ESO 3 / Identidades notables 48 ejercicios (100% corregidos)

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123420km6km6km20km abFig.1abFig.2abFig.3abFig.4 abaa−bb ChingQuizz : 8 ejercicios disponibles para la evaluación de QCM : 1. Introducción a las identidades notables E.9208 1 Consideremos el cuadrado que se muestra a continuación, que se ha dividido en cuatro partes : (dos rectángulos y dos cuadrados) : a Determina el área de las cuatro partes de este cuadrado. b Deduce, sin utilizar la calculadora, el valor de 26 2 . 2 Utilice el mismo método para calcular el valor de 107 2 . E.9209 Sean a y b dos números reales estric-tamente positivos. Consideremos las cuatro representaciones de un mismo cuadrado de lado a que se muestran a contin-uación : 1 a Expresa con ayuda de los números a y b el área de cada una de las partes sombreadas. b ¾Qué parte de esta figura admite como área la expre-sión : a − b 2 +2 ab − b 2 2 Justifica la identidad : a − b 2 = a 2 − 2 ab + b 2 E.7998 Observa las dos figuras siguientes. Una está sombreada y la otra está formada por dos figuras sombreadas : Demuestra que estas dos figuras tienen las mismas áreas 2. Introducción al desarrollo E.701 Desarrolle y reduzca las siguientes expresiones : a ( x + 1)( x + 1) b ( x + 6)( x + 6) E.694 Desarrolle y reduzca las siguientes expresiones : a ( x − 2)( x − 2) b ( x − 3)( x − 3) E.2219 Desarrolle y reduzca las siguientes expresiones : a ( x + 2)( x − 2) b ( x + 1)( x − 1) E.690 Expande y reduce las siguientes ex-presiones literales: a (4 x − 7)(4 x + 7) b (3 x − 2)(3 x + 2) E.11343 Desarrolle y reduzca las siguientes expresiones : a (2 x + 3)(2 x + 3) b (5 x + 1)(5 x + 1) E.11345 Desarrolle y reduzca las siguientes expresiones : a (2 x − 3)(2 x + 3) b (3 − 4 x )(3 + 4 x ) https://chingmath.fr chapExoCorrec/9208 sacados/9208 123420km6km6km20km chapExoCorrec/9209 sacados/9209 abFig.1abFig.2abFig.3abFig.4 chapExoCorrec/7998 sacados/7998 abaa−bb chapExoCorrec/701 sacados/701 chapExoCorrec/694 sacados/694 chapExoCorrec/2219 sacados/2219 chapExoCorrec/690 sacados/690 chapExoCorrec/11343 sacados/11343 chapExoCorrec/11345 sacados/11345
E.11344 Desarrolle y reduzca las siguientes expresiones : a (3 x − 1)(3 x − 1) b (5 x − 1)(5 x − 1) E.10737 Expande y reduce las siguientes expresiones : a (3 x + 3)(3 x + 3) b ( a + b ) 2 E.10738 Expande y reduce las siguientes expresiones : a (3 x − 2)(3 x − 2) b ( a − b ) 2 E.10739 Expande y reduce las siguientes expresiones : a (2 x + 2)(2 x − 2) b ( a + b )( a − b ) 3. Desarrollo E.9391 Propuesta: para todos los números a y b , se tienen las siguientes identidades : a + b 2 = a 2 + 2 × a × b + b 2 a − b 2 = a 2 − 2 × a × b + b 2 a + b a − b = a 2 − b 2 Desarrollar y reducir las siguientes expresiones : a 2 x + 1 2 b 3 x − 4 2 c x − 2 x + 2 E.9390 Desarrollando y reduciendo la expre-sión de la izquierda, establezca las identidades siguientes : a x + 5 2 = x 2 +10 x +25 b x − 2 2 = x 2 − 4 x + 4 c x +5 x − 5 = x 2 − 25 E.9206 Desarrollar y reducir las siguientes expresiones literales: a (3 x − 5) 2 b (4 x + 3) 2 c (3 x + 2) 2 d (2 − 5 x ) 2 E.3698 Da la forma expandida y reduce las siguientes expresiones : a (3 x + 1)(3 x − 1) b (2 x − 1) 2 c ( x + 3) 2 E.10744 Expande y reduce las siguientes expresiones literales: a 2 x + 1 2 b 3 x − 4 2 c 7 x + 3 7 x − 3 E.10745 Desarrollar y reducir las siguientes expresiones literales: a 5 x − 4 2 b 3 x + 7 2 c x − 8 x + 8 E.10746 Desarrollar y reducir las siguientes expresiones literales: a 2 − x x + 2 b 3 + 2 x 2 c 9 x − 5 2 E.10812 Da la forma desarrollada y reducida de las siguientes expresiones : a 5 x − 4 5 x + 4 b 3 x + 7 2 c 2 x − 1 2 E.10789 Expande y reduce las siguientes expresiones : a 1 3 x − 6 2 b 2 x − 1 4 2 c 1 3 x + 1 x − 3 E.9392 Expande y reduce las siguientes ex-presiones : a 1 4 x + 2 3 2 b 5 3 x − 1 3 2 c 5 4 x + 1 5 5 4 x − 1 5 4. Desarrollo y reducción E.698 Expande y reduce las siguientes ex-presiones : a (4 x − 2) 2 − 2( x + 2) b (3 x + 2) 2 + 2( x + 4) E.10813 Expande y reduce las siguientes expresiones : a 2 x − 3 2 + 5 x +6 2 b 3+2 x 3 − 2 x + 5 x − 2 2 E.9205 Expande y reduce las siguientes ex-presiones : a (2 x + 1)(2 x − 1) + 4 × 2 + 3( x + 1) b (5 x + 1)(5 x − 1) − ( x + 1)(5 − x ) 5. Utilizar el desarrollo de identidades notables E.3895 Consideremos el siguiente programa de cálculo: https://chingmath.fr chapExoCorrec/11344 sacados/11344 chapExoCorrec/10737 sacados/10737 chapExoCorrec/10738 sacados/10738 chapExoCorrec/10739 sacados/10739 chapExoCorrec/9391 sacados/9391 chapExoCorrec/9390 sacados/9390 chapExoCorrec/9206 sacados/9206 chapExoCorrec/3698 sacados/3698 chapExoCorrec/10744 sacados/10744 chapExoCorrec/10745 sacados/10745 chapExoCorrec/10746 sacados/10746 chapExoCorrec/10812 sacados/10812 chapExoCorrec/10789 sacados/10789 chapExoCorrec/9392 sacados/9392 chapExoCorrec/698 sacados/698 chapExoCorrec/10813 sacados/10813 chapExoCorrec/9205 sacados/9205 chapExoCorrec/3895 sacados/3895
Elegir un número inicial Multiplicar ese número por ( − 2) ; Añadir 5 al producto ; Multiplicar el resultado por 5 ; Escribir el resultado obtenido. 1 a Comprobar que, cuando el número inicial es 2 , se obtiene 5 . b Cuando el número inicial es 3 , ¾qué resultado se ob-tiene? 2 ¾Qué número hay que elegir al principio para que el re-sultado obtenido sea 0 ? 3 Arthur afirma que, para cualquier número inicial x , la expresión ( x − 5) 2 − x 2 permite obtener el resultado del programa de cálculo. ¾Tiene razón? E.5240 Consideremos los siguientes progra-mas de cálculo: Programa A Elegir un número Añadirle 1 Calcular el cuadrado de la suma obtenida. Restar del resultado el cuadrado del número ini-cial Programa B Elegir un número Añadir 1 al doble de ese número 1 Elegimos 5 como número inicial. ¾Qué resultado se obtiene con cada uno de los dos pro-gramas? 2 Demuestra que, independientemente del número elegido, los resultados obtenidos con los dos programas son siem-pre iguales. E.5658 Se considera el programa de cálculo siguiente : Elige un número Añadir 2 Eleva al cuadrado esta suma Resta al resultado el cuadrado del número elegido al prin-cipio Resta 4 del resultado. 1 a Demuestra que, si el número elegido es 1 , el pro-grama de cálculo devuelve el número 4 . b Demuestre que, si el número elegido es 5 , el programa de cálculo devuelve el número 20 . 2 ¾Cuál es el número devuelto por el programa de cálculo si el número elegido es 2 ? 3 a Tomando x como número de partida, ¾cuál es la ex-presión literal obtenida por este programa de cálculo? b Justifica que la expresión obtenida por el programa de cálculo es igual a 4 × x . E.3696 1 Expande : ( x − 1) 2 . Justifica que 99 2 =9 801 utilizando la expansión anterior. 2 Expande : ( x − 1)( x +1) . Justifica que 99 × 101=9 999 utilizando la expansión an-terior. E.5672 Tom debe calcular 3 ; 5 2 . ˇ No hace falta que uses la calculadora ı, , le dice Julie, solo tienes que multiplicar 3 por 4 y sumar 0 ; 25 . 1 Realiza el cálculo propuesto por Julie y comprueba que el resultado obtenido es efectivamente el cuadrado de 3 ; 5 . 2 Propone una forma sencilla de calcular 7 ; 5 2 y da el resul-tado. 3 Julie propone la siguiente conjetura : ( n + 0 ; 5) 2 = n ( n + 1) + 0 ; 25 donde n es un número entero positivo. Demuestra que la conjetura de Julie es cierta (sea cual sea el número n ) . 6. Factorización e identidad notable E.7997 Factoriza las siguientes expresiones : a x + 4 2 − 2 2 b x + 1 2 − 3 2 c x − 2 2 − 2 2 d 4 2 − x + 1 2 E.9207 Factoriza las siguientes expresiones : B = ( x + 2) 2 − (1 − 2 x ) 2 ; C = 4 − 16 x 2 + (4 x + 2)(5 x − 4) 7. Desarrollar, factorizar y calcular E.699 1 Desarrolla la expresión : A =(2 x − 1) 2 . 2 Expresa en forma factorizada : B =4 x 2 − 4 x +1 3 Halla el valor de B para x =0 y para x = 1 2 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5240 sacados/5240 chapExoCorrec/5658 sacados/5658 chapExoCorrec/3696 sacados/3696 chapExoCorrec/5672 sacados/5672 chapExoCorrec/7997 sacados/7997 chapExoCorrec/9207 sacados/9207 chapExoCorrec/699 sacados/699
123456789101112ABCDEx0123456789Entierimpair2x135791113151719Entierimpairsuivant2x3579111315171921Produitdecesentiersimpairsconsécutifs(2xx315356399143195255323399Résultatobtenu(2xx4163664100144196256324400 Motif 1Motif 2Motif 3 E.696 Consideremos la expresión literal: ( E ) : (2 x − 1) 2 − 3( x + 1)(2 x − 1) 1 Factorizar ( E ) . 2 Desarrollar ( E ) . 3 Calcular ( E ) para x =1 de tres maneras diferentes. A continuación, calcule ( E ) para x = 1 4 . Pregunta adicional : 4 ¾Cuáles son los dos valores de x que anulan la expresión ( E ) ? ¾Puede justificarlo? E.3697 Considera la expresión : D = (2 x + 3) 2 + ( x − 5)(2 x + 3) 1 Expande y reduce la expresión D . 2 Factorizar la expresión D . 3 Evalúa la expresión para x =1 y x = 2 3 . E.3695 Considera la expresión : A = 1 4 ( a + b ) 2 − ( a − b ) 2 1 Calcula A para a =1 y b =5 . 2 Calcula A para a = − 2 y b = − 3 . 3 Alex afirma que el número A es igual al producto de los números a y b . ¾Está en lo cierto? Justifica. 8. Problemas E.6303 Léa cree que al multiplicar dos números enteros impares consecutivos (es decir, que se suceden) y al sumar 1 , el resultado obtenido es siempre un múltiplo de 4 . 1 Estudio de un ejemplo: 5 y 7 son dos números enteros impares consecutivos. a Calcular: 5 × 7+1 . b ¾Tiene razón Léa en este ejemplo? 2 La tabla siguiente muestra el trabajo que ha realizado en una hoja de cálculo. a Según esta tabla, ¾qué resultado se obtiene si se toma como primer número entero impar 17 ? b Demuestra que este entero es un múltiplo de 4 . c De las cuatro fórmulas de cálculo de la hoja de cálculo siguientes, dos fórmulas se han podido introducir en la celda D3 . ¾Cuáles? No se espera ninguna justificación. Fórmula 1 : =(2*A3+1)*(2*A3+3) Fórmula 2 : =(2*B3+1)*(2*C3+3) Fórmula 3 : =B3*C3 Fórmula 4 : =(2*D3+1)*(2*D3+3) 3 Estudio algebraico : a Desarrollar y reducir la expresión : (2 x + 1)(2 x + 3) + 1 b Demostrar que Léa tenía razón : el resultado obtenido es siempre un múltiplo de 4 . E.7634 Gaspard crea motivos con baldosas de mosaico blancas y grises de la siguiente manera : Gaspard forma un cuadrado con baldosas grises y luego lo bordea con baldosas blancas. 1 ¾Cuántas baldosas blancas utilizará Gaspard para bor-dear el cuadrado gris del motivo 4 (un cuadrado con 4 baldosas grises de lado) ? 2 a Justifica que Gaspard puede crear un motivo de este tipo utilizando exactamente 144 baldosas grises. b ¾Cuántas baldosas blancas utilizará entonces para bor-dear el cuadrado gris obtenido? 3 Se denomina ˇ motivo n ı al motivo en el que se bordea un cuadrado de n baldosas grises de lado. Tres alumnos han propuesto cada uno una expresión para calcular el número de casillas blancas necesarias para re-alizar el ˇ motivo n ı : Expresión n o 1: 2 × n +2 × n +2 Expresión n o 2: 4 × n +2 Expresión n o 3: 4 × n +2 − 4 Solo una de estas tres expresiones no es adecuada. ¾Cuál? https://chingmath.fr chapExoCorrec/696 sacados/696 chapExoCorrec/3697 sacados/3697 Antilles-Guyane Septembre 2008 chapExoCorrec/3695 sacados/3695 Liban Juin 2009 chapExoCorrec/6303 sacados/6303 123456789101112ABCDEx0123456789Entierimpair2x135791113151719Entierimpairsuivant2x3579111315171921Produitdecesentiersimpairsconsécutifs(2xx315356399143195255323399Résultatobtenu(2xx4163664100144196256324400 chapExoCorrec/7634 sacados/7634 Asie Juin 2017 7 points Motif 1Motif 2Motif 3
ABCDEFGHIJ2x4 ABCDEFG E.5183 Para este ejercicio, todo rastro de investigación, por incompleto que sea, se tendrá en cuenta en la evaluación. . Se da el siguiente programa de cálculo: Elige un número. Súmale 1 . Calcula el cuadrado de esta suma. Elimina 16 del resultado obtenido. y la expresión literal P definida por: P = x 2 +2 x − 15 Demuestra que, sea cual sea el número inicial elegido, obten-emos el mismo valor: por el programa de cálculo; que evaluando la expresión P en este valor. 9. Problemas y geometría E.826 En la figura siguiente AEFG , AHIJ y ABCD son cuadrados. Sea x la medida del segmento [ HB ] . 1 a Expresa AH en función de x . b deduciendo el área de AHIJ . c ¾Cuál de las siguientes expresiones algebraicas (o) cor-responde al área sombreada : M =(4 − x ) 2 − 2 2 ; N =(4 − x − 2) 2 ; P =4 2 − x 2 − 2 2 2 Expandir y reducir la expresión : Q =(4 − x ) 2 − 4 . 3 Factor Q . 4 Calcula Q para x =2 . ¾Qué significa este resultado para la figura? E.5917 El siguiente dibujo muestra una figura formada por: d un cuadrado ABCD y un rectángulo DEFG . E es un punto del segmento [ AD ] . C es un punto del segmento [ DG ] . En esta figura, la longitud AB puede variar, pero siempre tenemos : AE = 15 cm ; CG = 25 cm 1 En esta pregunta, suponemos que : AB =40 cm a Calculer el área del cuadrado ABCD . b Calculer el área del rectángulo DEFG . 2 Peut-¾Podemos hallar la longitud AB para que el área del cuadrado ABCD sea igual al área del rectángulo DEFG ? En caso afirmativo, calcula AB . Si no es así, explique por qué. Si el trabajo no está terminado, deje de todos modos un rastro de la investigación. Se tendrá en cuenta en la calificación . . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5183 sacados/5183 chapExoCorrec/826 sacados/826 ABCDEFGHIJ2x4 chapExoCorrec/5917 sacados/5917 ABCDEFG
1cm4cmABCDMNP ABC4x3x5x ABC10x−56x−38x−4 ABCx75x8 E.10814 A continuación se muestra un cuadrado ABCD y un rectángulo AMNP construido a partir de los lados del cuadrado : Tenemos : DP =1 cm ; BM = 4 cm Se denota x la medida de los lados del cuadrado ABCD . De-termina el valor de x para que el cuadrado ABCD y el rec-tángulo AMNP tengan la misma área. Indicación : se tendrán en cuenta en la evaluación todos los pasos de la investigación y las explicaciones del proced-imiento. E.680 Demuestra que el triángulo ABC es rectángulo en A cualquiera que sea el valor de ˇ x ı : E.2601 Demuestra que el triángulo ABC es rectángulo en C cualquiera que sea el valor de ˇ x ı : 10. Compartir E.693 1 Expande y simplifica las siguientes expresiones : a (3 x + 2) 2 b (5 − x )(5 + x ) + ( x − 1) 2 2 Factoriza las siguientes expresiones : a 9 x 2 − 25 b ( x + 1)(5 − 2 x ) − ( x + 1) 2 E.3759 Este ejercicio es un cuestionario de opción múltiple. (QCM) . No se requiere justificación. Para cada pregunta se ofrecen tres respuestas, solo una de ellas es correcta. Cada respuesta correcta vale un punto, las respuestas incor- rectas o la ausencia de respuesta no restan puntos. Para cada una de las preguntas, indique en la copia el número de la pregunta y copie la respuesta correcta. Respuesta 1 Respuesta 2 Respuesta 3 1 6 − 4( x − 2) es igual a 2 x − 4 14 − 4 x − 2 − 4 x 2 ¾Cuál es la expre-sión factorizada de : 4 x 2 − 12 x +9 (2 x +3)(2 x − 3) (2 x + 3) 2 (2 x − 3) 2 3 Para x = − 2 , la ex-presión 5 x 2 +2 x − 3 es igual a 13 − 27 17 11. Ejercicios no clasificados E.819 x es un número positivo com-prendido entre 0 y 10 ; las longitudes se expresan en cm y las áreas en cm 2 . La figura siguiente está dibujada a mano alzada. Se trata de saber si existe un valor de x para el que ABC sea un triángulo rectángulo. 1 Calcular AB y AC cuando x =4 . Cuando x =4 , ¾ ABC es rectángulo? Justifica la respuesta. 2 Desarrolla y reduce : ( x +7) 2 ; ( x +8) 2 Deduce : AB 2 − AC 2 =2 x +15 ¾Cuál es el valor de AB 2 − AC 2 cuando x =0 , cuando x =10 ? ¾El valor de BC 2 depende del número x ? 3 a Resuelve la ecuación : 2 x +15=25 . b Deduce el valor de x , de modo que el triángulo ABC sea rectángulo en C . Justifica tu resultado. https://chingmath.fr chapExoCorrec/10814 sacados/10814 1cm4cmABCDMNP chapExoCorrec/680 sacados/680 ABC4x3x5x chapExoCorrec/2601 sacados/2601 ABC10x−56x−38x−4 chapExoCorrec/693 sacados/693 chapExoCorrec/3759 sacados/3759 chapExoCorrec/819 sacados/819 ABCx75x8