ESO 4 / Aritmética: divisores, números enteros primos 73 ejercicios (incluyendo 72 corregidos)

a
13:::×31144×3:::15:::×3165×3:::17:::×32186×3:::19:::×31206×3::: ChingQuizz : 5 ejercicios disponibles para la evaluación de QCM : 1. Enteros, divisores, múltiplos E.8244 Completa la tabla con cruces para indicar si los números enteros mostrados son divisibles por 2, 3, 5 ó 9. Entiers 123 504 205 1433 2430 Divisible por 2 Divisible por 3 Divisible por 5 Divisible por 9 E.8245 1 Expresa las fracciones siguientes en forma irreducible : a 14 26 b 66 27 c 15 55 d 56 40 2 Realiza las operaciones siguientes simplificando previa-mente cada uno de los términos del cálculo: a 15 25 + 9 15 b 42 14 − 36 12 E.8243 L el número entero 10 tiene 4 divisores que son : 1 ; 2 ; 5 ; 10 . Completa la siguiente tabla : Entier x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Nombre de diviseurs de x 4 E.8250 Cuál de los siguientes números ad-mite exactamente 5 divisores : 10 25 35 81 125 E.8251 Cuál de los siguientes números ad-mite exactamente 4 divisores : 24 28 49 64 343 E.10545 Soy un número divisible por 5 y por 7 , soy menor que 100 y tengo 8 divisores. ¾Quién soy? E.8252 Soy un número divisible por 6 y por 21 , soy menor que 100 y tengo 8 divisores. ¾Quién soy? E.8246 En este ejercicio, cualquier rastro de investigación, aunque sea incompleto, o cualquier iniciativa, aunque no haya dado fruto, se tendrá en cuenta en la evaluación. ˇ El número oculto : Soy un número entero comprendido entre 100 y 400. Soy par. Soy divisible por 11. También tengo 3 y 5 como divisores. ¾Quién soy? ı. Explica un método para encontrar el número oculto y da su valor. E.11744 1 Compléter les pointillés: 2 Que peut-on dire de l’écriture des nombres multiples de 3 ? 2. Números enteros pares e impares E.1771 1 a Realiza las divisiones euclidianas siguientes (y no las divisiones decimales) y completa la relación indicada debajo de cada una de ellas: 1 5 2 más1cm menos-1cm2 8 2 más1cm menos-1cm1 3 1 2 más1cm menos-1cm2 0 6 2 b Completa las relaciones siguientes en relación con la pregunta a : • 15 = : : : × 2 + : : : • 28 = : : : × 2 + : : : • 131 = : : : × 2 + : : : • 206 = : : : × 2 + : : : 2 ¾Qué se puede decir del resto de la división euclidiana por 2 de un número par? ¾Y del resto de la división euclidiana por 2 de un número impar? https://chingmath.fr chapExoCorrec/8244 sacados/8244 chapExoCorrec/8245 sacados/8245 chapExoCorrec/8243 sacados/8243 chapExoCorrec/8250 sacados/8250 chapExoCorrec/8251 sacados/8251 chapExoCorrec/10545 sacados/10545 chapExoCorrec/8252 sacados/8252 chapExoCorrec/8246 sacados/8246 sacados/11744 13:::×31144×3:::15:::×3165×3:::17:::×32186×3:::19:::×31206×3::: chapExoCorrec/1771 sacados/1771
E.8261 Completa las dos tablas de doble entrada siguientes : + Pair Impair Pair Impair × Pair Impair Pair Impair E.8259 Completa las siguientes frases sin justificar utilizando las palabras par , impar , cualquiera . a La suma de dos enteros pares es un número entero . . . . . . b La suma de dos enteros impares es un entero . . . . . . c El producto de dos enteros impares es un entero . . . . . . d El producto de un entero par por un entero impar es un entero . . . . . . E.8267 Diga, sin justificación, si las sigu-ientes afirmaciones son verdaderas, falsas o indecidibles : 1 La suma de dos enteros impares es un entero par. 2 El producto de un entero par por un entero impar es par. 3 El producto de dos enteros consecutivos es un entero par. 4 La suma de cinco enteros consecutivos es múltiplo de 5. E.8361 Recordatorio : paridad de operaciones : + Par Impar Par Par Impar Impar Impar Par × Par Impar Par Par Par Impar Par Impar Sea a un número entero tal que el entero a 2 +9 es un número par. ¾Qué se puede decir de la paridad del entero a ? Justifique su respuesta. 3. Paridad y manipulaciones algebraicas E.8256 ½ 1 a Sea k y k dos enteros relativos ( k; k ∈ Z ) , expande y reduce la expresión : 2 · k +1 2 · k +1 b Deduce la paridad del producto de dos enteros impares. 2 Deduce la paridad del cuadrado de un número impar. E.3027 Demuestra que la suma de cuatro números enteros consecutivos es un número entero par. E.9468 Demuestre que, para cualquier en-tero impar n , la expresión : 3 · n 2 +2 · n +1 define un entero par. E.9469 Demuestre que, para cualquier número entero n , la expresión : n 2 +3 · n es un número entero par. E.233 En este ejercicio, utilizaremos el hecho de que cualquier número natural par (resp. impar) se escribe como 2 × n (resp. 2 × n +1 ) donde n es un número natural. Demuestra las siguientes afirmaciones : 1 La suma de dos enteros impares es un entero par. 2 El producto de un entero par por un entero impar es par. 3 El producto de dos enteros consecutivos es un entero par. 4 La suma de cinco enteros consecutivos es múltiplo de 5. E.11259 Consideremos el entero A definido por: A = ( n + 1) 2 − ( n − 1) 2 donde n ∈ N . Demuestra que, para todo entero n , el entero A es un múltiplo de 4 . E.11291 1 Copie y complete los puntos para que la expresión de la izquierda sea igual a la de la derecha : 2 · k + 1 2 = 2 : : : : : : : : : + 1 2 La identidad de la pregunta anterior permite afirmar : " El cuadrado de . . . . . . . . . es un número entero . . . . . . . . . " Recopiar y completar la frase anterior. E.11445 Sean a y b dos números enteros im-pares. Demuestre que el número entero a 2 + b 2 +6 es múltiplo de 8 . E.11257 Demostrar que el número entero an-terior al cuadrado de cualquier número impar es un múltiplo de 4 . Indicación : el objetivo de este ejercicio es generalizar la siguiente observación: 3 2 − 1=8=2 × 4 ; 5 2 − 1=24=6 × 4 ; 7 2 − 1=48=12 × 4 9 2 − 1=80=20 × 4 ; 11 2 − 1=30 × 4 ; 13 2 − 1=42 × 4 https://chingmath.fr chapExoCorrec/8261 sacados/8261 chapExoCorrec/8259 sacados/8259 chapExoCorrec/8267 sacados/8267 chapExoCorrec/8361 sacados/8361 chapExoCorrec/8256 sacados/8256 chapExoCorrec/3027 sacados/3027 chapExoCorrec/9468 sacados/9468 chapExoCorrec/9469 sacados/9469 chapExoCorrec/233 sacados/233 chapExoCorrec/11259 sacados/11259 chapExoCorrec/11291 sacados/11291 chapExoCorrec/11445 sacados/11445 chapExoCorrec/11257 sacados/11257
ABCxyx E.9479 Consideremos el triángulo rectán-gulo ABC en B , representado a continuación, tal que BC = AB +2 y sus medidas sean enteras : Modelamos la situación anotando AB = x y AC = y . 1 a Expresar y 2 en función de x en forma de expresión desarrollada y reducida. b Deduzca que el número entero y es par. 2 a Justificar que 2 · x 2 +4 · x +4 es un múltiplo de 4 . b Deduzca que el número entero x es par. 3 Completar el algoritmo siguiente que nos da los valores de x y y (con y< 1000 ) realizando las dimensiones de este triángulo: import math for x in range(...): y=math.sqrt(...) if math.floor(...)==...: print(x,y) E.8260 1 Sea M un número natural impar no primo. Supongamos que M = a 2 − b 2 , donde a y b son dos números naturales. Demostrar que a y b no tienen la misma paridad. 2 Sea N un entero que admite la factorización: N = p × q Supongamos que esta factorización está relacionada con dos números enteros a y b que permiten la identidad : p = ( a + b ) ; q = ( a − b ) a Expresar los números enteros a y b en función de p y q . b Justificar que los números enteros p y q tienen la misma paridad. c Deducir la escritura del número entero N en forma de diferencia de cuadrados, en función de p y q . 3 Escribir, en tres formas diferentes, el entero 63 como sus-tracción de cuadrados. E.9470 Demostrar que para todo entero k , el entero k 2 + k es par. 4. Números primos E.1721 El cribado de Eratóstenes ( III ième siglo a. C.) permite encontrar fácilmente los números primos a partir de una lista. 1 a Justifica que 2 es un número primo. b En la tabla siguiente, marque con una cruz todas las casillas cuyo número entero sea múltiplo de 2 (no mar-que la casilla ˇ 2 ı) . 2 a Justifique que 3 es un número primo. b En la tabla siguiente, marque con una X todas las casil-las cuyo número entero sea múltiplo de 3. (No marque la casilla ˇ 3 ı) . 3 a La casilla blanca siguiente a la casilla del 3 es la casilla del 5: justifique, basándose en esta observación, que 5 es un número primo. b Marque todas las casillas que sean múltiplos de 5, ex-cepto la casilla ˇ 5 ı. 4 a En la tabla siguiente, ¾cuál es la casilla blanca que sigue a ˇ 5 ı? Justifique también, utilizando la observación de la tabla, que 7 es un número primo. b Marca con una X todos los múltiplos del número entero 7 en la tabla (excepto la casilla ˇ 7 ı) . 5 Continúa el trabajo para marcar con una X en la tabla todos los números enteros no primos presentes entre los números enteros del 1 al 100. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 https://chingmath.fr chapExoCorrec/9479 sacados/9479 ABCxyx chapExoCorrec/8260 sacados/8260 chapExoCorrec/9470 sacados/9470 chapExoCorrec/1721 sacados/1721
60 84 E.8253 Definición : El conjunto de los números enteros positivos o cero se denomina conjunto de los números naturales y se denota N . Así : N = 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; : : : Se dice que un entero natural n ( n ∈ N ) es un entero primo si solo admite dos divisores : 1 y él mismo. El entero 7 es un entero primo, ya que admite como divisores : 1 y 7 . El entero 9 no es un entero primo, ya que admite 3 divisores : 1 , 3 y 9 . 1 Justifica que los números 32 y 63 no son números primos. 2 Justifica que el número 17 es un número primo. E.1722 Se dice que un número natural es primo si sólo admite como divisores a 1 y a sí mismo : 3 es un número primo porque sus únicos divisores son 1 y 3 . 1 ¾Cuál de los siguientes números enteros es primo? 2 ; 4 ; 7 ; 12 2 Dar todos los enteros primos del 1 al 25. E.8248 1 Nombra los diez números enteros primos menores o iguales que 30 . 2 Cuáles de los siguientes números son enteros primos. 33 47 51 28 39 49 85 E.8255 Justifica que cada una de las frases siguientes es una afirmación falsa : 1 La suma de dos enteros primos es un entero primo. 2 La diferencia de dos enteros primos es un entero primo. 3 El producto de dos enteros primos es un entero primo. 5. Descomposición en productos de factores primos E.240 Vamos a estudiar el algoritmo para descomponer números enteros en productos de factores pri-mos. 1 Nombre los ocho enteros primos menores que 20. La tabla de al lado muestra el algo-ritmo para descomponer 30 en un producto de factores primos : La columna de la izquierda representa el entero 30 y los co-cientes sucesivos obtenidos. 30 2 30 ÷ 2 = 15 15 3 15 ÷ 3 = 5 5 5 5 ÷ 5 = 1 1 La columna de la derecha representa los divisores utiliza-dos ; observe que sólo se utilizan enteros primos. El algoritmo se detiene cuando se obtiene 1 en la columna de la izquierda. 2 a Justifique, a la vista de la tabla anterior, la siguiente igualdad : 30 2 3 5 = 1 b Sea x un número real y a , b y c tres números reales distintos de cero, establezca la siguiente igualdad : x a b c = x a × b × c c Deduzca de las preguntas anteriores, que la descom-posición en factores primos de 30 es : 30 = 2 × 3 × 5 E.7122 1 Utiliza el algoritmo anterior para determinar la descom-posición en factores primos de los siguientes enteros : a 84 b 144 c 140 d 196 2 Deduce la descomposición en producto de factores primos de los siguientes productos : a 84 × 144 b 140 × 196 E.255 Dar la descomposición en productos de factores primos de los tres enteros siguientes : a 16 × 25 b 34 × 12 c 72 × 18 × 10 d 32 × 121 6. Producto de factores primos, divisores y múltiplos E.11288 1 Dar la descomposición en producto de factores primos de los enteros 60 y 84 . 2 Deducir la descomposición en producto de factores pri- https://chingmath.fr chapExoCorrec/8253 sacados/8253 chapExoCorrec/1722 sacados/1722 chapExoCorrec/8248 sacados/8248 chapExoCorrec/8255 sacados/8255 chapExoCorrec/240 sacados/240 chapExoCorrec/7122 sacados/7122 chapExoCorrec/255 sacados/255 chapExoCorrec/11288 sacados/11288 60 84
mos de 5040 . Indicación , Se observará que : 60 × 84 = 5040 E.9578 Esta es la descomposición en factores primos del entero 360 : 360 = 2 3 × 3 2 × 5 1 Justifique que los siguientes enteros son divisores de 360 : a 2 1 × 3 2 b 2 × 5 c 2 2 × 3 0 × 5 2 Entre los siguientes números enteros, ¾cuáles son divi-sores de 360? a 2 0 × 3 0 × 5 0 b 2 4 × 3 c 2 × 5 2 d 2 3 × 3 2 × 5 3 ¾Qué condiciones, en cuanto a los exponentes, se pueden dar al número entero 2 n × 3 n × 5 p para que sea divisor de 360? 7. Producto de factores primos y reducción de fracciones E.8424 1 Dar la descomposición en producto de factores primos de los números 60 y 450 . 2 Deduce la expresión simplificada del cociente 60 450 3 Realiza la suma : 1 60 + 1 450 E.234 1 Exprese la descomposición en factores primos de los números enteros 108 y 30 . 2 Explique su razonamiento para las dos preguntas sigu-ientes : a Simplifique la fracción 30 108 . b Realice la resta siguiente y dé el resultado en forma de fracción irreducible : 5 108 − 7 30 E.1805 1 Dar la descomposición en producto de factores primos de los enteros 20 y 135. 2 Contesta a las preguntas siguientes, justificando el planteamiento o indicando los pasos en los cálculos : a Simplifica la fracción 20 135 . b Realiza la siguiente resta : 7 20 − 8 135 E.9529 1 Da la descomposición en producto de factores primos del entero 36 . 2 Se da la siguiente descomposición en producto de factores primos : 56=2 3 × 7 a Da el máximo común divisor de 36 y 56 . b Deduzca la expresión reducida de la expresión 36 56 3 Se da la siguiente descomposición en producto de factores primos : 42=2 × 3 × 7 a Dé los valores de los números naturales a , b , c tales que el entero n =2 a × 3 b × 7 c sea el menor múltiplo de 36 y 42 . b Deduzca la suma de : 1 36 + 1 42 E.3361 1 Dar la descomposición en productos de factores primos de los siguientes enteros : a 2 016 b 2 100 c 864 2 Realiza las siguientes operaciones y da el resultado de forma simplificada : a 2 016 2 100 b 1 2 100 + 1 864 8. Potencia nominal E.7123 1 Dar la descomposición en productos de los factores pri-mos de los enteros : 16 ; 24 2 a Determina la descomposición en factores primos del producto : 16 × 24 . b Determina la descomposición en factor primo del pro-ducto : 16 3 × 24 2 . 3 Determina la descomposición en producto de factores pri-mos del cociente : 24 5 16 2 . E.9466 Simplifica la escritura de los sigu-ientes números enteros en forma de producto de factores pri-mos : a 18 × 15 2 × 9 × 82 b 9 2 × 15 − 2 × 4 4 E.3362 Simplifica la escritura de los sigu-ientes enteros como producto de factores primos : a 5 × 3 4 × 12 2 21 2 × 15 3 https://chingmath.fr chapExoCorrec/9578 sacados/9578 chapExoCorrec/8424 sacados/8424 chapExoCorrec/234 sacados/234 chapExoCorrec/1805 sacados/1805 chapExoCorrec/9529 sacados/9529 chapExoCorrec/3361 sacados/3361 chapExoCorrec/7123 sacados/7123 chapExoCorrec/9466 sacados/9466 chapExoCorrec/3362 sacados/3362
20305020×30×5015120×30×515315020×31×5035120×31×5115325020×32×5095120×32×514521305021×30×5025121×30×5110315021×31×5065121×31×5130325021×32×50185121×32×519022305022×30×5045122×30×5120315022×31×50125122×31×5160325022×32×50365122×32×5118023305023×30×5085123×30×5140315023×31×50245123×31×51120325023×32×50725123×32×51360 E.26 1 Indica si los siguientes números son cubos de un número natural : a 9 b 27 c 3 3 × 7 3 d 11 9 × 19 6 × 67 3 e 2 2 × 5 3 × 11 2 a Halla el número b tal que 180 × b sea el cubo de un número natural b ¾Es único este número b ? E.235 Utilizando la descomposición en pro- ductos de factores primos, escribe los números siguientes de la forma : 2 m × 3 n × · · · donde los exponentes son enteros relat-ifs . a 9 24 b 28 2 32 c 81 × 6 4 27 2 × 7 5 d 38 2 × 11 6 5 × 4 4 × 19 E.9467 Simplifica la escritura de los sigu-ientes cocientes en forma de producto de factores primos : a 5 2 × 3 2 5 5 · 3 4 + 3 4 b 2 2 × 5 − 4 2 21 + 2 22 9. Enteros y divisores E.260 El árbol de decisión que se muestra a continuación se puede utilizar para obtener todos los 24 divisores del entero 360 . A partir de este ejemplo, determina el conjunto de divisores de los siguientes enteros : a 12 b 135 E.9530 Consideremos el número entero: a =156 1 Dar la descomposición en producto de factores primos del número a . 2 a Justifica que 2 2 × 17 no puede ser divisor de a . b Justifique que el entero 2 2 × 3 2 no es divisor de a . 3 Dar el conjunto de divisores del entero a . Recordatorio : los enteros primos menores que 20 son : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 E.276 1 Determinar la descomposición de 245 en un producto de factores primos. 2 Utilizar un árbol de elección, para determinar el conjunto de divisores de 245. E.9536 1 Dar la descomposición en producto de factores primos del entero 306 . 2 Dar el conjunto de divisores del entero 306 . 10. En profundidad: paridad y razonamiento por el absurdo E.8257 1 Demuestra que la siguiente afirmación es cierta: ˇ No existe ningún número entero impar que admita un divisor par ı? Indicación : Para demostrar esta afirmación, supongamos que existe un número entero n que admite un divisor k par. Basta entonces con demostrar que esta suposición conduce a una contradicción : por lo tanto, esta suposición no puede ser cierta. 2 ¾Qué opinas de la afirmación : ˇ Un número entero par no admite divisores impares ı? 11. En profundidad: paridad y razonamiento por disyunción de casos E.8360 Demostrar que la suma de dos en-teros con la misma paridad es un entero par. Pista: para ello, estudiaremos por separado : la suma de dos enteros pares y la suma de dos enteros impares. https://chingmath.fr chapExoCorrec/26 sacados/26 chapExoCorrec/235 sacados/235 chapExoCorrec/9467 sacados/9467 chapExoCorrec/260 sacados/260 20305020×30×5015120×30×515315020×31×5035120×31×5115325020×32×5095120×32×514521305021×30×5025121×30×5110315021×31×5065121×31×5130325021×32×50185121×32×519022305022×30×5045122×30×5120315022×31×50125122×31×5160325022×32×50365122×32×5118023305023×30×5085123×30×5140315023×31×50245123×31×51120325023×32×50725123×32×51360 chapExoCorrec/9530 sacados/9530 chapExoCorrec/276 sacados/276 chapExoCorrec/9536 sacados/9536 chapExoCorrec/8257 sacados/8257 chapExoCorrec/8360 sacados/8360
r749-0 E.9532 Demuestra que la diferencia entre los cuadrados de dos enteros consecutivos es siempre un entero impar. E.1847 Queremos demostrar que la expre-sión A = n 2 + n +2 define un número par para todo número natural n ( n ∈ N ) . Para ello, desglosamos el razonamiento en dos preguntas : 1 Cuando n es un número entero par, demostrar que la expresión A define un número entero par. 2 Cuando n es un número entero impar, demostrar que la expresión A define un número entero par. E.8263 Consideremos un entero relativo a ( a ∈ Z ) , tal que el entero a 2 +9 es un entero par. Dar la pari-dad del entero a . E.65 Demuestre que 3 n 2 +3 n +6 es múltiplo de 6 para todo n ∈ N E.8262 Demostrar que, en el conjunto de los enteros relativos, el antecesor del cuadrado de cualquier entero impar es múltiplo de 8 . Pista : inicialmente, demostraremos que este número entero es múltiplo de 4 , luego, por una disyunción de casos, de-mostraremos que es necesariamente múltiplo de 8 . . E.8258 1 Para cualquier entero relativo n ( n ∈ Z ) , considere la ex-presión : p =2 · n 2 +3 · n +3 a Si n es par, demuestre que la expresión p define un número entero impar. Pista : un entero par n se escribe 2 · k donde k ∈ Z b Demuestre que, si n es impar, la expresión p define un entero par. 2 Justifica que la expresión n 2 + n +3 define un entero impar para cualquier entero relativo n . 12. En profundidad: criterios de primalidad E.8247 Se admiten las dos proposiciones siguientes : Proposición (admitida) : Sea n un número natural ( n ∈ N ) . Si n no es un número primo, entonces existe al menos un número primo p di-visor de n tal que p está comprendido entre 2 y n . Proposición contrapositiva : Sea n un número natural ( n ∈ N ) . Si el número n no tiene ningún divisor p primo comprendido entre 2 y n , entonces el número n es primo. 1 Utilicemos la propuesta : a Enumerar todos los números primos comprendidos en-tre 2 y 143 . b Justificar que el número 143 no es un número primo. 2 Utilizando la proposición contrapuesta : a Enumera todos los números enteros primos compren-didos entre 2 y 157 . b Justifica que el número 157 es un número entero primo. 3 En la lista de números que aparece a continuación, tache los números que no son números primos : 93 119 253 383 399 631 Para ver la demostración de la ˇ propuesta ad-mitida ı, , siga el enlace adjunto r749-0 E.1783 Determina si los números enteros que aparecen a continuación son primos o no. Justifica tu razonamiento. a 251 b 623 E.8254 Entre los enteros estricta-mente menores que 1 000 , dar el mayor número entero primo. E.1727 El objetivo de este ejercicio es es-tablecer la siguiente proposición : Proposición: Todo número natural n no primo admite un divisor primo comprendido en el intervalo 2 ; n . Para ello, tomemos un número natural x no primo ; entonces existen dos números naturales a y b mayores o iguales a 2 tales que : x = a × b Supongamos que a es menor que b (Esto es posible invirtiendo, si es necesario, el papel de ˇ a ı y ˇ b ı) Para demostrar que a pertenece al intervalo 2 ; x , vamos a hacer un razonamiento por el absurdo. Para ello, supongamos que el entero pertenece al intervalo x ; + ∞ 1 Justificar la siguiente desigualdad : a × b>x 2 Deducir que : a ∈ 2 ; x . La demostración termina por el hecho de que a es un divisor de x perteneciente al intervalo 2 ; x : o bien a es primo ; o bien a no es primo y a admite entonces divisores pri-mos ; estos divisores serán también divisores primos de x pertenecientes al intervalo considerado. 13. Máximo común divisor: descomposición en producto de factores primos https://chingmath.fr chapExoCorrec/9532 sacados/9532 chapExoCorrec/1847 sacados/1847 chapExoCorrec/8263 sacados/8263 chapExoCorrec/65 sacados/65 chapExoCorrec/8262 sacados/8262 chapExoCorrec/8258 sacados/8258 chapExoCorrec/8247 sacados/8247 r749-0 chapExoCorrec/1783 sacados/1783 chapExoCorrec/8254 sacados/8254 chapExoCorrec/1727 sacados/1727
E.10653 Método: Sean a y b dos números enteros cuya descomposi-ción en factores primos se conoce. La descomposición en producto de factores primos de PGCD( a , b ) verifica: sus factores son los factores comunes a cada una de las descomposiciones de a y b . el exponente de cada uno de sus factores es el expo-nente más pequeño de ese factor que se encuentra en las descomposiciones de a y b . Ejemplo : para a = 36 y b = 60 , tenemos : a = 2 2 × 3 3 ; b = 2 2 × 3 × 5 Así, la descomposición de PGCD( 32 , 60 ) verifica: sus factores son 2 y 3 . El exponente del factor 2 es 2 ; el exponente del factor 3 es 1 . De ello se deduce el valor de : PGCD (36 ; 60) = 2 2 × 3 1 = 4 × 3 = 12 1 a Determinar la descomposición en producto de fac- tores primos de 126 . b Determinar la descomposición en producto de factores primos de 108 . 2 Deducir el valor PGCD (126 ; 108) . E.10693 1 Determinar la descomposición en producto de factores primos de los enteros 168 y 192 . 2 Deducir la PGCD de los enteros 168 y 192 . E.10694 1 Determinar la descomposición en factores primos de los números enteros 162 y 378 . 2 Deduzca el MCD de los números enteros 162 y 378 . E.10700 1 Determinar la descomposición en producto de factores primos de los enteros 171 y 228 . 2 Deducir la PGCD de los enteros 171 y 228 . E.10576 1 Determinar las descomposiciones en producto de factores primos de los enteros 756 y 792 . 2 Deducir la PGCD de los enteros 756 y 792 . 14. Mínimo común múltiplo con descomposición E.10662 Método: Sean a y b dos números enteros cuya descomposi-ción en factores primos se conoce. La descomposición de PPCM ( a;b ) tiene las siguientes car-acterísticas : el conjunto de factores contenidos en las descomposi-ciones de a y b los exponentes de cada uno de estos factores es el expo-nente máximo encontrado en las descomposiciones de a y b . Ejemplo : para 12 = 2 2 × 3 et 15 = 3 × 5 . el PPCM ( a;b ) tiene como factores 2 , 3 y 5 . el PPCM ( a;b ) recupera los exponentes más grandes de la descomposición de 12 y 15 . Tenemos : PPCM (12 ; 15) = 2 2 × 3 1 × 5 1 = 4 × 3 × 5 = 60 . 1 Determinar la descomposición en producto de factores primos de 20 y 75 . 2 Deducir el valor de PPCM (20 ; 75) . E.10895 1 Determinar las descomposiciones en producto de factores primos de los enteros 252 y 336 . 2 Deduce el valor del PPCM de los enteros 252 y 336 . E.10896 1 Determinar la descomposición en factores primos de los números enteros 336 y 840 . 2 Deduzca el mínimo común múltiplo de los números en-teros 336 y 840 . E.10897 1 Determinar la descomposición en producto de factores primos de los enteros 448 y 560 . 2 Deducir el mínimo común múltiplo a los enteros 448 y 560 . 15. Ejercicios no clasificados E.9584 Entre los siguientes números enteros, di si son primos o no. Justifica tus respuestas : a 903 b 167 https://chingmath.fr chapExoCorrec/10653 sacados/10653 chapExoCorrec/10693 sacados/10693 chapExoCorrec/10694 sacados/10694 chapExoCorrec/10700 sacados/10700 chapExoCorrec/10576 sacados/10576 chapExoCorrec/10662 sacados/10662 chapExoCorrec/10895 sacados/10895 chapExoCorrec/10896 sacados/10896 chapExoCorrec/10897 sacados/10897 chapExoCorrec/9584 sacados/9584