ESO 2
/ Teorema de Tales 44 ejercicios (incluyendo 43 corregidos)
- Actividad introductoria (2 ejercicios)
- Producto cruzado (2 ejercicios)
- Introducción al teorema de Tales (3 ejercicios)
- Teorema de Tales (9 ejercicios)
- El teorema de Tales y las fracciones (2 ejercicios)
- Problemas del teorema de Tales (4 ejercicios)
- Doble aplicación del teorema de Tales (3 ejercicios)
- Teorema de Tales y otros teoremas (8 ejercicios)
- Recíproco del teorema de Tales (cocientes decimales) (4 ejercicios)
- Recíproco del teorema de Tales (cociente racional) (3 ejercicios)
- Réciproque y teorema de Tales (1 ejercicio)
- El recíproco de Tales y otros teoremas (1 ejercicio)
GHJIKVWXYZ
ABCMNABCMN2cmABCMNABCMN2cm6cmABCMNABCMN2cmABCMNABCMN2cm6cm3cm
JesaisJ’utiliseJ’endéduisLes pointsA,M,Bsont alignés.Les pointsA,N,Csont alignés.(MN==(BCD’aprèslethéorèmedeThalès,onal’égalité des quotients:AMABANACMNBCChaînonsdéductifs
E.8922
Proposición:
(del
producto
cruzado)
Sean
cuatro
números
a
,
b
,
c
,
d
con
b
=0
y
d
=0
,
Si
tenemos
igualdad
de
cocientes
a
b
=
c
d
entonces
tenemos
igualdad
de
productos
a
×
d
=
b
×
c
.
Observamos
:
a
b
=
c
d
=
⇒
a
×
d
=
b
×
c
Para
cada
pregunta,
da
la
escritura
decimal
del
número
x
que
verifica
la
igualdad
:
a
2
5
=
x
4
b
3
x
=
12
5
c
x
14
=
5
8
d
5
6
=
x
24
E.2163
En
cada
caso,
halla
la
longitud
AB
verificando
la
igualdad
y
da
su
valor
como
fracción
simplifi-cada
:
a
AB
3
=
5
9
b
2
AB
=
7
3
c
5
8
=
8
AB
d
AB
3
=
8
9
3.
Introducción
al
teorema
de
Tales
E.8913
Teorema
de
Tales:
Si
los
puntos
A
,
B
,
M
están
alineados,
los
puntos
A
,
C
,
N
están
alineados
y
si
las
rectas
(
BC
)
y
(
MN
)
son
paralelas
entonces
:
AM
AB
=
AN
AC
=
MN
BC
Nota:
la
igualdad
de
cocientes
de
longitudes
refleja
la
proporcionalidad
de
longitudes
entre
triángulos
anidados
ˇı
cuando
dos
de
sus
lados
son
paralelos.
Hemos
representado
dos
configuraciones
de
Tales
en
las
que
(
GH
)
==
(
IJ
)
y
(
XY
)
==
(
V
W
)
.
Para
cada
uno
de
estos
triángulos,
escribe
la
igualdad
de
co-cientes
obtenida
mediante
el
teorema
de
Thales.
E.8917
Ejemplo
comentado:
Consideremos
el
triángulo
ABC
representado
a
contin-uación
:
Los
puntos
M
y
N
pertenecen
respectivamente
al
seg-mento
[
AB
]
y
[
AC
]
y
son
tales
que
las
rectas
(
MN
)
y
(
BC
)
son
paralelas.
Tenemos
la
aplicación
numérica
:
2
6
=
3
AC
=
MN
BC
Utilizaremos
la
igualdad
:
2
6
=
3
AC
Según
el
producto
cruzado,
tenemos
:
2
×
AC
=
6
×
3
2
×
AC
=
18
AC
=
18
2
AC
=
9
cm
Consideramos
el
triángulo
TXZ
representado
a
continuación
y
los
puntos
L
y
I
que
pertenecen
respectivamente
a
los
seg-mentos
[
TZ
]
y
[
TX
]
,
de
tal
manera
que
(
IL
)
==
(
XZ
)
.
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/8922
sacados/8922
chapExoCorrec/2163
sacados/2163
chapExoCorrec/8913
sacados/8913
GHJIKVWXYZ
chapExoCorrec/8917
sacados/8917
ABCMNABCMN2cmABCMNABCMN2cm6cmABCMNABCMN2cmABCMNABCMN2cm6cm3cm
JesaisJ’utiliseJ’endéduisLes pointsA,M,Bsont alignés.Les pointsA,N,Csont alignés.(MN==(BCD’aprèslethéorèmedeThalès,onal’égalité des quotients:AMABANACMNBCChaînonsdéductifs
TZXLITZXLI5;5cmTZXLITZXLI5;5cm9;9cmTZXLITZXLI5;5cmTZXLITZXLI5;5cm9;9cm5cm
JesaisJ’utiliseJ’endéduisLes points ..., ..., ...sont alignés.Les points ..., ..., ...sont alignés.:::==:::D’après le théorème de Thalès, on a l’égalité desquotients:Chaînonsdéductifs
????
SHABO
ACEBDACEBD4;2cmACEBDACEBD4;2cm14cmACEBDACEBD4;2cmACEBDACEBD4;2cm14cm12cm
DEFRS2;1cm1;8cm4;2cm
1
Completa
la
cadena
deductiva
siguiente
:
2
Utilice
la
igualdad
de
cocientes
de
la
pregunta
2
para
determinar
la
medida
del
segmento
[
TX
]
.
E.8937
Thales
de
Mileto
vivió
en
Asia
Menor
entre
los
años
625
y
547
a.
C.
aproximadamente.
Según
la
tradición,
fue
el
primer
matemático
griego.
Un
teorema
de
la
teoría
de
los
triángulos
lleva
su
nombre.
Se
cree
que
aplicó
los
principios
geométricos
a
la
medición
de
la
altura
de
las
pirámides
y
las
distancias
en
el
mar.
Universalis.fr
Para
medir
la
altura
de
la
pirámide
de
Keops,
la
leyenda
dice
que
la
primera
forma
del
teorema
de
Thales
de
Mileto
habría
sido
:
ˇ
la
relación
entre
la
altura
de
mi
bastón
y
la
de
la
pirámide
es
igual
a
la
relación
entre
la
sombra
proyectada
por
mi
bastón
y
la
proyectada
por
la
pirámide
ı.
Al
mover
el
palo
y
clavarlo
ˇ
recto
ı,
,
este
es
el
esquema
(que
no
está
representado
a
tamaño
real)
que
habría
utilizado
para
medir
la
pirámide
:
El
segmento
[
SH
]
representa
la
altura
de
la
pirámide,
[
AB
]
el
palo
clavado
recto,
[
HO
]
la
sombra
proyectada
por
la
pirámide
y
[
AO
]
la
del
palo.
Se
dan
las
siguientes
medidas
:
OH
=
300
m
;
OA
=
3
;
1
m
;
AB
=
1
;
5
m
Al
igual
que
Thales
de
Mileto,
determine
la
altura
de
la
pirámide
de
Keops
redondeada
al
metro
más
cercano.
4.
Teorema
de
Tales
E.8959
En
el
triángulo
ACE
,
la
recta
(
BD
)
es
paralela
a
(
CE
)
.
Determina
la
medida
del
segmento
[
BD
]
.
E.8958
En
el
triángulo
DEF
,
las
rectas
(
EF
)
y
(
RS
)
son
paralelas
entre
sí.
Determina
la
medida
del
seg-mento
[
ER
]
.
https://chingmath.fr
TZXLITZXLI5;5cmTZXLITZXLI5;5cm9;9cmTZXLITZXLI5;5cmTZXLITZXLI5;5cm9;9cm5cm
JesaisJ’utiliseJ’endéduisLes points ..., ..., ...sont alignés.Les points ..., ..., ...sont alignés.:::==:::D’après le théorème de Thalès, on a l’égalité desquotients:Chaînonsdéductifs
chapExoCorrec/8937
sacados/8937
????
SHABO
chapExoCorrec/8959
sacados/8959
ACEBDACEBD4;2cmACEBDACEBD4;2cm14cmACEBDACEBD4;2cmACEBDACEBD4;2cm14cm12cm
chapExoCorrec/8958
sacados/8958
DEFRS2;1cm1;8cm4;2cm
TZXLITZXLI5;5cmTZXLITZXLI5;5cm9;9cmTZXLITZXLI5;5cmTZXLITZXLI5;5cm9;9cm5cm
ABCMN2;4cm3cm3;6cm
ACBNMACBNM10cm2;6cm6;5cm
TMNKLTMNKL5cmTMNKLTMNKL5cm7;5cmTMNKLTMNKL5cmTMNKLTMNKL5cm7;5cm6;5cm
E.8960
En
el
triángulo
TXZ
,
las
rectas
(
IL
)
y
(
XZ
)
son
paralelas
entre
sí.
Determina
la
medida
del
segmento
[
TX
]
.
E.4768
En
el
triángulo
ABC
,
las
rectas
(
MN
)
y
(
BC
)
son
paralelas
entre
sí.
Determina
la
medida
del
segmento
[
MB
]
.
E.1140
En
el
triángulo
ABC
,
las
rectas
(
MN
)
y
(
BC
)
son
paralelas
entre
sí.
Determina
la
medida
del
segmento
[
AN
]
.
E.1135
En
el
triángulo
TMN
,
la
recta
(
KL
)
es
paralela
a
(
MN
)
.
Determina
la
medida
del
segmento
[
TN
]
.
E.662
1
Construye
el
triángulo
ABC
tal
que
:
AB
=7
;
5
cm
;
BC
=10
cm
;
AC
=12
;
5
cm
.
2
Demuestra
que
el
triángulo
ABC
es
acutángulo.
3
a
M
es
un
punto
del
segmento
[
BC
]
tal
que
BM
=
4
cm
.
Situamos
el
punto
M
y
construimos
la
recta
(
d
)
par-alela
a
la
recta
(
AC
)
que
pasa
por
M
.
La
recta
(
d
)
interseca
a
[
AB
]
en
el
punto
N
.
b
Calcula
BN
y
MN
.
E.1903
1
a
Dibuja
un
rectángulo
ABCD
tal
que
:
AB
=1
;
5
cm
;
AD
=6
cm
b
Sitúa
el
punto
M
en
[
AB
)
tal
que
AM
=6
cm
.
c
La
recta
(
DM
)
intercepta
al
segmento
[
BC
]
en
I
.
2
Determina
la
longitud
del
segmento
[
BI
]
.
3
Determina
la
longitud
del
segmento
[
MI
]
,
redondeada
al
centímetro
más
próximo.
E.11639
En
el
triángulo
TXZ
,
las
rectas
(
IL
)
y
(
XZ
)
son
paralelas
entre
sí.
Determina
la
medida
del
seg-mento
[
TX
]
.
5.
El
teorema
de
Tales
y
las
fracciones
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/8960
sacados/8960
TZXLITZXLI5;5cmTZXLITZXLI5;5cm9;9cmTZXLITZXLI5;5cmTZXLITZXLI5;5cm9;9cm5cm
chapExoCorrec/4768
sacados/4768
ABCMN2;4cm3cm3;6cm
chapExoCorrec/1140
sacados/1140
ACBNMACBNM10cm2;6cm6;5cm
chapExoCorrec/1135
sacados/1135
TMNKLTMNKL5cmTMNKLTMNKL5cm7;5cmTMNKLTMNKL5cmTMNKLTMNKL5cm7;5cm6;5cm
chapExoCorrec/662
sacados/662
chapExoCorrec/1903
sacados/1903
sacados/11639
TZXLITZXLI5;5cmTZXLITZXLI5;5cm9;9cmTZXLITZXLI5;5cmTZXLITZXLI5;5cm9;9cm5cm
AMNBC655245DRSEF9243125
AMNBC523412DRSEF3273133
AOKSR
ABCDO
E.4770
1
En
el
triángulo
ABC
,
las
rectas
(
MN
)
y
(
BC
)
son
par-alelas
entre
sí.
Determina
la
medida
del
segmento
[
AC
]
.
2
En
el
triángulo
DEF
,
las
rectas
(
RS
)
y
(
EF
)
son
par-alelas
entre
sí.
Determina
la
medida
del
segmento
[
EF
]
.
E.4771
1
En
el
triángulo
ABC
,
las
rectas
(
MN
)
y
(
BC
)
son
par-alelas
entre
sí.
Determina
la
medida
del
segmento
[
AN
]
.
2
En
el
triángulo
DEF
,
las
rectas
(
RS
)
y
(
EF
)
son
par-alelas
entre
sí.
Determina
la
medida
del
segmento
[
DR
]
.
6.
Problemas
del
teorema
de
Tales
E.4330
En
la
configuración
opuesta,
las
rectas
(
SA
)
y
(
OK
)
son
paralelas.
Sabemos
que
SA
=
5
cm
;
OA
=
3
;
8
cm
OR
=
6
;
84
cm
;
KR
=
7
;
2
cm
Las
preguntas
de
este
ejercicio
han
sido
eliminadas,
pero
a
continuación
quedan
los
cálculos
realizados
por
un
alumno,
en
respuesta
a
las
preguntas
que
faltaban
:
1
6
;
84
−
3
;
8
=
3
;
04
2
5
×
6
;
84
3
;
04
=
11
;
25
3
7
;
2
+
6
;
84
+
11
;
25
=
25
;
29
Utilizando
todos
los
cálculos
anteriores,
anota
las
preguntas
que
ha
contestado
el
alumno
y
escribe
sus
respuestas
con
pre-cisión.
E.2190
Considera
la
siguiente
figura,
que
no
está
dibujada
a
tamaño
real.
La
unidad
de
longitud
son
los
centímetros.
Las
rectas
(
CD
)
y
(
OA
)
son
perpendiculares.
Damos
:
OA
=
9
;
OB
=
12
;
AB
=
15
;
AC
=
3
1
Demuestra
que
el
triángulo
AOB
es
rectángulo
y
deduce
que
las
rectas
(
CD
)
y
(
OB
)
son
paralelas.
2
Justificando
tu
razonamiento,
demuestra
que
:
CD
=4
.
3
Un
alumno
afirma
que
el
área
del
triángulo
AOB
es
igual
a
tres
veces
el
área
del
triángulo
ACD
.
¾Qué
opinas
de
esta
afirmación?
Justifica
tu
respuesta.
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/4770
sacados/4770
AMNBC655245DRSEF9243125
chapExoCorrec/4771
sacados/4771
AMNBC523412DRSEF3273133
chapExoCorrec/4330
sacados/4330
Amerique du Nord
Juin 2011
AOKSR
chapExoCorrec/2190
sacados/2190
Groupe est - Septembre 2006 - 5 points
ABCDO
2;7m497;3m1;75m
ABCDIJKLMN
ABCDMNP4;5cm2;7cm3;6cm6;8cm
ABCMNPD
E.1902
Un
hombre
que
mide
1
;
75
m
y
está
de
pie
junto
a
la
Torre
Eiffel
se
coloca
de
manera
que
la
som-bra
le
pase
justo
por
encima
de
la
cabeza.
Su
sombra
cae
a
2
;
7
m
de
él
y
se
encuentra
a
500
m
del
centro
de
la
Torre
Eiffel.
¾Cuál
es
la
altura
de
la
Torre
Eiffel?
(redondeada
al
metro
más
cercano)
E.4756
Sea
a
un
número
positivo
distinto
de
cero.
Consideremos
el
rectángulo
ABCD
de
longitud
3
a
y
anchura
a
;
dividamos
este
rectángulo
en
tres
cuadrados
de
igual
medida
:
1
Demuestra
la
igualdad
:
IM
=
KN
.
2
¾Cómo
se
puede
dividir
el
rectángulo
ABCD
en
nueve
rectángulos
que
sean
todos
iguales?
7.
Doble
aplicación
del
teorema
de
Tales
E.4795
Considera
la
siguiente
configuración
en
la
que
las
rectas
(
BD
)
y
(
PM
)
son
paralelas.
1
Demuestra
que
:
AC
=6
cm
.
2
Determina
la
medida
del
segmento
[
AM
]
.
E.1137
Sean
A
,
M
,
N
,
P
cuatro
puntos
del
plano
no
alineado
tales
que
:
Los
puntos
B
,
C
y
D
pertenecen
a
los
segmentos
[
AM
]
,
[
AN
]
,
[
AP
]
respectivamente.
Las
rectas
(
BC
)
y
(
MN
)
son
paralelas,
al
igual
que
las
rectas
(
CD
)
y
(
NP
)
.
1
Justifica
la
igualdad
de
los
dos
cocientes
AB
AM
y
CD
NP
.
2
Se
dan
las
siguientes
medidas
:
AM
=3
cm
;
AB
=1
;
2
cm
;
PN
=1
;
8
cm
Deduce
de
la
pregunta
anterior
la
medida
del
segmento
[
CD
]
.
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/1902
sacados/1902
2;7m497;3m1;75m
chapExoCorrec/4756
sacados/4756
ABCDIJKLMN
chapExoCorrec/4795
sacados/4795
ABCDMNP4;5cm2;7cm3;6cm6;8cm
chapExoCorrec/1137
sacados/1137
ABCMNPD
ABCDMNO3;6m4;8m1;5m
ABCMN4;8cm5;2cm3cm
384cmABC:poutresenboisdediamètre100mm:barresdemaintienlatéralesenboisABCMNH290cm342cmABCestuntriangleisocèleenA.HestlemilieudeBC.(MNestparallèleà(BC.Vue d’ensembleVue de côté
E.3503
En
la
configuración
siguiente,
los
puntos
M
,
N
,
O
pertenecen
a
los
segmentos
[
AB
]
,
[
AC
]
,
[
AD
]
,
respectivamente
;
además,
tenemos
:
(
BC
)
==
(
MN
)
;
(
CD
)
==
(
NO
)
Determina
la
longitud
del
segmento
[
CD
]
.
8.
Teorema
de
Tales
y
otros
teoremas
E.3452
En
el
plano,
considere
la
configu-ración
siguiente
:
He
aquí
las
propiedades
de
la
figura
:
El
punto
C
pertenece
a
la
recta
[
AN
]
;
el
punto
B
pertenece
a
la
recta
[
AM
]
;
el
triángulo
ABC
es
un
triángulo
rectángulo
en
B
;
las
rectas
(
BC
)
y
(
MN
)
son
paralelas.
1
Determina
la
medida
del
segmento
[
BC
]
.
2
a
Determina
la
longitud
del
segmento
[
AN
]
.
b
Determina
la
longitud
del
segmento
[
AM
]
.
E.8931
Una
empresa
fabrica
porticos
para
instalar
columpios
en
parques
infantiles.
Documento
1:
boceto
de
un
portico
Documento
2:
coste
del
material
Vigas
de
madera
de
diámetro
100
mm
:
Longitud
4
m
:
12
;
99
e
por
unidad
Longitud
3
;
5
m
:
11
;
75
e
por
unidad
Longitud
3
m
:
10
;
25
e
por
unidad
Barras
de
sujeción
laterales
de
madera
:
Longitud
3
m
:
6
;
99
e
la
unidad
Longitud
2
m
:
4
;
75
e
la
unidad
Longitud
1
;
5
m
:
3
;
89
e
la
unidad
Conjunto
de
fijaciones
necesarias
para
un
columpio
:
80
e
.
Conjunto
de
dos
columpios
para
un
pórtico:
50
e
.
1
Determinar
la
altura
AH
del
pórtico,
redondeada
al
cm
más
cercano.
2
Las
barras
de
sujeción
deben
fijarse
a
165
cm
de
la
parte
superior
(
AN
=165
cm
)
.
Demostrar
que
la
longitud
MN
de
cada
barra
de
sujeción
es
de
aproximadamente
140
cm
.
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/3503
sacados/3503
ABCDMNO3;6m4;8m1;5m
chapExoCorrec/3452
sacados/3452
ABCMN4;8cm5;2cm3cm
chapExoCorrec/8931
sacados/8931
384cmABC:poutresenboisdediamètre100mm:barresdemaintienlatéralesenboisABCMNH290cm342cmABCestuntriangleisocèleenA.HestlemilieudeBC.(MNestparallèleà(BC.Vue d’ensembleVue de côté
ABCDEFGHS
ABCDMN5;6cm4;2cm
ABCDEFGHIJRugbyRugbyFoot312m29m72m52m48m288m
ABCDPQRS13;5cm31;5cm8;4cm19;6cm
3
Demuestre
que
el
coste
mínimo
de
un
columpio
de
este
tipo
es
de
196
;
98
e
.
4
La
empresa
quiere
vender
este
columpio
equipado
20
%
por
un
precio
superior
a
su
coste
mínimo.
Determine
este
precio
de
venta
redondeado
al
centésimo
más
cercano.
E.2170
SABCD
es
una
pirámide
de
base
rectangular
ABCD
,
de
altura
[
SA
]
.
Se
da
:
SA
=
15
cm
;
AB
=
8
cm
;
BC
=
11
cm
1
Calcular
el
volumen
V
1
de
la
pirámide
SABCD
.
2
Demostrar
que
:
SB
=17
cm
.
3
Se
denota
por
E
el
punto
de
[
SA
]
tal
que
SE
=12
cm
y
F
el
punto
de
[
SB
]
tal
que
SF
=13
;
6
cm
.
Demostrar
que
las
rectas
(
EF
)
y
(
AB
)
son
paralelas.
E.4755
Considera
el
rectángulo
ABCD
de
longitud
5
;
6
cm
y
anchura
4
;
2
cm
.
El
punto
M
pertenece
al
segmento
[
AC
]
tal
que
AM
=4
cm
.
La
recta
perpendicular
a
la
recta
(
AB
)
que
pasa
por
el
punto
M
intercepta
al
segmento
(
AB
)
en
el
punto
N
.
1
Justifica
que
las
rectas
(
MN
)
y
(
BC
)
son
paralelas.
2
Determina
el
valor
de
la
longitud
AC
.
3
Determina
el
valor
de
la
longitud
AN
.
E.5690
En
este
ejercicio,
si
el
trabajo
no
se
completa,
deja
de
todos
modos
un
rastro
de
la
investi-gación.
Se
tendrá
en
cuenta
en
la
evaluación.
La
ciudad
de
BONVIVRE
tiene
un
parque
infantil
bordeado
por
un
carril
bici.
El
carril
bici
tiene
la
forma
de
un
rectán-gulo
ABCD
del
que
hemos
ˇ
eliminado
tres
de
los
coins
ı.
El
camino
de
G
a
H
es
un
arco
de
círculo;
los
caminos
de
E
a
F
y
de
I
a
J
son
segmentos.
Las
rectas
(
EF
)
y
(
AC
)
son
paralelas.
¾Cuál
es
la
longitud
de
la
trayectoria
del
ciclo?
Justifica
la
respuesta.
Indicación
:
uso
:
ı
≈
3
;
1416
redondea
las
longitudes
al
centímetro
más
próximo.
E.4769
Consideremos
un
rectángulo
ABCD
de
longitud
31
;
5
cm
y
anchura
19
;
6
cm
.
Sea
P
el
punto
de
[
AB
]
tal
que
AP
=13
;
5
cm
.
Sea
Q
el
punto
de
intersección
de
la
recta
paralela
a
la
recta
(
DB
)
que
pasa
por
el
punto
P
y
con
la
recta
(
AD
)
.
Sea
S
el
punto
de
[
BC
]
tal
que
CS
=8
;
4
cm
.
Sea
R
el
punto
de
intersección
de
la
recta
paralela
a
la
recta
(
DB
)
que
pasa
por
el
punto
S
y
con
la
recta
(
DC
)
.
1
Determina
la
medida
del
segmento
[
BD
]
.
2
Demuestra
que
el
cuadrilátero
PQRS
es
un
paralelo-gramo.
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/2170
sacados/2170
ABCDEFGHS
chapExoCorrec/4755
sacados/4755
ABCDMN5;6cm4;2cm
chapExoCorrec/5690
sacados/5690
Brevet - Asie
Juin 2013
ABCDEFGHIJRugbyRugbyFoot312m29m72m52m48m288m
chapExoCorrec/4769
sacados/4769
ABCDPQRS13;5cm31;5cm8;4cm19;6cm
ABCDEFM36
ABCDEFGH5cm9cm3cm
MGPUA4;5m3;5m5;6m7;2m
JesaisJ’utiliseJ’endéduisLes pointsM,A,Pet les pointsM,U,Gsont alignés dans le même ordre.MAMPMUMGD’aprèslaréciproqueduthéorèmedeThalès:(AU==(PGChaînonsdéductifs
E.5923
En
este
ejercicio,
todo
rastro
de
investigación,
por
incompleto
que
sea,
se
tendrá
en
cuenta
en
la
evaluación.
.
Consideramos
la
siguiente
figura,
que
no
es
a
escala
real.
BCDE
es
un
cuadrado
de
lados
6
cm
.
Los
pun-tos
A
,
B
y
C
están
alin-eados
y
AB
=3
cm
.
F
es
un
punto
del
seg-mento
[
CD
]
.
La
recta
(
AF
)
interseca
al
segmento
[
BE
]
en
M
.
Determina
la
longitud
CF
mediante
cálculo
o
construcción
para
que
las
longitudes
BM
y
FD
sean
iguales.
E.9069
Una
hormiga
camina
sobre
el
pavi-
mento
recto
ABCDEFGH
representado
a
continuación
:
Elige
el
camino
más
corto
para
ir
del
punto
G
al
punto
A
.
Determine
la
longitud
de
este
camino.
Indicación
:
se
redondeará,
si
es
necesario,
a
la
décima
de
milímetro.
9.
Recíproco
del
teorema
de
Tales
(cocientes
decimales)
E.3470
Demuestra,
sin
usar
calculadora,
que
cada
uno
de
los
pares
de
cocientes
que
aparecen
a
contin-uación
son
iguales
:
a
1
;
4
6
et
7
30
b
3
1
;
2
et
5
2
c
0
;
01
0
;
04
et
0
;
3
1
;
2
d
7
;
2
1
;
6
et
5
;
4
1
;
2
E.8928
Ejemplo
comentado:
Consideremos
el
triángulo
MGP
representado
a
contin-uación
y
los
puntos
A
y
U
que
pertenecen
respectivamente
a
los
segmentos
[
MP
]
y
[
MG
]
:
MA
=3
;
5
m
;
MP
=5
;
6
m
;
MU
=4
;
5
m
;
AT
=7
;
2
m
Tenemos
la
aplicación
numérica
:
MA
MP
=
3
;
5
5
;
6
=
0
;
625
;
MU
MG
=
4
;
5
7
;
2
=
0
;
625
Consideremos
el
triángulo
ANT
y
los
dos
puntos
R
y
C
que
pertenecen
respectivamente
a
los
segmentos
[
AN
]
y
[
AT
]
.
Tenemos
las
medidas
:
AN
=7
;
5
cm
;
AR
=4
;
8
cm
;
AC
=3
;
2
cm
;
AT
=5
cm
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/5923
sacados/5923
ABCDEFM36
chapExoCorrec/9069
sacados/9069
ABCDEFGH5cm9cm3cm
chapExoCorrec/3470
sacados/3470
chapExoCorrec/8928
sacados/8928
MGPUA4;5m3;5m5;6m7;2m
JesaisJ’utiliseJ’endéduisLes pointsM,A,Pet les pointsM,U,Gsont alignés dans le même ordre.MAMPMUMGD’aprèslaréciproqueduthéorèmedeThalès:(AU==(PGChaînonsdéductifs
ATNCR3;2cm4;8cm7;5cm5cm
JesaisJ’utiliseJ’endéduisLes points ..., ..., ...et les points ..., ..., ...sont alignés dans le même ordre.::::::::::::D’après la réciproque du théorème de Thalès::::==:::Chaînonsdéductifs
0;75m3m2;5m2mPQRST
6m2;4m2;4m1;6mABCDE
8;4m3;6m7m3mPQRST
1
Demuestre
que
la
igualdad
de
los
cocientes
:
AR
AN
=
AC
AT
2
Complete
el
siguiente
razonamiento
deductivo:
E.5668
Consideremos
el
triángulo
PST
que
se
muestra
a
continuación
y
los
dos
puntos
Q
y
R
pertenecientes
a
los
segmentos
[
PS
]
y
[
PT
]
respectivamente.
Tenemos
las
siguientes
medidas
:
PR
=
2
m
;
PT
=
2
;
5
m
;
PQ
=
3
m
;
QS
=
0
;
75
m
Demuestra
que
las
rectas
(
QR
)
y
(
ST
)
son
paralelas.
E.8929
Considera
las
dos
configuraciones
siguientes
formadas
por
dos
trián-gulos
ADE
y
PST
.
Consideremos
el
triángulo
ADE
representado
al
lado
y
los
dos
pun-tos
B
y
C
pertenecientes
a
los
segmentos
[
AD
]
y
[
AE
]
respecti-vamente.
Tenemos
las
medidas
:
AB
=1
;
6
m
;
BD
=2
;
4
m
AC
=2
;
4
m
;
AE
=6
m
Demuestra
que
las
rectas
(
BC
)
y
(
DE
)
son
paralelas.
10.
Recíproco
del
teorema
de
Tales
(cociente
racional)
E.8930
Proposición:
(recíproco
del
producto
cruzado)
Soit
a
,
b
,
c
,
d
cuatro
números
distintos
de
cero.
Si
a
×
d
=
b
×
c
alors
a
b
=
c
d
En
cada
pregunta,
justifica
que
los
números
A
y
B
son
iguales
:
a
A
=
2
;
4
5
;
6
et
B
=
3
;
6
8
;
4
b
A
=
2
;
2
3
;
4
y
B
=
3
;
3
5
;
1
E.8936
Consideremos
el
triángulo
PST
que
se
muestra
a
continuación
y
los
dos
puntos
Q
y
R
pertenecientes
a
los
segmentos
[
PS
]
y
[
PT
]
respectivamente.
Tenemos
las
siguientes
medidas
:
PR
=
3
m
;
PT
=
7
m
;
PQ
=
3
;
6
m
;
PS
=
8
;
4
m
https://chingmath.fr
ATNCR3;2cm4;8cm7;5cm5cm
JesaisJ’utiliseJ’endéduisLes points ..., ..., ...et les points ..., ..., ...sont alignés dans le même ordre.::::::::::::D’après la réciproque du théorème de Thalès::::==:::Chaînonsdéductifs
chapExoCorrec/5668
sacados/5668
0;75m3m2;5m2mPQRST
chapExoCorrec/8929
sacados/8929
6m2;4m2;4m1;6mABCDE
chapExoCorrec/8930
sacados/8930
chapExoCorrec/8936
sacados/8936
8;4m3;6m7m3mPQRST
AEFRT
GTESFR9cm2cm4cm1;5cm
BACMN12m20m10m9m
ABCDE
Demuestra
que
las
rectas
(
QR
)
y
(
ST
)
son
paralelas.
E.8935
Considera
la
figura
de
al
lado,
dibu-jada
a
mano
alzada
y
no
a
escala.
Se
da
la
siguiente
información
:
Las
rectas
(
ER
)
y
(
FT
)
se
cortan
en
A
.
AE
=4
;
2
cm
,
AF
=2
;
7
cm
,
EF
=6
cm
AR
=9
;
8
cm
,
FT
=3
;
6
cm
Son
paralelas
las
rectas
(
EF
)
y
(
RT
)
?
Justifica
tu
respuesta.
11.
Réciproque
y
teorema
de
Tales
E.665
En
la
figura
de
al
lado
las
rec-tas
(
SF
)
y
(
TE
)
son
paralelas.
Los
puntos
R
,
S
y
T
están
alineados
en
este
orden.
Los
puntos
R
,
F
,
E
y
G
están
alineados
en
este
orden.
SR
=2
cm
;
ST
=4
cm
;
RF
=1
;
5
cm
;
EG
=9
cm
1
Demostrar
que
:
RE
=4
;
5
cm
.
2
¾Son
paralelas
las
rectas
(
ES
)
y
(
TG
)
?
Justifica.
12.
El
recíproco
de
Tales
y
otros
teoremas
E.8961
Consideremos
el
triángulo
ABC
que
se
muestra
a
continuación
donde
los
puntos
M
y
N
pertenecen
a
los
segmentos
[
BA
]
y
[
BC
]
respectivamente,
donde
el
trián-gulo
BMN
es
rectángulo
en
M
y
donde
se
conocen
las
sigu-ientes
distancias
:
BM
=
12
m
;
BA
=
20
m
;
NC
=
10
m
;
MN
=
9
m
1
Determina
la
medida
del
segmento
[
BN
]
.
2
Demuestra
que
las
rectas
(
MN
)
y
(
AC
)
son
paralelas.
13.
Ejercicios
no
clasificados
E.651
En
el
triángulo
CDE
,
A
es
un
punto
del
segmento
[
CE
]
;
B
es
un
punto
del
segmento
[
CD
]
.
En
el
esquema
adjunto,
las
longitudes
representadas
no
son
exactas.
Se
dan
las
siguientes
longitudes
:
AC
=
8
cm
;
CE
=
20
cm
;
BC
=
6
cm
CD
=
15
cm
;
DE
=
25
cm
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/8935
sacados/8935
AEFRT
chapExoCorrec/665
sacados/665
Groupe Ouest - Septembre 2002 - 4 points
GTESFR9cm2cm4cm1;5cm
chapExoCorrec/8961
sacados/8961
BACMN12m20m10m9m
chapExoCorrec/651
sacados/651
Groupe Nord - Juin 2004 - 4 points
ABCDE
1
Demuestre
que
las
rectas
(
AB
)
y
(
DE
)
son
paralelas.
2
¾Es
rectángulo
el
triángulo
CDE
??
Justifique
su
respuesta.
3
Calcule
AB
4
Calcule
el
valor
redondeado
al
grado
más
cercano
del
án-gulo
CDE
E.668
ABCD
es
un
paralelogramo
tal
que
:
AB
=
8
cm
;
AD
=
4
;
5
cm
E
es
un
punto
de
la
recta
(
AD
)
tal
que
:
AE
=
1
;
5
cm
y
E
no
está
en
el
segmento
[
AD
]
.
La
recta
(
EC
)
interseca
al
segmento
[
AB
]
en
M
.
1
Calcula
AM
.
2
Sitúa
el
punto
N
en
el
segmento
[
DC
]
tal
que
:
DN
=
3
4
×
DC
3
Demuestra
que
las
rectas
(
AN
)
y
(
EC
)
son
paralelas.
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/668
sacados/668
?? - Juin 2000 - 6 points