Première spécialité / Fonctions dérivées 94 exercices corrigés

a
D’autres exercices pour ce chapitre sont disponibles en suivant le lien: https://chingmath.fr/hp-lycee/derivees ChingQuizz : 5 exercices disponibles pour l’evaluation par QCM : 1. Fonction dérivée: relation graphique E.7748 On considère une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle − 4 ; 4 et dont on connait les pro-priétés suivantes : la fonction f admet un maximum en − 2 sur l’intervalle − 3 ; 0 . la fonction f admet un minimum en 3 sur l’intervalle 1 ; 4 . Parmi les quatre courbes représentatives ci-dessous, une seule est la courbe représentative de la fonction f dérivée de la fonction f . E.5020 On considère la fonction f définie et dérivable sur R qui admet dans le repère O ; I ; J la courbe C f pour représentation : Parmi les quatre courbes C 1 , C 2 , C 3 et C 4 présentées ci-dessous, déterminer la courbe représentative de la fonction f , dérivée de la fonction f . Justifier votre choix: https://chingmath.fr https://chingmath.fr/hp-lycee/derivees quizzChap/1205 chapExoCorrec/7748 sacados/7748 x-4-2024y-4-224C1 x-4-2024y-4-224C2 x-4-2024y-4-224C3 x-4-2024y-4-224C4 chapExoCorrec/5020 sacados/5020 -8-6-4-22468I-4-22JOCf -6-4-2246I-4-22JOC1 -6-4-2246I-4-22JOC2 -6-4-2246I24JOC3 -6-4-2246I24JOC4
E.5731 On considère la fonction f définie sur R dont la courbe représentative C est donnée ci-dessous dans un repère orthonormé : La courbe C f admet deux tangentes horizontales aux points A et C d’abscisses respectives − 7 et 1 2 ; La courbe C f intercepte l’axe des abscisses aux points B et D de coordonnées respectives ( − 1 ; 0) et (3 ; 0) . 1 On considère la fonction g qui admet pour dérivée la fonction f ( g = f ) . Dresser le tableau de variations de la fonction g . 2 On considère la fonction h qui est la dérivée de la fonc-tion f ( f = h ) . Dresser le tableau de signes de la fonction h . E.2926 On considère les six fonctions f , g , h , j , k , l définies sur [ − 4 ; 4] dont les courbes représentatives sont données ci-dessous : Associer à trois de ces fonctions leurs trois dérivées respec-tives. 2. Dérivés de produits: fonction polynôme E.7511 On considère les deux fonctions u et v définies sur R par les relations : u ( x ) = 3 · x − 2 ; v ( x ) = 2 − x On définit la fonction f définie par la relation f = u · v . Déterminer les images ci-dessous par la fonction f : a f (1) b f (3) c f − 1 3 E.105 Proposition: pour deux fonctions u et v définies et dériv-ables sur un intervalle I , la fonction produit u · v admet pour dérivée la fonction notée u · v définie pour tout x ∈ I par : u · v ( x ) = u ( x ) · v ( x ) + u ( x ) · v ( x ) 1 Compléter le tableau ci-dessous, où la fonction u (resp. v ) est la fonction dérivée de la fonction u (resp. v ) : u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x ) 3 · x 2 +3 · x 2 · x + 2 x 8 3 − x 2 Pour chacune des lignes du tableau, montrer que la fonc-tion f admet la fonction f pour fonction dérivée : f ( x ) f ( x ) (3 · x 2 + 3 · x )(2 · x + 2) 18 · x 2 + 24 · x + 6 x 8 · 3 − x x 7 · 24 − 9 · x https://chingmath.fr chapExoCorrec/5731 sacados/5731 xxyy-12-10-8-6-4-202468-4-224CfACBD chapExoCorrec/2926 sacados/2926 -4-3-2-1234I-2-123JOCf -4-3-2-1234I-2-123JOCg -4-3-2-1234I-2-123JOCh -4-3-2-1234I-2-123JOCj -4-3-2-1234I-2-123JOCk -4-3-2-1234I-2-123JOC‘ chapExoCorrec/7511 sacados/7511 chapExoCorrec/105 sacados/105
E.4686 1 Pour chacune des fonctions u (resp. v ) , donner l’expression de sa fonction dérivée u (resp v ) : u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x ) 3 · x 2 − 2 8 − x 2 Déterminer l’expression de la fonction dérivée f de la fonction f définie par : f : x ↦−→ 3 · x 2 − 2 8 − x E.4689 Déterminer, pour chaque fonction, l’expression de sa fonction dérivée : 1 f : x ↦−→ ( x 2 − 3 · x + 1)(1 − 2 · x ) 2 g : x ↦−→ ( − x 3 + 2 · x + 3) · ( x 2 + 1) E.7085 Déterminer l’expression des dérivées des fonctions suivantes : 1 f : x ↦−→ x 5 · x 2 − 1 2 g : x ↦−→ 2 · x 2 − 5 x +1 1 − x 2 3. Dérivés de produits: fonction inverse E.10466 Proposition: pour deux fonctions u et v définies sur un intervalle I , la fonction produit u · v admet pour dérivée la fonction notée u · v définie pour tout x ∈ I par : u · v ( x ) = u ( x ) · v ( x ) + u ( x ) · v ( x ) 1 Compléter le tableau ci-dessous, où la fonction u (resp. v ) est la fonction dérivée de la fonction u (resp. v ) : u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x ) 1 x x 5 + 1 1 x 3 − x 2 2 Pour chacune des lignes du tableau, montrer que la fonc-tion f admet la fonction f pour fonction dérivée : f ( x ) f ( x ) 1 x · ( x 5 + 1) 4 x 5 − 1 x 2 1 x · (3 − x 2 ) − x 2 − 3 x 2 E.7736 On considère les deux fonctions f et g définies sur R ∗ dont les expressions sont données dans le tableau ci-dessous. Établir les expressions de leurs fonctions dérivées données dans le tableau : f ( x ) = x 2 − 1 · 1 x f ( x ) = x 2 + 1 x 2 g ( x ) = 2 − 3 · x 2 · 1 x g ( x ) = − 3 · x 2 − 2 x 2 E.10463 1 Pour chacune des fonctions u (resp. v ) , donner l’expression de sa fonction dérivée u (resp. v ) : u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x ) 1 x x 2 − 1 5 · x + 2 x 3 − 2 · x 3 2 Pour chacune des fonctions ci-dessous, déterminer l’expression de sa fonction dérivée : a f : x ↦−→ 1 x · x 2 − 1 c g : x ↦−→ 5 · x + 2 x 3 − 2 · x 3 E.5226 Déterminer l’expression des dérivées des fonctions suivantes : 1 f : x ↦−→ 3 − x · 1 x 2 g : x ↦−→ x · x + 1 x On donnera l’expression des fonctions dérivées sous la forme d’un quotient simplifié . 4. Dérivés de produits: fonction racine carrée E.10465 Proposition: pour deux fonctions u et v définies sur un intervalle I , la fonction produit u · v admet pour dérivée la fonction notée u · v définie pour tout x ∈ I par : u · v ( x ) = u ( x ) · v ( x ) + u ( x ) · v ( x ) 1 Compléter le tableau ci-dessous, où la fonction u (resp. v ) est la fonction dérivée de la fonction u (resp. v ) : u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x ) 2 · x 2 +1 x 2 x x 2 Pour chacune des lignes du tableau, montrer que la fonc-tion f admet la fonction f pour fonction dérivée : https://chingmath.fr chapExoCorrec/4686 sacados/4686 chapExoCorrec/4689 sacados/4689 chapExoCorrec/7085 sacados/7085 chapExoCorrec/10466 sacados/10466 chapExoCorrec/7736 sacados/7736 chapExoCorrec/10463 sacados/10463 chapExoCorrec/5226 sacados/5226 chapExoCorrec/10465 sacados/10465
f ( x ) f ( x ) (2 · x 2 + 1) x 10 · x 2 + 1 2 x 2 x · x − 1 x · x E.10464 1 Pour chacune des fonctions u (resp. v ) , donner l’expression de sa fonction dérivée u (resp. v ) : u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x ) x x x 2 + 1 x 2 Pour chacune des fonctions ci-dessous, déterminer l’expression de sa fonction dérivée : a f : x ↦−→ x · √ x b g : x ↦−→ x 2 + 1 · √ x E.10462 Déterminer l’expression de la fonc-tion dérivée de la fonction g définie ci-dessous : g : x ↦−→ x 2 − 3 · x On donnera l’expression de la fonction dérivée g sous la forme d’un quotient simplifié . 5. Produits: fonctions dérivées vers tangentes E.4715 On considère la fonction f définie par la relation est : f ( x ) = x · 1 2 · x 2 − 4 x + 6 Dans le plan muni d’un repère orthonormé O ; I ; J , on note C f la courbe représentative de la fonction f : 1 a Effectuer le tracé de la droite ( d ) dont l’équation est : y = − 1 2 · x − 2 b Effectuer le tracé de la droite (Δ) dont l’équation est : y = − 7 4 · x + 17 4 2 a Déterminer l’expression de la fonction dérivée de la fonction f . b Donner les valeurs des nombres dérivées de la fonction f en 1 et 4 . 6. Produits: tangentes E.7719 On considère la fonction f définie sur R ∗ par : f ( x ) = 1 x · x + 1 x 1 Établir que la fonction f dérivée de la fonction f admet pour expression : f ( x )= − 2 x 3 2 On donne la courbe C f représentative de la fonction f dans un repère O ; I ; J : https://chingmath.fr chapExoCorrec/10464 sacados/10464 chapExoCorrec/10462 sacados/10462 chapExoCorrec/4715 sacados/4715 23456I-4-3-2-1234JO chapExoCorrec/7719 sacados/7719 -4-3-2-1234I234JOCf
a Donner la valeur des nombres f (2) et f (2) . b En déduire l’équation réduite de la tangente ( T ) à la courbe C f au point d’abscisse 2 . c Tracer la tangente ( T ) dans le repère ci-dessus. E.8193 On considère la fonction f définie sur R + par la relation: f ( x ) = (2 · x − 3) · x La courbe C f représentative de la fonction f est donnée dans le repère O ; I ; J orthonormé : 1 Établir que la fonction f , dérivée de la fonction f , admet pour expression : f ( x ) = 6 x − 3 2 x 2 a Déterminer l’équation réduite de la tangente ( T ) à la courbe C f au point d’abscisse 1 . b Tracer dans le repère ci-dessus la tangente ( T ) . E.10643 On considère la fonction f définie sur R + par : f ( x ) = 3 − x · x 1 Établir que : f (9) = − 4 2 On note C f la courbe représentative de la fonction f dans un repère. En déduire l’équation réduite de la tangente à la courbe C f au point d’abscisse 9 . E.10642 On considère la fonction f définie sur R + par : f ( x ) = 2 x + 2 · x 1 Établir que : f (4) = 13 2 2 On note C f la courbe représentative de la fonction f dans un repère. En déduire l’équation réduite de la tangente à la courbe C f au point d’abscisse 4 . E.5227 On considère la fonction f définie sur R + par la relation: f ( x ) = ( x − 4) · x La courbe C f représentative de la fonction f est donnée dans le repère O ; I ; J orthonormé : 1 Déterminer l’équation réduite de la tangente ( T 1 ) à la courbe C f au point d’abscisse 4 . Tracer la tangente ( T 1 ) dans le repère. 2 Déterminer l’équation réduite de la tangente ( T 2 ) à la courbe C f au point d’abscisse 1 . Tracer la tangente ( T 2 ) dans le repère. E.10644 On considère la fonction f définie sur R + par : f ( x ) = 4 − x · x 1 Établir que : f (8) = − 5 · 2 2 2 On note C f la courbe représentative de la fonction f dans un repère. En déduire l’équation réduite de la tangente à la courbe C f au point d’abscisse 8 . 7. Produits: variations E.2668 On considère la fonction f définie sur R + par l’expression : f ( x ) = 5 x 2 + 5 x − 4 · x 1 Établir que la fonction f , dérivée de la fonction f , admet pour expression : f ( x ) = 25 · x 2 + 15 · x − 4 2 · x 2 Dresser le tableau de signes de la fonction f sur R ∗ + . 3 En admettant les deux limites suivantes : lim x ↦→ 0 + f ( x ) = 0 ; lim x ↦→ + ∞ f ( x ) = + ∞ Dresser le tableau de variations de la fonction f . https://chingmath.fr chapExoCorrec/8193 sacados/8193 234I-2-12JOCf chapExoCorrec/10643 sacados/10643 chapExoCorrec/10642 sacados/10642 chapExoCorrec/5227 sacados/5227 23456I-3-2-12JOCf chapExoCorrec/10644 sacados/10644 chapExoCorrec/2668 sacados/2668
E.2842 On considère la fonction f définie sur R + par l’expression : f : x ↦−→ x · − 5 x 2 − 5 x − 1 + 1 2 1 Déterminer l’expression de la fonction dérivée f de f . 2 Dresser le tableau de variations complet de la fonction f . On admet la limite suivante : lim x ↦→ + ∞ f ( x ) = −∞ 3 a Justifier que la fonction f s’annule une seule fois sur son ensemble de définition. On notera ¸ cette valeur. b Déterminer les images de 1 10 et 15 100 par la fonction f , arrondies au dix-millièmes près. En déduire un encadrement de ¸ au dixième près. 8. Produits: tangentes et variations E.10520 On considère la fonction f définie sur R ∗ + par : f ( x ) = x 2 − x · x 1 Établir que la fonction f , dérivée de la fonction f , admet pour expression : f ( x ) = 5 · x 2 − 3 x 2 · x 2 Dans le repère O ; I ; J , on note C f la courbe représen-tative de la fonction f . Déterminer l’équation réduite de la tangente ( T ) à la courbe C f au point d’abscisse 1 . 3 a Dresser le tableau de signes de la fonction f . b Étudier les variations de la fonction f sur R ∗ + . E.10521 On considère la fonction f définie sur R ∗ + par : f ( x ) = 3 · x 2 − 5 · x · x 1 Établir que la fonction f , dérivée de la fonction f , admet pour expression : f ( x ) = 15 x · x − 1 2 · x 2 Dans le repère O ; I ; J , on note C f la courbe représen-tative de la fonction f . Déterminer l’équation réduite de la tangente ( T ) à la courbe C f au point d’abscisse 1 . 3 Étudier les variations de la fonction f sur R ∗ + . 9. Quotients: dérivée de fonctions rationnelles E.10461 On considère les deux fonctions u et v définies sur R par les relations : u ( x ) = 3 · x − 2 ; v ( x ) = 2 − x On définit la fonction g définie par la relation g = u v . Déterminer, si possible, les images ci-dessous par la fonction g : a g (0) b g (2) c g − 1 4 E.4688 Proposition: Soit u et v deux fonctions définies sur un intervalle I telles que v ne s’annule pas sur v . On considère la fonction f définie sur I par : f ( x ) = u ( x ) v ( x ) La fonction f admet pour fonction dérivée la fonction f définit par : f ( x ) = u ( x ) · v ( x ) − u ( x ) · v ( x ) v ( x ) 2 1 Pour chaque ligne, donner l’expression de la fonction u (resp. v ) dérivée de la fonction u (resp. u ) : u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x ) 5 · x + 2 3 · x − 2 x 2 − 3 x + 1 2 Pour chacune des fonctions f ci-dessous, on établira l’expression proposée de sa fonction dérivée f : f ( x ) f ( x ) 5 · x + 2 3 · x − 2 − 16 (3 · x − 2) 2 x 2 − 3 x + 1 x 2 + 2 · x + 3 ( x + 1) 2 https://chingmath.fr chapExoCorrec/2842 sacados/2842 chapExoCorrec/10520 sacados/10520 chapExoCorrec/10521 sacados/10521 chapExoCorrec/10461 sacados/10461 chapExoCorrec/4688 sacados/4688
E.5225 1 Pour chaque ligne, donner l’expression de la fonction u (resp. v ) dérivée de la fonction u (resp. u ) : u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x ) 3 − 2 x x + 1 x 2 2 x + 1 2 Pour chacune des lignes ci-dessous, établir l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f : f ( x ) f ( x ) 3 − 2 · x x + 1 − 5 ( x + 1) 2 x 2 2 · x + 1 2 · x 2 + 2 · x 2 · x + 1 2 E.4691 On considère la fonction f définie par : f ( x )= 3 · x +1 2 · x − 1 Établir l’égalité suivante : f ( x )= − 5 (2 · x − 1) 2 E.8398 On considère la fonction f définie par : f ( x ) = 3 2 − x Déterminer l’expression de la fonction f , dérivée de la fonc-tion f . E.8393 Déterminer l’expression des fonc-tions dérivées associées à chacun des fonctions suivantes : 1 f ( x ) = 1 x 5 + 1 2 g ( x ) = 5 · x − 2 3 · x + 1 E.10468 On considère la fonction f définie par : f ( x ) = 4 x 2 − 2 x + 3 Établir que la fonction f , dérivée de la fonction f , admet pour expression : f ( x ) = − 8 x + 8 ( x 2 − 2 x + 3) 2 E.10491 On considère la fonction f définie par : f ( x ) = x 2 − 3 x + 1 2 · x + 1 Déterminer l’expression de la fonction f , dérivée de la fonc-tion f . E.10490 On considère la fonction f définie par : f ( x ) = x 2 + 4 · x − 1 2 · x − 1 Montrer que la fonction f , dérivée de la fonction f , admet pour expression : f ( x ) = 2 · x 2 − 2 · x − 2 (2 · x − 1) 2 E.10493 On considère la fonction f est définie par : f ( x ) = 2 · x − 1 x 2 + x Montrer que la fonction f , dérivée de la fonction f , admet pour expression : f ( x ) = − 2 · x 2 − 2 · x − 1 x 2 · ( x + 1) 2 E.7106 On considère la fonction f définie par : f : x ↦−→ x 2 − 3 x 2 x − 4 Déterminer la dérivé de la fonction f . E.7108 On considère la fonction f définie par la relation: f ( x ) = 5 · x − 2 · x 2 + x − 2 4 · x − 3 On note f la dérivée de la fonction f . Déterminer les solu-tions de l’équation: f ( x ) = 0 E.10467 On considère la fonction f définie par : f ( x ) = x 2 + x + 1 2 · x 2 − 1 Établir que la fonction f , dérivée de la fonction f , admet pour expression : f ( x ) = − 2 · x 2 − 6 · x − 1 (2 · x 2 − 1) 2 E.10489 On considère la fonction g définie par : g ( x )= 5 · x − x 2 3 − x 2 Établir l’égalité suivante : g ( x )= 5 · x 2 − 6 · x +15 3 − x 2 2 E.10494 On considère la fonction f définie par : f ( x )= 4 · x 2 + x − 3 3 · x 2 +2 · x − 1 Montrer que la fonction f , dérivée de la fonction f admet pour expression : f ( x ) = 5 3 · x − 1 2 E.8397 On considère la fonction f définie par : f ( x )= 2 x 2 − 2 2 x 2 − 3 x +1 Établir que la fonction f dérivée de la fonction f a pour expression : f ( x )= − 6 2 x − 1 2 E.10492 On considère la fonction f définie par : f ( x ) = 4 · x 2 + x 3 · x 2 − x Montrer que la fonction f , dérivée de la fonction f , admet pour expression : f ( x ) = − 7 3 · x − 1 2 https://chingmath.fr chapExoCorrec/5225 sacados/5225 chapExoCorrec/4691 sacados/4691 chapExoCorrec/8398 sacados/8398 chapExoCorrec/8393 sacados/8393 chapExoCorrec/10468 sacados/10468 chapExoCorrec/10491 sacados/10491 chapExoCorrec/10490 sacados/10490 chapExoCorrec/10493 sacados/10493 chapExoCorrec/7106 sacados/7106 chapExoCorrec/7108 sacados/7108 chapExoCorrec/10467 sacados/10467 chapExoCorrec/10489 sacados/10489 chapExoCorrec/10494 sacados/10494 chapExoCorrec/8397 sacados/8397 chapExoCorrec/10492 sacados/10492
E.11404 On considère la fonction g définie par : g : x ↦−→ − 2 · x 2 + x − 3 4 · x 2 + 3 · x Déterminer l’expression de la dérivé de la fonction g . E.4828 On considère la fonction h dont l’image de x est défini par la relation: h ( x ) = x 2 − 2 · x + 1 x 2 − 5 · x + 6 1 Déterminer l’ensemble de définition de la fonction h . 2 Montrer que le nombre dérivé de h en x s’exprime par : h ( x ) = − 3 · x 2 + 10 · x − 7 ( x 2 − 5 · x + 6) 2 10. Quotients: fonctions dérivées et racines carrées E.2320 Le tableau ci-dessous vous présente, pour chaque ligne, l’expression de l’image de x par une fonc-tion et l’expression du nombre dérivé en x de cette fonction. Vérifier l’exactitude de l’expression du nombre dérivé en x : Fonction Image de x Nombre dérivé en x f x x + 1 − x + 1 2 x · ( x + 1) 2 g ( x 2 − 3) · x 5 · x 2 − 3 2 · x E.5349 On considère les deux fonctions f et g définies par les relations : f ( x ) = x 2 − 3 · x · √ x ; g ( x ) = x + 1 x Déterminer les expressions des fonctions dérivées f et g sous la forme de quotients simplifiés. 11. Quotients: fonctions dérivées et tangentes E.4717 On considère la fonction f définie par la relation est : f ( x ) = 4 · x + 2 2 · x 2 + x + 1 Dans le plan muni d’un repère orthonormé O ; I ; J , on note C f la courbe représentative de la fonction f : 1 a Effectuer le tracé de la droite ( d 1 ) dont l’équation est : y = 1 2 · x − 1 2 b Effectuer le tracé de la droite ( d 2 ) dont l’équation est : y = 2 · x + 2 c Effectuer le tracé de la droite ( d 3 ) dont l’équation est : y = − x + 5 2 2 a Déterminer l’expression de la fonction dérivée de la fonction f . b Donner les valeurs des nombres dérivées de la fonction f en − 1 , 0 et 1 2 . 12. Quotients: tangentes E.4830 On considère la fonction f définie sur − 1 ; + ∞ et dont l’image d’un nombre x est définie par la relation: f ( x ) = 3 x − 2 x + 1 https://chingmath.fr chapExoCorrec/11404 sacados/11404 chapExoCorrec/4828 sacados/4828 chapExoCorrec/2320 sacados/2320 chapExoCorrec/5349 sacados/5349 chapExoCorrec/4717 sacados/4717 -4-3-2-1234I-2-1234JO chapExoCorrec/4830 sacados/4830
Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère la courbe C f représentative de la fonction f : On note ( d ) la tangente à la courbe C f au point d’abscisse 1 . 1 Déterminer l’équation réduite de la droite ( d ) . 2 Tracer la tangente ( d ) dans le repère O ; I ; J . E.4699 On considère la fonction f définie sur R dont l’image de x est définie par la relation: f ( x ) = − 16 4 · x 2 + 7 1 Établir que la fonction f admet pour dérivée la fonction f dont l’expression est : f ( x ) = 128 · x 4 · x 2 + 7 2 2 Déterminer l’équation de la tangente ( T ) à la courbe C f au point d’abscisse − 1 2 . 3 Dans, le repère orthonormé O ; I ; J , est représentée la courbe représentative C f de la fonction f . Tracer la représentation graphique de ( T ) . E.7218 On considère la fonction f définie sur R dont l’image de x est définie par la relation: f ( x ) = − 16 4 · x 2 + 7 1 Déterminer l’équation de la tangente à C f au point d’abscisse − 1 2 . 2 Le repère orthonormé O ; I ; J ci-dessous représente la courbe représentative C f de la fonction f . Tracer la représentation graphique de ( T ) . E.6665 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = 2 · x + 3 x 2 + 4 On note C f la courbe représentative de la fonction f dans un repère O ; I ; J . Ci-dessous est représentée une partie de la courbe C f . 1 Déterminer l’équation réduite de la tangente ( T ) à la courbe C f au point d’abscisse 0 et effectuer son tracé dans le repère ci-dessus. (on indiquera les coordonnées des deux points utilisés pour le tracé de la tangente) . 2 Déterminer le ou les abscisses des points de la courbe C f où celle-ci admet une tangente horizontale. E.4719 On munit le plan d’un repère O ; I ; J et on considère la fonction h définie par : h ( x ) = 3 · x 2 − x + 2 x + 1 On note C h sa courbe représentative dans le plan. 1 Déterminer l’équation de la tangente (Δ) à la courbe C h au point d’abscisse 2 . 2 Vérifier vos résultats à l’aide de la calculatrice https://chingmath.fr -123456I-2-123JOCf chapExoCorrec/4699 sacados/4699 -3-2-123I-3-2-1JOCf chapExoCorrec/7218 sacados/7218 -3-2-123I-3-2-1JO chapExoCorrec/6665 sacados/6665 -2-12IJOCf chapExoCorrec/4719 sacados/4719
E.4883 On considère la fonction f définie sur − 1 ; + ∞ dont l’expression est donnée par la relation: f ( x ) = x 2 + x + 1 x + 1 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé, on con-sidère la courbe C f représentative de la fonction f : 1 Établir que la fonction f dérivée de la fonction f a pour expression : f ( x ) = x 2 + 2 · x ( x + 1) 2 2 On considère les droites ( d ) et (Δ) tangentes à la courbe C f aux points d’abscisses respectives − 1 2 et 1 . a Déterminer les équations réduites des tangentes ( d ) et (Δ) . b Tracer les droites ( d ) et (Δ) . E.7734 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = − 4 · x − 2 x 2 + 2 On note C f la courbe représentative de la fonction f dans un repère O ; I ; J . Ci-dessous est représentée une partie de la courbe C f . 1 Donner les coordonnées du point A de la courbe C f ayant pour abscisse 0 . 2 a Établir que la fonction f , dérivée de la fonction f , admet pour expression : f ( x ) = 4 · x 2 + 4 · x − 8 x 2 + 2 2 b Déterminer l’équation réduite de la tangente ( T ) à la courbe C f au point d’abscisse 0 . c Effectuer le tracé de la tangente ( T ) dans le repère ci-dessus. (on indiquera les deux points utilisés pour le tracé de la tangente) . 3 Déterminer le ou les abscisses des points de la courbe C f où celle-ci admet une tangente horizontale. E.2827 On considère les deux fonctions f et g définies par : f : x ↦−→ 2 x 2 − 5 x + 2 ; g : x ↦−→ 3 x − 2 1 − 2 x Dans un repère O ; I ; J , on note C f et C g les courbes représentatives respectivement des fonctions f et g , et la droite ( T ) d’équation réduite : y = − x Montrer que la droite ( T ) est une tangente pour la courbe C f et la courbe C g . (on donnera les abscisses des points de contact de ( T ) avec chacune de ces deux courbes) E.2839 On considère la fonction f dont l’image de x est définie par la relation: f ( x ) = − 2 · x 2 + x + 1 4 · x − 1 1 Établir que la fonction f dérivée de la fonction f a pour expression : f : x ↦−→ − 8 · x 2 − 4 · x + 5 (4 · x − 1) 2 2 a La courbe C f admet-elle des tangentes dont le coef-ficient directeur soit − 1 ? b Si oui, déterminer leurs équations réduites. 13. Quotients: tangentes et points d’intersection E.2395 On considère la fonction f définie sur R dont l’image de x est définie par la relation: f ( x ) = − 16 4 x 2 + 7 1 a Déterminer l’équation de la tangente ( T ) à C f au point d’abscisse − 1 2 . b La courbe représentative C f de la fonction f est tracée ci-dessous dans le repère orthonormé ( O ; I ; J ) . Tracer la représentation graphique de ( T ) . 2 a Établir la factorisation suivante : 8 x 3 + 20 x 2 + 14 x + 3 = (2 x + 1) 2 · (2 x + 3) b Étudier la position relative de la droite ( T ) et de la courbe C f . https://chingmath.fr chapExoCorrec/4883 sacados/4883 -3-2-1234I234JOCf chapExoCorrec/7734 sacados/7734 -4-3-2-1234I-2-1JOCf chapExoCorrec/2827 sacados/2827 chapExoCorrec/2839 sacados/2839 chapExoCorrec/2395 sacados/2395 fichierPlus/2395/
E.6617 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = 1 x 2 + 2 · x + 2 La courbe C f représentative de la fonction f est donnée dans le repère O ; I ; J orthonormé ci-dessous : Soit (Δ) la tangente à la courbe C f au point d’abscisse 0 . 1 a Établir que la fonction dérivée de la fonction f ad-met pour expression : f ( x ) = − 2 · x − 2 x 2 + 2 · x + 2 2 b Établir que l’équation réduite de la droite (Δ) admet pour expression : y = − 1 2 · x + 1 2 . 2 Étudier la position relative de la courbe C f et de la droite (Δ) . E.4709 On considère la fonction f définie par la relation: f ( x ) = 3 · x + 1 x 2 + 3 Dans le plan muni d’un repère orthonormé O ; I ; J , on donne la courbe C f représentative de la fonction f : 1 Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . 2 a Déterminer le nombre dérivé de la fonction f en 1 . b En déduire l’équation de la tangente ( d ) à la courbe C f au point d’abscisse 1 . c Effectuer le tracé de la droite ( d ) . 3 a Déterminer la valeur des réels a , b et c réalisant l’identité suivante : x 3 + 3 · x 2 − 9 · x + 5 = ( x − 1)( a · x 2 + b · x + c ) b En déduire la forme factorisée du polynôme: x 3 + 3 · x 2 − 9 · x + 5 . c En déduire l’ensemble des solutions de l’équation: f ( x ) = 1 4 · x + 3 4 4 Donner l’ensemble des coordonnées des points d’intersection de la courbe C f et de la tangente ( d ) . E.4708 On considère la fonction f définie par la relation: f ( x ) = x − 1 x 2 + 1 Dans le plan muni d’un repère orthonormé O ; I ; J , on donne la courbe C f représentative de la fonction f : 1 Montrer que la fonction f dérivée de la fonction f admet pour expression : f ( x ) = − x 2 + 2 x + 1 x 2 + 1 2 . 2 a Déterminer le nombre dérivé de la fonction f en 1 . b En déduire l’équation de la tangente ( d ) à la courbe C f au point d’abscisse 1 . c Effectuer le tracé de la droite ( d ) . 3 a Déterminer la valeur des réels a , b et c réalisant l’identité suivante : x 3 − x 2 − x + 1 = ( x − 1)( a · x 2 + b · x + c ) b Déterminer la forme factorisée du polynôme: x 3 − x 2 − x + 1 c En déduire l’ensemble des solutions de l’équation: f ( x ) = 1 2 · x − 1 2 4 Donner l’ensemble des coordonnées des points d’intersection de la courbe C f et de la tangente ( d ) . 14. Quotients: variations https://chingmath.fr -3-2-123I-3-2-1JO chapExoCorrec/6617 sacados/6617 IJOCf chapExoCorrec/4709 sacados/4709 -5-4-3-2-123I-12JO chapExoCorrec/4708 sacados/4708 -4-3-2-1234I-2-12JO
E.10522 On considère la fonction f définie pour tout x ∈ R par : f ( x ) = 2 − 3 · x 4 · x 2 + 1 1 Déterminer l’expression de la fonction f , dérivée de la fonction f . 2 a Dresser le tableau de signes de la fonction f . b En déduire les variations de la fonction f sur R . E.7296 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = 4 − 3 · x x 2 + 1 À l’aide d’un logiciel de calcul formel, on obtient les résultats ci-dessous qui pourront être utilisés sans être démontrés : L1 f(x):=(4-3*x)/(x^2+1) f ( x ) = 4 − 3 x x 2 + 1 L2 g(x):=Dérivée f(x) g ( x ) = 3 x 2 − 8 x − 3 x 2 + 1 2 L3 Résoudre f(x)=0 x = 4 3 L4 Résoudre g(x)=0 x = − 1 3 ; x =3 1 Dresser le tableau de signes de la fonction f . 2 Donner l’ensemble des solutions de l’inéquation f ( x ) > 0 . E.5278 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = 3 x − 4 x 2 + 1 1 a Déterminer l’expression de la fonction dérivée f . b Dresser le tableau de signes de la fonction f . 2 Dresser le tableau de variations de la fonction f . On admettra les deux limites suivantes : lim x ↦→−∞ f ( x ) = 0 ; lim x ↦→ + ∞ f ( x ) = 0 3 La fonction f admet-elle des extrémums? Si oui, préciser leurs caractéristiques. E.2964 On considère la fonction f définie par la relation: f ( x ) = 3 x 2 − 2 x − 2 2 x 2 + x + 1 1 Justifier que la fonction f est définie sur R . 2 a Établir que la fonction dérivée f admet l’expression suivante : f ( x ) = 7 x 2 + 14 x 2 x 2 + x + 1 2 b Dresser le tableau de variations de la fonction f . On admet les deux limites suivantes : lim x ↦→−∞ f ( x ) = 3 2 ; lim x ↦→ + ∞ f ( x ) = 3 2 3 En déduire que la fonction f admet pour minorant le nombre − 2 et pour majorant le nombre 2 . E.10646 On considère la fonction f , définie sur R \ − 1 3 , par : f ( x ) = 3 3 x + 1 + x + 1 . On note f la fonction dérivée de la fonction f . 1 Établir que pour tout x ∈ R \ − 1 3 : f ( x ) = 3 x − 2 3 x + 4 3 x + 1 2 2 a Établir le tableau de signes de la fonction f . b Dresser le tableau de variations de la fonction f . (Indication : on n’indiquera pas les valeurs de ses extré-mums, ni aux bornes de son ensemble de définition) . E.2326 On considère la fonction f dont l’image de x est définie par la relation: f ( x ) = x 2 − x + 3 2 x 2 − 2 x + 3 1 Montrer que le dénominateur ne s’annule jamais. Ainsi, la fonction f est définie sur l’ensemble des nombres réels R . 2 Établir que la fonction dérivée f de la fonction f admet pour expression : f ( x ) = − 6 x + 3 2 x 2 − 2 x + 3 2 3 a Dresser le tableau de signes de f sur R . b Dresser le tableau de variations de la fonction f . On admettra les deux limites suivantes : lim x ↦→−∞ f ( x ) = 1 2 ; lim x ↦→ + ∞ f ( x ) = 1 2 4 En déduire les extrémums de la fonction f . E.6666 On considère la fonction f dont l’image d’un nombre x est définie par la relation: f ( x ) = − x 2 − 3 · x + 1 x − 1 1 Justifier que la fonction f admet le tableau de variations : (on n’indiquera pas les images dans le tableau) 2 Dans un repère O ; I ; J , on note C f la courbe représen-tative de la fonction f et ( T ) la tangente à la courbe C f au point d’abscisse 0 . Déterminer la position relative des courbes C et ( T ) sur R \{ 1 } . https://chingmath.fr chapExoCorrec/10522 sacados/10522 chapExoCorrec/7296 sacados/7296 chapExoCorrec/5278 sacados/5278 chapExoCorrec/2964 sacados/2964 chapExoCorrec/10646 sacados/10646 chapExoCorrec/2326 sacados/2326 chapExoCorrec/6666 sacados/6666 -∞1−√31√3∞Variationdefx
E.5347 On considère la fonction f dont l’image d’un nombre x est définie par la relation: f ( x ) = 5 · x + 2 x 2 + x + 1 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère la courbe C représentative de la fonction f donnée ci-dessous : 1 Justifier que la fonction f est définie pour tout nombre réel. 2 Établir le tableau de variations de la fonction f sur R . On y indiquera seulement les valeurs des extremums, ap-prochées au dixième près. 3 On note ( T ) la tangente à la courbe C f au point d’abscisse 0 . Étudier la position relative de la courbe C f et de la droite ( T ) . E.10523 Pour a ∈ R fixé, on considère la fonction f a définie sur R \{− 1 } par : f a ( x ) = a · x 2 + 1 x + 1 Déterminer l’ensemble des valeurs de a telles que la fonction f a soit strictement décroissante sur R \{− 1 } . Indication : toutes traces de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation. 15. Quotients: modélisation problèmes économique E.379 Un supermarché souhaite acheter des fruits à un fournisseur. Ce fournisseur propose des prix au kilogramme, dégressifs en fonction du poids de fruits commandé. Pour une commande de x kilogrammes de fruits, le prix P ( x ) en euros du kilogramme de fruits est donné par la formule : P ( x ) = x + 300 x + 100 pour x ∈ 100 ; + ∞ . Par exemple si le supermarché achète 300 kilogrammes de fruits, ces fruits lui sont vendus : P (300) = 600 400 = 1 ; 50 euro le kilogramme. Dans ce cas, le supermarché devra payer 300 × 1 ; 5=450 euros au fournisseur pour cette commande. Partie A : Étude du prix P proposé par le fournisseur. 1 Montrer que : P ( x )= − 200 ( x +100) 2 sur 100 ; + ∞ . 2 Donner le sens de variation de la fonction P sur 100 ; + ∞ . Partie B: Étude de la somme S à dépenser par le super-marché. On appelle S ( x ) la somme en euros à dépenser par le super-marché pour une commande de x kilogrammes de fruits (ces fruits étant vendus par le fournisseur au prix de P ( x ) euros le kilogramme) . Cette somme est donc égale à: S ( x )= x · P ( x ) pour x ∈ 100 ; + ∞ . 1 Montrer que pour tout x appartenant à 100 ; + ∞ : S ( x ) = x 2 + 200 · x + 30 000 ( x + 100) 2 2 Montrer que pour tout x appartenant à 100 ; + ∞ : S ( x ) = x + 200 − 20 000 × 1 x + 100 E.7044 Les antibiotiques sont des molécules possédant la propriété de tuer des bactéries ou d’en limiter la propagation. Le tableau ci-dessous donne la concentration dans le sang en fonction du temps d’un antibiotique injecté en une seule prise à un patient. Temps en heure 0,5 1 1,5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Concentration en mg = 1,6 2 1,9 1,6 1,2 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,4 Ces données conduisent à la modélisation de la concentration en fonction du temps par la fonction g définie sur l’intervalle 0 ; 10 par : g ( t ) = 4 · t t 2 + 1 Lorsque t représente le temps écoulé, en heures, depuis l’injection de l’antibiotique, g ( t ) représente la concentration en mg = de l’antibiotique. Le graphique ci-dessous représente les données du tableau et la courbe représentative de la fonction g . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5347 sacados/5347 -8-6-4-22468I-4-224JO chapExoCorrec/10523 sacados/10523 chapExoCorrec/379 sacados/379 chapExoCorrec/7044 sacados/7044 012345678910110,511,52
1 Par lecture graphique, donner sans justification : a les variations de la fonction g sur 0 ; 10 ; b la concentration maximale d’antibiotique lors des 10 premières heures ; c l’intervalle de temps pendant lequel la concentration de l’antibiotique dans le sang est supérieure à 1 ; 2 mg = . 2 a La fonction g est dérivable sur l’intervalle 0 ; 10 et sa dérivée est g . Montrer que : g ( t ) = 4 · 1 − t 2 t 2 + 1 2 b En utilisant l’expression de g ( t ) , montrer que la con-centration maximale serait, avec cette modélisation, at-teinte exactement 1 heure après l’injection. E.4885 L’entreprise CoTon produit du tissu en coton. Celui-ci est fabriqué en 1 mètre de large et pour une longueur x exprimée en kilomètre, x étant compris entre 0 et 10 . Le coût total de production en euros de l’entreprise CoTon est donné en fonction de la longueur x par la formule : C ( x ) = 15 x 3 − 120 x 2 + 500 x + 750 . Le graphique ci-dessous donne la représentation graphique de la fonction C . Les deux parties A et B de cet exercice sont indépen-dantes. Partie A : Étude du bénéfice Si le marché offre un prix p en euros pour un kilomètre de ce tissu, alors la recette de l’entreprise CoTon pour la vente d’une quantité x est égal à R ( x ) = p · x . 1 Tracer sur le graphique la droite D 1 d’équation : y = 400 · x . Expliquer, au vu de ce tracé, pourquoi l’entreprise CoTon ne peut pas réaliser un bénéfice si le prix p du marché est égal à 400 euros. 2 Dans cette question, on suppose que le prix du marché est égal à 680 euros. a Tracer sur le graphique la droite D 2 d’équation : y = 680 · x . Déterminer graphiquement, avec la précision permise par le graphique pour quelles quantités produites et vendues, l’entreprise CoTon réalise un bénéfice si le prix p du marché est de 680 euros. b On considère la fonction B définie sur l’intervalle 0 ; 10 par : B ( x ) = 680 · x − C ( x ) Démontrer que pour tout x appartenant à l’intervalle 0 ; 10 , on a: B ( x ) = − 45 · x 2 + 240 · x + 180 c Étudier les variations de la fonction B sur 0 ; 10 . En déduire pour quelle quantité produite et vendue le bénéfice réalisé par l’entreprise CoTon est maximum. Donner la valeur de ce bénéfice. Partie B: Étude du coût moyen On rappelle que le coût moyen de production C M mesure le coût par unité produite. On considère la fonction C M définie sur l’intervalle 0 ; 10 par : C M ( x ) = C ( x ) x 1 Démontrer que pour tout x appartenant à l’intervalle 0 ; 10 , on a: C M ( x ) = 30 · ( x − 5)( x 2 + x + 5) x 2 2 a Démontrer que pour tout x appartenant à l’intervalle 0 ; 10 , C M ( x ) est du signe de ( x − 5) . En déduire les variations de la fonction C M sur l’intervalle 0 ; 10 . b Pour quelle quantité de tissu produite le coût moyen de production est-il minimum? Que valent dans ce cas le coût moyen de production et le coût total? https://chingmath.fr chapExoCorrec/4885 sacados/4885 Bacalaureat ES Nouvelle-Caledonie Mars 2011 7 points 012345678910100020003000400050006000700080009000
E.4773 Partie A 1 Le prix d’un article est de 120 euros. Ce prix subit une première évolution au taux de 25 % , puis une seconde évolution qui le ramène à sa valeur initiale. Quel est le taux de la deuxième évolution? 2 Le prix d’un article est de 120 euros. Ce prix subit une première évolution au taux de − 20 % , puis une seconde évolution qui le ramène à sa valeur initiale. Quel est le taux de la deuxième évolution? Partie B D’une façon générale, un prix P subit deux évolutions succes-sives, la première à un taux de x , et la deuxième à un taux de y . Il revient alors à sa valeur initiale P . 1 Montrer que x et y vérifient : (1+ x )(1+ y )=1 . On admet alors que : y = − x 1+ x 2 On veut étudier sur l’intervalle − 0 ; 5 ; 2 la fonction f telle que : f ( x ) = − x 1 + x . Soit C la courbe représentative de f dans le plan rap-porté à un repère orthonormé. a On note f la fonction dérivée de la fonction f . Cal-culer f ( x ) . b Déterminer les variations de la fonction f sur l’intervalle − 0 ; 5 ; 2 et dresser le tableau de variations de f sur cet intervalle. 3 À l’aide de la représentation graphique de la courbe C donnée en annexe, ou à l’aide d’un calcul, répondre aux questions suivantes : a Quelle évolution faut-il faire subir à un prix augmenté de 50 % pour retrouver le prix initial? b Quelle évolution faut-il faire subir à un prix diminué de 50 % pour retrouver le prix initial? E.6113 Les antibiotiques sont des molécules possédant la propriété de tuer des bactéries ou d’en limiter la propagation. Le tableau ci-dessous donne la concentration dans le sang en fonction du temps d’un antibiotique injecté en une seule prise à un patient. Temps en heure 0 ; 5 1 1 ; 5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Concen tration en mg = 1 ; 6 2 1 ; 9 1 ; 6 1 ; 2 0 ; 9 0 ; 8 0 ; 7 0 ; 6 0 ; 5 0 ; 4 0 ; 4 Ces données conduisent à la modélisation de la concentration en fonction du temps par la fonction g définie sur l’intervalle 0 ; 10 par : g ( t ) = 4 · t t 2 + 1 Lorsque t représente le temps écoulé, en heures, depuis l’injection de l’antibiotique, g ( t ) représente la concentration en mg = de l’antibiotique. Le graphique ci-contre représente les données du tableau et la courbe représenta-tive de la fonction g . 1 La fonction g est dérivable sur l’intervalle 0 ; 10 et sa dérivée est g . Montrer que : g ( t ) = 4 1 − t 2 t 2 + 1 2 2 En utilisant l’expression de g ( t ) , montrer que la concen-tration maximale serait, avec cette modélisation, atteinte exactement 1 heure après l’injection. E.7063 Une entreprise fabrique et commercialise un article dont la production est comprise en-tre 1 000 et 7 000 articles par semaine. On modélise le coût de fabrication, exprimé en milliers d’euros, par la fonction f définie par : f ( x ) = 1 ; 5 · x 3 − 9 · x 2 + 24 · x + 48 où x désigne le nombre de milliers d’articles fabriqués. On note c la fonction définie sur 1 ; 7 représentant le coût moyen par article fabriqué, exprimé en euros. On a, par con-séquent, pour tout x de 1 ; 7 : c ( x ) = f ( x ) x = 1 ; 5 · x 2 − 9 · x + 24 + 48 x On admet que la fonction c est dérivable sur 1 ; 7 . On note c sa fonction dérivée. 1 Montrer que, pour tout x de l’intervalle 1 ; 7 , on a: c ( x ) = 3 x − 4 x 2 + x + 4 x 2 2 a Étudier les variations de la fonction c sur l’intervalle 1 ; 7 . b Déterminer, en milliers, le nombre d’articles à fabri-quer pour que le coût moyen par article soit minimal. 16. Quotients: modélisation et fonctions https://chingmath.fr chapExoCorrec/4773 sacados/4773 IJO chapExoCorrec/6113 sacados/6113 024681012 chapExoCorrec/7063 sacados/7063
E.5244 On considère la fonction f définie sur R + par la relation: f ( x ) = 1 x 2 − x + 1 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère la courbe C f représentative de la fonction f : On considère un point M de la courbe C f d’abscisse x et le rectangle représenté ci-dessus où : les points O et M en sont deux sommets opposés. ses côtés sont parallèles aux axes du repère. On note A ( x ) l’aire de ce rectangle en fonction de la valeur de x . 1 Donner l’expression de la fonction A . 2 a Montrer que la fonction A dérivée de la fonction A admet pour expression : A ( x ) = 1 + x 1 − x x 2 − x + 1 2 b Dresser le tableau de signes de la fonction A . c Dresser le tableau de variations de la fonction A . 3 Justifier que l’aire du rectangle est maximale lorsque le point M a pour abscisse 1 . E.10650 On considère la fonction f définie, sur R + , par : f ( x ) = 5 − x 3 x + 5 On note C f la courbe représentative de la fonction f dans le repère fourni ci-dessous : On note M le point de la courbe C f d’abscisse x avec x 0 . On note A la fonction qui associe, à un entier x appartenant à R ∗ + , l’aire du rectangle admettant les points O et M comme sommets opposés et dont les côtés sont parallèles aux axes. 1 En notant A , la fonction dérivée de la fonction A , établir l’identité: A = x + 5 5 − 3 x 3 x + 5 2 2 a Établir le tableau de signes de la fonction A . b En déduire le tableau de variations de la fonction A . Indication : on n’y indiquera que les sens de varia-tions. 3 En déduire la valeur de x afin que l’aire A soit maximale. E.2828 On considère la fonction f définie sur l’intervalle 2 3 ; + ∞ par la relation: f ( x ) = x + 1 3 x − 2 La représentation C f est donnée ci-dessous : On considère un point M appartenant à la courbe C f et le rectangle MNOP construit à partir des points O et M et dont les côtés sont parallèles aux axes. On note A ( x ) l’aire du rectangle MNOP où x est l’abscisse du point M . Le but de l’exercice est de déterminer pour quelles valeurs de x l’aire A ( x ) est minimale. 1 Donner l’expression de A ( x ) en fonction de x . 2 Déterminer l’expression de la fonction dérivée de A . 3 Établir le sens de variation de la fonction A . 4 En déduire la position du point M afin que l’aire du rect-angle MNOP soit minimale. E.5348 On considère la fonction f définie sur 0 ; 6 par : f ( x ) = 12 − 2 x x + 4 Dans le repère O ; I ; J orthonormé ci-dessous, est donnée la courbe C f représentative de la fonction f : Soit M un point de la courbe C f . On considère les points P et Q appartenant respectivement à l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées de sorte que le quadrilatère OPMQ soit un rectangle. Déterminer la position du point M afin que l’aire du rectangle OPMQ soit maximale. https://chingmath.fr chapExoCorrec/5244 sacados/5244 234IJOCfM chapExoCorrec/10650 sacados/10650 Mx234IJOCf chapExoCorrec/2828 sacados/2828 234I2JOCfMNP chapExoCorrec/5348 sacados/5348 CfMPQO63
17. Modélisation: plus loin E.6667 On considère le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé représenté ci-dessous : Le point A a pour coordonnées A (1 ; 1) . Pour tout nombre réel x appartenant à l’intervalle 0 ; 1] , on considère les deux points M et N définis par : M ∈ [ OJ ] ; JM = x N ∈ [ OI ) ; N ∈ [ OI ] ; IN = x Le point P est défini par l’intersection des droites ( MN ) et ( AI ) . Déterminer la valeur de x afin que l’ordonnée du point P soit maximale. 18. Composée par une fonction affine E.2826 Proposition: Soit f une fonction dérivable sur I , a et b deux nombres réels quelconques. La fonction définie par : x ↦−→ f ( a · x + b ) est une fonction dérivable sur tout intervalle J tel que : x ∈ J = ⇒ ax + b ∈ I et sa fonction dérivée a pour expression : x ↦−→ a · f ( a · x + b ) Déterminer, pour chaque fonction, l’expression de la fonction dérivée : a f : x ↦−→ 4 x − 2 7 b g : x ↦−→ 1 5 − 3 x E.2841 Déterminer l’expression, sous la forme d’un quotient simplifié, de la fonction f (resp. g ) dérivée de la fonction f (resp. g ) : a f ( x ) = 1 3 x − 2 b g ( x ) = 3 x − 1 E.5065 On considère la fonction f définie par la relation: f ( x ) = − x 2 + 4 x − 3 x 2 − 4 x + 4 1 Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f . 2 Montrer que la fonction f admet pour dérivée la fonction f dont l’expression est : f ( x ) = − 2 ( x − 2) 3 3 On considère la fonction g définie par la relation: g ( x ) = f 2 x − 1 a Déterminer l’expression simplifiée du nombre g ( x ) en fonction de x . b Déterminer, par la méthode de votre choix, l’expression de la fonction g dérivée de la fonction g . 19. Composée par une fonction affine: tangente et variation E.3510 Soit f la fonction définie sur R par la relation: f ( x ) = 1 2 · x + 1 4 Déterminer l’équation de la tangente à la courbe C f représen-tative de la fonction f au point d’abscisse 2. E.3305 Soit g la fonction dont l’image d’un nombre x est définie par : g ( x ) = 2 − 3 · x Dans le plan muni d’un repère, on note C g la courbe représen-tative de la fonction g . 1 Donner l’ensemble de définition de la fonction f . 2 Déterminer l’équation de la tangente à la courbe C g au point d’abscisse − 2 . E.2325 On considère deux fonctions f et g définies respectivement sur R et sur 5 3 ; + ∞ par : f ( x ) = 2 3 − 2 x 5 ; g ( x ) = 3 x − 5 1 Déterminer l’expression des fonctions dérivées f et g associées aux fonctions f et g . 2 a Déterminer le signe des fonctions f et g sur leur ensemble de dérivabilité. b Dresser le tableau de variations de chacune de ces fonc-tions. https://chingmath.fr chapExoCorrec/6667 sacados/6667 2IJOAMNP chapExoCorrec/2826 sacados/2826 chapExoCorrec/2841 sacados/2841 chapExoCorrec/5065 sacados/5065 chapExoCorrec/3510 sacados/3510 chapExoCorrec/3305 sacados/3305 chapExoCorrec/2325 sacados/2325
20. Composée par une fonction affine:produit et quotient E.119 Déterminer l’expression de la fonction dérivée pour chacune des fonctions ci-dessous : a f : x ↦−→ 1 1 − 2 x b g : x ↦−→ (2 x + 1) · 3 x − 1 E.2667 On considère la fonction f définie sur 1 3 ; + ∞ par la relation: f ( x ) = x · 3 x − 1 Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f (On donnera l’expression de f sous la forme d’un quotient simplifié) . E.8401 On considère la fonction f définie sur − 1 4 ; + ∞ par : f : x ↦−→ 3 − 2 x 3 · 4 x + 1 Indication : on donnera l’expression de f sous la forme P ( x ) 4 x + 1 où P ( x ) est un polynôme ayant 3 − 2 x 2 pour fac-teur 21. Composée par une fonction affine: produit, quotient, tangente et variations E.2521 On considère la fonction f dont l’image de x , pour x ∈ [1 ; + ∞ [ , est définie par la relation: f ( x ) = ( x 2 − 4 x + 3) 2 x − 2 On note C f la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé. 1 Déterminer la valeur du nombre dérivé de la fonction f en 3 . 2 Déterminer l’équation de la tangente à la courbe C f au point d’abscisse 3. E.2348 Soit f la fonction définie par la relation: f : x ↦−→ ( x + 5) 1 − 2 x 1 Donner l’ensemble de définition de la fonction f . 2 Déterminer l’expression de la fonction dérivée de f . 3 Dresser le tableau de signes de f . 4 En déduire le tableau de variations de la fonction f 5 Justifier que f admet un extrémum global en − 4 3 . E.2338 On considère la fonction f définie sur − 3 ; + ∞ par : f : x ↦−→ x 2 + 2 x + 1 x + 3 1 Montrer que le nombre dérivé de f en x s’écrit: f ( x ) = 3 · x 2 + 14 · x + 11 2( x + 3) x + 3 2 Dresser le tableau de signes de la fonction f . 3 a En déduire les variations de la fonction f sur − 3 ; + ∞ . b Donner le minimum de la fonction f sur son ensemble de définition. https://chingmath.fr chapExoCorrec/119 sacados/119 chapExoCorrec/2667 sacados/2667 chapExoCorrec/8401 sacados/8401 chapExoCorrec/2521 sacados/2521 chapExoCorrec/2348 sacados/2348 fichierPlus/2348/diapo-correction.pdf chapExoCorrec/2338 sacados/2338