ESO 4 / Colinealidad y paralelismo 106 ejercicios corregidos

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ChingQuizz : 9 ejercicios disponibles para la evaluación de QCM : 1. Vectores opuestos y restas E.8530 Definición : Sea −→ u un vector. Se denomina vector opuesto al vector −→ u al vector denotado por − −→ u definido por: la misma dirección que el vector −→ u el sentido opuesto al vector −→ u la misma longitud que −→ u En el plano, consideramos los vectores 7 siguientes : 1 Nombra el vector o vectores opuestos al vector −→ u . 2 Traza un vector −→ e opuesto al vector −→ d . E.524 Definición : Sean −→ u y −→ v dos vectores. Se define la sus-tracción del vector −→ u por el vector −→ v mediante la relación: −→ u − −→ v = −→ u + − −→ v En otras palabras, nunca se realiza la sustracción por un vector, sino que se suma su opuesto Sean −→ u y −→ v dos vectores del plano. 1 ¾Qué se puede decir de la diferencia : −→ u − −→ u ? 2 Para cada uno de los tres casos representados a contin-uación, dibuja una representación de la resta : −→ u − −→ v E.495 Determina un representante de cada una de las sumas sigu-ientes : 1 −→ EI − −−→ GF 2 −−→ HE + −→ BI − −→ JF 3 −−→ FG − −→ IF − −−→ GE E.9342 Sea ABCD un paralelogramo. Se anota : I el punto medio del segmento [ AB ] ; J el punto medio del segmento [ DC ] . Determinar en cada caso un representante del vector resul-tante : a −→ AC − −→ AJ b −−→ AB + −→ IJ − −→ DJ c −−→ DJ − −→ JB E.8531 En el plano, considere los dos vec-tores −→ u y −→ w que se muestran a continuación. Dibuja el vector −→ v que cumple la relación: −→ u − −→ v = −→ w E.6488 Se marca el plano con una referencia ( O ; −→ i ; −→ j ) y los tres puntos : A 1+ 2 ; 2 − 2 ; B 2 − 1 ; 2+1 ; C 2+3 ; 3 − 3 2 1 Demuestre que los vectores −−→ AB y −→ AC son opuestos. 2 ¾Qué se puede decir del punto A en relación con el seg-mento [ BC ] ? 2. Multiplicación por un número entero https://chingmath.fr quizzChap/1200 chapExoCorrec/8530 sacados/8530 −u−w−v−a−b−c−d chapExoCorrec/524 sacados/524 uvuvuv chapExoCorrec/495 sacados/495 ABCDJHIGEF chapExoCorrec/9342 sacados/9342 chapExoCorrec/8531 sacados/8531 −u−w chapExoCorrec/6488 sacados/6488
E.9713 Proposición: en el plano, consideremos un vector −→ u y un entero n ∈ N ∗ . El vector n · −→ u se define como n · −→ u = −→ u + −→ u + · · · + −→ u  n fois En el plano, considera los tres vectores y los tres puntos que se muestran a continuación : 1 Sitúa el punto B tal que : −−→ AB = 3 · −→ u 2 Coloca el punto C tal que : −−→ CD = 2 · −→ v 3 Coloca el punto F tal que : −→ w = 4 · −−→ EF E.515 Sobre una recta graduada, se sitúan los puntos A , B , C , D , E : Para cada pregunta, completa correctamente las líneas de pun-tos : a −−→ BC = : : : : : : ×−→ AC b −−→ ED = : : : : : : ×−→ AC c −→ AC = : : : : : : ×−→ CA d −−→ ED = : : : : : : ×−→ CA e −→ EA = : : : : : : ×−−→ AB f −−→ BA = : : : : : : ×−−→ BE E.9716 El siguiente dibujo muestra una línea recta con una escala regular. Completa las líneas de puntos con el número que falta : a −−→ DG = : : : : : : −−→ DE b −−→ CE = : : : : : : −→ GI c −−→ DB = : : : : : : −−→ DF d −→ EI = : : : : : : −→ AC E.5287 Sobre una recta graduada, situamos los puntos A , B , C , D , E : Para cada pregunta, determina el valor del número k verifi-cando la igualdad : a −−→ BC = k · −→ AC b −−→ ED = k · −→ AC c −→ AC = k · −→ CA d −−→ ED = k · −→ CA e −→ EA = k · −−→ AB f −→ AC = k · −−→ BA E.9811 Sean A , B , C tres puntos del plano no alineados : Simplifique la expresión : 2 · −−→ AB − −−→ BA E.2077 Consideremos, en el plano, los dos vectores −→ u y −→ v a continuación : Dibuja en la cuadrícula un representante del vector −→ w definido por: −→ w = 2 −→ u + 3 −→ v . E.2106 Consideremos el siguiente plano con una cuadrícula regular. Sean −→ u y −→ v dos vectores del plano : 1 Dibuja un −→ w representativo del vector −→ v −−→ u . 2 Dibuja un −→ x representativo del vector 4 −→ u +3 −→ v . E.4813 Considera el paralelogramo ABCD que se muestra a continuación donde los puntos I y J son los respectivos puntos medios de los segmentos [ AB ] y [ CD ] . Para cada pregunta, da sin justificar un vector igual a la ex-presión propuesta : a 2 ×−→ DJ + −−→ BD b 3 · −→ DJ + 2 · −→ IA c 2 · −→ AJ − −−→ BC 3. Multiplicación por un real https://chingmath.fr chapExoCorrec/9713 sacados/9713 −u−v−wADE chapExoCorrec/515 sacados/515 ABCDE chapExoCorrec/9716 sacados/9716 ABCDEFGHIJK chapExoCorrec/5287 sacados/5287 ABCDE chapExoCorrec/9811 sacados/9811 chapExoCorrec/2077 sacados/2077 −u−v chapExoCorrec/2106 sacados/2106 −u−v chapExoCorrec/4813 sacados/4813 ABCDIJ
E.523 Definición : En el plano, se consideran un vector −→ u y un número k ∈ R . Los vectores −→ u y k · −→ u son colineales y: −→ u et k · −→ u −→ v k< 0 sentido opuesto − k × −→ u k =0 × 0 k> 0 mismo sentido k × −→ u El dibujo siguiente representa una recta con una graduación regular. Completa los puntos con el número que falta : a −−→ EF = : : : : : : −→ GJ b −−→ BD = : : : : : : −−→ CF c −→ JI = : : : : : : −→ AC d −−→ EF = : : : : : : −→ JG e −→ AE = : : : : : : −−→ FC f −−→ CG = : : : : : : −−→ KA E.484 Si A y B son dos puntos del plano, sea I el punto medio del segmento [ AB ] 1 Completa las líneas de puntos para comprobar la sigu-iente relación vectorial: −→ AI + −→ AI = −−−→ A:::::: 2 Copia y completa con las palabras ˇ doble ı y ˇ mitad ı las siguientes frases : a −→ AI es . . . de −−→ AB b −−→ AB es . . . de −→ AI 3 En relación con la pregunta anterior, completa las líneas de puntos con el número que corresponda : a −→ AI = : : : : : : −−→ AB b −−→ AB = : : : : : : −→ AI E.485 Sea ABC un triángulo cualquiera. Sitúa los puntos D y E verificando las siguientes relaciones vectoriales: −−→ AD = 2 · −−→ AB ; −→ AE = 2 · −→ AC Compara −−→ BC y −−→ DE . Justifica. E.6544 Consideremos dos círculos concén-tricos con centro O y cuyo radio es el doble del otro: 1 Justifique la igualdad vectorial: −→ LJ = 2 · −−→ DB 2 Sin justificación, complete las igualdades : a −−→ ED = −−−→ : : : : : : = 1 2 · −−−→ : : : : : : = 1 2 · −−−→ : : : : : : b −−→ FB = 2 · −−−→ : : : : : : = 2 · −−−→ : : : : : : = 1 2 · −−−→ : : : : : : E.509 Consideremos a continuación los dos vectores −→ u y −→ v : 1 Dibuja un vector −→ w que represente desde : 3 · −→ u +1 ; 5 · −→ v 2 Dibuja un vector −→ y que represente desde : −→ v − 1 ; 5 · −→ u 4. Simplificación y manipulación algebraica E.9809 En el plano, considera los tres puntos A , B , C y define los dos vectores −→ r y −→ s por: −→ r = 5 · −→ AC − 2 · −−→ BC ; −→ s = 2 · −−→ AB + 3 · −→ AC Demuestra que los dos vectores −→ r y −→ s son iguales. E.8532 Consideremos el paralelogramo ABCD que se muestra a continuación, donde los puntos I y J son los respectivos puntos medios de los segmentos [ AB ] y [ CD ] . https://chingmath.fr chapExoCorrec/523 sacados/523 ABCDEFGHIJK chapExoCorrec/484 sacados/484 chapExoCorrec/485 sacados/485 chapExoCorrec/6544 sacados/6544 OABCDEFGHIJKLMNPQ chapExoCorrec/509 sacados/509 −u−v chapExoCorrec/9809 sacados/9809 chapExoCorrec/8532 sacados/8532 ABCDIJ
Utilizando los puntos de la figura, da un representante de la suma : 2 · −→ AJ + 2 · −−→ CB E.8533 En el plano, considera A , B , C tres puntos no alineados en el plano. Para cada pregunta, determina el valor del real k que verifica la igualdad : a 3 · −−→ AB − −−→ CB + −→ CA = k · −−→ AB b 3 −−→ AB − −−→ BC + −→ AC + 2 · −−→ BA = k · −−→ AB 5. Vectores y distributividad E.2047 Proposición: en el plano, consideremos los dos vectores −→ u y −→ v y un real k . Tenemos las dos identidades siguientes : k · −→ u + −→ v = k · −→ u + k · −→ v k · −→ u − −→ v = k · −→ u − k · −→ v Sean −→ u y −→ v dos vectores. Simplifica cada una de las sigu-ientes sumas de vectores : a 3 −→ u − 2 −→ v + 2 −→ u − −→ v b 2 · −→ u + −→ v − −→ u d − −→ u + −→ v + 2 · −→ u − −→ v e 2 3 · 2 · −→ u − 3 2 · −→ v − 1 6 −→ u E.2947 Sean A , B , C tres puntos no alinea-dos en el plano : Para cada pregunta, determina el valor del real k verificando la relación propuesta : a 2 · −−→ AB +2 −−→ BC + −→ AC = k · −→ AC b 3 · −−→ AB − 3 · −−→ CB = k · −→ AC E.2048 1 a Colocar tres puntos A , B y C no alineados en el plano. b Trazar una representación de la suma : −→ u = −−−→ AB − 2 · −−→ BC + 2 · −→ AC c ¾Qué conjetura se puede formular? 2 Establecer que : −→ u = −−→ AB Indicación : Se utilizará la relación de Chasles : −−→ BC = −−→ BA + −→ AC E.9720 En el plano, considera A , B , C tres puntos no alineados del plano. Para cada pregunta, determina el valor del real k verificando la igualdad : a 2 · −−→ AB + 2 · −−→ BC + −→ AC = k · −→ AC b −−→ AB + 2 · −→ AC + 4 −−→ BC = k · −→ AC + −−→ BC 6. Descomposición en una base vectorial E.937 Definición : vectores −→ i y −→ j se dice que forman una base vectorial si tienen direcciones diferentes. El gráfico siguiente muestra dos vectores −→ i y −→ j con direc-ciones diferentes. El objetivo de este ejercicio es descomponer cualquier vector en el plano en función de los vectores −→ i y −→ j . 1 a Dibuje un representante del vector −→ y definido por: −→ y = 4 ×−→ i b Localice el punto B tal que : −−→ AB = −→ y 2 a Coloque el punto D tal que : −−→ CD = −−→ i . b Coloque el punto F tal que : −−→ EF = − 3 ·−→ j 3 a Coloque el punto H tal que : −−→ GH =2 ·−→ i . b Coloque el punto K tal que : −−→ HK =4 ·−→ j . c Complete la siguiente igualdad : −−→ GK = : : : : : : · −→ i + : : : : : : · −→ j 4 Complete las siguientes líneas de puntos : −→ u = : : : : : : · −→ i ; −→ v = : : : : : : · −→ j −−→ LM = : : : : : : · −→ i + : : : : : : · −→ j 5 Complete las siguientes líneas de puntos : a −→ w = : : : · −→ i + : : : · −→ j b −→ z = : : : · −→ i + : : : · −→ j c −→ r = : : : · −→ i + : : : · −→ j d −→ s = : : : · −→ i + : : : · −→ j https://chingmath.fr chapExoCorrec/8533 sacados/8533 chapExoCorrec/2047 sacados/2047 chapExoCorrec/2947 sacados/2947 chapExoCorrec/2048 sacados/2048 chapExoCorrec/9720 sacados/9720 chapExoCorrec/937 sacados/937 jisuLvMrwzGACE
E.486 1 Coloca el punto W tal que : −−→ AW = −−→ i +2 ·−→ j . Coloca el punto Z tal que : −−→ BZ = − 2 −→ i + 5 3 ·−→ j Los vectores −→ i y −→ j son dos vectores de direcciones diferentes. Para cualquier vector −→ u del plano, existen dos reales ¸ y ˛ que realizan la igualdad : −→ u = ¸ · −→ i + ˛ · −→ j Esta descomposición se denomina ˇ combinación lineal ı. 2 a Determine la combinación lineal de cada uno de los vectores representados en la gráfica en función de los vectores −→ i y −→ j . b ¾Deduce la igualdad de los vectores −−→ QR y −→ a ? 3 a Dibuja un representante del vector −→ u + −→ v . b Expresa gráficamente el vector −→ u + −→ v utilizando los vectores −→ i y −→ j . c Encuentre esta descomposición utilizando las descom-posiciones de los vectores −→ u y −→ v obtenidas en la pre-gunta 2 . E.5290 En el plano, considere cualquier triángulo ABC . Sean I y J las imágenes respectivas de B y C por la simetría de centro A : En el sistema de referencia A ; −−→ AB ; −→ AC , dar las coordenadas de los siguientes vectores : a −→ IA b −→ AJ c −−→ BC d −−→ CB e −→ IJ f −→ IC E.9808 En el plano, consideramos los tres puntos A , B , C . Consideramos el vector −→ u definido por: −→ u = 5 6 · −→ AC − 1 2 · −−→ AB − 1 3 · −−→ BC + 1 3 · −→ CA 1 Expresar el vector −→ u en función de −−→ AB y −→ AC : 2 En el sistema de coordenadas A ; −−→ AB ; −→ AC , dar las co-ordenadas del vector −→ u . E.7215 En el plano, consideramos el punto de referencia O ; −→ i ; −→ j y los dos vectores −−→ AB y −−→ CD no colineales representados a continuación : Sin justificación, dé las descomposiciones de los vectores −−→ AB y −−→ CD en la base −→ i ; −→ j . 7. Base vectorial e introducción a las operaciones de coordenadas E.8534 Definición : en el plano provisto de un sistema de coorde-nadas O ; I ; J , se denomina vector unitario de abscisas (resp. de ordenadas) , notado −→ i (resp. −→ j ) , el vector −→ OI (resp. −→ OJ ) . En el plano provisto de un sistema de coordenadas O ; I ; J , consideramos los dos puntos A y B representados a contin-uación : 1 Descomponer el vector −−→ AB en la base vectorial −→ i ; −→ j . https://chingmath.fr chapExoCorrec/486 sacados/486 −j−i−u−v−aCDEFGHKLMNOPQRSTBA chapExoCorrec/5290 sacados/5290 ABCIJ chapExoCorrec/9808 sacados/9808 chapExoCorrec/7215 sacados/7215 O−i−jABCD chapExoCorrec/8534 sacados/8534 x-6-5-4-3-2-12Iy-12JOijAB
Es decir, completar los puntos suspensivos de la igualdad : −−→ AB = : : : : : : ×−→ i + : : : : : : ×−→ j 2 a Dar las coordenadas de los puntos A y B . b Determinar las coordenadas del vector −−→ AB . 3 ¾Qué comparación se puede hacer entre las coordenadas de un vector y su descomposición en la base vectorial de los vectores unitarios del sistema de coordenadas? E.527 Se dota al plano de un sistema de coordenadas ortonormado O ; −→ i ; −→ j . 1 Indica, sin justificación, las coordenadas de los vectores −→ u y −→ v . 2 a Traza una representación del vector −→ w definido por: −→ w = 3 · −→ u . b Indica gráficamente las coordenadas de −→ w . c Compara las coordenadas de los vectores −→ u y −→ w . 3 a Traza una representación del vector −→ z definido por: −→ z = −→ u + −→ v b Representa gráficamente y da las coordenadas de −→ z . c Compara las coordenadas del vector −→ z con respecto a las de los vectores −→ u y −→ v . 8. Coordenadas de los puntos E.9814 Considera el rectángulo ABCD que se muestra a continuación Consideremos el plano provisto del sistema de referencia A ; −−→ AB ; −−→ AD . 1 a Completa las líneas de puntos en la igualdad : −→ AC = : : : · −−→ AB + : : : · −−→ AD Deduce las coordenadas del punto C . b Dar las coordenadas de los puntos A , B , D . 2 El punto E es el punto medio del segmento [ CD ] . Deter-mina las coordenadas del punto E . 3 El F queda definido por la igualdad : −−→ CF = 1 3 · −→ CA Determina las coordenadas del punto F . 9. Operaciones sobre coordenadas E.8535 Propuesta: Sean −→ u ( x ; y ) y −→ v ( x ; y ) dos vectores y k un número real ( k ∈ R ) . El vector −−→ u , opuesto al vector −→ u , tiene como coor-denadas : −−→ u =( − x ; − y ) La suma −→ u + −→ v tiene como coordenadas : −→ u + −→ v ( x + x ; y + y ) El vector k ×−→ u tiene como coordenadas : k ×−→ u ( k × x ; k × y ) https://chingmath.fr chapExoCorrec/527 sacados/527 -4-3-2-101234-3-2-1123ijuv chapExoCorrec/9814 sacados/9814 ABCEDF chapExoCorrec/8535 sacados/8535
En el plano provisto del sistema de coordenadas O ; −→ i ; −→ j , consideramos los dos vectores −→ u y −→ v representados a contin-uación : 1 Da las coordenadas de los vectores −→ u y −→ v . 2 Sea −→ w el vector definido por: −→ w = −→ u +2 · −→ v a Da las coordenadas del vector −→ w . b Traza el vector −→ w . 3 Sea −→ z el vector definido por: −→ z = −→ u − −→ v a Da las coordenadas del vector −→ z . b Traza el vector −→ z E.8536 Consideremos el sistema de coorde-nadas ortonormales O ; −→ i ; −→ j y los tres puntos A , B , C representados a continuación : 1 a Indique, sin justificación, las coordenadas de los vec-tores : −−→ AB ; −−→ BC ; −→ AC b Determine las coordenadas del vector −→ u definido por: −→ u = 3 · −−→ AB − −−→ CB + −→ CA 2 Determinar el único número real k ( k ∈ R ) que verifica: −→ u = k ×−−→ AB E.8537 En el plano provisto de una ref-erencia O ; −→ i ; −→ j , consideramos los tres puntos A , B , C definidos por: A (2 ; − 3) ; B ( − 4 ; 2) ; C (0 ; − 1) 1 Determinar las coordenadas del vector −→ u definido por: −→ u = 2 ×−−→ AB + 2 ×−−→ BC + −→ AC 2 ¾Qué expresión simplificada admite el vector −→ u ? 10. Operaciones y hallar las coordenadas de un punto E.516 Consideremos un plano provisto de un sistema de coordenadas O ; −→ i ; −→ j cualquiera y los tres pun-tos siguientes, determinados por sus coordenadas : A (2 ; 1) ; B (3 ; 2) 1 Determina las coordenadas del vector 3 · −−→ AB . 2 Determina las coordenadas del punto D tal que : −−→ AD = 3 · −−→ AB . E.307 En el plano provisto de un sistema de coordenadas O ; I ; J , se consideran los tres puntos A , B y C con coordenadas : A (2 ; 1) ; B ( − 1 ; 3) ; C (0 ; − 2) Determina las coordenadas del punto M que cumple la sigu-iente relación vectorial: −−→ CM = 2 · −−→ AB E.8539 Considera el plano provisto de un sistema de referencia O ; −→ i ; −→ j cualquiera y los tres pun-tos siguientes determinados por sus coordenadas : A (2 ; 1) ; B (3 ; 2) ; C ( − 1 ; − 1) 1 Determine las coordenadas del vector definido por la ex-presión : 2 · −−→ AB − 4 · −→ AC 2 Determina las coordenadas del punto E verificando la relación: −→ AE =2 · −−→ AB − 4 · −→ AC E.8201 Consideremos el plano provisto de un sistema de referencia O ; −→ i ; −→ j . Considera los tres pun-tos A , B , C verificando las siguientes relaciones : 2 −→ OA (4 ; 6) ; 3 −−→ AB (9 ; 3) ; 2 −−→ BC − −−→ OB = −→ u donde el vector −→ u tiene las coordenadas : −→ u (3 ; 3) Determina las coordenadas de los puntos A , B y C . https://chingmath.fr -5-4-3-2-101234-1123ij−u−v chapExoCorrec/8536 sacados/8536 -6-5-4-3-2-10123456-4-3-2-112ijABC chapExoCorrec/8537 sacados/8537 chapExoCorrec/516 sacados/516 chapExoCorrec/307 sacados/307 chapExoCorrec/8539 sacados/8539 chapExoCorrec/8201 sacados/8201
E.8538 En el plano provisto de un sistema de referencia O ; −→ i ; −→ j , considera los tres puntos A , B y C de coordenadas : A (2 ; 1) ; B ( − 1 ; 3) ; C (0 ; − 2) Determina las coordenadas del punto N verificando la sigu-iente relación vectorial: 4 · −−→ AN − −−→ BN − 2 · −−→ CN = −→ 0 E.518 Consideremos un plano provisto de un sistema de coordenadas ( O ; −→ i ; −→ j ) ortonormado y los tres puntos A , B y C , cuyas coordenadas son, respectivamente, ( − 2 ; 1) , (0 ; 3) y (3 ; 0) . 1 a Determina las coordenadas de los vectores −−→ AB y −→ AC . b Determina las coordenadas del vector −−→ AB + −→ AC . 2 Se considera el punto D que cumple la relación: −−→ AB + −→ AC = −−→ AD a Denotando por ( x D ; y D ) las coordenadas del punto D , justifica que se cumplen las dos igualdades : x D + 2 = 7 y D − 1 = 1 b A partir de ahí, deducir las coordenadas del punto D . E.11715 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère les trois points A , B , C : A (5 ; − 2) ; B ( − 3 ; 1) ; C (4 ; 4) Déterminer les coordonnées du point M tel que : −−→ CM = 4 · −−→ AB 11. Colinealidad vectorial E.8543 Definición : Sean −→ u y −→ v dos vectores distintos de cero del plano. Dos vectores se denominan colineales si existe un número real k tal que : −→ u = k · −→ v El número real k se denomina coeficiente de colineali-dad de −→ u con respecto a −→ v . 1 Sean −→ u y −→ v dos vectores tales que : 2 −→ u = 3 −→ v Justifique que los vectores −→ u y −→ v son colineales y que su coeficiente de colinealidad es 3 2 . 2 Sean −→ u y −→ v dos vectores tales que : −→ u + −→ v = −→ 0 . Justifique que estos dos vectores son colineales. 3 Para cada una de las preguntas siguientes, los vectores −→ u y −→ v son colineales. Determinar el valor del coeficiente de colinealidad de −→ u con respecto a −→ v : a 1 2 · −→ u = 3 4 · −→ v b 3 · −→ u − 2 · −→ v = −→ 0 E.6998 En el plano, consideramos los tres puntos O , A , B siguientes y el vector −−→ AB : 1 a Traza el vector −−−→ A B , imagen del vector −−→ AB , medi-ante la homotecia con centro O y relación 3 . b Traza el vector −−−→ A  B  imagen del vector −−→ AB mediante la homotecia de centro O y relación − 1 2 . 2 ¾Qué se puede decir de los vectores −−→ AB , −−−→ A B y −−−→ A  B  ? E.520 Consideremos el plano provisto de un sistema de coordenadas O ; −→ i ; −→ j . Para cada pregunta, determina si los dos vectores −→ u y −→ v son colineales. Si lo son, indica el coeficiente de colinealidad de −→ u con re-specto a −→ v : a −→ u − 1 2 ; −→ v 4 − 8 b −→ u 3 2 ; −→ v 9 4 c −→ u 2 3 ; −→ v 4 ; 2 6 ; 3 d −→ u 0 ; 7 4 ; 1 ; −→ v − 2 ; 8 16 ; 4 E.5295 Para cada pregunta, indique si los vectores −→ u y −→ v son colineales y, en caso afirmativo, indique el coeficiente de colinealidad del vector −→ u con respecto al vector −→ v : a −→ u ( − 2 ; − 10) et −→ v (4 ; 20) b −→ u (0 ; 5) et −→ v ( − 5 ; 0) https://chingmath.fr chapExoCorrec/8538 sacados/8538 chapExoCorrec/518 sacados/518 chapExoCorrec/11715 sacados/11715 chapExoCorrec/8543 sacados/8543 chapExoCorrec/6998 sacados/6998 ABO chapExoCorrec/520 sacados/520 chapExoCorrec/5295 sacados/5295
E.8202 En el plano provisto de un sistema de referencia O ; −→ i ; −→ j , considera los cinco puntos : A (2 ; − 2) ; B (11 ; − 14) ; C ( − 3 ; 1) ; D (5 ; 3) ; E (12 ; − 19) De los cuatro vectores anteriores, sólo uno es colineal con el vector −−→ AB . ¾Cuál es? Justifica tu respuesta. −−→ BC ; −−→ CD ; −−→ DE ; −−→ CE E.9813 Para cada pregunta, indique si los vectores −→ u y −→ v son colineales y, en caso afirmativo, indique el coeficiente de colinealidad del vector −→ u con respecto al vector −→ v : a −→ u ( − 6 ; 9) et −→ v 1 4 ; − 1 2 b −→ u − 4 3 ; 4 et −→ v (3 ; − 9) c −→ u 1 3 ; 2 5 et −→ v (5 ; 6) d −→ u (6 ; − 5) et −→ v 14 5 ; − 2 E.6624 Se da al plano un sistema de referen-cia O ; I ; J y se consideran los puntos A , B y C siguientes : 1 a Dar las coordenadas de los puntos A , B y C . b Determinar las coordenadas de los vectores −−→ AB y −−→ BC . c Deduce las coordenadas del vector −→ v definido por: −→ v = −−→ AB + 2 · −−→ BC 2 Justifica que los vectores −→ u y −→ v son colineales. E.500 En el plano, considera los pun-tos A , B , C , D y E tales que : C es el centro de [ AF ] ; B es el centro de [ AD ] . El cuadrilátero ABEC es un paralelogramo. El plano se ajusta con el sistema de referencia A ; B ; C cualquiera. 1 En el sistema de referencia A ; B ; C , da, sin justificar, las coordenadas de los seis puntos de este plano. 2 Justifica que los puntos E , F y D están alineados. 12. Colinealidad y manipulación algebraica E.9718 Sean A , B , C y D cuatro puntos del plano que verifican la relación: −−→ AB + −−→ AD = −→ AC Demostrar que los vectores −−→ AB y −−→ CD son colineales. E.9812 En cada una de las preguntas sigu-ientes, los vectores −→ u y −→ v son colineales. Determine el valor del coeficiente de colinealidad de −→ u con respecto a −→ v : a 3 · −→ u − 2 · −→ v = −→ 0 b − 2 · −→ u + −→ v = 2 · −→ u + 3 · −→ v E.4812 Consideremos los tres puntos A , B y C que se muestran en la cuadrícula siguiente : 1 a Coloca el punto M que cumpla la relación vectorial: −−→ AM = 2 · −→ CA https://chingmath.fr chapExoCorrec/8202 sacados/8202 chapExoCorrec/9813 sacados/9813 chapExoCorrec/6624 sacados/6624 -3-2-12345I-2-123JOABCu chapExoCorrec/500 sacados/500 ABCDEF chapExoCorrec/9718 sacados/9718 chapExoCorrec/9812 sacados/9812 chapExoCorrec/4812 sacados/4812 ABC
b Colocar el punto N que verifica la relación vectorial: −−→ AN = −−→ AB + 2 · −−→ CB c ¾Qué conjetura se puede hacer sobre los vectores −−→ AB y −−→ MN ? 2 Demostrar, mediante el cálculo vectorial, que se cumple la igualdad : −−→ MN = 3 · −−→ AB E.9717 Sean A , B , C y D cuatro puntos del plano tales que : −−→ AD + −−→ BD + 2 · −−→ CB = −→ 0 1 Establezca la igualdad : −−→ AB = − 2 · −−→ CD 2 ¾Qué se puede decir de los vectores −−→ AB y −−→ CD ? E.510 Sean A , B , C y D cuatro puntos del plano que verifican la relación: −→ AC − 3 · −−→ BD + 2 · −−→ BC = −→ 0 Demostrar que los vectores −−→ AB y −−→ CD son colineales. E.501 Considera en cada caso tres puntos A , B , C del plano verificando una relación vectorial. Demuestra que en cada caso los puntos A , B y C están alineados : a 3 · −−→ AB + −−→ BC = − 2 · −→ AC b − 2 · −−→ AB = 3 × −−→ CB + −→ CA E.2917 En el plano que se muestra a con-tinuación con una cuadrícula, considera los puntos A , B , C , M : Dar un representante del vector −→ u definido por la relación: −→ u = 2 · −−→ AB + −−→ CB − −→ AC 1 Coloca el punto N tal que : −−→ MN = −→ u . 2 Definimos el vector −→ v definido por: −→ v = −−→ CB + 1 3 · −→ AC Demostrar que los vectores −→ u y −→ v son colineales. E.5293 Sean A , B , C y D cuatro puntos del plano tales que : 5 · −−→ AD = 2 · −→ AC + 3 · −−→ BD Demostrar que los vectores −−→ AB y −−→ CD son colineales. E.9719 Sean A , B , C y D cuatro puntos del plano tales que : 3 · −−→ AD + 4 · −−→ BC = 7 · −→ AC Demuestre que los vectores −−→ AB y −−→ CD son colineales. E.8122 Consideremos los cuatro puntos A , B , C y D verificando la relación vectorial: 2 · −−→ DC + 5 · −−→ CB + 5 · −−→ AD − 3 · −−→ AB = −→ 0 Demostrar que los vectores −−→ AB y −−→ CD son colineales. E.2055 Sean A , B , C tres puntos del plano que verifican la relación: − 1 2 · −−→ AB + 5 2 · −−→ BC − −−→ BA + −−→ CB = −→ 0 1 Demuestre que estos tres puntos verifican : −−→ AB = 3 2 · −→ AC 2 Qué se puede decir de los puntos A , B , C ? E.5343 En el plano, considera un triángulo ABC no aplanado. Considera los tres puntos M , N y P definidos por: −−→ BM = 1 3 · −−→ BA ; −−→ BN = 1 2 · −−→ BC ; −→ AP = 2 · −→ AC Demuestra que los puntos M , N y P están alineados. E.2903 Sean A , B , C tres puntos del plano. Demostrar que el vector −→ u definido a continuación es colineal con el vector −→ AC por: −→ u = 3 · −−→ AB + 2 3 · −−→ BC − 5 3 · −→ CA + 7 3 · −−→ BA E.5294 Consideremos un triángulo ABC y M un punto perteneciente al lado [ AB ] verificando la relación: AM = 2 3 · AB P es el punto de intersección de la recta ( BC ) y la paralela a ( AC ) que pasa por el punto M . N es el punto de intersección de las rectas ( AC ) y la paralela a ( AB ) que pasa por el punto P 1 Haz una representación de esta configuración. 2 Demuestra que : AN = 1 3 · AC ; CP = 2 3 · CB . 3 Descomponga los vectores siguientes según los vectores −−→ AB y −→ AC : a −→ AP b −−→ MC 4 Descompone los vectores de abajo en función de los vec-tores −→ CA y −−→ CB : a −→ AP b −−→ NM 13. Introducción al criterio de colinealidad https://chingmath.fr chapExoCorrec/9717 sacados/9717 chapExoCorrec/510 sacados/510 chapExoCorrec/501 sacados/501 chapExoCorrec/2917 sacados/2917 ABCM chapExoCorrec/5293 sacados/5293 chapExoCorrec/9719 sacados/9719 chapExoCorrec/8122 sacados/8122 chapExoCorrec/2055 sacados/2055 chapExoCorrec/5343 sacados/5343 chapExoCorrec/2903 sacados/2903 chapExoCorrec/5294 sacados/5294
E.8364 En el plano provisto de una referen-cia O ; I ; J , consideramos dos vectores −→ u ( x ; y ) y −→ v ( x ; y ) tales que : 0 <x <x ; 0 <y <y Consideramos los dos puntos A y B tales que : −→ OA = −→ u ; −−→ OB = −→ v 1 a Expresar las áreas de las siguientes figuras en fun-ción de x , x , y y y : OBB ; OAA ; AA B B b Deduzca la expresión del área del triángulo OAB en función de x , x , y y y . 2 a ¾Qué se puede decir de los puntos O , A , B cuando : x × y − x × y =0 ? b ¾Es cierta la recíproca? 14. Criterios de colinealidad E.8541 Definición : sea −→ u ( x ; y ) y −→ v ( x ; y ) , se denomina deter-minante de los vectores −→ u y −→ v , notado det( −→ u ; −→ v ) , definido por: det( −→ u ; −→ v ) = x × y − x × y Para cada uno de los pares de vectores −→ u y −→ v definidos a continuación, determine el valor de det( −→ u ; −→ v ) : a −→ u (2 ; − 1) ; −→ v (3 ; 4) b −→ u ( − 5 ; 1) ; −→ v (2 ; − 2) E.11689 Dans le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j , on considère les points : A ( − 3 ; 2) ; B (1 ; 4) ; C (5 ; − 1) Déterminer la valeur de det −−→ AB ; −→ AC . E.5288 Proposition: En el plano provisto de un sistema de refer-encia, considerar los dos vectores −→ u y −→ v . Los dos vectores −→ u y −→ v son colineales entre sí si, y sólo si, su determinante es cero. Consideremos el plano con el punto de referencia ( O ; −→ i ; −→ j ) y los cuatro puntos : A (3 ; − 5) ; B (1 ; − 1) ; C (13 ; 2) ; D (18 ; − 8) Establezcamos que los vectores −−→ AB y −−→ CD son colineales. E.504 Consideremos el plano provisto de un sistema de coordenadas O ; −→ i ; −→ j y de los dos vectores : −→ u 1 − 2 √ 3 3+ 2 ; −→ v 6 − 3 − 3 − 6 Demostrar que los vectores −→ u y −→ v son colineales. E.512 En el plano provisto de un punto de referencia O ; −→ i ; −→ j , se consideran los dos vectores : −→ u 2 + 3 2 1 − 10 ; −→ v 5 2 + 4 3 2 − 2 5 Demostrar que los vectores −→ u y −→ v son colineales. E.8542 En el plano provisto de un sistema de referencia O ; −→ i ; −→ j , considera los dos vectores colineales: −→ u x + y 2 ; 4 ; −→ v 2 2 − 1 ; − 2 Donde x y y son dos enteros relativos. Determina los valores de x y y . E.7888 Dotamos al plano de un sistema de referencia O ; −→ i ; −→ j ortonormal y consideramos los puntos : A 1 4 ; 1 3 ; B 1 ; 5 6 ; C − 1 2 ; 7 6 Demostrar que los vectores −−→ AB y −→ AC no son dos vectores colineales. E.11716 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère les trois points : A (5 ; 1) ; B (9 ; 3) ; C ( − 9 ; − 5) 1 Déterminer les coordonnées des vecteurs −−→ AB et −→ AC . 2 Est ce que les vecteurs −−→ AB et −→ AC sont colinéaires? Jus-tifier votre réponse. 15. Paralelismo y colinealidad E.499 En el plano, se considera el sistema de coordenadas ( O ; −→ i ; −→ j ) y los puntos : O (49 ; − 100) ; P (14 ; 5) ; Q (1 ; − 85) ; R ( − 58 ; 92) Determina si las rectas ( OP ) y ( QR ) son paralelas. E.5289 En el plano provisto de un sistema de referencia ( O ; −→ i ; −→ j ) , considera los tres puntos : A ( − 3 ; − 1) ; B (1 ; 5) ; C ( − 1 ; 2) Demuestra que los puntos A , B , C están alineados. https://chingmath.fr chapExoCorrec/8364 sacados/8364 OIJAABBuvuv chapExoCorrec/8541 sacados/8541 chapExoCorrec/11689 sacados/11689 chapExoCorrec/5288 sacados/5288 chapExoCorrec/504 sacados/504 chapExoCorrec/512 sacados/512 chapExoCorrec/8542 sacados/8542 chapExoCorrec/7888 sacados/7888 chapExoCorrec/11716 sacados/11716 chapExoCorrec/499 sacados/499 chapExoCorrec/5289 sacados/5289
E.6507 En el plano provisto de un sistema de referencia O ; −→ i ; −→ j , considera los cuatro puntos : A (2 ; − 5) ; B ( − 2 ; 2) ; C ( − 4 ; 5) ; D 2 ; − 11 2 Justifica que las rectas ( AB ) y ( CD ) son paralelas. E.5296 En un plano con un sistema de co-ordenadas ortonormal O ; −→ i ; −→ j . Considera los siguientes cuatro puntos del plano : A − 2 ; − 6 ; B 2 2 ; 0 ; C ( − 2 √ 3 ; 3 ) ; D (0 ; 5) Demuestra que las rectas ( AB ) y ( CD ) son paralelas. E.8540 Al plano se le da un sistema de co-ordenadas ( O ; −→ i ; −→ j ) y los tres puntos : A 2 2+1;3+2 √ 2 ; B 2 − 1; 2+1 ; C 2+5; 2+7 Demuestra que los puntos A , B y C están alineados. E.5313 Consideremos el plano provisto del sistema de referencia O ; −→ i ; −→ j que se muestra a contin-uación : Considera los cuatro vectores siguientes : −→ u 9 4 ; − 3 4 ; −→ v 7 2 ; − 3 2 ; −→ w − 15 4 ; 5 4 1 Representa los tres vectores −→ u , −→ v y −→ w con el punto O como origen. 2 a Conjetura la colinealidad de los vectores −→ u , −→ v y −→ w entre sí. b Establece tu conjetura. E.1144 En el plano provisto de un sistema de coordenadas O ; −→ i ; −→ j ortonormado, se consideran los puntos : D (5 ; − 2) ; E ( − 3 ; 10) ; F ( − 3 ; − 2) ; G (3 ; − 11) Demostrar que las rectas ( DE ) y ( FG ) son paralelas. Indicación : Para demostrar que las rectas ( DE ) y ( FG ) son paralelas, basta con demostrar que los vectores −−→ DE y −−→ FG son colineales. 16. Modelización y colinealidad E.9806 En el plano, consideramos el rectán-gulo ABCD tal que AB =4 cm y AD =2 cm y los dos puntos E y F verifican : F ∈ AB y AF =9 cm ; E ∈ AD y AE =3 ; 6 cm . Se dota al plano de la referencia A ; −−→ AB ; −−→ AD . 1 a Completa las siguientes igualdades : −→ AE = : : : −−→ AD ; −→ AF = : : : −−→ AB b En la referencia A ; −−→ AB ; −−→ AD , dar las coordenadas de los seis puntos de este plano . 2 Determinar las coordenadas de los vectores −−→ CE y −−→ CF . 3 Deduzca que los puntos C , E y F están alineados. E.5824 En el plano, considera el paralelo-gramo ABCD . Sea I el punto medio del segmento [ AB ] y J el punto del segmento [ AC ] que satisface la relación: AJ = 1 3 · AC Se da al plano el sistema de referencia A ; −−→ AB ; −−→ AD . 1 Determina las coordenadas de los puntos D , I y J . 2 Demostrar que los puntos D , I y J están alineados. https://chingmath.fr chapExoCorrec/6507 sacados/6507 chapExoCorrec/5296 sacados/5296 chapExoCorrec/8540 sacados/8540 chapExoCorrec/5313 sacados/5313 -4-3-2-101234-2-112ij chapExoCorrec/1144 sacados/1144 chapExoCorrec/9806 sacados/9806 ABCDEF chapExoCorrec/5824 sacados/5824 ABCDIJ
E.7214 Considera la siguiente figura for-mada por los dos cuadrados ABEF y BCDE : Sea G el punto de intersección de las rectas ( AD ) y ( BF ) y H el punto del plano que verifica la relación vectorial −→ AG = −−→ GH 1 Utilizando el sistema de referencia A ; −−→ AB ; −→ AF , deter-mine las coordenadas del punto G . 2 Establece que los puntos E , H y C están alineados. E.5394 Considera la figura anterior com-puesta por un cuadrado ABCD y dos triángulos equiláteros DIC y BJC : En esta pregunta se tendrá en cuenta en la evaluación cualquier prueba de investigación, por incompleta que sea, o iniciativa por fallida que sea. Demuestra que los puntos A , I , J están alineados. (En un triángulo equilátero de lado a , supón que todas sus alturas tienen longitud a 3 2 ) . E.5393 Consideremos el triángulo opuesto donde I y G son los respectivos puntos medios de los segmentos [ AB ] y [ CI ] , el punto J viene definido por la relación: −→ CJ = 1 3 · −→ CA Consideremos la base vectorial −−→ AB ; −→ AC . 1 Expresa los vectores −→ AI y −→ AJ en la base vectorial −−→ AB ; −→ AC . 2 Establecer que la descomposición vectorial del vector −→ AG : −→ AG = 1 4 · −−→ AB + 1 2 · −→ AC 3 Deducir la alineación de los puntos B , G , J . 17. Colinealidad y búsqueda de coordenadas E.5291 Consideremos el plano provisto de un sistema de referencia O ; −→ i ; −→ j . Sean A , B , C y D cuatro puntos del plano con coordenadas : A ( − 5 ; 1) ; B (2 ; 4) ; C ( − 1 ; − 2) ; D (3 ; y D ) Determina las coordenadas del punto D tal que las rectas ( AB ) y ( CD ) son paralelas y el punto D tiene como abscisa 3 . E.8200 Consideremos el plano provisto de un sistema de referencia O ; −→ i ; −→ j . Sean A , B y C tres puntos del plano con coordenadas respec-tivamente : (4 ; − 1) ; (1 ; 3) ; (1 ; − 2) Determina las coordenadas del punto D tal que las rectas ( AB ) y ( CD ) son paralelas y el punto D tiene como abscisa 3 . E.5314 En un plano dotado de un sistema de referencia O ; −→ i ; −→ j , considera los tres puntos A , B , C de coordenadas : A (1 ; 2) ; B − 2 ; 5 2 ; C ( − 1 ; 4) Determinar el valor de x para que el punto D de coordenadas ( x ; 3) es tal que las rectas −−→ AB y −−→ CD son colineales. E.5822 En el plano provisto de un sistema de referencia O ; −→ i ; −→ j ortonormal, considera los tres pun-tos siguientes : A ( − 1 ; 1) ; B ( − 3 ; − 1) ; C (2 ; 3) 1 ¾Están alineados los puntos A , B y C ? Justifica tu re-spuesta. 2 Determina las coordenadas del punto único D con abscisa − 2 tal que las rectas ( AB ) y ( CD ) son paralelas. E.5746 Consideremos el plano provisto de un sistema de referencia O ; −→ i ; −→ j y los cuatro puntos : A ( − 3 ; 2) ; B (2 ; − 1) ; C (1 ; 5) ; D (7 ; 2) 1 ¾Son paralelas las rectas ( AB ) y ( CD ) ? 2 Determina las coordenadas del punto E con abscisa 7 de forma que los vectores −−→ AB y −−→ CE sean colineales. https://chingmath.fr chapExoCorrec/7214 sacados/7214 ABCDEFGH chapExoCorrec/5394 sacados/5394 ABCDIJ chapExoCorrec/5393 sacados/5393 ABCIJG chapExoCorrec/5291 sacados/5291 chapExoCorrec/8200 sacados/8200 chapExoCorrec/5314 sacados/5314 chapExoCorrec/5822 sacados/5822 chapExoCorrec/5746 sacados/5746
E.2080 Considera el plano provisto de un sistema de referencia cualquiera ( O ; −→ i ; −→ j ) y los tres puntos siguientes del plano : A (3 ; 2) ; B ( − 1 ; 3) ; D ( − 4 ; − 1) 1 Determina las coordenadas del punto C tal que ABCD es un paralelogramo. 2 Determina las coordenadas del punto E perteneciente al eje x tal que : ( BD ) == ( AE ) . E.507 Consideremos el plano provisto de un sistema de coordenadas O ; −→ i ; −→ j y los tres puntos : A 4+4 2 ; 3+3 2 ; B 2 − 2 ; 2 2+1 ; C 2+1 ; y C donde y C es un número real. Sabiendo que los puntos A , B y C están alineados, determina la ordenada del punto C en la forma a + b 2 , donde a y b son dos números reales. E.6625 Consideremos el plano provisto de un sistema de referencia O ; −→ i ; −→ j . Sean A , B , C , D cuatro puntos del plano con coordenadas : A 2 ; 8 3 ; B 2 3 ; 2 ; C 4 5 ; 0 ; D x D ; − 1 2 donde x D es un número real. Dado que las rectas ( AB ) y ( CD ) son paralelas, determina las coordenadas del punto D . 18. Geometría vectorial E.2107 Consideremos el plano provisto de un sistema de coordenadas ortonormal O ; −→ i ; −→ j : 1 Coloca los tres puntos A , B , C en el marco inferior : A (3 ; − 3) ; B ( − 4 ; 3) ; C ( − 5 ; − 1) 2 Determina las coordenadas del punto medio M del seg-mento [ AB ] . 3 a Determina las longitudes AB y MC . b Establece que el triángulo ABC es acutángulo en C . 4 Observamos N el punto de intersección del eje y con la recta paralela a ( CM ) que pasa por el punto B . a Coloca el punto N en el marcador. b Determina las coordenadas del punto N . E.2918 En el plano provisto del sistema de referencia O ; I ; J , considera las rectas ( d ) y ( d ) a contin-uación : 1 Determina gráficamente las ecuaciones reducidas de las rectas ( d ) y ( d ) . 2 a Da gráficamente las coordenadas de los puntos M y N . b Justifica que la recta ( MN ) es paralela a la recta ( d ) . 3 Sea Q un punto de la recta ( d ) tal que la recta ( MQ ) es paralela a ( d ) . Anotamos x la abscisa del punto Q . a Justifica que los vectores −−→ MQ y −→ u 1 ; − 1 3 son col-ineales. b Justificar que el vector −−→ MQ tiene coordenadas en fun-ción de x : −−→ MQ x + 3 ; 5 4 · x + 3 4 c Resuelve la ecuación : x +3= − 3 · 5 4 · x + 3 4 . d Deduce las coordenadas del punto Q . https://chingmath.fr chapExoCorrec/2080 sacados/2080 chapExoCorrec/507 sacados/507 chapExoCorrec/6625 sacados/6625 chapExoCorrec/2107 sacados/2107 -6-5-4-3-2-1234I-3-2-1234JO chapExoCorrec/2918 sacados/2918 -4-3-2-1234I-2-123JO(d(dMN
E.2902 En el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J ortonormal, considera la recta ( d ) que se muestra a continuación y el punto M de coordenadas ( − 2 ; 1) : 1 Determina la ecuación reducida de la recta ( d ) . 2 a Dibuja un representante del vector −→ u (2 ; 1) . b Determina las coordenadas del punto P perteneciente a la recta ( d ) tal que los vectores −−→ MP y −→ u sean colin- eales. 3 Resuelve la siguiente ecuación : (1 − 2 x ) (10 x + 13) = ( x + 2) (15 x + 24) 4 Sea N el punto de coordenadas − 13 10 ; 1 5 . Sea x un número real, consideremos los dos puntos R y S pertenecientes respectivamente a las rectas ( d ) y (Δ) te-niendo cada una como abscisa el valor x a Se acepta que la ecuación reducida de la recta (Δ) es : y = 1 2 · x + 1 Expresa en función de x las coordenadas de los dos vectores −−→ MR y −−→ NS . Deseamos determinar un valor de x para el cual los vec-tores −−→ MR y −−→ NS sean colineales. Supongamos ahora que x verifica esta restricción : b Justifica que x verifica la siguiente condición : x + 13 10 − 2 3 x + 1 3 = x + 2 1 2 x + 4 5 c Deduzca las coordenadas de los puntos R y S . 19. Estudio complementario: cualquier punto de referencia E.4968 En el plano se da un punto de refer-encia cualquiera O ; −→ i ; −→ j que se muestra a continuación : 1 a Dans el punto de referencia de abajo, coloca los dos puntos : A ( − 1 ; 2) ; B (4 ; 1) b Justifier gráficamente que el vector −−→ AB tiene coorde-nadas (5 ; − 1) . 2 Considere los dos vectores siguientes : −→ u (3 ; 2) ; −→ v ( − 2 ; − 2) Dé una representación de su elección de cada uno de estos dos vectores en el marco de referencia anterior. E.5339 Al plano se le da un sistema de referencia O ; −→ i ; −→ j cualquiera de los que se muestran a continuación : 1 Dibuja un representante de cada uno de los dos vectores : −→ u (5 ; 2) ; −→ v ( − 3 ; − 2) 2 a Dibuja un representante del vector −→ w definido por: −→ w = −→ u + −→ v b Determina gráficamente las coordenadas del vector −→ w . c Compara las coordenadas del vector −→ w respecto a las de los vectores −→ u y −→ v . https://chingmath.fr chapExoCorrec/2902 sacados/2902 -4-3-2-1234I-2-123JO(dM chapExoCorrec/4968 sacados/4968 O−i−j-1123456789-112 chapExoCorrec/5339 sacados/5339 O−i−j-1123456789-112345
E.5744 En el plano, consideramos los dos vectores −→ i y −→ j no colineales representados a continuación : La representación de los vectores −→ u y −→ v también se muestra arriba. 1 En la base vectorial de −→ i ; −→ j , indique las coordenadas de los vectores −→ u y −→ v . 2 Mediante el método que prefiera, determine las coorde-nadas del vector suma : −→ w = −→ u + −→ v . 3 Mediante el método que prefiera, determine las coorde-nadas del vector −→ t que cumple la siguiente igualdad : −→ v = −→ u + −→ t 20. Estudio adicional: cualquier base y función afín E.4592 Sea ABCD un paralelogramo. Sea E el punto perteneciente al segmento [ AC ] verificando : AE = 2 3 · AC Las rectas ( BE ) y ( CD ) interceptan en el punto G . El plano está provisto del sistema de referencia A ; −−→ AB ; −→ AC . 1 Da, sin justificar, las coordenadas de los puntos : A ; B ; C ; D ; E 2 a Justifica que la recta ( BE ) tiene la ecuación : y = − 2 3 · x + 2 3 b En Deduce las coordenadas del punto G . 3 ¾Qué representa el punto G para el segmento [ CD ] ? Jus-tifícalo. E.2074 Consideremos un cuadrado ABCD con lado 1 cm . El punto I es el único punto tal que el triángulo AIB es equilátero y está contenido en el cuadrado ABCD ; El punto J es el único punto tal que el triángulo BCJ es equilátero y está fuera del cuadrado ABCD . Se anota : K es el pie de la altura que sale del vértice I en el trián-gulo AIB . L es el pie de la altura que sale de J en el triángulo BCJ . Esta es la representación de esta configuración : El objetivo del ejercicio es demostrar que los puntos D , I y J están alineados. Consideramos el plano con la referencia ( A ; −−→ AB ; −−→ AD ) . 1 ¾Cuál es la naturaleza del sistema de coordenadas ( A ; −−→ AB ; −−→ AD ) ? 2 a Determine la longitud del segmento [ KI ] . b Indique las coordenadas del punto I en el sistema de coordenadas considerado. 3 Suponiendo que la longitud LJ mide √ 3 2 , da las coorde-nadas del punto J . 4 Consideremos la recta ( d ) de ecuación : y = 3 − 2 x + 1 Demuestre que los tres puntos D , I y J pertenecen a la recta ( d ) . 21. Estudio en profundidad: descomposición de vectores en cualquier base E.8112 Considera un rectángulo ABCD y los tres puntos E , F , G definidos por: −→ AE = 1 2 · −−→ AB ; −−→ DF = 2 3 · −−→ DC ; −−→ DG = 4 · −−→ DA https://chingmath.fr chapExoCorrec/5744 sacados/5744 −i−juv chapExoCorrec/4592 sacados/4592 ABCDEG chapExoCorrec/2074 sacados/2074 Utilisation de la simplification de radicaux KLABCDIJ chapExoCorrec/8112 sacados/8112
Consideremos los dos vectores −−→ AB y −−→ AD que son no colineales y forman una base vectorial. 1 Determinar la descomposición del vector −−→ EF en la base −−→ AB ; −−→ AD . 2 Determinar la descomposición del vector −−→ EG en la base −−→ AB ; −−→ AD : −−→ EG = − 1 2 · −−→ AB − 3 · −−→ AD 3 Demuestra que los puntos E , F y G están alineados. E.6664 En el plano, considera el triángulo ABC que se muestra a continuación : Los puntos M , N y P están definidos por las relaciones : −−→ AM = 4 5 · −−→ AB ; −−→ BN = 1 2 · −−→ BC ; −→ AP = 4 3 · −→ AC El estudio se realizará en el marco de referencia B ; −−→ BA ; −−→ BC . 1 Dar las coordenadas de los puntos M y N . 2 a Determinar las coordenadas del vector −→ AC . b Deduce las coordenadas del punto P . 3 Justifica que los puntos M , N y P están alineados. E.5342 En el plano, consideramos el trián-gulo ABC : Consideramos los puntos M y N definidos por: −−→ BM = 1 4 · −−→ BA ; −−→ BN = 1 2 · −−→ BC Definimos el punto P mediante la relación vectorial: −→ AP = ¸ · −→ AC donde ¸ ∈ R 1 Expresar −→ AC en función de los vectores −−→ BA y −−→ BC . 2 Se dota al plano del sistema de coordenadas B ; −−→ BA ; −−→ BC : a Determinar las coordenadas del vector −−→ MN y del vec-tor −−→ MP en función del real ¸ . b Determinar el valor de ¸ para que los puntos M , N y P estén alineados. https://chingmath.fr ABCDEFG chapExoCorrec/6664 sacados/6664 ABCMNP chapExoCorrec/5342 sacados/5342 ABCMNP