ESO 4 / Preolímpicos 30 ejercicios (100% corregidos)

a
1234512345 12A12345B1234C1234D Figure 2Figure 1 1. Lógica E.8342 Hay n fichas dispuestas verticalmente. Son negras por un lado y blancas por el otro, y están numeradas del 1 al n . Al comienzo del juego, cada ficha mues-tra aleatoriamente su cara negra o su cara blanca. En cada turno, que en lo sucesivo denominaremos op-eración , se da la vuelta a una de las fichas y a todas las que tiene encima . El dibujo adjunto muestra un ejemplo del cambio que supone una operación con la tercera ficha en una configuración inicial. El objetivo del juego es encontrar una secuencia de opera-ciones tal que todas las fichas muestren su cara blanca. 1 ¾Es importante el orden en que se suceden dos opera-ciones? 2 ¾Cuál es el efecto combinado de dos operaciones idénti-cas? 3 Indique los números de las fichas que hay que dar la vuelta para que solo se vean las caras blancas, en las situaciones que se representan a continuación. E.8327 Una calculadora defectuosa solo permite: introducir números positivos o cero; realizar la siguiente operación: a partir de tres números introducidos sucesivamente ( x ; y ; z ) , muestra 0 si x = y y el resultado de z x − y en caso contrario. ( x ; y ; z ) −→ z x − y si x = y 0 si x = y el uso de paréntesis, que permite componer cálculos. 1 Al detallar los cálculos, comprueba los siguientes resulta-dos dados por la calculadora: 0 ; 1 ; 2 ↦−→ − 2 ; 2 ; 0 ; 1 ; 1 ; 1 ↦−→ − 2 2 ¾Qué dan 2 ; 0 ; 1 , 0 ; 2 ; 1 y 2 ; 1 ; 2 ; 1 ; 2 ? 3 Da un cálculo que permita obtener − 1 . 4 Comprueba que el cálculo a ; 0 ; 1 permite obtener el inverso de a para todo a> 0 . 2. Álgebra E.8347 Para todos los números naturales m y n , llamamos triángulo de m por n , y anotamos m Δ n , el número definido por las siguientes reglas, que admitimos que son posibles : 0Δ n = n + 1 n Δ0 = n − 1 Δ1 siempre que n =0 ; n +1 Δ m +1 = n Δ ( n +1)Δ m Atención, m Δ n no es necesariamente igual a n Δ m . Algunos resultados. 1 a Demostrar que : 1Δ0=2 et 1Δ1=3 . b Calcular 1Δ2 . c De manera más general, determinar, para cualquier número natural n , el valor de 1Δ n . Se puede plantear u n =1Δ n y comprobar que la sucesión u n es arit-mética. 2 a Calcular 2Δ0 , 2Δ1 y 2Δ2 . b Justificar que, para todo número natural n : 2Δ n =2 n +3 . 3 a Calcular 3Δ0 , 3Δ1 y 3Δ2 . b Demostrar que, para todo número natural n , 3Δ n es igual a 2 n +3 − 3 . Se puede plantear v n =3Δ n y de-mostrar que, para todo n mayor o igual que 1 : v n = 2 · v n − 1 + 3 . Ilustración de 3Δ n . Un artista ha ilustrado así los valores 3Δ0 y 3Δ1 : 4 Trace en la copia una tercera figura que complete lógica-mente esta serie de dibujos e ilustre el valor de 3Δ2 . 5 Supongamos que el lado de un cuadrado de la figura 1 mide 1 cm https://chingmath.fr chapExoCorrec/8342 sacados/8342 1234512345 12A12345B1234C1234D chapExoCorrec/8327 sacados/8327 chapExoCorrec/8347 sacados/8347 Figure 2Figure 1
a Determina el área respectiva de las figuras 1 y 2 . b ¾Cuál sería el área de la figura que se muestra en 3Δ n ? No se tendrán en cuenta los posibles solapamientos. E.8348 Supongamos que existe una fun-ción f definida sobre el conjunto de los números naturales N que verifica la propiedad : ( E ) : para todos los x y y de N , f ( x + y )= f ( x ) · f ( y ) − x · y Preliminar Demostrar que f (0)=1 . Se podrán admitir los resultados en las siguientes partes. A. Estudio de un primer ejemplo : Supongamos aquí que : f (1)=3 . 1 Calcular f (2) y luego f (3) . 2 Demostrar mediante dos cálculos distintos que f (4)=60 y que f (4)=63 . Concluir. B. Estudio de un segundo ejemplo : Supongamos aquí que : f (1)=0 . 1 Calcular f (2) , f (3) y f (4) . 2 Conjeturar la expresión de f ( n ) en función de n . 3 Demostrar esta conjetura. 4 Demostrar que para la función encontrada en 2 et 3 se cumple la propiedad ( E ) . C. Caso general Primera parte : se anota f (1) = a 1 Expresar f (2) y f (3) en función de a . 2 Expresar f (4) en función de a de dos maneras diferentes. 3 Deducir que : a =0 ou a =2 . Segunda parte : estudiamos el segundo caso : Supongamos aquí que : f (1)=2 . Expresar f ( n ) en función de n . 3. Aritmética E.8326 Un número natural distinto de cero es un número de Harshad si es divisible por la suma de sus dígitos. Por ejemplo, n =24 es un número de Harshad porque la suma de sus dígitos es 2+4=6 , y 24 es efectivamente divisible por 6 . 1 a Demuestra que 364 es un número de Harshad. b ¾Cuál es el número entero más pequeño que no es un número de Harshad? 2 a Da un número de Harshad de 4 cifras. b Sea n un número entero distinto de cero. Sea un número de Harshad de n dígitos. E.8338 Este es un algoritmo aplicable a números enteros de tres dígitos en los que el dígito de las centenas no es igual al de las unidades : Paso 1 : Invertir el orden de los dígitos (por ejemplo, 275 se convierte en 572 ) Paso 2 : Calcular la diferencia entre el mayor y el menor de estos dos números. Paso 3 : Repetir el paso 1 con el número obtenido. Paso 4 : Sumar estos dos últimos números 1 Aplicar el algoritmo a los números 123 , 448 y 946 . 2 ¾Qué se puede conjeturar? E.8337 Se dice que un número entero es digisible cuando se verifican las tres condiciones siguientes : ninguno de sus dígitos es cero; se escribe con todos los dígitos diferentes ; es divisible por cada uno de ellos. Por ejemplo, 24 es digisible , ya que es divisible por 2 y por 4 . 324 es digisible , pues es divisible por 3 , por 2 y por 4 . 32 no es digisible , porque no es divisible por 3 . Recordemos que un número entero es divisible por 3 si, y sólo si, la suma de sus dígitos es divisible por 3 . 1 Sugiere otro número de dos cifras digisible . 2 a Indique todos los divisores de una cifra del número 1000 . b Deduce un número digisible a cuatro cifras. 3 Sea n un entero digisible escrito con un 5 . a Demuestra que 5 es el dígito de sus unidades. b Demostrar que todos los dígitos de n son impares. E.8332 Empezamos con un número entero estrictamente positivo n : Si n es par, lo convertimos en n 2 . Si n es impar ( n> 1 ) , lo transformamos en 3 n +1 . Si n =1 , nos detenemos. Ejemplos : Si n =6 , obtenemos lo siguiente : 6 ↦−→ 3 ↦−→ 10 ↦−→ 5 ↦−→ 16 ↦−→ 8 ↦−→ 4 ↦−→ 2 ↦−→ 1 Si n =13 , obtenemos la secuencia : 13 ↦→ 40 ↦→ 20 ↦→ 10 ↦→ 5 ↦→ 16 ↦→ 8 ↦→ 4 ↦→ 2 ↦→ 1 Se ha observado utilizando un programa informático, que para cada número entero probado, la secuencia siempre da como resultado 1 . Pero este resultado aún no se ha demostrado. Además, podemos interesarnos por la longitud de esta secuen-cia, que anotaremos L ( n ) . Por ejemplo : L (6)=9 et L (13)=10 . 1 Determine L ( n ) para los números enteros de 1 a 12 . 2 Sea p un entero, considere el entero n =2 p . Exprese L ( n ) en función de p . 3 Encuentra un entero n entre 2 2008 y 2 2009 tal que : L ( n )=2012 . Pista : Podríamos buscar un número de la forma 2 p × q . https://chingmath.fr chapExoCorrec/8348 sacados/8348 chapExoCorrec/8326 sacados/8326 chapExoCorrec/8338 sacados/8338 chapExoCorrec/8337 sacados/8337 chapExoCorrec/8332 sacados/8332
R00123456R10123456R20123456 directionAdirectionBdirectionCdirectionDdirectionEdirectionFdirectionGdirectionH01234567891011121314151617 4. Aritmética y congruencia E.8329 1 a Partiendo de 12 589 y contando desde 29 hasta 29 , ¾se puede llegar al número 12 705 ? b Partiendo de 1 485 y contando de 29 en 29 , ¾se puede llegar al número 310 190 ? Explique su razonamiento. 2 ¾Cuál es el número entero positivo más pequeño a partir del cual, contando desde 29 hasta 29 , se puede llegar a 2013 ? 3 ¾Existen números enteros positivos menores que 2 013 a partir de los cuales sea posible alcanzar este número tanto contando de 29 a 29 como contando de 31 a 31 ? Si es así, encuéntralos todos. E.8330 Un contador está compuesto por tres ruedas dentadas, denominadas R 0 , R 1 y R 2 , las tres con 7 dientes, numerados del 0 al 6 . Este contador está diseñado de tal manera que : Las ruedas siempre giren un dentado hacia el siguiente, en este orden : 0 −→ 1 −→ 2 −→ 3 −→ 4 −→ 5 −→ 6 −→ 0 Cuando la rueda R 0 da una vuelta completa, es decir, cuando gira 7 dentados, la rueda R 1 gira un dentado. Cuando la rueda R 1 da una vuelta completa, es decir, cuando gira 7 pasos, la rueda R 2 gira un paso. Inicialmente, las ruedas R 0 , R 1 y R 2 muestran todas 0 . Entre cada pregunta, el contador se pone a cero, es decir, cada rueda vuelve a mostrar 0 . 1 Se gira la rueda R 0 15 posiciones. ¾Qué números mues-tran entonces las ruedas? 2 Se gira la rueda R 0 100 posiciones. ¾Qué números mues-tran entonces las ruedas? 3 Girar la rueda R 0 hasta que la rueda R 2 muestre 5 por primera vez. ¾Cuántas muescas se han girado R 0 ? 4 ¾Cuántas muescas hay que girar R 0 para que las ruedas vuelvan por primera vez al mismo tiempo a 0 ? 5 Girar la rueda R 0 3 580 posiciones. ¾Qué números mues-tran entonces las ruedas? E.8331 Consideramos octógonos regulares, con el mismo centro O . En los vértices del octógono central, anotamos los ocho primeros números enteros distintos de cero. En los vértices del segundo octógono, inscribimos los 8 primeros números enteros siguientes, con una rotación de 45 grados alrededor del punto O . Y así sucesivamente. . . Se dice que cada número entero tiene una dirección ( A , B , C , D , E , F , G o H con respecto al origen O ) . Por ejemplo, 1 tiene como dirección A , 2 tiene como dirección B . . . Aquí hay una figura que representa los cuatro primeros octó-gonos : 1 ¾Cuál será el primer número entero inscrito en el cuarto octógono? Especifique su dirección. 2 Determine el primer número entero inscrito en el octavo octógono. Especifique su dirección. 5. Aritmética y función E.8340 Para todos los números naturales m y n , llamamos triángulo de m por n , y anotamos m Δ n , el número definido por las siguientes reglas, que admitimos que son posibles : 0Δ n = n + 1 n Δ0 = n − 1 Δ1 siempre que n =0 ; n +1 Δ m +1 = n Δ ( n +1)Δ m Atención, m Δ n no es necesariamente igual a n Δ m . Algunos resultados 1 a Demostrar que : 1Δ0=2 et 1Δ1=3 . b Calcular 1Δ2 . c Se admite que 1Δ n = n +2 . Demostrar que : 1Δ( n +1)= n +3 2 a Calcular 2Δ0 , 2Δ1 y 2Δ2 . b Se admite que 2Δ n =2 n +3 . Demuestra que : 2Δ n +1 =2 n +5 https://chingmath.fr chapExoCorrec/8329 sacados/8329 chapExoCorrec/8330 sacados/8330 R00123456R10123456R20123456 chapExoCorrec/8331 sacados/8331 directionAdirectionBdirectionCdirectionDdirectionEdirectionFdirectionGdirectionH01234567891011121314151617 chapExoCorrec/8340 sacados/8340
Figure 2Figure 1 hBb ABCDFGH IJKO25%35%40% 3 a Calcula 3Δ0 , 3Δ1 y 3Δ2 . E.8339 Se supone que existe una función f definida sobre el conjunto de enteros naturales N que veri-fica la propiedad : ( E ) : para todo x y y de N , f ( x + y )= f ( x ) · f ( y ) − x · y Preliminar Demuestre que f (0)=1 . Los resultados pueden admitirse en las siguientes partes. A. Estudio de un primer ejemplo : Se supone aquí que : f (1)=3 . 1 Calcula f (2) entonces f (3) . 2 Demuestre mediante dos cálculos distintos que f (4)=60 y que f (4)=63 . Concluye. B. Estudio de un segundo ejemplo : Se supone aquí que : f (1)=0 . 1 Calcula f (2) , f (3) y f (4) . 2 Conjeturar la expresión de f ( n ) en función de n . 3 Demuestra esta conjetura. 4 Demuestra que para la función hallada en 2 y 3 se cumple la propiedad ( E ) . 6. Geometría E.8341 Un artista ha realizado las dos figuras siguientes : 1 El lado de un cuadrado de la figura 1 mide 1 cm . Deter-mina el área de la figura 1 . 2 La figura 2 se ha construido a partir de la figura 1 , a la que se han añadido ocho cuadrados idénticos. Determina el área de la figura 2 . E.8328 Medidas de ángulos aproxi-madas Se dice que un triángulo ABC es aproximadamente rectán-gulo en un vértice A si la medida del ángulo en A está en el intervalo 75 o ; 105 o . Se dice que un triángulo ABC es aproximadamente isósceles en un vértice A si las medidas de los ángulos en B y en C difieren de 15 o como máximo. 1 a ¾Un triángulo rectángulo es aproximadamente rec-tángulo? ¾Un triángulo isósceles es aproximadamente isósceles? b ¾Puede un triángulo ser rectángulo en dos vértices? ¾Aproximadamente rectángulo en dos vértices? En tal caso, cuando además es agudo (, es decir, todos sus ángulos son agudos) , , ¾es aproximadamente isósceles? 2 ¾Existe un triángulo agudo que no sea aproximadamente rectángulo ni aproximadamente isósceles? 3 Escribe un programa (en lenguaje natural o con calcu-ladora) , para copiar en tu examen, que compruebe si un triángulo ABC del que se conocen los tres ángulos A , B y C es aproximadamente isósceles. E.8335 Recordatorio : Área de un trapecio A = ( B + b ) × h 2 Una pizza rectangular ABCD tiene corteza en dos lados con-secutivos, [ DA ] y [ AB ] . Buscamos cómo dividir la pizza en tres porciones iguales : cada porción debe tener la misma longitud de borde y el mismo área. En cada situación, fijamos la longitud del lado pequeño AD =1 . En el caso particular que se muestra al lado, suponemos que la división realizada es equitativa. ¾Cuál es la longitud AB ? Determinar las longitudes : DF , FH y HC . E.8336 En un cuadrado de lado 10 cm , queremos realizar un gráfico es-tadístico en el que las áreas de las 3 partes sean proporcionales a las frecuencias que representan ( O es el centro del cuadrado) . El punto I está a 2 cm del vértice más cercano. Calcular las distancias de J y K a los vértices del cuadrado más cercanos. 7. Geometría y el teorema de Pitágoras https://chingmath.fr chapExoCorrec/8339 sacados/8339 chapExoCorrec/8341 sacados/8341 Figure 2Figure 1 chapExoCorrec/8328 sacados/8328 chapExoCorrec/8335 sacados/8335 hBb ABCDFGH chapExoCorrec/8336 sacados/8336 IJKO25%35%40%
ABCDEABCDEF ABCACDEFADEFGDEFGDEFG ABCDEFABCGDDFFIAGJBFAGJ E.8344 Se han colocado cinco cír-culos de radio 1 cm en un cuadrado como se mues-tra en el dibujo. Las circunferencias son tangentes entre sí y tan-gentes a los lados del cuadrado. Determina la longitud de uno de los lados del cuadrado. E.8334 El taller de metalurgia de un astillero corta piezas de diversas formas en placas de acero cuadradas que encarga a la laminadora. Para limitar las pérdidas de material y, por lo tanto, los costes de producción, el jefe de taller debe determinar de antemano el tamaño de las placas cuadradas que debe encargar en fun-ción de las piezas que se van a cortar. En algunos pedidos, solo se les comunica la forma y la super-ficie de las piezas que deben cortarse. En cada una de las tres partes siguientes, se estudia el corte de determinados tipos de piezas. Estas partes pueden tratarse de forma independiente unas de otras. Si es necesario, se redondearán las longitudes a mm y las superficies a cm 2 . Parte 1: Corte de piezas triangulares El taller debe producir una pieza con forma de triángulo equi-látero con una superficie de 20 m 2 . El jefe del taller baraja dos soluciones de corte, tal y como se ilustra en los siguientes esquemas : Se denomina a al lado del triángulo y c al lado del cuadrado. 1 Esquema n o 1: a Expresar la altura h en función de a . b Deducir el lado a del cuadrado que hay que construir para cumplir las restricciones. c Calcular la superficie de acero perdida con este método. 2 Esquema n o 2: a Justificar que el ángulo BAE mide 15 o . E.8353 En este ejercicio solo se tienen en cuenta hojas de papel de formato A4, es decir, de dimensiones 21 cm y 29 ; 7 cm . Parte A : creación de un cucurucho mediante pliegues A partir de una hoja A4, se trata de realizar un cucurucho mediante sucesivos cortes y pliegues. A continuación se muestra el protocolo de construcción de este cucurucho, ilustrado en la figura siguiente : Paso 1: recortar en la hoja de formato A4 un cuadrado ABA C de 21 cm de lado. Paso 2: doblar este cuadrado siguiendo ( BC ) para obtener un triángulo rectángulo isósceles que cumpla : AB = AC = 21 cm Paso 3: colocar el vértice B en un punto D del segmento [ AB ] de manera que, tras doblarlo, la recta ( DE ) sea paralela a la recta ( BC ) . Paso 4: Realizar un procedimiento similar a partir del vér-tice B . Paso 5: Doblar los dos triángulos superiores, uno delante y otro detrás. Al medir AD , se obtiene 8 ; 7 cm (redondeado a mm ) . ¾Cuál es el valor exacto de la distancia AD ? Parte B - Realización de un triángulo particular A partir de una hoja A4, ahora se trata de realizar, mediante pliegues sucesivos, un triángulo particular. Esta hoja está modelada por un rectángulo ABCD . E y F designan respec-tivamente los puntos medios de los segmentos [ AD ] y [ BC ] . A continuación se muestra el protocolo de construcción de este triángulo ilustrado en la figura siguiente. El rectángulo de la siguiente figura corresponde a la hoja A4 desplegada después de haber realizado el triángulo. Se desea determinar la naturaleza del triángulo así construido. 1 Demuestre que la medida del ángulo GAJ es igual a 60 o . 2 Demuestre que el punto C se pliega sobre el segmento [ AG ] . 3 Demuestre que el punto B se pliega sobre el segmento [ JG ] . Concluya. https://chingmath.fr chapExoCorrec/8344 sacados/8344 Extrait Bordeaux Session 2012 chapExoCorrec/8334 sacados/8334 ABCDEABCDEF chapExoCorrec/8353 sacados/8353 Caen et Rouen 2019 A COPIER !!!!!!!!!!!!!!! ABCACDEFADEFGDEFGDEFG ABCDEFABCGDDFFIAGJBFAGJ
OANordCBhRRd „oER ER 8. Geometría, teoremas de Pitágoras y Tales E.8333 A y B son dos puntos de una circunferencia de centro O y radio 5 tales que AB =6 . El cuadrado PQRS está inscrito en el sector angular OAB de modo que : P está en el radio [ OA ] ; S está en el radio [ OB ] ; Q y R son dos puntos del arco de círculo que une A y B . 1 Haz una figura correspondiente a la situación propuesta. 2 Calcula el área del cuadrado PQRS . 9. Geometría y trigonometría E.8352 Cálculo del radio R de la Tierra 1 Un observador se encuentra en la costa en A y ve ale-jarse hacia el sur un barco cuya altura h sobre el agua se conoce (, tal y como se muestra en la siguiente figura, que no está a escala) . Debido a la redondez de la Tierra, el barco âdesaparece por completo del horizonte una vez que se aleja de la costa a una distancia d = AB en línea recta. Se descuida el tamaño del observador, de modo que OA = R . Supongamos que se conoce la distancia d . Recordemos que la línea del horizonte ( AB ) es tangente a la Tierra en A . Encuentre una relación entre R , d y h . 2 Justificar que h R es muy pequeño. 3 Deducir que : R ≈ d 2 2 · h 4 Aplicación numérica : para h =20 m y d =16 km , dar un valor del radio R de la Tierra, redondeado al kilómetro más cercano. Línea del horizonte En toda esta parte, se acuerda que R =6400 km . 5 Se busca cuál debe ser la altura h del barco en la figura anterior para que el vigía, situado en lo alto del mástil, pueda ver la costa de una isla situada a una distancia (en línea recta) d dada. Demostrar que esto equivale a resolver, para d dada, la ecuación de incógnita h : h + R 2 = d 2 + R 2 6 En el caso de que d =50 km , calcular la altura h y la longitud del arco AH . E.9549 Pierre y su hija Éloïse caminan por una carretera horizontal. En un punto R , esta carretera desciende formando un ángulo „ de 5 o con la horizontal (véase la figura) Éloïse, cuyos ojos se encuentran a 1 ; 6 metros del suelo, se detiene en un punto E , a 24 metros del punto R . Su padre, que sigue caminando, pasa por delante del punto R y se adentra en la parte inclinada de la carretera. Indicación : se redondearán las longitudes al centímetro y los ángulos al centésimo. 1 Cuando se encuentra a 86 metros de R , desaparece de la vista de su hija. Determinar la altura de Pierre. 2 En la parte inclinada de la carretera, hay postes de 6 ; 5 metros de altura colocados verticalmente cada 28 metros, como se muestra en el siguiente esquema : La base del primer poste se encuentra a 28 metros del punto R . Se admite la hipótesis de que los postes no pueden ocul-tarse unos a otros. ¾Cuántos postes puede ver Eloísa desde el lugar donde se encuentra? 3 ¾Cuál es, en realidad, la medida del ángulo „ , sabiendo que Eloísa solo ve 5 postes? Podemos utilizar la fórmula : 1+ tan „ 2 = 1 cos „ 2 Daremos un valor redondeado de „ a 10 − 3 . 10. Probabilidad https://chingmath.fr chapExoCorrec/8333 sacados/8333 chapExoCorrec/8352 sacados/8352 Asie - Pacifique 2019 A COPIER !!!!!!!!!!!!!!! OANordCBhRRd chapExoCorrec/9549 sacados/9549 Caen 2012 „oER ER
ABCD 431432 E.8349 Una mariquita se desplaza por los la-dos de un cuadrado ABCD partiendo del punto A . Puede caminar hacia atrás si lo desea. Se denomina desplazamiento a cualquier recorrido de la mariquita a lo largo de un lado del cuadrado. Una marcha se compone de desplazamien-tos, de la siguiente manera : A −→ B −→ A −→ D −→ C es una marcha de cuatro desplazamientos cuyo punto de lle-gada es el punto C . En esta parte, la mariquita se desplaza aleatoriamente por los lados de un cuadrado ABCD y se considera que todos sus desplazamientos son equiprobables. 1 a ¾Puede la mariquita llegar al punto B en tres de-splazamientos? b ¾Cuáles son las llegadas posibles para un recorrido de tres movimientos? c ¾Cuáles son las llegadas posibles si el recorrido cuenta con un número par de movimientos? d ¾Cuáles son las llegadas posibles si el recorrido cuenta con un número impar de movimientos? 2 En esta pregunta, la mariquita realiza dos movimientos. Utilizando un árbol, calcule la probabilidad del evento A 2 : ˇ la mariquita llega a A realizando dos movimien-tos ı. 3 Reproduzca y complete la tabla siguiente : Número de movimientos de la marcha 1 2 3 4 5 Probabilidad de que la mariquita llegue a A E.8350 Un dado tetraédrico tiene cuatro caras, como el dado que se muestra aquí. Cuando se lanza un dado de este tipo, el resultado es el número más cercano a la base tetraédrica. En nuestro ejemplo, el dado tetraédrico ha caído en la cara 4 . Antoine, Baptiste, Cyril y Diane juegan con cuatro dados tetraédricos regulares y equilibrados, pero que no están nu-merados de la forma habitual. Así, el dado de Antoine tiene cuatro caras numeradas 1 , 6 , 6 y 6 . Con este dado, el número 1 se obtiene con una probabilidad de 1 4 y el número 6 con una probabilidad de 3 4 . El dado de Baptiste está numerado 4 , 4 , 5 y 5 ; el de Cyril 3 , 3 , 3 y 8 ; y, por último, el de Dianne 2 , 2 , 7 y 7 . 1 Cada jugador lanza este dado tetraédrico una vez. ¾Quién tiene más posibilidades de obtener un número superior o igual a 6 ? 2 Los jugadores comienzan una serie de duelos : Antoine juega contra Baptiste, Baptiste juega contra Cyril, Cyril juega contra Diane, Diane juega contra Antoine. El ganador de cada duelo es el jugador que ha obtenido el resultado más alto. a Demuestra que en el primer duelo Antoine gana contra Baptiste con una probabilidad de 3 4 b Da las probabilidades de ganar de los jugadores en los otros tres duelos. 3 Antoine, Baptiste, Cyril y Diane lanzan simultáneamente sus dados. El que obtenga el número más alto de los cu-atro jugadores gana. a Demuestra que la probabilidad de que Baptiste gane es igual a 3 32 . b ¾Quién tiene más posibilidades de ganar este juego? 11. Fuera de programa E.8343 Sea n un número natural mayor o igual que 2 . Hay una urna que contiene n bolas que pueden ser de diferentes colores. El juego consiste en extraer al azar una bola de la urna, y luego sin devolverla a la urna extraer una segunda bola de la urna. El jugador ha ganado cuando las dos bolas extraídas son del mismo color. Se supone que en cada extracción, todas las bolas de la urna tienen la misma probabilidad de salir. Se dice que el juego es justo cuando la probabilidad P G de que el jugador gane es igual a 1 2 . 1 a Demuestra que si la urna contiene 10 bolas de las cuales 4 son blancas y 6 son rojas entonces P G = 7 15 . b Calcula P G cuando la urna contiene 12 bolas de las cuales 4 son blancas, 6 son rojas y 2 son negras. 2 En esta pregunta, la urna contiene 6 bolas rojas y otras bolas que son todas blancas. a Sea x el número de bolas blancas que contiene la urna. Demuestra que : P G = x x − 1 +30 x +6 x +5 12. Ejercicios no clasificados https://chingmath.fr chapExoCorrec/8349 sacados/8349 Extrait Besancon 2012 ABCD chapExoCorrec/8350 sacados/8350 431432 chapExoCorrec/8343 sacados/8343
MH(D R¸ OA EABCDO E.8354 A partir de dos enteros positivos, construye una lista de números donde cada número sea la suma de los dos anteriores. 1 Elige dos enteros positivos menores que 10 y determina los diez primeros números de la lista definida anterior-mente. 2 Un matemático afirma poder determinar rápida y exacta-mente la suma de los diez primeros números de cualquier lista así construida. Demuestre que, cualesquiera que sean los números de partida, esta suma es múltiplo de uno de los números de la lista cuya posición se determi-nará. E.8355 Definición : Se denomina distancia entre un punto M y una recta ( D ) la distancia MH , donde H es el punto de intersección de ( D ) con la recta per-pendicular a ( D ) que pasa por M . En la figura adjunta, si el radio del disco es R y si el ángulo del sector angular sombreado mide ¸ (en grados) , , en-tonces el área de la porción sombreada del disco es : ı · ¸ · R 2 360 . En la parte 2 del ejercicio, consider-aremos la distancia de un punto M a un segmento [ BC ] como la distancia del punto M a la recta ( BC ) . Parte 1 Sea C un círculo con cen-tro O , A un punto de este círculo y D el disco delim-itado por este círculo. 1 Reproduce la figura y representa el conjunto de puntos del disco equidistantes de O y A . 2 Sombrea el conjunto de puntos del disco más cercanos a O que a A . 3 Sea M un punto determinado aleatoriamente de forma equiprobable en la superficie del disco D . ¾Cuál es la probabilidad de que M esté más cerca de O que de A ? Parte 2 Sea ABCD un rectángulo de longitud AB =20 cm y anchura BC =12 cm , con centro O Sea E un punto situado en el interior del rectángulo, cercano a A , a 2 cm de cada borde (como se muestra en la siguiente figura, que sin embargo no está a escala) . Sea M un punto determinado aleatoriamente de manera equiprobable dentro del rectángulo ABCD . 1 ¾Cuál es la probabilidad de que M esté más cerca del lado [ BC ] que del lado [ AD ] ? 2 a Reproduce el rectángulo y representa el conjunto de puntos interiores al rectángulo y equidistantes de los lados [ AB ] y [ BC ] . b Sombrea el conjunto de puntos interiores al rectángulo y más cercanos al lado [ BC ] que al lado [ AB ] . c ¾Cuál es la probabilidad de que M esté más cerca del lado [ BC ] que del lado [ AB ] ? 3 ¾Cuál es la probabilidad de que M esté más cerca del lado [ AB ] que de los tres lados [ BC ] , [ CD ] y [ DA ] ? 4 ¾Cuál es la probabilidad de que M esté más cerca de O que de E ? 5 ¾Cuál es la probabilidad de que M esté más cerca de O que de los cuatro vértices A , B , C y D ? E.8345 Tres números naturales distintos a , b , c ordenados en orden estrictamente ascendente , a<b<c , forman una progresión aritmética si : c − b = b − a Entonces se dice que a ; b ; c es un triplete aritmético. 1 Completa los siguientes tripletes aritméticos: a 57 ; 101 ; : : : b 57 ; : : : ; 101 c : : : ; 57 ; 101 2 a ¾Se puede encontrar un triplete aritmético a ; b ; c cuya suma sea 2012 ? b ¾Cuántos tripletes aritméticos a ; b ; c hay cuya suma es 2013 ? 3 Tomamos al azar tres números enteros a , b , c de 1 , 2 , 3 , . . . , 10 con a<b<c . ¾Cuál es la probabilidad de que a ; b ; c sea un triplete aritmético? https://chingmath.fr chapExoCorrec/8354 sacados/8354 Sujet national 2012 chapExoCorrec/8355 sacados/8355 Sujet national 2012 MH(D R¸ OA EABCDO chapExoCorrec/8345 sacados/8345 Clermont-Ferrand 2012
ABCIEF ABCK E.8346 Una asociación desea crear un logotipo. Este logotipo se ha diseñado a partir de la siguiente construc-ción : ABC es un triángulo rectángulo en A , se establece : AC = x ; AB = y ; BC = z , se han trazado los semicírculos de diámetros [ AB ] , [ AC ] , [ BC ] y el cuadrado AEFI tal que E ∈ [ AB ) , F ∈ [ BC ) y I ∈ [ AC ) . 1 Para esta pregunta, consideramos la siguiente figura : a Calcular la longitud del lado del cuadrado AEFI en función de x y y . b ¾Qué se puede decir del punto I si el triángulo ABC es isósceles? (justificar) c Supongamos y =4 . ¾Puede el área del cuadrado AEFI ser igual a 9 ? (justificar) 2 Sea K el pie de la altura que sale de A del triángulo ABC . Se establece AK = h . Por lo tanto, tenemos la siguiente figura : a Justificar que : ( x + y ) 2 = z 2 +2 · z · h . b Expresar igualmente ( x − y ) 2 en función de z y de h . Demuestre que h es menor que la mitad de z . c ¾Es posible que : z =10 et h =4 ; 8 ? Si es así, determine los valores de x y y . 3 Compare el área del triángulo ABC con el área de la superficie sombreada. https://chingmath.fr chapExoCorrec/8346 sacados/8346 Caen 2012 ABCIEF ABCK