADC . Esto crea un nuevo campo formado por el cuadrilátero ABCD . Jean-Michel sabe que el perímetro de su campo ABC es 154 metros y que BC =56 m . Su vecino le informa de que el perímetro del campo ADC es 144 metros y que AC =65 m . Además, sabe que : AD =16 m . 1 a Justifica que las longitudes AB y DC son iguales a 33 m y 63 m respectivamente. b Calcula el perímetro del campo ABCD . 2 Demuestra que el triángulo ADC es acutángulo en D . Admitimos que el triángulo ABC es acutángulo en B . 3 Calcula el área del campo ABCD . 4 Jean-Michel quiere cercar su campo con tela metálica. Acude a su vendedor habitual y se encuentra con el sigu-iente anuncio : Grillage: 0 ; 85 e per metre. ¾Cuánto pagará por vallar su campo? https://chingmath.fr chapExoCorrec/4441 sacados/4441 ABCD8cm3;9cm8;9cm chapExoCorrec/4442 sacados/4442 ABCDO10;5cm8;5cm6cm chapExoCorrec/4532 sacados/4532 ABCH8;4;m11;2m14m chapExoCorrec/6056 sacados/6056 ABCD
ABCDEFGHM24m7m12m9m ABCDEFGHM40m30m24m18m ABCDEFGHM240m238m120m288m ABC5x4x12 10. Teorema de Pitágoras/recíproco en el espacio E.8694 Considera el bloque ABCDEFGH derecho que se muestra a continuación con las siguientes me-didas dadas : AB = 24 m ; BC = 7 m ; CG = 12 m El punto M pertenece a la diagonal [ EG ] del rectángulo EFGH y tal que : EM = 9 m 1 a En el triángulo EMA acutángulo en E , determina la medida del segmento [ AM ] . b En el triángulo ABC acutángulo B , determinar la me-dida del segmento [ AC ] . c En el triángulo MGC rectángulo en G , determinar la medida del segmento [ MC ] . 2 Deduce que el triángulo ACM es acutángulo en M . E.8782 Considera el bloque derecho ABCDEFGH que se muestra a continuación con las sigu-ientes medidas dadas : AB = 40 m ; BC = 30 m ; CG = 24 m El punto M pertenece a la diagonal [ EG ] del rectángulo EFGH y tal que : EM =18 m 1 Establecer que : MA = 30 m 2 Establecer que : MG = 3 Deduce que el triángulo ACM es acutángulo en M . E.8781 Considera el bloque derecho ABCDEFGH que se muestra a continuación con las sigu-ientes medidas dadas : AB = 240 m ; BC = 238 m ; CG = 120 m El punto M pertenece a la diagonal [ EG ] del rectángulo EFGH y tal que : MG = 288 m Establece que el triángulo ACM es rectángulo en M . 11. Expresiones literales E.1331 Consideremos el triángulo ABC sigu-iente, en el que algunas de las medidas del triángulo se expre-san en función de un valor indeterminado denominado x : Sin justificación, determine un valor de x para el que el trián- https://chingmath.fr chapExoCorrec/8694 sacados/8694 ABCDEFGHM24m7m12m9m chapExoCorrec/8782 sacados/8782 ABCDEFGHM40m30m24m18m chapExoCorrec/8781 sacados/8781 ABCDEFGHM240m238m120m288m chapExoCorrec/1331 sacados/1331 ABC5x4x12
ABC2x3x7x ABCx15x ABCx2222xx MN1mmABCD PEFGH1mm gulo ABC sea rectángulo en C . E.1327 Consideremos el triángulo ABC representado a continuación, cuyas longitudes se dan en función de la indeterminada x : 1 Justifique que, para x =5 , el triángulo ABC es un trián-gulo rectángulo en C . 2 ¾Es rectángulo el triángulo ABC cuando x =4 ? E.1329 Considere el triángulo ABC que se muestra a continuación donde algunas de sus longitudes se expresan en términos de un valor indeterminado denotado x : 1 Demuestre que para x =12 , el triángulo ABC es un trián-gulo rectángulo en C . 2 Justifique que el triángulo ABC es rectángulo para x =3 . 3 ¾El triángulo ABC es rectángulo para x =8 ? E.1330 Consideremos el triángulo ABC rep-resentado a continuación, en el que algunas de sus longitudes se expresan en función de un valor indeterminado denominado x : 1 Demuestre que, para x =8 , el triángulo ABC es un trián-gulo rectángulo en C . 2 Justificar que el triángulo ABC es rectángulo para x =6 . 3 ¾Es el triángulo ABC rectángulo para x =7 ? 12. Compartir E.8835 1 Consideremos un rectángulo ABCD con las medidas : AB = 24 mm ; AD = 16 mm Situamos los puntos M y n , pertenecientes a los segmen-tos [ CD ] y [ AD ] respectivamente, como se muestra a continuación : a Demuestra que : MN =15 mm b Se admiten las siguientes medidas : MB =20 mm ; BN = 25 mm ¾Cuál es la naturaleza del triángulo MNB ? Justifica. 2 Considera un rectángulo EFGH con medida : EF = 16 mm ; EH = 6 mm Consideremos el punto P tal que HP = 8 mm . Esta figura se muestra a continuación : Justifica que el triángulo EFP no es un triángulo rectán-gulo. 13. Ejercicios no clasificados https://chingmath.fr chapExoCorrec/1327 sacados/1327 fichierPlus/1327/ ABC2x3x7x chapExoCorrec/1329 sacados/1329 ABCx15x chapExoCorrec/1330 sacados/1330 ABCx2222xx chapExoCorrec/8835 sacados/8835 MN1mmABCD PEFGH1mm
ABCPPérimètredeABP;29PérimètredeBPC;09 GHIJK7;5cm4cm3;6cm7;6cm GHIJK5;6cm3;3cm4cm5;2cm 28;9cm13;6cm25;5cmABC E.6312 ABC es un triángulo tal que : AB = 5 cm ; BC = 7 ; 6 cm ; AC = 9 ; 2 cm 1 Dibuja este triángulo a tamaño completo. 2 ABC ¾Es un triángulo rectángulo? 3 Utilizando un programa informático, construimos este triángulo, entonces : colocamos un punto vil P en el lado [ AC ] ; dibujamos los triángulos ABP y BPC ; mostramos el perímetro de estos dos triángulos. a Movemos el punto P a lo largo del segmento [ AC ] . ¾Dónde lo colocamos para que la distancia BP sea la menor posible? b Colocamos ahora el punto P a 5 cm de A . . ¾Cuál de los triángulos ABP y BPC tiene mayor perímetro? c El punto P se desplaza de nuevo a lo largo del seg-mento [ AC ] . ¾Dónde debe colocarse para que los dos triángulos ABP y BPC tengan el mismo perímetro? E.8784 Considera la figura que se muestra a continuación donde el cuadrilátero GHIJ es un rectángulo. Se dan las siguientes medidas : GH =7 ; 5 cm ; HI =4 cm ; IK =3 ; 6 cm ; GK =7 ; 6 cm ¾Es el triángulo GKI un triángulo rectángulo? Justifica tu respuesta. E.8786 Considera la figura que se muestra a continuación donde el cuadrilátero GHIJ es un rectángulo. Se dan las siguientes medidas : GH =5 ; 6 cm ; HI =3 ; 3 cm ; IK =4 cm ; GK =5 ; 2 cm ¾Es el triángulo GKI un triángulo rectángulo? Justifica tu respuesta. E.8985 Consideremos el triángulo ABC rep-resentado a continuación, cuyas medidas conocemos : AB = 13 ; 6 ;cm ; AC = 28 ; 9 cm ; BC = 25 ; 5 cm Demuestre que la altura del triángulo ABC desde el vértice C mide 12 cm . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6312 sacados/6312 ABCPPérimètredeABP;29PérimètredeBPC;09 chapExoCorrec/8784 sacados/8784 GHIJK7;5cm4cm3;6cm7;6cm chapExoCorrec/8786 sacados/8786 GHIJK5;6cm3;3cm4cm5;2cm chapExoCorrec/8985 sacados/8985 28;9cm13;6cm25;5cmABC