Première spécialité / Exponentielle 89 exercices corrigés

a
ChingQuizz : 5 exercices disponibles pour l’evaluation par QCM : 1. Introduction (champs des tangentes) E.3580 On considère une fonction f véri-fiant les deux conditions ci-dessous : f (0) = 1 ; f ( x ) = f ( x ) pour tout x ∈ R Justifier que les courbes ci-dessous ne sont pas la courbe C f représentative de la fonction f . E.8547 Dans le plan muni d’un repère, un ˇ champ de tangentes ı est un ensemble de vecteurs associé à chaque point du plan. r105-0 Une courbe dans un champ de tangente est une courbe qui, en chaque point, le vecteur associé au champ de tan-gente est un vecteur directeur de sa tangente. Le champ de tangentes ci-dessous est construit sur la rela-tion f ( x )= x : au point d’abscisse 2 la courbe admet une tangente de coefficient directeur 2 : 1 Dans le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j , on considère les quatre vecteurs représentés ci-dessous : On considère une fonction f dérivable sur R et notons C f sa courbe représentative a La fonction f passe par le point A 1 et la tangente ( T ) à la courbe C f en A 1 admet le vecteur −→ u 1 pour vecteur directeur. Donner le coefficient directeur de la tangente ( T ) . La fonction f passe par le point A 2 et la tangente ( T ) à la courbe C f en A 2 admet le vecteur −→ u 2 pour vecteur directeur. Donner le coefficient directeur de la tangente ( T ) . La fonction f passe par le point A 3 et la courbe C f admet une tangente en A 3 dont −→ u 3 est un vecteur https://chingmath.fr quizzChap/1201 chapExoCorrec/3580 sacados/3580 -4-2024246ijC1 -6-4-202246ijC2 chapExoCorrec/8547 sacados/8547 r105-0 122 -2-1I2JOA6−u6A5−u5A2−u2A1−u1A4−u4A3−u3
directeur. Donner le nombre dérivé de la fonction f en 0 ; 7 . b Quelles relations, parmi celles proposées, peut-on con-jecturer pour la fonction f ? f ( x )= x f ( x )=2 · x f ( x )= f ( x ) f ( x )=2 · f ( x ) c Pour tout k ∈{ 1 ; 2 ; ::: ; 6 } , la fonction f passe par le point A k et admet une tangente dont −→ u k est un vecteur directeur. Tracer une représentation possible de la courbe C f . 2 Ci-dessous est donnée un champ de tangente dans le plan muni d’un repère: a Tracer la représentation de la courbe C g d’une fonc-tion g vérifiant ce champ de tangentes et passant par le point B . b Tracer la représentation de la courbe C h d’une fonc-tion h vérifiant ce champ de tangentes et passant par le point C . E.8403 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère la courbe C f d’une fonction f définie et dérivable sur R représentée ci-dessous : Sur l’intervalle − 4 ; 1 : Sur l’intervalle − 2 5 ; 9 5 : 1 a Tracer la tangente à la courbe C f au point d’abscisse 0 et donner le coefficient directeur de cette tangente. b Comparer les nombres f (0) et f (0) . 2 De même, comparer les nombres f ( − 1) et f ( − 1) . 3 Graphiquement, établir les égalités ci-dessous : f (1) = f (1) ; f 1 2 = f 1 2 . 2. Introduction (méthode d’Euler) E.8402 On considère le plan muni d’un repère orthonormé O ; I ; J : 1 On considère la fonction g , affine par morceaux, définie sur R et dont la courbe représentative C g est donnée ci-dessous : Établir les égalités ci-dessous : a g ( − 1) = g ( − 1) b g (0) = g (0) c g (1) = g (1) La vidéo suivante montre qu’il existe une infinité de fonctions affines par morceaux vérifiant ces trois propriétés. 2 On considère la fonction h définie sur R et dont la courbe représentative C h est donnée ci-dessous : Établir les égalités ci-dessous : a h ( − 1) = h ( − 1) b h (0 ; 5) = h (0 ; 5) c h (1) = h (1) https://chingmath.fr BC chapExoCorrec/8403 sacados/8403 -4-3-2-1IJOCf I234JOCf chapExoCorrec/8402 sacados/8402 -4-3-2-12I234JOCg r173-1 -4-3-2-12I234JOCh
La fonction h , représentée ci-dessus, vérifie pour tout n ∈ Z tel que − 8 n 4 , la relation: h n 2 = h n 2 E.8549 Partie A - pas de 1 . La fonction f , représentée ci-dessous dans un repère, est une fonction continue où sur chacun des intervalles i ; i +1 ( i ∈ Z ) , la fonction f est une fonction affine dont le coefficient directeur est f ( i ) . 1 a Donner la valeur de f (0) et le coefficient directeur de la restriction de la fonction f sur l’intervalle 0 ; 1 b Donner la valeur de f (1) et le coefficient directeur de la restriction de la fonction f sur l’intervalle 1 ; 2 2 Déterminer la valeur de f ( − 1) afin que f (0)=1 et que la restriction de la fonction f sur l’intervalle − 1 ; 0 soit une fonction affine de coefficient directeur f ( − 1) . 3 Compléter correctement le tracer de la courbe C f . Partie B - pas de 1 / 2 . La fonction g , représentée ci-dessous dans un repère, est une fonction affine continue où, sur chacun des intervalles 1 2 · i ; 1 2 · i +1 ( i ∈ Z ) , la fonction g est une fonction affine dont le coefficient directeur est g 1 2 · i . 1 a Donner la valeur de g (0) et le coefficient directeur de la restriction de la fonction g sur l’intervalle 0 ; 1 2 b Donner la valeur de g 1 2 et le coefficient directeur de la restriction de la fonction f sur l’intervalle 1 2 ; 1 2 Déterminer la valeur de g − 1 2 afin que g (0)=1 et que la restriction de la fonction f sur l’intervalle − 1 2 ; 0 soit une fonction affine de coefficient directeur g − 1 2 . 3 Compléter correctement le tracer de la courbe C g . Remarque: les parties A et B représentent les deux pre-mières étapes de construction de la courbe de la fonction exponentielle par la méthode d’Euler. Pour voir les étapes successives de cette con-struction et leurs ˇ convergences ı vers une unique courbe, vous pouvez regarder cette animation : E.8412 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère la courbe C f d’une fonction f définie sur R : 1 Ci-dessous est donnée la courbe C f sur − 4 ; 1 : a Tracer la tangente à la courbe C f au point d’abscisse 0 . Comparer les nombres f (0) et f (0) . b Comparer les nombres f ( − 1) et f ( − 1) . 2 Ci-dessous, est donnée la courbe C f sur − 2 5 ; 9 5 : a Comparer les nombres f (1) et f (1) . b Comparer les nombres f 1 2 et f 1 2 . 3. Introduction C E.8413 On considère une fonction f définie sur R dont la courbe représentative C f est donnée dans le repère O ; I ; J orthonormé ci-dessous : https://chingmath.fr chapExoCorrec/8549 sacados/8549 -4-3-2-12I23JOCf -4-3-2-12I23JOCg r558-0 chapExoCorrec/8412 sacados/8412 -4-3-2-1IJOCf I234JOCf chapExoCorrec/8413 sacados/8413
On admet que la fonction f est dérivable sur R et vérifie les trois propriétés ci-dessous : f (0) = 1 ; f ( x ) = f ( x ) f ( x ) > 0 pour tout x ∈ R . Conjecture : 1 On considère le point A de la courbe C f d’abscisse 1 . a Placer le point A et tracer la tangente ( T ) à la courbe C f au point A . b Donner l’abscisse du point B d’intersection de la tan-gente ( T ) avec l’axe des abscisses. 2 Répéter la question 1 avec le point B d’abscisse − 1 . 3 Quelle conjecture peut-on émettre quant à l’abscisse du point de contact d’une tangente à la courbe C et l’abscisse du point d’intersection de cette tangente avec l’axe des abscisses? 4 Vérifier votre conjecture avec un troisième point de la courbe C f choisi au hasard. Preuve: Soit a un nombre réel quelconque. 5 Établir que la tangente ( T ) à la courbe C f au point d’abscisse a admet pour équation réduite : ( T ) : y = f ( a ) · x − a + 1 6 Établir la conjecture faite à la question 3 . Prolongement: 7 À l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, vérifier si les courbes représentatives des fonctions carrée, inverse et racine carrée vérifient cette propriété. E.3342 Le nombre d’atomes d’une source ra-dioactive a tendance à diminuer dans le temps. On note N ( t ) le nombre de noyaux à l’instant t . En observant ce phénomène sur une variation du temps, noté Δ t , le nombre d’atomes a aussi connu une variation, noté Δ N ( t ) . On a établi la formule suivante : Δ N ( t ) N ( t ) = − – · Δ t où – est une constante dépendant uniquement de la nature de la source radioactive observée. 1 a La durée de demi-vie du Radon-220 est de 56 s . Déterminer la valeur de la constante – dans le cas du Radon-220, arrondie à 10 − 4 . b On part d’un échantillon contenant 240 g contenant en-viron 6 ; 02 × 10 23 noyaux de radon. Déterminer le temps à attendre pour que la quantité observée pèse : 120 g ; 60 g 2 a Établir l’égalité suivante : Δ N ( t ) Δ t = − – · N ( t ) b Que représente la quantité Δ N ( t ) Δ t pour la fonction N ? En supposant que la fonction N est dérivable en fonc-tion du temps t , en déduire la relation: N ( t ) = − – · N ( t ) 4. Fonctions exponentielles E.5499 On admet l’existence d’une fonc-tion f définie sur R vérifiant les deux conditions : f = f ; f (0)=1 Montrer que cette fonction f est unique. On la notera exp . Indications : Cette démonstration s’effectue en deux étapes : On montre que toute fonction vérifiant ces deux condi-tions ne peut pas s’annuler. Pour cela, on considère la fonction h définie par : h ( x ) = f ( x ) · f ( − x ) et on montre que la fonction h est constante. En supposant qu’il existe deux fonctions f et g vérifiant ces deux conditions, on considère la fonction j définie par : j ( x )= f ( x ) g ( x ) et on montre que la fonction j est constante. Plus pré-cisément que : j ( x )=1 Propriétés utilisées: La dérivée de la fonction produit u · v a pour expres-sion : u · v = u ( x ) · v ( x ) + u ( x ) · v ( x ) Pour a;b ∈ R , on a: exp( a · x + b ) = a · exp a · x + b https://chingmath.fr -4-3-2-1I23JOCf chapExoCorrec/3342 sacados/3342 chapExoCorrec/5499 sacados/5499
E.9751 Objectif : le but de cet exercice est d’établir une propriété algébrique de la fonction exponentielle. Propriétés utilisées: La fonction exponentielle est la seule fonction vérifiant : f = f ; f (0) = 1 La dérivée de la fonction produit u · v a pour expres-sion : u · v = u · v + u · v Pour a;b ∈ R , on a: exp( a · x + b ) = a · exp a · x + b 1 Pour cela, on considère la fonction g dérivable et définie sur R par : g ( x ) = exp x · exp − x a Montrer que pour tout x ∈ R , on a: g ( x ) = 0 b Justifier que, pour tout x ∈ R : g ( x )=1 2 a Déduire de la propriété précédente que la fonction exponentielle ne s’annule jamais. C’est-à-dire que pour tout x ∈ R : exp( x ) = 0 b Nous allons établir que : exp( − x ) = 1 exp( x ) ∀ x ∈ R Remarque: la fonction exponentielle ne s’annulant pas et puisque f (0) > 0 , on en déduit que la fonction exponen-tielle est strictement positive sur R . La fonction exponentielle étant strictement positive et véri-fiant f = f , on en déduit que la fonction exponentielle est strictement croissante sur R . E.9752 Objectif : le but de cet exercice est d’établir une propriété algébrique de la fonction exponentielle. Propriétés utilisées: La fonction exponentielle est la seule fonction vérifi-ant : f = f ; f (0) = 1 pour tout x ∈ R , on a: exp( − x ) = 1 exp( x ) La dérivée de la fonction produit u · v a pour expres-sion : u · v = u · v + u · v Pour a;b ∈ R , on a: exp( a · x + b ) = a · exp a · x + b 1 Le but de cette question est de montrer que pour tous nombres réels x et y , on a: exp x + y = exp( x ) × exp( y ) Pour cela, on considère la fonction f définie par : f ( x ) = exp( x + a ) · exp( − x ) où a ∈ R a Montrer que pour tout x ∈ R , on a: f ( x ) = 0 b Montrer que pour tout x ∈ R , on a: f ( x ) = exp( a ) c En déduire que ∀ x;y ∈ R , on a: exp x + y = exp( x ) · exp( y ) 2 En déduire que ∀ x;y ∈ R , on a: exp( x − y ) = exp( x ) exp( y ) 5. Avec la calculatrice E.7474 On considère les deux fonctions f et g définies sur R par les relations : f ( x ) = 2 x − x 2 ; g ( x ) = − x + 2 Dans un repère O ; I ; J , on note C f et C g les courbes représentatives respectivement des fonctions f et g . À l’aide de la calculatrice, déterminer les coordonnées des points d’intersection des courbes C f et C g . E.7027 On considère la fonction définie sur 0 ; 8 par : f ( x ) = 0 ; 4 20 · e − x + 1 + 0 ; 4 Dans une région montagneuse, une entreprise étudie un pro-jet de route reliant les villages A et B situés à deux altitudes différentes. La fonction f , définie dans la partie A , modélise le profil de ce projet routier. La variable x représente la dis-tance horizontale, en kilomètres, depuis le village A et f ( x ) représente l’altitude associée, en kilomètres. La représentation graphique C f de la fonction f est donnée ci-dessous. Indication : pour chacune des propositions suivantes, dire si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Proposition 1 L’altitude du village B est 0 ; 6 km . Proposition 2 L’écart d’altitude entre les villages A et B est 378 mètres, valeur arrondie au mètre. 6. Introduction aux propriétés algébriques https://chingmath.fr chapExoCorrec/9751 sacados/9751 chapExoCorrec/9752 sacados/9752 chapExoCorrec/7474 sacados/7474 chapExoCorrec/7027 sacados/7027 ABx012345678f(x0,20,40,60,81Cf
E.8414 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé, on donne la courbe C f représentative de la fonction f exponentielle: Conjecture : 1 Avec la précision possible par lecture graphique, com-pléter le tableau de valeurs de la fonction f : x − 1 ; 4 − 1 − 0 ; 4 0 0 ; 6 1 exp( x ) 2 À l’aide des résultats précédents, donner des approxima-tions des produits suivants : exp( − 1) × exp( − 0 ; 4) exp( − 1) × exp(0 ; 6) exp(0) × exp(1) exp( − 0 ; 4) × exp(1) 3 Quelle conjecture peut-on établir sur le produit exp( a ) · exp( b ) pour tout réel a et b ? Vers la preuve: Nous admettons que la fonction exponentielle est non-nulle sur R et nous n’allons établir qu’un cas particulier de la preuve : Pour tout nombre réel x , on a: exp 1+ x = exp(1) · exp( x ) ( ∗ ) Considérons la fonction g définie sur R par : g ( x ) = exp( x +1) exp( x ) 4 Déterminer l’expression de la fonction g dérivée de la fonction g . 5 En déduire que la forme simplifiée de la fonction g et établir la propriété ( ∗ ) . Prolongement: 6 Établir la propriété ci-dessous pour tout x ∈ R : exp(2+ x ) = exp(2) × exp( x ) 7 Quelle simplification de l’expression exp( n ) × exp( x ) peut-on conjecturer, pour tout entier naturel n et tout nombre réel x ? E.8416 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé, on donne la courbe C f représentative de la fonction f exponentielle: Conjecture : 1 Avec la précision possible par lecture graphique, com-pléter le tableau de valeurs de la fonction f : x − 1 ; 9 − 1 ; 2 − 0 ; 8 − 0 ; 1 0 ; 4 0 ; 7 1 ; 1 exp( x ) 2 À l’aide des résultats précédents, donner les valeurs des produits suivants : exp( − 1 ; 9) × exp(1 ; 1) exp( − 1 ; 2) × exp(0 ; 4) exp( − 0 ; 8) × exp(0 ; 7) exp(0 ; 4) × exp(0 ; 7) 3 Quelle conjecture peut-on établir sur le produit exp( x ) · exp( y ) pour tout réel x et y ? Preuve: On admet que la fonction exponentielle ne s’annule jamais sur R . Pour un nombre réel a quelconque, on considère la fonction g a définie sur R par : g a ( x ) = exp( x + a ) exp( x ) ( ∗ ) 4 Déterminer l’expression de la fonction g dérivée de la fonction g . 5 Établir que pour tout réel x , on a g a ( x )=exp( a ) , puis établir l’identité suivante pour tous réels x et y : exp( x ) × exp( y ) = exp( x + y ) Prolongement: 6 Établir la propriété ci-dessous pour tout x ∈ R : exp(3 · x ) = exp( x ) 3 7 Établir la propriété ci-dessous pour tout x ∈ R : exp x 2 = exp( x ) https://chingmath.fr chapExoCorrec/8414 sacados/8414 -4-3-2-1I23JOCf chapExoCorrec/8416 sacados/8416 -4-3-2-1I23JOCf
E.8415 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé, on donne la courbe C f représentative de la fonction f exponentielle: Conjecture : 1 Avec la précision possible par lecture graphique, com-pléter le tableau de valeurs de la fonction f : x − 0 ; 7 − 0 ; 5 − 0 ; 1 0 0 ; 1 0 ; 5 0 ; 7 exp( x ) 2 À l’aide des résultats précédents, donner les valeurs des produits suivants : exp( − 0 ; 7) × exp(0 ; 7) exp( − 0 ; 5) × exp(0 ; 5) exp( − 0 ; 1) × exp(0 ; 1) exp(0) × exp(0) 3 Conjecturer une relation entre les nombres exp( a ) et exp( − a ) pour tout nombre réel a ? Preuve: Considérons la fonction g définie sur R par : g ( x ) = exp( − x ) × exp( x ) 4 Déterminer l’expression de la fonction g dérivée de la fonction g . 5 En se basant sur la valeur de g (0) , déduire la forme sim-plifiée de la fonction g et établir la conjecture précédente. Justifier également que la fonction exponentielle ne s’annule jamais sur R . Prolongement: 6 Justifier que la fonction exponentielle prend ses valeurs dans R ∗ + . 7. Propriétés algébriques E.3589 Proposition: pour tout x;y ∈ R et pour tout n ∈ Z , on a: exp x + y = exp x × exp y exp x − y = exp x exp y exp n · x = exp x n a exp(3) · exp(5) b exp( − 2) · exp(4) c 1 exp( − 5) d exp(5) 3 E.9737 Simplifier les expressions suivantes : a e 3 − 2 · e 5 b e 6 − e 3 e · e 2 E.3610 Simplifier les expressions suivantes : a e · e 2 x +1 b e 3 − 2 x · e x +5 c e 2 · x − 1 · e 3 − x E.9738 Simplifier les écritures suivantes : a exp(2 x +4) × exp(3 − x ) b exp( x ) 2 exp(3 − 2 x ) E.3590 Proposition: pour tout x;y ∈ R et pour tout n ∈ Z , on a: e x + y = e x × e y e x − y = e x e y e n · x = e x n Simplifier les expressions suivantes : a e 3 · e 4 b e 4 · e − 4 c e 4 3 · e 4 d e 5 · e − 3 e − 2 e e 5 · e 6 f e 6 · e − 2 e − 4 E.9727 Simplifier les écritures suivantes : a e 3 x +1 · e 2 − 2 x b e x − 2 e 3 − x c e − x − e 2 x + 1 e x E.9736 Simplifier les expressions suivantes : a 3 · e 5 x 4 − 2 · e 10 x 2 b e 9 x − 2 · e 3 x 3 E.9726 Simplifier les expressions suivantes : a e 2 · x − 1 2 e 7 · x − 2 b 3 · e − 2 · x + e x + 1 e 2 · x E.3611 Établir les égalités suivantes : a 2 + 3 · e x + e 2 x e 2 x = 2 · e − 2 x + 3 · e − x + 1 b 1 − e x e 2 x = e − 2 x − e − x https://chingmath.fr chapExoCorrec/8415 sacados/8415 -4-3-2-1I23JOCf chapExoCorrec/3589 sacados/3589 chapExoCorrec/9737 sacados/9737 chapExoCorrec/3610 sacados/3610 chapExoCorrec/9738 sacados/9738 chapExoCorrec/3590 sacados/3590 chapExoCorrec/9727 sacados/9727 chapExoCorrec/9736 sacados/9736 chapExoCorrec/9726 sacados/9726 chapExoCorrec/3611 sacados/3611
E.3608 Simplifier les expressions suivantes : a e 5 − e 4 2 − e 5 + e 4 2 b e 2 + e − 2 · e 2 − e − 2 E.9725 Simplifier les expressions suivantes : a e 3 x 2 − e 2 x · e 2 x + e − 2 2 b e 3 x 2 + e − 3 x 2 − e 3 x − e − 3 x 2 E.6873 Recopier les identités ci-dessous en complétant correctement les pointillés: a e x + e − x = e x · : : : + : : : b e x x 2 = e ... : : : 2 c 1 + e − x = : : : + : : : e x d 1 + e x e 2 x = : : : + : : : e e 3 x − e x e 3 x + e 2 x = 1 − : : : 1 + : : : f e 16 x = e ... 2 E.2031 Simplifier l’expressions suivante : e x +e − x 2 2 − e x − e − x 2 2 E.9724 Établir les égalités suivantes : a e 3 x + 2 e 3 x − 1 = 1 + 2 · e − 3 x 1 − e − 3 x b e 3 x − e 2 x e 3 x + e 2 x = e 2 x − 1 e x + 1 2 8. Équations E.8417 Proposition: pour tous nombres réels a et b a = b ⇐⇒ e a =e b Résoudre les équations suivantes : a e 5 x +1 = e 2 x b e 3 x +1 = 1 c e 1 − 3 x e = 1 E.3593 Résoudre les équations suivantes sur R : a exp( x ) = e b exp( − x ) = 1 c exp(2 x − 1) = e d e x − e − x = 0 E.8419 Résoudre les équations : a e x · e 2 x − e 2 = 0 b e 3 x − 1 − 1 e 2 − x − e = 0 c x · e x − x = 0 E.3616 Résoudre les équations suivantes : a e x + e − x = 0 b e 3 x +1 = e − 2 x +3 c e 2 x − 1 = 0 d x · e 2 x − 2 · e 2 x = 0 E.8418 Résoudre les équations suivantes : a e x 2 +1 = e x b e x +1 2 = e x 2 +1 c e x 2 +1 + e x = 0 E.9739 Résoudre les équations suivantes sur R : a e x 2 + x = 1 b e x 2 +5 = e x +2 2 9. Inéquations E.3617 Proposition: la fonction exponentielle est définie sur R et admet pour tableau de variation: Résoudre les inéquations suivantes : a e x < 1 b e − x > 0 c e − x > 1 d e 2 x − 1 0 E.3594 Résoudre les inéquations suivantes sur R : a exp( x ) < e b exp( − x ) 1 E.9740 Proposition: Pour tout nombre réels a et b : e a > e b ⇐⇒ a > b e a < e b ⇐⇒ a <b Remarque: cette propriété vient de la stricte croissante de la fonction f . Résoudre les inéquations suivantes sur R : a e 2 x − 4 1 b e 2 x − 1 < e x https://chingmath.fr chapExoCorrec/3608 sacados/3608 chapExoCorrec/9725 sacados/9725 chapExoCorrec/6873 sacados/6873 fichierPlus/6873/ chapExoCorrec/2031 sacados/2031 chapExoCorrec/9724 sacados/9724 chapExoCorrec/8417 sacados/8417 chapExoCorrec/3593 sacados/3593 chapExoCorrec/8419 sacados/8419 chapExoCorrec/3616 sacados/3616 chapExoCorrec/8418 sacados/8418 chapExoCorrec/9739 sacados/9739 chapExoCorrec/3617 sacados/3617 −∞01∞01e∞xVariationdeexp chapExoCorrec/3594 sacados/3594 chapExoCorrec/9740 sacados/9740
E.9730 Résoudre les inéquations suivantes : a e x − e − x > 0 b x · e − x − 3 · e − x < 0 E.8421 Résoudre les inéquations suivantes : a e x 2 − 3 x +5 < e b e [(3 x +1) 2 ] < 0 E.9731 Résoudre les inéquations suivantes sur R : a e 2 x + 3e x < 4 b e x + e − x < 2 Indication : on identifiera ces inéquations à des inéqua-tions polynomiales de degré 2 . 10. Position relative des courbes E.4233 Soit f et g les fonctions définies sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : f ( x ) = x · e − x ; g ( x ) = x 2 · e − x On note C f et C g les représentations graphiques des fonctions f et g dans le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j . 1 Graphiquement, conjecturer les positions relatives des courbes C f et C g . 2 a Factoriser l’expression f ( x ) − g ( x ) . b En déduire les positions relatives des courbes C f et C g . E.7523 Une entreprise souhaite utiliser un motif décoratif pour sa communication. Pour réaliser ce motif, on modélise sa forme à l’aide de deux fonctions f et g définies pour tout réel x de 0 ; 1 par : f ( x ) = 1 − x · e 3 x ; g ( x ) = x 2 − 2 · x + 1 1 Vérifier que les points A et B de coordonnées respectives (1 ; 0) et (0 ; 1) sont des points communs aux courbes C f et C g . 2 On admet que : pour tout x dans 0 ; 1 : f ( x ) − g ( x ) = 1 − x e 3 x − 1 + x a Justifier que pour tout x dans 0 ; 1 : e 3 · x − 1 0 b En déduire que pour tout x dans 0 ; 1 : e 3 · x − 1 + x 0 c Étudier le signe de f ( x ) − g ( x ) pour tout x dans 0 ; 1 . 11. Dérivées E.9728 Pour chaque fonction, déterminer l’expression de la fonction dérivée : 1 f ( x ) = 2 · e x + x 2 2 g ( x ) = 1 4 · e 3 x +1 + e − 2 x E.8133 On considère la fonction f définie, pour tout nombre réel t positif par : f ( t ) = a · e − t 5 + b où a; b ∈ R On admet que f (0)=1 000 et que f vérifie la relation: f ( t ) + 1 5 · f ( t ) = 4 pour tout t ∈ R Déterminer les valeurs de a et de b , et donner l’expression de la fonction f E.7479 Proposition: soit a et b deux nombres réels et la fonction f définie par : f ( x ) = e ax + b La fonction f , dérivée de f , admet pour expression : f ( x ) = a · e ax + b Pour chaque fonction, déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f : a f ( x ) = e x b f ( x ) = e 2 · x c f ( x ) = e 3 − x 12. Dérivées et étude de fonctions https://chingmath.fr chapExoCorrec/9730 sacados/9730 chapExoCorrec/8421 sacados/8421 chapExoCorrec/9731 sacados/9731 chapExoCorrec/4233 sacados/4233 2345678IJOCfCg chapExoCorrec/7523 sacados/7523 xxyy-0,200,20,40,60,811,2-0,20,20,40,60,811,21,41,61,822,22,42,6CgCf chapExoCorrec/9728 sacados/9728 chapExoCorrec/8133 sacados/8133 chapExoCorrec/7479 sacados/7479
E.9741 On considère la fonction f définie par : f ( x ) = 3 · e 1 − 2 x 1 Déterminer l’expression de la fonction f , dérivée de la fonction f . Puis, en déduire le signe de f sur R . 2 En déduire le sens de variations de la fonction f sur R . E.9742 Pour chacune des deux fonctions ci-dessous définies sur R , déterminer l’expression de leur fonc-tion dérivée ainsi que leur sens de variation sur R : 1 f ( x ) = 3 · e 5 x +1 2 g ( x ) = 2 − 3 · e − x E.9743 Pour chacune des fonctions ci-dessous définies sur R , déterminer l’expression de leur fonc-tion dérivée, puis étudier leur sens de variations sur R : 1 f ( x ) = x − e − x 2 g ( x ) = 6 x + 3 · e − 2 x E.10510 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = e 4 x − 4 − 4 · e · x Déterminer l’expression de leur fonction dérivée, puis étudier leur sens de variations sur R : E.5754 Soit les fonctions f et g définies sur R par les relations : f ( x ) = e 1+ x + e 1 − x 2 g ( x ) = e 1+ x − e 1 − x 2 Dans un repère orthonormé O ; I ; J , on donne les courbes C et C respectivement représentative des fonctions f et g : 1 Établir que, pour tout nombre réel x : f ( x ) − g ( x ) > 0 2 Établir que, pour tout réel x , on a: f ( x ) = g ( x ) ; g ( x ) = f ( x ) 3 Considérons a un nombre réel quelconque : a Justifier que l’équation réduite de la tangente ( T ) à la courbe C au point d’abscisse a a pour expression : y = g ( a ) · x − a + f ( a ) b Justifier que l’équation réduite de la tangente ( T ) à la courbe C au point d’abscisse a a pour expression : y = f ( a ) · x − a + g ( a ) 4 Justifier que les tangentes ( T ) et ( T ) sont sécantes et en déduire l’abscisse du point d’intersection. E.5990 Soit les fonctions f et g définies sur R par les relations : f ( x ) = e 1+ x + e 1 − x 2 g ( x ) = e 1+ x − e 1 − x 2 Dans un repère orthonormé O ; I ; J , on donne les courbes C et C respectivement représenta-tive des fonctions f et g : Partie A : étude de la position relative des deux courbes 1 Démontrer que la courbe C se situe toujours au-dessus de la courbe C . Partie B: étude d’un lieu géométrique Soit a un nombre réel quelconque. On considère : la tangente ( T ) à la courbe C au point d’abscisse a ; la tangente ( T ) à la courbe C au point d’abscisse a ; On admet que les droites ( T ) et ( T ) ne sont jamais parallèles. On note M leur point d’intersections. 2 a Donner l’expression de l’équation réduite de la tan-gente ( T ) en fonction de a . b Donner l’expression de l’équation réduite de la tan-gente ( T ) en fonction de a . 3 Déterminer l’abscisse du point M . 4 a Déterminer les coordonnées du M . b Justifier que le point M appartient à la courbe d’une des fonctions de références qu’on précisera. E.4231 Soit f la fonction définie sur R par : f ( x ) = e x On appelle C f la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j . 1 Soit a un nombre réel. Démontrer que la tangente à la courbe C f au point M d’abscisse a coupe l’axe des ab-scisses au point P d’abscisse a − 1 . 2 Soit N le projeté orthogonal du point M sur l’axe des abscisses. Démontrer que : −−→ NP = −−→ i 13. Dérivées d’un produit E.7480 Proposition: soit f une fonction définie sur un intervalle I par le produit : f ( x ) = u ( x ) × v ( x ) où les fonctions u et v sont définies et dérivables sur I . Alors la fonction f est dérivable sur I et sa fonction dérivée est définie par : f ( x ) = u ( x ) · v ( x ) + u ( x ) · v ( x ) Pour chaque fonction, déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f : a f ( x ) = x · e x b f ( x ) = 1 − 2 · x · e x E.9744 Pour chaque fonction, déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f : a f ( x ) = 3 − x · e x b g ( x ) = x + 1 e x https://chingmath.fr chapExoCorrec/9741 sacados/9741 chapExoCorrec/9742 sacados/9742 chapExoCorrec/9743 sacados/9743 chapExoCorrec/10510 sacados/10510 chapExoCorrec/5754 sacados/5754 chapExoCorrec/5990 sacados/5990 Epreuve pratique - 2009 IJOCCM chapExoCorrec/4231 sacados/4231 chapExoCorrec/7480 sacados/7480 chapExoCorrec/9744 sacados/9744
E.9733 On considère la fonction f définie par : f ( x ) = (2 · x − 1) · e x Donner l’ensemble de définition de la fonction f et l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . Indication : on donnera l’expression de f sous forme fac-torisée. E.7431 On considère une fonction définie et dérivable sur l’intervalle − 3 ; 2 . On note f la fonction dérivée de la fonction f . On donne les informations suivantes sur la fonction f : f (0) = 3 ; f (1) = 0 ; f (0) = 0 ; 5 On admet qu’il existe trois réels a , b , c pour lesquels la fonc-tion f définie ci-dessus est définie, pour tout x de − 3 ; 2 , par : f ( x ) = a · x 2 + b · x + c · e x + 5 . 1 En utilisant une des informations précédentes, justifier que c = − 2 . 2 On admet que la fonction dérivée f est donnée, pour tout réel x de − 3 ; 2 , par : f ( x ) = a · x 2 + 2 · a + b · x − 2 + b · e x En utilisant les informations précédentes, justifier que b =2 ; 5 , puis, que a = − 1 . 14. Dérivées d’un produit et composition linéaire E.3592 Déterminer l’expression des fonc-tions dérivées suivantes : 1 f ( x ) = x + 3 · e − x 2 g ( x ) = x · e 2 · x − 1 E.9745 Déterminer l’expression des fonc-tions dérivées suivantes : 1 h ( x ) = x · e x +1 2 j ( x ) = x 2 + 1 · e 3 x +1 E.7032 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = x + 1 · e − 2 x +3 . Parmi les quatre propositions proposées, laquelle est vraie? La fonction f est dérivable sur R et sa fonction dérivée f est donnée par : a f ( x ) = − 2 · e − 2 x +3 b f ( x ) = e − 2 x +3 c f ( x ) = − 2 x +3 e − 2 x +3 d f ( x ) = − 2 x − 1 e − 2 x +3 E.7522 Soit f une fonction définie sur l’intervalle 0 ; 5 par : f ( x ) = a · x − 2 · e − x où a est un nombre réel. On admet que la fonction f est deux fois dérivable sur l’intervalle 0 ; 5 . On rappelle que f désigne la fonction dérivée de la fonction f et on admet que : f (0) = − 2 ; f (0) = 10 1 Montrer que pour tout réel x de l’intervalle 0 ; 5 , on a: f ( x ) = − a · x + a + 2 · e − x 2 Déduire des questions précédentes que a =8 . 3 Donner l’expression de f ( x ) . 15. Dérivées d’un produit et étude de fonctions E.5571 Soit f la fonction définie et dérivable sur l’ensemble des nombres réels R telle que : f ( x ) = ( x + 1) · e x 1 À l’aide de la calculatrice, conjecturer les limites de f en + ∞ et en −∞ . 2 On note f la fonction dérivée de la fonction f sur R . Démontrer que pour tout réel x : f ( x ) = ( x + 2)e x 3 Dresser le tableau de variations de f sur R . E.9849 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = − 6 · x 2 + 5 · x · e x 1 Établir que la fonction f , dérivée de la fonction f , a pour expression : f ( x ) = − 6 · x 2 − 7 · x + 5 · e x 2 Établir le tableau de signe de la fonction f . 3 Donner les variations de la fonction f sur R . Indications : les valeurs des images et limites aux bornes ne sont pas demandées. https://chingmath.fr chapExoCorrec/9733 sacados/9733 chapExoCorrec/7431 sacados/7431 Extrait Asie Juin 2017 chapExoCorrec/3592 sacados/3592 chapExoCorrec/9745 sacados/9745 chapExoCorrec/7032 sacados/7032 chapExoCorrec/7522 sacados/7522 chapExoCorrec/5571 sacados/5571 Extrait Antilles-Guyanes Juin 2013 chapExoCorrec/9849 sacados/9849
E.9795 Soit f la fonction définie sur R par : f ( x ) = (2 x + 1) · e x . Sur le graphique ci-dessous est tracée la courbe C f représen-tative de la fonction f . 1 Déterminer les coordonnées des éventuels points d’intersection de la courbe C f avec l’axe des abscisses. 2 Montrer que, pour tout x réel, que : f ( x ) = 2 x + 3 e x 3 Dresser le tableau de signes de f ( x ) sur R , puis préciser les variations de f sur R . 4 On considère la droite ( T ) tangente à la courbe C f au point d’abscisse 0 : a Déterminer l’équation réduite de la tangente ( T ) . b Tracer dans le repère ci-dessous la tangente ( T ) . c Justifier graphiquement que, pour tout réel x , on a: 2 x +1 e x 3 x +1 5 On note C g la courbe représentative de la fonction g définie par : g ( x ) = 2 x + 1 e 1 − x Étudier les positions relatives des courbes C f et C g . 16. Dérivées d’un produit, composition linéaire et étude de fonctions E.7524 On admet que la fonction f est définie, pour tout réel x de l’intervalle − 2 ; 4 par : f ( x ) = x + 2 · e − x +1 On note f la fonction dérivée de f . 1 Montrer que, pour tout x de l’intervalle − 2 ; 4 , on a: f ( x ) = − x + 1 · e − x +1 2 Étudier le signe de f ( x ) sur l’intervalle − 2 ; 4 , puis dresser le tableau de variations de f sur cet intervalle. E.7518 On admet que la fonction f est définie par : f ( x ) = x 2 − 2 · x + 1 · e − 2 · x +6 1 Monter que f ( x )= − 2 · x 2 +6 · x − 4 · e − 2 · x +6 , où f désigne la fonction dérivée de la fonction f . 2 Étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle 0 ; 7 ; 6 et dresser le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle 0 ; 7 ; 6 . On ne demande pas de calculer les ordonnées. E.7571 On considère la fonction f définie sur R dont la courbe représentative C f est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé. On suppose que f est de la forme f ( x )= b − x · e a · x où a et b désignent deux constantes. On sait que : Les points A (0 ; 2) et D (2 ; 0) appartiennent à la courbe C f . La tangente à la courbe C f au point A est parallèle à l’axe des abscisses. On note f la fonction dérivée de f , définie sur R . 1 Par lecture graphique, indiquer les valeurs de f (2) et f (0) . 2 Calculer f ( x ) . 3 En utilisant les questions précédentes, montrer que a et b sont solutions du système suivant : b − 2 = 0 a · b − 1 = 0 4 Calculer a et b et donner l’expression de f ( x ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/9795 sacados/9795 -4-3-2-12I-1234JOCfCg chapExoCorrec/7524 sacados/7524 chapExoCorrec/7518 sacados/7518 chapExoCorrec/7571 sacados/7571 x-8-7-6-5-4-3-2-101234y-4-3-2-1123Cf
E.9848 Le graphique ci-dessous représente, dans un repère C f et C g des fonctions f et g définies sur R par : f ( x ) = x 2 · e − x ; g ( x ) = e − x 1 a Déterminer les coordonnées des points d’intersection de C f et C g . b Étudier la position relative des courbes C f et C g . 2 Pour tout nombre réel x de l’intervalle − 1 ; 1 , on con-sidère les points M de coordonnées ( x ; f ( x )) et N de coordonnées ( x ; g ( x )) , et on note d ( x ) la distance MN . On admet que : d ( x )=e − x − x 2 · e − x . On admet que la fonction d est dérivable sur l’intervalle − 1 ; 1 et on note d sa fonction dérivée. a Montrer que : d ( x ) = e − x x 2 − 2 x − 1 b En déduire les variations de la fonction d sur l’intervalle − 1 ; 1 . c Déterminer l’abscisse commune x 0 des points M 0 et N 0 permettant d’obtenir une distance d ( x 0 ) maximale, et donner la valeur de la distance M 0 N 0 , arrondie à 0 ; 1 près. 17. Dérivées d’un quotient E.3612 Proposition: soit f une fonction définie sur un intervalle I par le produit : f ( x ) = u ( x ) v ( x ) où les fonctions u et v sont définies et dérivables sur I . Alors la fonction f est dérivable sur I et sa fonction dérivée est définie par : f ( x ) = u ( x ) · v ( x ) − u ( x ) · v ( x ) v ( x ) 2 Déterminer l’expression des fonctions dérivées de chacune des fonctions suivantes : 1 f ( x ) = 1 1 − e x 2 g ( x ) = e x +1 2 · x + 1 E.8431 Pour chaque ligne, le tableau ci-dessous donne l’expression de la fonction dérivée f de la fonction f : f ( x ) = e x x + 1 f ( x ) = x · e x x + 1 2 f ( x ) = 2 · x + 1 e x f ( x ) = − 2 · x + 1 e x f ( x ) = 3 · e x + 1 e x − 1 f ( x ) = − 4 · e x e x − 1 2 Vérifier la véracité de chacune des expressions f données. 18. Dérivées d’un quotient et composition linéaire E.9732 Déterminer l’expression des fonc-tions dérivées de chacune des fonctions suivantes : 1 h ( x ) = 1 − e − 2 x e x 2 j ( x ) = 1 − e − 2 x 1 + e 2 x E.7478 1 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = 1 0 ; 5 + 100 · e − x On note f la fonction dérivée de f sur R . Montrer que, pour tout réel x appartenant à R , on a: f ( x ) = 400 · e x e x + 200 2 2 On considère la fonction g définie sur R par : g ( x ) = 100 · e − x 0 ; 5 + 100 · e − x On note g la fonction dérivée de g sur R . Montrer que, pour tout réel x appartenant à R , on a: g ( x ) = − 200 · e x e x + 200 2 19. Dérivées d’un quotient et étude de fonctions https://chingmath.fr chapExoCorrec/9848 sacados/9848 Extrait Mars 2021 x-2-1012y2468CfCfMN chapExoCorrec/3612 sacados/3612 chapExoCorrec/8431 sacados/8431 chapExoCorrec/9732 sacados/9732 chapExoCorrec/7478 sacados/7478
E.9734 On considère la fonction f définie sur R ∗ + par : f ( x ) = e x x 1 Montrer que la fonction f , dérivée de la fonction f , ad-met pour expression : f ( x ) = x − 1 · e x x 2 2 a Sur R ∗ + , dresser le tableau de signes de la fonction f . b Sur R ∗ + , en déduire le tableau de variations de la fonc-tion f . Indication : on admet les deux limites: lim x ↦→ 0 + f ( x ) = + ∞ ; lim x ↦→ + ∞ f ( x ) = + ∞ E.10501 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = x − 8 − 4e x e x + 1 1 Établir que la fonction f dérivée de la fonction f s’exprime par : f ( x ) = e x − 1 2 e x + 1 2 2 En déduire les variations de la fonction f . E.3225 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x )= x e x − x On note ( C ) sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère orthogonal O ; −→ i ; −→ j , l’unité graphique est 2 cm sur l’axe des abscisses et 5 cm sur l’axe des ordonnées. Partie A Soit g la fonction définie sur R par : g ( x )=e x − x − 1 . 1 Étudier les variations de la fonction g sur R . En déduire le signe de g . 2 Justifier que pour tout x , (e x − x ) est strictement positif. Partie B 1 a Calculer f ( x ) , f désignant la fonction dérivée de f . b Étudier les sens de variation de f . 2 a Déterminer une équation de la tangente ( T ) à la courbe ( C ) au point d’abscisse 0. b À l’aide de la partie A , étudier la position de la courbe ( C ) par rapport à la droite ( T ) . E.10503 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = 3 x + 1 − 12 · e x e x + 1 1 On note f la fonction dérivée de la fonction f . Montrer que la fonction f admet une expression de la forme : f ( x ) = 3 · g ( x ) 2 où g est une fonction définie sur R . 2 En déduire le sens de variation de la fonction f sur R . E.10504 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = 2 x + 1 − 16 · e x 2 · e x + 1 Déterminer les variations de la fonction f . 20. Dérivées d’un quotient, composition linéaire et étude de fonctions E.10509 On considère la fonction f définie sur R \{− 1 } par : f ( x ) = e 2 x x + 1 1 Établir que : f ( x ) = 2 x + 1 · e 2 x x + 1 2 2 Dresser le tableau de variations de la fonction f . 21. Vers les équations différentielles E.8408 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = e 2 x +3 1 Montrer que, pour tout nombre réel x , on a la relation: 2 · f ( x ) − f ( x ) = 0 2 a Parmi les expressions suivantes d’une fonction g , laquelle vérifie la relation ( ∗ ) : g ( x ) = e 2 x +3 + 4 g ( x ) = e 8 x +12 g ( x ) = 4 · e 2 x +3 g ( x ) = e − 2 x − 3 b Donner l’expression d’une troisième fonction h vérifi-ant la relation ( ∗ ) . E.9735 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = x · e x 1 a Montrer que la fonction f , dérivée de la fonction f , par : f ( x ) = x + 1 · e x b Déterminer l’expression de la fonction f  , dérivée de la fonction f . 2 On considère la fonction g définie par : g = f  − 2 · f + f Justifier que la fonction g est la fonction nulle. https://chingmath.fr chapExoCorrec/9734 sacados/9734 chapExoCorrec/10501 sacados/10501 chapExoCorrec/3225 sacados/3225 chapExoCorrec/10503 sacados/10503 chapExoCorrec/10504 sacados/10504 chapExoCorrec/10509 sacados/10509 chapExoCorrec/8408 sacados/8408 chapExoCorrec/9735 sacados/9735
E.8409 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = x + 1 · e 2 x Montrer que la fonction f vérifie la relation: f  ( x ) − 4 · f ( x ) + 4 · f ( x ) = 0 E.8411 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = − x − 1 · e x Montrer que la fonction f vérifie pour tout nombre réel x : f  ( x ) − 3 · f ( x ) + 2 · f ( x ) = e x 22. Variations et différentiations E.8369 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = e x e x + 1 1 Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . 2 Établir le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle 0 ; 10 . E.8372 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = 2 · e x − 1 e 2 x 1 Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . 2 Établir le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle − 1 ; 10 . E.8370 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = e x e 2 x + 1 1 Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . 2 Établir le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle − 1 ; 10 . E.8371 On considère la fonction f définie sur R ∗ + par la relation: f ( x ) = e 2 x − 2 e x − 1 1 Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . 2 Établir le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle 1 ; 10 . 23. Fonctions exponentielles et suites E.288 Soit a un nombre réel quel-conque. On considère la suite u n définie par : u 0 = a ; u n +1 = e 2 u n − e u n pour tout n ∈ N . On remarquera que cette égalité peut aussi s’écrire: u n +1 = e u n · e u n − 1 . On considère la fonction g définie pour tout réel x par : g ( x ) = e 2 x − e x − x 1 Calculer g ( x ) et prouver que, pour tout réel x : g ( x ) = e x − 1 2 · e x + 1 2 Déterminer les variations de la fonction g et donner la valeur de son minimum. 3 En remarquant que u n +1 − u n = g u n , étudier le sens de variation de la suite u n . 24. Exercices non-classés E.3340 Soit f une fonction définie sur R vérifi-ant la relation: f ( x ) = x pour tout x ∈ R 1 Donner au moins deux fonctions qui vérifient cette rela-tion. 2 On propose le champ de tangentes représenté ci-dessous : https://chingmath.fr chapExoCorrec/8409 sacados/8409 chapExoCorrec/8411 sacados/8411 chapExoCorrec/8369 sacados/8369 chapExoCorrec/8372 sacados/8372 chapExoCorrec/8370 sacados/8370 chapExoCorrec/8371 sacados/8371 chapExoCorrec/288 sacados/288 chapExoCorrec/3340 sacados/3340 -4-3-2-1234I2345JO
a Vérifier que chaque tangente représentée sur la droite d’équation x =2 a pour coefficient directeur 2 . b Vérifier que pour chaque tangente ayant pour origine le point de coordonnée ( x ; y ) , son coefficient directeur est x . 3 On considère maintenant la fonction f qui vérifie les deux conditions suivantes : f (0) = 3 2 ; f ( x ) = x pour tout x ∈ R Tracer la courbe C f représentative de la fonction f . https://chingmath.fr