Grade 11 - STMG / Derivative number and third-degree function 32 exercises (100% corrected)

a
x-2-1012y-112Cf x-2-1012y-2-1Cf 1. Table of Signs E.11647 Complete the sign tables below : 1 x −∞ + ∞ 2 x + 1 3 + x (2 x +1)(3+ x ) 2 x −∞ + ∞ 2 − x 4 x − 3 (2 − x )(4 x − 3) E.11649 Construire le tableau de signes de cha-cune des expressions ci-dessous : a (2 x − 15)(2 x − 3) b x ( x + 1) E.11651 Construire le tableau de signe des ex-pressions : a ( − 2 x − 1)( x + 1) b ( − x + 2)( x + 3) E.11691 Complete the sign tables below : 1 x −∞ + ∞ 2 x + 1 3 + x (2 x +1)(3+ x ) 2 x −∞ + ∞ 2 − x 4 x − 3 (2 − x )(4 x − 3) 2. Line and tangent E.7764 Consider the function f defined on the interval − 1.25 ; 1.75 by: f ( x )= x 3 − x 2 − x +1 In the plane provided with a reference frame shown below, we give the representative curve C f of the function f : 1 Consider the straight line ( d ) with equation : y = − 1.25 · x +1 a Determine the coordinates of two points, chosen at ran-dom, on the line ( d ) . b Draw the line ( d ) in the reference frame. 2 Consider the straight line (Δ) with equation : y = 0.75 · x + 1.5 Draw the straight line (Δ) in the reference frame. 3 Complete the following sentences : a The straight line ( d ) is . . . . . . . . . . . . . . . to the curve C f at the point of abscissa . . . . . . b The right (Δ) is . . . . . . . . . . . . . . . to the curve C f at the point of abscissa . . . . . . E.7765 Consider the function f defined on the interval − 1.75 ; 2.25 by: f ( x )= x 3 − x 2 − x +1 In the plane provided with a reference frame shown below, we give the representative curve C f of the function f : 1 Consider the straight line ( d ) with equation : y = − 1.5 · x +2 a Determine the coordinates of two points, chosen at ran-dom, on the line ( d ) . b Draw the line ( d ) in the reference frame. 2 Consider the straight line (Δ) with equation : y = 0.25 · x − 0.75 Draw the straight line (Δ) in the reference frame. 3 Complete the following sentences : a The straight line ( d ) is . . . . . . . . . . . . . . . to the curve C f at the point of abscissa . . . . . . b The right (Δ) is . . . . . . . . . . . . . . . to the curve C f at the point of abscissa . . . . . . https://chingmath.fr chapExoCorrec/11647 sacados/11647 chapExoCorrec/11649 sacados/11649 chapExoCorrec/11651 sacados/11651 chapExoCorrec/11691 sacados/11691 chapExoCorrec/7764 sacados/7764 x-2-1012y-112Cf chapExoCorrec/7765 sacados/7765 x-2-1012y-2-1Cf
123456f(xa·x3b·x2c·xdabcdf(x3a·x2b·xc3·x3·x2xx3−x2·x−4x3−3·x2−x−2·x3;5·x2x−1x3x−x3−x2 3. Third-degree derivative function E.7864 Proposition: A third-degree polynomial function f can be expressed as : f ( x ) = a · x 3 + b · x 2 + c · x + d where a , b , c , d are real numbers with a =0 The function f is differentiable for any real number ( x ∈ R ) and its derivative function f can be expressed as : f ( x ) = 3 a · x 2 + 2 b · x + c Copy and complete the table below to obtain the expression of the function f derived from the function f : E.7766 For each of the functions below, give the expression of its derivative function : a f ( x ) = 2 · x 3 + x 2 + 4 · x + 1 b g ( x ) = − x 3 + 2 · x 2 + x − 4 c h ( x ) = − 4 · x 3 + x + 1 d j ( x ) = x 3 + 4 · x 2 + 1 e k ( x ) = − 3 x 3 + x 2 − 3 · x − 4 f ‘ ( x ) = x 2 + 3 · x − 3 E.7767 1 Consider the function f defined for any real number ( x ∈ R ) by the relation: f ( x ) = 2 · x 3 − x 2 + 2 · x + 1 Note C f the representative curve of the function f in a reference frame. a Determine the coordinates of the point A of the curve C f at the point of abscissa 1 . b Note ( d ) the tangent to the curve C f at the point of abscissa 1 . Determine the directing coefficient of the tangent ( d ) . 2 Consider the function f defined for any real number ( x ∈ R ) by the relation: g ( x ) = − x 3 + 2 · x 2 − x − 2 Note C g the representative curve of the function f in a reference frame. a Determine the coordinates of the point B of the curve C g at the point of abscissa − 2 . b Note (Δ) the tangent to the curve C f at the point B . Determine the directing coefficient of the tangent (Δ) . E.11692 Pour chacune des fonctions ci-dessous, donner l’expression de sa fonction dérivée : 1 f ( x ) = 3 x 3 − 5 x 2 + 4 x − 7 2 g ( x ) = − x 3 + 4 x 2 − 7 x + 4 4. Tangent equation E.7590 Definition: Let f be a polynomial function of degree 3 with the expression : f ( x ) = a · x 3 + b · x + c · x + d where the numbers a , b , c , and d are real numbers. We call the derivative of the third-degree function f , the function, denoted f , whose expression is : f ( x ) = 3 · a · x 2 + 2 · b · x + c f ( x ) = − 2 3 · x 3 − 3 · x 2 + x + 10 In a coordinate system O ; I ; J , we denote C f the curve representing the function f . 1 a Determine the expression of the derivative f of the function f . b Give the value of f ( − 3) . 2 a Give the coordinates of the point A on C f with ab-scissa − 3 . b Determine the expression of the linear function g pass-ing through the point with coordinates ( − 3 ; − 2) and having 1 as its slope. 3 Using a calculator, plot the curves of these two functions. What do you notice? https://chingmath.fr chapExoCorrec/7864 sacados/7864 123456f(xa·x3b·x2c·xdabcdf(x3a·x2b·xc3·x3·x2xx3−x2·x−4x3−3·x2−x−2·x3;5·x2x−1x3x−x3−x2 chapExoCorrec/7766 sacados/7766 chapExoCorrec/7767 sacados/7767 chapExoCorrec/11692 sacados/11692 chapExoCorrec/7590 sacados/7590
-1I-2-1JOCf x-3-2-10y-2-11Cf x-4-3-2-10123y-4-3-2-112Cf E.7774 Consider the function f defined on the interval − 1.25 ; 1.5 by the relation: f ( x ) = − x 3 + x 2 + x − 1 Note C f the representative curve of the function f in the reference frame below : 1 Establish that the function f derived from the function f has the expression : f ( x ) = − 3 · x 2 + 2 · x + 1 2 Determine the image and derivative number of − 0.5 by the function f . 3 a Determine the reduced equation of the tangent ( T ) to the curve C f at the point of abscissa − 0.5 . b Draw the tangent ( T ) in the above reference frame. E.7775 Consider the function f defined on the interval − 3.5 ; 0.5 by the relation: f ( x ) = 0.25 · x 3 + x 2 + x + 0.5 Note C f the representative curve of the function f in the reference frame below : 1 Determine the expression of the function f derivative of the function f . 2 Determine the values of f (0) and f (0) by the function f . 3 a Determine the reduced equation of the tangent ( T ) to the curve C f at the point of abscissa 0 . b Draw the tangent ( T ) in the above reference frame. E.7776 Consider the function f defined on the interval − 3.5 ; 2.25 by the relation: f ( x ) = 0.5 · x 3 + x 2 − 2.5 · x − 3 Note C f the representative curve of the function f in the reference frame below : 1 Establish that the function f derived from the function f has the expression : f ( x ) = 1.5 · x 2 + 2 · x − 2.5 2 a Determine the values of f ( − 2) and f ( − 2) . b Determine the reduced equation of the tangent ( T ) to the curve C f at the point of abscissa − 2 . c Draw the tangent ( T ) in the above reference frame. 3 a Determine the values of f (1) and f (1) . b Determine the reduced equation of the tangent ( T ) to the curve C f at the point of abscissa 1 . c Draw the tangent ( T ) in the above reference frame. 5. Variation table with given factorization https://chingmath.fr chapExoCorrec/7774 sacados/7774 -1I-2-1JOCf chapExoCorrec/7775 sacados/7775 x-3-2-10y-2-11Cf chapExoCorrec/7776 sacados/7776 x-4-3-2-10123y-4-3-2-112Cf
E.11655 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = 5 x 3 − 6 x 2 − 3 x + 1 1 a Montrer que : f ( x ) = 15 x 2 − 12 x − 3 b Etablir que : f ( x ) = (3 x − 3)(5 x + 1) c Dresser le tableau de signes de la fonction f . 2 En déduire le tableau de variations de la fonction f . E.11654 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = − 4 x 3 + 3 x 2 + 6 x − 5 1 a Montrer que : f ( x ) = − 12 x 2 + 6 x + 6 b Etablir que : f ( x ) = ( − 6 x + 6)(2 x + 1) c Dresser le tableau de signe de la fonction f . 2 En déduire le tableau de variations de la fonction f . E.11652 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = 2 x 3 − 2 x 2 − 2 x + 1 1 a Montrer que : f ( x ) = 6 x 2 − 4 x − 2 b Etablir que : f ( x ) = (2 x − 2)(3 x + 1) c Dresser le tableau de signe de la fonction f . 2 En déduire le tableau de variations de la fonction f . E.11653 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = x 3 − 4 x 2 + 4 x − 1 1 a Montrer que : f ( x ) = 3 x 2 − 8 x + 4 b Etablir que : f ( x ) = ( x − 2)(3 x − 2) c Dresser le tableau de signe de la fonction f . 2 En déduire le tableau de variations de la fonction f . E.11693 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = 2 x 3 + 6 x 2 − 18 x + 5 1 a Montrer que : f ( x ) = 6 x 2 + 12 x − 18 b Etablir que : f ( x ) = (6 x − 6)( x + 3) c Dresser le tableau de signe de la fonction f . 2 En déduire le tableau de variations de la fonction f . E.11694 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = 8 x 3 + 15 x 2 + 9 x − 2 1 a Montrer que : f ( x ) = 24 x 2 + 30 x + 9 b Etablir que : f ( x ) = (6 x + 3)(4 x + 3) c Dresser le tableau de signe de la fonction f . 2 En déduire le tableau de variations de la fonction f . E.11695 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = − x 3 + 6 x 2 − 9 x + 4 1 a Montrer que : f ( x ) = − 3 x 2 + 12 x − 9 b Etablir que : f ( x ) = ( − 3 x + 9)( x − 1) c Dresser le tableau de signe de la fonction f . 2 En déduire le tableau de variations de la fonction f . E.11696 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = − 5 x 3 + 12 x 2 − 9 x + 1 1 a Montrer que : f ( x ) = − 15 x 2 + 24 x − 9 b Etablir que : f ( x ) = ( − 3 x + 3)(5 x − 3) c Dresser le tableau de signe de la fonction f . 2 En déduire le tableau de variations de la fonction f . 6. Variation Table E.7803 Consider the function f defined on the interval − 3 ; 3 by the expression : f ( x ) = 4 · x 3 + 3 · x 2 − 6 · x + 1 1 Determine the expression of the function f derivative of the function f . 2 a Solve the equation 12 · x 2 +6 · x − 6=0 b Draw up the sign table for the function f on the in-terval − 3 ; 3 3 Draw up the table of variations of the function f on the interval − 3 ; 3 . E.7804 Consider the function f defined on the interval − 2 ; 4 by the expression : f ( x ) = − 5 · x 3 − 6 · x 2 + 3 · x + 2 1 Determine the expression of the function f derivative of the function f . 2 a Solve the equation − 15 · x 2 − 12 · x +3=0 b Draw up the sign table for the function f on the in-terval − 2 ; 4 3 Draw up the table of variations of the function f on the interval − 2 ; 4 . 7. Problems with a given factorization E.11668 Une entreprise fabrique des croquettes pour chiens. Chaque jour, elle en fabrique entre 0 et 80 tonnes. Le coût de fabrication, en euros, de x tonnes est modélisé par la fonction C définie par : C ( x ) = x 3 − 105 · x 2 + 3700 · x + 4000 Une tonne de croquettes est vendue 1 900 e . La recette, pour x tonnes vendues, est donc donnée par une fonction R définie sur l’intervalle 0 ; 80 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/11655 sacados/11655 chapExoCorrec/11654 sacados/11654 chapExoCorrec/11652 sacados/11652 chapExoCorrec/11653 sacados/11653 chapExoCorrec/11693 sacados/11693 chapExoCorrec/11694 sacados/11694 chapExoCorrec/11695 sacados/11695 chapExoCorrec/11696 sacados/11696 chapExoCorrec/7803 sacados/7803 chapExoCorrec/7804 sacados/7804 chapExoCorrec/11668 sacados/11668
-20-1001020304050-2000-10001000200030004000 1 a Pour x appartenant à l’intervalle 0 ; 80 , donner l’expression de R ( x ) . b En déduire que le bénéfice réalisé par la vente de x tonnes de croquettes est donné par la fonction B définie sur l’intervalle 0 ; 80 par : B ( x ) = − x 3 + 105 · x 2 − 1800 · x − 4000 2 Justifier que : B ( x ) = (180 − 3 x )( x − 10) 3 Justifier que le signe de B ( x ) est donné par le tableau suivant : x 0 10 60 80 Signe de B ( x ) − 0 + 0 − 4 En déduire le tableau de variations de la fonction B sur l’intervalle 0 ; 80 . 5 Quelle doit être la quantité de croquettes que l’entreprise doit vendre pour réaliser un bénéfice maximal? Que vaut ce bénéfice? E.11669 Une entreprise produit et vend un tissu en coton de forme rectangulaire de 1 mètre de large; on note x sa longueur exprimée en kilomètre, x étant un nombre com-pris entre 0 et 10 . Le coût total de production en euro de ce tissu est donné, en fonction de x , par : C ( x ) = 15 · x 3 − 120 · x 2 + 350 · x + 1 000 Le cours du marché offre un prix de 530 e le kilomètre de tissu fabriqué par l’entreprise. Pour tout x ∈ 0 ; 10 , on note R ( x ) la recette et B ( x ) le béné-fice générés par la production et la vente de x kilomètres de tissu par l’entreprise. 1 Exprimer R ( x ) en fonction de x . 2 Montrer que pour tout x ∈ 0 ; 10 : B ( x ) = − 15 · x 3 + 120 · x 2 + 180 · x − 1 000 3 Justifier que : B ( x ) = (90 − 15 x )(3 x + 2) 4 Étudier le signe de B ( x ) et en déduire les variations de la fonction B sur 0 ; 10 . 5 a Pour quelle longueur de tissu produite et vendue l’entreprise réalise-t-elle un bénéfice maximal? b Donner alors la valeur de ce bénéfice maximal? E.11670 Partie A On considère les fonctions f et g définies sur R par : f ( x ) = 1 10 · x 3 − 6 · x 2 + 120 · x ; g ( x ) = 40 · x . 1 a Calculer le nombre dérivé f ( x ) et vérifier que : f ( x ) = 3 10 · ( x − 20) 2 . b Étudier le sens de variation de la fonction f sur R . c Calculer f (10) , f (20) et f (40) . 2 La courbe ( C f ) représentative de la fonction f est tracée sur la feuille annexe que l’on remettra avec la copie. a Déterminer une équation de la tangente T A à courbe ( C f ) au point A d’abscisse 10. b Montrer que la courbe ( C f ) et la courbe ( C g ) se coupent au point d’abscisse 40. c Tracer sur la feuille annexe la courbe ( C g ) représenta-tive de la fonction g . Partie B Le coût exprimé en euros d’une production est fonction du nombre d’unités x fabriquées est égal à f ( x ) où f est la fonc-tion étudiée dans la partie A . 1 Montrer que pour x unités produites et vendues 40 euros l’unité, le bénéfice en euros s’exprime par g ( x ) − f ( x ) . 2 a Déterminer graphiquement les solutions de l’équation f ( x )= g ( x ) sur l’intervalle 0 ; 45 . On fera les traits de constructions utiles et on vérifiera que les valeurs entières lues sont solutions. b Déterminer l’intervalle auquel doit appartenir le nom-bre d’unités fabriquées x pour que l’entreprise soit bénéficiaire. E.7771 A company manufactures metal parts for the automotive industry every day. Daily production varies between 0 and 25 parts. The cost of manufacturing x parts, expressed in euros, is mod-eled by the function C defined on the interval 0 ; 25 by: C ( x ) = x 3 − 30 · x 2 + 400 · x + 100 We assume that the company sells its daily production every day. Each item is sold at a price of 247 euros. 1 Let B be the profit function, expressed in euros. Justify that the expression of B ( x ) on the interval 0 ; 25 is : B ( x ) = − x 3 + 30 · x 2 − 153 · x − 100 2 We note B the derivative of the function B . Calculate B ( x ) , for any real number x belonging to the interval 0 ; 25 . 3 Justify the following table : x 0 3 17 + ∞ Sign of B ( x ) − 0 + 0 − 4 Deduce the complete table of variations of the function B over the interval 0 ; 25 . 5 Determine the number of parts the company must pro-duce each day to maximize profit. What is the maximum profit? https://chingmath.fr chapExoCorrec/11669 sacados/11669 chapExoCorrec/11670 sacados/11670 -20-1001020304050-2000-10001000200030004000 chapExoCorrec/7771 sacados/7771
x024681012141618202224262830y200040006000800010000 8. Problems E.7772 A study by INSEE listed the evo-lution in France of average annual net salaries from 1990 to 2010 . Using data from this study, we model the evolution of average annual net salaries up to 2020 : For men, using the function h defined on 0 ; 30 by: h ( x ) = 0.25 · x 3 + 2 · x 2 + 318 · x + 17 865 For women, using the function f defined on 0 ; 30 by: f ( x ) = 0.6 · x 3 − 13 · x 2 + 470 · x + 13 324 Thus, h (0) denotes the annual net salary for men in 1990 , f (1) denotes the annual net salary for women in 1991 , etc.. . . 1 Calculate h (15) and f (15) , then interpret the results. 2 Calculate the difference in average annual net salaries predicted by this model between men and women in 2020 . 3 Show that the difference between these two salaries can be modeled by the function g defined on 0 ; 30 by: g ( x ) = − 0.35 · x 3 + 15 · x 2 − 152 · x + 4 541 4 Let g be the derivative of the function g . Calculate g ( x ) . 5 Determine the sign of g ( x ) on 0 ; 30 . 6 Can we say that the gap between the average annual net salaries of men and women has only decreased since 1990 ? E.7773 A company produces and sells a rectangular cotton fabric 1 meter wide ; we note x its length expressed in kilometers, x being a number between 0 and 10 . The total production cost in euros of this fabric is given, as a function of x , by: C ( x ) = 15 · x 3 − 120 · x 2 + 350 · x + 1 000 The market price offers a price of 530 e per kilometer of fab-ric manufactured by the company. For any x ∈ 0 ; 10 , let R ( x ) be the revenue and B ( x ) the profit generated by the company’s production and sale of x kilometers of fabric. 1 Express R ( x ) as a function of x . 2 Show that for any x ∈ 0 ; 10 : B ( x ) = − 15 · x 3 + 120 · x 2 + 180 · x − 1 000 3 Determine B ( x ) for x ∈ 0 ; 10 where B denotes the function derived from B . 4 Study the sign of B ( x ) and deduce the variations of the function B on 0 ; 10 . 5 a For what length of fabric produced and sold does the company make maximum profit? b Then give the value of this maximum profit? E.7825 A company manufactures dog food. Every day, it produces between 0 and 80 tons. The manufacturing cost, in euros, of x tons is modeled by the function C defined by: C ( x ) = x 3 − 105 · x 2 + 3700 · x + 4000 One ton of kibble is sold for 1 900 e . The revenue for x tons sold is therefore given by a function R defined on the interval 0 ; 80 . 1 a For x belonging to the interval 0 ; 80 , give the ex-pression for R ( x ) . b Deduce that the profit made from the sale of x tons of kibble is given by the function B defined on the interval 0 ; 80 by: B ( x ) = − x 3 + 105 · x 2 − 1800 · x − 4000 2 Calculate B ( x ) where B denotes the derivative of the function B . 3 Justify that the sign of B ( x ) is given by the following table : x 0 10 60 80 Sign of B ( x ) − 0 + 0 − 4 Deduce the table of variations of the function B on the interval 0 ; 80 . 5 How many croquettes must the company sell to maxi-mize its profit? What is the value of this profit? 9. Unclassified financial years E.11676 Partie A On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 30] par : f ( x ) = − 2 x 3 + 60 x 2 + 2000 1 On note f la dérivée de f . Calculer f ( x ) pour x appar-tenant à [0 ; 30] . 2 Vérifier que f ( x ) = 6 x (20 − x ) pour x appartenant à [0 ; 30] , puis étudier le signe de f . 3 Dresser le tableau de variations de f sur l’intervalle [0 ; 30] . 4 Tracer dans le même repère la droite D d’équation : y = 150 x + 4500 . 5 Déterminer graphiquement les coordonnées des points d’intersection de la courbe C et de la droite D . Partie B https://chingmath.fr chapExoCorrec/7772 sacados/7772 chapExoCorrec/7773 sacados/7773 chapExoCorrec/7825 sacados/7825 chapExoCorrec/11676 sacados/11676 x024681012141618202224262830y200040006000800010000
Le club de théâtre du Lycée Louis XIV a loué une grande salle de spectacle et organise une représentation de " Ubu Roi " d’Alfred Jarry. Le prix de location de la salle est de 4500 F. Il espère avoir un maximum de spectateurs parmi la popula-tion des environs, aussi il décide de faire passer des messages publicitaires sur radio locale. Soit x le nombre de jours de publicité. Pour x compris entre 0 et 20, la recette prévue est donnée par f ( x ) où f est la fonction définie dans la partie A. Chaque jour de publicité est facturé 150 F. 1 On fait un calcul sur 20 jours de publicité. a Quelle est la recette prévisible ? b Calculer les frais engagés : publicité et location. c Calculer le bénéfice dans le cas où la recette est con-forme à la prévision. 2 Quel est le bénéfice si on prévoit 5 jours de publicité ? 3 Établir la formule donnant, en fonction du nombre x de jours de publicité, le montant total des frais engagés C ( x ) . 4 Combien de jours de publicité au minimum faut-il envis-ager pour que le bénéfice prévisible soit positif ou nul ? https://chingmath.fr