Première spécialité / Concours olympiades 38 exercices (dont 36 corrigés)

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Plus de 40 exercices réservés aux professeurs: utilisez-votre identifiant pour y accéder 1. Appréhender une nouvelle définition E.5940 Un entier naturel non nul est un nombre Harshad s’il est divisible par la somme de ses chiffres. Par exemple, n =24 est un nombre Harshad car la somme de ses chiffres est 2+4=6 , et 24 est bien divisible par 6 . 1 a Montrer que 364 est un nombre de Harshad. b Quel est le plus petit entier qui ne soit pas un nombre Harshad? 2 a Donner un nombre Harshad de 4 chiffres. b Soit n un entier non nul. Donner un nombre Harshad de n chiffres. E.5941 À partir de deux nombres entiers positifs, on construit une liste de nombres où chaque nombre est la somme des deux précédents. 1 Choisir deux nombres entiers positifs inférieurs à 10 et déterminer les dix premiers nombres de la liste définie précédemment. 2 Un mathé-magicien prétend être capable de déterminer rapidement et exactement la somme des dix premiers nombres d’une liste quelconque ainsi construite. Mon-trer que, quels que soient les nombres de départ, cette somme est multiple d’un des nombres de la liste dont on déterminera la position. E.5982 Une calculatrice défectueuse permet seulement : de taper des nombres positifs ou nuls ; de faire l’opération suivante : à partir de trois nombres entrés successivement ( x ; y ; z ) , elle affiche 0 si x = y et le résultat de z x − y sinon. ( x ; y ; z ) −→ z x − y si x = y 0 si x = y l’utilisation des parenthèses qui permet de composer des calculs. 1 En détaillant les calculs, vérifier les résultats suivants donnés par la calculatrice: 0 ; 1 ; 2 ↦−→ − 2 ; 2 ; 0 ; 1 ; 1 ; 1 ↦−→ − 2 2 Que donne 2 ; 0 ; 1 , 0 ; 2 ; 1 et 2 ; 1 ; 2 ; 1 ; 2 ? 3 Donner un calcul permettant d’obtenir − 1 . 4 Vérifier que le calcul a ; 0 ; 1 permet d’obtenir l’inverse de a pour tout a> 0 . 5 Proposer un calcul permettant de faire la division de deux nombres positifs : a b avec a 0 et b> 0 . 6 Proposer un calcul permettant de faire la multiplication de deux nombres positifs : a × b avec a 0 et b 0 . E.8128 Mesures d’angles à peu près On dit qu’un triangle ABC est à peu près rectangle en un sommet A si la mesure de l’angle en A est dans l’intervalle 75 o ; 105 o . On dit qu’un triangle ABC est à peu près isocèle en un sommet A si les mesures des angles en B et en C dif-fèrent de 15 o au maximum. 1 a Un triangle rectangle est-il à peu près rectangle? Un triangle isocèle est-il à peu près isocèle. b Un triangle peut-il être rectangle en deux sommets? À peu près rectangle en deux sommets? Le cas échéant, quand il est en plus acutangle (c’est-à-dire que tous ses angles sont aigus) , est-il à peu près isocèle? 2 Existe-t-il un triangle acutangle qui ne soit ni à peu près rectangle, ni à peu près isocèle? 3 Écrire un programme (en langage naturel ou calculatrice) , à recopier sur votre copie, testant si un triangle ABC dont on connaît les trois angles A , B et C est à peu près isocèle. Mesures de longueurs à peu près Dans cette partie, on suppose qu’une unité de longueur a été donnée dans le plan, et on adopte les définitions suivantes : Deux points sont à peu près égaux si leur distance est inférieure ou égale à 0 ; 1 ; Deux segments sont à peu près de même longueur si leurs longueurs diffèrent de 0 ; 1 ou moins ; Un triangle est à peu près équilatéral si les longueurs de ses côtés diffèrent, deux à deux, de 0 ; 1 ou moins. 4 a Un triangle rectangle dont l’hypoténuse mesure (ex-actement) 1 peut-il être à peu près équilatéral? b Un triangle rectangle peut-il être à peu près équilatéral? 5 On considère un cercle, de centre O de rayon (exacte-ment) 2 et deux points de ce cercle: A , fixe, et B , mobile. On appelle I le milieu du segment OA ] et H le projeté orthogonal de B sur la droite ( OA ) . a Représenter sur une figure l’ensemble des points B pour lesquels H et I sont à peu près égaux. En cal-culer la longueur (le résultat sera donné arrondi au centième) . b Si H et I sont à peu près égaux, le triangle AOB est-il à peu près équilatéral? 2. Arithmétique https://chingmath.fr chapExoCorrec/5940 sacados/5940 chapExoCorrec/5941 sacados/5941 chapExoCorrec/5982 sacados/5982 chapExoCorrec/8128 sacados/8128
R00123456R10123456R20123456 directionAdirectionBdirectionCdirectionDdirectionEdirectionFdirectionGdirectionH01234567891011121314151617 E.5942 1 a En partant de 12 589 et en comptant de 29 en 29 , peut-on atteindre le nombre 12 705 ? b En partant de 1 485 et en comptant de 29 en 29 , peut-on atteindre le nombre 310 190 ? Expliquer votre démarche. 2 Quel est le plus petit entier positif à partir duquel, en comptant de 29 en 29 , on peut atteindre 2013 ? 3 Existe-t-il des entiers positifs inférieurs à 2 013 à partir desquels il est possible d’atteindre ce nombre aussi bien en comptant de 29 en 29 qu’en comptant de 31 en 31 ? Si oui, les trouver tous. E.5943 Un compteur est composé de trois roues crantées, nommées R 0 , R 1 et R 2 comportant toutes les trois 7 crans, numérotés de 0 à 6 . Ce compteur est conçu de sorte que : Les roues tournent toujours d’un cran vers le cran suiv-ant, dans cet ordre : 0 −→ 1 −→ 2 −→ 3 −→ 4 −→ 5 −→ 6 −→ 0 Lorsque la roue R 0 effectue un tour complet, c’est-à-dire lorsqu’elle tourne de 7 crans alors la roue R 1 tourne d’un cran. Lorsque la roue R 1 effectue un tour complet, c’est-à-dire lorsqu’elle tourne de 7 crans, alors la roue R 2 tourne d’un cran. Initialement, toutes les roues R 0 , R 1 et R 2 affichent 0 . Entre chaque question, le compteur est remis à zéro, c’est-à-dire que chaque roue affiche de nouveau 0 . 1 On tourne la roue R 0 de 15 crans. Quels sont alors les numéros affichés par les roues? 2 On tourne la roue R 0 de 100 crans. Quels sont alors les numéros affichés par les roues? 3 On tourne la roue R 0 jusqu’à ce que la roue R 2 affiche 5 pour la première fois. De combien de crans a-t-on tourné R 0 ? 4 De combien de crans faut-il tourner R 0 pour que les roues reviennent pour la première fois en même temps à 0 ? 5 On tourne la roue R 0 de 3 580 crans. Quels sont alors les numéros affichés par les roues? E.5968 On considère des octogones réguliers, de même centre O . Aux sommets de l’octogone central, on note les huit premiers entiers non nuls. Sur les sommets du deuxième octogone, on inscrit les 8 pre-miers nombres entiers suivants, avec une rotation de 45 degrés autour du point O . Et ainsi de suite. . . On dit que chaque nombre entier a une direction ( A , B , C , D , E , F , G ou H par rapport à l’origine O ) . Par exemple, 1 a pour direction A , 2 a pour direction B . . . Voici une figure représentant les quatre premiers octogones : 1 Quel sera le premier entier inscrit sur le quatrième octo-gone? Préciser sa direction. 2 Déterminer le premier entier inscrit sur le huitième octo-gone. Préciser sa direction. https://chingmath.fr chapExoCorrec/5942 sacados/5942 chapExoCorrec/5943 sacados/5943 R00123456R10123456R20123456 chapExoCorrec/5968 sacados/5968 directionAdirectionBdirectionCdirectionDdirectionEdirectionFdirectionGdirectionH01234567891011121314151617
E.5984 On part d’un entier n stricte-ment positif : Si n est pair, on le transforme en n 2 . Si n est impair ( n> 1 ) , on le transforme en 3 n +1 . Si n =1 , on s’arrête. Exemples : Si n =6 , on obtient la suite : 6 ↦−→ 3 ↦−→ 10 ↦−→ 5 ↦−→ 16 ↦−→ 8 ↦−→ 4 ↦−→ 2 ↦−→ 1 Si n =13 , on obtient la suite : 13 ↦→ 40 ↦→ 20 ↦→ 10 ↦→ 5 ↦→ 16 ↦→ 8 ↦→ 4 ↦→ 2 ↦→ 1 Il a été observé à l’aide d’un programme sur ordinateur, que pour chaque nombre entier testé, la suite aboutit toujours à 1 . Mais ce résultat n’a pas été démontré à ce jour. On peut par ailleurs, s’intéresser à la longueur de cette suite, qu’on notera L ( n ) . Par exemple: L (6)=9 et L (13)=10 . 1 Déterminer L ( n ) pour les entiers allant de 1 à 12 . 2 Soit p un entier, on considère l’entier n =2 p . Exprimer L ( n ) en fonction de p . 3 Trouver un nombre entier n compris entre 2 2008 et 2 2009 tel que : L ( n )=2012 . Indication : On pourra chercher un nombre de la forme 2 p × q . 4 Soit k un entier non nul. a Montrer que : L (8 k +4)= L (6 k +4)+3 . b De même, montrer que : L (8 k +5)= L (6 k +4)+3 . c Montrer que : L (16 k +2)= L (16 k +3) E.8129 Un ensemble S de rationnels est un ensemble arithmétique (en abrégé EA) si pour tout couple ( a ; b ) avec a et b appartenant à S , il existe un élé- ment c de S tel que l’un des nombres a , b ou c est la moyenne arithmétique (c’est-à-dire la demi-somme) des deux autres. On souhaite déterminer tous les entiers n strictement positifs pour lesquels il existe un EA ayant n éléments. 1 a Les ensembles suivants sont-ils des EA? Justifier. S 1 = 0 ; 1 ; 2 S 2 = 0 ; 1 ; 2 ; 3 S 3 = 0 ; 1 ; 2 ; 4 S 4 = 1 2 ; 3 2 ; 2 ; 5 2 ; 7 2 b Démontrer qu’il n’existe pas d’EA à 2 éléments. Que dire des singletons (ensemble à un seul élément) ? c Donner un EA ayant 5 éléments, inclus dans l’intervalle 0 ; 2 , et contenant 0 , 1 , 2 . 2 a Outre a + b 2 , quels sont les deux autres rationnels à envisager pour vérifier qu’un couple ( a ; b ) d’éléments de S ne fait pas échec à la définition d’un EA? b On désire écrire un algorithme qui teste si un ensem-ble est un EA. L’ensemble S est décodé sous la forme d’une liste S = S [1] ;:::;S [ n ] de taille n . Par exemple la moyenne arithmétique du i ième et du j ième élément de S s’écrit S [ i ]+ S [ j ] = 2 . On dispose de plus d’une fonction Appartient(r,S) qui renvoie Vrai lorsque le rationnel r appartient à la liste S et Faux sinon. Compléter le squelette de la fonction ci-dessous (à re-copier sur sa feuille de composition) pour qu’elle ren-voie Vrai si, et seulement si, S = S [1] ;:::;S [ n ] est un ensemble arithmétique de longueur n . fonction TesterEA(S=[S[1],...,S[n]],n) Resultat ← Vrai Pour i de 1 à n Pour j de 1 à n [...] Fin Pour Fin Pour Renvoyer(Resultat) 3. Equations et algèbre E.5971 Calculer la somme suivante sans utiliser la calculatrice: 1 2 − 2 2 − 3 2 + 4 2 + 5 2 − 6 2 − 7 2 + 8 2 + 9 2 − 10 2 − 11 2 + 12 2 + · · · + 2009 2 − 2010 2 − 2011 2 + 2012 2 E.5976 1 L , S et V étant trois nombres réels positifs, montrer que les triplets ( a ; b ; c ) solutions du système : a + b + c = L ab + ac + bc = S abc = V sont tels que a , b et c sont les solutions de l’équation: X 3 − L · X 2 + S · X − V = 0 2 Déterminer les dimensions d’un pavé droit dont la somme des longueurs de toutes ses arêtes est de 20 cm , la somme des aires des six faces est de 14 cm 2 et dont le volume est de 3 cm 3 . 3 Quels sont les volumes minimum et maximum d’un pavé droit dont la somme des longueurs de toutes les arêtes est de 20 cm , la somme des aires des six faces est de 14 cm 2 ? 4. Géométrie https://chingmath.fr chapExoCorrec/5984 sacados/5984 chapExoCorrec/8129 sacados/8129 chapExoCorrec/5971 sacados/5971 chapExoCorrec/5976 sacados/5976
ABC ABCDOMNPC ABCDEABCDEF hBb E.5969 A et B sont deux points d’un cercle de centre O et de rayon 5 tels que AB =6 . Le carré PQRS est inscrit dans le secteur angulaire OAB de sorte que : P est sur le rayon [ OA ] ; S est sur le rayon [ OB ] ; Q et R sont deux points de l’arc de cercle reliant A et B . 1 Faire une figure correspondant à la situation proposée. 2 Calculer l’aire du carré PQRS . E.5975 Cinq cercles de rayon 1 cm ont été placés dans un carré comme l’indique le dessin. Les cercles sont tangents entre eux et tangents aux côtés du carré. Déterminer la longueur d’un côté du carré. E.5977 Un fermier dispose d’un grand ter-rain le long d’un mur et d’un gril-lage. Le long de ce même mur, il veut réaliser un poulailler sous la forme d’un triangle isocèle de som-met C . Le grillage ne sera pas posé contre le mur. Quelle est l’aire maximale du poulailler sachant que le grillage a une longueur de 88 m ? (On pourra utiliser l’angle au sommet et le fait que sin „ · cos „ = sin(2 „ ) 2 ) E.5980 On donne un cercle C de centre O et deux diamètres perpendiculaires [ AB ] et [ CD ] . M étant un point du segment [ AB ] , on trace ( CM ) qui recoupe le cercle en N . La tangente en N au cercle et la perpendiculaire en M à ( AB ) se coupent en P . Montrer que : OP = CM . E.8167 L’atelier de métallerie d’un chantier naval découpe des pièces de formes diverses dans des plaques d’acier carrées qu’il commande au laminoir. Pour limiter les pertes de matière et donc les coûts de produc-tion, le chef d’atelier doit déterminer au préalable la taille des plaques carrées qu’il doit commander en fonction des pièces à découper. Il arrive pour certaines commandes, que seules la forme et la surface des pièces à découper leur soient transmises. Dans chacune des trois parties suivantes, on étudie la découpe de certains types de pièces. Ces parties peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre. Indication : on arrondira au besoin les longueurs au mm près, et les surfaces au cm 2 près. Partie 1: Découpe de pièces triangulaires L’atelier doit produire une pièce qui a la forme d’un triangle équilatéral d’une surface de 20 m 2 . Le chef d’atelier envisage deux solutions de découpe comme illustré sur les schémas suivants : On note a le côté du triangle et c le côté du carré. 1 Schéma n o 1: a Exprimer la hauteur h en fonction de a . b En déduire le côté a du carré à construire pour re-specter les contraintes. c Calculer la surface d’acier perdue avec cette méthode. 2 Schéma n o 2: a Justifier que l’angle BAE mesure 15 o . b En déduire le côté c du carré qu’il doit commander. c Calculer la surface d’acier perdue avec cette méthode. d Quel est le pourcentage d’acier gagné par rapport à la première proposition de découpe? 5. Géométrie et algèbre E.5967 Rappel: Aire d’un trapèze A = ( B + b ) × h 2 Une pizza rectangulaire ABCD comporte de la croûte sur https://chingmath.fr chapExoCorrec/5969 sacados/5969 chapExoCorrec/5975 sacados/5975 chapExoCorrec/5977 sacados/5977 ABC chapExoCorrec/5980 sacados/5980 ABCDOMNPC chapExoCorrec/8167 sacados/8167 ABCDEABCDEF chapExoCorrec/5967 sacados/5967 hBb
ABCDFGH ABCDFGHEsituation1:L>2 ABCDFGHEsituation2:L<2 IJKO25%35%40% ABOMNCC LABCDEFG xyBAMHJDC xyBAMHJEC xyABCDHJKMNP deux côtés consécutifs, [ DA ] et [ AB ] . On cherche com-ment partager la pizza en trois morceaux équitables : chaque part doit avoir la même longueur de croûte et la même aire. Dans chaque situation, on fixe la longueur du petit côté AD =1 . 1 Dans le cas particulier ci-contre, on suppose que le partage réalisé est équitable. Quelle est la longueur AB ? Déterminer les longueurs : DF , FH et HC . 2 On généralise la situation en posant AB = L (et en sup-posant toujours que AD =1 ) . Déterminer, pour chaque situation ci-dessous, les longueurs utiles permettant de découper équitablement la pizza. E.5970 Dans un carré de 10 cm de côté, on veut réaliser un graphique statis-tique dans lequel les aires des 3 par-ties doivent être proportionnelles aux fréquences qu’elles représen-tent ( O est le centre du carré) . Le point I est à 2 cm du sommet le plus proche. Calculer les distances de J et K aux sommets du carré les plus proches. E.5978 On considère un triangle OAB équilatéral. On note R la mesure des côtés du triangle OAB . On note C le cercle de centre O passant par le point A . Soit x un nombre réel tel que 0 <x< R 2 . On place le point M sur le segment [ AB ] vérifiant : AM = x . On considère le cercle C de centre M et tangent au cercle C au point N . Exprimer le rayon du cercle C en fonction de R et de x . E.8351 Encombrement d’une suite de disques On place sur une étagère une série de rondelles de bois de même épaisseur, dont les rayons peuvent être différents. La légère pente donnée à l’étagère assure le contact chaque disque est tangent à un ou des voisins. Le but du problème est d’étudier des dispositions qui minimisent l’encombrement L . 1 Cas de deux disques : Deux disques (centrés en A et B , de rayons R et r , tels que r R ) sont tangents respectivement en H et J à la droite ( xy ) , voir la figure ci-dessous : a Exprimer en fonction de R le rayon maximal du petit disque r pour lequel l’encombrement créé par les deux disques est le même que celui créé par le seul grand (voir la figure ci-dessous) : Indication : on pourra être amené à résoudre une équation du second degré d’inconnue x = x b Si r est supérieur à ce maximum, établir que l’encombrement créé par les deux disques est : L = R + r + 2 · R · 2 Cas de trois disques : a Trois disques, de centres A , B et C et de rayon p , q et r sont tangents à une même droite et tangents deux à deux (voir la figure ci-dessous) . L’encombrement est donc égal à celui que les deux disques extérieurs créent à eux seuls. Exprimer le rayon q du disque intérieur en fonction des rayons p et r des disques extérieurs. b Dans cette question, les trois disques sont tangents à une même droite, et, de gauche à droite (dans l’ordre de leurs centres) , le cercle de centre A est tangent au https://chingmath.fr ABCDFGH ABCDFGHEsituation1:L>2 ABCDFGHEsituation2:L<2 chapExoCorrec/5970 sacados/5970 IJKO25%35%40% chapExoCorrec/5978 sacados/5978 ABOMNCC sacados/8351 Extrait Asie Pacifique 2019 LABCDEFG xyBAMHJDC xyBAMHJEC xyABCDHJKMNP
431432 cercle de centre B , lui-même tangent au cercle de cen-tre C , qui est sans point commun avec le cercle de centre A . Exprimer l’encombrement créé par ces trois disques en fonction de leurs rayons p , q et r . c On échange les places des disques de centre B et C et on suppose comme en b que le disque central sépare ses deux voisins. Quel est le nouvel encombrement? Toujours sous l’hypothèse faite au b et c , on sup-pose de plus que p q r . On place les disques dans l’ordre A - B - C , A - C - B et B - A - C (disposition dans l’ordre décroissant des rayons, ou le plus petit au mi-lieu ou le plus grand au milieu) . d Montrer que la disposition A - B - C crée l’encombrement maximum. e Montrer que la disposition B - A - C crée l’encombrement minimum si et seulement si : q − r p − q . 6. Probabilité E.5983 Un dé tétraédrique comporte quatre faces comme le dé représenté ci-contre. Lorsqu’on jette un tel dé, le résultat est le nombre inscrit au plus près de la base tétraèdre. Dans notre exemple, le dé té-traédrique est tombé sur la face 4 . Antoine, Baptiste, Cyril et Diane jouent avec quatre dés tétraédriques réguliers et équilibrés, mais qui ne sont pas numérotés de façon habituelle. Ainsi, le dé d’Antoine compte quatre faces numérotées 1 , 6 , 6 et 6 . Avec ce dé, le nom-bre 1 est obtenu avec la probabilité 1 4 et le nombre 6 avec la probabilité 3 4 . Le dé de Baptiste est numéroté 4 , 4 , 5 et 5 ; celui de Cyril 3 , 3 , 3 et 8 ; et enfin, celui de Diane 2 , 2 , 7 et 7 . 1 Chaque joueur jette ce dé tétraédrique une fois. Qui a le plus de chances d’obtenir un nombre supérieur ou égal à 6 ? 2 Les joueurs commencent une série de duels : Antoine joue contre Baptiste, Baptiste joue contre Cyril, Cyril joue contre Diane, Diane joue contre Antoine. Le gagnant de chaque duel est le joueur qui a obtenu le résultat le plus élevé. a Montrer que dans le premier duel Antoine gagne contre Baptiste avec une probabilité de 3 4 . b Donner les probabilités de gain des joueurs dans les trois autres duels. 3 Antoine, Baptiste, Cyril et Diane jettent simultanément leur dé. Celui des quatre joueurs qui obtient le plus grand nombre gagne. a Montrer que la probabilité que Baptiste gagne est égale à 3 32 . b Qui a le plus de chances de gagner ce jeu? E.8130 Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2 . On dispose d’une urne contenant n boules pouvant être de différentes couleurs. Le jeu consiste à extraire au hasard une boule de l’urne, puis sans remettre celle-ci dans l’urne à extraire une seconde boule de l’urne. Le joueur a gagné lorsque les deux boules tirées sont de la même couleur. On admet qu’à chaque tirage, toutes les boules de l’urne ont la même probabilité d’être tirées. On dit que le jeu est équitable lorsque la probabilité P G que le joueur gagne est égale à 1 2 . 1 a Démontrer que si l’urne contient 10 boules dont 4 blanches et 6 rouges alors P G = 7 15 . b Calculer P G lorsque l’urne contient 12 boules dont 4 blanches, 6 rouges et 2 noires. 2 Dans cette question, l’urne contient 6 boules rouges et d’autres boules qui sont toutes blanches. a Soit x le nombre de boules blanches contenues dans l’urne. Démontrer que : P G = x x − 1 +30 x +6 x +5 b Combien faudrait-il de boules blanches pour que le jeu soit équitable? 3 Dans cette question, l’urne ne contient que des boules de deux couleurs différentes. a On suppose que l’urne présente la configuration ( a ; b ) , c’est-à-dire qu’elle contient, par exemple, a boules rouges et b boules blanches. Démontrer que le jeu est équitable lorsque n = a − b 2 . b Réciproquement, démontrer que si n est le carré d’un entier p alors il existe deux entiers naturels a et b avec a b que l’on exprimera en fonction de p tels que la configuration ( a ; b ) conduise à un jeu équitable. c Donner six couples ( a ; b ) conduisant à un jeu équitable. 7. Annales toutes séries https://chingmath.fr chapExoCorrec/5983 sacados/5983 431432 chapExoCorrec/8130 sacados/8130
MH(D R¸ OA EABCDO E.5929 On dit qu’un nombre entier est digisible lorsque les trois conditions suivantes sont vérifiées : aucun de ses chiffres n’est nul ; il s’écrit avec des chiffres tous différents ; il est divisible par chacun d’eux. Par exemple, 24 est digisible , car il est divisible par 2 et par 4 . 324 est digisible , car il est divisible par 3 , par 2 et par 4 . 32 n’est pas digisible , car il n’est pas divisible par 3 . On rappelle qu’un nombre entier est divisible par 3 si, et seulement si, la somme de ses chiffres est divisible par 3 . 1 Proposer un autre nombre digisible à deux chiffres. 2 a Donner tous les diviseurs à un chiffre du nombre 1000 . b En déduire un nombre digisible à quatre chiffres. 3 Soit n un entier digisible s’écrivant avec un 5 . a Démontrer que 5 est le chiffre de ses unités. b Démontrer que tous les chiffres de n sont impairs. c Démontrer que n s’écrit avec, au plus quatre chiffres. d Déterminer le plus grand entier digisible s’écrivant avec un 5 . E.5930 Définition: on appelle distance en-tre un point M et une droite ( D ) la distance MH , où H est le point d’intersection de ( D ) avec la droite perpendiculaire à ( D ) passant par M . Dans la figure ci-contre, si le rayon du disque est R , et si l’angle du secteur angulaire grisé mesure ¸ (en degrés) , alors l’aire de la portion de disque grisée vaut : ı · ¸ · R 2 360 . Dans la partie 2 de l’exercice, on con-sidérera la distance d’un point M à un segment [ BC ] comme étant la distance du point M à la droite ( BC ) . Partie 1 Soit C un cercle de centre O , A un point de ce cercle et D le disque délimité par ce cercle. 1 Reproduire la fig-ure, et représenter l’ensemble des points du disque équidis-tants de O et de A . 2 Hachurer l’ensemble des points du disque plus proches de O que de A . 3 Soit M un point déterminé aléatoirement de manière équiprobable sur la surface du disque D . Quelle est la probabilité que M soit plus proche de O que de A ? Partie 2 Soit ABCD un rectangle de longueur AB =20 cm et de largeur BC =12 cm , de centre O . Soit E un point situé à l’intérieur du rectangle, proche de A , à 2 cm de chaque bord (comme sur la figure ci-après, qui n’est toutefois pas à l’échelle) . Soit M un point déterminé aléatoirement de manière équiprobable à l’intérieur du rectangle ABCD . 1 Quelle est la probabilité que M soit plus proche du côté [ BC ] que du côté [ AD ] ? 2 a Reproduire le rectangle, et représenter l’ensemble des points intérieurs au rectangle et équidistants des côtés [ AB ] et [ BC ] . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5929 sacados/5929 chapExoCorrec/5930 sacados/5930 MH(D R¸ OA EABCDO
b Hachurer l’ensemble des points intérieurs au rectangle et plus proches du côté [ BC ] que du côté [ AB ] . c Quelle est la probabilité que M soit plus proche du côté [ BC ] que du côté [ AB ] ? 3 Quelle est la probabilité que M soit plus proche du côté [ AB ] que des trois côtés [ BC ] , [ CD ] et [ DA ] ? 4 Quelle est la probabilité que M soit plus proche de O que de E ? 5 Quelle est la probabilité que M soit plus proche de O que des quatre sommets A , B , C et D ? E.5931 I. Un premier algorithme Voici un algorithme applicable à des nombres entiers de trois chiffres dont le chiffre des centaines n’est pas égal à celui des unités : Étape 1 : Inverser l’ordre des chiffres (par exemple 275 devient 572 ) Étape 2 : Calculer la différence du plus grand et du plus petit de ces deux nombres. Étape 3 : Réitérer l’étape 1 sur le nombre obtenu. Étape 4 : Additionner ces deux derniers nombres 1 a Appliquer l’algorithme aux nombres 123 , 448 et 946 . b Que peut-on conjecturer? 2 Pour implémenter cet algorithme, l’étape 2 , implicite lorsqu’on effectue les calculs ˇà la mainı , nécessite de dissocier l’entier saisi : d’en isoler le chiffre des unités, celui des dizaines puis celui des centaines. Compléter la fonction suivante, issue d’un algorithme, dont l’argument n est un entier naturel à 3 chiffres et dont le rôle est d’effectuer cette dissociation. Pour cette fonction, a est le chiffre des centaines, b celui des dizaines et c celui des unités du nombre n que l’on souhaite dé-composer. Fonction f(n) a ← 0 b ← 0 c ← 0 Tant que n 100 a ← a+1 n ← n − 100 Fin Tant que Tant que n ...... b ← ...... ...... ← ...... Fin Tant que c ← ...... Renvoyer a ; b ; c 3 On se propose maintenant de démontrer la conjecture établie en 1 b . Pour cela, on choisit un nombre de trois chiffres que l’on écrit abc où a , b et c sont donc des entiers compris entre 0 et 9 et représentent respectivement le chiffre des cen-taines, le chiffre des dizaines et le chiffre des unités de n . On peut, sans perdre de généralité, supposer a<c a Décomposer abc selon les puissances de 10 . b Donner le nombre obtenu après l’étape 1 sous sa forme décomposée. c Montrer que le nombre obtenu après l’étape 2 peut s’écrire: ( c − a − 1) × 100 + 9 × 10 + 10 + a − c d Appliquer les étapes 3 et 4 et conclure. II. L’algorithme de Kaprekar En mathématiques, l’algorithme de Kaprekar est un algo-rithme découvert en 1949 par le mathématicien indien D.R. Kaprekar pour les nombres entiers de quatre chiffres, mais qui peut être généralisé à tous les nombres entiers. Nous l’étudierons ici pour des nombres entiers de trois chiffres, tous ces chiffres étant distincts. L’algorithme de Kaprekar consiste à associer à un nombre en-tier quelconque n un autre nombre K ( n ) généré de la façon suivante : Étape 1: À partir des chiffres qui composent n , former le plus grand nombre possible. On le note G Étape 2: À partir des chiffres qui composent n , former le plus petit nombre possible. On le note P Étape 3: K ( n ) est alors égal à la différence G − P Par exemple, partant de 539 , on a: G =953 et P =359 . Donc : K (539)=953 − 359=594 . 1 a Calculer K (198) , K (357) et K (495) . b Écrire un algorithme dont l’entrée est un nombre n à trois chiffres tous distincts et dont la sortie est K ( n ) . Pour la séparation des chiffres des unités, des dizaines et des centaines, on pourra reprendre l’algorithme de la partie I . c Appliquer l’algorithme de Kaprekar en partant du nom-bre 198 et en l’itérant autant de fois que nécessaire. Recommencer avec d’autres nombres à trois chiffres tous distincts. Que peut-on conjecturer? 2 On se propose de démontrer la conjecture émise à la ques-tion 1 . Pour cela, on choisit un entier n composé de trois chiffres et que l’on écrit abc où a , b et c sont donc des entiers tous distincts compris entre 0 et 9 qui représentent respective-ment le chiffre des centaines, le chiffre des dizaines et le chiffre des unités de n . a Expliquer pourquoi on peut, sans perdre de généralité, supposer que a<b<c . b Montrer que : K ( n )=99( c − a ) . c Démontrer la conjecture et préciser le nombre maxi-mum d’itérations nécessaires. https://chingmath.fr chapExoCorrec/5931 sacados/5931
ABCD E.5932 Une coccinelle se déplace sur les côtés d’un carré ABCD en partant du point A . Elle peut marcher à rebours si elle le souhaite. On appelle déplacement tout trajet de la coccinelle le long d’un côté du carré. Une marche est constituée de déplace-ments, ainsi : A −→ B −→ A −→ D −→ C est une marche de quatre déplacements dont l’arrivée est le point C . Partie A Dans cette partie, la coccinelle se déplace de manière aléatoire sur les côtés d’un carré ABCD et l’on considère que tous ses déplacements sont équiprobables. 1 a La coccinelle peut-elle atteindre le point B en trois déplacements? b Quelles sont les arrivées possibles pour une marche de trois déplacements? c Quelles sont les arrivées possibles si la marche compte un nombre pair de déplacements? d Quelles sont les arrivées possibles si la marche compte un nombre impair de déplacements? 2 Dans cette question, la coccinelle effectue deux déplace-ments. Éventuellement à l’aide d’un arbre, calculer la probabilité de l’événement A 2 : ˇ la coccinelle arrive en A en effectu-ant deux déplacements ı. 3 Reproduire et compléter le tableau ci-dessous : Nombre de déplacements de la marche 1 2 3 4 5 Probabilité que la coccinelle arrive en A Partie B Dans cette partie, la coccinelle se déplace toujours sur les côtés du carré ABCD en partant du point A , mais elle a deux fois plus de chance de se déplacer verticalement qu’horizontalement. Elle peut toujours marcher à rebours si elle le souhaite. En revanche, elle décide de s’arrêter dès qu’elle revient en A . 1 Dans cette question, la coccinelle effectue exactement deux déplacements. a Calculer la probabilité de l’événement A 2 : ˇ la coc-cinelle arrive en A en effectuant deux déplacements ı. b Calculer la probabilité de l’événement C 2 : ˇ la coc-cinelle arrive en C en effectuant deux déplacements ı. 2 a Calculer la probabilité de l’événement A 4 : ˇ la coc-cinelle arrive en A en effectuant exactement quatre dé- placements ı. b Calculer la probabilité de l’événement A 6 : ˇ la coc-cinelle arrive en A en effectuant exactement six dé-placements ı. 3 Soit n un entier naturel supérieur ou égal à deux. a On note A 2 n l’événement : ˇ la coccinelle arrive en A en effectuant exactement 2 n déplacements ı et P ( A 2 n ) la probabilité de cet événement. Exprimer P ( A 2 n ) en fonction de n . Soit q un nombre réel différent de 1 et n un nombre entier naturel non-nul. On rappelle que : 1 + q + q 2 + · · · + q n = 1 − q n +1 1 − q b On note G 2 n l’événement : ˇ la coccinelle arrive en A en effectuant au maximum 2 n déplacements ı. Ex-primer en fonction de n la probabilité de G 2 n notée P ( G 2 n ) . c Quel est le plus petit entier n tel que : P ( G n ) 0 ; 9999 ? E.5938 On suppose qu’il existe une fonction f définie sur l’ensemble des entiers naturels N vérifi-ant la propriété : ( E ) : pour tous x et y de N , f ( x + y )= f ( x ) · f ( y ) − x · y Préliminaire Démontrer que f (0)=1 . On pourra admettre les résultats dans les parties suivantes. A. Étude d’un premier exemple : On suppose ici que : f (1)=3 . 1 Calculer f (2) puis f (3) . 2 Montrer par deux calculs distincts que f (4)=60 et que f (4)=63 . Conclure. B. Étude d’un second exemple : On suppose ici que : f (1)=0 . 1 Calculer f (2) , f (3) et f (4) . 2 Conjecturer l’expression de f ( n ) en fonction de n . 3 Démontrer cette conjecture. 4 Prouver que pour la fonction trouvée aux 2 et 3 la propriété ( E ) est bien vérifiée. C. Cas général Première partie : on note f (1) = a 1 Exprimer f (2) et f (3) en fonction de a . 2 Exprimer f (4) en fonction de a de deux manières dif-férentes. 3 En déduire que : a =0 ou a =2 . Seconde partie : on étudie le second cas : On suppose ici que : f (1)=2 . Exprimer f ( n ) en fonction de n . 8. Annales série S https://chingmath.fr chapExoCorrec/5932 sacados/5932 ABCD chapExoCorrec/5938 sacados/5938
„oER ER E.5934 Pierre et sa fille Éloïse se promènent sur une route horizontale. En un point R , cette route descend faisant un angle „ de 5 o avec l’horizontal (voir figure) . Éloïse, dont les yeux sont à 1 ; 6 mètre du sol, s’arrête en un point E , à 24 mètres du point R . Son père continuant à marcher, passe devant le point R puis s’engage dans la partie en pente de la route. 1 Quand il se trouve à 86 mètres de R , il disparaît des yeux de sa fille. Déterminer la hauteur de Pierre. 2 Dans la partie en pente de la route, des poteaux d’une hauteur de 6 ; 5 mètres sont plantés verticalement tous les 28 mètres, comme sur le schéma ci-dessous . Le pied du premier poteau se situe à 28 mètres du point R . On admet l’hypothèse que les poteaux ne peuvent se mas-quer les uns des autres. Combien Éloïse peut-elle voir de poteaux de l’endroit où elle se trouve? 3 Quelle est, en réalité, la mesure de l’angle „ , sachant qu’Éloïse ne voit que 5 poteaux? On pourra utiliser la formule : 1+ tan „ 2 = 1 cos „ 2 On donnera la valeur de „ , arrondi à 10 − 3 près. E.5936 Trois entiers naturels distincts a , b , c rangés par ordre strictement croissant , a<b<c , sont en progression arithmétique si : c − b = b − a On dit alors que ( a ; b ; c ) est un triplet arithmétique. 1 Compléter les triplets arithmétiques suivants : a (57 ; 101 ; : : : ) b 57 ; : : : ; 101 c : : : ; 57 ; 101 2 a Peut-on trouver un triplet arithmétique ( a ; b ; c ) dont la somme vaut 2012 ? b Combien y a-t-il de triplets arithmétiques ( a ; b ; c ) de somme 2013 ? 3 On prend au hasard trois nombres entiers a , b , c dans 1 , 2 , 3 , . . . , 10 avec a<b<c . Quelle est la probabilité que ( a ; b ; c ) soit un triplet arithmétique? 4 On rappelle qu’un entier naturel p est premier si p 2 et si ses seuls diviseurs positifs sont 1 et p . a Quels sont les cinq plus petits entiers premiers? b Donner un triplet arithmétique ( a ; b ; c ) constitué d’entiers premiers. Ce triplet est-il celui pour lequel la somme a + b + c est minimale? On demande de justi-fier la réponse. Sinon, trouver les trois entiers premiers a<b<c en progression arithmétique et de somme min-imale. c Peut-on trouver un triplet arithmétique ( a ; b ; c ) con-stitué uniquement d’entiers premiers et dont la somme a + b + c vaut 366 ? 5 Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3 . On se donne une liste [ a 1 ;a 2 ; : : : ;a n ] , d’entiers rangés par ordre strictement croissant. On veut savoir si trois de ses ter-mes consécutifs forment un triplet arithmétique. a Dans cette question uniquement , la liste est [1 ; 3 ; 6 ; 10 ; 15 ; 21 ; 27 ; 32 ; 39 ; 45] . Contient-elle un triplet arithmétique formé de trois termes consécutifs? b On revient au cas général d’une liste [ a 1 ;a 2 ; : : : ;a n ] , d’entiers rangés par ordre strictement croissant. Écrire un algorithme qui affiche, s’il existe, le premier triplet arithmétique formé de trois termes consécutifs. c Avec la calculatrice, programmer puis tester cet algo-rithme sur la liste [ a 1 ;a 2 ; : : : ;a 20 ] où, pour 1 k 20 : a k = − k 3 + 36 k 2 + 9 k On ne demande pas de vérifier que cette liste est formée d’entiers naturels rangés par ordre strictement crois-sant. https://chingmath.fr chapExoCorrec/5934 sacados/5934 „oER ER chapExoCorrec/5936 sacados/5936
24 E.8131 On lance deux dés D a et D b successivement et indépendamment ; on considère le total de points ainsi ramené et sa probabilité d’apparition. Par ex-emple, avec deux dés standards à six faces, si le premier jet fournit le 1 , et le second le 1 aussi, le total vaudra 1+1=2 , et sa probabilité d’apparition 1 12 . L’étude statistique de ces sommes peut intervenir dans certains jeux de hasard, le jeu de l’Oie par exemple. Les dés envisagés sont tétraédriques, comme dans le croquis ci-contre. En question 1 et 2 , leurs quatre faces sont standards, numérotées 1 , 2 , 3 , 4 . 1 Donner les trois manières d’obtenir pour total 6 , en dé-duire que la probabilité d’obtenir un total de 6 est 3 16 . 2 Donner les différents totaux que l’on peut ainsi atteindre, puis leurs probabilités d’apparition. Qu’indiquent les co-efficients de l’expression polynomiale: P ( x )= x + x 2 + x 3 + x 4 2 une fois développée? Expliquer. Pour plus d’originalité, on prend maintenant des dés non stan-dards : un dé D 1 aux faces numérotées 1 , 1 , 2 , 5 et un dé D 2 aux faces numérotées 1 , 4 , 4 , 4 . 3 Quelle est la probabilité d’obtenir un total de 6 ? De manière générale, le dé D a a quatre faces dont les valeurs a 1 , a 2 , a 3 , a 4 vérifient 1 a 1 a 2 a 3 a 4 et sont stockées dans un tableau t a = a 1 ;a 2 ;a 3 ;a 4 . De même, le dé D b a qua-tre faces b 1 , b 2 , b 3 , b 4 vérifiant 1 b 1 b 2 b 3 b 4 et stockées dans le tableau t b = b 1 ;b 2 ;b 3 ;b 4 . On définit les quantités polynomiales: A ( x ) = x a 1 + x a 2 + x a 3 + x a 4 et B ( x ) = x b 1 + x b 2 + x b 3 + x b 4 Par exemple, les dés de la question 3 donnent lieu à: t a = [1 ; 1 ; 2 ; 5] t b = [1 ; 4 ; 4 ; 4] A ( x ) = 2 x + x 2 + x 5 B ( x ) = x + 3 x 4 4 Déterminer t a , t b , A ( x ) , B ( x ) attachés aux dés D a et D b de faces 1 , 2 , 2 , 3 et 1 , 3 , 3 , 5 . 5 L’algorithme suivant (qu’il sera possible d’étendre à de grands dés) renvoie le coefficient de x k dans le produit : x p x b 1 + x b 2 + x b 3 + x b 4 . Coef ← 0 Pour j allant de 1 à 4 Si p+t b [j]=k alors Coef ← Coef+1 Fin Si Fin Pour Renvoyer Coef Modifier cet algorithme pour qu’il renvoie le coefficient de x k dans le produit A ( x ) · B ( x ) de deux dés à n faces. Le colonel George Sicherman (États-Unis, XX e siècle) recher-cha des couples de dés non-standards D a et D b dont les sommes des faces obéissent aux mêmes lois de probabilité que celles de deux dés standards. Voici comment il a pu procéder, d’abord sur des dés à quatre faces. 6 On reprend les notations : 1 a 1 a 2 a 3 a 4 , 1 b 1 b 2 b 3 b 4 , et P ( x ) = x + x 2 + x 3 + x 4 2 . a Justifier que : A ( x ) · B ( x )= P ( x ) . b Factoriser x + x 2 + x 3 + x 4 en ne faisant apparaître que des quantités de degrés 1 et 2 . c Que valent A (0) , A (1) , B (0) , B (1) ? d Proposer dès lors une répartition possible et viable des facteurs de P entre A et B , définissant un bon couple de dés non standards. 7 Déterminer un couple de dés non standards à 6 faces dont la somme des faces obéit à la même loi de probabilités que celle de deux dés standards (aux faces: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ) 9. Annales séries autres que S E.5933 Les sextuplés de M et Mme Logic sont dans la même classe de 2 nde . À la fin de la journée au cours de laquelle ils ont eu un con-trôle de mathématiques, ils rentrent chez eux et présentent à leurs parents les réponses qu’ils ont fournies aux diverses questions : Alix Béa Carol Del-phine Émile Félix Question 1 150 700 150 100 700 150 Question 2 103 101 101 101 103 35 Question 3 101 732 107 101 101 107 Question 4 34 125 216 28 34 34 Question 5 216 216 27 55 25 103 ˇPapa, peux-tu nous dire combien nous avons chacun?ı Je veux bien, mais vous ne m’avez pas donné les ques- tions ! On ne les a pas, on a dû rendre le sujet avec les réponses. Moi, je me rappelle qu’il fallait trouver le plus petit entier premier après 100 , dit Béa. Il fallait aussi calculer le volume d’un cube dont le côté était un entier, je ne me rappelle plus lequel, rajoute Félix. On demandait aussi l’âge du capitaine de, je ne sais quel bateau se souvient Carol. C’est tout ce que vous vous rappelez, demande le père? Oui, mais en regardant rapidement les copies, le pro-fesseur nous a dit que l’un d’entre nous avait tout juste. . . et un autre tout faux! Au bout d’un moment, leur père leur annonce qu’il connait leurs notes. Quelles sont ces notes (chaque réponse juste rapporte 4 points) https://chingmath.fr chapExoCorrec/8131 sacados/8131 24 chapExoCorrec/5933 sacados/5933
ABCIEF ABCK Figure 2Figure 1 et quel est l’âge du capitaine? Détailler le raisonnement ayant conduit au résultat. Définition: un entier premier est un entier strictement positif admettant exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Les premiers entiers premiers sont : 2 ; 3 ; 5 ; 7 . . . E.5935 Une association souhaite créer un logo. Ce logo a été conçu à partir de la construction suivante : ABC est un triangle rectangle en A , on pose : AC = x ; AB = y ; BC = z , on a tracé les demi-cercles de diamètres [ AB ] , [ AC ] , [ BC ] et le carré AEFI tel que E ∈ [ AB ) , F ∈ [ BC ) et I ∈ [ AC ) . 1 Pour cette question, on considère la figure suivante : a Calculer la longueur du côté du carré AEFI en fonc-tion de x et y . b Que peut-on dire du point I si le triangle ABC est isocèle? (justifier) c On suppose y =4 . L’aire du carré AEFI peut-elle être égale à 9 ? (justifier) 2 Soit K le pied de la hauteur issue de A du triangle ABC . On pose AK = h . On a donc la figure suivante : a Justifier que : ( x + y ) 2 = z 2 +2 · z · h . b Exprimer de même ( x − y ) 2 en fonction de z et de h . Montrer que h est inférieur à la moitié de z . c Est-il possible que : z =10 et h =4 ; 8 ? Si oui, déterminer les valeurs de x et de y . 3 Comparer l’aire du triangle ABC à l’aire de la surface grisée. E.8132 Pour tous entiers naturels m et n , on appelle triangle de m par n , et on note m Δ n , le nombre défini par les règles suivantes, dont on admet qu’elles sont possibles : 0Δ n = n + 1 n Δ0 = n − 1 Δ1 dès que n =0 ; n +1 Δ m +1 = n Δ ( n +1)Δ m Attention, m Δ n n’est pas nécessairement égal à n Δ m . Quelques résultats. 1 a Montrer que : 1Δ0=2 et 1Δ1=3 . b Calculer 1Δ2 . c Plus généralement, déterminer, pour tout entier na-turel n , la valeur de 1Δ n . On pourra poser u n =1Δ n et vérifier que la suite u n est arithmétique. 2 a Calculer 2Δ0 , 2Δ1 et 2Δ2 . b Justifier, que pour tout entier naturel n : 2Δ n =2 n +3 . 3 a Calculer 3Δ0 , 3Δ1 et 3Δ2 . b Démontrer que, pour tout entier naturel n , 3Δ n est égal à 2 n +3 − 3 . On pourra poser v n =3Δ n et montrer que, pour tout n supérieur ou égal à 1 : v n = 2 · v n − 1 + 3 . Illustration de 3Δ n . Un artiste a illustré ainsi les valeurs 3Δ0 et 3Δ1 : 4 Tracer sur la copie une troisième figure qui viendrait logiquement compléter cette suite de dessins et illustrer la valeur de 3Δ2 . 5 Supposons que le côté d’un carré de la figure 1 mesure 1 cm . a Déterminer l’aire respective des figures 1 et 2 . b Quelle serait l’aire de la figure illustrant 3Δ n ? On ne tiendra pas compte des recouvrements éventuels. 10. Exercices non-classés https://chingmath.fr chapExoCorrec/5935 sacados/5935 ABCIEF ABCK chapExoCorrec/8132 sacados/8132 Figure 2Figure 1
E.7317 Échanges thermiques En architecture, on appelle facteur de compacité d’un bâti-ment le rapport de la surface extérieure - y compris la base en contact avec le sol - de ce bâtiment, mesurée en m 2 , à son volume, mesuré en m 3 . Le facteur de compacité c = S v , ex-primé en m − 1 , donne une première évaluation grossière des performances thermiques d’une construction d’habitation. 1 Calculs de compacité pour quelques volumes usuels, dess-inés ci-dessous. a Déterminer le facteur de compacité du cube de côté a . b Déterminer celui d’une demi-sphère de rayon r . On rappelle que le volume d’une sphère de rayon r est 4 3 · ı · r 3 et que sa surface a pour aire 4 · ı · r 2 . c Déterminer celui d’une pyramide régulière à base car-rée de côté a , et de hauteur verticale a . d En quoi, d’après vous, le facteur de compacité est lié aux performances thermiques d’un bâtiment? 2 On se propose d’étudier le facteur de compacité d’un pavé droit de volume 1 dont les dimensions sont x , y et z . a Vérifier que pour tous nombres a , b et c : a 3 + b 3 + c 3 − 3 · a · b · c = 1 2 · a + b + c a − b 2 + b − c 2 + c − a 2 b En déduire que pour tous nombres réels positifs a , b et c : a 3 + b 3 + c 3 3 · a · b · c c En déduire que pour tous nombres réels positifs A , B et C dont le produit est égal à 1 : A + B + C 3 d Montrer que le facteur de compacité de ce pavé est : c = 2 · 1 x + 1 y + 1 z E.7318 Liber abaci Il y a 4 000 ans, les anciens égyptiens utilisaient en calcul une propriété arithmétique bien étonnante : tout nombre ra-tionnel p q strictement positif s’écrit comme une somme de frac-tions unitaires, c’est-à-dire d’inverses d’entiers positifs, tous différents les uns des autres. Depuis lors, une telle décompo-sition s’appelle une ˇécritures égyptienneı. Ainsi, la somme 1 6 + 1 17 + 1 102 est-elle une ˇécriture égyptienneı du quotient 4 17 , tandis que les sommes 1 17 + 1 17 + 1 17 + 1 17 et 1 17 + 3 17 n’en sont pas. Plusieurs questions sur ces écritures demeurent, au-jourd’hui encore, ouvertes. 1 Pourquoi les deux dernières décompositions données en préambule ne sont-elles pas des ˇ écriture égyptiennes ı? Proposer une écriture égyptienne de 2 3 comportant deux fractions unitaires, puis une autre de 2 3 en comportant trois. 2 Un algorithme Soient p et q deux entiers tels que 0 <p<q . Le quotient p q est donc un élément de 0 ; 1 . k ← 1 p 1 ← p q 1 ← q . Tant que p k =0 Déterminer le plus petit entier positif n k tel que : 1 n k p k q k . Ainsi : 1 n k p k q k < 1 n k − 1 p k+1 ← p k · n k − q k q k+1 ← q k · n k Ainsi : p k +1 q k +1 = p k q k − 1 n k Incrémenter k c’est-à-dire augmenter la valeur du compteur k d’une unité. Fin du Tant que a On fait ici tourner l’algorithme sur le quotient p q = 4 17 . Au début du premier tour de boucle : k =1 ; p 1 =4 ; q 1 =17 . On détermine alors n 1 =5 . Puis p 2 =3 , q 2 =85 et k vaut 2 avant d’entrer dans le deuxième tour de boucle. Poursuivre jusqu’à l’arrêt complet. Que vaut 1 n 1 + 1 n 2 + 1 n 3 + 1 n 4 ? Les quatre fractions unitaires sont-elles distinctes? b On suppose que l’algorithme prend fin à l’issue du N ème tour de boucle. Justifier qu’il permet de don-ner une ˇ écriture égyptienne ı du quotient p q . c Justifier clairement que l’algorithme ne peut être illim-ité. Cet algorithme permet donc de donner une ˇ écriture égypti-enne ı de n’importe quel nombre rationnel élément de 0 ; 1 . Il appartient à une classe d’algorithmes dits ˇ gloutons ı et est attribué à Léonard de Pise, auteur du Liber abaci (1202) . L’adjectif ˇgloutonı s’applique à des algorithmes faisant, à chaque étape, un choix optimal. L’optimalité globale n’est https://chingmath.fr chapExoCorrec/7317 sacados/7317 chapExoCorrec/7318 sacados/7318
1234512345 12A12345B1234C1234D ABCDEGrst pas nécessairement atteinte comme en témoignent les deux décompositions de 4 17 rencontrées dans ce problème. E.7319 On dispose de n pions verticalement. Ils sont noirs sur une face, blancs sur l’autre, et sont numérotés de 1 à n . Au début du jeu, chaque pion présente aléatoirement sa face noire ou sa face blanche. À chaque coup - qu’on ap-pelle une opération dans toute la suite - on retourne un des pions et tous ses voisins du dessus . Le dessin ci-contre donne l’exemple du changement qu’apporte à une configuration initiale une opération avec le troisième jeton. L’objectif du jeu est de trouver une séquence d’opérations telle que tous les pions montrent leur face blanche. 1 L’ordre dans lequel se succèdent deux opérations a-t-il de l’importance? 2 Quel est l’effet combiné de deux opérations identiques? 3 Indiquer les numéros des pions à retourner pour ne voir que des faces blanches, dans les situations représentées ci-dessous. 4 On donne l’algorithme suivant, pour une configuration de n cases : Pour k allant de n à 1 par pas de − 1 Si le jeton k est noir, effectuer une opération avec ce jeton Fin Pour a Expliquer pourquoi cet algorithme blanchit la colonne en un minimum d’opérations. Combien d’opérations met-il au maximum en oeuvre? b Donner un exemple de configuration de n cases néces-sitant n opérations. E.6753 Le fabricant de cadenas de la marque ˇ K ı désire imprimer un logo pour son entreprise. Ce logo a la forme d’une lettre majuscule K stylisée, inscrite dans un carré ABCD , de côté une unité de longueur, et re-spectant les conditions C 1 et C 2 suivantes : Condition C 1 : la lettre K doit être constituée de trois lignes : une des lignes est le segment [ AD ] ; une deuxième ligne a pour extrémités le point A et un point E du segment [ DC ] ; la troisième ligne a pour extrémité le point B et un point G situé sur la deuxième ligne. Condition C 2 : l’aire de chacune des trois surfaces délim-itées par les trois lignes dessinées dans le carré doit être comprise entre 0 ; 3 et 0 ; 4 , l’unité d’aire étant celle du carré. Ces aires sont notées r , s , t sur les figures ci-après. Un atelier de design propose le dessin représenté ci-contre. Pour mener l’étude qui suit, on se place dans le repère orthonormé A ; −−→ AB ; −−→ AD . Les trois lignes sont des segments et les trois aires sont égales: r = s = t = 1 3 Déterminer les coordonnées des oints E et G . https://chingmath.fr chapExoCorrec/7319 sacados/7319 1234512345 12A12345B1234C1234D chapExoCorrec/6753 sacados/6753 ABCDEGrst
E.9548 Dans ce problème, on ne considère que des nombres entiers naturels non nuls. Pour chacun de ces entiers, on numérote les chiffres de son écriture décimale de gauche à droite. Le premier chiffre de gauche ne peut être 0 . Par exemple, pour le nombre 3021 , le chiffre 3 reçoit le numéro 1 , le chiffre 0 le numéro 2 , le chiffre 2 le numéro 3 et le chiffre 1 le numéro 4 . On nomme ˇ grand pair ı tout nombre dont chaque chiffre en position paire, s’il y en a, est au moins aussi grand que ses chiffres directement voisins (s’il en a) . On nomme ˇ grand impair ı tout nombre dont chaque chiffre en position impaire est au moins aussi grand que ses chiffres directement voisins (s’il en a) . Par exemple: le nombre 3021 est un grand impair, mais pas un grand pair; les nombres 3 , 2 , 7 et 777 sont à la fois des grands pairs et des grands impairs ; le nombre 2019 n’est ni un grand pair, ni un grand im-pair. 1 Le nombre 384 957 est-il un grand pair? Un grand im-pair? 2 Déterminer les nombres qui sont à la fois des grands pairs et des grands impairs. 3 Parmi les nombres s’écrivant avec deux chiffres, y a-t-il davantage de grands pairs ou de grands impairs? 4 a Le nombre 3021 peut-il s’écrire comme la somme de deux grands impairs ayant le même nombre de chiffres? b Le nombre 3021 peut-il s’écrire comme la somme de deux grands pairs ayant le même nombre de chiffres? 5 Prouver que tout nombre entier peut s’écrire comme la somme de deux grands impairs (rien n’est ici imposé quant au nombre de chiffres de ces deux grands impairs) . 6 Démontrer que tout nombre grand impair strictement inférieur à 100 peut s’écrire comme la somme de deux grands pairs (sans contrainte quant au nombre de chiffres de ces grands pairs) . 7 Déterminer le plus petit grand impair supérieur ou égal à 2 qui ne peut pas s’écrire comme la somme de deux grands pairs (sans contrainte quant au nombre de chiffres de ces grands pairs) . 8 Compléter le pseudo-code ci-dessous (ou s’en inspirer) pour rédiger un algorithme (à retranscrire sur sa copie) , qui, partant d’un tableau ˇ T ı représentant un nombre ˇ N ı (par exemple 384957) de ˇ nb ı chiffres (ici 6 ) . nb = 6 T=[3,8,4,9,5,7] resultat = 1 i = 1 while (resultat == 1) and (i <=nb): ... i = i+2 print(r) https://chingmath.fr sacados/9548