Première spécialité / Equation cartésienne 52 exercices corrigés

a
ChingQuizz : 3 exercices disponibles pour l’evaluation par QCM : 1. Rappels: Vecteurs directeurs E.9706 Dans le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j , on considère les quatre droites ci-dessous définies par leur équation cartésienne : ( d 1 ) : 2 x − 3 y + 3 = 0 ; ( d 2 ) : − 2 x − y + 1 = 0 ( d 3 ) : 4 x + 8 y − 10 = 0 ; ( d 4 ) : − 3 x + y + 4 = 0 1 Pour chacune des droites, donner un point et un vecteur directeur de cette droite. 2 Tracer chacune de ces droites dans le repère ci-dessous : E.9707 Proposition: dans le plan muni d’un repère, on considère une droite admettant pour vecteur directeur −→ u a b . Cette droite admet une équation cartésienne de la forme : − b · x + a · y + c = 0 On considère le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j . Pour chaque question, déterminer une équation cartésienne de la droite ( d ) passant par le point A et ayant pour vecteur directeur −→ u : a A (2 ; 1) et −→ u 2 3 b A (3 ; − 2) et −→ u 1 2 − 1 c A (0 ; 3) et −→ u − 2 1 d A − 2 ; 1 2 et −→ u 3 − 5 3 E.9708 Dans le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j , on considère les points A et B de coordonnées : A 22 5 ; 14 5 ; B 42 5 ; 4 5 On considère également la droite ( d ) admettant pour équa-tion cartésienne : ( d ) : 3 · x + 6 · y − 12 = 0 1 a Déterminer les coordonnées du vecteur −−→ AB . b Justifier que le segment [ AB ] a pour mesure 20 . 2 Justifier que les droites ( AB ) et ( d ) sont parallèles. 3 a Déterminer les points C et D intersection de la droite ( d ) respectivement avec l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées. b Justifier que le quadrilatère ABCD est un losange. 2. Rappels: équations cartésiennes et intersection de droites E.9709 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère la droite ( d ) représentée ci-dessous : https://chingmath.fr quizzChap/1207 chapExoCorrec/9706 sacados/9706 -4-3-2-101234-3-2-1123ij chapExoCorrec/9707 sacados/9707 chapExoCorrec/9708 sacados/9708 -12345678910I-1234JOBA chapExoCorrec/9709 sacados/9709 xxyy-4-3-2-1234I-2-12JO(d
1 Déterminer une équation cartésienne de la droite ( d ) . 2 On considère la droite (Δ) ayant pour équation cartési-enne : (Δ) : 5 x + 6 y − 6 = 0 a Donner les coordonnées de deux points appartenant à la droite (Δ) . b Effectuer le tracé dans le repère ci-dessous de la droite (Δ) . 3 Algébriquement, déterminer les coordonnées du point d’intersection des droites ( d ) et (Δ) . E.9710 Résoudre les systèmes d’équations suivants : a x − 3 y = 8 4 x + y = − 7 b 2 x + 3 y = 10 5 x + 10 y = 20 E.9711 Résoudre le système suivant : x + 2 y − z = − 2 3 x + y + 2 z = − 1 x − y + 3 z = 3 (On montrera que ce système admet un unique triplet solu-tion) . 3. Vecteurs normaux et équations de droites E.2591 Définition: on appelle vecteur normal d’une droite, tout vecteur orthogonal aux vecteurs directeurs de cette droite. Proposition: dans le plan muni d’un repère, on considère une droite ( d ) admettant le vecteur −→ u ( a ; b ) pour vecteur normal. Alors la droite ( d ) admet pour équation cartési-enne : ( d ) : a · x + b · y + c = 0 où c ∈ R On considère le plan munit d’un repère ( O ; I ; J ) orthonormé. 1 Dans chaque cas, déterminer une équation cartésienne passant par le point A et admettant le vecteur −→ u pour vecteur normal: a −→ u 2 3 et A (1 ; 0) b −→ u − 1 1 et A ( − 2 ; 1) 2 Tracer la représentation de chacune de ces droites dans le repère ci-dessous ainsi qu’un représentant de chaque vecteur −→ u au point A correspondant : E.9704 Proposition: dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère la droite ( d ) admettant le vecteur −→ u a b pour vecteur normal alors l’équation cartésienne de la droite ( d ) est de la forme : ( d ) : a · x + b · y + c = 0 c ∈ R On considère le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé. Pour chaque question, déterminer l’équation cartésienne de la droite ( d ) admettant le vecteur −→ u pour vecteur normal et passant par le point A où : a −→ u 5 2 ; A (1 ; 1) b −→ u − 1 1 ; A (4 ; − 1) E.9746 On considère le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé. Pour chaque question, déter-miner l’équation cartésienne de la droite ( d ) admettant le vecteur −→ u pour vecteur normal et passant par le point A où : a −→ u 1 − 2 ; A ( − 5 ; 2) b −→ u − 2 − 4 ; A ( − 1 ; 3) E.8552 On munit le plan d’un repère O ; I ; J orthonormé. 1 On considère la droite ( d ) admettant le vecteur −→ n − 2 1 pour vecteur normal et passant par le point A (4 ; 1) . Déterminer une équation cartésienne de la droite ( d ) . 2 On considère la droite ( d ) admettant l’équation cartési-enne : x − 4 · y + 3 = 0 Donner un vecteur −→ v normal de ( d ) , un vecteur −→ u di-recteur de ( d ) et un point B appartenant à ( d ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/9710 sacados/9710 chapExoCorrec/9711 sacados/9711 chapExoCorrec/2591 sacados/2591 -5-4-3-2-12345I-1234JO chapExoCorrec/9704 sacados/9704 chapExoCorrec/9746 sacados/9746 chapExoCorrec/8552 sacados/8552
E.9705 Proposition: on considère le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé. Si une droite ( d ) admet pour équa-tion cartésienne : ( d ) : a · x + b · y + c = 0 a;b;c ∈ R alors la droite ( d ) admet le vecteur −→ u a b pour vecteur normal. Soit O ; I ; J un repère orthonormé. 1 On considère la droite ( d ) ayant pour équation cartési-enne : 2 · x + 3 · y + 5 = 0 Donner un vecteur normal à la droite ( d ) et déterminer les coordonnées du point d’intersection de la droite ( d ) avec l’axe des abscisses. 2 On considère la droite ( d ) ayant pour équation cartési-enne : − x + 2 · y − 2 = 0 Donner un vecteur normal à la droite ( d ) et déterminer les coordonnées du point d’intersection de la droite ( d ) avec l’axe des ordonnées. E.8446 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère les points A ( − 2 ; − 3) et B (4 ; 1) . On note ( d ) la médiatrice du segment [ AB ] . 1 Déterminer les coordonnées du point K milieu du seg-ment [ AB ] . 2 Donner les coordonnées d’un vecteur −→ v normal à la droite ( d ) . 3 Déterminer une équation cartésienne de la droite ( d ) . 4 Tracer dans le repère ci-dessous la droite ( d ) . 4. Parallélisme et orthogonalité de droites E.8449 Définition: dans le plan muni d’un repère, on appelle déterminant des deux vecteurs −→ u x y et −→ v x v le nom-bre, noté det −→ u ; −→ v , définie par : det −→ u ; −→ v = x · y − x · y Proposition: dans le plan muni d’un repère, on considère les deux vecteurs −→ u et −→ v non-nuls. On a: −→ u et −→ v colinéaires ⇐⇒ det −→ u ; −→ v = 0 −→ u et −→ v orthogonaux ⇐⇒ −→ u · −→ v = 0 On considère le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé : 1 On considère les deux droites ( d 1 ) et ( d 2 ) admettant pour équation cartésienne : ( d 1 ) : x + 2 · y − 1 = 0 ; ( d 2 ) : 4 · x + 8 · y + 2 = 0 a Donner deux vecteurs −→ u et −→ v normaux respective-ment aux droites ( d 1 ) et ( d 2 ) . b Justifier que les droites ( d 1 ) et ( d 2 ) sont parallèles. 2 On considère les deux droites (Δ 1 ) et (Δ 2 ) admettant pour équation cartésienne : (Δ 1 ) : 4 · x +3 · y − 1 = 0 ; (Δ 2 ) : − 6 · x +8 · y +5 = 0 a Donner deux vecteurs −→ u et −→ v normaux respective-ment aux droites (Δ 1 ) et (Δ 2 ) . b Justifier que les droites (Δ 1 ) et (Δ 2 ) sont perpendicu- laires. E.9712 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère la droite ( d ) admettant pour équa-tion cartésienne : ( d ) : 2 x − y + 1 = 0 1 La droite ( d ) est parallèle à la droite ( d ) et son équation cartésienne est : ( d ) : 5 x + b · y + 4 = 0 où b ∈ R Déterminer la valeur de b . 2 La droite (Δ) est perpendiculaire à la droite ( d ) et son équation cartésienne est : (Δ) : a · x + 3 · y − 2 = 0 où a ∈ R Déterminer la valeur de a . E.9779 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère la droite ( d ) d’équation cartésienne : − 3 · x + y + 7 = 0 1 Donner un vecteur −→ u directeur de la droite ( d ) . 2 Déterminer l’équation cartésienne de la droite (Δ) paral-lèle à la droite ( d ) et passant par le point de coordonnées A ( − 2 ; 2) . 3 Soit ( d ) la droite perpendiculaire à la droite ( d ) et pas-sant par le point B (3 ; − 1) . a Donner les coordonnées d’un vecteur −→ v normal à la droite ( d ) . b Déterminer l’équation cartésienne de la droite ( d ) . 5. Intersection de droites https://chingmath.fr chapExoCorrec/9705 sacados/9705 chapExoCorrec/8446 sacados/8446 -3-2-12345I-3-2-12JO chapExoCorrec/8449 sacados/8449 chapExoCorrec/9712 sacados/9712 chapExoCorrec/9779 sacados/9779
E.6484 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère la droite ( d ) (resp. ( d ) ) passe par le point A ( − 2 ; 1) (resp. B (3 ; 2) ) et admet le vecteur −→ u 3 − 1 (resp. −→ v 1 1 ) pour vecteur normal. 1 Déterminer les équations cartésiennes des droites ( d ) et ( d ) . 2 a Justifier que les droites ( d ) et ( d ) sont sécantes. b Déterminer les coordonnées du point d’intersection des droites ( d ) et ( d ) . E.9780 On considère le plan muni d’un repère O ; I ; J . 1 On note ( d ) la droite admettant le vecteur −→ u 2 1 pour vecteur directeur et passant par le point B (1 ; 1) . Déterminer l’équation cartésienne de la droite ( d ) . 2 On note ( d ) la droite admettant le vecteur −→ v 4 − 3 pour vecteur normal et passant par le point C (2 ; 2) . Déterminer l’équation cartésienne de la droite ( d ) . 3 a Justifier que les droites ( d ) et ( d ) sont sécantes. b Déterminer les coordonnées du point A , intersection des droites ( d ) et ( d ) . E.9755 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère la droite ( d ) ayant pour équation cartésienne : ( d ) : 3 · x + 4 · y − 5 = 0 1 On considère la droite (Δ) admettant −→ u 2 − 1 pour vecteur normal et passant par le point A − 1 3 ; 1 a Déterminer l’équation cartésienne de la droite (Δ) . b Justifier que les droites ( d ) et (Δ) sont sécantes. 2 a Résoudre le système d’équations : 3 x + 4 y − 5 = 0 6 x − 3 y + 5 = 0 b En déduire les coordonnées du point d’intersection des droites ( d ) et (Δ) . E.3036 Dans le plan O ; I ; J , on considère les points A , B , C , D de coordonnées : A ( − 1 ; − 1) ; B (2 ; − 4) ; C 22 5 ; 4 5 ; D 1 5 ; 7 5 1 Soit K le milieu du segment [ AB ] . On considère l’ensemble ( E ) des points M ( x ; y ) du plan qui vérifie la relation: −−→ AB · −−→ KM = 0 a Montrer que tout point M ( x ; y ) , appartenant à l’ensemble ( E ) , a ses coordonnées qui vérifient l’équation: x − y − 3=0 b Comment s’appelle l’ensemble ( E ) relativement au seg-ment [ AB ] . 2 a Déterminer les coordonnées d’un vecteur orthogonal à la droite ( CD ) . b En déduire l’équation de la droite ( CD ) . 3 Déterminer les coordonnées du point d’intersection de l’ensemble E et de la droite ( CD ) . E.3082 Dans le plan, on considère les deux carrés ABCD et BEFG représentés ci-dessous : On munit le plan du repère orthonormé A ; −→ i ; −→ j où : −−→ AB = 6 ; −−→ BE = 3 1 a Déterminer les coordonnées des vecteurs −−→ DE et −−→ CF . b En déduire les équations cartésiennes des droites ( DE ) et ( CF ) dans le plan A ; −→ i ; −→ j . 2 Déterminer les coordonnées du point I . 3 Justifier que les droites ( BI ) et ( CE ) sont perpendicu-laires. 6. Projeté orthogonal E.8447 Proposition-définition: dans le plan, on considère une droite ( d ) et un point A n’appartenant pas à ( d ) . Il existe un unique point H tel que la droite ( AH ) soit perpendicu-laire à la droite ( d ) . Le point H s’appelle le projeté orthogonal du point A sur la droite ( d ) . Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé, on con-sidère les points A ( − 1 ; 1) , B (3 ; 5 ; − 2) , M (4 ; 2) . 1 Déterminer une équation cartésienne de la droite ( AB ) . 2 Montrer que le point H (2 ; − 1) est le projeté orthogonal du point M sur la droite ( AB ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6484 sacados/6484 chapExoCorrec/9780 sacados/9780 chapExoCorrec/9755 sacados/9755 chapExoCorrec/3036 sacados/3036 chapExoCorrec/3082 sacados/3082 ABCDEFGI−i−j chapExoCorrec/8447 sacados/8447
E.8553 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé, on considère le point A (3 ; 1) et la droite ( d ) représentée ci-dessous d’équation cartésienne : 2 · x + 5 · y − 2 = 0 On note H le projeté orthogonal du point A sur la droite ( d ) . 1 Construire le point H dans le repère. 2 Justifier que la droite (Δ) passant par le point A et per-pendiculaire à la droite ( d ) a pour équation : (Δ) : − 5 · x + 2 · y + 13 = 0 3 Déterminer les coordonnées du point H . Questions subsidiaires: (autre méthode) 3 Justifier que le vecteur −−→ AH admet pour coordonnées : −−→ AH x − 3 − 2 5 · x − 3 5 4 En déduire les coordonnées du point H . E.8448 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé, on considère les points : A 1 ; − 1 5 ; B ( − 2 ; 1) ; M 2 ; − 7 2 . 1 Déterminer une équation cartésienne de la droite ( AB ) . 2 a Déterminer l’équation réduite de la droite ( d ) pas-sant par le point M et perpendiculaire à la droite ( AB ) . b Déterminer les coordonnées du point E , intersection des droites ( d ) et ( AB ) . 7. Projeté orthogonal et aire E.9758 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère les trois points : A ( − 3 ; 2) ; B (3 ; 5) ; C (2 ; 2) 1 Soit ( d ) la droite passant par le point C est orthogonale à la droite ( AB ) : a Déterminer les coordonnées d’un vecteur −→ u normal à la droite ( d ) . b Déterminer l’équation cartésienne de la droite ( d ) . c Déterminer les coordonnées du pied H de la hauteur du triangle ABC issue du sommet C . 2 Déterminer l’aire du triangle ABC . E.9781 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère les trois points : A ( − 1 ; − 1) ; B (3 ; 3) ; C (4 ; 1) 1 Déterminer l’équation cartésienne de la droite ( AB ) . 2 Déterminer l’équation cartésienne de la droite ( d ) passant par le point C et perpendiculaire à la droite ( AB ) . 3 Déterminer les coordonnées du point M , intersection de la droite ( AB ) et de la droite ( d ) . 4 En déduire l’aire du triangle ABC . E.8450 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère les trois points : A ( − 3 ; 2) ; B (3 ; 5) ; C (2 ; 2) 1 Déterminer les coordonnées du pied H de la hauteur du triangle ABC issue du sommet C . 2 Déterminer l’aire du triangle ABC . E.8451 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère les trois points : A − 2 3 ; 2 ; B 1 4 ; 3 2 ; C 5 ; 11 3 1 Déterminer les coordonnées du pied H de la hauteur du triangle ABC issue du sommet C . 2 Déterminer l’aire du triangle ABC . E.8456 On considère le plan muni d’un repère O ; I ; J et des quatre points : A (3 ; 2) ; B ( − 1 ; 3) ; C (2 ; − 2) ; D (6 ; − 3) 1 Montrer que le quadrilatère ABCD est un parallélo-gramme. 2 Déterminer l’aire du parallélogramme ABCD . 8. Cercle: caractérisation par le centre et le rayon E.2592 Définition: le cercle de centre A et de rayon r est l’ensemble des points M tels que : AM = r On dit aussi qu’un cercle est l’ensemble des points équidis-tants au centre du cercle. Le plan est muni d’un repère orthonormé ( O ; I ; J ) dont l’unité est le centimètre. On considère le cercle C de centre B et de rayon r . Pour chaque question, déterminer l’équation du cercle: a B (1 ; 2) et r =3 cm b B ( − 3 ; 1) et r =5 cm https://chingmath.fr chapExoCorrec/8553 sacados/8553 -4-3-2-1234I-12JO(dA chapExoCorrec/8448 sacados/8448 chapExoCorrec/9758 sacados/9758 chapExoCorrec/9781 sacados/9781 chapExoCorrec/8450 sacados/8450 chapExoCorrec/8451 sacados/8451 chapExoCorrec/8456 sacados/8456 chapExoCorrec/2592 sacados/2592
E.8554 On considère le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé et le cercle C de centre A (2 ; 1) et de rayon 4 . Déterminer l’équation cartésienne du cercle C . E.8457 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé, on considère le cercle C de centre K (3 ; − 1) et de rayon 5 . 1 Déterminer l’équation cartésienne du cercle C . 2 Parmi les points ci-dessous, lesquels appartiennent au cer-cle C : M ( − 1 ; 2) ; N 8 5 ; − 29 5 ; P 9 5 ; 2 5 E.3035 Dans le plan O ; I ; J , on considère les points A , B , C , D de coordonnées : A ( − 1 ; − 1) ; B (2 ; − 4) ; C 22 5 ; 4 5 ; D 1 5 ; 7 5 1 Déterminer s’il existe des réels a , b et c tels que l’équation: x 2 + y 2 − 2 · a · x − 2 · b · y + c = 0 soit vérifiée par les coordonnées des quatre points A , B , C et D . 2 Que peut-on dire des points A , B , C et D ? E.8458 On considère le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé et des trois points suivants : A ( − 1 ; 2) ; B (0 ; − 5) ; C (3 ; 4) 1 a Déterminer l’équation cartésienne de la médiatrice du segment [ AB ] . b Déterminer l’équation cartésienne de la médiatrice du segment [ AC ] . 2 a En déduire le centre du cercle C circonscrit au tri-angle ABC . b Déterminer l’équation cartésienne du cercle C . 9. Cercle: caractérisation par le diamètre E.8455 Proposition: Si un triangle ABC est inscrit dans un cer-cle et qu’un de ses côtés forme un diamètre alors ce triangle est rectangle et ce côté est son hypoténuse. Conséquence: Pour un cercle C de diamètre [ AB ] et pour tout point M de ce cercle: −−→ MA · −−→ MB = 0 Le plan est muni d’un repère orthonormé ( O ; I ; J ) dont l’unité est le centimètre. On considère le cercle C dont les points A et B sont di-amétralement opposés. Déterminer l’équation du cercle dans chacun des cas suivants : a A ( − 2 ; 0) et B (4 ; 0) b A (2 ; − 3) et B ( − 1 ; 2) E.8555 On considère le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé et le cercle C dont les points A ( − 2 ; 1) et B (3 ; 0) sont diamétralement opposés. Déterminer l’équation cartésienne du cercle C . E.8459 On considère le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé. 1 a Déterminer l’équation cartésienne du cercle C ad-mettant pour diamètre le segment [ AB ] où : A ( − 1 ; 2) ; B (7 ; − 4) b Déterminer l’équation cartésienne du cercle C admet-tant pour diamètre le segment [ CD ] où : C − 9 5 ; 2 5 ; D 39 5 ; − 12 5 2 Que peut-on dire des cercles C et C ? 10. Reconnaissance de l’équation d’un cercle E.8452 Proposition: Dans le plan, considérons l’équation cartésienne x 2 + y 2 + a · x + b · y + c =0 , On note = a 2 4 + b 2 4 − c . L’ensemble E des points définis par cette équation cartési-enne est : vide si < 0 un point si =0 un cercle si > 0 dont le rayon est et le centre − a 2 ; − b 2 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère l’équation cartésienne : ( E ) : x 2 + y 2 − 4 · x − 3 · y − 31 = 0 1 Montrer que les points A ( − 3 ; 5) et B 11 2 ; 13 2 apparti-ennent à l’ensemble des points dont les coordonnées sont solutions de ( E ) . 2 En déduire la nature de l’ensemble des points du plan vérifiant l’équation cartésienne ( E ) https://chingmath.fr chapExoCorrec/8554 sacados/8554 chapExoCorrec/8457 sacados/8457 chapExoCorrec/3035 sacados/3035 chapExoCorrec/8458 sacados/8458 chapExoCorrec/8455 sacados/8455 chapExoCorrec/8555 sacados/8555 chapExoCorrec/8459 sacados/8459 chapExoCorrec/8452 sacados/8452
E.3083 On considère les trois équations cartésiennes suivantes : a x 2 + y 2 + 6 x − 4 y + 9 = 0 b x 2 + y 2 − 2 x + 6 y + 10 = 0 c x 2 + y 2 + 4 x − 4 y + 9 = 0 1 Écrire chacune des équations ci-dessus sous la forme : x − a 2 + y − b 2 = c où a , b , c sont des nombres réels à déterminer. 2 Pour chaque équation, en déduire la nature de l’ensemble des points défini par cette équation et en préciser les élé-ments caractéristiques E.8556 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère les trois équations cartésiennes : a x 2 + y 2 − 10 · x + 2 · y + 22 = 0 b x 2 + y 2 − 2 · x − 4 · y + 5 = 0 c x 2 + y 2 + 2 · x + 2 · y + 5 = 0 Déterminer la nature, et si besoin les éléments caractéris-tiques, de l’ensemble défini par chacune de ces équations cartésiennes. E.9756 On considère le plan muni d’un repère O ; I ; J . 1 On considère le cercle C admettant l’équation cartési-enne : x 2 + y 2 − 6 · x + 4 y + 4 = 0 Déterminer les éléments caractéristiques du cercle C . 2 On considère l’ensemble E du plan dont les coordonnées des points vérifient l’équation cartésienne : x 2 + y 2 + 2 x − 8 y + 17 = 0 Déterminer la nature de cet ensemble. E.9782 Dans le plan muni d’un repère or-thonormé, on considère les deux équations cartésiennes : x 2 + y 2 + 3 x − y + 5 = 0 x 2 + y 2 − 8 x − 6 y − 11 = 0 Pour chacune de ces équations, déterminer la nature des en-sembles qu’elles définissent et si possible, donner leurs élé-ments caractéristiques. E.8453 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé, on considère les deux points A (0 ; − 1) et B (2 ; 1) . Pour tout nombre réel k , on considère l’équation cartésienne E k définie par : ( E k ) : x 2 + y 2 − 2 k · x + (2 k − 2) · y + 2 · k − 3 1 a Pour tout nombre réel k , montrer que les coordon-nées des points A et B vérifient l’équation cartésienne ( E k ) . b Pour tout nombre réel k , donner et justifier de la nature de l’ensemble des points du plan vérifiant l’équation ( E k ) . 2 a Déterminer, en fonction de k , les coordonnées du centre et le rayon du cercle définie par l’équation ( E k ) . b Démontrer que l’ensemble des centres des cercles défini par ( E k ) appartient à une droite dont on donnera l’équation cartésienne. 11. Etude de la parabole E.6485 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé, on considère l’ensemble des points M ( x ; y ) dont les coordonnées vérifient l’équation cartési-enne : ( E ) : x 2 − 2 · x + y + 3 = 0 1 On considère les deux points A (0 ; − 3) et B (2 ; − 3) . a Montrer que les deux points A et B appartiennent à l’ensemble des points du plan vérifiant l’équation cartésienne ( E ) . b Montrer que la droite d’équation x =1 est la médiatrice du segment [ AB ] . 2 Soit h un nombre strictement positif. a Montrer qu’il existe un unique point, qu’on notera M (resp. N ) , de l’ensemble ( E ) ayant pour abscisse 1+ h (resp. 1 − h ) . On donnera les coordonnées de ces deux points en fonction de h . b Montrer que la droite d’équation x =1 est la médiatrice du segment [ MN ] pour tout réel h strictement positif. E.8557 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère la parabole P d’équation cartésienne : y =2 · x 2 + x +3 À tout point M de la parabole, différent du sommet de la parabole, on associe le point M second point d’intersection de la parabole P avec la droite parallèle à l’axe des abscisses et passant par le point M . Déterminer les coordonnées du point M afin que MM = 2 . 12. Approfondissement: foyer et directrice d’une parabole E.8460 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère l’ensemble ( E ) des points dont les coordonnées vérifient : x 2 − y = 0 dont la représentation est donnée ci-dessous : https://chingmath.fr chapExoCorrec/3083 sacados/3083 chapExoCorrec/8556 sacados/8556 chapExoCorrec/9756 sacados/9756 chapExoCorrec/9782 sacados/9782 chapExoCorrec/8453 sacados/8453 chapExoCorrec/6485 sacados/6485 chapExoCorrec/8557 sacados/8557 chapExoCorrec/8460 sacados/8460
On note F le point de coordonnées F 0 ; 1 4 . 1 On considère le point A (1 ; 1) et H son projeté orthogo- nal sur la droite ( d ) dont l’équation cartésienne est : y + 1 4 = 0 a Justifier que le point A appartient à l’ensemble ( E ) . b Déterminer la distance AF . c Donner les coordonnées du point H . d Déterminer la distance AH . 2 Soit x un nombre réel quelconque. On note M le point de l’ensemble ( E ) ayant pour abscisse x . a Donner les coordonnées du point M et de son projeté H sur la droite ( d ) . b Déterminer la mesure de la distance FM et MH . 13. Approfondissement: intersection cercle, parabole avec une droite E.2597 On considère le plan muni d’un repère orthonormé ( O ; I ; J ) . 1 a Soit ( d ) la droite ayant pour vecteur directeur 1 2 et passant par le point A (0 ; − 1) . Déterminer l’équation cartésienne de cette droite. b Soit C le cercle de centre A (1 ; 1) et de rayon 3 . Déterminer l’équation cartésienne de ce cercle. 2 Dans cette question, on s’intéresse au point d’intersection de ( d ) et de C . a Justifier que si M ( x ; y ) est un point d’intersection de la droite et du cercle alors ses coordonnées vérifient le système d’équation : x 2 + y 2 − 2 · x − 2 · y − 7 = 0 − 2 · x + y + 1 = 0 b Par substitution, résoudre ce système d’équation. E.2660 On considère le plan muni d’un repère orthonormé ( O ; I ; J ) et l’ensemble des points E défini par l’équation cartésienne : ( E ) : x 2 + y 2 − 4 · x + 6 · y + 3 = 0 1 a Écrire l’équation ( E ) sous la forme : x − a 2 + y − b 2 = c b Justifier que l’ensemble E est un cercle C dont on pré-cisera les caractéristiques. 2 a Montrer que le point A (3 ; 0) est un point du cercle C . b Déterminer une équation cartésienne de la tangente ( d ) au cercle C passant par le point A . 3 Après avoir montré que le point B ( − 1 ; − 2) est un point du cercle, donner une équation cartésienne de la droite ( d ) tangente au cercle C au point B . 4 Déterminer les coordonnées du point M , intersection des droites ( d ) et ( d ) . 5 Tracer dans le repère ci-dessous le cercle C (ou une par-tie) et ses deux tangentes. https://chingmath.fr -2-12IJOFAH chapExoCorrec/2597 sacados/2597 chapExoCorrec/2660 sacados/2660 -2246I-4-22JO
E.3039 Dans le plan muni d’un repère orthonormé O ; I ; J , on considère le cercle C de centre A ( − 2 ; 1) et de rayon 4 ; le point B a pour coordonnée (6 ; 0) : Le but de cet exercice est de déterminer l’équation des deux tangentes, ( d ) et ( d ) , au cercle C passant par le point B : 1 a Déterminer l’équation du cercle C . b Déterminer l’équation du cercle de diamètre [ AB ] . 2 Déterminer les coordonnées des points de contact des droites ( d ) et ( d ) avec le cercle C . 3 En déduire que les droites ( d ) et ( d ) admettent les équa-tions cartésiennes : 35 · x − 84 · y − 210 = 0 ; − 21 · x − 28 · y + 126 = 0 4 Déterminer les coordonnées, pour chacune des droites, de leurs points d’abscisse 3; effectuer le tracé de ces droites. E.9757 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère les points A (0 ; 5) , B (3 ; − 2) , C ( − 1 ; − 1) ; les points A et B sont diamétralement opposés dans le cercle C ; le cercle C a pour centre C et a pour rayon 2 . On note M et N les deux points d’intersection des cercles C et C . 1 Déterminer les équations des cercles C et C . 2 Déterminer les coordonnées des points M et N . E.9778 On considère les deux cercles : C de centre A (1 ; − 2) et de rayon 2 ; C admettant pour diamètre [ BC ] où B (3 ; 4) et C (5 ; − 2) . 1 Déterminer l’équation cartésienne du cercle C . 2 Déterminer l’équation cartésienne du cercle C . 3 Déterminer les coordonnées des points d’intersection de ces deux cercles. E.3088 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère les points A − 11 5 ; 12 5 , B 21 5 ; − 12 5 , C ( − 3 ; 2) ; les points A et B sont diamétrale-ment opposés dans le cercle C ; le cercle C a pour centre C et a pour rayon 2 . On note M et N les deux points d’intersection des cercles C et C . 1 Déterminer les équations des cercles C et C . 2 Déterminer les coordonnées des points M et N . 3 En déduire l’équation cartésienne de la droite ( d ) . 14. Exercices non-classés E.3040 On considère le plan muni d’un repère O ; I ; J ; les points A et B ont pour coordonnées respectives (2 ; − 3) et ( − 1 ; 1) ; on note I le milieu du seg- ment [ AB ] ; M représente un point quelconque du plan et ses coordonnées sont notées ( x ; y ) : 1 On s’intéresse au lieu géométrique E défini par la rela- https://chingmath.fr chapExoCorrec/3039 sacados/3039 -7-6-5-4-3-2-1234567I-4-3-2-123456JOCAB chapExoCorrec/9757 sacados/9757 -6-5-4-3-2-123456I-4-3-2-1234JO(dCCMNABC chapExoCorrec/9778 sacados/9778 chapExoCorrec/3088 sacados/3088 -6-5-4-3-2-123456I-4-3-2-1234JO(dCCMNABC chapExoCorrec/3040 sacados/3040
tion : −−→ MA · −−→ MB = 2 a Déterminer une relation entre x et y caractérisant l’ensemble E . b Vérifier que le point de coordonnée 2 ; 6 − 1 appar-tient à l’ensemble E . c Quelle est la nature géométrique de E ? Donner ses éléments caractéristiques. 2 On s’intéresse au lieu géométrique F défini par la rela-tion : −−→ AB · −−→ IM = − 7 ; 5 a Déterminer une relation sur les coordonnées des points M appartenant à l’ensemble F . b Quelle est la nature géométrique de F ? Donner les éléments caractéristiques de F . https://chingmath.fr