image PNG : /home/_math/_exercice/d11/11622/a.png
image PNG : /home/_math/_exercice/d11/11623/c.png
image PNG : /home/_math/_exercice/d11/11623/a.png
image PNG : /home/_math/_exercice/d11/11623/b.png
E.7159
1
Expand
the
following
expressions
:
a
(
x
−
3)(
x
−
1)
b
x
−
2
2
−
1
2
Expand
the
following
expressions
:
a
2
·
x
+
2
x
+
4
b
2
·
x
+
3
2
−
2
3
Expand
the
following
expressions
:
a
−
(
x
−
5)(
x
−
1)
b
4
−
x
−
3
2
3.
Canonical
form
E.7160
Definition:
For
any
second-degree
polynomial
a
·
x
2
+
b
·
x
+
c
,
there
exist
two
real
numbers
¸
and
˛
such
that
:
a
·
x
2
+
b
·
x
+
c
=
a
·
x
+
¸
2
+
˛
This
expression
is
called
the
canonical
form
of
this
poly-nomial.
1
a
Show
that
x
−
3
2
−
4
is
the
canonical
form
of
the
polynomial
x
2
−
6
·
x
+5
b
Show
that
x
+1
2
−
4
is
the
canonical
form
of
the
poly-nomial
x
2
+2
·
x
−
3
c
Show
that
x
−
3
2
−
25
is
the
canonical
form
of
the
poly-nomial
x
2
−
6
·
x
−
16
Definition:
Let
a
·
x
2
+
b
·
x
+
c
be
a
second-degree
polyno-mial.
The
roots
of
this
polynomial
are
the
numbers
x
whose
evaluation
by
the
polynomial
is
0
:
a
·
x
2
+
b
·
x
+
c
=
0
Method
:
To
determine
the
roots
of
a
polynomial,
we
use
its
canonical
form.
Let’s
take
the
expression
in
the
ques-tion
as
an
example:
a
:
x
2
−
6
·
x
+
5
=
0
x
−
3
2
−
4
=
0
x
−
3
2
=
4
x
−
3
2
=
2
2
We
use
the
following
property:
ˇ
Two
numbers
whose
squares
are
equal
are
either
equal
or
opposite
ı.
From
this,
we
deduce
the
two
equations
:
x
−
3
=
2
x
=
2
+
3
x
=
5
x
−
3
=
−
2
x
=
−
2
+
3
x
=
1
Thus,
the
polynomial
x
2
−
6
·
x
+5
has
two
roots,
1
and
5
.
2
Using
the
same
method,
b
Show
that
the
polynomial
x
2
+2
·
x
−
3
has
roots
−
3
and
1
.
c
Show
that
the
polynomial
x
2
−
6
·
x
−
16
has
roots
−
2
and
8
.
E.7178
Copy
and
complete
the
dotted
lines
of
each
equality
to
obtain
the
canonical
form
of
each
of
the
poly-nomials
:
a
x
2
+
4
·
x
−
1
=
x
+
2
2
+
:
:
:
b
2
·
x
2
−
8
·
x
+
10
=
2
·
x
−
:
:
:
2
+
2
E.7179
We
wish
to
solve
the
equation
:
x
2
+
6
x
−
7=0
1
Establish
equality:
x
2
+
6
x
−
7
=
x
+
3
2
−
16
2
Deduce
the
two
solutions
of
the
equation
x
2
+6
·
x
−
7=0
4.
Discriminant
E.7706
Definition:
le
The
discriminant
of
a
second-degree
polynomial
a
·
x
2
+
b
·
x
+
c
is
a
number
that
can
be
calcu-lated
using
the
coefficients
of
the
polynomial:
Δ
=
b
2
−
4
×
a
×
c
Complete
the
table
below
for
each
of
the
second-degree
poly-nomials
:
a
b
c
Δ=
b
2
−
4
·
a
·
c
x
2
+
x
+1
−
0
;
5
·
x
2
+2
·
x
+1
x
2
+4
2
·
x
2
−
3
·
x
−
1
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/7159
sacados/7159
chapExoCorrec/7160
sacados/7160
chapExoCorrec/7178
sacados/7178
chapExoCorrec/7179
sacados/7179
chapExoCorrec/7706
sacados/7706
<0Aucune solution01solution−b2·a>02solutions−b−2·a;−b2·a
ABCDMNP32x2x
E.7161
Complete
the
table
below
for
each
of
the
second-degree
polynomials:
a
b
c
Δ=
b
2
−
4
·
a
·
c
2
·
x
2
+5
·
x
+1
−
x
2
+7
·
x
+3
x
2
−
5
·
x
+4
2
·
x
2
−
4
·
x
−
1
−
x
2
−
x
−
1
x
2
+7
E.7162
Determine
the
discriminant
of
the
second-degree
polynomials
below
:
a
x
2
+
2
x
+
4
b
2
x
2
+
4
x
+
1
c
x
2
−
2
x
+
1
d
−
2
x
2
+
2
x
+
1
e
x
2
−
x
−
1
f
3
x
2
+
x
−
2
E.7180
Determine
the
discriminant
of
the
poly-nomials
below
:
a
2
·
x
2
−
3
·
x
+
3
b
−
x
2
+
5
·
x
−
4
5.
Second-degree
equation
E.7163
Definition:
The
roots
of
a
polynomial
are
the
values
that
cancel
out
this
polynomial.
Proposition
:
for
a
second-degree
polynomial
a
·
x
2
+
b
·
x
+
c
,
the
number
of
existing
roots
depends
on
the
discriminant
:
Solve
the
following
equations
:
a
x
2
+
2
x
−
35
=
0
b
2
x
2
+
8
x
+
6
=
0
c
5
x
2
−
3
x
+
2
=
0
d
9
x
2
−
24
x
+
16
=
0
e
−
2
x
2
+
3
x
−
5
=
0
f
3
x
2
+
12
x
+
9
=
0
E.7164
Solve
the
following
equations
:
a
3
x
2
+
9
x
+
6
=
0
b
3
x
2
−
4
x
+
2
=
0
c
−
x
2
+
2
x
+
3
=
0
d
2
x
2
−
4
x
+
2
=
0
e
x
2
+
12
x
+
27
=
0
f
2
x
2
+
12
x
+
10
E.7181
Solve
the
following
equations
:
a
−
2
x
2
+
2
x
+
4
=
0
b
2
·
x
2
−
4
·
x
+
2
=
0
E.7170
Let
x
be
an
indeterminate
measure.
Con-sider
the
rectangle
ABCD
shown
below
where
:
AM
=3
;
MB
=2
x
;
AN
=2
;
ND
=
x
1
In
the
particular
case
where
x
=2
,
establish
that
the
area
A
of
the
rectangle
ABCD
has
the
measure
28
.
2
We
place
ourselves
in
the
general
case
where
x
represents
an
indeterminate
number:
a
Show
that
the
area
A
of
the
rectangle
ABCD
has
the
value
:
A
=
2
·
x
2
+
7
·
x
+
6
b
Determine
the
value(s)
of
x
so
that
the
area
A
of
the
rectangle
ABCD
has
the
value
36
.
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/7161
sacados/7161
chapExoCorrec/7162
sacados/7162
chapExoCorrec/7180
sacados/7180
chapExoCorrec/7163
sacados/7163
<0Aucune solution01solution−b2·a>02solutions−b−2·a;−b2·a
chapExoCorrec/7164
sacados/7164
chapExoCorrec/7181
sacados/7181
chapExoCorrec/7170
sacados/7170
ABCDMNP32x2x
ABCDxx64
IJOCfCg
<00>0¸et˛sontlesdeuxracinesa>0a<0x−∞∞x−∞∞−x−∞∞−b/2a0x−∞∞−b/2a0−−x−∞∞αβ00−x−∞∞αβ00−−
E.7171
Let
x
be
an
indeterminate
measure
and
consider
the
rectangle
ABCD
,
of
dimensions
6
and
4
,
shown
below
:
where
a
rectangle,
area
shown
striped,
obtained
by
reducing
the
dimensions
of
ABCD
by
x
.
Note
A
the
area
of
the
rectangle
shown
striped.
1
Demonstrate
that
the
area
A
is
expressed
as
:
A
=
x
2
−
10
·
x
+24
2
Determine
the
value
of
x
so
that
A
has
the
value
8
.
6.
Reminders
on
sign
tables
E.7173
consider
the
two
functions
f
and
g
de-fined
by:
f
(
x
)
=
x
+
1
;
g
(
x
)
=
−
0.5
·
x
−
1
In
the
reference
frame
O
;
I
;
J
given
below,
are
represented
the
curves
C
f
and
C
g
representative
of
the
functions
f
and
g
.
Without
justification,
complete
the
sign
tables
for
the
func-tions
f
and
g
:
x
−∞
+
∞
f
(
x
)
x
−∞
+
∞
g
(
x
)
E.7172
Complete
the
table
of
signs
for
each
expression
E
:
1
x
−∞
−
3
−
1
2
+
∞
2
x
+
1
0
3
+
x
0
E
=(2
x
+1)(3+
x
)
0
0
2
x
−∞
3
4
2
+
∞
x
−
2
4
x
−
3
E
=(
x
−
2)(4
x
−
3)
3
x
−∞
+
∞
2
+
x
2
−
x
E
=
2+
x
2
−
x
7.
Sign
table
E.7174
Proposal:
The
sign
table
for
a
quadratic
polynomial
de-pends
on
the
sign
of
the
coefficient
of
the
quadratic
term
and
the
sign
of
the
discriminant.
The
six
possibilities
are
shown
below
:
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/7171
sacados/7171
ABCDxx64
chapExoCorrec/7173
sacados/7173
IJOCfCg
chapExoCorrec/7172
sacados/7172
chapExoCorrec/7174
sacados/7174
<00>0¸et˛sontlesdeuxracinesa>0a<0x−∞∞x−∞∞−x−∞∞−b/2a0x−∞∞−b/2a0−−x−∞∞αβ00−x−∞∞αβ00−−
2m12−xx5m
31;5·xxABCD
Draw
the
sign
chart
for
each
of
the
following
expressions
:
a
x
2
+
x
−
6
b
2
·
x
2
−
3
·
x
+
1
c
3
x
2
+
3
x
−
6
d
−
x
2
+
x
+
2
e
−
2
x
2
+
12
x
−
18
f
3
x
2
−
5
x
−
2
E.7175
Draw
up
the
sign
table
for
the
following
expressions
:
a
2
·
x
2
+
3
·
x
−
5
b
6
·
x
2
+
x
−
1
c
−
2
·
x
2
+
4
x
+
6
d
−
3
·
x
2
−
3
·
x
−
1
8.
Equations
E.7198
Solve
the
following
inequations
:
a
x
2
−
3
x
+
2
>
0
b
x
2
−
x
−
2
<
0
c
−
9
x
2
+
12
x
−
4
0
d
5
x
2
+
4
x
−
1
<
0
e
−
4
x
2
+
2
x
+
2
0
f
−
x
2
+
x
−
3
>
0
E.7199
Solve
the
following
inequations
:
a
x
2
+
5
x
+
4
<
0
b
−
x
2
−
x
+
6
<
0
c
4
x
2
+
4
x
+
1
>
0
d
−
2
x
2
+
5
x
+
3
>
0
e
4
x
2
−
3
x
+
2
0
f
12
x
2
+
12
x
+
3
0
9.
Problems
E.7200
In
his
field,
a
farmer
has
a
rectangu-lar
chicken
coop
with
dimensions
5
m
and
2
m
.
He
wishes
to
build
an
enclosure
(shown
dotted)
as
shown
in
the
figure
below
with
17
m
of
fencing
:
The
henhouse
is
represented
by
the
hatched
area,
the
fence
is
shown
in
dotted
lines
and
the
outdoor
area
dedicated
to
the
hens
is
represented
by
the
white
area.
The
area
of
the
outdoor
part
is
A
.
1
Justify
that
the
area
A
of
the
outdoor
space
has
the
ex-pression
:
A
(
x
)=
−
x
2
+12
·
x
−
10
2
For
what
values
of
x
,
the
outer
space
has
an
area
of
25
m
2
.
E.7201
We
want
to
construct
a
rectangular
play
area
along
the
side
of
a
building.
Furthermore,
we
want
the
dimensions
of
this
rectangle
to
be
greater
than
or
equal
to
10
m
.
This
play
area
is
surrounded
on
three
sides
by
a
3
m
-wide
walkway,
as
shown
in
the
sketch
below.
1
Express
the
total
area
of
the
plot
(including
driveways)
.
2
For
what
value
of
x
,
the
area
A
measures
84
m
2
.
10.
Share
E.11622
Sur
un
axe
gradué
en
mètres,
on
organise
une
course
en-tre
une
tortue
et
un
escargot.
La
tortue
part
du
point
d’abscisse
x
=
0
.
Elle
se
déplace
vers
la
droite
à
une
vitesse
de
2
mètres
par
minute.
L’escargot
part
du
point
d’abscisse
x
=
12
.
Il
se
déplace
vers
la
droite
à
une
vitesse
de
50
centimètres
par
minute.
Les
deux
concurrents
partent
en
même
temps.
À
quel
endroit
la
tortue
rattrapera-t-elle
l’escargot
?
(Toute
trace
de
recherche,
même
infructueuse,
sera
prise
en
compte).
https://chingmath.fr
chapExoCorrec/7175
sacados/7175
chapExoCorrec/7198
sacados/7198
chapExoCorrec/7199
sacados/7199
chapExoCorrec/7200
sacados/7200
2m12−xx5m
chapExoCorrec/7201
sacados/7201
31;5·xxABCD
chapExoCorrec/11622
sacados/11622
E.11623
1
Le
volume
d’un
glacier
diminue
de
3
%
chaque
année.
Si
V
(
n
)
désigne
le
volume
du
glacier
pour
l’année
n
,
on
a:
a
V
(
n
+
1)
=
V
(
n
)
−
0
;
03
b
V
(
n
+
1)
=
0
;
03
×
V
(
n
)
c
V
(
n
+
1)
=
0
;
97
×
V
(
n
)
d
V
(
n
+
1)
=
V
(
n
)
−
0
;
97
2
Dans
un
repère
du
plan
on
a
représenté
une
droite.
Le
coefficient
directeur
de
cette
droite
est
égal
à:
a
−
3
b
−
1
c
2
d
3
3
Dix
stylos
coûtent
en
tout
13
euros.
Le
prix
de
trois
stylos
est
égal
à:
a
3,60
euros
b
6,90
euros
c
3,90
euros
d
6,50
euros
4
Une
athlète
parcourt
1
km
en
5
minutes.
Quelle
est
sa
vitesse
moyenne
?
a
8
km/h
b
10
km/h
c
12
km/h
d
14
km/h
5
Sur
60
personnes
présentes
à
une
exposition,
on
distingue
trois
groupes
:
groupe
A:
30
personnes
groupe
B
:
12
personnes
groupe
C
:
les
autres.
Quelle
représentation
décrit
la
situation
?
6
Donner
un
ordre
de
grandeur
de
101
×
99
:
a
100
b
1
000
c
10
000
d
100
000
7
Un
prix
augmente
de
20%
puis
diminue
de
20%.
Après
ces
deux
évolutions,
on
peut
affirmer
que
:
a
Le
prix
est
égal
à
sa
valeur
de
départ.
b
Le
prix
est
strictement
supérieur
à
sa
valeur
de
départ.
c
Le
prix
est
strictement
inférieur
à
sa
valeur
de
départ.
d
On
ne
peut
pas
savoir:
cela
dépend
de
la
valeur
de
départ.
8
Par
combien
faut-il
multiplier
une
quantité
positive
pour
que
celle-ci
diminue
de
2,3%
?
a
1,23
b
0,977
c
0,77
d
1,023
9
Dans
un
lycée,
50
élèves
étudient
le
Grec,
ce
qui
représente
4%
du
nombre
d’élèves
inscrits
dans
ce
lycée.
Le
nombre
d’élèves
inscrits
dans
ce
lycée
est
égal
à:
a
2
b
200
c
125
d
1250
10
On
considère
la
fonction
f
définie
sur
R
par
:
f
(
x
)
=
−
2
x
2
+
3
x
+
1
.
L’image
de
−
1
par
la
fonction
f
est
égale
à:
a
0
b
2
c
−
2
d
−
4
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sacados/11623
11
On
considère
la
fonction
f
définie
sur
R
par
:
f
(
x
)
=
2
x
2
−
5
x
+
3
.
Un
antécédent
de
0
par
la
fonction
f
est
:
a
1
b
−
1
c
0
d
2
12
On
considère
:
A
=
1
2
−
1
2
×
4
3
a
A
=
0
b
A
=
−
1
6
c
A
=
2
3
d
A
=
−
1
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