ESO 3 / Teorema de Tales 60 ejercicios (100% corregidos)

a
GHJIKVWXYZ ABCMNABCMN2cmABCMNABCMN2cm6cmABCMNABCMN2cmABCMNABCMN2cm6cm3cm JesaisJ’utiliseJ’endéduisLes pointsA,M,Bsont alignés.Les pointsA,N,Csont alignés.(MN==(BCD’aprèslethéorèmedeThalès,onal’égalité des quotients:AMABANACMNBCChaînonsdéductifs TZXLITZXLI5;5cmTZXLITZXLI5;5cm9;9cmTZXLITZXLI5;5cmTZXLITZXLI5;5cm9;9cm5cm 1. Recordatorio: el teorema de Tales E.5021 Resuelve las siguientes ecuaciones : a 7 x = 21 4 b 15 8 = x 9 c x 32 = 5 8 E.11449 Teorema de Thales: Si los puntos A , B , M están alineados, los puntos A , C , N están alineados y si las rectas ( BC ) y ( MN ) son paralelas, entonces : AM AB = AN AC = MN BC Observación : la igualdad de los cocientes de las longitudes refleja la proporcionalidad de las longitudes entre los trián-gulos ˇ encajados ı cuando dos de sus lados son paralelos. Hemos representado dos configuraciones de Thales en las que ( GH ) == ( IJ ) y ( XY ) == ( V W ) . Para cada uno de estos triángulos, escribe la igualdad de co-cientes obtenida mediante el uso del teorema de Thales. E.11450 Ejemplo comentado: Consideremos el triángulo ABC representado a contin-uación : Los puntos M y N pertenecen respectivamente al seg-mento [ AB ] y [ AC ] y son tales que las rectas ( MN ) y ( BC ) son paralelas. Tenemos la aplicación numérica : 2 6 = 3 AC = MN BC Utilizaremos la igualdad : 2 6 = 3 AC Según el producto cruzado, tenemos : 2 × AC = 6 × 3 2 × AC = 18 AC = 18 2 AC = 9 cm Consideramos el triángulo TXZ representado a continuación y los puntos L y I pertenecientes respectivamente a los seg-mentos [ TZ ] y [ TX ] tales que ( IL ) == ( XZ ) . 1 Completa la cadena deductiva siguiente : https://chingmath.fr chapExoCorrec/5021 sacados/5021 chapExoCorrec/11449 sacados/11449 GHJIKVWXYZ chapExoCorrec/11450 sacados/11450 ABCMNABCMN2cmABCMNABCMN2cm6cmABCMNABCMN2cmABCMNABCMN2cm6cm3cm JesaisJ’utiliseJ’endéduisLes pointsA,M,Bsont alignés.Les pointsA,N,Csont alignés.(MN==(BCD’aprèslethéorèmedeThalès,onal’égalité des quotients:AMABANACMNBCChaînonsdéductifs TZXLITZXLI5;5cmTZXLITZXLI5;5cm9;9cmTZXLITZXLI5;5cmTZXLITZXLI5;5cm9;9cm5cm
JesaisJ’utiliseJ’endéduisLes points ..., ..., ...sont alignés.Les points ..., ..., ...sont alignés.:::==:::D’après le théorème de Thalès, on a l’égalité desquotients:Chaînonsdéductifs EFGHI1;532 MGPUA4;5m3;5m5;6m7;2m JesaisJ’utiliseJ’endéduisLes pointsM,A,Pet les pointsM,U,Gsont alignés dans le même ordre.MAMPMUMGD’aprèslaréciproqueduthéorèmedeThalès:(AU==(PGChaînonsdéductifs ATNCR3;2cm4;8cm7;5cm5cm JesaisJ’utiliseJ’endéduisLes points ..., ..., ...et les points ..., ..., ...sont alignés dans le même ordre.::::::::::::D’après la réciproque du théorème de Thalès::::==:::Chaînonsdéductifs 2 Utilice la igualdad de cocientes de la pregunta 2 para determinar la medida del segmento [ TX ] . E.9309 En el plano, considere la configu-ración siguiente : Las rectas ( FG ) y ( HI ) son respectivamente paralelas entre sí. 1 Dar la longitud del segmento [ EH ] . 2 Utilizando el teorema de Thales, determina la longitud del segmento [ EI ] . 3 Deduce que la longitud del segmento [ GI ] . E.10757 Resuelve las siguientes ecuaciones : a x x + 1 = 1 3 b x + 2 3 x 4 = 2 3 c 2 x x 3 = 4 E.10792 1 Considera los tres números : a = 2 5 ; b = 2 3 ; c = 3 Determinar la solución de la ecuación : a b = x c 2 Considere los tres números : a = 4 3 ; b = 5 2 ; c = 14 3 Determinar la solución de la ecuación : x a = b c 2. Recordatorios: recíproco del teorema de Tales E.11451 Ejemplo comentado: Consideremos el triángulo MGP representado a contin-uación y los puntos A y U que pertenecen respectivamente a los segmentos [ MP ] y [ MG ] : MA =3 ; 5 m ; MP =5 ; 6 m ; MU =4 ; 5 m ; AT =7 ; 2 m Tenemos la aplicación numérica : MA MP = 3 ; 5 5 ; 6 = 0 ; 625 ; MU MG = 4 ; 5 7 ; 2 = 0 ; 625 Consideremos el triángulo ANT y los dos puntos R y C que pertenecen respectivamente a los segmentos [ AN ] y [ AT ] . Tenemos las medidas : AN =7 ; 5 cm ; AR =4 ; 8 cm ; AC =3 ; 2 cm ; AT =5 cm 1 Demuestre que la igualdad de los cocientes : AR AN = AC AT 2 Complete el siguiente razonamiento deductivo: https://chingmath.fr JesaisJ’utiliseJ’endéduisLes points ..., ..., ...sont alignés.Les points ..., ..., ...sont alignés.:::==:::D’après le théorème de Thalès, on a l’égalité desquotients:Chaînonsdéductifs chapExoCorrec/9309 sacados/9309 EFGHI1;532 chapExoCorrec/10757 sacados/10757 chapExoCorrec/10792 sacados/10792 chapExoCorrec/11451 sacados/11451 MGPUA4;5m3;5m5;6m7;2m JesaisJ’utiliseJ’endéduisLes pointsM,A,Pet les pointsM,U,Gsont alignés dans le même ordre.MAMPMUMGD’aprèslaréciproqueduthéorèmedeThalès:(AU==(PGChaînonsdéductifs ATNCR3;2cm4;8cm7;5cm5cm JesaisJ’utiliseJ’endéduisLes points ..., ..., ...et les points ..., ..., ...sont alignés dans le même ordre.::::::::::::D’après la réciproque du théorème de Thalès::::==:::Chaînonsdéductifs
ABCMN0;91;21;5 4cm12cm5cm7;5cmABCDO KGHJIVWXYZ ABCMN1;552 ABCOMND ABCDG E.3462 La configuración que se muestra a continuación es una configuración de Thales. Además, sabemos que : AN =3 ; 5 . Demuestra que las rectas ( BC ) y ( MN ) son paralelas. E.9310 En la configuración siguiente, A [ OC ] y B [ OD ] . Demuestre que las rectas ( AB ) y ( CD ) son paralelas: 3. Configuración mariposa E.2167 Hemos representado dos configura-ciones de Thales donde ( GH ) == ( IJ ) y ( XY ) == ( V W ) . En cada caso, cite las igualdades de cocientes de longitudes dadas por el teorema de Thales : E.3451 En el plano, considere la configu-ración: Las rectas ( BC ) y ( MN ) son respectivamente paralelas entre sí. Utilizando el teorema de Tales, determina la longitud del seg-mento [ AN ] . E.660 Consideremos las rectas ( BD ) y ( CN ) que intersecan O con A un punto de ( CN ) y M un punto de ( BD ) tales que : Las rectas ( BN ) , ( AM ) y ( CD ) son paralelas entre sí. 1 Da todas las relaciones de longitud iguales a: a OM OD b OB OM 2 Nos dan las siguientes medidas : NO = 5 cm ; OA = 4 cm ; OM = 3 cm AC = 2 cm ; CD = 3 cm a Determina la medida del segmento [ BO ] . b Determina la longitud AM . Luego deduce la longitud BN . 4. El problema y el teorema de Tales E.5695 Se ha modelado geométricamente un taburete plegable medi-ante los segmentos [ CB ] y [ AD ] para la estructura metálica y el segmento [ CD ] para el asiento de tela. Tenemos : CG = DG =30 cm , AG = BG =45 cm y AB = 51 cm . Por razones de comodidad, el asiento [ CD ] es paralelo al suelo representado por la recta ( AB ) . Determinar la longitud CD del asiento. Indicación : dejar visibles todos los pasos del proceso. Aunque el trabajo no esté terminado, se tendrá en cuenta en la calificación. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3462 sacados/3462 ABCMN0;91;21;5 chapExoCorrec/9310 sacados/9310 4cm12cm5cm7;5cmABCDO chapExoCorrec/2167 sacados/2167 KGHJIVWXYZ chapExoCorrec/3451 sacados/3451 ABCMN1;552 chapExoCorrec/660 sacados/660 ABCOMND chapExoCorrec/5695 sacados/5695 ABCDG
RivièreADRBV20m12m15mLa∏guren’estpasàl’échelle FBCRGDiamètre75cmhauteurduregard:1;80mhauteurdurebord:1mépaisseur du mur:20cm ACBNMACBNM5;2cmACBNMACBNM5;2cm3cmACBNMACBNM5;2cmACBNMACBNM5;2cm3cm7cm AMNBC3;2cm2;1cm7;4cm E.6282 Indicación : cualquier indicio, incluso una respuesta incom-pleta, se tendrá en cuenta en la evaluación . Joaquín tiene que cruzar un río con un grupo de amigos. Quiere instalar una cuerda para que los inseguros puedan agarrarse. Quiere saber la anchura del río en este punto (llamado D ) para determinar si la cuerda que tiene es lo suficientemente larga. Para ello, localizó un árbol (llamado A ) en la otra orilla. Camina 20 metros por la orilla recta donde se encuentra y encuentra un nuevo punto de referencia : una roca (llamada R ) . Luego continúa durante 12 metros y se aleja del río, en án-gulo recto, hasta que la roca se alinea con el árbol desde su mirador (llamado B ) . Para ello corre 15 m . Entonces se da por satisfecho : su cuerda de 30 metros de lon-gitud es lo suficientemente larga como para que pueda colo-carla entre los puntos D y A . Con ayuda de la figura, confirma su decisión. E.5049 Un joven pastor se sitúa en el borde de un pozo cilíndrico cuyo diámetro es 75 cm : alinea su mirada con el borde inferior del pozo y el fondo del mismo para estimar su profundidad. El fondo del pozo y el borde son horizontales. El pozo es vertical. 1 Utilizando el siguiente diagrama (no está a escala) , da las longitudes CB , FG , RB en metros. 2 Calcula la profundidad BG del pozo. 3 El pastor comprueba que la altura del agua en el pozo es 2 ; 60 m . El joven pastor necesita 1 m 3 agua para abrevar a todas sus ovejas. ¾Encontrará suficiente en este pozo? Pista: usaremos : ı 3 ; 1416 5. Teorema y ecuación de Tales E.11446 Resuelve las siguientes ecuaciones : a x x + 8 = 2 3 b x 5 x = 7 8 E.11447 Resolver las ecuaciones : a x + 8 x + 12 = 4 5 b x 5 x + 2 = 4 5 E.1141 1 Resuelve la siguiente ecuación : ( E ) : x x + 5 ; 2 = 3 7 2 En la figura de al lado. las rectas ( MN ) y ( BC ) son paralelas. Determina la medida del segmento [ AM ] . E.1136 En la figura siguiente, las rectas ( BC ) y ( MN ) son paralelas. Determina la medida del segmento [ AC ] . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6282 sacados/6282 RivièreADRBV20m12m15mLa∏guren’estpasàl’échelle chapExoCorrec/5049 sacados/5049 Brevet Pondichery Avril 2012 Le volume d'un cylindre ne fait pas partie du socle commun FBCRGDiamètre75cmhauteurduregard:1;80mhauteurdurebord:1mépaisseur du mur:20cm chapExoCorrec/11446 sacados/11446 chapExoCorrec/11447 sacados/11447 chapExoCorrec/1141 sacados/1141 ACBNMACBNM5;2cmACBNMACBNM5;2cm3cmACBNMACBNM5;2cmACBNMACBNM5;2cm3cm7cm chapExoCorrec/1136 sacados/1136 AMNBC3;2cm2;1cm7;4cm
ABCDMN5;5cm3;5cm1;5cm ABCEFx223 6cm9cm4cm1cmABCDJIK ABCD45m24mIM E.11454 Sea ABCD un rectángulo y M un punto perteneciente al segmento [ CD ] . Denotemos por N el punto de intersección de las rectas ( AM ) y ( BC ) . Tenemos las siguientes medidas : AB =5 ; 5 cm ; BC =3 ; 5 cm ; CN =1 ; 5 cm Denotemos por x la longitud del segmento [ DM ] . 1 Establezcamos la igualdad : x 5 ; 5 x = 3 ; 5 1 ; 5 2 Deducimos la longitud DM . E.658 La figura de al lado se hizo a mano alzada, tenemos las sigu-ientes propiedades : el punto E pertenece a la recta ( AB ) ; el punto F pertenece a la recta ( AC ) ; las rectas ( EF ) y ( BC ) son paralelas. Determina el valor de ˇ x ı. E.655 Consideremos un paralelogramo ABCD tal que : AD = 6 cm ; CD = 4 cm ; AC = 9 cm Sea J el punto del segmento [ AB ] que cumple : AJ =1 cm . La recta paralela a la recta ( AD ) que pasa por el punto J corta la recta ( AC ) y la recta ( CD ) respectivamente en I y en K . La siguiente figura representa esta situación : 1 a Demuestra que las rectas ( IJ ) y ( BC ) son paralelas. b Determina la medida del segmento [ AI ] . 2 a Determina la medida del segmento [ KC ] . b A partir de ahí, deduce la medida del segmento [ IJ ] . Denotaremos por x la longitud del segmento [ IJ ] . E.10842 1 Resolver la ecuación : x 51 x = 1 2 2 Consideremos un parque rectangular de dimensiones 45 m × 24 m en el que se cruzan dos caminos (represen-tados por las rutas [ BD ] y [ IC ] ) : a Establecer que el camino, representado por el segmento [ BD ] , mide 51 m . b Los dos caminos se cruzan en un punto M . Determinar la distancia DM . 6. Teorema de Tales, ecuaciones y teorema de Pitágoras E.1139 1 a Dibuja un rectángulo ABCD tal que : AB = 1 ; 5 cm ; AD = 6 cm b Coloca el punto I perteneciente a [ BC ] tal que : BI = 1 3 BC . c Nombre M el punto de intersección de las rectas ( AI ) y ( CD ) . 2 Determina la longitud del segmento [ MC ] . 3 Determina la longitud del segmento [ AM ] . https://chingmath.fr chapExoCorrec/11454 sacados/11454 ABCDMN5;5cm3;5cm1;5cm chapExoCorrec/658 sacados/658 ABCEFx223 chapExoCorrec/655 sacados/655 6cm9cm4cm1cmABCDJIK chapExoCorrec/10842 sacados/10842 ABCD45m24mIM chapExoCorrec/1139 sacados/1139
ABCDE600m270m450m 4m4;8m5m6mABCDO 34;5710;5MNBCA PQZFG5;533;31;8 E.11500 Un agricultor desea cultivar un campo representado por el triángulo ABC que se muestra al lado. En la figura, que no está a es-cala, se dispone de la siguiente información : el triángulo ABC es rec-tángulo en B ; el triángulo CDE es rectángulo en D ; los puntos C , E y A están alineados ; los puntos C , D y B están alineados ; AB =600 m ; BC =450 m ; CD =270 m 1 Demuestra que el segmento [ AC ] mide 750 metros. 2 a Demuestra que las rectas ( ED ) y ( AB ) son parale-las. b Demostrar que el segmento [ DE ] mide 360 metros. 3 Demostrar que el área del triángulo CDE es 48 600 m 2 . E.5780 Una noche de luna llena, Romeo quiere visitar a Julieta. Tiene una escalera de 10 m de longi-tud. El alféizar de la ventana está a una altura de 4 ; 8 m , pero hay una pared entre él y la casa : esta pared tiene un grosor de 50 cm y una altura de 4 m . El camino que separa la pared de la casa tiene una anchura de 1 m ¾Conseguirá Romeo apoyar el extremo de la escalera en el alféizar de la ventana de Julieta? 7. Recíproco del teorema de Tales en configuración de mariposa E.666 Para la configuración siguiente, de-muestra que las rectas ( AB ) y ( CD ) son paralelas: E.653 Demuestra que las rectas ( BC ) y ( MN ) son paralelas: E.9311 Consideremos la sigu-iente configuración, que representa las configuraciones de Thales. Demuestra que las rec-tas ( FG ) y ( PQ ) son paralelas. https://chingmath.fr chapExoCorrec/11500 sacados/11500 ABCDE600m270m450m chapExoCorrec/5780 sacados/5780 chapExoCorrec/666 sacados/666 4m4;8m5m6mABCDO chapExoCorrec/653 sacados/653 34;5710;5MNBCA chapExoCorrec/9311 sacados/9311 PQZFG5;533;31;8
AFGEDCB ABCMNPR ABCDOFE2;5cm3cm5cm2;4cm4cm ABCGF 8. Teorema de Tales y recíproco en dos configuraciones de mariposa E.671 La unidad de longitud es el centímetro En la figura de al lado, que no es de tamaño real, las rectas ( BC ) y ( GF ) son paralelas. Sabemos que : AB = 3 ; CE = 2 ; 4 ; AC = 4 ; BD = 1 ; 8 BC = 4 ; 5 ; AF = 3 ; 6 1 Calcula la longitud GF . 2 ¾Son paralelas las rectas ( BC ) y ( ED ) ? Justifica. E.659 En cada una de las dos pregun-tas de este ejercicio, especifique la propiedad del curso uti-lizada . La figura de al lado no se muestra a tamaño completo. Las rectas ( BC ) y ( MN ) son paralelas. Se dan las siguientes longitudes : AB =2 ; 4 cm ; AC =5 ; 2 cm ; AN =7 ; 8 cm ; MN =4 ; 5 cm 1 Calcula las longitudes AM y BC . 2 Dadas AP =2 ; 6 cm y AR =1 ; 2 cm , demuestra que las rec-tas ( PR ) y ( BC ) son paralelas. 9. Teorema de Tales y recíproco en configuración anidada y de mariposa E.670 En la figura de al lado, las rectas ( AC ) y ( DB ) son paralelas. 1 Calcula la longitud AO . 2 ¾Son paralelas las rectas ( EF ) y ( OD ) ? Justifica tu afir-mación. E.5184 Sugerencia : la figura de abajo no es a escala real, no se debe reproducir. Los puntos A , C y F están alineados, al igual que los puntos B , C y G . Las rectas ( AB ) y ( GF ) son paralelas. Se dan las siguientes medidas : AB = 3 cm ; FC = 8 ; 4 cm ; FG = 11 ; 2 cm 1 Calcula la longitud CA . 2 Sea D el punto del segmento [ CF ] y E el punto del seg-mento [ GF ] tal que : FD = 6 ; 3 cm ; FE = 8 ; 4 cm Demuestre que las rectas ( GC ) y ( ED ) son paralelas. https://chingmath.fr chapExoCorrec/671 sacados/671 Groupe Nord - Septembre 2002 - 4 points AFGEDCB chapExoCorrec/659 sacados/659 Groupe Sud - Juin 2003 - 5 points ABCMNPR chapExoCorrec/670 sacados/670 ABCDOFE2;5cm3cm5cm2;4cm4cm chapExoCorrec/5184 sacados/5184 ABCGF
ABCDEFG ABCDEF ABCDEO OABMN E.661 La unidad es el centímetro. En la figura siguiente, las rectas ( AB ) y ( CD ) son paralelas. Las rectas ( AD ) y ( BC ) se cruzan en E . Damos : DE =6 , AE =10 , AB =20 y BE =16 . Las figuras no son de tamaño natural. No deben reproducirse. 1 Calcula la distancia CD . 2 Los puntos F y G pertenecen a los segmentos [ BC ] y [ AB ] respectivamente. Se verifican : BF = 12 ; 8 ; BG = 16 . Demostrar que las rectas ( FG ) y ( AE ) son paralelas. E.3461 La siguiente figura no es una versión a escala real. La unidad de longitud es el centímetro; damos : AB = 8 ; BC = 9 ; AC = 6 ; AE = 4 1 Las rectas ( DE ) y ( BC ) son paralelas. Calcula AD . Da su valor exacto y luego su valor redondeado al milímetro más próximo. 2 Sea F el punto tal que C , B y F están alineados en este orden, con BF =6 . Demuestra que las rectas ( EF ) y ( AB ) son paralelas. E.664 1 a Dibuja un triángulo ABC tal que : AC = 7 ; 5 cm ; BC = 10 cm ; AB = 6 cm . b Coloca E en [ AC ] tal que AE = 4 ; 5 cm y F en [ BC ] tal que BF = 6 cm . 2 ¾Son paralelas las rectas ( AB ) y ( EF ) ? Justifica. 3 Se traza la recta paralela a ( AB ) que pasa por C . Esta recta corta a ( BE ) en L . Determina CL . 10. Teorema de Tales y recíproco en la misma configuración E.673 La figura siguiente muestra el esquema de una tabla de planchar. Los segmentos [ AB ] y [ EC ] representan las patas. Las rectas ( AB ) y ( EC ) se cortan en O . Damos : AD = 125 cm ; AC = 100 cm ; OA = 60 cm OB = 72 cm ; OE = 60 cm ; OC = 50 cm 1 Demuestra que la recta ( AC ) es paralela a la recta ( EB ) . 2 Calcula la galga EB en cm . E.9312 Al lado se muestra la estructura de un taburete. La recta ( AB ) representa el suelo, los segmentos [ AM ] y [ BN ] repre-sentan los pies y el segmento [ MN ] representa el asiento del taburete. Las patas del taburete están unidas al punto O . Se dan las siguientes medidas en cen-tímetros : OA =80 menos1cm; menos1cm OM =50 menos1cm; menos1cm BN = 143 menos1cm; menos1cm ON =55 menos1cm; menos1cm AB = 72 Determinar la longitud del asiento del taburete. Indicación : se indicará de antemano que el asiento del taburete es paralelo al suelo . 11. Recíproco, teorema de Thales y magnitudes https://chingmath.fr chapExoCorrec/661 sacados/661 Groupe Est - Juin 2003 - 3 points ABCDEFG chapExoCorrec/3461 sacados/3461 ABCDEF chapExoCorrec/664 sacados/664 Groupe Sud - Juin 2003 - 4 points chapExoCorrec/673 sacados/673 Groupe Nord - Juin 2004 - 4 points ABCDEO chapExoCorrec/9312 sacados/9312 OABMN
ABCDEFG7km1;5km2km5km3;5km ABCDE ABCDE E.10840 Michel participa en un rally en bicicleta de montaña por una ruta señalizada. La ruta se muestra en líneas continuas. El dibujo no está a escala. Los puntos A , B y C están alineados. Los puntos C , D y E están alineados. Los puntos B , D y F están alineados. Los puntos E , F y G están alineados. El triángulo BCD es rectángulo en C . El triángulo DEF es rectángulo en E . 1 Demuestra que la longitud BD es igual a 2 ; 5 km . 2 Justifica que las rectas ( BC ) y ( EF ) son paralelas. 3 Calcula la longitud DF . 4 Calcula la duración total del curso. 5 Michel conduce a una velocidad media de 16 km = h para ir del punto A al punto B . Cuánto tiempo tardará en ir desde el punto A hasta el punto B . Da tu respuesta en minutos y segundos. E.10839 La regata AB = 400 ; AC = 300 ; BC = 500 ; CD = 700 Las rectas ( AE ) y ( BD ) se cruzan en C . Las rectas ( AB ) y ( DE ) son paralelas. 1 Calcular la longitud DE . 2 Demostrar que el triángulo ABC es rectángulo. 3 Calcular la medida del ángulo ABC . Redondear al grado. Durante una carrera, los competidores deben dar varias vueltas al recorrido representado arriba. Parten del punto A , luego pasan por los puntos B , C , D y E en ese orden, vuelven al punto C y regresan al punto A . Maltéo, el ganador, tardó 1 h 48 min en completar las 5 vueltas del recorrido. La distancia recorrida para dar una vuelta es 2 880 m . 4 Calcula la distancia total recorrida para completar las 5 vueltas del recorrido. 5 Calcula la velocidad media de Maltéo. Redondea al número entero más cercano. 12. Teorema recíproco de Tales y Pitágoras E.650 La figura siguiente no es de tamaño completo. No se le pide que la reproduzca. Los puntos A , C y E están alineados, al igual que los puntos B , C y D . El triángulo ABC forma ángulo recto con B . Las siguientes longitudes están expresadas en centímetros : BC = 12 ; CD = 9 ; 6 ; DE = 4 ; CE = 10 ; 4 1 Demuestra que el triángulo CDE es rectángulo en D . 2 Deduce que las rectas ( AB ) y ( DE ) son paralelas. 3 Calcula la longitud AB . E.2680 Considere un triángulo EFG tal que : EF = 6 cm ; FG = 7 ; 5 cm ; GE = 4 ; 5 cm . 1 Construya el triángulo EFG . 2 Demuestre que el triángulo EFG es rectángulo y especi-fique en qué punto. 3 Construye el punto M punto medio de [ EF ] y construye la recta paralela a [ EG ] que pasa por M ; interseca a [ FG ] en N . 4 Demuestra que N es el punto medio de [ FG ] . https://chingmath.fr chapExoCorrec/10840 sacados/10840 ABCDEFG7km1;5km2km5km3;5km chapExoCorrec/10839 sacados/10839 ABCDE chapExoCorrec/650 sacados/650 Nantes - Juin 2006 ABCDE chapExoCorrec/2680 sacados/2680
MNORS A(Départ)BCDE(Départ)400m300m1000m ABCDIJMN17cm16cm ABCMN E.2168 la figura de al lado no es de tamaño natural ; no se pide su reproducción. Los puntos N , O , R por un lado y los puntos M , O , S por otro están alineados en este orden. OS = 6 cm ; OM = 9 cm ; ON = 5 ; 4 cm ; OR = 3 ; 6 cm 1 ¾Son paralelas las rectas ( MN ) y ( RS ) ? Justifica. 2 Supongamos que SR =4 ; 8 cm . El triángulo ORS ¾es acutángulo? Justifica. 3 Utilizando teorema de Tales , calcula MN . 4 Se supondrá que las rectas ( MN ) y ( NR ) son perpendic-ulares. ¾Cuál es el área del cuadrilátero MNSR ? Justifica. E.5047 Los estudiantes participan en una carrera. Antes de la prueba, se les entrega un mapa. Se muestra en la figura siguiente : Se acuerda que : Las rectas ( AE ) y ( BD ) se cruzan en C . Las rectas ( AB ) y ( DE ) son paralelas. ABC es un triángulo rectángulo en A . Calcula la longitud real de la ruta ABCDE . Si el trabajo no se completa, deja aún un rastro de la búsqueda. Se tendrá en cuenta en la calificación. E.10841 Considere el rectángulo ABCD que se muestra a continuación con : AB = 17 cm ; AD = 16 cm Sean I y J los respectivos puntos medios de los segmentos [ AD ] y [ BC ] . Situamos el punto M en el segmento [ IJ ] de modo que el triángulo AMB sea isósceles en A . Finalmente, anotamos N el punto de intersección de las rectas ( AM ) y ( BC ) . Determina la medida del segmento [ AN ] . 13. El recíproco del teorema de Tales y la trigonometría E.10764 Consideremos el triángulo rectán-gulo ABC en C que se muestra a continuación y los puntos M y N pertenecientes a los segmentos [ BC ] y [ BA ] respecti-vamente : Tenemos las siguientes medidas : https://chingmath.fr chapExoCorrec/2168 sacados/2168 MNORS chapExoCorrec/5047 sacados/5047 Brevet Metropole Juin 2012 A(Départ)BCDE(Départ)400m300m1000m chapExoCorrec/10841 sacados/10841 ABCDIJMN17cm16cm chapExoCorrec/10764 sacados/10764 ABCMN
ABCMN 520m200m120m600mDKJAL 133209200314OZSHX AMNUVCB BM =2 ; 4 cm ; MC =1 ; 2 cm ; AC =1 ; 5 cm BN =2 ; 6 cm ; BA =3 ; 9 cm 1 Demuestra que el triángulo BMN es rectángulo en M . 2 a Determina la longitud del segmento [ MN ] . b Determina la medida del ángulo MNB redondeada al grado más próximo. E.10791 Consideramos los cinco puntos A , B , C , M , N de tal manera que el punto B es la intersección de las rectas ( AN ) y ( CM ) : Tenemos las siguientes medidas : BA =4 cm ; BC =3 ; 2 cm ; AC =2 ; 4 cm BM =2 cm ; BN =2 ; 5 cm 1 Demuestra que el triángulo BMN es rectángulo en M . 2 a Determinar la longitud del segmento [ MN ] . b Determinar la medida del ángulo MNB redondeada al grado más cercano. E.10835 En la siguiente figura, que no está a escala, se representa el recorrido que debe hacer Óscar. En el triángulo rectángulo DLA en L , el punto J pertenece al segmento [ DA ] y el punto K pertenece al segmento [ DL ] . Se da : DL =600 cm ; KJ =200 m ; DJ =520 m ; KL =120 m 1 Demostrar que la longitud DK es igual a 480 m . 2 Justificar que el triángulo DKJ es rectángulo en K . 3 Demostrar que el segmento [ DA ] mide 650 m . 4 Calcular la longitud del trayecto DKJA , marcado con una flecha en la figura. 5 Un fotógrafo coloca una cámara en el punto D . Para fil-mar toda la carrera sin mover la cámara, el ángulo LDA debe ser inferior a 25 o . ¾Es así? 14. Contraposición del teorema de Tales E.667 Demuestra que las rectas ( OZ ) y ( HS ) no son paralelas: E.657 Un carpintero acaba de crear el siguiente armario. El tablero [ CB ] se asienta directamente sobre el suelo. Anotó las siguientes dimensiones : AC = 2 m ; AB = 2 ; 5 m ; AM = 0 ; 4 m CU = 0 ; 8 m ; AN = 0 ; 6 m ; V B = 1 m 1 ¾Está el tablero MN en posición horizontal? 2 La misma pregunta para el tablero UV . 15. Ejercicios no clasificados E.5441 https://chingmath.fr chapExoCorrec/10791 sacados/10791 ABCMN chapExoCorrec/10835 sacados/10835 Juillet 2024 Martinique 520m200m120m600mDKJAL chapExoCorrec/667 sacados/667 133209200314OZSHX chapExoCorrec/657 sacados/657 AMNUVCB chapExoCorrec/5441 sacados/5441
ABCDEFSH ABCEJHM BFHJK4;2m7;5m9;3m12;4m10m On quiere hacer un tipi en forma de pirámide con base de rectángulo ABCD con centro H y altura [ SH ] (ver diagrama belowcontre) . El tipi tendrá las siguientes di-mensiones : AD = 1 ; 60 m CD = 1 ; 20 m SH = 2 ; 40 m 1 Calcular el volumen V de esta pirámide, en m 3 . Recordemos que V = 1 3 × B × h donde h denota la altura y B el área de la base. 2 Calculer la longitud BD . 3 El armazón del tipi, formado por el armazón rectangular ABCD y los cuatro bordes laterales de S , está hecho de palos de bambú. En esta pregunta no se espera demostración escrita. Bas-tará con citar una propiedad y presentar claramente un cálculo. a Muestre que : SD =2 ; 60 m b On añada una varilla [ EF ] al armazón como se muestra en el dibujo de forma que ( EF ) == ( AD ) y SF =1 ; 95 m . Calcula EF . 4 Tallos de bam de 3 m se encontraron en una tienda. Se puede cortar una caña para hacer dos palos, pero no se puede hacer un palo pegando dos trozos de bambú. ¾Cuántas cañas de bam necesitas comprar, como mín-imo, para hacer los nueve palos para el armazón del tipi? E.663 Consideremos el triángulo ABC siguiente, tal que : AB = 6 cm ; AC = 10 cm ; BC = 8 cm Sea E el punto de [ AC ] tal que AE =4 cm y J el punto de [ BC ] tal que CJ =2 ; 4 cm . Sea H el punto medio de [ EC ] y M el punto de intersección de las rectas ( BE ) y ( JH ) . (en la figura no se respetan las cotas) 1 Demuestra que las rectas ( JH ) y ( AB ) son paralelas. 2 Deduce de aquí el cálculo de la longitud HM . E.10837 En la configuración siguiente, los pun-tos F , B , J y los puntos H , B , K están alineados : Establece que las rectas ( HF ) y ( KJ ) son paralelas. E.10838 Un turista sube a lo alto del Arco del Triunfo de París : Al retroceder 2 m desde el borde del Arco del Triunfo, se da cuenta de que ha alineado perfectamente su visión con el borde del monumento y la base de una farola que se encuentra al mismo nivel que el monumento. Se estima que sus ojos se encuentran a una altura de 1 m 70 del suelo. Una vez bajado, mide que la distancia entre el borde del mon-umento y el borde de la farola es de 58 ; 2 m . Determina la altura del monumento, redondeada al decímetro más cercano. Indicación : se tendrán en cuenta todos los pasos de inves-tigación y redacción en la evaluación. https://chingmath.fr ABCDEFSH chapExoCorrec/663 sacados/663 ABCEJHM chapExoCorrec/10837 sacados/10837 BFHJK4;2m7;5m9;3m12;4m10m chapExoCorrec/10838 sacados/10838
OABDEFC ABCDE ABCDE E.10973 En la siguiente figura, tenemos : C es un círculo con centro O y radio 4 ; 5 cm ; [ AB ] es un diámetro de este círculo y D es un punto del círculo; Los puntos B , E , A están alineados, al igual que los pun-tos D , F , A ; Las rectas ( BD ) y ( EF ) son paralelas; BD = 5 ; 4 cm ; DA = 7 ; 2 cm ; AE = 2 ; 7 cm 1 Justificar que el diámetro [ AB ] mide 9 cm . 2 Demostrar que el triángulo ABD es rectángulo en D . 3 Calcular AF . 4 a Justificar que el área del triángulo ABD es igual a 19 ; 44 cm 2 . b Calcular el área del disco, redondeada al centésimo. Indicación : se utilizará: ı 3 ; 1416 5 ¾Qué porcentaje del área del disco representa el área del triángulo ABD ? E.11546 El jardín botánico de una ciu-dad puede representarse mediante el cuadrilátero ABCD sigu-iente : Se sabe que : AB = 500 m ; BE = 250 m ; DE = 750 m los segmentos [ AC ] y [ BD ] se cortan en el punto E . La figura adjunta no está a escala . 1 ¾Cuál es la longitud del segmento [ BD ] ? 2 Razonando en el triángulo rectángulo ABD , demuestre que la longitud del segmento [ AD ] , redondeada al metro, es igual a aproximadamente 866 m . 3 a Calcule el seno del ángulo EAB . b Deduzca la medida en grados del ángulo EAB . 4 a Demuestre que las rectas ( AB ) y ( DC ) son parale-las. b Demuestre que la longitud del segmento [ CD ] es igual a 1 500 m . 5 Un peatón da la vuelta al jardín botánico caminando a una velocidad media de 1 ; 1 m = s . Lee en su mapa que la longitud del segmento [ BC ] es aproximadamente igual a 1 323 m . ¾El tiempo que tarda el peatón en dar la vuelta al jardín botánico es inferior a una hora? E.11547 Consideremos el triángulo ACE sigu-iente, en el que los puntos B y D pertenecen respectivamente al segmento [ AC ] y al segmento [ CE ] . Se dan las medidas : AB = 9 m ; BC = 6 m ; AE = 8 m ; CE = 17 m 1 Justificar que el triángulo ACE es rectángulo en A . 2 Justificar que las rectas ( AE ) y ( BD ) son paralelas. 3 Determinar la medida del segmento [ CD ] . https://chingmath.fr chapExoCorrec/10973 sacados/10973 Metropole 2024 OABDEFC chapExoCorrec/11546 sacados/11546 ABCDE chapExoCorrec/11547 sacados/11547 ABCDE
ABC2;5m2m1;5m ABCIJ(AB==(IJ ABCO(d1(d2 ABCI ABCOOcentre du cercle ABC EFG AEFRT E.1031 En cada una de las figuras que apare-cen a continuación se pueden obtener nuevas propiedades. En cada caso, ¾qué teorema se puede utilizar para afirmar la ex-istencia de estas nuevas propiedades? a b c d e E.652 1 Considera las dos semirrectas [ AC ) y [ AB ) . Los puntos representados en la semirrecta [ AC ) se dis- tribuyen por igual en ella. a Nombra N uno de los puntos representados en la semir-recta [ AC ) . b Dibuja la paralela a la recta ( BC ) que pasa por N . Nombra M el punto de intersección de esta paralela con la semirrecta [ AB ) . c Sustituye los valores ˇ en gris ı, presentes en la siguiente tabla, por la medida del segmento asociado: [ AB ] [ AC ] [ BC ] [ AM ] [ AN ] [ MN ] d ¾Qué podemos decir de la tabla anterior? e Comprueba si la igualdad de abajo es cierta o no : AM AB = AN AC = MN BC 2 Considera el triángulo EFG de abajo y construye un ˇ ampli ı y comprueba algunas propiedades de estos dos triángulos : a Sitúa el punto P sobre la semirrecta [ EF ) y el punto Q sobre la semirrecta [ EG ) tales que : EP = 2 ; 5 × EF ; EQ = 2 ; 5 × EG . b ¾Qué se puede decir de las rectas ( FG ) y ( PQ ) ? c Compara las medidas de [ FG ] y [ PQ ] . E.8934 Considera la figura de al lado, dibujada a mano alzada y no a escala. Se da la siguiente información : Las rectas ( ER ) y ( FT ) se cortan en A . AE =8 cm , AF =10 cm , EF =6 cm AR =12 cm , AT =14 cm 1 Demuestra que el triángulo AEF es rectángulo en E . 2 ¾Son paralelas las rectas ( EF ) y ( RT ) ? https://chingmath.fr chapExoCorrec/1031 sacados/1031 ABC2;5m2m1;5m ABCIJ(AB==(IJ ABCO(d1(d2 ABCI ABCOOcentre du cercle chapExoCorrec/652 sacados/652 ABC EFG chapExoCorrec/8934 sacados/8934 AEFRT