ESO 3 / Secciones, conos y esferas 38 ejercicios (100% corregidos)

a
ACDBEFGH ABCDEFGHMNOP3cm3cm ABCDEFGHIJKL ACDEFGHPQMNB 1. Sección de un paralelepípedo por un plano paralelo a una arista E.4206 Considera el cubo ABCDEFGH que se muestra a continuación : Determina la naturaleza del cuadrilátero DBFH . E.2945 En el espacio, considera el cubo ABCDEFGH de arista 5 cm ; se hace un corte paralelo a la arista [ AB ] para obtener la sección MNOP : 1 Dar el valor exacto del segmento MP . 2 Dibuja el tramo MNOP a tamaño natural. E.5443 Consideremos el par-alelepípedo ABCDEFGH con dimensiones : AB = 6 cm ; BC = 3 cm BF = 2 cm Un plano paralelo a la arista [ FG ] intercepta el paralelepípedo formando por sección el cuadrilátero IJKL donde : AI = 3 cm ; KG = 2 cm 1 ¾Cuál es la naturaleza del cuadrilátero? 2 a Determina la medida de la longitud IL , redondeada al milímetro más próximo. b Determina el área del cuadrilátero IJKL redondeada al centímetro cuadrado más próximo. E.6453 Consideremos un cubo ABCDEFGH con aristas 6 cm . Denotemos por M , N , P , Q los puntos medios respectivos de las aristas [ BF ] , [ CG ] , [ DC ] , [ AB ] . He aquí una representación (que no tiene las dimensiones reales) de esta configuración : 1 Determinar la medida del segmento [ MQ ] con una pre-cisión de milímetros. 2 a Determinar el volumen del prisma recto PCNQBM . b Deducir el volumen del sólido DPNGHAQMFE . https://chingmath.fr chapExoCorrec/4206 sacados/4206 Polynesie Juin 2010 ACDBEFGH chapExoCorrec/2945 sacados/2945 ABCDEFGHMNOP3cm3cm chapExoCorrec/5443 sacados/5443 ABCDEFGHIJKL chapExoCorrec/6453 sacados/6453 ACDEFGHPQMNB
ACDABCDPRMNB ABCDEFGHIJK ABCDEFGH24cm11;7cm4;4cm ABCDOOH E.4205 El cubo que se muestra al lado es un cubo de arista 6 cm . (la figura no es de dimensiones reales) Consideramos : el punto M medio de la arista [ BB ] ; el punto N medio de la arista [ CC ] ; el punto P medio de la arista [ DC ] ; el punto R medio de la arista [ AB ] . 1 ¾Cuál es la naturaleza del triángulo BRM ? Construye este triángulo a tamaño natural. Calcula el valor exacto de RM . 2 El cubo está cortado por el plano que pasa por R y es paralelo a la arista [ BC ] . La sección es el cuadrilátero RMNP . ¾Cuál es la naturaleza de la sección RMNP ? Construye RMNP a tamaño natural. Da sus dimensiones exactas. 3 Calcula el área del triángulo RBM . Calcula el volumen del prisma recto de base el triángulo RBM y altura [ BC ] . 2. Otras secciones del paralelepípedo E.7980 Consideremos el cubo ABCDEFGH representado a continuación y la pirámide KIJF con vér-tice F obtenida al seccionar el cubo, donde los puntos I , J , K pertenecen respectivamente a los segmentos [ FE ] , [ FB ] , [ FK ] : Indique la naturaleza de cada una de las caras de la pirámide KIJF . E.7992 Consideremos el paralelepípedo ABCDEFGH cuyas dimensiones se muestran en la siguiente representación : Se realiza una sección de este sólido para obtener el triángulo EGB . Determinar las dimensiones del triángulo BEG . 3. Sección transversal del cilindro E.2946 En el espacio, consideremos un cilindro de revolución de eje ( OO ) de radio 5 cm y altura 3 cm ; la sección de este cilin-dro por un plano paralelo al eje de revolución da el cuadrilátero ABCD ; La distancia HO mide 2 cm . 1 a Dibuja un triángulo de tamaño normal O BC . https://chingmath.fr chapExoCorrec/4205 sacados/4205 Amerique du Sud Novembre 2009 ACDABCDPRMNB chapExoCorrec/7980 sacados/7980 ABCDEFGHIJK chapExoCorrec/7992 sacados/7992 ABCDEFGH24cm11;7cm4;4cm chapExoCorrec/2946 sacados/2946 ABCDOOH
ABCDEFGHS ABCDEFGIOIH PQ Figure 1Figure 2 b Determina la longitud BC , redondeada al milímetro más próximo. 2 a Determina la naturaleza del cuadrilátero ABCD . b Representar a tamaño natural la sección ABCD . 4. Sección de una pirámide E.7977 Consideremos la pirámide ABCDS con vértice S y base rectangular : Cortamos este sólido con un plano ( P ) paralelo a la base. Obtenemos la sección EFGH . 1 ¾Cuál es la naturaleza de la sección EFGH ? 2 ¾Cuál es la naturaleza del sólido EFGHS ? E.7978 Consideremos una pirámide ABCDO con base cuadrada ABCD representada al lado. Denotemos por I el pie de la altura de la pirámide y por E el punto medio de [ OA ] . Tenemos las dimensiones : AB =3 cm ; IO =4 cm El plano paralelo a la base que pasa por el punto E intersecta la pirámide formando el cuadrilátero EFGH . 1 ¾Cuál es la naturaleza del cuadrilátero EFGH ? 2 Justifica que el punto F es el punto medio del segmento [ OB ] . 3 Dibuja la base de la pirámide EFGHO , con vértice O , a tamaño real. 5. Sección transversal de la esfera E.5674 Considera la esfera y los dos cilindros que se muestran a continuación : 1 ¾Cuál es la naturaleza de la sección de la esfera con el plano ( P ) ? 2 ¾Cuál es la naturaleza de la sección del primer cilindro con el plano ( Q ) que es perpendicular al eje de revolución del cilindro? 3 ¾Cuál es la naturaleza de la sección del segundo cilindro con el plano ( R ) que es paralelo al eje de revolución del cilindro? 6. Sección transversal de un cono de revolución E.7982 A continuación, consideramos las dos secciones de conos de revolución : https://chingmath.fr chapExoCorrec/7977 sacados/7977 ABCDEFGHS chapExoCorrec/7978 sacados/7978 ABCDEFGIOIH chapExoCorrec/5674 sacados/5674 PQ chapExoCorrec/7982 sacados/7982 Figure 1Figure 2
AOH AIOP ORHM(P 1 En la figura 1 , la sección se realiza mediante un plano paralelo a la base del cono de revolución. ¾Cuál es la naturaleza de la sección? 2 En la figura 2 , la sección se realiza mediante un plano per-pendicular a la base del cono de revolución y que pasa por el vértice del cono. ¾Cuál es la naturaleza de la sección? 7. Estudio de la sección transversal de la esfera E.5460 La figura siguiente rep-resenta la sección de una esfera S por un plano ( P ) . Denotamos C a la sección de cir-cunferencia obtenida. 1 Que ¾podemos de-cir de los puntos O , H y A rep-resentados en la figura siguiente? 1 Que cada uno representan las longitudes AH , OA y OH ? 2 Quelle es la naturaleza del triángulo OHA ? E.809 Sea S una esfera de radio 12 m y un plano P situado a una distancia de 7 m del centro de la esfera. 1 Justifique que las rectas ( AI ) y ( OI ) son perpendiculares entre sí. 2 En relación con la esfera y la sección circular, ¾qué rep-resentan cada una de las longitudes OI , IA y OA ? 3 Determine la medida del radio de la sección circular, re-dondeada al decímetro más cercano. E.807 Sea S una esfera de centro O y radio 7 cm . Sea C una sección circular asociada al plano ( P ) , de tal man-era que O se encuentre a una distancia 5 cm del plano ( P ) . Sea H el centro de C y M un punto del espacio tal que M ∈ C . 1 Haz un dibujo que represente la esfera a escala real, así como el círculo de sección. 2 ¾Qué se puede decir del triángulo OHM ? 3 Representa el triángulo OHM a escala real. 4 Indica el valor exacto de HM y, a continuación, su valor redondeado al milímetro más cercano. E.5458 Este ejercicio es un cuestionario de opción múltiple (QCM) . No se requiere justificación. Para cada pregunta se ofrecen tres respuestas, solo una de ellas es correcta. No se restarán puntos por respuestas incor-rectas. Para cada una de las 3 preguntas, indique en su copia el número de la pregunta y copie la respuesta correcta. Para responder a las preguntas, observe la siguiente figura : O es el centro de la esfera, el plano P corta la esfera siguiendo un círculo con centro H , M es un punto de este círculo, R es el centro de [ OH ] . 1 anchura0pt altura12ptEl punto R pertenece. . . anchura0pt profundidad5pt anchura0pt altura12pta la esfera de centro O y radio OM anchura0pt profundi-dad5pt anchura0pt al-tura12pta la bola de cen-tro O y ra-dio OM anchura0pt profundi-dad5pt anchura0pt altura12ptal plano P anchura0pt profundi-dad5pt 2 anchura0pt al-tura12ptLa dis-tancia del punto O al plano P es. . . anchura0pt profundidad5pt anchura0pt altura12pt OM anchura0pt profundi-dad5pt anchura0pt altura12pt OR anchura0pt profundi-dad5pt anchura0pt altura12pt OH anchura0pt profundi-dad5pt 3 anchura0pt altura12ptSi OM =11 ; 7 cm et HM =10 ; 8 cm , alors OH = : : : anchura0pt profundidad5pt anchura0pt altura12pt 4 ; 5 cm anchura0pt profundi-dad5pt anchura0pt altura12pt 1 ; 2 cm anchura0pt profundi-dad5pt anchura0pt altura12pt 20 ; 25 cm anchura0pt profundi-dad5pt https://chingmath.fr chapExoCorrec/5460 sacados/5460 AOH chapExoCorrec/809 sacados/809 AIOP chapExoCorrec/807 sacados/807 chapExoCorrec/5458 sacados/5458 ORHM(P
2cm RTourdetête HhAOK 8. Volumen de la esfera E.9317 Estas son las dimensiones de cuatro sólidos : Una pirámide de 6 cm de altura cuya base es un rectán-gulo de 6 cm de largo y 3 cm de ancho. Un cilindro de 2 cm de radio y 3 cm de altura. Un cono de 3 cm de radio y 3 cm de altura. Una bola de 2 cm de radio. 1 a Representa aproximadamente los tres primeros sólidos como en el ejemplo de al lado: b Coloca las dimensiones dadas en las representaciones 2 Clasifica estos cuatro sólidos en or-den creciente según su volumen. Algunas fórmulas: 4 3 × ı × rayon 3 ı × rayon 2 × hauteur 1 3 × ı × rayon 2 × hauteur 1 3 × aire de la base × hauteur Indicación : se utilizará: ı ≈ 3 ; 1416 E.2652 En una caja cúbica de arista 7 cm , coloca una bola 7 cm de diámetro (ver diagrama al lado) . El volumen de la bola cor-responde a un cierto por-centaje del volumen de la caja. Llamamos a este por-centaje ˇ tasa de llenado de la boîte ı. Calcula este porcentaje de llenado de la caja. Redondea este porcentaje al entero más próximo. Indicación : utilizaremos: ı ≈ 3 ; 1416 E.9320 Guillaume quiere saber cuántos pelos tiene en la cabeza. Para ello, representa su cabeza como una esfera de radio R . Mide la circunferencia de su cabeza como se indica en el siguiente esquema y ob-tiene 56 cm . Recordatorios : Perímetro de un círculo de radio R : P = 2 ıR Área de una esfera de radio R : A = 4 ıR 2 . Indicación : se utilizará: ı ≈ 3 ; 1416 1 Demostrar que el radio de un círculo de perímetro 56 cm es aproximadamente igual a 9 cm . 2 Guillaume considera que su cabello cubre la mitad de la superficie de su cabeza. En 1 cm 2 de su cráneo, ha con-tado 250 cabellos. Estime el número de cabellos de Guillaume. Indicación : para esta pregunta, se valorará cualquier indi-cio de investigación en la calificación. E.4336 1 Dibujar un paralelepípedo rectángulo en perspectiva ca-ballada. 2 Un acuario tiene la forma de un paralelepípedo rectán-gulo de longitud 40 cm , anchura 20 cm y altura 30 cm . a Calcular el volumen, en cm 3 , de este paralelepípedo. b Recordemos que un litro equivale a 1 000 m 3 . ¾Cuántos litros de agua puede contener este acuario? No se requiere justificación . 3 De entre las siguientes fórmulas, copie la que da el volu-men, en cm 3 , de una bola de 30 cm de diámetro : 4 3 × ı × 30 3 ; 4 ı × 15 2 ; 4 3 × ı × 15 3 4 Un segundo acuario contiene un volumen de agua igual a tres cuartas partes del volu-men de una bola de 30 cm de diámetro. Se vierte su con-tenido en el primer acuario. ¾A qué altura llega el agua? Da un valor redondeado al milímetro más cercano. Indicación : se utilizará: ı ≈ 3 ; 1416 9. Sección de una esfera y volumen E.2491 Un casquete esférico es un sólido que se obtiene seccio-nando una esfera por un plano. Un dosificador de detergente líquido, que se muestra a contin-uación, tiene la forma de un cas-quete esférico de centro O , radio R = OA =4 ; 5 cm . https://chingmath.fr chapExoCorrec/9317 sacados/9317 2cm chapExoCorrec/2652 sacados/2652 Bordeaux - Juin 2002 chapExoCorrec/9320 sacados/9320 RTourdetête chapExoCorrec/4336 sacados/4336 chapExoCorrec/2491 sacados/2491 HhAOK
OHRTPartie enfouieSolPartie visible(calotte sphérique) 6cm2cm6cm La abertura de este recipiente está limitada por la circunfer-encia de centro H y radio HA =2 ; 7 cm . La altura total de este dispensador es HK . 1 Dibuja el triángulo AHO . 2 a tamaño real. Calcula OH y justifica, luego deduce que la altura total HK del dispensador es exactamente 8 ; 1 cm . 3 El volumen V de un casquete esférico de radio R y altura h viene dado por la fórmula : V = 1 3 · ı · h 2 · 3 · R − h Calcula en función de ı el volumen exacto del dispen-sador en cm 3 . Deduce la capacidad total del dispensador, redondeada al mililitro más próximo. Nota: utilizaremos: ı ≈ 3 ; 1416 E.5442 Para atraer más visitantes a su ciudad, un alcalde decide construir el Acuario del Pací-fico. Los arquitectos planean instalar un enorme acuario en la entrada, cuyo cristal tiene forma esférica. La siguiente figura representa la situación. Esta figura no es a escala real. Recordatorio : la fórmula del volumen de una esfera de radio R : V boule = 4 × ı × R 3 3 Indicación : se utilizará: ı ≈ 3 ; 1416 1 Calcular el volumen de una esfera de radio 5 m , re-dondeado al metro cúbico más cercano. 2 En realidad, el acuario está empotrado en el suelo. La parte superior (visible para los visitantes) es una ˇ cúpula esférica ı. La parte inferior (enterrada) alberga las máquinas. a ¾Cuál es la naturaleza geométrica de la sección entre el plano horizontal del suelo y el acuario (la parte som-breada en la figura) ? b El punto O designa el centro de la esfera. Se dan las siguientes dimensiones reales : OH = 3 m ; RO = 5 m ; HR = 4 m donde H y R son los puntos situados en el suelo como se muestra en la figura. ¾Es rectángulo el triángulo OHR ? Justifique su re-spuesta. 3 a T es un punto de la esfera tal que los puntos T , O y H están alineados como en la figura. Calcular la altura HT de la parte visible del acuario. b Calcular el volumen de esta cúpula esférica, re-dondeado al litro más cercano. Indicación : el volumen de una cúpula esférica de radio 5 m viene dado por la fórmula : V calotte = ı × h 2 3 × (15 − h ) donde h designa su altura (correspondiente a la longitud HT de la figura.) c Para esta pregunta, se tomará como volumen del acuario 469 000 litros. Unas bombas suministran agua de mar a un caudal constante para llenar el acuario vacío. En 2 horas de funcionamiento, las bombas jun-tas inyectan 14 000 litros de agua de mar. ¾Cuántas horas de funcionamiento tardarán las bom-bas en llenar el acuario? 10. Volúmenes de sólidos E.5925 Recordatorios : Volumen de un cilindro: V = ı × rayon 2 × hauteur Volumen de una esfera : V = 4 3 × ı × rayon 3 Indicación : se utilizará: ı ≈ 3 ; 1416 Flora hace pulseras con plastilina. Todas ellas están compues-tas por 8 cuentas redondas y 4 cuentas alargadas. Esta plastilina se compra en blo-ques que tienen la forma de un paralelepípedo rectángulo cuyas dimensiones se especifican al lado. La plastilina se puede amasar a voluntad y luego se endurece al cocerse. Información sobre las cuentas: https://chingmath.fr chapExoCorrec/5442 sacados/5442 OHRTPartie enfouieSolPartie visible(calotte sphérique) chapExoCorrec/5925 sacados/5925 6cm2cm6cm
23cm23cm ABCDEFGHIKLJOS Una cuenta redonda Bola de diámetro 8 mm Una cuenta larga Cilindro de altura 16 mm y diámetro 8 mm Flora compra dos bloques de plastilina: un bloque de plas-tilina azul para hacer las perlas redondas y un bloque de plas-tilina blanca para hacer las perlas largas. ¾Cuántas pulseras puede esperar hacer? E.9319 El gran globo de cristal es un trofeo que se otorga al ganador de la Copa del Mundo de Esquí. Este trofeo pesa 9 kg y mide 46 cm de altura. Se considera que este globo está com-puesto por un cilindro de cristal de 6 cm de diámetro y 23 cm de altura, coronado por una bola de cristal de 23 cm de diámetro. Véase el esquema adjunto. Indicación : se utilizará: ı ≈ 3 ; 1416 1 Demuestre que el volumen de la bola de este trofeo es de 6 371 cm 3 , redondeado al centímetro cúbico más cercano. 2 Marie afirma que el volumen de la bola de cristal repre-senta aproximadamente 90 % del volumen total del tro-feo. ¾Tiene razón? E.4203 Consideremos los tres sólidos sigu-ientes : la bola de centro O y radio SO tal que SO =3 cm ; la pirámide SEFGH de altura 3 cm cuya base es el cuadrado EFGH de lado 6 cm ; el cubo ABCDEFGH de arista 6 cm . Estos tres sólidos se colocan en un recipiente. Este recipiente está representado por el paralelepípedo rectán-gulo ABCDIJKL de altura 15 cm cuya base es el cuadrado ABCD de lado 6 cm . 1 Calcular el volumen del cubo ABCDEFGH en cm 3 . 2 Calcular el volumen de la pirámide SEFGH en cm 3 . 3 Deduzca el volumen ocupado por los tres sólidos dentro del bloque ABCDIJKL , redondeado a cm 3 . 4 En esta pregunta, escriba todos los cálculos que justifiquen su respuesta. Se tendrá en cuenta en la evaluación cualquier rastro de investigación, aunque sea incompleto. Podremos verter 20 c‘ de agua en este recipiente sin que rebose? Esquema: La figura no está a tamaño completo. Algunas indicaciones: Le volumen de una pirámide se calcula mediante la fór-mula : V = 1 3 × h × B donde h est la altura de la pirámide y B l el área de su base. El volumen de una pelota se calcula mediante la fór-mula : V = 4 3 × ı × r 3 donde r est es el radio de la pelota. 1 dm 3 = 1 ‘ utilizaremos: ı ≈ 3 ; 1416 11. Coordenadas geográficas en la esfera E.7001 A continuación se indican los merid-ianos y paralelos del globo terráqueo: https://chingmath.fr chapExoCorrec/9319 sacados/9319 23cm23cm chapExoCorrec/4203 sacados/4203 ABCDEFGHIKLJOS chapExoCorrec/7001 sacados/7001
N-80-60-40-200204060-120-100-40-20020406080ABC NS0o40oS65oN0o30oW150oE50oEABCD 15o30o45o60o75o90o105o120o135o150o165o180o165o0oNordSud15o30o45o60o75o90o105o120o135o150o165o0oéquateurEstOuest15o30o45o60o75o15o30o45o60o75oPyeongchang NSABCD ABSNOGEquateur Determina las coordenadas geodésicas de los puntos A , B y C . E.2943 En la esfera inferior que representa la Tierra, considera los puntos A , B , C , D representados a continuación : Lee las coordenadas geográficas de estos cuatro puntos. E.9318 El biatleta francés Martin Fourcade ganó la sexta gran bola de cristal de su carrera en 2017 en Pyongchang, Corea del Sur. Indique aproximadamente la latitud y la longitud de este lu-gar señalado en el mapa siguiente : E.2944 Consideremos sobre la tierra, cuatro puntos A , B , C , D donde se conocen las coordenadas geográficas de los puntos A y B : A : 30 o S 10 o W ; B : 55 o N 130 o E . Determinar las coorde-nadas geográficas de los puntos C y D . . 12. Coordenadas geográficas y cálculo de distancias E.2653 La Tierra se asimila a una esfera de radio 6 370 km . 1 Consideremos el plano perpendicular a la línea de polos https://chingmath.fr N-80-60-40-200204060-120-100-40-20020406080ABC chapExoCorrec/2943 sacados/2943 NS0o40oS65oN0o30oW150oE50oEABCD chapExoCorrec/9318 sacados/9318 15o30o45o60o75o90o105o120o135o150o165o180o165o0oNordSud15o30o45o60o75o90o105o120o135o150o165o0oéquateurEstOuest15o30o45o60o75o15o30o45o60o75oPyeongchang chapExoCorrec/2944 sacados/2944 NSABCD chapExoCorrec/2653 sacados/2653 Grenoble - Juin 2002 ABSNOGEquateur
PVI49oO LSOM ( NS ) y equidistante de estos dos polos. La intersección de este plano con la Tierra se denomina ecuador. Calcula la longitud del ecuador redondeada al kilómetro más próximo. 2 Observa O el centro de la Tierra y G un punto del ecuador. Considera dos puntos A y B situados en África sobre el ecuador. Estos puntos están dispuestos como se muestra en el diagrama anterior. Sabemos que : GOA =42 o ; GOB =9 o . Calcula la longitud del arco AB , la porción del ecuador situada en África redondeada al kilómetro más próximo. E.2541 La siguiente tabla muestra tres ciu-dades : su latitud y longitud. Latitude Longitude Douala 4 o 9 o Cayena 4 o − 52 o Milán 45 o 9 o Recordemos que el radio de la Tierra es aproximadamente 6 370 km 1 a Determinar la distancia en línea recta entre Douala y Milán (ciudad de Italia) redondeada al kilómetro más cercano. b Determinar la distancia en línea recta entre Douala y Cayena (ciudad de la Guayana Francesa) redondeada al kilómetro más cercano. 2 La distancia en línea recta entre Cayena y Milán es de 7 470 km . ¾Se puede deducir esta distancia a partir de los datos obtenidos en las preguntas anteriores? Observación : se dice que la geometría esférica es una ge-ometría de curvatura positiva. Indicación : se utilizará: ı ≈ 3 ; 1416 E.2954 Vancouver, Canadá tiene la coordenada geográfica: 123 o E 49 o N París tiene la coordenada geográfica: 2 o E 49 o N El punto I es el único punto del plano del ecuador tal que el trián-gulo OIP es rectángulo. Pista: el radio de la tierra es aproximadamente 6 371 km . utilizaremos: ı ≈ 3 ; 1416 1 Justifica que las ciudades Vancouver y París están en la misma latitud. 2 a Determina la medida del radio del círculo que define la latitud 49 o N , redondeada al kilómetro más próx-imo. b Determina la longitud de la latitud 49 o N , redondeada al kilómetro más próximo. c Deduce la longitud, en la superficie terrestre, que sep-ara estas dos ciudades, redondeada al kilómetro más próximo. 3 Indique las coordenadas del punto geográfico diametral-mente opuesto a la ciudad de Vancouver. E.2456 El siguiente dibujo representa la Tierra, que se asimila a una esfera de radio 6 370 km . El cír-culo con centro O que pasa por M representa el ecuador. El punto L representa la ciudad de Londres. L se encuentra en la esfera y en la circunferencia con centro S (ver figura) . Se supondrá que el ángulo LSO es un ángulo recto. Damos OS =4 880 km . 1 Calcula la longitud SL , redondeada al kilómetro más próximo. 2 Calcula la medida del ángulo SOL redondeado al grado más próximo. 3 Deduce la latitud norte de Londres del ecuador re-dondeada al grado más próximo, es decir, el ángulo LOM . https://chingmath.fr chapExoCorrec/2541 sacados/2541 chapExoCorrec/2954 sacados/2954 PVI49oO chapExoCorrec/2456 sacados/2456 LSOM
KEGCOE AOH OAB E.2540 La Tierra se considera esférica ; Al lado se da una representación donde se muestra : La ciudad G de Greenwich y su meridiano La ciudad K de Kiev y su meridiano que pasa por esta ciudad. Las ciudades G y K están en el mismo paralelo. Recordatorio : el radio de la Tierra es aproximadamente 6 370 km . Pista: utilizaremos: ı ≈ 3 ; 1416 1 Justifica que los ángulos GOE y KOE son de medidas iguales. 2 Determina el radio de la circunferencia-sección formada por el paralelo de Greenwich, redondeado al kilómetro más próximo, sabiendo que la latitud de Greenwich es 51 o . 3 Determinar la distancia que separa Greenwich de Kiev , redondeada al kilómetro más próximo, sabiendo que la longitud de Kiev es 31 o W . 13. Compartir E.5459 Recordatorio : volumen de una bola: V = 4 × ı × R 3 3 Indicación : utilizaremos: ı ≈ 3 ; 1416 1 Calcula el valor del volumen de una bola de radio R = 7 cm , redondeado al cm 3 . 2 La esfera con centro O y radio OA =7 cm está seccionada por un plano, que se muestra a continuación. Cuál es la naturaleza de esta sección? 3 Calcula el valor exacto del radio HA de esta sección sa-biendo que OH =4 cm . 14. Ejercicios no clasificados E.985 La bola pequeña tiene un radio de OA =3 cm y un volumen de 36 ı mientras que la grande tiene un volumen de 288 ı . 1 Determina el coeficiente de ampliación de la bola pe-queña a la grande. 2 Deduce la medida del radio de la bola grande [ OB ] . https://chingmath.fr chapExoCorrec/2540 sacados/2540 KEGCOE chapExoCorrec/5459 sacados/5459 AOH chapExoCorrec/985 sacados/985 OAB
IJKL70oOO ABCDLOABCDABCDLOABCDEFGH E.5444 Consideremos el cilindro de revolución representado al lado, donde O y O son los centros de dos caras. Un plano paralelo al eje del ( OO ) intercepta el cilindro: la sección forma el cuadrilátero IJKL . Tenemos las medidas : OO = 6 cm ; OI = 4 cm KO L = 70 o 1 ¾Cuál es la naturaleza del cuadrilátero IJKL ? 2 a ¾Cuál es la naturaleza del triángulo O KL ? b Anotando H el pie de la altura que sale de O en el triángulo O KL , determinar la medida del segmento [ KL ] redondeada al milímetro más cercano. 3 Determinar el área del cuadrilátero IJKL redondeada al centímetro cuadrado más cercano. E.988 La unidad de longitud es el centímetro, la unidad de área es el centímetro cuadrado y la unidad de volumen es el centímetro cúbico. Consideremos el paralelepípedo recto ABCDA B C D . Denotemos por L el punto de intersección de los segmentos [ AC ] y [ BD ] . Hemos excavado este bloque eliminando la pirámide OABCD de altura [ OL ] . Tenemos : DD =5 ; DC =6 ; DA =7 Parte A En esta parte, tenemos : OL =4 . 1 Construir a tamaño real la cara ABCD y colocar el punto L . 2 a Calcular BD (Se dará un valor redondeado a la décima) . b Deduzca DL (Se dará un valor redondeado a la décima) . 3 a Calcule el volumen del bloque recto ABCDA B C D . b Calcular el volumen de la pirámide OABCD . c Deducir el volumen del bloque excavado. Parte B En esta parte, se plantea OL = x donde x es un número com-prendido entre 0 y 5. El bloque excavado que se obtiene es la base de madera de un trofeo. Sobre esta base se coloca una pirámide de cristal OEFGH que es una ampliación de la pirámide OABCD , con una relación de 2. 1 a Calcular el volumen de la pirámide OABCD en fun-ción de x . b Demostrar que el volumen de la base de madera es : 210 − 14 x . 2 Demuestre que el volumen de la pirámide de vidrio OEFGH es 112 x 3 Calcule el valor de x para el cual el volumen de vidrio es 2 veces el volumen de madera. Parte C Considere las funciones f y g definidas por: f : x ↦→ 210 − 14 x et g : x ↦→ 112 x Cuando x está entre 0 y 5, la función f representa cambios en el volumen de la madera y la función g representa cambios en el volumen del vidrio. 1 Grafica las funciones f y g para x entre 0 y 5. Para la marca de referencia, tomaremos : el origen en la parte inferior izquierda de la hoja ; en el eje x 2cm para 1 unidad ; en el eje y 1 cm para 25 unidades. el eje x y el eje y son perpendiculares 2 a Queremos que el volumen de madera y el volumen de vidrio sean iguales. Utilizando la gráfica, da un valor aproximado de x para que esto sea así. (muestra la gráfica que dio la respuesta) . b Halla este resultado mediante cálculo. https://chingmath.fr chapExoCorrec/5444 sacados/5444 IJKL70oOO chapExoCorrec/988 sacados/988 ABCDLOABCDABCDLOABCDEFGH