ESO 4 / Funciones de referencia 46 ejercicios (100% corregidos)

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-4-3-2-1234I246810121416JO r513-1 r513-3 01234481216C1 -2-101232468C2 ChingQuizz : 4 ejercicios disponibles para la evaluación de QCM : 1. Función cuadrada: variaciones E.8285 Estudiaremos la función cuadrada h definida por: f : x ↦−→ x 2 1 Dar el conjunto de definición D f de la función cuadrada. 2 a Completa la siguiente tabla de valores: x − 3 − 1 − 0 ; 5 0 0 ; 5 2 4 f ( x ) b Dibuja la curva representativa C f en el sistema de ref-erencia siguiente : 3 a Para a y b no nulos, establece la siguiente igualdad : f ( b ) − f ( a ) = b + a b − a . b Deduce el sentido de variación de la función cuadrada en R − y en R + . 4 ¾Tiene la curva representativa de la función f un eje de simetría o un centro de simetría? E.4853 Sea f la función cuadrada : 1 Completa la siguiente tabla de valores: x − 10 −√ 5 − 3 2 0 1 3 2 1+ 2 f ( x ) 2 a ¾Qué se puede decir de la comparación entre dos números negativos y sus cuadrados? b ¾Qué se puede decir de la comparación entre dos números positivos y sus cuadrados? E.4865 Proposición: Dos números positivos y sus cuadrados se comparan en el mismo orden. Dos números negativos y sus cuadrados se comparan en el orden inverso. Compara los siguientes pares de números : a 3 3 ; 5 b − 1 2 5 ; − 1 5 c 2 √ 3 3 ; 3 4 4 d 2 + 5 ; 3 2. Función cuadrada: imágenes a intervalos E.4817 Definición : Se denomina imagen del intervalo [ a ; b ] por la función f , el conjunto formado por las imágenes de todos los elementos del intervalo [ a ; b ] . Ejemplo : Aquí hay dos animaciones para com-prender mejor la imagen de los inter-valos. Los dos gráficos siguientes muestran dos partes C 1 y C 2 de la curva representativa de la función cuadrática : 1 a Determinar el conjunto de números formado por to-das las abscisas de los puntos de la curva C 1 . b Determinar el conjunto de números formado por todas las ordenadas de los puntos de la curva C 1 . c Deduzca la imagen del intervalo 2 ; 4 . 2 a Determine el conjunto de números formado por to- https://chingmath.fr chapExoCorrec/8285 sacados/8285 -4-3-2-1234I246810121416JO chapExoCorrec/4853 sacados/4853 chapExoCorrec/4865 sacados/4865 chapExoCorrec/4817 sacados/4817 r513-1 r513-3 01234481216C1 -2-101232468C2
-2-12I234JOCf -4-3-2-1234I246810121416JO -3-2-123I23456789JOCf -2-12I234JOCf a-abIJO das las abscisas de los puntos de la curva C 2 . b Determinar el conjunto de números formado por todas las ordenadas de los puntos de la curva C 2 . c Deducir la imagen del intervalo − 1 ; 2 . E.416 En el plano con un sistema de referencia O ; I ; J ortonor-mal, consideremos la curva C f representativa de la función cuadrada. Gráficamente y sin justificar, da la imagen de cada uno de los in-tervalos siguientes por la función f : a [2 ; 5 b − 3 ; − 1 c 2 ; 1 ; 3 d − 4 ; − 1 ; 5 E.9365 A continuación, en un marco de ref-erencia, se da la curva representativa de la función cuadrada : 1 a Dar los dos intervalos I y J tales que : I ⊂ R − ; J ⊂ R + ; I ∪ J = − 1 ; 5 b Deduce la imagen del intervalo − 1 ; 5 mediante la función f . 2 Sin justificación, dar la imagen de los siguientes intervalos por la función cuadrada : a − 4 ; 2 b − 1 ; 3 E.2692 Da, sin justificar, las imágenes de los siguientes intervalos por la función cuadrado : a 2 ; 3 b − 5 ; − 1 c − 2 ; 4 E.2831 Dar, sin justificación, la imagen de los siguientes intervalos mediante la función cuadrada : a √ 3 ; 5 b − 1 2 ; − 3 7 c − √ 10 2 ; 7 3 E.2081 En el plano dotado de un sistema de referencia O ; I ; J ortonormal, se da a continuación la curva C f representativa de la función cuadrada : Sin justificar, copia y completa las siguientes afirmaciones : 1 Si x ∈ 1 ; 3 alors x 2 ∈ : : : : : : 2 Si x ∈ − 1 ; 2 entonces x 2 ∈ : : : : : : 3 Si x ∈ − 3 ; − 2 ∪ 2 ; 3 alors x 2 ∈ : : : : : : 4 Si x ∈ −√ 11 ; − 2 ∪ √ 2 ; √ 7 alors x 2 ∈ : : : : : : 3. Función cuadrada: ecuaciones e inecuaciones E.9367 Resuelve las ecuaciones : a x 2 = 2 b x 2 = 0 c x 2 = − 1 E.9361 Consideremos la función cuadrática denotada por f , cuya curva representativa C f en un sistema de coorde-nadas O ; I ; J se muestra a continuación : Gráficamente y sin justifi-cación, dé el conjunto de soluciones de las siguientes desigualdades : a f ( x ) 1 b f ( x ) 2 c f ( x ) < 3 d f ( x ) > 4 E.9375 Sea f la función cuadrada. Sin jus-tificar, dar los conjuntos solución, en forma simplificada, de las inecuaciones : a f ( x ) 10 16 b f ( x ) 9 4 c f ( x ) > ı Nota: puede utilizarse una resolución gráfica. E.9374 Para cada pregunta, da el mayor conjunto de números que verifican la desigualdad o el marco: a x 2 < 3 b x 2 1 c 2 x 2 4 Nota: nos basaremos en cálculos y en una resolución grá-fica con ayuda de la curva de la función cuadrada : https://chingmath.fr chapExoCorrec/416 sacados/416 -2-12I234JOCf chapExoCorrec/9365 sacados/9365 -4-3-2-1234I246810121416JO chapExoCorrec/2692 sacados/2692 chapExoCorrec/2831 sacados/2831 chapExoCorrec/2081 sacados/2081 -3-2-123I23456789JOCf chapExoCorrec/9367 sacados/9367 chapExoCorrec/9361 sacados/9361 -2-12I234JOCf chapExoCorrec/9375 sacados/9375 chapExoCorrec/9374 sacados/9374 a-abIJO
-4-3-2-1234I-4-3-2-1234JO -4-3-2-1234I-4-3-2-1234JOCf 4. Función inversa: variaciones E.8284 Estudiaremos la función inversa f definida por: f : x ↦−→ 1 x 1 Dar el conjunto de definición D f de la función inversa. 2 a Completa la siguiente tabla de valores: x − 4 − 2 − 1 − 0 ; 5 0 ; 25 1 2 4 f ( x ) b Dibuja la curva representativa C f en el sistema de ref-erencia siguiente : 3 a Para a y b no nulos, establece la siguiente igualdad : f ( b ) − f ( a ) = a − b a · b . b Deduce el sentido de variación de la función inversa en R ∗ + . 4 ¾Tiene la curva representativa de la función f un eje de simetría o un centro de simetría? E.4854 1 Sea f la función que, para cualquier número distinto de cero, devuelve su inverso. Completa la tabla con los valores decimales de las imá-genes redondeados al centésimo : x − 10 − 3 − 2 − 0 ; 5 0 ; 2 0 ; 75 2 f ( x ) 2 a ¾Qué se puede decir de la comparación de dos números negativos y sus inversos? b ¾Qué se puede decir de la comparación de dos números positivos y sus inversos? E.340 Sean a y b dos números estrictamente positivos. 1 Para a = b , exprese la diferencia siguiente en forma de cociente : 1 a − 1 b . 2 Supongamos que b<a : a Determinar el signo de : 1 a − 1 b . b Comparar : 1 a y 1 b . E.9381 Compara los siguientes pares de números : a 1 3 ; 1 6 b 1 ı ; 1 3 c − 1 5 ; 15 ; − 1 5 ; 105 5. Función inversa: imágenes de intervalo E.2818 Consideremos la función inversa f cuya curva representativa C f en un sistema de referencia O ; I ; J se da a continuación : https://chingmath.fr chapExoCorrec/8284 sacados/8284 -4-3-2-1234I-4-3-2-1234JO chapExoCorrec/4854 sacados/4854 chapExoCorrec/340 sacados/340 chapExoCorrec/9381 sacados/9381 chapExoCorrec/2818 sacados/2818 -4-3-2-1234I-4-3-2-1234JOCf
-4-3-2-1234I-4-3-2-1234JO -4-3-2-1234I-4-3-2-1234JOCf -4-3-2-1234I-4-3-2-1234JOCf -3-2-123I-3-2-123JO −∞0∞∞0−∞0xVariationdef Gráficamente y sin justificar, da la imagen por la función f de los siguientes intervalos: a 1 ; 2 b − 3 ; − 0 ; 5 c 0 ; 25 ; 4 E.9363 Da, sin justificar, la imagen de los siguientes intervalos por la función inversa : a − 4 ; − 1 b 2 ; 5 2 c 0 ; 0001 ; 1 ; 5 E.9373 Sin justificación, dibuja la imagen de los intervalos siguientes mediante la función inversa : a 10 − 1 ; 10 5 b 10 − 10 ; 10 − 9 c − 10 6 ; − 10 5 E.2161 Considera las siguientes representa-ciones de las funciones cuadrada e inversa en las marcas de abajo : Utilizando las representaciones gráficas anteriores, determina las imágenes de los siguientes conjuntos por la función in-versa : a − 3 ; − 1 b 1 9 ; 1 2 c − 1 ; 0 ∪ 0 ; 1 E.9366 En un sistema de coordenadas ortonormales O ; I ; J , se da la curva C f representativa de la función inversa : Complete, sin justificación, las siguientes afirmaciones : 1 Si x ∈ 2 ; 4 entonces 1 x ∈ :::::: 2 Si x ∈ 0 ; 2 entonces 1 x ∈ :::::: 3 Si x ∈ −∞ ; − 1 2 entonces 1 x ∈ :::::: E.9364 Da, sin justificar, las imágenes de los siguientes intervalos por la función inversa : a 1 ; 2 b 0 ; 5 c 3 ; + ∞ E.9376 Consideremos la función inversa de-notada por f . Sin justificación, dé las imágenes de los intervalos siguientes mediante la función f : a 3 ; + ∞ b −∞ ; − 1 c 0 ; 1 2 6. Función inversa: ecuación e inecuación E.9368 Resuelve las siguientes ecuaciones : a 1 x = 2 b 1 x = 0 c 1 x = − 4 E.9362 Consideremos la función inversa denotada por f , cuya curva rep-resentativa C f en un sistema de coordenadas O ; I ; J se mues-tra a continuación : Gráficamente y sin justificación, dé el conjunto de soluciones de las siguientes inequaciones : a 1 x 1 b 1 x < − 3 c 1 x > 7 E.9377 Representación de la función inversa : Sea f la función inversa. A continuación se muestran la curva representativa y la tabla de variaciones de la función f : Basándose en la curva representativa o en la tabla de varia-ciones de la función inversa, indique, sin justificación, los con-juntos de soluciones para cada una de las siguientes desigual-dades : a 1 x 1 5 b 1 x > 3 4 c 1 x < − 1 3 E.9378 Sin justificar, da el conjunto de solu-ciones de las siguientes inecuaciones : a 1 x > − 1 b 1 x < 2 7. Raíz cuadrada: variación https://chingmath.fr chapExoCorrec/9363 sacados/9363 chapExoCorrec/9373 sacados/9373 chapExoCorrec/2161 sacados/2161 -4-3-2-1234I-4-3-2-1234JO chapExoCorrec/9366 sacados/9366 -4-3-2-1234I-4-3-2-1234JOCf chapExoCorrec/9364 sacados/9364 chapExoCorrec/9376 sacados/9376 chapExoCorrec/9368 sacados/9368 chapExoCorrec/9362 sacados/9362 -4-3-2-1234I-4-3-2-1234JOCf chapExoCorrec/9377 sacados/9377 -3-2-123I-3-2-123JO −∞0∞∞0−∞0xVariationdef chapExoCorrec/9378 sacados/9378
-123456789I-1234JO xy0369123 0∞0∞xVariationdef E.403 Estudiaremos la función raíz cuadrada h definida por: f : x ↦−→ x 1 Dar el conjunto de definición D f de la función raíz cuadrada. 2 a Completa la siguiente tabla de valores: x 0 0 ; 125 0 ; 25 1 2 4 9 f ( x ) b Dibuja la curva representativa C f en el sistema de ref-erencia siguiente : 3 a Para a y b no nulos, establecer la siguiente igualdad : a − b = a − b a + b . b Deduce la dirección de variación de la función raíz cuadrada en R + . 4 ¾Tiene la curva representativa de la función f un eje de simetría o un centro de simetría? 8. Raíz cuadrada: imagen de intervalo E.4515 Representación de la función raíz cuadrada : A continuación se presentan la curva representativa y la tabla de variación de la función raíz cuadrada : Sin justificar, da las imágenes de los intervalos siguientes por la función raíz cuadrada : a 1 ; 4 b 0 ; 81 ; 2 ; 25 c 5 ; 9 9. Raíz cuadrada: ecuación e inecuación E.4972 Sin justificar, dar el conjunto solu-ción de las siguientes inecuaciones : a x> 4 b x< 9 E.4535 Sin justificar, da el conjunto de solu-ciones de las siguientes inecuaciones : a x> 3 b x< 5 10. Función cubo: variaciones E.8286 Estudiaremos la función cúbica h definida por: f : x ↦−→ x 3 1 Dar el conjunto de definición D f de la función cubo. 2 a Completa la siguiente tabla de valores: x − 2 − 1 − 0 ; 5 0 0 ; 5 1 2 f ( x ) b Dibuja la curva representativa C f en el sistema de ref-erencia siguiente : https://chingmath.fr chapExoCorrec/403 sacados/403 -123456789I-1234JO chapExoCorrec/4515 sacados/4515 xy0369123 0∞0∞xVariationdef chapExoCorrec/4972 sacados/4972 chapExoCorrec/4535 sacados/4535 chapExoCorrec/8286 sacados/8286
-2-12I-8-6-4-22468JO xy-2-1012-6-4-2246 −∞∞−∞∞xVariationdef 3 a Para a y b no nulos ambos, establece la siguiente igualdad : f ( b ) − f ( a )= b − a b 2 + a · b + a 2 b Deduce el sentido de variación de la función cúbica en R − y en R + . 4 ¾Tiene la curva representativa de la función f un eje de simetría o un centro de simetría? E.9382 Propuesta: se comparan dos números y sus cubos en el mismo orden. 1 Sean a y b dos números estrictamente negativos tales que a<b . Comparar los dos números a 3 y b 3 . 2 Sean a y b dos números estrictamente negativos tales que a 2 <b 2 . Comparar los dos números a 3 y b 3 . 11. Función cubo: imágenes a intervalos E.9380 Representación de la función cúbica : A continuación se muestran la curva representativa y la tabla de variaciones de la función cúbica : Sin justificación, da las imágenes de los intervalos siguientes mediante la función cúbica : a 1 ; 4 b − 3 ; − 1 c − 3 4 ; − 3 2 12. Función cúbica: ecuaciones e inecuaciones E.4536 Sin justificar, responde a las sigu-ientes preguntas : 1 Resuelve la inecuación : x 3 > 8 2 Resuelve la inecuación : x 3 27 13. Posiciones relativas de las funciones de referencia E.305 1 Completa la siguiente tabla : a 0 0 ; 3 0 ; 7 1 10 a 2 0 ; 04 18 ; 49 a 3 1 ; 728 2 Sea x un número real positivo ( x ∈ R + ) : a ¾Cuáles son los valores de x que satisfacen la igualdad : x = x 2 ? b ¾Cuáles son los valores de x que satisfacen la desigual-dad : x <x 2 ? c ¾Cuáles son los valores de x que satisfacen la desigual-dad : x > x 2 ? 3 Denotemos por E la expresión : E = x 2 − x . a Descomponer en factores la expresión E . b Estudiar el signo de E respecto a 0 ; 1 . A partir de ahí, deducir la comparación entre x y x 2 respecto a 0 ; 1 . c Analizar el signo de E respecto a 1 ; + ∞ . A partir de ahí, deducir la comparación entre x y x 2 respecto a 1 ; + ∞ . 4 Mediante un método similar al de las preguntas anteri-ores, comparar los números x 2 y x 3 para cualquier valor https://chingmath.fr -2-12I-8-6-4-22468JO chapExoCorrec/9382 sacados/9382 chapExoCorrec/9380 sacados/9380 xy-2-1012-6-4-2246 −∞∞−∞∞xVariationdef chapExoCorrec/4536 sacados/4536 chapExoCorrec/305 sacados/305
23I2JOCfCgCh positivo de x ( x ∈ R + ) . E.2703 Consideremos las tres funciones f , g , h definidas por: f : x ↦−→ x ; g : x ↦−→ x 2 ; h : x ↦−→ x cuyas curvas representativas vienen dadas en el sistema de referencia O ; I ; J ortonormal a continuación : 1 Gráficamente, investiga la posición relativa de las curvas C f , C g y C h en R + . Establezcamos algebraicamente el resultado de la pregunta anterior: 2 a Dibuja la tabla de signos de la expresión x 2 − x . b Compara las funciones f y g en cada uno de los inter-valos 0 ; 1 y 1 ; + ∞ . 3 a Para x ∈ 0 ; + ∞ , establece la igualdad : f ( x ) − h ( x ) = x 2 − x x + √ x b Compara las funciones f y h en cada uno de los inter-valos 0 ; 1 y 1 ; + ∞ . E.2959 1 Consideremos las dos funciones f y g definidas por: f : x ↦−→ x − 1 2 ; g : x ↦−→ x 2 − 1 2 Compara las funciones f y g en el intervalo 0 ; 1 . 2 Consideremos las funciones h y j definidas por: h : x ↦−→ 1 2 √ x + 1 ; j : x ↦−→ 1 2 x + 1 Compara las funciones h y j en cada uno de los intervalos 0 ; 1 y 1 ; + ∞ . E.9372 Consideremos las dos funciones f y g definidas en R por las expresiones : f ( x ) = x 4 ; g ( x ) = x En el plano provisto de un sistema de coordenadas, se deno-tan C f y C g las curvas representativas de las funciones f y g . 1 Determinar el polinomio P que verifica la igualdad : f ( x ) − g ( x ) = x · x − 1 ·P x 4 + x 2 Deduzca la posición relativa de las curvas C f y C g en los intervalos 0 ; 1 y 1 ; + ∞ . 14. Compartir E.2729 Denotamos por f la función cuadrada. Digamos si las siguientes afirmaciones son ˇ verdad ı o ˇ fausses ı. En el caso de que una afirmación sea falsa, se citará un contraejemplo : 1 Si x> 1 entonces x 2 > 1 . 2 Si x 2 > 1 entonces x> 1 . 3 La imagen del intervalo − 3 ; 4 por la función f es 9 ; 16 . 4 La imagen del intervalo − 5 ; 1 por la función f es 0 ; 25 . 5 − 4 < 1 = ⇒ f ( − 4) <f (1) . 6 La función f es creciente en R . 15. Ejercicios no clasificados E.9379 Sin justificar, da las imágenes, de forma simplificada, de los intervalos que aparecen a contin-uación por la función raíz cuadrada : a 10 4 ; 10 20 b 2 16 ; 2 32 https://chingmath.fr chapExoCorrec/2703 sacados/2703 23I2JOCfCgCh chapExoCorrec/2959 sacados/2959 chapExoCorrec/9372 sacados/9372 chapExoCorrec/2729 sacados/2729 chapExoCorrec/9379 sacados/9379
÷149162536496481100121144169196225114916253649648110012114416919622540;2512;2546;25912;251620;252530;253642;254956;2590;110;4411;782;7845;447;11911;1113;441618;7821;7825160;060;250;5611;562;253;0645;066;257;56910;5612;2514;06250;040;160;360;6411;441;962;563;2444;845;766;767;849360;030;110;250;440;6911;361;782;252;783;3644;695;446;25490;020;080;180;330;510;7311;311;652;042;472;943;4544;59640;020;060;140;250;390;560;7711;271;561;892;252;643;063;52810;010;050;110;200;310;440;600;7911;231;491;782;092;422;781000;010;040;090;160;250;360;490;640;8111;211;441;691;962;251210;010;030;070;130;210;300;400;530;670;8311;191;401;621;861440;010;030;060;110;170;250;340;440;560;690;8411;171;361;561690;010;020;050;090;150;210;290;380;480;590;720;8511;161;331960;010;020;050;080;130;180;250;330;410;510;620;730;8611;1522500;020;040;070;110;160;220;280;360;440;540;640;750;871 x-4-2024y24C1 x-4-2024y481216C2 x-8-6-4-202468y481216C3 E.1825 La tabla siguiente muestra los co-cientes, redondeados al centésimo, de cuadrados de números enteros : 1 a Utilizando la tabla, comprueba el siguiente marco: 100 81 < 1 ; 25 < 81 64 b Con ayuda de la tabla, justifica el encuadre : 10 9 < 1 ; 25 < 9 8 2 Establece el encuadre : 15 14 < 1 ; 16 < 13 12 3 Con ayuda de la tabla, da el encuadre más preciso del número 2 ; 5 . E.7379 1 Para todos los números reales a y b , establece la igual-dad : a 3 − b 3 = a − b · a + b 2 2 + 3 · b 2 4 2 Establece que la función cúbica es estrictamente creciente en R . E.5029 1 Sean a y b dos números reales. Establezca la siguiente identidad : a 3 − b 3 = a − b · a 2 + a · b + b 2 2 Consideremos la función f definida en R , cuya imagen de un número x se define por: f ( x ) = x 3 Establezca que la función f es creciente en −∞ ; 0 . E.8025 Cuál de las curvas siguientes es la representación de la función cuadrada : https://chingmath.fr chapExoCorrec/1825 sacados/1825 ÷149162536496481100121144169196225114916253649648110012114416919622540;2512;2546;25912;251620;252530;253642;254956;2590;110;4411;782;7845;447;11911;1113;441618;7821;7825160;060;250;5611;562;253;0645;066;257;56910;5612;2514;06250;040;160;360;6411;441;962;563;2444;845;766;767;849360;030;110;250;440;6911;361;782;252;783;3644;695;446;25490;020;080;180;330;510;7311;311;652;042;472;943;4544;59640;020;060;140;250;390;560;7711;271;561;892;252;643;063;52810;010;050;110;200;310;440;600;7911;231;491;782;092;422;781000;010;040;090;160;250;360;490;640;8111;211;441;691;962;251210;010;030;070;130;210;300;400;530;670;8311;191;401;621;861440;010;030;060;110;170;250;340;440;560;690;8411;171;361;561690;010;020;050;090;150;210;290;380;480;590;720;8511;161;331960;010;020;050;080;130;180;250;330;410;510;620;730;8611;1522500;020;040;070;110;160;220;280;360;440;540;640;750;871 chapExoCorrec/7379 sacados/7379 chapExoCorrec/5029 sacados/5029 chapExoCorrec/8025 sacados/8025 x-4-2024y24C1 x-4-2024y481216C2 x-8-6-4-202468y481216C3