ESO 3
/ Teorema de Tales 60 ejercicios (100% corregidos)
- Recordatorio: el teorema de Tales (6 ejercicios)
- Recordatorios: recíproco del teorema de Tales (4 ejercicios)
- Configuración mariposa (3 ejercicios)
- El problema y el teorema de Tales (3 ejercicios)
- Teorema y ecuación de Tales (8 ejercicios)
- Teorema de Tales, ecuaciones y teorema de Pitágoras (3 ejercicios)
- Recíproco del teorema de Tales en configuración de mariposa (3 ejercicios)
- Teorema de Tales y recíproco en dos configuraciones de mariposa (2 ejercicios)
- Teorema de Tales y recíproco en configuración anidada y de mariposa (5 ejercicios)
- Teorema de Tales y recíproco en la misma configuración (2 ejercicios)
- Recíproco, teorema de Thales y magnitudes (2 ejercicios)
- Teorema recíproco de Tales y Pitágoras (5 ejercicios)
- El recíproco del teorema de Tales y la trigonometría (3 ejercicios)
- Contraposición del teorema de Tales (2 ejercicios)
JesaisJ’utiliseJ’endéduisLes points ..., ..., ...sont alignés.Les points ..., ..., ...sont alignés.:::==:::D’après le théorème de Thalès, on a l’égalité desquotients:Chaînonsdéductifs
EFGHI1;532
MGPUA4;5m3;5m5;6m7;2m
JesaisJ’utiliseJ’endéduisLes pointsM,A,Pet les pointsM,U,Gsont alignés dans le même ordre.MAMPMUMGD’aprèslaréciproqueduthéorèmedeThalès:(AU==(PGChaînonsdéductifs
ATNCR3;2cm4;8cm7;5cm5cm
JesaisJ’utiliseJ’endéduisLes points ..., ..., ...et les points ..., ..., ...sont alignés dans le même ordre.::::::::::::D’après la réciproque du théorème de Thalès::::==:::Chaînonsdéductifs
2
Utilice
la
igualdad
de
cocientes
de
la
pregunta
2
para
determinar
la
medida
del
segmento
[
TX
]
.
E.9309
En
el
plano,
considere
la
configu-ración
siguiente
:
Las
rectas
(
FG
)
y
(
HI
)
son
respectivamente
paralelas
entre
sí.
1
Dar
la
longitud
del
segmento
[
EH
]
.
2
Utilizando
el
teorema
de
Thales,
determina
la
longitud
del
segmento
[
EI
]
.
3
Deduce
que
la
longitud
del
segmento
[
GI
]
.
E.10757
Resuelve
las
siguientes
ecuaciones
:
a
x
x
+
1
=
1
3
b
x
+
2
3
x
−
4
=
2
3
c
2
x
x
−
3
=
4
E.10792
1
Considera
los
tres
números
:
a
=
2
5
;
b
=
2
3
;
c
=
3
Determinar
la
solución
de
la
ecuación
:
a
b
=
x
c
2
Considere
los
tres
números
:
a
=
4
3
;
b
=
5
2
;
c
=
14
3
Determinar
la
solución
de
la
ecuación
:
x
a
=
b
c
2.
Recordatorios:
recíproco
del
teorema
de
Tales
E.11451
Ejemplo
comentado:
Consideremos
el
triángulo
MGP
representado
a
contin-uación
y
los
puntos
A
y
U
que
pertenecen
respectivamente
a
los
segmentos
[
MP
]
y
[
MG
]
:
MA
=3
;
5
m
;
MP
=5
;
6
m
;
MU
=4
;
5
m
;
AT
=7
;
2
m
Tenemos
la
aplicación
numérica
:
MA
MP
=
3
;
5
5
;
6
=
0
;
625
;
MU
MG
=
4
;
5
7
;
2
=
0
;
625
Consideremos
el
triángulo
ANT
y
los
dos
puntos
R
y
C
que
pertenecen
respectivamente
a
los
segmentos
[
AN
]
y
[
AT
]
.
Tenemos
las
medidas
:
AN
=7
;
5
cm
;
AR
=4
;
8
cm
;
AC
=3
;
2
cm
;
AT
=5
cm
1
Demuestre
que
la
igualdad
de
los
cocientes
:
AR
AN
=
AC
AT
2
Complete
el
siguiente
razonamiento
deductivo:
https://chingmath.fr
JesaisJ’utiliseJ’endéduisLes points ..., ..., ...sont alignés.Les points ..., ..., ...sont alignés.:::==:::D’après le théorème de Thalès, on a l’égalité desquotients:Chaînonsdéductifs
chapExoCorrec/9309
sacados/9309
EFGHI1;532
chapExoCorrec/10757
sacados/10757
chapExoCorrec/10792
sacados/10792
chapExoCorrec/11451
sacados/11451
MGPUA4;5m3;5m5;6m7;2m
JesaisJ’utiliseJ’endéduisLes pointsM,A,Pet les pointsM,U,Gsont alignés dans le même ordre.MAMPMUMGD’aprèslaréciproqueduthéorèmedeThalès:(AU==(PGChaînonsdéductifs
ATNCR3;2cm4;8cm7;5cm5cm
JesaisJ’utiliseJ’endéduisLes points ..., ..., ...et les points ..., ..., ...sont alignés dans le même ordre.::::::::::::D’après la réciproque du théorème de Thalès::::==:::Chaînonsdéductifs
ABCMN0;91;21;5
4cm12cm5cm7;5cmABCDO
KGHJIVWXYZ
ABCMN1;552
ABCOMND
ABCDG
E.3462
La
configuración
que
se
muestra
a
continuación
es
una
configuración
de
Thales.
Además,
sabemos
que
:
AN
=3
;
5
.
Demuestra
que
las
rectas
(
BC
)
y
(
MN
)
son
paralelas.
E.9310
En
la
configuración
siguiente,
A
∈
[
OC
]
y
B
∈
[
OD
]
.
Demuestre
que
las
rectas
(
AB
)
y
(
CD
)
son
paralelas:
3.
Configuración
mariposa
E.2167
Hemos
representado
dos
configura-ciones
de
Thales
donde
(
GH
)
==
(
IJ
)
y
(
XY
)
==
(
V
W
)
.
En
cada
caso,
cite
las
igualdades
de
cocientes
de
longitudes
dadas
por
el
teorema
de
Thales
:
E.3451
En
el
plano,
considere
la
configu-ración:
Las
rectas
(
BC
)
y
(
MN
)
son
respectivamente
paralelas
entre
sí.
Utilizando
el
teorema
de
Tales,
determina
la
longitud
del
seg-mento
[
AN
]
.
E.660
Consideremos
las
rectas
(
BD
)
y
(
CN
)
que
intersecan
O
con
A
un
punto
de
(
CN
)
y
M
un
punto
de
(
BD
)
tales
que
:
Las
rectas
(
BN
)
,
(
AM
)
y
(
CD
)
son
paralelas
entre
sí.
1
Da
todas
las
relaciones
de
longitud
iguales
a:
a
OM
OD
b
OB
OM
2
Nos
dan
las
siguientes
medidas
:
NO
=
5
cm
;
OA
=
4
cm
;
OM
=
3
cm
AC
=
2
cm
;
CD
=
3
cm
a
Determina
la
medida
del
segmento
[
BO
]
.
b
Determina
la
longitud
AM
.
Luego
deduce
la
longitud
BN
.
4.
El
problema
y
el
teorema
de
Tales
E.5695
Se
ha
modelado
geométricamente
un
taburete
plegable
medi-ante
los
segmentos
[
CB
]
y
[
AD
]
para
la
estructura
metálica
y
el
segmento
[
CD
]
para
el
asiento
de
tela.
Tenemos
:
CG
=
DG
=30
cm
,
AG
=
BG
=45
cm
y
AB
=
51
cm
.
Por
razones
de
comodidad,
el
asiento
[
CD
]
es
paralelo
al
suelo
representado
por
la
recta
(
AB
)
.
Determinar
la
longitud
CD
del
asiento.
Indicación
:
dejar
visibles
todos
los
pasos
del
proceso.
Aunque
el
trabajo
no
esté
terminado,
se
tendrá
en
cuenta
en
la
calificación.
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/3462
sacados/3462
ABCMN0;91;21;5
chapExoCorrec/9310
sacados/9310
4cm12cm5cm7;5cmABCDO
chapExoCorrec/2167
sacados/2167
KGHJIVWXYZ
chapExoCorrec/3451
sacados/3451
ABCMN1;552
chapExoCorrec/660
sacados/660
ABCOMND
chapExoCorrec/5695
sacados/5695
ABCDG
RivièreADRBV20m12m15mLa∏guren’estpasàl’échelle
FBCRGDiamètre75cmhauteurduregard:1;80mhauteurdurebord:1mépaisseur du mur:20cm
ACBNMACBNM5;2cmACBNMACBNM5;2cm3cmACBNMACBNM5;2cmACBNMACBNM5;2cm3cm7cm
AMNBC3;2cm2;1cm7;4cm
E.6282
Indicación
:
cualquier
indicio,
incluso
una
respuesta
incom-pleta,
se
tendrá
en
cuenta
en
la
evaluación
.
Joaquín
tiene
que
cruzar
un
río
con
un
grupo
de
amigos.
Quiere
instalar
una
cuerda
para
que
los
inseguros
puedan
agarrarse.
Quiere
saber
la
anchura
del
río
en
este
punto
(llamado
D
)
para
determinar
si
la
cuerda
que
tiene
es
lo
suficientemente
larga.
Para
ello,
localizó
un
árbol
(llamado
A
)
en
la
otra
orilla.
Camina
20
metros
por
la
orilla
recta
donde
se
encuentra
y
encuentra
un
nuevo
punto
de
referencia
:
una
roca
(llamada
R
)
.
Luego
continúa
durante
12
metros
y
se
aleja
del
río,
en
án-gulo
recto,
hasta
que
la
roca
se
alinea
con
el
árbol
desde
su
mirador
(llamado
B
)
.
Para
ello
corre
15
m
.
Entonces
se
da
por
satisfecho
:
su
cuerda
de
30
metros
de
lon-gitud
es
lo
suficientemente
larga
como
para
que
pueda
colo-carla
entre
los
puntos
D
y
A
.
Con
ayuda
de
la
figura,
confirma
su
decisión.
E.5049
Un
joven
pastor
se
sitúa
en
el
borde
de
un
pozo
cilíndrico
cuyo
diámetro
es
75
cm
:
alinea
su
mirada
con
el
borde
inferior
del
pozo
y
el
fondo
del
mismo
para
estimar
su
profundidad.
El
fondo
del
pozo
y
el
borde
son
horizontales.
El
pozo
es
vertical.
1
Utilizando
el
siguiente
diagrama
(no
está
a
escala)
,
da
las
longitudes
CB
,
FG
,
RB
en
metros.
2
Calcula
la
profundidad
BG
del
pozo.
3
El
pastor
comprueba
que
la
altura
del
agua
en
el
pozo
es
2
;
60
m
.
El
joven
pastor
necesita
1
m
3
agua
para
abrevar
a
todas
sus
ovejas.
¾Encontrará
suficiente
en
este
pozo?
Pista:
usaremos
:
ı
≈
3
;
1416
5.
Teorema
y
ecuación
de
Tales
E.11446
Resuelve
las
siguientes
ecuaciones
:
a
x
x
+
8
=
2
3
b
x
−
5
x
=
7
8
E.11447
Resolver
las
ecuaciones
:
a
x
+
8
x
+
12
=
4
5
b
x
−
5
x
+
2
=
4
5
E.1141
1
Resuelve
la
siguiente
ecuación
:
(
E
)
:
x
x
+
5
;
2
=
3
7
2
En
la
figura
de
al
lado.
las
rectas
(
MN
)
y
(
BC
)
son
paralelas.
Determina
la
medida
del
segmento
[
AM
]
.
E.1136
En
la
figura
siguiente,
las
rectas
(
BC
)
y
(
MN
)
son
paralelas.
Determina
la
medida
del
segmento
[
AC
]
.
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/6282
sacados/6282
RivièreADRBV20m12m15mLa∏guren’estpasàl’échelle
chapExoCorrec/5049
sacados/5049
Brevet Pondichery
Avril 2012
Le volume d'un cylindre ne fait pas partie du socle commun
FBCRGDiamètre75cmhauteurduregard:1;80mhauteurdurebord:1mépaisseur du mur:20cm
chapExoCorrec/11446
sacados/11446
chapExoCorrec/11447
sacados/11447
chapExoCorrec/1141
sacados/1141
ACBNMACBNM5;2cmACBNMACBNM5;2cm3cmACBNMACBNM5;2cmACBNMACBNM5;2cm3cm7cm
chapExoCorrec/1136
sacados/1136
AMNBC3;2cm2;1cm7;4cm
ABCDMN5;5cm3;5cm1;5cm
ABCEFx223
6cm9cm4cm1cmABCDJIK
ABCD45m24mIM
E.11454
Sea
ABCD
un
rectángulo
y
M
un
punto
perteneciente
al
segmento
[
CD
]
.
Denotemos
por
N
el
punto
de
intersección
de
las
rectas
(
AM
)
y
(
BC
)
.
Tenemos
las
siguientes
medidas
:
AB
=5
;
5
cm
;
BC
=3
;
5
cm
;
CN
=1
;
5
cm
Denotemos
por
x
la
longitud
del
segmento
[
DM
]
.
1
Establezcamos
la
igualdad
:
x
5
;
5
−
x
=
3
;
5
1
;
5
2
Deducimos
la
longitud
DM
.
E.658
La
figura
de
al
lado
se
hizo
a
mano
alzada,
tenemos
las
sigu-ientes
propiedades
:
el
punto
E
pertenece
a
la
recta
(
AB
)
;
el
punto
F
pertenece
a
la
recta
(
AC
)
;
las
rectas
(
EF
)
y
(
BC
)
son
paralelas.
Determina
el
valor
de
ˇ
x
ı.
E.655
Consideremos
un
paralelogramo
ABCD
tal
que
:
AD
=
6
cm
;
CD
=
4
cm
;
AC
=
9
cm
Sea
J
el
punto
del
segmento
[
AB
]
que
cumple
:
AJ
=1
cm
.
La
recta
paralela
a
la
recta
(
AD
)
que
pasa
por
el
punto
J
corta
la
recta
(
AC
)
y
la
recta
(
CD
)
respectivamente
en
I
y
en
K
.
La
siguiente
figura
representa
esta
situación
:
1
a
Demuestra
que
las
rectas
(
IJ
)
y
(
BC
)
son
paralelas.
b
Determina
la
medida
del
segmento
[
AI
]
.
2
a
Determina
la
medida
del
segmento
[
KC
]
.
b
A
partir
de
ahí,
deduce
la
medida
del
segmento
[
IJ
]
.
Denotaremos
por
x
la
longitud
del
segmento
[
IJ
]
.
E.10842
1
Resolver
la
ecuación
:
x
51
−
x
=
1
2
2
Consideremos
un
parque
rectangular
de
dimensiones
45
m
×
24
m
en
el
que
se
cruzan
dos
caminos
(represen-tados
por
las
rutas
[
BD
]
y
[
IC
]
)
:
a
Establecer
que
el
camino,
representado
por
el
segmento
[
BD
]
,
mide
51
m
.
b
Los
dos
caminos
se
cruzan
en
un
punto
M
.
Determinar
la
distancia
DM
.
6.
Teorema
de
Tales,
ecuaciones
y
teorema
de
Pitágoras
E.1139
1
a
Dibuja
un
rectángulo
ABCD
tal
que
:
AB
=
1
;
5
cm
;
AD
=
6
cm
b
Coloca
el
punto
I
perteneciente
a
[
BC
]
tal
que
:
BI
=
1
3
BC
.
c
Nombre
M
el
punto
de
intersección
de
las
rectas
(
AI
)
y
(
CD
)
.
2
Determina
la
longitud
del
segmento
[
MC
]
.
3
Determina
la
longitud
del
segmento
[
AM
]
.
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/11454
sacados/11454
ABCDMN5;5cm3;5cm1;5cm
chapExoCorrec/658
sacados/658
ABCEFx223
chapExoCorrec/655
sacados/655
6cm9cm4cm1cmABCDJIK
chapExoCorrec/10842
sacados/10842
ABCD45m24mIM
chapExoCorrec/1139
sacados/1139
ABCDE600m270m450m
4m4;8m5m6mABCDO
34;5710;5MNBCA
PQZFG5;533;31;8
E.11500
Un
agricultor
desea
cultivar
un
campo
representado
por
el
triángulo
ABC
que
se
muestra
al
lado.
En
la
figura,
que
no
está
a
es-cala,
se
dispone
de
la
siguiente
información
:
el
triángulo
ABC
es
rec-tángulo
en
B
;
el
triángulo
CDE
es
rectángulo
en
D
;
los
puntos
C
,
E
y
A
están
alineados
;
los
puntos
C
,
D
y
B
están
alineados
;
AB
=600
m
;
BC
=450
m
;
CD
=270
m
1
Demuestra
que
el
segmento
[
AC
]
mide
750
metros.
2
a
Demuestra
que
las
rectas
(
ED
)
y
(
AB
)
son
parale-las.
b
Demostrar
que
el
segmento
[
DE
]
mide
360
metros.
3
Demostrar
que
el
área
del
triángulo
CDE
es
48
600
m
2
.
E.5780
Una
noche
de
luna
llena,
Romeo
quiere
visitar
a
Julieta.
Tiene
una
escalera
de
10
m
de
longi-tud.
El
alféizar
de
la
ventana
está
a
una
altura
de
4
;
8
m
,
pero
hay
una
pared
entre
él
y
la
casa
:
esta
pared
tiene
un
grosor
de
50
cm
y
una
altura
de
4
m
.
El
camino
que
separa
la
pared
de
la
casa
tiene
una
anchura
de
1
m
¾Conseguirá
Romeo
apoyar
el
extremo
de
la
escalera
en
el
alféizar
de
la
ventana
de
Julieta?
7.
Recíproco
del
teorema
de
Tales
en
configuración
de
mariposa
E.666
Para
la
configuración
siguiente,
de-muestra
que
las
rectas
(
AB
)
y
(
CD
)
son
paralelas:
E.653
Demuestra
que
las
rectas
(
BC
)
y
(
MN
)
son
paralelas:
E.9311
Consideremos
la
sigu-iente
configuración,
que
representa
las
configuraciones
de
Thales.
Demuestra
que
las
rec-tas
(
FG
)
y
(
PQ
)
son
paralelas.
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/11500
sacados/11500
ABCDE600m270m450m
chapExoCorrec/5780
sacados/5780
chapExoCorrec/666
sacados/666
4m4;8m5m6mABCDO
chapExoCorrec/653
sacados/653
34;5710;5MNBCA
chapExoCorrec/9311
sacados/9311
PQZFG5;533;31;8
AFGEDCB
ABCMNPR
ABCDOFE2;5cm3cm5cm2;4cm4cm
ABCGF
8.
Teorema
de
Tales
y
recíproco
en
dos
configuraciones
de
mariposa
E.671
La
unidad
de
longitud
es
el
centímetro
En
la
figura
de
al
lado,
que
no
es
de
tamaño
real,
las
rectas
(
BC
)
y
(
GF
)
son
paralelas.
Sabemos
que
:
AB
=
3
;
CE
=
2
;
4
;
AC
=
4
;
BD
=
1
;
8
BC
=
4
;
5
;
AF
=
3
;
6
1
Calcula
la
longitud
GF
.
2
¾Son
paralelas
las
rectas
(
BC
)
y
(
ED
)
?
Justifica.
E.659
En
cada
una
de
las
dos
pregun-tas
de
este
ejercicio,
especifique
la
propiedad
del
curso
uti-lizada
.
La
figura
de
al
lado
no
se
muestra
a
tamaño
completo.
Las
rectas
(
BC
)
y
(
MN
)
son
paralelas.
Se
dan
las
siguientes
longitudes
:
AB
=2
;
4
cm
;
AC
=5
;
2
cm
;
AN
=7
;
8
cm
;
MN
=4
;
5
cm
1
Calcula
las
longitudes
AM
y
BC
.
2
Dadas
AP
=2
;
6
cm
y
AR
=1
;
2
cm
,
demuestra
que
las
rec-tas
(
PR
)
y
(
BC
)
son
paralelas.
9.
Teorema
de
Tales
y
recíproco
en
configuración
anidada
y
de
mariposa
E.670
En
la
figura
de
al
lado,
las
rectas
(
AC
)
y
(
DB
)
son
paralelas.
1
Calcula
la
longitud
AO
.
2
¾Son
paralelas
las
rectas
(
EF
)
y
(
OD
)
?
Justifica
tu
afir-mación.
E.5184
Sugerencia
:
la
figura
de
abajo
no
es
a
escala
real,
no
se
debe
reproducir.
Los
puntos
A
,
C
y
F
están
alineados,
al
igual
que
los
puntos
B
,
C
y
G
.
Las
rectas
(
AB
)
y
(
GF
)
son
paralelas.
Se
dan
las
siguientes
medidas
:
AB
=
3
cm
;
FC
=
8
;
4
cm
;
FG
=
11
;
2
cm
1
Calcula
la
longitud
CA
.
2
Sea
D
el
punto
del
segmento
[
CF
]
y
E
el
punto
del
seg-mento
[
GF
]
tal
que
:
FD
=
6
;
3
cm
;
FE
=
8
;
4
cm
Demuestre
que
las
rectas
(
GC
)
y
(
ED
)
son
paralelas.
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/671
sacados/671
Groupe Nord - Septembre 2002 - 4 points
AFGEDCB
chapExoCorrec/659
sacados/659
Groupe Sud - Juin 2003 - 5 points
ABCMNPR
chapExoCorrec/670
sacados/670
ABCDOFE2;5cm3cm5cm2;4cm4cm
chapExoCorrec/5184
sacados/5184
ABCGF
ABCDEFG
ABCDEF
ABCDEO
OABMN
E.661
La
unidad
es
el
centímetro.
En
la
figura
siguiente,
las
rectas
(
AB
)
y
(
CD
)
son
paralelas.
Las
rectas
(
AD
)
y
(
BC
)
se
cruzan
en
E
.
Damos
:
DE
=6
,
AE
=10
,
AB
=20
y
BE
=16
.
Las
figuras
no
son
de
tamaño
natural.
No
deben
reproducirse.
1
Calcula
la
distancia
CD
.
2
Los
puntos
F
y
G
pertenecen
a
los
segmentos
[
BC
]
y
[
AB
]
respectivamente.
Se
verifican
:
BF
=
12
;
8
;
BG
=
16
.
Demostrar
que
las
rectas
(
FG
)
y
(
AE
)
son
paralelas.
E.3461
La
siguiente
figura
no
es
una
versión
a
escala
real.
La
unidad
de
longitud
es
el
centímetro;
damos
:
AB
=
8
;
BC
=
9
;
AC
=
6
;
AE
=
4
1
Las
rectas
(
DE
)
y
(
BC
)
son
paralelas.
Calcula
AD
.
Da
su
valor
exacto
y
luego
su
valor
redondeado
al
milímetro
más
próximo.
2
Sea
F
el
punto
tal
que
C
,
B
y
F
están
alineados
en
este
orden,
con
BF
=6
.
Demuestra
que
las
rectas
(
EF
)
y
(
AB
)
son
paralelas.
E.664
1
a
Dibuja
un
triángulo
ABC
tal
que
:
AC
=
7
;
5
cm
;
BC
=
10
cm
;
AB
=
6
cm
.
b
Coloca
E
en
[
AC
]
tal
que
AE
=
4
;
5
cm
y
F
en
[
BC
]
tal
que
BF
=
6
cm
.
2
¾Son
paralelas
las
rectas
(
AB
)
y
(
EF
)
?
Justifica.
3
Se
traza
la
recta
paralela
a
(
AB
)
que
pasa
por
C
.
Esta
recta
corta
a
(
BE
)
en
L
.
Determina
CL
.
10.
Teorema
de
Tales
y
recíproco
en
la
misma
configuración
E.673
La
figura
siguiente
muestra
el
esquema
de
una
tabla
de
planchar.
Los
segmentos
[
AB
]
y
[
EC
]
representan
las
patas.
Las
rectas
(
AB
)
y
(
EC
)
se
cortan
en
O
.
Damos
:
AD
=
125
cm
;
AC
=
100
cm
;
OA
=
60
cm
OB
=
72
cm
;
OE
=
60
cm
;
OC
=
50
cm
1
Demuestra
que
la
recta
(
AC
)
es
paralela
a
la
recta
(
EB
)
.
2
Calcula
la
galga
EB
en
cm
.
E.9312
Al
lado
se
muestra
la
estructura
de
un
taburete.
La
recta
(
AB
)
representa
el
suelo,
los
segmentos
[
AM
]
y
[
BN
]
repre-sentan
los
pies
y
el
segmento
[
MN
]
representa
el
asiento
del
taburete.
Las
patas
del
taburete
están
unidas
al
punto
O
.
Se
dan
las
siguientes
medidas
en
cen-tímetros
:
OA
=80
menos1cm;
menos1cm
OM
=50
menos1cm;
menos1cm
BN
=
143
menos1cm;
menos1cm
ON
=55
menos1cm;
menos1cm
AB
=
72
Determinar
la
longitud
del
asiento
del
taburete.
Indicación
:
se
indicará
de
antemano
que
el
asiento
del
taburete
es
paralelo
al
suelo
.
11.
Recíproco,
teorema
de
Thales
y
magnitudes
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/661
sacados/661
Groupe Est - Juin 2003 - 3 points
ABCDEFG
chapExoCorrec/3461
sacados/3461
ABCDEF
chapExoCorrec/664
sacados/664
Groupe Sud - Juin 2003 - 4 points
chapExoCorrec/673
sacados/673
Groupe Nord - Juin 2004 - 4 points
ABCDEO
chapExoCorrec/9312
sacados/9312
OABMN
ABCDEFG7km1;5km2km5km3;5km
ABCDE
ABCDE
E.10840
Michel
participa
en
un
rally
en
bicicleta
de
montaña
por
una
ruta
señalizada.
La
ruta
se
muestra
en
líneas
continuas.
El
dibujo
no
está
a
escala.
Los
puntos
A
,
B
y
C
están
alineados.
Los
puntos
C
,
D
y
E
están
alineados.
Los
puntos
B
,
D
y
F
están
alineados.
Los
puntos
E
,
F
y
G
están
alineados.
El
triángulo
BCD
es
rectángulo
en
C
.
El
triángulo
DEF
es
rectángulo
en
E
.
1
Demuestra
que
la
longitud
BD
es
igual
a
2
;
5
km
.
2
Justifica
que
las
rectas
(
BC
)
y
(
EF
)
son
paralelas.
3
Calcula
la
longitud
DF
.
4
Calcula
la
duración
total
del
curso.
5
Michel
conduce
a
una
velocidad
media
de
16
km
=
h
para
ir
del
punto
A
al
punto
B
.
Cuánto
tiempo
tardará
en
ir
desde
el
punto
A
hasta
el
punto
B
.
Da
tu
respuesta
en
minutos
y
segundos.
E.10839
La
regata
AB
=
400
;
AC
=
300
;
BC
=
500
;
CD
=
700
Las
rectas
(
AE
)
y
(
BD
)
se
cruzan
en
C
.
Las
rectas
(
AB
)
y
(
DE
)
son
paralelas.
1
Calcular
la
longitud
DE
.
2
Demostrar
que
el
triángulo
ABC
es
rectángulo.
3
Calcular
la
medida
del
ángulo
ABC
.
Redondear
al
grado.
Durante
una
carrera,
los
competidores
deben
dar
varias
vueltas
al
recorrido
representado
arriba.
Parten
del
punto
A
,
luego
pasan
por
los
puntos
B
,
C
,
D
y
E
en
ese
orden,
vuelven
al
punto
C
y
regresan
al
punto
A
.
Maltéo,
el
ganador,
tardó
1
h
48
min
en
completar
las
5
vueltas
del
recorrido.
La
distancia
recorrida
para
dar
una
vuelta
es
2
880
m
.
4
Calcula
la
distancia
total
recorrida
para
completar
las
5
vueltas
del
recorrido.
5
Calcula
la
velocidad
media
de
Maltéo.
Redondea
al
número
entero
más
cercano.
12.
Teorema
recíproco
de
Tales
y
Pitágoras
E.650
La
figura
siguiente
no
es
de
tamaño
completo.
No
se
le
pide
que
la
reproduzca.
Los
puntos
A
,
C
y
E
están
alineados,
al
igual
que
los
puntos
B
,
C
y
D
.
El
triángulo
ABC
forma
ángulo
recto
con
B
.
Las
siguientes
longitudes
están
expresadas
en
centímetros
:
BC
=
12
;
CD
=
9
;
6
;
DE
=
4
;
CE
=
10
;
4
1
Demuestra
que
el
triángulo
CDE
es
rectángulo
en
D
.
2
Deduce
que
las
rectas
(
AB
)
y
(
DE
)
son
paralelas.
3
Calcula
la
longitud
AB
.
E.2680
Considere
un
triángulo
EFG
tal
que
:
EF
=
6
cm
;
FG
=
7
;
5
cm
;
GE
=
4
;
5
cm
.
1
Construya
el
triángulo
EFG
.
2
Demuestre
que
el
triángulo
EFG
es
rectángulo
y
especi-fique
en
qué
punto.
3
Construye
el
punto
M
punto
medio
de
[
EF
]
y
construye
la
recta
paralela
a
[
EG
]
que
pasa
por
M
;
interseca
a
[
FG
]
en
N
.
4
Demuestra
que
N
es
el
punto
medio
de
[
FG
]
.
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/10840
sacados/10840
ABCDEFG7km1;5km2km5km3;5km
chapExoCorrec/10839
sacados/10839
ABCDE
chapExoCorrec/650
sacados/650
Nantes - Juin 2006
ABCDE
chapExoCorrec/2680
sacados/2680
MNORS
A(Départ)BCDE(Départ)400m300m1000m
ABCDIJMN17cm16cm
ABCMN
E.2168
la
figura
de
al
lado
no
es
de
tamaño
natural
;
no
se
pide
su
reproducción.
Los
puntos
N
,
O
,
R
por
un
lado
y
los
puntos
M
,
O
,
S
por
otro
están
alineados
en
este
orden.
OS
=
6
cm
;
OM
=
9
cm
;
ON
=
5
;
4
cm
;
OR
=
3
;
6
cm
1
¾Son
paralelas
las
rectas
(
MN
)
y
(
RS
)
?
Justifica.
2
Supongamos
que
SR
=4
;
8
cm
.
El
triángulo
ORS
¾es
acutángulo?
Justifica.
3
Utilizando
teorema
de
Tales
,
calcula
MN
.
4
Se
supondrá
que
las
rectas
(
MN
)
y
(
NR
)
son
perpendic-ulares.
¾Cuál
es
el
área
del
cuadrilátero
MNSR
?
Justifica.
E.5047
Los
estudiantes
participan
en
una
carrera.
Antes
de
la
prueba,
se
les
entrega
un
mapa.
Se
muestra
en
la
figura
siguiente
:
Se
acuerda
que
:
Las
rectas
(
AE
)
y
(
BD
)
se
cruzan
en
C
.
Las
rectas
(
AB
)
y
(
DE
)
son
paralelas.
ABC
es
un
triángulo
rectángulo
en
A
.
Calcula
la
longitud
real
de
la
ruta
ABCDE
.
Si
el
trabajo
no
se
completa,
deja
aún
un
rastro
de
la
búsqueda.
Se
tendrá
en
cuenta
en
la
calificación.
E.10841
Considere
el
rectángulo
ABCD
que
se
muestra
a
continuación
con
:
AB
=
17
cm
;
AD
=
16
cm
Sean
I
y
J
los
respectivos
puntos
medios
de
los
segmentos
[
AD
]
y
[
BC
]
.
Situamos
el
punto
M
en
el
segmento
[
IJ
]
de
modo
que
el
triángulo
AMB
sea
isósceles
en
A
.
Finalmente,
anotamos
N
el
punto
de
intersección
de
las
rectas
(
AM
)
y
(
BC
)
.
Determina
la
medida
del
segmento
[
AN
]
.
13.
El
recíproco
del
teorema
de
Tales
y
la
trigonometría
E.10764
Consideremos
el
triángulo
rectán-gulo
ABC
en
C
que
se
muestra
a
continuación
y
los
puntos
M
y
N
pertenecientes
a
los
segmentos
[
BC
]
y
[
BA
]
respecti-vamente
:
Tenemos
las
siguientes
medidas
:
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/2168
sacados/2168
MNORS
chapExoCorrec/5047
sacados/5047
Brevet Metropole
Juin 2012
A(Départ)BCDE(Départ)400m300m1000m
chapExoCorrec/10841
sacados/10841
ABCDIJMN17cm16cm
chapExoCorrec/10764
sacados/10764
ABCMN
ABCMN
520m200m120m600mDKJAL
133209200314OZSHX
AMNUVCB
BM
=2
;
4
cm
;
MC
=1
;
2
cm
;
AC
=1
;
5
cm
BN
=2
;
6
cm
;
BA
=3
;
9
cm
1
Demuestra
que
el
triángulo
BMN
es
rectángulo
en
M
.
2
a
Determina
la
longitud
del
segmento
[
MN
]
.
b
Determina
la
medida
del
ángulo
MNB
redondeada
al
grado
más
próximo.
E.10791
Consideramos
los
cinco
puntos
A
,
B
,
C
,
M
,
N
de
tal
manera
que
el
punto
B
es
la
intersección
de
las
rectas
(
AN
)
y
(
CM
)
:
Tenemos
las
siguientes
medidas
:
BA
=4
cm
;
BC
=3
;
2
cm
;
AC
=2
;
4
cm
BM
=2
cm
;
BN
=2
;
5
cm
1
Demuestra
que
el
triángulo
BMN
es
rectángulo
en
M
.
2
a
Determinar
la
longitud
del
segmento
[
MN
]
.
b
Determinar
la
medida
del
ángulo
MNB
redondeada
al
grado
más
cercano.
E.10835
En
la
siguiente
figura,
que
no
está
a
escala,
se
representa
el
recorrido
que
debe
hacer
Óscar.
En
el
triángulo
rectángulo
DLA
en
L
,
el
punto
J
pertenece
al
segmento
[
DA
]
y
el
punto
K
pertenece
al
segmento
[
DL
]
.
Se
da
:
DL
=600
cm
;
KJ
=200
m
;
DJ
=520
m
;
KL
=120
m
1
Demostrar
que
la
longitud
DK
es
igual
a
480
m
.
2
Justificar
que
el
triángulo
DKJ
es
rectángulo
en
K
.
3
Demostrar
que
el
segmento
[
DA
]
mide
650
m
.
4
Calcular
la
longitud
del
trayecto
DKJA
,
marcado
con
una
flecha
en
la
figura.
5
Un
fotógrafo
coloca
una
cámara
en
el
punto
D
.
Para
fil-mar
toda
la
carrera
sin
mover
la
cámara,
el
ángulo
LDA
debe
ser
inferior
a
25
o
.
¾Es
así?
14.
Contraposición
del
teorema
de
Tales
E.667
Demuestra
que
las
rectas
(
OZ
)
y
(
HS
)
no
son
paralelas:
E.657
Un
carpintero
acaba
de
crear
el
siguiente
armario.
El
tablero
[
CB
]
se
asienta
directamente
sobre
el
suelo.
Anotó
las
siguientes
dimensiones
:
AC
=
2
m
;
AB
=
2
;
5
m
;
AM
=
0
;
4
m
CU
=
0
;
8
m
;
AN
=
0
;
6
m
;
V
B
=
1
m
1
¾Está
el
tablero
MN
en
posición
horizontal?
2
La
misma
pregunta
para
el
tablero
UV
.
15.
Ejercicios
no
clasificados
E.5441
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/10791
sacados/10791
ABCMN
chapExoCorrec/10835
sacados/10835
Juillet 2024
Martinique
520m200m120m600mDKJAL
chapExoCorrec/667
sacados/667
133209200314OZSHX
chapExoCorrec/657
sacados/657
AMNUVCB
chapExoCorrec/5441
sacados/5441
ABCDEFSH
ABCEJHM
BFHJK4;2m7;5m9;3m12;4m10m
On
quiere
hacer
un
tipi
en
forma
de
pirámide
con
base
de
rectángulo
ABCD
con
centro
H
y
altura
[
SH
]
(ver
diagrama
belowcontre)
.
El
tipi
tendrá
las
siguientes
di-mensiones
:
AD
=
1
;
60
m
CD
=
1
;
20
m
SH
=
2
;
40
m
1
Calcular
el
volumen
V
de
esta
pirámide,
en
m
3
.
Recordemos
que
V
=
1
3
×
B
×
h
donde
h
denota
la
altura
y
B
el
área
de
la
base.
2
Calculer
la
longitud
BD
.
3
El
armazón
del
tipi,
formado
por
el
armazón
rectangular
ABCD
y
los
cuatro
bordes
laterales
de
S
,
está
hecho
de
palos
de
bambú.
En
esta
pregunta
no
se
espera
demostración
escrita.
Bas-tará
con
citar
una
propiedad
y
presentar
claramente
un
cálculo.
a
Muestre
que
:
SD
=2
;
60
m
b
On
añada
una
varilla
[
EF
]
al
armazón
como
se
muestra
en
el
dibujo
de
forma
que
(
EF
)
==
(
AD
)
y
SF
=1
;
95
m
.
Calcula
EF
.
4
Tallos
de
bambú
de
3
m
se
encontraron
en
una
tienda.
Se
puede
cortar
una
caña
para
hacer
dos
palos,
pero
no
se
puede
hacer
un
palo
pegando
dos
trozos
de
bambú.
¾Cuántas
cañas
de
bambú
necesitas
comprar,
como
mín-imo,
para
hacer
los
nueve
palos
para
el
armazón
del
tipi?
E.663
Consideremos
el
triángulo
ABC
siguiente,
tal
que
:
AB
=
6
cm
;
AC
=
10
cm
;
BC
=
8
cm
Sea
E
el
punto
de
[
AC
]
tal
que
AE
=4
cm
y
J
el
punto
de
[
BC
]
tal
que
CJ
=2
;
4
cm
.
Sea
H
el
punto
medio
de
[
EC
]
y
M
el
punto
de
intersección
de
las
rectas
(
BE
)
y
(
JH
)
.
(en
la
figura
no
se
respetan
las
cotas)
1
Demuestra
que
las
rectas
(
JH
)
y
(
AB
)
son
paralelas.
2
Deduce
de
aquí
el
cálculo
de
la
longitud
HM
.
E.10837
En
la
configuración
siguiente,
los
pun-tos
F
,
B
,
J
y
los
puntos
H
,
B
,
K
están
alineados
:
Establece
que
las
rectas
(
HF
)
y
(
KJ
)
son
paralelas.
E.10838
Un
turista
sube
a
lo
alto
del
Arco
del
Triunfo
de
París
:
Al
retroceder
2
m
desde
el
borde
del
Arco
del
Triunfo,
se
da
cuenta
de
que
ha
alineado
perfectamente
su
visión
con
el
borde
del
monumento
y
la
base
de
una
farola
que
se
encuentra
al
mismo
nivel
que
el
monumento.
Se
estima
que
sus
ojos
se
encuentran
a
una
altura
de
1
m
70
del
suelo.
Una
vez
bajado,
mide
que
la
distancia
entre
el
borde
del
mon-umento
y
el
borde
de
la
farola
es
de
58
;
2
m
.
Determina
la
altura
del
monumento,
redondeada
al
decímetro
más
cercano.
Indicación
:
se
tendrán
en
cuenta
todos
los
pasos
de
inves-tigación
y
redacción
en
la
evaluación.
https://chingmath.fr
ABCDEFSH
chapExoCorrec/663
sacados/663
ABCEJHM
chapExoCorrec/10837
sacados/10837
BFHJK4;2m7;5m9;3m12;4m10m
chapExoCorrec/10838
sacados/10838
OABDEFC
ABCDE
ABCDE
E.10973
En
la
siguiente
figura,
tenemos
:
C
es
un
círculo
con
centro
O
y
radio
4
;
5
cm
;
[
AB
]
es
un
diámetro
de
este
círculo
y
D
es
un
punto
del
círculo;
Los
puntos
B
,
E
,
A
están
alineados,
al
igual
que
los
pun-tos
D
,
F
,
A
;
Las
rectas
(
BD
)
y
(
EF
)
son
paralelas;
BD
=
5
;
4
cm
;
DA
=
7
;
2
cm
;
AE
=
2
;
7
cm
1
Justificar
que
el
diámetro
[
AB
]
mide
9
cm
.
2
Demostrar
que
el
triángulo
ABD
es
rectángulo
en
D
.
3
Calcular
AF
.
4
a
Justificar
que
el
área
del
triángulo
ABD
es
igual
a
19
;
44
cm
2
.
b
Calcular
el
área
del
disco,
redondeada
al
centésimo.
Indicación
:
se
utilizará:
ı
≈
3
;
1416
5
¾Qué
porcentaje
del
área
del
disco
representa
el
área
del
triángulo
ABD
?
E.11546
El
jardín
botánico
de
una
ciu-dad
puede
representarse
mediante
el
cuadrilátero
ABCD
sigu-iente
:
Se
sabe
que
:
AB
=
500
m
;
BE
=
250
m
;
DE
=
750
m
los
segmentos
[
AC
]
y
[
BD
]
se
cortan
en
el
punto
E
.
La
figura
adjunta
no
está
a
escala
.
1
¾Cuál
es
la
longitud
del
segmento
[
BD
]
?
2
Razonando
en
el
triángulo
rectángulo
ABD
,
demuestre
que
la
longitud
del
segmento
[
AD
]
,
redondeada
al
metro,
es
igual
a
aproximadamente
866
m
.
3
a
Calcule
el
seno
del
ángulo
EAB
.
b
Deduzca
la
medida
en
grados
del
ángulo
EAB
.
4
a
Demuestre
que
las
rectas
(
AB
)
y
(
DC
)
son
parale-las.
b
Demuestre
que
la
longitud
del
segmento
[
CD
]
es
igual
a
1
500
m
.
5
Un
peatón
da
la
vuelta
al
jardín
botánico
caminando
a
una
velocidad
media
de
1
;
1
m
=
s
.
Lee
en
su
mapa
que
la
longitud
del
segmento
[
BC
]
es
aproximadamente
igual
a
1
323
m
.
¾El
tiempo
que
tarda
el
peatón
en
dar
la
vuelta
al
jardín
botánico
es
inferior
a
una
hora?
E.11547
Consideremos
el
triángulo
ACE
sigu-iente,
en
el
que
los
puntos
B
y
D
pertenecen
respectivamente
al
segmento
[
AC
]
y
al
segmento
[
CE
]
.
Se
dan
las
medidas
:
AB
=
9
m
;
BC
=
6
m
;
AE
=
8
m
;
CE
=
17
m
1
Justificar
que
el
triángulo
ACE
es
rectángulo
en
A
.
2
Justificar
que
las
rectas
(
AE
)
y
(
BD
)
son
paralelas.
3
Determinar
la
medida
del
segmento
[
CD
]
.
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/10973
sacados/10973
Metropole
2024
OABDEFC
chapExoCorrec/11546
sacados/11546
ABCDE
chapExoCorrec/11547
sacados/11547
ABCDE
ABC2;5m2m1;5m
ABCIJ(AB==(IJ
ABCO(d1(d2
ABCI
ABCOOcentre du cercle
ABC
EFG
AEFRT
E.1031
En
cada
una
de
las
figuras
que
apare-cen
a
continuación
se
pueden
obtener
nuevas
propiedades.
En
cada
caso,
¾qué
teorema
se
puede
utilizar
para
afirmar
la
ex-istencia
de
estas
nuevas
propiedades?
a
b
c
d
e
E.652
1
Considera
las
dos
semirrectas
[
AC
)
y
[
AB
)
.
Los
puntos
representados
en
la
semirrecta
[
AC
)
se
dis-
tribuyen
por
igual
en
ella.
a
Nombra
N
uno
de
los
puntos
representados
en
la
semir-recta
[
AC
)
.
b
Dibuja
la
paralela
a
la
recta
(
BC
)
que
pasa
por
N
.
Nombra
M
el
punto
de
intersección
de
esta
paralela
con
la
semirrecta
[
AB
)
.
c
Sustituye
los
valores
ˇ
en
gris
ı,
presentes
en
la
siguiente
tabla,
por
la
medida
del
segmento
asociado:
[
AB
]
[
AC
]
[
BC
]
[
AM
]
[
AN
]
[
MN
]
d
¾Qué
podemos
decir
de
la
tabla
anterior?
e
Comprueba
si
la
igualdad
de
abajo
es
cierta
o
no
:
AM
AB
=
AN
AC
=
MN
BC
2
Considera
el
triángulo
EFG
de
abajo
y
construye
un
ˇ
ampli
ı
y
comprueba
algunas
propiedades
de
estos
dos
triángulos
:
a
Sitúa
el
punto
P
sobre
la
semirrecta
[
EF
)
y
el
punto
Q
sobre
la
semirrecta
[
EG
)
tales
que
:
EP
=
2
;
5
×
EF
;
EQ
=
2
;
5
×
EG
.
b
¾Qué
se
puede
decir
de
las
rectas
(
FG
)
y
(
PQ
)
?
c
Compara
las
medidas
de
[
FG
]
y
[
PQ
]
.
E.8934
Considera
la
figura
de
al
lado,
dibujada
a
mano
alzada
y
no
a
escala.
Se
da
la
siguiente
información
:
Las
rectas
(
ER
)
y
(
FT
)
se
cortan
en
A
.
AE
=8
cm
,
AF
=10
cm
,
EF
=6
cm
AR
=12
cm
,
AT
=14
cm
1
Demuestra
que
el
triángulo
AEF
es
rectángulo
en
E
.
2
¾Son
paralelas
las
rectas
(
EF
)
y
(
RT
)
?
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/1031
sacados/1031
ABC2;5m2m1;5m
ABCIJ(AB==(IJ
ABCO(d1(d2
ABCI
ABCOOcentre du cercle
chapExoCorrec/652
sacados/652
ABC
EFG
chapExoCorrec/8934
sacados/8934
AEFRT