ESO 4 / Punto medio de un segmento y norma de un vector 66 ejercicios (100% corregidos)

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-22468101214I-4-224JOCD -5-4-3-2-12345I-3-2-12JO -4-3-2-12I-2-1JOABCD ChingQuizz : 7 ejercicios disponibles para la evaluación de QCM : 1. A lo largo E.941 Consideremos el plano provisto del sistema de referencia ( O ; I ; J ) ortonormal a continuación : 1 El objetivo de esta pregunta es determinar la longitud del segmento [ CD ] : a Dar las coordenadas de los puntos C y D . b Sitúa el punto E (14 ; − 2) . Cuál es la naturaleza del triángulo CDE ? c Da las medidas de los segmentos [ CE ] y [ ED ] . d Utilizando el teorema de Pitágoras, determina la lon-gitud del segmento [ CD ] . 2 Coloca los puntos F ( − 2 ; 4) y G (13 ; − 4) en el marcador. Utilizando un enfoque similar, demuestre que : FG =17 3 Sean A y B dos puntos cualesquiera del plano con coor-denadas ( x A ; y A ) y ( x B ; y B ) respectivamente. Justificar que la distancia AB en función de x A , x B , y A y y B se expresa como: AB = x B − x A 2 + y B − y A 2 4 Utiliza la fórmula para establecer que : CG = 125 E.8294 Consideremos el plano provisto del sistema de referencia O ; I ; J que se muestra a contin-uación : 1 a Sitúa los puntos A y B con coordenadas : A ( − 3 ; 5 ; − 2 ; 5) ; B (1 ; 5 ; − 2 ; 5) b Da, gráficamente, la longitud del segmento [ AB ] . 2 a Sitúa los puntos D y C con coordenadas : C (3 ; 5 ; − 3) ; D (3 ; 5 ; 1) b Da, gráficamente, la longitud del segmento [ CD ] . 3 a Sitúa los puntos E y F con coordenadas : E ( − 4 ; − 2) ; F (1 ; 2) b Da la medida exacta del segmento [ EF ] . Todo rastro de investigación o iniciativa se tendrá en cuenta en la valoración del ejercicio 2. Normas vectoriales E.8295 En el plano provisto de un sistema de coordenadas ortonormales O ; I ; J , consideramos los seis puntos representados a continuación : 1 Indique la medida, en centímetros, de la unidad del sis- tema de coordenadas. 2 a El segmento [ AB ] se ha subdividido en 5 partes iguales. Comprueba que el segmento [ AB ] mide 5 unidades. b Mediante lectura gráfica, completa los puntos suspen-sivos que aparecen a continuación : x A = : : : ; y A = : : : ; x B = : : : ; y B = : : : c Da el valor de la expresión siguiente : x B − x A 2 + y B − y A 2 https://chingmath.fr chapExoCorrec/941 sacados/941 -22468101214I-4-224JOCD chapExoCorrec/8294 sacados/8294 -5-4-3-2-12345I-3-2-12JO chapExoCorrec/8295 sacados/8295 -4-3-2-12I-2-1JOABCD
-6-5-4-3-2-123456I-2-123JO -123I-3-2-1234JO Propuesta: Consideremos el plano provisto de un sistema de coordenadas ortonormales y A ( x A ; y A ) y B ( x B ; y B ) . La distancia AB tiene como valor: AB = x B − x A 2 + y B − y A 2 2 a Complete los puntos para obtener la expresión que da la medida del segmento [ CD ] : CD = : : : − : : : 2 + : : : − : : : 2 b Indique la medida del segmento [ CD ] . E.11473 Recordatorio : En el plano provisto de un sistema de coordenadas ortonormales, consideramos los dos puntos A ( x A ; y A ) y B ( x B ; y B ) . El vector −−→ AB tiene las siguientes coordenadas : −−→ AB ( x B − x A ; y B − y A ) Propuesta: En el plano provisto de un sistema de coor-denadas ortonormales, consideramos un vector −→ u con coor-denadas −→ u ( x ; y ) . La norma del vector −→ u tiene el siguiente valor: −→ u = x 2 + y 2 En el plano provisto de un sistema de coordenadas ortonormales, consideramos los tres puntos : A (2 ; − 10) ; B (20 ; 14) ; C (23 ; 10) 1 Determinar las coordenadas de los vectores −−→ AB , −→ AC y −−→ BC . 2 Establecer las normas : −−→ AB = 30 ; −→ AC = 29 ; −−→ BC = 25 E.11474 En el plano provisto de un sistema de coordenadas ortonormales, se consideran los tres puntos : A ( − 3 ; − 4) ; B (2 ; 8) ; C (12 ; 32) 1 Determinar las coordenadas de los vectores −−→ AB , −→ AC y −−→ BC . 2 Establecer las normas : −−→ AB = 13 ; −→ AC = 39 ; −−→ BC = 26 E.9601 En el plano provisto de un sistema de coordenadas O ; I ; J ortonormado, se consideran los dos puntos : E ( − 1 ; − 2) ; F (2 ; 5 ; − 1 ; 5) . Determinar la longitud EF . E.8296 En el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J ortonormal, considera los dos puntos A y B cuyas coordenadas son : A 11 3 ; 3 ; B 5 3 ; 3 2 Determina la medida del segmento [ AB ] . 3. Longitud y triángulo isósceles E.4523 En el plano provisto de la referencia ortonormal O ; I ; J , consideramos los tres puntos A , B y C con coordenadas : A ( − 3 ; − 2) ; B (2 ; 0) ; C ( − 1 ; 3) 1 a Determinar las coordenadas del vector −−→ AB . b Deduzca que : −−→ AB = 29 2 Determine la norma −→ AC . 3 a Colocar los puntos A , B y C en el sistema de coor-denadas anterior: b Justificar que el triángulo ABC es isósceles en A . E.4525 Consideremos el plano provisto de un sistema de coordenadas ortonor-males O ; I ; J con los tres pun-tos : A (3 ; 1) ; B (1 ; 2) ; C ( − 1 ; − 2) 1 Colocar los puntos A , B y C en el sistema de coordenadas anterior. 2 a Determinar las normas de los vectores −−→ AB , −→ AC , −−→ BC . b Establecer que el triángulo ABC es un triángulo rectán-gulo. Se precisará el vértice de su ángulo recto. E.4524 Se dota al plano de un sistema de coordenadas ortonormales O ; I ; J . Consideramos los tres puntos : A (1 ; 2) ; B (2 ; − 1) ; C ( − 2 ; 1) 1 Determinar la norma de los vectores −−→ AB y −→ AC . 2 Establecer que el triángulo ABC es isósceles en A . https://chingmath.fr chapExoCorrec/11473 sacados/11473 chapExoCorrec/11474 sacados/11474 chapExoCorrec/9601 sacados/9601 chapExoCorrec/8296 sacados/8296 chapExoCorrec/4523 sacados/4523 -6-5-4-3-2-123456I-2-123JO chapExoCorrec/4525 sacados/4525 -123I-3-2-1234JO chapExoCorrec/4524 sacados/4524
-2246I-6-4-22JO E.2706 En el plano provisto de un sistema de coordenadas ortonormales ( O ; I ; J ) , consideramos los tres puntos A , B , C con coordenadas respectivas : A ( − 1 ; − 1) ; B (2 ; 3) ; C 9 2 ; − 2 . 1 Determinar las normas de los vectores −→ AC y −−→ BC . 2 Establecer que el triángulo ABC es isósceles en C . 4. Longitud y triángulo rectángulo E.11531 En un sistema de coordenadas ortonormales O ; I ; J , con-sideramos los tres puntos : A ( − 3 ; 5) ; B (28 ; 5 ; 13) ; C (21 ; 23) 1 Establezca las siguientes igualdades : −−→ AB = 32 ; 5 ; −→ AC = 30 2 a Determine la longitud del segmento [ BC ] . b Deduzca que el triángulo ABC es rectángulo. E.11534 En un sistema de coorde-nadas ortonormales O ; I ; J , consideramos los tres puntos : A ( − 3 ; 5) ; B (25 ; 21 ; 5) ; C (7 ; 29) 1 Establezca las siguientes igualdades : −−→ AB = 32 ; 5 ; −→ AC = 26 2 a Determine la longitud del segmento [ BC ] . b Deduzca que el triángulo ABC es rectángulo. E.9600 Se dota al plano de un sistema de coordenadas ortonormales O ; I ; J . Se consideran los tres puntos siguientes : D ( − 3 ; − 1) ; E ( − 2 ; − 2) ; F (0 ; 2) Demuestre que el triángulo DEF es rectángulo en D . 5. Longitud y cuadrilátero E.2705 Consideremos el plano pro-visto de un sistema de coordenadas ortonormales ( O ; I ; J ) y los cuatro pun-tos A , B , C , D con coorde-nadas respectivas : A ( − 2 ; − 3) ; B (0 ; 1) C (6 ; − 2) ; D (4 ; − 6) . 1 Sitúa estos cuatro puntos en el sistema de coordenadas siguiente : 2 a Determina las medidas exactas de los cuatro lados del cuadrilátero ABCD . b Establecer que el cuadrilátero ABCD es un paralelo-gramo. 3 Demostrar que ABCD es un rectángulo. E.10623 En el plano provisto de un sistema de coordenadas ortonormales, se consideran los cuatro pun-tos : A ( − 10 ; − 5) ; B ( − 8 ; 3) ; C (14 ; 2) ; D (12 ; 18) 1 Determinar −→ AC y −−→ BD . 2 Establecer que el cuadrilátero ABCD no es un rectán-gulo. 6. Longitud y geometría E.8039 Consideremos el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J y la circunferencia C de centro A (3 ; 2) y radio 5 . 1 Cuál de los puntos B (6 ; 6) y C (2 ; 7) pertenece a la cir-cunferencia C : 2 Representa esta configuración para comprobar tus re-spuestas. E.8108 En el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J , consideremos la circunferencia C de centro A ( − 3 ; − 2) y radio 5 , el círculo C de centro B (4 ; 1) y radio 3 y el punto C de coordenadas C (1 ; 1) . 1 a Demuestra que el punto C pertenece a las circunfer-encias C y C . b Demuestre que el punto D 56 29 ; − 34 29 es el segundo punto de intersección de las circunferencias C y C . 2 Justifica que el triángulo ABC no es un triángulo rectán-gulo. https://chingmath.fr chapExoCorrec/2706 sacados/2706 chapExoCorrec/11531 sacados/11531 chapExoCorrec/11534 sacados/11534 chapExoCorrec/9600 sacados/9600 chapExoCorrec/2705 sacados/2705 -2246I-6-4-22JO chapExoCorrec/10623 sacados/10623 chapExoCorrec/8039 sacados/8039 chapExoCorrec/8108 sacados/8108
IJOCfFMP IJOABCIxAxBx -3-2-1234I-3-2-123456JOABCD E.8365 En el plano provisto de un sistema de referencia O I ; J , consideremos la curva C f representa-tiva de la función cuadrada, la recta con ecuación y = − 1 4 y el punto F 0 ; 1 4 . Demuestra que cualquier punto M de la curva C f equidista del punto F y de la recta (Δ) . Pista : observa P la proyección ortogonal del punto M sobre la recta Δ . . 7. Introducción al punto medio de un segmento E.489 Considera el plano provisto de la ref-erencia ( O ; I ; J ) y dos puntos A y B de coordenadas ( x A ; y A ) y ( x B ; y B ) respectivamente. Sea I el punto medio del segmento [ AB ] . En el eje x, el punto de abscisa x es el punto medio de los dos puntos de abscisa x A y x B . El objetivo de este ejercicio es determinar las coordenadas del punto I en función de las coordenadas de los de los puntos A y B . 1 a Justifica la siguiente igualdad : x − x A = x B − x b Deduce de la igualdad anterior, el valor de x en función de x A y x B . 2 Justifica que el punto I tiene abscisa x A + x B 2 . 3 Deduce que el punto I tiene las siguientes coordenadas : I x A + x B 2 ; y A + y B 2 8. Punto medio de un segmento E.2707 Propuesta: En el plano provisto de un sistema de coordenadas ortonormales, consideramos los dos puntos A ( x A ; y A ) y B ( x B ; y B ) . El punto medio M del segmento [ AB ] tiene las siguientes coordenadas : M x A + x B 2 ; y A + y B 2 Consideramos el plano provisto del sistema de coordenadas ortonormales ( O ; I ; J ) y los cuatro puntos A , B , C y D indi-cados a continuación : 1 Da las coordenadas de los puntos A , B , C . 2 a Sea K el punto medio del segmento [ AC ] , determina https://chingmath.fr chapExoCorrec/8365 sacados/8365 IJOCfFMP chapExoCorrec/489 sacados/489 IJOABCIxAxBx chapExoCorrec/2707 sacados/2707 -3-2-1234I-3-2-123456JOABCD
las coordenadas de K . b Sea L el punto medio de [ BD ] , determine las coorde-nadas del punto L . 3 Deduzca la naturaleza del cuadrilátero ABCD . E.11499 Propuesta: Sean A ( x A ; y A ) y B ( x B ; y B ) dos puntos del plano provisto de un sistema de coordenadas ortonormales. El punto medio M del segmento [ AB ] tiene las siguientes coordenadas : M = x A + x B 2 ; y A + y B 2 Consideremos el plano provisto de un sistema de coordenadas. 1 Tenemos las coordenadas : A ( − 3 ; 2) ; B (4 ; − 4) Determina las coordenadas del punto M , punto medio del segmento [ AB ] . 2 Tenemos las coordenadas : C (3 ; 1) ; D (5 ; − 1) Determinar las coordenadas del punto N , punto medio del segmento [ CD ] . E.10624 En el plano provisto de un sistema de coordenadas, se consid- eran los cuatro puntos : A ( − 3 ; 4) ; B (6 ; 1) ; C (1 ; 0) ; D ( − 8 ; 3) 1 Determinar las coordenadas de los puntos M y N , medios respectivos de los segmentos [ AC ] y [ BD ] . 2 Justificar que el cuadrilátero ABCD es un paralelo-gramo. E.11532 En el plano provisto de un sistema de coordenadas, se consid-eran los cuatro puntos : A (2 ; 1) ; B ( − 3 ; − 1) ; C ( − 8 ; − 5) ; D ( − 3 ; − 3) 1 Determinar las coordenadas de los puntos M y N , medios respectivos de los segmentos [ AC ] y [ BD ] . 2 Justificar que el cuadrilátero ABCD es un paralelo-gramo. E.9602 En el plano provisto de un sistema de referencia ortonormal, considera los puntos : A 1 2 ; − 3 2 ; B ( − 2 ; 0) ; C − 1 3 ; 15 7 ; D 13 6 ; 9 14 Establece que el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo. 9. Largo y medio E.8038 En el plano provisto de un sistema de coordenadas ortonormales O ; I ; J , consideramos el círculo C y dos puntos A (2 ; 1) y B (10 ; 7) diametralmente opuestos en el círculo C . Determinar las coordenadas del punto M centro del círculo C y la medida del radio del círculo. E.8072 En el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J ortonormal, considera los tres puntos : A (2 ; 4 ; 2) ; B (1 ; 4 ; − 3) ; C (3 ; − 2 ; 8) 1 Determina la medida del segmento [ AB ] . 2 Se suponen las siguientes medidas : BC = 2 ; 6 ; AC = 23 ; 4 Justifica que el triángulo ABC es un triángulo rectán-gulo. 3 Considere el punto D (0 ; 8 ; 1 ; 8) . Demuestra que el cuadrilátero ACBD es un rectángulo. E.8061 En un sistema de referencia O ; I ; J ortonormal, considera los dos puntos : A (1 ; 2) ; B (1 ; − 3) ; C (3 ; 4 ; 0 ; 2) 1 Justifica que la recta ( AB ) es paralela al eje y. Se suponen las siguientes medidas : AB =5 ; AC =3 2 Establece que el triángulo ABC es acutángulo en C . 3 Determinar las coordenadas del punto medio del seg-mento [ BC ] . E.8426 En un sistema de referencia O ; I ; J ortonormal, considera los tres puntos : A (5 ; − 2) ; B ( − 1 ; 3) ; C (2 ; 2 ; 4 ; 9) 1 Determina la longitud del segmento [ AB ] . 2 Determina las coordenadas del punto medio K del seg-mento [ BC ] . E.2709 Consideremos los siguientes cuatro puntos caracterizados por sus coordenadas en un sistema de referencia ortonormal ( O ; I ; J ) : A ( − 4 ; − 1) ; B ( − 3 ; − 4) ; C (3 ; − 2) ; D (2 ; 1) Demuestra que el cuadrilátero ABCD es un rectángulo. E.950 Consideremos un sistema de referencia ortonormal ( O ; I ; J ) . La unidad elegida es el cen-tímetro . 1 Coloca los puntos : A (2 ; 2) ; B ( − 4 ; 5) ; C ( − 4 ; − 2) 2 a Demuestra que AC es igual a 52 cm . b ¾Es el triángulo ABC isósceles en C ? Justifica. 3 a Determina las coordenadas de la K media de [ AB ] . b ¾Es la recta ( CK ) la mediatriz del segmento [ AB ] ? Justifica. E.923 1 En un sistema de coordenadas ortonormales ( O ; I ; J ) , sitúe los puntos : A ( − 3 ; 1) ; B − 3 2 ; 5 2 ; C (3 ; − 2) ; D 3 2 ; − 7 2 2 Demuestre que : AC = 45 . 3 Demuestre que ABC es un triángulo rectángulo en B . 4 Establezca que el cuadrilátero ABCD es un rectángulo. https://chingmath.fr chapExoCorrec/11499 sacados/11499 chapExoCorrec/10624 sacados/10624 chapExoCorrec/11532 sacados/11532 chapExoCorrec/9602 sacados/9602 chapExoCorrec/8038 sacados/8038 chapExoCorrec/8072 sacados/8072 chapExoCorrec/8061 sacados/8061 chapExoCorrec/8426 sacados/8426 chapExoCorrec/2709 sacados/2709 chapExoCorrec/950 sacados/950 Groupe Ouest - Juin 2004 - 3,5 points chapExoCorrec/923 sacados/923
IJO r569-0 10. Centrar y hallar las coordenadas de un punto E.917 Considera el plano provisto de un sistema de referencia ortonormal ( O ; I ; J ) y los siguientes puntos determinados por sus coordenadas : A ( − 4 ; 1) ; B (1 ; 3) ; C ( − 2 ; − 3) . 1 Coloca sobre el marcador anterior los puntos A , B , C . 2 Determina las coordenadas del punto K punto medio del segmento [ AC ] . 3 Hallemos las coordenadas del punto D ( x D ; y D ) para que el cuadrilátero ABCD sea un paralelogramo: a Justifica que las coordenadas del punto D deben satis-facer las dos igualdades siguientes : 1 + x D 2 = − 3 ; 3 + y D 2 = − 1 b Deduce de las siguientes igualdades las coordenadas del punto D ; a continuación, sitúa este punto en el sistema de referencia. E.511 En un sistema de referencia O ; I ; J del plano, considera los puntos : A (3 ; 1) ; B ( − 4 ; 2) ; C ( − 1 ; 4) 1 Considera el punto D imagen del punto C por simetría de centro B . Determina las coordenadas del punto D . 2 Sea E el punto del plano tal que los segmentos [ AC ] y [ BE ] tienen el mismo punto medio. Determine las coordenadas del punto E . E.11533 En un sistema de coordenadas O ; I ; J , consideramos tres puntos A (5 ; 2 ; 3 ; 1) , B ( − 3 ; 5 ; 4 ; 7) , C . Determinar las coordenadas del punto C para que el punto B sea el punto medio del segmento [ AC ] . Indicación : se dejará constancia de las investigaciones y los cálculos realizados. E.11590 En un sistema de coorde-nadas O ; I ; J , consideramos tres puntos A ( − 3 ; 2 ; 1 ; 7) , B (9 ; 5 ; − 4 ; 2) , C . Determinar las coordenadas del punto C para que el punto B sea el punto medio del segmento [ AC ] . Indicación : se dejará constancia de las investigaciones y los cálculos realizados. E.522 En un sistema de referencia ( O ; I ; J ) ortonormal, considera los tres puntos A , B y C de coorde-nadas : A (2 ; 1) ; B ( − 3 ; − 1) ; C (1 ; − 3) 1 Determina la medida de longitud AB . 2 Sea K el punto medio del segmento [ AC ] . Determinar las coordenadas del punto K . 3 Determina las coordenadas del punto D tal que el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo. E.9622 En el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J , considera los tres puntos : A (3 ; 25 ; − 1 ; 5) ; B (1 ; 1 ; 5) ; C (4 ; − 0 ; 75) 1 Demuestra que el triángulo ABC es isósceles en B . 2 Admite que el segmento [ AC ] tiene como punto medio el punto K (3 ; 625 ; − 1 ; 125) a Determina las coordenadas del punto D para que el segmento [ BD ] admita como punto medio el punto K . b Deduce la naturaleza del cuadrilátero ABCD justifi-cando tu respuesta. 11. Relaciones entre cuadriláteros E.4602 Remarque: les relaciones entre cuadriláteros particulares están disponibles en el documento adjunto : Consideremos el plano provisto de un sistema de coordenadas ortonormal O ; I ; J et los puntos : A ( − 2 ; 3) ; B (4 ; 5) ; D ( − 1 ; 0) 1 Determina las coordenadas del punto único C du plano de forma que el cuadrilátero ABCD soit un paralelo- gramo. 2 Demuestra que el cuadrilátero ABCD es un rectángulo. E.9603 Consideremos el plano provisto de un sistema de referencia ortonormal O ; I ; J y los puntos : A ( − 2 ; 3) ; B (4 ; 5) ; E (2 ; 1) ; F (0 ; 7) 1 Demuestra que el cuadrilátero AEBF es un paralelo-gramo. 2 Demostrar que el paralelogramo AEBF es un rombo. 3 Demuestra que el rombo AEBF es un cuadrado. https://chingmath.fr chapExoCorrec/917 sacados/917 IJO chapExoCorrec/511 sacados/511 chapExoCorrec/11533 sacados/11533 chapExoCorrec/11590 sacados/11590 chapExoCorrec/522 sacados/522 chapExoCorrec/9622 sacados/9622 chapExoCorrec/4602 sacados/4602 r569-0 chapExoCorrec/9603 sacados/9603
-4-3-2-1234I-123JO -4-2246810I-2246JOABC E.9621 En el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J ortonormal, considera los cuatro pun-tos A , B , C , D cuyas coordenadas son : A ( − 2 ; 1) ; B (2 ; 5 ; − 0 ; 5) ; C (3 ; 1) ; D ( − 1 ; 5 ; 2 ; 5) Suponemos que : AC = 5 . 1 Demostrar que el punto medio I del segmento [ BD ] tiene coordenadas : I (0 ; 5 ; 1) 2 Justifica que el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo. 3 Demuestra que el paralelogramo ABCD es un rectán-gulo. Nota: el marcador de abajo puede ayudarte a comprobar tus resultados : E.4593 Consideremos el plano con un sis-tema de coordenadas ortonormal O ; I ; J . Considera los cuatro puntos : A (3 ; 2) ; B (9 ; 5) ; C (1 ; 6) 1 Determina las coordenadas del punto D para que el cuadrilátero ABCD sea un paralelogramo. 2 Considera el punto E (7 ; 9) . Demuestra que el cuadrilátero ABEC es un rectángulo. E.4814 Se da al plano un sistema de refer-encia O ; I ; J . Consideremos entonces los dos puntos A , B y el vector −→ u definido por: A (0 ; − 4) ; B (2 ; 4) ; −→ u ( − 6 ; 10) Definimos el punto C como la imagen del punto A por la traslación del vector −→ u . 1 Justifica que el punto C tiene coordenadas ( − 6 ; 6) . 2 Determina las coordenadas del punto D tal que ABCD es un paralelogramo. Aceptamos las medidas : AB =2 17 ; AC =2 34 3 Determina la naturaleza del cuadrilátero ABCD . 12. Localización y vectores: geometría analítica E.944 En un sistema de coordenadas ortonormado ( O ; I ; J ) con unidad el centímetro, sitúa los siguientes puntos : A (6 ; 5) ; B (2 ; − 3) ; C ( − 4 ; 0) 1 Demuestra que : AB = 80 . Se proporcionan los siguientes datos adicionales : AC = 125 ; BC = 45 . 2 A partir de ello, deducir la naturaleza del triángulo ABC . Justificar la respuesta. 3 Calcular el área del triángulo ABC en cm 2 . 4 Se considera la circunferencia circunscrita al triángulo ABC . a Especifica la posición de su centro, denominado K , y la longitud de su radio. Justifica tu respuesta. Sitúa K . b Calcula las coordenadas de K . 5 a Calcular las coordenadas del vector −→ AC . b A partir de ahí, deducir las coordenadas del punto D de tal manera que ACBD sea un paralelogramo. c Situar el punto D . E.948 El plano cuenta con un sistema de coordenadas ortonormales O ; I ; J . Consideremos las coordenadas de los siguientes puntos : A ( − 4 ; 3) ; B ( − 1 ; − 1) ; C (7 ; 5) 1 Determina las coordenadas del vector −−→ AB y, a contin-uación, calcula la longitud del segmento [ AB ] . Para continuar con el problema, se supondrá que : BC = 10 ; AC = 125 2 Demostrar que el triángulo ABC es rectángulo. 3 Calcular las coordenadas del punto medio M de [ AC ] y situar el punto M en la figura anterior. 4 Demostrar que : MB = MC . 5 Sea N la imagen del punto M mediante la traslación del vector −−→ AB . https://chingmath.fr chapExoCorrec/9621 sacados/9621 -4-3-2-1234I-123JO chapExoCorrec/4593 sacados/4593 chapExoCorrec/4814 sacados/4814 chapExoCorrec/944 sacados/944 chapExoCorrec/948 sacados/948 -4-2246810I-2246JOABC
-4-22468I-4-224JO a ¾Qué relación vectorial cumple el punto N ? b A partir de ahí, deducir mediante cálculo las coorde-nadas del punto N . c Situar el punto N en el sistema de coordenadas. 6 Demuestra que los vectores −−→ AM , −−→ BN y −−→ MC son iguales. 7 Demostrar que el cuadrilátero BMCN es un rombo. 8 Demostrar que el triángulo ABC y el rombo BMCN tienen la misma área. E.926 Consideremos un plano pro-visto de un sistema de coordenadas ( O ; I ; J ) ortonormado cuya unidad es el centímetro. 1 Traza dicho sistema de coordenadas y, a lo largo del ejer-cicio, completa tu representación. 2 Localiza los puntos : M (1 ; 3) ; N ( − 1 ; 5) ; P ( − 3 ; 1) 3 Establece las siguientes igualdades : MN = 8 ; NP = MP = 20 . 4 A partir de ahí, deduce la naturaleza del triángulo MNP . 5 Sea A el punto medio de [ MN ] . Demuestra, sin realizar cálculos, que el triángulo APN es rectángulo. 6 Calcula las coordenadas de A . 7 Construye el punto R tal que : −−→ MR = −−→ PN 8 Calcula las coordenadas del vector −−→ PN . 9 A partir de las preguntas 6 et 7 , deduce las coorde-nadas del punto R . E.945 Se considera un sistema de coordenadas ortonormado ( O ; I ; J ) cuya representación se muestra a continuación : Se consideran los tres puntos siguientes : A ( − 4 ; 3) ; B (3 ; 2) ; C (1 ; − 2) Parte A 1 Situar los puntos A , B , C en el sistema de coordenadas ( O ; I ; J ) . 2 a Calcular AB . b Supongamos que el cálculo da como resultado : AC = 50 ; BC = 20 . ¾Qué se puede deducir de ello respecto al triángulo ABC ? 3 Sea H el punto medio del segmento [ BC ] . Comprueba mediante cálculo que H tiene como coordenadas (2 ; 0) . 4 Justifica que la recta ( AH ) es una altura del triángulo ABC . 5 a Demuestra que : AH = 45 . b Calcula el área del triángulo ABC Parte B 1 Calcula las coordenadas del vector −→ AC . 2 El punto D es la imagen del punto B mediante la traslación del vector −→ AC . a Localiza el punto D . b Demuestra mediante un cálculo que D tiene como co-ordenadas (8 ; − 3) . 3 ¾Qué tipo de cuadrilátero es ACDB ? Justifica tu re-spuesta. E.916 No es necesario realizar ninguna representación gráfica para resolver este ejercicio. En el plano provisto de un sistema de coordenadas ortonor-mado ( O ; I ; J ) , se consideran los puntos : A ( − 3 ; 2) ; B (0 ; 4) ; C ( − 1 ; − 1) . 1 a Indica las coordenadas del vector −−→ AB b Determina las coordenadas del punto D de modo que el cuadrilátero ABDC sea un paralelogramo. 2 a ¾Cuál es la longitud del segmento [ AB ] ? b Determina las coordenadas del punto medio I del seg-mento [ AB ] . 13. Utilización de coordenadas no racionales E.9623 En el plano provisto de un sistema de referencia ortonormal O ; I ; J , considera los tres puntos : A 3 − 2 ; 3 − 17 4 ; B 3+4 ; 3+ 1 4 C 1 − 8 3 ; − 2 + 13 3 Se acepta que el triángulo ABC es isósceles en C . 1 Determina la longitud del segmento [ AB ] . 2 Determina las coordenadas de la mitad del segmento [ AB ] . 3 Demostrar que el área A del triángulo ABC tiene el valor: A = 225 4 · 3 E.2740 En el plano provisto de un sistema de referencia ortonormal, considera los tres puntos siguientes : A ( − 5 ; − 4) ; B (3 ; − 2) ; C − 3 − 1 ; 4 3 − 3 Demuestra que el triángulo ABC es equilátero. https://chingmath.fr chapExoCorrec/926 sacados/926 chapExoCorrec/945 sacados/945 -4-22468I-4-224JO chapExoCorrec/916 sacados/916 dddddd chapExoCorrec/9623 sacados/9623 chapExoCorrec/2740 sacados/2740
-2-12345I-2-1234JOABCC -2-1234I-2-1234JOABC E.2754 Consideremos el plano con el sis-tema de referencia ( O ; I ; J ) ortonormal. Consideremos los tres puntos siguientes : A − 5 3 ; 1 ; B ( − 2 ; 1) ; C − 11 6 ; 1 − 3 6 1 Demostrar que : AC = 1 3 . 2 Demuestra que ABC es un triángulo equilátero. E.2753 Consideremos el plano provisto del sistema de referencia O ; I ; J ortonormal. Consideremos los tres puntos siguientes : A ( − 5 ; 2) ; B (1 ; 0) ; C − 3 − 2 ; 1 − 3 3 1 Establecer igualdad : AC = 40 . 2 Determinar la naturaleza del triángulo ABC . E.8040 Consideremos el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J y la circunferencia C de centro A ( − 3 ; 1) y radio 2 . De los puntos B − 7 5 ; 11 5 y C − 2 ; 3+1 , dar el punto o puntos pertenecientes al círculo C . 14. Coordinar la búsqueda y la identidad notable E.946 Se dota al plano de un sistema de coordenadas ortonormales O ; I ; J . Consideramos el círculo C con centro A (1 ; 1) y diámetro 5 . Los puntos B y C son los puntos de intersección del círculo C con la recta de ecuación x =3 . 1 ¾Cuáles son las abscisas de los puntos C y B ? 2 Justifica que la ordenada y C del punto C verifica la sigu-iente igualdad : 2 2 +(1 − y C ) 2 =6 ; 25 3 Recordemos la siguiente proposición : Proposición: si los cuadrados de los números son iguales, entonces estos dos números son iguales u opuestos. Lo que se traduce en : x 2 = y 2 = ⇒ x = y ou x = − y Deduzca las coordenadas de los puntos C y B . E.2724 Se da al plano un sistema de coor-denadas ortonormal O ; I ; J . Consideremos los dos puntos C y B de coordenadas (1 ; 1) y 11 5 ; 13 5 respectivamente. y la circunferencia C con centro C y que pasa por el punto B . Considera la recta paralela al eje y y que pasa por el punto B ; intercepta la circunferencia C por segunda vez en el punto A . El objetivo de este ejercicio es determinar las coordenadas del punto A . 1 Determina la medida del radio de la circunferencia C . 2 Establece que la ordenada del punto A verifica la ecuación : 6 5 2 + y A − 1 2 = 4 3 Deduce el valor de la ordenada del punto A . https://chingmath.fr chapExoCorrec/2754 sacados/2754 chapExoCorrec/2753 sacados/2753 chapExoCorrec/8040 sacados/8040 chapExoCorrec/946 sacados/946 -2-12345I-2-1234JOABCC chapExoCorrec/2724 sacados/2724 -2-1234I-2-1234JOABC
-4-3-2-1234I-2-1234JO E.4617 En el plano provisto del sistema de referencia O ; I ; J ortonormal, considera los puntos A y B : A (3 ; 1) ; B 3 5 ; − 4 5 Consideremos la circunferencia C de centro A y radio 3 . El marcador se irá completando a medida que avancen las preguntas. 1 Justifica que el punto B pertenece a la circunferencia C . 2 Determina las coordenadas de los puntos de la circunfer-encia C que tienen como abscisa 6 5 . 3 Las coordenadas del centro de gravedad G de un trián-gulo ABC vienen dadas por la fórmula : G x A + x B + x C 3 ; y A + y B + y C 3 Determina las coordenadas del punto C para que el trián-gulo ABC admita como centro de gravedad el punto J . E.2741 El plano tiene un sistema de coor-denadas ortonormal ( O ; I ; J ) . Consideremos los tres puntos siguientes definidos por sus coordenadas : A ( − 5 ; − 3) ; B (1 ; − 5) ; D ( − 1 ; 1) 1 Determina la medida del segmento [ AB ] . 2 Determinar las coordenadas del punto K punto medio del segmento [ AD ] . 3 Sea C un punto tal que el triángulo ABC es equilátero: a Justifica que el punto C verifica cada una de estas dos ecuaciones : x C +5 2 + y C +3 2 = 40 ; x C − 1 2 + y C +5 2 = 40 b Suponiendo que el punto C tiene abscisa − 3 − 2 , jus-tifica que su ordenada y C verifica el siguiente sistema de ecuaciones : y C 2 + 6 y C + 21 − 6 3 = 40 y C 2 + 10 y C + 37 + 6 6 = 40 c Deduce las coordenadas del punto C . 4 Determina las coordenadas del punto M tal que el cuadrilátero ABDM es un paralelogramo. 15. Ejercicios no clasificados E.942 Para cada línea de la sigu-iente tabla, se proponen tres respuestas, identificadas con los números 1. , 2. , 3. . Solo una es correcta. Escribe en la columna de la derecha el número correspondi-ente a la respuesta correcta. Todas las preguntas son independientes. Respuesta 1. Respuesta 2. Respuesta 3. A. Si A (5; 1) y B (2; 3) , en-tonces −−→ AB tiene como coor-denadas : (3; − 4) (7; 2) ( − 3; 2) B. Si A (5; − 1) y B (2; 3) en un sistema de coordenadas ortonormado, entonces AB es igual a: 5 1 7 C. Si D es la imagen de E mediante la traslación del vector −−→ MN , entonces : −−→ MN = −−→ DE −−→ ED = −−→ MN −−→ ED = −−→ NM D. Si RSTU es un paralelo-gramo, entonces −→ RS + −−→ RU es igual a: −→ TR −→ SU −→ RT E.915 1 En un sistema de coordenadas ortonormales O ; I ; J cuya unidad es el centímetro, sitúe los tres puntos sigu-ientes : A (6 ; 0) ; L (0 ; 8) ; K (4 ; 10) 2 Calcule la longitud AL . 3 Se da : AK = 104 y LK = 20 . Demuestre que el triángulo AKL no es rectángulo en L . 4 a Construir el punto L , imagen de L por simetría con respecto al eje de altura del triángulo AKL que sale de A . b Deduzca la longitud AL . c Determinar aproximadamente (mediante lectura grá-fica) las coordenadas de L . 5 Se admite que, si x es la abscisa de un punto M de la recta ( LK ) , entonces la ordenada de M es 1 2 x +8 : a Establezca la igualdad siguiente : AM 2 = 5 4 x 2 − 4 x + 100 b Deduzca los valores de x para los que se tiene : AM = 10 . c ¾Cuáles son entonces las coordenadas exactas de L ? https://chingmath.fr chapExoCorrec/4617 sacados/4617 -4-3-2-1234I-2-1234JO chapExoCorrec/2741 sacados/2741 chapExoCorrec/942 sacados/942 chapExoCorrec/915 sacados/915
-3-2-12345I-1234JO -5-4-3-2-12345I-2-1234JO E.927 Se dota al plano de un sistema de coordenadas O ; I ; J ortonormado, tal y como se muestra a continuación : 1 a Localiza los dos puntos siguientes : A ( − 2 ; 1) ; B (1 ; 2) b Determina gráficamente las coordenadas del vector −−→ AB . 2 a Localiza los puntos R y C , imágenes respectivas de los puntos O y B mediante la traslación del vector −−→ AB . b Indica las coordenadas de los puntos R y C . 3 Indica dos vectores iguales a −−→ AB . Justifica que BCRO es un paralelogramo. 4 Copia y completa, sin justificación, las igualdades : −→ OA + −−→ AB = : : : ; −−→ CB + −→ CR = : : : 5 Sea K el centro del paralelogramo BCRO . Calcula las coordenadas de K . E.6690 El plano está provisto de un sis-tema de coordenadas ortonormales. Consideremos los puntos A ( − 2 ; 5 ; 0 ; 5) , B ( − 1 ; 5 ; 2 ; 5) y C (0 ; 5 ; − 1) . 1 Sitúa los puntos A , B y C en el sistema de coordenadas que aparece a continuación. 2 Determine, mediante cálculo, las coordenadas de los vec-tores −−→ AB y −→ AC . 3 Coloque el punto D de tal manera que : −−→ AD = −−→ AB + −→ AC ( Aparecerán las líneas de construcción) 4 a Indique las coordenadas del vector obtenido por la suma : −−→ AB + −→ AC . b Deduzca, mediante cálculo, las coordenadas del punto D . Para continuar, admitimos que D (1 ; 5 ; 1) . 5 a Determinar las coordenadas del vector −−→ CD . b Deduzca que el cuadrilátero ABDC es un paralelo-gramo. 6 ¾Es ABDC un rectángulo? Justifica tu respuesta. 7 Se da E − 3 4 ; 4 . ¾Están alineados los puntos A , B y E ? E.4736 En el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J , la recta ( d ) de ecuación reducida : ( d ) : y = − 3 x − 1 Determina las coordenadas de un punto M de la recta ( d ) tal que el triángulo IJM forme ángulo recto con J . https://chingmath.fr chapExoCorrec/927 sacados/927 -3-2-12345I-1234JO chapExoCorrec/6690 sacados/6690 -5-4-3-2-12345I-2-1234JO chapExoCorrec/4736 sacados/4736
x-4-3-2-1012y-1123AB(d xy11ABC E.6685 Se da al plano un sistema de ref-erencia O ; I ; J ortonormal. Considera la recta ( d ) que se muestra a continuación : Sea ( d ) la recta que pasa por los puntos A y B de coordenadas : A ( − 3 ; 2) ; B − 1 ; 3 2 1 Determina la expresión de la función afín f . 2 Considera la función afín g definida por: g ( x ) = 4 · x − 3 Observa (Δ) la curva representativa de la función g . a Justifica que el punto de coordenadas C 1 2 ; − 1 pertenece a la recta (Δ) . b Determinar las coordenadas del punto M de intersec-ción de las rectas ( d ) y (Δ) . c Dibuja la curva representativa de la función g . 3 Establece que el triángulo AMC es un triángulo rectán-gulo en M . E.6694 En el plano provisto de un sistema de referencia O ; I ; J , considera los tres puntos A , B y C de coordenadas : A ( - 1 ; 1) ; B (3 ; - 2) ; C ( - 1 ; - 4) 1 Demuestra que el triángulo ABC es un triángulo isósce-les en A . 2 Determinar, mediante cál-culo, la ecuación reducida de la recta ( AB ) . 3 Sea ( d ) la recta de ecuación reducida : ( d ) : y = − 2 x − 1 a Determinar las coordenadas del punto K punto medio del segmento [ BC ] . b Demostrar que la recta ( d ) es la bisectriz del ángulo CAB . E.8218 Considera los dos puntos G (1 ; 2) y H (4 ; 1) y la recta ( d ) de ecuación : ( d ) : y = 3 x − 6 Demuestra que la recta ( d ) es la mediatriz del segmento [ GH ] . E.9797 Consideremos el plano provisto de un sis-tema de coordenadas ortonormales O ; I ; J y consideremos los dos puntos K (3 ; 3) y L (6 ; 1) y el círculo C de diámetro [ KL ] . La recta (Δ) tiene como ecuación : (Δ) : y = x − 2 1 Desarrollar la expresión : 2( x − 3)(2 x − 11) . 2 Sea M un punto de la recta (Δ) . Determinar las coorde-nadas de los diferentes puntos M de (Δ) que hacen que el triángulo KLM sea rectángulo en M . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6685 sacados/6685 x-4-3-2-1012y-1123AB(d chapExoCorrec/6694 sacados/6694 xy11ABC chapExoCorrec/8218 sacados/8218 chapExoCorrec/9797 sacados/9797