ESO 3 / Otros 38 ejercicios (incluyendo 17 corregidos)

a
1. Trillizos pitagóricos E.1959 Estudio del triplete m 2 − n 2 ; 2 mn ; m 2 + n 2 : 1 Demuestre que, para n y n número entero positivo, la tripleta siguiente es una tripleta pitagórica: m 2 − n 2 ; 2 mn ; m 2 + n 2 Estudio de un caso particular : 2 a Comprueba que este triplete es pitagórico. Por identificación con el triplete general, debemos tener los dos enteros m y n que verifican simultáneamente las tres rectas (el sistema siguiente) : m 2 − n 2 = 15 2 mn = 8 m 2 + n 2 = 17 b Resuelve este sistema : es decir, encuentra los (únicos) valores de m y n verificando estas tres líneas. Para todos los tripletes pitagóricos: 3 Para cualquier triplete pitagórico a ; b ; c , admitimos que las fracciones c + a 2 y c − a 2 son cuadrados perfectos. Planteemos : m 2 = c + a 2 ; n 2 = c − a 2 Demostrar que m y n elegidos de esta manera satisfacen la pregunta. (para la verificación de b simplemente mostraremos que b 2 =4 m 2 n 2 ) E.1960 Estudio del triplete 2 mn ; m 2 − n 2 ; m 2 + n 2 : 1 Estableceremos que para cualquier número entero pos-itivo m y n , el triplete 2 mn ; m 2 − n 2 ; m 2 + n 2 es un triplete pitagórico: a Expandir y reducir : m 2 − n 2 m 2 − n 2 b Establezca la siguiente igualdad : 2 mn 2 + m 2 − n 2 2 = m 2 + n 2 2 Estudio de un caso particular : 2 Estudio del triplete 16 ; 30 ; 34 a Verifique que este triplete es pitagórico. Por identificación con el triplete general, debemos tener los dos enteros m y n verificando simultáneamente las tres rectas (el sistema siguiente) : m 2 − n 2 = 16 2 mn = 30 m 2 + n 2 = 34 b Resuelva este sistema. Para todos los tripletes pitagóricos: 3 Para cualquier triplete pitagórico a ; b ; c , admitimos que las fracciones c + a 2 y c − a 2 son cuadrados perfectos. Digamos: m 2 = c + a 2 ; n 2 = c − a 2 a Establezca las siguientes igualdades : a = m 2 − n 2 ; c = m 2 + n 2 b Expanda y reduzca el siguiente producto : ( c + a )( c − a ) c Demostrar que : b 2 = 4 m 2 n 2 Acabamos de establecer : b =2 mn https://chingmath.fr sacados/1959 sacados/1960
6m4m2;5m E.1961 Estudio del triplete 2 mn ; m 2 − n 2 ; m 2 + n 2 : 1 Estableceremos que para cualquier número entero pos-itivo m y n , el triplete 2 mn ; m 2 − n 2 ; m 2 + n 2 es un triplete pitagórico: a Expandir y reducir para obtener la siguiente igualdad : m 2 + n 2 m 2 + n 2 = m 4 + 2 m 2 n 2 + n 4 . b Expandir y reducir : m 2 − n 2 m 2 − n 2 . c Simplifique escribiendo 2 mn 2 . d Establezca la siguiente igualdad : 2 mn 2 + m 2 − n 2 2 = m 2 + n 2 2 . Estudio de un caso particular : 2 Estudio del triplete 16 ; 30 ; 34 a Verifique que este triplete es pitagórico. Por identificación con el triplete general, debemos tener los dos enteros m y n verificando simultáneamente las tres rectas (el sistema siguiente) : m 2 − n 2 = 16 2 m · n = 30 m 2 + n 2 = 34 b Centrándose en la recta 2 m · n =30 , determine el valor de los enteros m y n . Para todos los tripletes pitagóricos: 3 Para cualquier triplete pitagórico a ; b ; c , admitimos que las fracciones c + a 2 y c − a 2 son cuadrados perfectos. Digamos: m 2 = c + a 2 ; n 2 = c − a 2 a Establezca las siguientes igualdades : a = m 2 − n 2 ; c = m 2 + n 2 b Expanda y reduzca el siguiente producto : ( c + a )( c − a ) c Utilizando el hecho de que a ; b ; c es un triplete pitagórico, demuestre que : b 2 = 4 m 2 n 2 Acabamos de establecer : b =2 mn E.1954 1 Demostremos que el triplete 2 mn ; m 2 − n 2 ; m 2 + n 2 es un triplete pitagórico: a Expandir y reducir : m 2 − n 2 m 2 − n 2 . b Expandir y reducir : m 2 + n 2 m 2 + n 2 . c Simplifica escribiendo 2 mn 2 . d Establece la siguiente igualdad : 2 mn 2 + m 2 − n 2 2 = m 2 + n 2 2 . Ahora demostraremos que cualquier tripleta pitagórica puede escribirse como 2 mn ; m 2 − n 2 ; m 2 + n 2 . 2 Estudio del triplete 16 ; 30 ; 34 a Comprueba que este triplete es pitagórico. Por identificación con el triplete general, debemos tener m y n verificando simultáneamente las tres rectas (el siguiente sistema) : m 2 − n 2 = 16 2 mn = 30 m 2 + n 2 = 34 a Resuelve el sistema anterior. 2 Para un triplete pitagórico a;; b ; c , planteemos : m 2 = c + a 2 ; n 2 = c − a 2 a Establezcamos las siguientes igualdades : a = m 2 − n 2 ; b =2 mn ; c = m 2 − n 2 2. Problemas abiertos E.5790 Una cabra se encuentra en un pâturaje rectangular de dimensiones 6 m × 4 m . Está atada a una caseta cuadrada cuyos lados miden 2 ; 5 m , tal y como se indica en la figura siguiente. ¾Cuál es la longitud mínima de la cuerda necesaria para que la cabra recorra todo el prado? E.5791 Dos plátanos, el primero de los cuales mide 17 m de altura y el segundo 10 m de altura, están sepa-rados por 24 m . En la copa de cada uno de los árboles hay un pájaro que va a volar en línea recta hasta una fuente, cuya parte superior tiene una altura 1 m . Esta fuente está en el medio entre los dos árboles. Desde el árbol alto, el primer pájaro se lanza hacia la fuente a una velocidad de 50 km = h . ¾Cuál debe ser la velocidad mínima del segundo pájaro para llegar primero a la fuente? https://chingmath.fr sacados/1961 sacados/1954 A finir sacados/5790 6m4m2;5m sacados/5791
6cm3cm2cmABCDSM KadoLapatAngazPirasMegalNuben AngazKadoLapatMegalNubenPirasAngazKadoLapatMegalNubenPiras5505003005003003008508505501000800450600250 E.5792 Un cuadrado de lado 2 m se muestra rayado en la siguiente representación. Se encuentra dentro del rectángulo ABCD , de dimensiones 6 m × 3 m y descansa sobre el lado [ AB ] : Cuál debe ser la posición del punto M para que el cuadrado quede dentro del triángulo ABC ? E.5793 La vivienda tradicional de los indios de las llanuras de América del Norte es el tipi. Un tipi está formado por largas varas de madera apoyadas unas contra otras, una cubierta exterior hecha de pieles de animales y una puerta siempre ori-entada hacia el este. Cada varilla de madera mide 21 pies y sobresale 3 pies. El radio del círculo trazado en el suelo mide 7 ; 5 pies. El gran jefe indio quiere coronar el círculo formado por la parte superior de las varillas de su tipi con un sombrero de plumas. ¾Cuál debe ser el diámetro de su sombrero? Explique el procedimiento mediante un texto en el que pre-sente sus cálculos y argumentos, e ilustre con una figura. 3. Descomposición en factores primos E.636 1 escribe los siguientes números como fracción irreducible : A = 1 − 7 12 × 4 5 ; B = 42 7 ÷ 12 35 2 Simplifica la siguiente fracción para hacerla irreducible : C = 3 8 × 5 8 × 7 3 15 8 × 14 2 E.638 Realiza los siguientes cálculos y da el resultado como fracciones irreducibles : A 1 3 + 1 2 × 1 − 1 3 b 24 5 ÷ 12 30 c 1 4 + 1 2 3 + 1 6 d 3 2 × 11 − 4 × 4 3 2 6 × 11 2 E.3527 Escribe los siguientes números de la forma 2 n × 3 m × 5 k donde los enteros n , m , k son enteros rela-tivos. a 18 × 15 2 × 12 4 b 6 10 × 5 3 × 10 2 15 7 × 2 3 c ( − 3) 3 × 15 2 × ( − 4) 3 16 2 × ( − 9) 2 4. Problemas con la encuesta PISA E.5794 A continuación se muestra un mapa de las carreteras de una región: A continuación se muestran las distancias por carretera más cortas entre ciudades, expresadas en kilómetros: Calcular la distancia más corta por carretera entre Nuben y Kado https://chingmath.fr sacados/5792 6cm3cm2cmABCDSM sacados/5793 chapExoCorrec/636 sacados/636 chapExoCorrec/638 sacados/638 chapExoCorrec/3527 sacados/3527 sacados/5794 KadoLapatAngazPirasMegalNuben AngazKadoLapatMegalNubenPirasAngazKadoLapatMegalNubenPiras5505003005003003008508505501000800450600250
Ligne BLigne ALigne CD’iciÀ Là Représente une station sur une des lignes de métroReprésenteunejonction,c’est-à-direunestationoùexisteunecorres-pondancepermettantdechangerdelignedemétro(LignesA,BouC) AEBFCGDHEntréeSortie x-20246y-3-2-11ABCDE E.5795 El siguiente esquema muestra una sección de la red de transporte público de una ciudad de Zedlandia, que incluye tres líneas de metro. El precio depende del número de estaciones recorridas (sin contar la estación de salida) . El coste es de 1 zed por estación. La duración del trayecto entre dos estaciones sucesivas es de aproximadamente 2 minutos. El tiempo necesario para cambiar de línea en un cruce es de aproximadamente 5 minutos. En el esquema se puede ver la estación en la que se encuentra un viajero en este momento (ˇDesde aquí’ˇ) y a dónde desea ir (ˇA allíı’ ) . Indique en el esquema el mejor trayecto (en términos de duración y coste) y indique el precio que pagará, así como la duración aproximada del trayecto. E.5796 El siguiente sistema representa un sis-tema de canales destinado al riego de parcelas cultivadas. Las válvulas A a H pueden abrirse o cerrarse para llevar el agua donde sea necesario. Cuando una válvula está cerrada, el agua no pasa. En este problema, se trata de identificar una válvula que está bloqueada, impidiendo que el agua fluya a través del sistema de canales. Michel ha observado que el agua no siempre fluye por donde debería. Cree que una de las válvulas está bloqueada en posición cer-rada, por lo que no se abre, incluso cuando se ordena su aper-tura. Michel se da cuenta de que, cuando las válvulas se ajustan como se indica en la tabla siguiente, no sale agua por la sal-ida, lo que indica que al menos una de las válvulas ajustadas en ˇ posición abierta ı está bloqueada en posición cerrada. A B C D E F G H Abierta Cerrada Abierta Abierta Cerrada Abierta Cerrada Abierta Para cada una de las averías descritas a continuación, indique si el agua fluirá hasta la salida. Marque con un círculo ˇ Oui ı ı o ˇ Non ı ı para cada avería. Avería ¾El agua fluirá hasta la salida? La válvula A está bloqueada en posi-ción cerrada. Todas las demás funcio-nan correctamente según los ajustes del cuadro. Sí / Non La válvula D está bloqueada en posi-ción cerrada. Todas las demás funcio-nan correctamente según los ajustes de la tabla. Sí / Non La válvula F está bloqueada en posi-ción cerrada. Todas las demás funcio-nan correctamente según los ajustes de la tabla. Sí / Non 5. Líneas y funciones afines E.2610 Considere el plano provisto de un sis-tema de referencia ortonormal ( O ; I ; J ) y una recta que se muestra a continuación : 1 Determine las coordenadas de los puntos : A ; B ; C ; D ; E 2 a Sin justificar, dé la naturaleza de los triángulos ADE y ABC . b En estos dos triángulos, determina los siguientes val-ores trigonométricos : tan DAE ; tan CAB c ¾Qué se puede decir de los puntos A , B , C ? 3 A partir de las coordenadas de los puntos, determina el valor de los dos cocientes siguientes : y A − y C x A − x C ; y A − y D x A − x D 4 Comprueba que las coordenadas de los puntos A , D , C satisfacen la siguiente igualdad : y = 0 ; 5 x − 2 https://chingmath.fr sacados/5795 Ligne BLigne ALigne CD’iciÀ Là Représente une station sur une des lignes de métroReprésenteunejonction,c’est-à-direunestationoùexisteunecorres-pondancepermettantdechangerdelignedemétro(LignesA,BouC) sacados/5796 AEBFCGDHEntréeSortie chapExoCorrec/2610 sacados/2610 x-20246y-3-2-11ABCDE
-4-3-2-1234I-2-1234JOCDAB E.965 En el sistema de coordenadas ortonor-males O ; I ; J , consideramos los puntos A , B , C , D repre-sentados a continuación : 1 Da las coordenadas de los puntos A , B , C y D . 2 a Traza la recta ( AB ) . Determina el valor de la orde-nada en el origen de la recta ( AB ) . b Sitúa el punto M (0 ; − 1) . Determina el valor de la relación trigonométrica: tan MAB c Deduce la expresión de la función afín f que admite como representación la recta ( AB ) . 3 a Traza la recta ( CD ) . Determina el valor de la orde-nada en el origen de la recta ( CD ) . b Coloca el punto N (2 ; 2 ; 5) . Determina el valor de la relación trigonométrica: tan NCD c Sea g la función afín que admite como representación la recta ( CD ) . ¾Cuál de las dos expresiones siguientes es la de la función g ? g ( x ) = 0 ; 5 x + 2 ; 5 ; g ( x ) = − 0 ; 5 x + 2 ; 5 E.2483 Un club deportivo ofrece a sus clientes tres tipos de tarifa : Tarifa 1: el pago de 1 000 F por cada sesión. Tarifa 2: pago de una tarjeta mensual de 4 000 F más 500 F por sesión asistida. Tarifa 3: un abono mensual de 11 500 F . 1 El Sr. Bob Iscotto tiene previsto asistir a 10 sesiones al mes. Calcula su gasto con cada una de las tarifas. 2 El Sr. Ray Gimesseq no sabe a cuántas sesiones asistirá en un mes. Llamamos x al número de sesiones a las que asiste en el mes. a Expresamos en función de x , los precios p 1 , p 2 , p 3 a pagar en cada caso. b En papel cuadriculado, construye un marcador donde : 1 cm representa 2 sesiones en el eje x; 1 cm representa 1 000 F en el eje y; el eje x y el eje y son perpendiculares. Dibuja las representaciones gráficas de las funciones t 1 y t 2 tales que : t 1 ( x ) = 1 000 x ; t 2 ( x ) = 500 x + 4 000 . 3 a Resolver el sistema : y = 1 000 x y = 500 x + 4 000 b Copie y complete la siguiente frase : ˇ Gráficamente, la solución de este sistema corresponde al lugar donde. . . ı c A partir de cuántas sesiones, la tarifa 3 es más venta-josa que la tarifa 2? 4 Copie y complete las siguientes frases : a De cero a . . . sesiones, MI Ray Gimesseq debería elegir la tarifa . . . . b De . . . a . . . sesiones, el Sr. Ray Gimesseq debería elegir la tarifa . . . . c A partir de . . . sesiones, el Sr. Ray Gimesseq debería elegir la tarifa . . . . ½El Sr. Ray Gimesseq le agradece sus consejos! Nota : En Nueva Caledonia se utiliza el franco pacífico. A título informativo, 100 francos del Pacífico equivalen aproxi-madamente a 0 ; 838 euros. https://chingmath.fr chapExoCorrec/965 sacados/965 -4-3-2-1234I-2-1234JOCDAB sacados/2483
ABCDF4x6 x012345678y2468101214161820222426 AgdeSèteMontpellierNîmesBalarucD31D31A927kmBalarucA990kmNîmesD3154kmNîmesD31A9Balaruc14km E.4156 Consideremos la figura siguiente, en la que las dimensiones se expresan en cm y las áreas en cm 2 . ABCD es un rectángulo. El triángulo DCF es rectángulo en D . Parte A 1 En esta pregunta, tenemos : AB = 4 ; AF = 6 ; DF = 2 a Calcular el área del rectángulo ABCD . b Calcular el área del triángulo DCF . 2 En la continuación del problema : AB = 4 ; AF = 6 ; DF = x ; AD = 6 − x a Demuestra que el área del rectángulo ABCD es 24 − 4 x . b Demuestra que el área del triángulo DCF es 2 x . c Resuelve la ecuación : 24 − 4 x =2 x . ¾Para qué valor de x el área del rectángulo ABCD es igual al área del triángulo DCF ? Parte B 1 Denotemos por f la función definida por: f ( x )=24 − 4 x y por g la función definida por: g ( x )=2 x Complete la tabla siguiente y represente gráficamente la función f en el documento siguiente, en el que figura la representación gráfica G de la función g . x 0 1 2 f ( x )=24 − 4 x 2 Mediante la lectura gráfica, determine para qué valor de x el área de DCF es igual a 6 cm 2 . 3 Mediante la lectura gráfica, determine el área de ABCD para x =2 ; 5 cm 4 Mediante la lectura gráfica, encuentre el resultado de la pregunta 2 c de la parte A . Para las preguntas 2 , 3 et 4 , se dejarán visibles las líneas necesarias en el gráfico. 6. Tareas complejas E.6337 Mariam quiere viajar de Agde a Nimes. En Internet, encuentra la siguiente información : Información 1 Información 2 A continuación se muestra una tabla resumen de los límites de velocidad en Francia: Conditions normales de circulación En caso de lluvia u otras precipitaciones Visibilidad inferior a 50 m Autopista 130 km = h 110 km = h 50 km = h Vía rápida 110 km = h 100 km = h 50 km = h Otras carreteras 90 km = h 80 km = h 50 km = h Área metropolitana 50 km = h 50 km = h 50 km = h Información 3 Estas son algunas características sobre el consumo de gasolina del coche de Mariam Vitesse (en km = h ) 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 Consommation (en ‘ ) 7 7 ; 5 8 6 6 ; 5 7 7 ; 5 7 ; 8 8 8 ; 5 9 ; 2 Por razones de seguridad, Mariam siempre conduce 10 km = h por debajo de la velocidad máxima permitida y, por razones económicas, siempre elige la ruta más económica. ¾Qué ruta elegirá Mariam? https://chingmath.fr sacados/4156 ABCDF4x6 x012345678y2468101214161820222426 sacados/6337 AgdeSèteMontpellierNîmesBalarucD31D31A927kmBalarucA990kmNîmesD3154kmNîmesD31A9Balaruc14km
ABCDSMpignon nord de l’atelier ABSplanches du bardagetasseauxde boisplanches du bardagetasseauxde boisplanches du bardagetasseauxde boisplanches du bardagetasseauxde boisplanches du bardagetasseauxde bois ABCDSM1;80m2;20m0;50m6mFHE ABCDSM1;80m2;20mx6mFHE E.4339 El señor Duchêne quiere revestir (cubrir) con madera el frontón norte de su taller. Este frontón no tiene aber-turas. Se da : AD =6 m ; AB =2 ; 20 m SM =1 ; 80 m M es el centro de [ BC ] . Las partes I , II y III son independientes. Parte I. 1 Demuestre que el área del frontón ABSDCD del taller es 18 ; 6 m 2 . 2 Las tablas de madera que se utilizarán para revestir el frontón se venden por lotes. Un lote permite cubrir una superficie de 1 ; 2 m 2 . a ¾Cuántos lotes debe comprar como mínimo el señor Duchêne? b Para asegurarse de que no le falte madera, el señor Duchêne decide comprar 18 lotes. Un lote se vende al precio de 49 e . ¾Cuánto debería pagar el señor Duchêne? c El señor Duchêne se benefició de un descuento de 12 % sobre el importe a pagar. Finalmente, ¾cuánto pagó el señor Duchêne? Parte II En primer lugar, el señor Duchêne tendrá que fijar listones de madera en la pared. A continuación, colocará las tablas del revestimiento sobre los listones, tal y como se indica en la figura adjunta. Los listones se colocarán paralelos al lado [ AB ] . El objetivo de esta parte es determinar la longitud de cada listón en función de la distancia que lo separa del lado [ AB ] Sea E un punto del segmento [ AD ] . La paralela a ( AB ) que pasa por E corta [ BS ] en F y [ BM ] en H . Se admite que la recta ( FH ) es paralela a la recta ( SM ) . El segmento [ EF ] representa un listón que hay que fijar. 1 Sabiendo que M es el punto medio de [ BC ] , calcula BM . 2 En esta pregunta, se supone que el listón [ EF ] está situ-ado en 0 ; 50 m del lado [ AB ] . Por lo tanto, tenemos : AE = BH =0 ; 50 m . a Situándonos en el triángulo SBM y utilizando el teo-rema de Thales, calcule FH . b Deduzca la longitud EF del listón. 3 En esta pregunta, generalizamos el problema y suponemos que el listón [ EF ] está situado a una distancia x del lado [ AB ] . Por lo tanto, tenemos : AE = BH = x (con x variando entre 0 y 3 m ) . a Demuestre que : FH =0 ; 6 x . b Deduzca la expresión de EF en función de x . 4 En esta pregunta, utilizaremos el gráfico del anexo que indica la longitud de un listón en función de la distancia x que lo separa del lado [ AB ] Dejaremos visibles las líneas que han permitido las lec-turas gráficas. a ¾Cuál es la longitud de un listón sabiendo que se ha colocado a 1 ; 50 m del lado [ AB ] ? b Disponemos de un listón de 2 ; 80 m de largo que no queremos cortar. ¾A qué distancia del lado [ AB ] debe colocarse? Parte III https://chingmath.fr sacados/4339 Pondichery Juin 2011 ABCDSMpignon nord de l’atelier ABSplanches du bardagetasseauxde boisplanches du bardagetasseauxde boisplanches du bardagetasseauxde boisplanches du bardagetasseauxde boisplanches du bardagetasseauxde bois ABCDSM1;80m2;20m0;50m6mFHE ABCDSM1;80m2;20mx6mFHE
ABCDSMpignon nord de l’atelier x00,511,522,533,5y0,511,522,533,544,5 ABCDEtagère no1Etagèreno2 ABCDEtagère no1Etagèreno2EFGH El señor Duchêne necesita conocer la medida del án-gulo SBM para realizar ciertos cortes. Recordemos que : SM =1 ; 80 m ; BC =6 m Determinar la medida del ángulo SBM . Redondeare-mos el resultado al grado más cercano. E.4340 Parte 1: Instalación de un ordenador en la biblioteca de una escuela En la biblioteca de la escuela hay dos estanterías colocadas en una esquina de la sala, tal y como se muestra en el siguiente esquema. Para instalar un ordenador, se desplazan las dos estanterías la misma distancia con el fin de colocar una mesa con la forma AEFGH , tal y como se muestra en el esquema adjunto : Se precisa que : BE = CF = CG = DH ; GCF es un triángulo rectángulo isósceles en C . 1 Si se desplazan las dos estanterías 1 metros, ¾cuánto mide entonces GF ? 2 En esta pregunta, se tendrá en cuenta en la evaluación cualquier rastro de investigación, aunque sea incompleto. Queremos obtener GF =1 m . ¾Cuánto hay que desplazar las estanterías? Parte 2: Compra de un software de gestión de bibliotecas La escuela decide probar un software para gestionar su bib-lioteca. Descarga este software de Internet. 1 El archivo tiene un tamaño de 3 ; 5 Mo (megabytes) y la descarga se realiza en 7 segundos. ¾Cuál es la velocidad de la conexión a Internet? El resul-tado se expresará en Mo=s . Tras un periodo de prueba de 1 meses, la escuela decide com-prar el software. Hay tres tarifas : Tarifa A : 19 e Tarifa B : 10 céntimos por alumno Tarifa C : 8 e + 5 céntimos por alumno 2 Copie y complete la siguiente tabla : Número de alumnos 100 200 300 Tarifa A 19 ; 00 e Tarifa B 30 ; 00 e Tarifa C 18 ; 00 e 3 a Si x representa el número de alumnos, ¾cuál de las siguientes funciones corresponde a la tarifa C ? x ↦−→ 8+5 x ; x ↦−→ 8+0 ; 05 x ; x ↦−→ 0 ; 05+8 x b ¾Cuál es la naturaleza de esta función? 4 En el gráfico que se muestra en el anexo, se ha represen- https://chingmath.fr ABCDSMpignon nord de l’atelier x00,511,522,533,5y0,511,522,533,544,5 chapExoCorrec/4340 sacados/4340 ABCDEtagère no1Etagèreno2 ABCDEtagère no1Etagèreno2EFGH
x020406080100120140160180200220240260280300320y24681012141618202224262830323436384042TarifB tado la tarifa B . En este mismo gráfico, represente las tarifas A y C . En la hoja adjunta se mostrarán las líneas necesarias para la lectura del gráfico. 5 Según la lectura gráfica, ¾a partir de cuántos alumnos la tarifa A es más interesante que la tarifa C ? En la escuela hay 209 alumnos. 6 ¾Cuál es la tarifa más interesante para la escuela? Parte 3: Funcionamiento de la biblioteca GrâGracias al software, se puede obtener información precisa sobre los préstamos realizados por los 209 alumnos de la es-cuela Tenemos, por ejemplo, los siguientes datos : Número de préstamos en noviembre de 2010: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Número de alumnos : 39 30 36 23 20 22 18 10 11 1 ¾Cuál es el número medio de préstamos por alumno? 2 ¾Cuál es la mediana de esta serie? Parte 4: Fiesta de fin de curso Al final del año escolar, la escuela decide regalar paquetes de lectura a los alumnos. 1 Etienne ha recibido un paquete. Este paquete contiene 3 cómics y 2 álbumes. Saca al azar un primer libro del paquete sin mirarlo. ¾Cuál es la probabilidad de que sea un cómic? 2 Etienne ha sacado un álbum en la primera extracción. Como quiere leer un cómic, saca al azar un segundo libro del paquete sin mirar. ¾Cuál es la probabilidad de que sea un cómic? https://chingmath.fr x020406080100120140160180200220240260280300320y24681012141618202224262830323436384042TarifB
ABCDEFGHI ABCDEFGH1m5m3m4m5mLe schéma ci-contre n’est pas réalisé à l’échelle E.5186 Las tres partes de este problema son independientes entre sí En un centro de enseñanza media de Caen (Normandie) est se organizó un intercambio con México para 3 e alumnos que estudiaban español como segunda lengua. Parte A - la matrícula de élèves El cuadro siguiente permite determinar el desglose de la se-gunda lengua estudiada por los 320 4 e y 3 e alumnos de este collège. Segunda lengua étudiée 4 e 3 e Total español 84 Allemand 24 Italien 62 50 Total 168 320 1 Combien de alumnos pueden êtrearse en este intercam-bio? 2 24 alumnos participarán en este viaje. ¾Es cierto que esto representa más de una quinta parte de los alumnos de 3 e ? Parte B - la financement Para financiar este intercambio, se ponen en marcha dos ac-ciones : una comida mexicana y una tómbola. 1 La comida mexicana, où cada participante paga 15 e . En el menú hay un plato típico mexicano, Chili con carne . Recette por 4 personnes 50 g de beurre 500 g carne picada 2 gros oignons 65 g de tomate 2 gousses concentrado ail 400 g de judías rojas 30 cl de boeuf 50 personnes caldo participan en esta comida : a Dar la cantidad de carne picada, alubias rojas, cebolla y pasta de tomate. b Los gastos de esta comida son 261 e , quel ¾es esta ganancia? 2 Para la tómbola, se vendieron 720 boletos al precio de 2 e chacun. Todos los premios a ganar costaron 120 e a los organizadores. Demuestre que el beneficio obtenido por estas dos ac-ciones ascendió a 1809 e . Partie C - la excursión turística Durante su viaje a México, los 24 alumnos visitaron la pirámide maya de Chichén Itzá. Al templo de la cima de la pirámide se llega por una escalera muy empinada con 90 escalones. Los escalones son todos idénticos entre sí y miden 27 cm de ancho y 30 cm de alto. Esquemáticamente, la pirámide de Chichén Itzá: 1 a Justifica las siguientes medidas : AB = 24 ; 3 m ; BC = 27 m b Determinar la medida del ángulo que forma la escalera con respecto al suelo, redondeada al grado más cercano 2 La cima del templo (simbolizada por el punto E ) se con-struyó alineada con la rampa de la escalera. Sabiendo que hay que caminar 8 ; 1 m para ir desde lo alto de las es-caleras (punto C ) hasta la entrada del templo (punto G ) , , indique la altura total de esta pirámide, redondeada al metro más cercano. E.7637 El señor Chapuis desea cambiar las baldosas y los zócalos del salón de su apartamento. Para ello, debe comprar baldosas, pegamento y zócalos de madera que se clavarán. Dispone de los siguientes documentos : Documento 1 : plano la habitación corresponde a la parte sombreada. Documento 2 Azulejos Tamaño de un azulejo : 50 cm × 50 cm Grosor de un azulejo : 0 ; 9 cm Presentación : 1 ; 25 m 2 por caja. Precio: 19 ; 95 e por caja Rodapié Forma: rectangular con una longitud de 1 m . Se vende por unidades. Precio: 2 ; 95 e el zócalo de madera. Documento 3 Pegamento para baldosas Envase : bolsa de 25 kg Rendimiento (superficie que se puede pegar) : 4 m 2 por bolsa Precio: 22 e la bolsa Paquete de clavos para zócalos Precio: 5 ; 50 e el paquete https://chingmath.fr chapExoCorrec/5186 sacados/5186 ABCDEFGHI sacados/7637 ABCDEFGH1m5m3m4m5mLe schéma ci-contre n’est pas réalisé à l’échelle
ABCD OLMH(d 1 a Observando que la longitud GD es igual a 7 m , de-termine el área del triángulo BCH . b Demuestre que el área de la habitación es 32 m 2 . 2 Para no quedarse sin baldosas ni adhesivo, el vendedor aconseja al señor Chapuis que prevea una superficie su-perior en 10 % a la superficie calculada en la pregunta 1 . El señor Chapuis debe comprar cajas y sacos completos. Determine el número de cajas de baldosas y el número de sacos de cola que debe comprar. 3 El vendedor también recomienda dejar un margen de 10 % en la longitud de los zócalos. Determine el número total de zócalos que el señor Chapuis debe comprar para cubrir toda la habitación. Se precisa que no hay zócalos en la puerta. 4 ¾Cuál es el gasto total del señor Chapuis, sabiendo que solo necesita un paquete de clavos? Redondee la re-spuesta al euro más cercano. 7. Rotación E.868 Un pavimento está formado por rombos idénticos al rombo ABCD , como se muestra en la siguiente figura codificada. Se denomina R a la rotación con centro C que transforma D en B . Se denomina t a la traslación del vector 2 · −−→ BC . Se denomina S B la simetría con centro B . 1 a ¾Cuál es el ángulo de la rotación R ? Justifique la respuesta. b En la figura, traza, en color, la imagen L 1 del rombo ABCD por R . 2 En la figura, traza, en color, la imagen L 2 del rombo ABCD por t . 3 En la figura, dibuje, en color, la imagen L 3 del rombo ABCD por S B . E.861 1 Traza un círculo C con centro O y radio 6 cm. Traza, con una regla sin graduar y un compás, un hexá-gono regular ABCDEF inscrito en este círculo. 2 Anote I el punto medio del segmento [ AB ] . Calcule la longitud AI . Justifique. (Redondee al milímetro) Indique la longitud de los lados de este polígono. 3 ¾Qué puede decirse de la imagen de ABCDEF mediante una rotación con centro O y ángulo 60 o , 180 o , 780 o en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario? ¾Para qué ángulos el polígono ABCDEF es invariante? 4 Explique por qué el triángulo ACE es un triángulo equi-látero. E.862 En la cuadrícula de abajo, se ha representado una cazuela en negro. 1 Construye C 1 la imagen de C por simetría de eje ( d ) . 2 Construye C 2 imagen de C por simetría de centro el punto L . 3 Construye C 3 imagen de C por la traslación que envía el punto H a M . 4 Construye C 4 imagen de C mediante la rotación con cen-tro O , ángulo 90 o y sentido contrario a las agujas del reloj. https://chingmath.fr chapExoCorrec/868 sacados/868 Afrique de l'Ouest, Asie - Juin 2005 ABCD chapExoCorrec/861 sacados/861 chapExoCorrec/862 sacados/862 OLMH(d
ABCD(d ABCDEIO5;7cm54o ATYUHLGNO45o ABIE E.863 Considera el cuadrilátero siguiente : 1 Dibuja en azul la imagen del cuadrilátero por la simetría de centro C . 2 Traza en verde la imagen del cuadrilátero por el giro de 90 o , centro D en el sentido de las agujas del reloj. 3 Dibuja en rojo la imagen del cuadrilátero por simetría de eje la recta ( d ) . 4 Dibuja en negro la imagen del cuadrilátero por la traslación que transforma el punto A en el punto B . E.2648 Aquí está el pentágono regular ABCDE . El punto I es el centro de [ AB ] . OA = OB = OC = OD = OE = 5 ; 7 cm 1 a ¾Cuál es la naturaleza del triángulo AOB ? b Demuestra que la medida del ángulo AOB es de 72 o . 2 ¾Cuál es la imagen del triángulo BOC , a mediante la simetría axial del eje ( DI ) ? b mediante la rotación con centro O , ángulo 72 o , en sen-tido antihorario? 3 Calcule la longitud AB , redondeada al milímetro más cercano. E.3953 A continuación se muestra HUY TANGL un octógono regular con centro O . 1 ¾Cuál es la imagen de T por simetría central de centro O ? 2 ¾Cuál es la imagen de T con respecto al eje ( GY ) ? 3 ¾Cuál es la imagen de T por la rotación en el sentido de las agujas del reloj del centro O y el ángulo 135 o ? E.4022 En la figura de al lado: BE =4 cm ; I es la mitad del segmento [ BE ] . A es un punto de la circunferen-cia de diámetro [ BE ] tal que la medida del ángulo BEA es 60 o 1 Reproduce la figura a tamaño completo en la copia. 2 A es la imagen de B mediante una rotación con centro I . Especifica la medida del ángulo de esta rotación, justifi-cando tu respuesta. 3 Llamamos F a la imagen del punto A por simetría de centro I . Determina la naturaleza del triángulo BIF . 8. Ejercicios no clasificados https://chingmath.fr chapExoCorrec/863 sacados/863 ABCD(d chapExoCorrec/2648 sacados/2648 Brevet - Polynesie - Juin 2008 ABCDEIO5;7cm54o chapExoCorrec/3953 sacados/3953 ATYUHLGNO45o chapExoCorrec/4022 sacados/4022 ABIE
RKLMPNA1B1C1 E.2355 RLK es un triángulo rectángulo en R , con RK =6 cm y RL =9 cm . M es cualquier punto del lado [ RK ] . Planteamos RM = x cm . P es el punto del segmento [ RL ] tal que : RP = RM = x . Situamos entonces el punto N de forma que RMNP sea un cuadrado. 1 En esta pregunta x =2 . Obtenemos la siguiente figura (observa que el punto N queda dentro del triángulo RKL ) . a Calcula el área del triángulo RKL . b Calcula el área A 1 del cuadrado RMNP . Calcula el área B 1 del triángulo KMN . Calcula el área C 1 del triángulo NPL . c Calcular A 1 + B 1 + C 1 . Comprueba que el área del cuadrilátero RKNL es menor que el área del triángulo RKL . 2 En esta pregunta x =5 . a Haz un dibujo preciso. b ¾Dónde se encuentra ahora el punto N con respecto al triángulo RKL ? c Ahora llamamos A 2 al área del cuadrado RMNP , B 2 l’ área del triángulo KMN y C 2 el área del triángulo NPL . Calcula estas tres áreas y comprueba que el área de RKNL es mayor que la del triángulo RKL . 3 Ahora tomamos cualquier x a Calcular el área A 3 del cuadrado RMNP en función de x . Calcular el área B 3 del triángulo KMN en función de x . Calcular el área C 3 del triángulo NPL en función de x . b Demuestra que : A 3 + B 3 + C 3 = 15 x 2 c Buscamos si existe un valor x para el que el punto N se encuentre en el segmento [ KL ] . Para ello, resolvemos la ecuación obtenida escribiendo : A 3 + B 3 + C 3 = Área del triángulo RKL Concluir. E.2682 Para cada línea de la tabla sigu-iente, se ofrecen tres respuestas, pero solo una es correcta. Encuentre la respuesta correcta y escriba el número correspon-diente en la columna de la derecha. No es necesario incluir los detalles de los cálculos en la copia. Respuesta a Respuesta b Respuesta c 1 3 2 + 11 5 × 15 2 es igual a 111 4 18 35 2 2 14 × 10 7 × 27 × 10 3 21 × 10 2 1800 18000000 18000 3 El número (30 2) 2 es igual a: 60 3600 1800 4 Para cualquier número x , (5 x − 2) 2 es igual a: 5 x 2 - 20 x +4 25 x 2 - 4 25 x 2 - 20 x +4 5 La ecuación (2 x − 3)( x +4)=0 admite como soluciones : 2 3 y − 4 3 2 y − 4 − 3 2 y 4 6 Un objeto cuesta 12000 F . Su precio aumenta en 5 % . ¾Cuál será su nuevo precio? 12600 F 12500 F 11400 F 7 Un coche circula a una velocidad de 50 km=h . ¾En cuánto tiempo recorre 110 kilómetros? 2 h 20 min 2 h 12 min 60 min https://chingmath.fr sacados/2355 RKLMPNA1B1C1 sacados/2682
ABCH ABCDE40m20m50m 6cm E.3894 Los resultados dados en algunas preguntas pueden utilizarse para continuar el problema. En todo el ejercicio, la unidad de longitud es el centímetro. ABC es un triángulo tal que : AB = 6 cm ; BC = 10 cm ; ABC = 120 o La altura de A corta la recta ( BC ) en el punto H . La figura de abajo no es de tamaño completo . 1 Dibuja la figura a tamaño completo. 2 a Calcula la medida del ángulo ABH . Deduce que : BH = 3 cm . b Demuestra que AH =3 3 cm , luego calcula el área del triángulo ACH (Se dará el valor exacto) . c Demuestra que : AC =14 cm . 3 M es un punto del segmento [ BC ] tal que : CM = 6 ; 5 cm . La paralela a ( AH ) que pasa por M interseca al segmento [ AC ] en N . a Completa la figura. b Demuestra que : NM = 3 3 2 cm . c Para que esta pregunta, cualquier rastro de investi-gación, por incompleto que sea, se tendrá en cuenta en la evaluación. . Determina el valor exacto del área del trapecio AHMN , y luego su valor redondeado al centímetro cuadrado más próximo. E.5185 Pierre acaba de comprar una parcela cuya forma puede compararse con la figura siguiente : Quiere poner césped por toda la parcela. Para ello, quiere comprar un producto que viene en sacos de 15 kg donde pone ˇ 1 kg para 35 m 2 ı. 1 Combien sacos de césped tendrá que comprar? 2 Además, le gustaría tamizar el contenido de su parcela. Tiene 150 m de malla, ¾es suficiente? Justifica. 3 a En la figura de annexe , tracer utilizando el compás y la regla sin trazar la circunferencia circunscrita del triángulo BCD . b Pierre decide plantar naranjos en el semidisco exte-rior de su parcela. Determina la medida exacta, re-dondeada al metro cuadrado más próximo, de la su-perficie de esta plantación. E.6396 Esta figura consiste en un cuadrado en el que están inscritas cuatro circunferen-cias tangentes entre sí y tangentes a los lados del cuadrado. Determina la medida de cada uno de los radios de esta figura. https://chingmath.fr sacados/3894 Portugal Juin 2010 ABCH sacados/5185 ABCDE40m20m50m chapExoCorrec/6396 sacados/6396 Sangaku 6cm
CollègeMarchéGendarmerieEcoleHorlogeMairiePompierStadePlaceCathédraleLycéeConservatoirePiscineBibliothèque ABC32o2;3kmEFG25o5;4m ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWX ABC7cm24cm25cm x012345y123Cf E.7632 Este es el plano de dos líneas de autobús : Es en 6 h 30 donde los dos autobuses de las líneas 1 y 2 salen de la parada ˇ Ayuntamiento ı en el sentido de las agujas del reloj. El autobús de la línea 1 tarda 3 minutos entre cada parada (tiempo de estacionamiento incluido) , , mientras que el autobús de la línea 2 tarda 4 minutos. Ambos realizarán el recorrido completo un gran número de veces. Se detendrán justo después de 20 h . ¾Se encontrarán los dos autobuses en algún momento del día en la parada ˇ Ayuntamiento ı ı al mismo tiempo? Si es así, indique todos los horarios exactos de estos encuentros. E.10977 Considera los dos triángulos que se muestran a continuación : 1 Determina la longitud del segmento [ AC ] redondeada al metro más próximo. 2 Determina la longitud del segmento [ EF ] redondeada al metro más próximo. E.10978 Este ejercicio es un cuestionario de op-ción múltiple (QCM) . Para cada pregunta, se ofrecen tres respuestas (A, B o C) . Solo una respuesta es correcta. Copie en la hoja de respuestas el número de la pregunta y la letra correspondiente a la respuesta correcta. No se requiere justificación. a b c 1 ¾Cuál es la imagen del punto O me-diante la traslación que transforma X en J ? A I Q 2 En el triángulo rectángulo ABC en B , determine el valor de cos ACB . 0,28 0,29 0,96 3 En el sistema de coordenadas sigu-iente se da la curva C f representativa de la función f . Da el valor del antecedente del número 1 . 1 2 4 4 La expresión x − 3 2 − x 2 − 9= ::: 0 − 6 x − 9 x 5 Consideremos la función f definida por: f ( x ) = x 2 − 5 x + 2 ¾Cuál es la imagen de − 4 por la función? -34 6 38 6 Se ha medido la altura, en metros, de seis alumnos : 1 ; 64 ; 1 ; 53 ; 1 ; 49 ; 1 ; 56 ; 1 ; 62 ; 1 ; 64 ¾Cuál es la media, en metros, de estas al-turas? 1,58 1,59 1,6 7 El número de divisores del entero 26 es 4 6 8 https://chingmath.fr sacados/7632 CollègeMarchéGendarmerieEcoleHorlogeMairiePompierStadePlaceCathédraleLycéeConservatoirePiscineBibliothèque chapExoCorrec/10977 sacados/10977 ABC32o2;3kmEFG25o5;4m chapExoCorrec/10978 sacados/10978 ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWX ABC7cm24cm25cm x012345y123Cf