ESO 4 / Raíces cuadradas 63 ejercicios (100% corregidos)

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9cm21cm1cm 16cm27;5cm 4cm2 AO1cmBCDEFGHIJKLMNPQR ChingQuizz : 6 ejercicios disponibles para la evaluación de QCM : 1. Situaciones problemáticas E.5783 A continuación se muestran dos cuadrados, algunas de cuyas medidas se muestran en la figura. ¾Existe un cuadrado cuya área sea la suma de las áreas de los dos cuadrados mostrados? En caso afirmativo, indica la medida de su lado. E.5784 Enfrente hay dos cuadrados, al-gunas de cuyas medidas se es-pecifican en la figura : ¾Existe algún cuadrado cuya área sea la suma de las áreas de los dos cuadrados indicados? En caso afirmativo, indica la medida de su lado. E.5785 Enfrente hay dos cuadra-dos, algunas de cuyas me-didas se muestran en la figura : ¾Existe algún cuadrado cuya área sea la suma de las áreas de los dos cuadrados indicados? En caso afirmativo, da la medida de su lado. 2. Introducción E.748 La siguiente figura se construye de la siguiente manera : El triángulo OAB es isósceles en A tal que OA =1 cm ; Fuera del triángulo OAB y sobre la hipotenusa [ OB ] , se construye un triángulo rectángulo en B tal que : BC =1 ; y así sucesivamente. . . 1 a Justifique las dos ecuaciones siguientes : OB 2 = 2 ; OC 2 = 3 b Utilizando una calculadora, da los valores de las longi-tudes OB y OC , redondeados a la unidad 10 − 3 . 2 a Justifique que : OD =2 cm . b Justifique brevemente que : OI =3 cm . E.792 Contesta a la siguiente pregunta uti-lizando una calculadora: 1 Da el truncamiento de los siguientes números a la cen-tésima más cercana : a 2 b 3 c 10 2 Da el valor redondeado de los siguientes números a la 10 − 2 más cercana...: a 52 b 4 + 0 ; 03 c 72 + 2 2 3 Determina el valor exacto de los siguientes números : a 4 b 25 + 75 c 0 ; 01 4 Resuelve las siguientes ecuaciones (cada una de estas ecuaciones admite dos soluciones) : a x 2 = 9 b x 2 = 100 c x 2 = 2 E.766 Sin ayuda de calculadora, da el valor exacto de cada una de las raíces cuadradas que aparecen a continuación : a 4 b 400 c 20 + 44 d 0 ; 49 e 121 f 0 ; 25 https://chingmath.fr chapExoCorrec/5783 sacados/5783 9cm21cm1cm chapExoCorrec/5784 sacados/5784 16cm27;5cm chapExoCorrec/5785 sacados/5785 4cm2 chapExoCorrec/748 sacados/748 AO1cmBCDEFGHIJKLMNPQR chapExoCorrec/792 sacados/792 chapExoCorrec/766 sacados/766
6√5cm2√30cm2√15cmABC E.756 Sin ayuda de la calculadora, justifica que ninguna de las expresiones siguientes tiene sentido : − 4 ; − 1 ; 5 − 9 3. La definición E.252 1 a Da la definición del número 3 . b Justifica por qué la notación − 1 no define ningún número real. 2 Entre las expresiones siguientes, algunas no definen un número. ¾Cuáles? a 5 b ( − 2) 2 c − 16 d 3 e 5 + 6 f 13 − 136 E.784 Sea a un número positivo, la defini-ción de raíz cuadrada me permite establecer las dos relaciones siguientes : a 2 = a ; a 2 = a . Utiliza estas dos propiedades para simplificar, si es posible, las siguientes expresiones : a 4 2 + 6 2 b 3 2 + 4 2 c 4 + 6 2 d (4 + 6) 2 e 4 2 × 6 2 f 4 2 × 6 2 E.757 1 a Calcula el valor de las siguientes expresiones : 9 + 16 ; 9 + 16 b Calcula el valor de las siguientes expresiones : 169 − 25 ; 169 − 25 2 ¾Qué se puede decir de las relaciones siguientes? a a + b = a + b b a − b = a − b E.754 1 ¾El triángulo ABC de abajo es rectángulo? (En la figura realmente no se respetan las dimensiones) 2 Da el valor del siguiente número : D = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 3 + 3 E.246 Justifica las dos igualdades siguientes : 3 4 = 3 ; 7 10 = 7 5 4. Primeras ecuaciones de segundo grado E.788 1 Determinar dos valores de x que cumplan la igualdad : x 2 = 4 . 2 ¾Qué (s) número (s) cumple (nt) la igualdad : x 2 = 0 . 3 ¾Existe un número x que cumpla la igualdad : x 2 = − 1 . Justifique su respuesta. E.765 1 Dar los dos números solución de la ecuación x 2 =4 . 2 Resuelve las siguientes ecuaciones : a x 2 = 0 b x 2 = − 1 c ( x + 1) 2 = 0 d ( x − 1) 2 = 4 5. Relaciones multiplicativas y simplificaciones E.1955 1 a Calcula el cuadrado del número 5 × 3 . b Compara los dos números : 5 × 3 y 15 . c Para cualquier número a y b positivo, justifica la igual-dad : a × b = a × b . 2 a Determina dos enteros a y b tales que : 50 = a 2 × b . b Establecer la igualdad : 50 = 5 2 https://chingmath.fr chapExoCorrec/756 sacados/756 chapExoCorrec/252 sacados/252 chapExoCorrec/784 sacados/784 chapExoCorrec/757 sacados/757 chapExoCorrec/754 sacados/754 6√5cm2√30cm2√15cmABC chapExoCorrec/246 sacados/246 chapExoCorrec/788 sacados/788 chapExoCorrec/765 sacados/765 chapExoCorrec/1955 sacados/1955
E.751 Proposición: para cualquier número a y b positivo o cero, tenemos la igualdad : a × b = a × b 1 Escribe cada uno de los números siguientes en forma de producto, donde el máximo número de factores son números elevados al cuadrado (ejemplo 50=5 2 × 2 ) a 75 b 32 c 18 d 72 e 1 000 f 242 2 Da una escritura simplificada de las siguientes raíces cuadradas : a 75 b 32 c 18 d 72 e 1 000 f 242 E.782 Escribe los siguientes radicales en la forma a b con a y b dos enteros donde b sea lo más pequeño posible : a 3 2 × 2 b 13 × 4 2 c 12 d 48 e 1 600 f 360 E.771 Simplifica los siguientes radicales : a 4 b 84 c 200 d 30 + 42 e 98 f 150 g 0 ; 01 h 0 ; 36 E.8390 Simplifica la expresión para cada uno de los siguientes productos : a 6 × 40 b 3 × 15 c 8 × 18 E.750 Escribe los siguientes cálculos en la forma a b donde a y b son números enteros con b lo más pequeño posible : a 5 × 30 b 24 × 6 c 5 2 × 2 2 d 3 6 × 4 3 e 39 × 2 13 f 2 15 2 6. Relaciones multiplicativas y cocientes E.8324 1 Simplifica el siguiente cálculo: 7 3 × 7 3 2 a Completa la siguiente frase : 7 3 es un número cuyo cuadrado es . . . . . . b Completa la igualdad : 7 3 = : : : : : : 3 Para todos los números positivos a y b , con b =0 , justifica la igualdad : a b = a b E.791 Proposición: sean a y b dos números positivos con b =0 . Tenemos la relación: a b = a b Escribe los siguientes cálculos de la forma a b donde a y b son números enteros con b lo más pequeño posible : a 2 × 5 2 b 30 6 × 2 5 c 15 14 × 35 6 E.275 Justifica que cada una de las expre-siones siguientes representa la inversa del número 8 3 : a 3 8 b 3 8 8 c 18 16 7. Simplificación de cocientes con radicales en el denominador E.250 A partir del siguiente ejemplo, es-cribe los siguientes cocientes sin radicales en el denominador y simplifica al máximo la escritura de los cocientes. 2 6 = 2 × 6 6 × 6 = 2 6 6 = 6 3 a 5 2 10 b 6 3 5 c 2 + 1 6 d 21 70 E.1742 1 Justifica cada una de las siguientes ecuaciones : a 3 7 × 7 7 = 3 7 7 b 4 2 × 2 2 = 2 2 c 1 3 = 3 3 2 Utilizando la pregunta anterior, establece las siguientes igualdades : https://chingmath.fr chapExoCorrec/751 sacados/751 chapExoCorrec/782 sacados/782 chapExoCorrec/771 sacados/771 chapExoCorrec/8390 sacados/8390 chapExoCorrec/750 sacados/750 chapExoCorrec/8324 sacados/8324 chapExoCorrec/791 sacados/791 chapExoCorrec/275 sacados/275 chapExoCorrec/250 sacados/250 chapExoCorrec/1742 sacados/1742
ABC√27√12 ABCMN√6√262√3 a 2 3 = 6 3 b 7 + 3 7 = 1 + 3 7 7 c 4 2 + 2 = 3 2 E.733 Escribe las siguientes fracciones sin un radical en el denominador : a 1 3 b 3 2 c 28 7 E.775 Simplifica las expresiones siguientes sin un radical en el denominador : a 2 2 b 3 2 c 5 15 d 2 18 e 27 3 8. Relaciones y problemas multiplicativos E.783 1 Ampliar: A ( x )=(2 x +1)(2 x − 1) . 2 Calcula A ( x ) para x = 5 . 3 Explica cómo se puede utilizar la primera pregunta para calcular: 20 001 × 19 999 E.2352 Se da la siguiente expresión : K =(5 x − 3) 2 +6(5 x − 3) 1 Desarrollar K y dar su expresión reducida. 2 Dar la expresión factorizada de K . 3 Dar una forma simplificada de K cuando x = 2 . E.3833 Considera el triángulo ABC que se muestra a continuación, algunas de cuyas medidas, en cen-tímetros, se muestran en la figura : Determina el área de este triángulo. E.3856 Considera la expresión : A =(2 x − 3)( x − 4) − (2 x − 3) 2 1 Expande y reduce A . 2 Calcula A cuando x = 3 2 , luego cuando x =3 · √ 2 . 3 Factor A . E.5239 Consideremos el triángulo ABC donde M es un punto de [ AB ] y N es un punto de [ AC ] . Tenemos las siguientes medidas : AB = 6 ; AC = 2 3 ; AM = 6 ; AN = 2 Demuestra que las rectas ( BC ) y ( MN ) son paralelas. E.249 Después de un examen, tres alum-nos discuten sus resultados ; .Estas son sus respuestas a la pregunta : ˇ .Da el inverso de √ 2 √ 3 ı .El alumno A respondió 3 2 ; .La respuesta del alumno B fue 3 6 ; El alumno C escribió 1 2 × 6 en su copia. Utilizando la definición de la inversa de un número , ,demues-tra que estas tres respuestas son correctas. 9. Simplificaciones aditivas E.3832 1 Simplifica la escritura de la suma siguiente : A = 2 + 2 2 2 a Simplifica la expresión de las siguientes raíces cuadradas : 50 ; 32 b Deduce de la pregunta anterior una simplificación de la suma : B = 50 + 32 + 2 3 Considere el número : C =2 27+5 75 Justifique la siguiente simplificación: C =31 3 E.785 Simplifica al máximo los siguientes cálculos : a 3 + 2 3 b 12 + 3 c 3 × 6 + 2 d 8 + 2 https://chingmath.fr chapExoCorrec/733 sacados/733 chapExoCorrec/775 sacados/775 chapExoCorrec/783 sacados/783 chapExoCorrec/2352 sacados/2352 chapExoCorrec/3833 sacados/3833 ABC√27√12 chapExoCorrec/3856 sacados/3856 Extrait de Reims Septembre 2002 chapExoCorrec/5239 sacados/5239 ABCMN√6√262√3 chapExoCorrec/249 sacados/249 chapExoCorrec/3832 sacados/3832 chapExoCorrec/785 sacados/785
TCERPI3532 E.734 Da las expresiones siguientes en la forma a b con a y b dos enteros donde b sea lo más pequeño posible : a 3 + 3 b 2 5 + 3 5 c 2 − 4 2 d 8 + 2 e 27 − 8 3 f 50 − 72 E.728 1 Reduce cada una de las expresiones siguientes a la forma a √ b donde b es un número entero: a 2 + 2 2 b 2 8 c 3 50 + 2 2 Haz lo mismo con las siguientes expresiones : a 2 18 + 50 b 4 12 − 2 75 c 5 + 3 2 × 40 − 45 E.772 Escribe en la forma a b con a y b enteros. a 3 28 − 9 7 b 2 + 32 + 200 c 2 45 − 3 5 + 20 d 4500 + 3 5 − 2 125 E.758 1 Escribe el siguiente cálculo de la forma a 3 donde a es un número entero: 2 48 + 7 3 − 75 2 Demuestre que A es un número entero: 63 − 4 2 + 18 × 2 + 2 8 − 3 7 E.774 La unidad de longitud es el centímetro. RECT es un rectángulo. 1 Calcula el perímetro del triángulo TIP . 2 Dos alumnos calcularon el perímetro del triángulo TIP . Marcel encontró: 2 17 2+1 . Paul ha encontrado : 2 34 1+ 1 2 . a ¾Es correcta la respuesta de Marcel? b ¾Es correcta la respuesta de Pablo? 10. Distributividad simple y raíz cuadrada E.759 Expande y simplifica las expresiones siguientes : a 1 + 5 15 b 3 + 2 2 c 1 + 3 6 2 d 3 2 5 − 2 E.9573 Expande y luego simplifica las sigu- ientes expresiones : a 2 18 + 2 b 5 5 − 45 E.9575 Calcula y simplifica la escritura de las siguientes raíces a 3 + 2 2 b 5 × 2 15 − 3 5) 11. Distributividad doble y raíces cuadradas E.780 Desarrollar y dar el resultado en forma simplificada : a 2 + 3 1 − 2 b 2 + 3 3 − 2 c 5 + 2 5 + 2 d 3 × 2 2 e 2 − 5 5 + 2 E.736 Calcula y simplifica al máximo la expresión de las siguientes raíces : a 2 + 3 1 − 2 b 2 − 5 2 + 5 + 1 E.9574 Calcula y da la forma simplificada de los siguientes cálculos : 2 − 5 2 + 5 + 1 E.744 Da el resultado de los siguientes cál-culos de la forma a + b c , donde a y b son números relativos y donde c es el menor número entero positivo posible. a 2 − 3 2+ 3 b 4 5 − 3 3 3+2 5 E.9576 Calcula y simplifica al máximo la escritura de las siguientes raíces : a 2 − 3 2 b 3 5 + 2 2 https://chingmath.fr chapExoCorrec/734 sacados/734 chapExoCorrec/728 sacados/728 chapExoCorrec/772 sacados/772 chapExoCorrec/758 sacados/758 chapExoCorrec/774 sacados/774 Brevet 91 TCERPI3532 chapExoCorrec/759 sacados/759 chapExoCorrec/9573 sacados/9573 chapExoCorrec/9575 sacados/9575 chapExoCorrec/780 sacados/780 chapExoCorrec/736 sacados/736 chapExoCorrec/9574 sacados/9574 chapExoCorrec/744 sacados/744 chapExoCorrec/9576 sacados/9576
33√27236 ABCba E.9577 Expande y simplifica las siguientes expresiones : a 2 3 + 1 2 b 3 5 + 2 2 E.267 1 Demuestra que los dos números siguientes son inversos entre sí : 5 + 1 2 ; 5 − 1 2 2 Montrer que : 5+1 2 2 =1+ 5+1 2 12. Álgebra y problemas E.760 En este ejercicio, todas las longitudes se expresan en cm . Consideremos las dos figuras siguientes, en las que : La medida de un lado del cuadrado es 3+3 Las dimensiones del rectángulo son 72+3 6 y 2 . 1 Calcular el área A del cuadrado ; reducir la expresión obtenida. 2 Calcular el área A del rectángulo. 3 Comprobar que este rectángulo y este cuadrado tienen la misma área. E.264 Considera el triángulo ABC que tiene las siguientes medidas : AB = 5 − 2 ; BC = 5 − 1 ; AC = 2 × 5 El triángulo ABC ¾es acutángulo? Justifica. E.2329 1 Comprueba que − 2 3 es solución de la siguiente ecuación : ( E ) : 3 x 2 + 5 x + 2 = 0 2 Verifica que 2 − 1 es solución de la siguiente ecuación : ( F ) : x 2 + 2 x − 1 = 0 13. Raíz cuadrada y valor absoluto E.8323 1 Completa la tabla siguiente : x − 5 − 3 0 1 2 5 x 2 d (0 ; x ) 2 Para cualquier número real x ( x ∈ R ) , ¾qué se puede decir de x 2 y d (0 ; x ) ? 14. Desigualdad triangular E.8363 Sean a y b dos números reales es-trictamente positivos. Consideremos el triángulo rectángulo ABC en A cuyos lados [ AB ] y [ AC ] tienen longitudes respec-tivas a y b : 1 Expresar la longitud de la hipotenusa [ BC ] en función de los números a y b . 2 ¾Qué propiedad permite afirmar la desigualdad : a + b a + b para cualquier número real positivo o nulo a y b ? https://chingmath.fr chapExoCorrec/9577 sacados/9577 chapExoCorrec/267 sacados/267 chapExoCorrec/760 sacados/760 33√27236 chapExoCorrec/264 sacados/264 chapExoCorrec/2329 sacados/2329 chapExoCorrec/8323 sacados/8323 chapExoCorrec/8363 sacados/8363 ABCba
1aABCD 1aABCD hxvantellesradierAmontAvalPortesEcluse 15. Trabajo en profundidad: extraer la raíz cuadrada en geometría E.9722 Sea a un número real estrictamente superior a 1 . Consideremos un segmento [ AB ] y un punto C perteneciente a [ AB ] tal que : AC = 1 ; CB = a Construimos el semicírculo C de diámetro [ AB ] y el punto D , intersección de C con la recta que pasa por C y es perpendic-ular a ( AB ) . Demostrar que : CD = a E.9723 Sea a un número real estrictamente superior a 1 . Consideremos un segmento [ AB ] y un punto C perteneciente a [ AB ] tal que : AC = 1 ; AB = a Construimos el semicírculo C de diámetro [ AB ] y el punto D , intersección de C con la recta que pasa por C y es perpendic-ular a ( AB ) . Demostrar que : AD = a Observación : este método de construcción con regla y compás permite obtener un segmento de longitud √ a . 16. Ejercicios no clasificados E.2468 Utilizando la descomposición de números enteros en productos de factores primos, escribe cada uno de los siguientes números de la forma p q donde p ∈ N y q ∈ N y donde q es lo más pequeño posible. a 432 b 126 c 42 E.6278 Se estudia más detalladamente el llenado de una esclusa para hacer pasar una barcaza de aguas arriba hacia aguas abajo. Principio : Se trata de elevar el nivel del agua en la esclusa hasta el nivel del canal aguas arriba para poder hacer pasar la barcaza por la esclusa. A continuación, la esclusa se vacía y el nivel desciende hasta el del canal aguas abajo. La barcaza puede salir de la esclusa y continuar por el canal aguas abajo. Todas las medidas de longitud se expresan en metros. Se anotará h la altura del nivel del agua aguas arriba y x la altura del nivel del agua en la esclusa. Estas alturas se miden a partir del fondo (fondo) de la esclusa. (véase el esquema anterior) . Cuando la barcaza se presenta en la esclusa, tenemos : h =4 ; 3 m ; x =1 ; 8 m La velocidad del agua que fluye por la compuerta () se calcula mediante la siguiente fórmula : v = 2 g h − x donde g =9 ; 81 (aceleración en metros por segundo al https://chingmath.fr chapExoCorrec/9722 sacados/9722 1aABCD chapExoCorrec/9723 sacados/9723 1aABCD chapExoCorrec/2468 sacados/2468 chapExoCorrec/6278 sacados/6278 hxvantellesradierAmontAvalPortesEcluse
hauteur(m0123456vitesse(m=s123456789 cuadrado, indicada con m · s − 2 ) . 1 Calcular la velocidad del agua que fluye por la compuerta en el momento de su apertura, redondeada al m = s más cer-cano. (Se considera que la apertura es instantánea) . 2 ¾Para qué valor de x será nula la velocidad de flujo del agua? ¾Qué se deduce de ello para el nivel del agua en la esclusa en este caso? 3 El gráfico que se muestra a continuación representa la velocidad de flujo del agua a través de la compuerta en función del nivel x del agua en la esclusa Determine, leyendo el gráfico, la velocidad de flujo cuando la altura del agua en la esclusa es de 3 ; 4 m . E.793 Escribe la siguiente expresión en la forma a b con b un número entero lo más pequeño posible : 27 + 3 12 − 5 75 E.11624 Montrer que 3 − 2 est une solution de l’équation: x 2 + 4 x + 1 = 0 E.11625 Montrer que 2 − 2 2 est une solution de l’équation: 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 E.11626 Montrer que le nombre 2 3 − 3 3 est une solution de l’équation: 3 x 2 + 6 x − 1 = 0 https://chingmath.fr hauteur(m0123456vitesse(m=s123456789 chapExoCorrec/793 sacados/793 chapExoCorrec/11624 sacados/11624 chapExoCorrec/11625 sacados/11625 chapExoCorrec/11626 sacados/11626