Première spécialité / Fonctions de références et dérivées 94 exercices corrigés

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D’autres exercices pour ce chapitre sont disponibles en suivant le lien: https://chingmath.fr/hp-lycee/derivees ChingQuizz : 4 exercices disponibles pour l’evaluation par QCM : 1. Introduction aux fonctions dérivées (exemple 1) E.598 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = 1 4 · x 2 . Ci-dessous, est donnée la courbe C f représentative de la fonc-tion f dans un repère O ; I ; J orthonormé : On admet que la courbe C f admet une tangente en chacun de ses points. 1 On note c ( x ) le coefficient directeur de la tangente à la courbe C f au point d’abscisse x : c’est-à-dire de la tan-gente à C f passant par le point de coordonnée ( x ; f ( x )) . Compléter le tableau suivant : x − 3 − 1 0 2 4 c ( x ) 2 On considère la fonction g définie sur R par : g ( x ) = 0 ; 5 · x . Compléter le tableau suivant : x − 3 − 1 0 2 4 g ( x ) E.592 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = 1 10 · x 3 . Ci-dessous, est donnée la courbe C f représentative de la fonc-tion f dans un repère O ; I ; J orthonormé : On admet que la courbe C f admet une tangente en chacun de ses points. https://chingmath.fr https://chingmath.fr/hp-lycee/derivees quizzChap/1204 chapExoCorrec/598 sacados/598 -4-3-2-1234I234JO chapExoCorrec/592 sacados/592 -4-3-2-1234I-6-5-4-3-2-123456JO
Indication : les calculs seront arrondis au centième près. 1 On note c ( x ) le coefficient directeur de la tangente à la courbe C f au point d’abscisse x : c’est-à-dire de la tan-gente à C f passant par le point de coordonnée ( x ; f ( x )) . Compléter le tableau suivant : x − 3 ; 5 − 1 0 2 3 c ( x ) 2 On considère la fonction g définie sur R par : g ( x ) = 3 10 × x 2 . Compléter le tableau suivant : x − 3 ; 5 − 1 0 2 3 g ( x ) 2. Introduction aux fonctions dérivées (exemple 2) E.4655 Ci-dessous est représentée, dans des repères orthogonaux, la courbe C représentative de la fonc-tion carrée. Dans chacune de ces représentations, une tangente à la courbe C est tracée: 1 Par lecture graphique, compléter le tableau suivant : x − 3 − 1 2 0 1 2 1 f ( x ) Coeff. dir. tangente 2 Émettre une conjecture quant à l’expression d’une fonc-tion associant au nombre x réel le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse x . E.4656 Ci-dessous est représentée, dans des repères orthogonaux, la courbe C représentative de la fonc-tion inverse. Dans chacune de ces représentations, une tangente à la courbe C est tracée: 1 Par lecture graphique, compléter le tableau suivant : x − 2 − 1 2 3 f ( x ) Coeff. dir. tangente 2 Émettre une conjecture quant à l’expression d’une fonc-tion associant au nombre x réel le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse x . https://chingmath.fr chapExoCorrec/4655 sacados/4655 0120123CT1 -4-3-246810121416CT2 -10101CT3 -10101CT4 chapExoCorrec/4656 sacados/4656 -3-2-10123-3-2-10123CT1 23456701CT2 -4-3-2-10-3-2-10CT3 012340123CT4
E.4657 Ci-dessous est représentée, dans des repères orthogonaux, la courbe C représentative de la fonc-tion racine carrée. Dans chacune de ces représentations, une tangente à la courbe C est tracée: 1 Par lecture graphique, compléter le tableau suivant : x 1 4 1 4 9 f ( x ) Coeff. dir. tangente 2 Émettre une conjecture quant à l’expression d’une fonc-tion associant au nombre x réel le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse x . 3. Variations et nombre dérivé E.4730 On considère la fonction f définie et dérivable sur l’intervalle − 4 ; 4 dont la courbe représen-tative C f est donnée dans le repère O ; I ; J orthonormé ci-dessous : On répondra à l’ensemble des questions de cet exercice en se référant au graphique ci-dessus. 1 Dresser le tableau de variations de la fonction f sur − 4 ; 4 . 2 a On considère la tangente ( T 1 ) la tangente à la courbe C f au point d’abscisse − 3 . Donner le signe du coeffi-cient directeur de la tangente ( T 1 ) . b On considère la tangente ( T 2 ) la tangente à la courbe C f au point d’abscisse 0 . Donner le signe du coefficient directeur de la tangente ( T 2 ) . c On considère la tangente ( T 3 ) la tangente à la courbe C f au point d’abscisse − 2 . Donner le signe du coeffi-cient directeur de la tangente ( T 3 ) . 3 a Quel est le signe du nombre dérivé de la fonction f en x = − 1 ? b Quel est le signe du nombre dérivé de la fonction f en x =2 ? c Quel est le signe du nombre dérivé de la fonction f en x =2 ; 5 ? 4 On note f la fonction dérivée de la fonction f . Dresser le tableau de signes de la fonction f . E.10621 On considère une fonction f définie et dérivable sur − 3 ; 3 . On note f sa fonction dérivée. La représentation graphique de la fonction f est donnée dans le repère ci-dessous 1 Justifier que la fonction f est croissante sur l’intervalle − 3 ; 0 . 2 Déterminer le sens de variation de la fonction f sur 0 ; 3 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/4657 sacados/4657 -10123012CT1 00.5100.51CT2 0246811.522.53CT3 4567891001234CT4 chapExoCorrec/4730 sacados/4730 -4-3-2-1234I-2-12JOCf chapExoCorrec/10621 sacados/10621 -4-3-2-1234I2JOCf
E.10622 On considère une fonction f définie et dérivable sur − 3 ; 3 . On note f la fonction dérivée de la fonction f . La représentation graphique de la fonction f est donnée dans le repère ci-dessous Déterminer les sens de variations de la fonction f sur − 3 ;3 . E.6061 Soit f une fonction f définie sur − 4 ; 4 dont le tableau de variation est donné ci-dessous : Déterminer le signe du nombre dérivé de la fonction f en 1 . E.6062 On considère une fonction f dont on donne ci-dessous le tableau de signes de sa fonction dérivée : x − 5 − 2 1 4 f ( x ) − 0 + 0 − On considère la tangente ( T ) à la courbe C f au point d’abscisse 2 . Quel est le sens de variation de la tangente ( T ) ? E.4858 On considère une fonction f définie sur − 3 ; 5 dont la dérivée admet le tableau de signes suivant : On a les valeurs et relations suivantes : f ( − 1) = 3 f (5) = − 2 · f ( − 1) f ( − 3) = f (5) + 5 f (2) = f ( − 1) · f (5) Dans le tableau précédent, compléter la ligne des variations de la fonction f . E.4856 1 On considère la fonction f définie sur R admettant une dérivée strictement positive sur R . De plus, on a l’information: f (2)=0 . Dresser le tableau de signes de la fonction f sur R . 2 On considère la fonction g définie sur R admettant une dérivée g vérifiant : Pour tout réel x , on a: g ( x ) < 0 De plus, on sait que : g ( − 3)=0 . Dresser le tableau de signes de la fonction g sur R . E.3004 Le tableau ci-dessous représente le tableau de variations d’une fonction f définie sur R : Compléter les lignes du signe de la fonction f et du signe de la fonction f . 4. Polynômes: fonctions dérivées E.9702 Proposition: les tableaux ci-dessous donnent les dérivées des monômes : https://chingmath.fr chapExoCorrec/10622 sacados/10622 -4-3-2-1234I-1JOCf chapExoCorrec/6061 sacados/6061 −4−2−14−24−3−1Variationdefx chapExoCorrec/6062 sacados/6062 chapExoCorrec/4858 sacados/4858 +-0+0−3−125VariationdefSignedefx chapExoCorrec/4856 sacados/4856 chapExoCorrec/3004 sacados/3004 -∞−4−2−12∞150−2−12−3SignesdefVariationdefSignedefx chapExoCorrec/9702 sacados/9702 Pour toutaRf(xaf(x0f(x1f(x0f(x5f(x0 Pour toutnN∗f(xxnf(xn·xn−1g(xxg(x1j(xx3j(x3x2h(xx2h(x2xk(xx4k(x4x3 Pour toutaR; nN∗f(xa·xnf(xa×n·xn−1g(x2xg(x2j(x7x3j(x21x2h(x−2x2h(x−4xk(x−x4k(x−4x3
Déterminer l’expression de la fonction dérivée de chacune des fonctions ci-dessous : 1 f ( x ) = 5 x 2 + 2 x + 3 2 g ( x ) = 3 x 4 − 5 x + 2 3 h ( x ) = 5 − 3 x 2 4 j ( x ) = 3 x 2 − x + 1 E.7735 Déterminer l’expression des fonc-tions dérivées de chacune des fonctions ci-dessous : 1 f ( x )= x 5 +3 · x 2 − x +10 2 f ( x )=2 · x 7 − x 2 − 2 · x +1 E.4670 Déterminer les nombres dérivés en 1 pour chacune des fonctions suivantes : 1 f : x ↦−→ 2 x + 4 2 g : x ↦−→ 5 − 3 x 3 k : x ↦−→ x 4 + x 2 + 1 4 ‘ : x ↦−→ 2 x 4 − 2 x 3 − 8 x E.8392 On considère la fonction f définie par : f ( x )= 5 3 · x 3 − 2 3 · x 2 +3 · x − 4 Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonc-tion f . E.104 Déterminer l’expression des fonctions dérivées des fonctions polynomiales suivantes : 1 f : x ↦−→ − 3 · x + 2 2 g : x ↦−→ 4 · x 2 − 4 3 h : x ↦−→ 2 · x 2 + 3 · x 4 j : x ↦−→ 5 · x 3 − 2 · x 2 E.118 Déterminer l’expression des fonctions dérivées des fonctions polynomiales suivantes : 1 f : ↦−→ 3 · x + 2 2 g : ↦−→ x 2 + 4 3 h : ↦−→ x 2 + x 4 j : ↦−→ x 3 + 2 · x 2 E.5219 Déterminer l’expression de la dérivée de chacune des fonctions suivantes : 1 f : x ↦−→ 3 · x 2 − 4 · x + 1 2 g : x ↦−→ 5 · x 6 − 3 · x 3 − 4 E.7534 La fonction f est définie pour tout réel x élément de l’intervalle 1 ; 7 par : f ( x ) = 1 ; 5 · x 3 − 9 · x 2 + 24 · x + 48 On note f la fonction dérivée de la fonction f et f  sa dérivée seconde sur 1 ; 7 . Pour tout réel x de l’intervalle 1 ; 7 : 1 Calculer f ( x ) 2 Calculer f  ( x ) . E.10375 Déterminer les nombres dérivés en 1 pour chacune des fonctions suivantes : 1 h : x ↦−→ 2 x 2 + 3 2 j : x ↦−→ 5 x − 3 x 2 − 1 3 k : x ↦−→ − 2 · x 2 + 2 · x 4 ‘ : x ↦−→ 3 x 2 − 2 · x E.10376 Déterminer l’expression des fonc-tions dérivées des fonctions polynomiales suivantes : 1 f : x ↦−→ (3 · x + 11)(4 − x ) 2 g : x ↦−→ ( x + 1)(2 · x − 4) E.11397 Déterminer l’expression de la dérivée de chacune des fonctions suivantes : 1 f : x ↦−→ x 2 − ( x − 1) 2 2 g : x ↦−→ 8 · x 3 − 2 · x 2 x 5. Polynômes: lien entre fonction dérivée et tangente E.7649 On considère la fonction f du second degré dont la courbe représentative est donnée dans le repère ci-dessous : 1 a La droite ( d 1 ) est la tangente à la courbe C f au point de coordonnées (1 ; − 0 ; 5) . Déterminer le coefficient directeur de la droite ( d 1 ) . b La droite ( d 2 ) est la tangente à la courbe C f au point de coordonnées ( − 2 ; − 2) . Déterminer le coefficient directeur de la droite ( d 2 ) . 2 L’expression de la fonction est définie par : f ( x ) = 0 ; 5 · x 2 + x − 2 a Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . b Calculer les images suivantes par la fonction f : f (1) f ( − 2) 6. Polynômes: tangentes E.4682 Proposition: soit a un nombre réel et f une fonction dérivable en a . La tangente ( T ) au point d’abscisse a à la courbe C f de la fonction f a pour équation réduite : y = f ( a ) · x − a + f ( a ) https://chingmath.fr chapExoCorrec/7735 sacados/7735 chapExoCorrec/4670 sacados/4670 chapExoCorrec/8392 sacados/8392 chapExoCorrec/104 sacados/104 chapExoCorrec/118 sacados/118 chapExoCorrec/5219 sacados/5219 chapExoCorrec/7534 sacados/7534 chapExoCorrec/10375 sacados/10375 chapExoCorrec/10376 sacados/10376 chapExoCorrec/11397 sacados/11397 chapExoCorrec/7649 sacados/7649 xxyy-5-4-3-2-10123-4-3-2-11Cf(d1(d2 chapExoCorrec/4682 sacados/4682
On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = 1 2 · x 3 − 3 2 · x 2 + x + 1 Dans un repère O ; I ; J , on note C f la courbe représenta-tive de la fonction f . 1 a Déterminer l’expression de la fonction dérivée f de la fonction f . b Donner la valeur de f (2) . 2 a Donner les coordonnées du point A de C f ayant pour abscisse 2 . b Déterminer l’équation réduite de la tangente ( T ) à la courbe C f au point d’abscisse 2 . 3 Vérifier à l’aide de la calculatrice que la droite obtenue est bien la tangente ( T ) . E.4683 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = − 2 3 · x 3 − 3 · x 2 + x + 10 Dans un repère O ; I ; J , on note C f la courbe représentative de la fonction f . 1 a Déterminer l’expression de la fonction dérivée f de la fonction f . b Donner la valeur de f ( − 3) . 2 a Donner les coordonnées du point A de C f ayant pour abscisse − 3 . b Déterminer l’équation réduite de la tangente ( T ) à la courbe C f au point d’abscisse − 3 . 3 Vérifier à l’aide de la calculatrice que la droite obtenue est bien la tangente ( T ) . E.7782 On considère la fonction f définie sur l’intervalle − 3 ; 5 ; 0 ; 5 par la relation: f ( x ) = 0 ; 25 · x 3 + x 2 + x + 0 ; 5 On note C f la courbe représentative de la fonction f dans le repère ci-dessous : 1 Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . 2 Déterminer l’équation réduite de la tangente ( T ) à la courbe C f au point d’abscisse 0 . 3 Tracer la tangente ( T ) dans le repère ci-dessus. E.4684 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = − 1 2 · x 3 − x 2 + 5 2 · x + 2 Dans un repère O ; I ; J orthonormé, la courbe C f représen-tative de la fonction f : 1 a Déterminer l’expression de la fonction dérivée f de la fonction f . b Donner la valeur de f ( − 2) . 2 a Déterminer l’équation réduite de la tangente ( T ) à la courbe C f au point d’abscisse − 2 . b Effectuer le tracé de la tangente ( T ) dans le repère ci-dessus. https://chingmath.fr chapExoCorrec/4683 sacados/4683 chapExoCorrec/7782 sacados/7782 x-3-2-10y-2-11Cf chapExoCorrec/4684 sacados/4684 -4-3-2-123I-4-3-2-1234JOCf
E.4706 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = 1 2 · x 3 − 3 4 · x 2 − 5 2 · x + 3 2 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on donne la courbe C f représentative de la fonction f : 1 Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . 2 On considère la fonction affine g définie par : g ( x ) = 1 2 · x + 13 4 a Tracer la droite ( d ) représentative de la fonction g . b Déterminer le nombre dérivé de la fonction f en − 1 . c Démontrer que la droite ( d ) est la tangente à la courbe C f au point d’abscisse − 1 . 3 a Résoudre l’équation: f ( x )= 1 2 b En déduire l’équation réduite d’une droite (Δ) paral-lèle à ( d ) et tangente à la courbe C f en un autre point. E.4731 On considère la fonction f définie par la relation: f ( x ) = 1 2 · x 4 − x 3 − 3 2 · x 2 + x + 2 On munit le plan d’un repère O ; I ; J orthonormé dans lequel est représentée la courbe C f représentative de la fonc-tion f : 1 a Tracer la droite ( d ) d’équation y = − x . b Quelle conjecture peut-on établir sur la droite ( d ) rel-ativement à la courbe C f ? 2 Établir la conjecture précédente. https://chingmath.fr chapExoCorrec/4706 sacados/4706 -4-3-2-1234I-4-3-2-1234JOCf chapExoCorrec/4731 sacados/4731 -3-2-123I-3-2-123JOCf
E.98 Une entreprise souhaite fabriquer, pour de jeunes enfants, des tobog-gans dont le profil a l’allure de la courbe ci-contre. Le plan est muni d’un repère or-thonormé O ; −→ i ; −→ j ) . On pren-dra 3 cm pour unité graphique. L’objet de l’exercice est de modéliser ce profil à l’aide de la courbe représentative C d’une fonction définie sur l’intervalle [0 ; 3] vérifiant les conditions suivantes : La courbe C passe par les points A (0 ; 2) et B (3 ; 0) ; La courbe C admet en chacun des points A et B une tangente parallèle à l’axe des abscisses. Partie 1 1 a Soit f la fonction définie sur l’intervalle R par : f ( x ) = − 2 3 · x 2 + 2 Étudier les variations de la fonction f (on ne demande pas l’étude des limites) . b Soit g la fonction définie sur l’intervalle R par : g ( x ) = 1 3 · x 2 − 2 · x + 3 Étudier les variations de la fonction g (on ne demande pas l’étude des limites) . 2 On note respectivement C f et C g les courbes représenta-tives des fonctions f et g . a Démontrer que C f et C g passent par le point K 1 ; 4 3 et ont la même tangente T en ce point. b Tracer sur un même graphique, la droite T , la partie de C f correspondant aux points d’abscisses comprises en-tre 0 et 1, et la partie de C g correspondant aux points d’abscisses comprises entre 1 et 3. La courbe obtenue en réunissant les deux parties de courbes est une représentation au problème posé. Partie 2 Le bureau d’étude a établi que l’on pouvait également mod-éliser le profil du toboggan à l’aide d’une partie de la courbe représentative C h de la fonction h définie sur R par : h ( x ) = 4 27 · x 3 − 2 3 · x 2 + 2 1 Démontrer que la fonction h vérifie les conditions (1) et (2) . 2 Déterminer les coordonnées du point de C h d’abscisse 1 et le coefficient directeur de la tangente en ce point. E.2844 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f : x ↦−→ 3 2 · x 4 + 3 · x 3 − 9 2 · x 2 − 5 · x + 6 On donne, ci-dessous, la courbe représentative de la fonction f dans un repère ( O ; I ; J ) : La courbe C f représentative de cette fonction admet une droite ( d ) de coefficient directeur 1 comme tangente en deux points. Déterminer l’équation de cette droite et les coordonnées de ces deux points. Indication : Toute trace de recherche ou d’initiative, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation. 7. Polynômes: tangentes, point d’intersection, positions relatives E.4707 On considère la fonction définie par la relation: f ( x ) = x 2 − 6 · x + 5 Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on note C f la courbe représentative de la fonction f . On note ( d ) et (Δ) les deux tangentes à la courbe C f respec-tivement aux points d’abscisses 2 et 5 . 1 Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . 2 Déterminer l’équation de la tangente ( d ) . 3 Déterminer l’équation de la tangente (Δ) . 4 Déterminer les coordonnées du point d’intersection des droites ( d ) et (Δ) . E.7738 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = x 3 − 2 · x 2 + 3 · x − 2 On note C f la courbe représentative de la fonction f dans un repère O ; I J 1 a Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . b En déduire l’expression de la tangente ( T ) à la courbe C f au point d’abscisse 1 . 2 a Étudier le signe du polynôme x · x 2 − 2 · x +1 . b En déduire la position relative des courbes C f et ( T ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/98 sacados/98 France - Septembre 2002 - 8 points 012312 chapExoCorrec/2844 sacados/2844 -4-3-2-1234I-22468JO chapExoCorrec/4707 sacados/4707 chapExoCorrec/7738 sacados/7738
E.7739 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = 2 · x 3 − 4 · x 2 + 1 On note C f la courbe représentative de la fonction f dans un repère O ; I J 1 a Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . b En déduire l’expression de la tangente ( T ) à la courbe C f au point d’abscisse 1 . 2 a Étudier le signe du polynôme 2 · x · x 2 − 2 · x +1 . b En déduire la position relative des courbes C f et ( T ) . E.2347 On considère la fonction f dont l’image de x est définie par la relation: f ( x ) = 1 8 · x 3 − 1 2 · x 2 − 1 2 · x + 3 On note C f la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé. 1 Donner l’expression de la fonction f dérivée de la fonc-tion f . 2 On considère la tangente ( T ) à la courbe C f au point d’abscisse 2 . a Donner la valeur du coefficient directeur de ( T ) . b Déterminer l’équation réduite de la tangente ( T ) . c Dans le repère ci-dessous, tracer la tangente ( T ) . 3 On considère la droite ( d ) admettant l’équation réduite : ( d ) : y = − x + 3 Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la droite ( d ) et de la courbe C f . E.7741 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = − x 3 + 2 · x 2 − 2 x + 1 On note C f la courbe représentative de la fonction f dans un repère O ; I J On considère la tangente ( T ) à la courbe C f au point d’abscisse 1 . Déterminer la position relative des courbes C f et ( T ) . 8. Polynôme: introduction aux variations E.5230 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = 1 3 · x 3 − x 2 − 3 x + 1 La courbe C f représentative de la fonction f est donnée dans le repère O ; I ; J orthogonal ci-dessous : 1 Graphiquement, dresser le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle − 3 ; 6 . (on n’indiquera pas les valeurs des images) 2 a Déterminer l’expression de la fonction f . b Dresser le tableau de signes de la fonction f sur R . 3 Que remarque-t-on? E.4840 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = x 3 − 3 2 · x 2 − 6 · x + 2 Dans un repère O ; I ; J orthonormé, on donne la courbe C f représentative de la fonction f : 1 Graphiquement et sur l’intervalle − 5 2 ; 11 4 , dresser le tableau de variations de la fonction f . 2 a Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . b Étudier le tableau de signes de la fonction f sur R . https://chingmath.fr chapExoCorrec/7739 sacados/7739 chapExoCorrec/2347 sacados/2347 fichierPlus/2347/diapo-correction.pdf -3-2-123456I234JOCf chapExoCorrec/7741 sacados/7741 chapExoCorrec/5230 sacados/5230 -3-2-123456I-8-6-4-224JOCf chapExoCorrec/4840 sacados/4840 -4-3-2-1234I-8-6-4-2246JOCf
3 Quelle conjecture peut-on faire entre le signe de la fonc- tion dérivée f et du sens de variation de la fonction f ? 9. Polynômes: variations E.4851 Proposition: soit f une fonction dérivable sur I . Si f ( x ) > 0 pour tout x ∈ I alors f est strictement crois-sante sur I . Si f ( x ) < 0 pour tout x ∈ I alors f est strictement décroissante sur I . Si f ( x )=0 pour tout x ∈ I alors f est constante sur I . Exemple: on considère la fonction f définie sur R par : f ( x )= x 2 − 2 x +3 La fonction dérivée de la fonction f admet pour expression : f ( x ) = 2 x − 2 La fonction f admet le tableau de signe : x −∞ 1 + ∞ 2 x − 2 − 0 + On en déduit le tableau de variation de la fonction f : On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = − 2 · x 3 + 3 · x 2 + 12 · x − 2 1 Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . 2 Établir le signe de la fonction f sur R . 3 Dresser le tableau de variations de la fonction f . E.11400 On considère la fonction f définie par : f ( x ) = x 3 − 3 x 2 − 9 x + 1 On note f la fonction dérivée de la fonction f . 1 Etablir que f s’exprime par : f ( x ) = 3 x − 9 x + 1 2 a Établir le tableau de signe de la fonction f . b Dresser le tableau de variations de la fonction f . E.4850 On considère la fonction f définie sur l’intervalle R dont l’image d’un nombre réel x est donnée par la formule : f ( x ) = x 3 − 6 · x 2 + 9 · x + 3 1 Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . 2 Établir le tableau de signes de la fonction f . 3 Dresser le tableau de variations de la fonction f . E.1756 Chacune des fonctions ci-dessous est définie sur R . Étudier les variations de chacune de ces fonctions : 1 f ( x ) = x 3 − 9 · x 2 + 15 · x − 7 2 g ( x ) = − x 3 − 3 · x 2 − 3 · x + 3 3 h ( x ) = − 1 3 · x 3 + 1 2 · x 2 − 1 2 · x − 1 (on indiquera dans le tableau de variations les valeurs des ex-trémums locaux) E.10449 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = − 2 · x 3 − 4 · x 2 + 8 · x + 1 1 Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . 2 Dresser le tableau de variations de la fonction f . Indication : on n’indiquera pas les valeurs dans le tableau de variation E.10632 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = 8 · x 3 + x 2 − x + 5 1 Déterminer l’expression de la fonction f sur R . 2 a Dresser le tableau de signes de la fonction f sur R . b Dresser le tableau de variations de la fonction f sur R . E.11398 On considère la fonction f définie par : f ( x ) = 4 x 4 + 4 x 3 − x On note f la fonction dérivée de la fonction f . 1 Etablir que f s’exprime par : f ( x ) = 2 x + 1 2 4 x − 1 2 a Établir le tableau de signe de la fonction f . b Dresser le tableau de variations de la fonction f . E.11399 On considère la fonction f définie par : f ( x ) = 4 x 4 + 4 x 3 − 2 x 2 − 3 x On note f la fonction dérivée de la fonction f . 1 Etablir que f s’exprime par : f ( x ) = 2 x − 1 2 x + 1 4 x + 3 2 a Établir le tableau de signe de la fonction f . b Dresser le tableau de variations de la fonction f . https://chingmath.fr chapExoCorrec/4851 sacados/4851 −∞1∞∞2∞Variationdefx chapExoCorrec/11400 sacados/11400 chapExoCorrec/4850 sacados/4850 chapExoCorrec/1756 sacados/1756 chapExoCorrec/10449 sacados/10449 chapExoCorrec/10632 sacados/10632 chapExoCorrec/11398 sacados/11398 chapExoCorrec/11399 sacados/11399
E.4843 On considère la fonction f définie par la relation: f ( x ) = x 3 + 3 · x 2 − 9 · x + 5 1 a Déterminer la valeur des réels a , b et c réalisant l’égalité: f ( x )=( x +5)( a · x 2 + b · x + c ) b Dresser le tableau de signes de la fonction f . 2 a Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . b Dresser le tableau de signes de la fonction f . c Dresser le tableau de variations de la fonction f . 10. Polynômes: tangentes et variations E.10404 On considère la fonction f définie et dérivable sur R par : f ( x ) = x 3 − 5 x 2 + 7 x − 2 On note C f la courbe représentation de la fonction f dans le plan muni d’un repère orthonormé. 1 Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . 2 Déterminer l’équation réduire la tangente ( T ) à la courbe C f au point d’abscisse 2 . 3 Déterminer les variations de la fonction f sur R . E.10405 On considère la fonction f définie et dérivable sur R par : f ( x ) = x 3 + 6 x 2 + 9 x + 9 On note C f la courbe représentation de la fonction f dans le plan muni d’un repère orthonormé. 1 Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . 2 Déterminer l’équation réduire la tangente ( T ) à la courbe C f au point d’abscisse − 2 . 3 Déterminer les variations de la fonction f sur R . E.10406 On considère la fonction f définie et dérivable sur R par : f ( x ) = x 3 + 4 x 2 + 5 x + 2 On note C f la courbe représentation de la fonction f dans le plan muni d’un repère orthonormé. 1 Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . 2 Déterminer l’équation réduire la tangente ( T ) à la courbe C f au point d’abscisse − 2 . 3 Déterminer les variations de la fonction f sur R . E.10407 On considère la fonction f définie et dérivable sur R par : f ( x ) = − x 3 − 3 x 2 − 2 x + 4 On note C f la courbe représentation de la fonction f dans le plan muni d’un repère orthonormé. 1 Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . 2 Déterminer l’équation réduire la tangente ( T ) à la courbe C f au point d’abscisse − 1 . 3 Déterminer les variations de la fonction f sur R . 11. Polynômes: tableaux de signes et variations E.4844 On considère la fonction f définie par la relation: f ( x ) = x 3 + 3 · x 2 − 2 1 a Établir l’égalité: f ( x )= x +1 x 2 +2 · x − 2 b Dresser le tableau de signes de la fonction f . 2 a Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . b Dresser le tableau de signes de la fonction f . c Dresser le tableau de variations de la fonction f (on indiquera les valeurs exactes des extrémums locaux) . E.4842 On considère la fonction f définie par la relation: f ( x ) = − x 3 + 3 · x 2 + 9 · x − 2 1 a Établir l’égalité: f ( x )=( x +2)( − x 2 +5 · x − 1) b Dresser le tableau de signes de la fonction f . 2 a Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . b Dresser le tableau de signes de la fonction f . c Dresser le tableau de variations de la fonction f . 12. Polynômes: extrémum E.7783 Une entreprise fabrique chaque jour des pièces métalliques pour l’industrie automo-bile. La production quotidienne varie entre 0 et 25 pièces. Le montant des charges correspondant à la fabrication de x pièces, exprimé en euros, est modélisé par la fonction C définie sur l’intervalle 0 ; 25 par : C ( x ) = x 3 − 30 · x 2 + 400 · x + 100 https://chingmath.fr chapExoCorrec/4843 sacados/4843 chapExoCorrec/10404 sacados/10404 chapExoCorrec/10405 sacados/10405 chapExoCorrec/10406 sacados/10406 chapExoCorrec/10407 sacados/10407 chapExoCorrec/4844 sacados/4844 chapExoCorrec/4842 sacados/4842 chapExoCorrec/7783 sacados/7783
On suppose que l’entreprise vend chaque jour sa production journalière. Chaque pièce est vendue au prix de 247 euros. 1 On note B la fonction bénéfice, exprimée en euros. Jus-tifier que l’expression de B ( x ) sur l’intervalle 0 ; 25 est : B ( x ) = − x 3 + 30 · x 2 − 153 · x − 100 2 On note B la fonction dérivée de la fonction B . Calculer B ( x ) , pour tout nombre réel x appartenant à l’intervalle 0 ; 25 . 3 Justifier le tableau suivant : x 0 3 17 + ∞ Signe de B ( x ) − 0 + 0 − 4 En déduire le tableau de variations complet de la fonction B sur l’intervalle 0 ; 25 . 5 Déterminer le nombre de pièces que l’entreprise doit pro-duire chaque jour pour que le bénéfice réalisé soit maxi-mal. Que vaut alors ce bénéfice maximal? E.7784 Une entreprise produit et vend un tissu en coton de forme rectangulaire de 1 mètre de large; on note x sa longueur exprimée en kilomètre, x étant un nom-bre compris entre 0 et 10 . Le coût total de production en euro de ce tissu est donné, en fonction de x , par : C ( x ) = 15 · x 3 − 120 · x 2 + 350 · x + 1 000 Le cours du marché offre un prix de 530 e le kilomètre de tissu fabriqué par l’entreprise. Pour tout x ∈ 0 ; 10 , on note R ( x ) la recette et B ( x ) le béné-fice générés par la production et la vente de x kilomètres de tissu par l’entreprise. 1 Exprimer R ( x ) en fonction de x . 2 Montrer que pour tout x ∈ 0 ; 10 : B ( x ) = − 15 · x 3 + 120 · x 2 + 180 · x − 1 000 3 Déterminer B ( x ) pour x ∈ 0 ; 10 où B désigne la fonc-tion dérivée de B . 4 Étudier le signe de B ( x ) et en déduire les variations de la fonction B sur 0 ; 10 . 5 a Pour quelle longueur de tissu produite et vendue l’entreprise réalise-t-elle un bénéfice maximal? b Donner alors la valeur de ce bénéfice maximal? 13. Polynômes - modélisation: maximaliser l’aire d’une boite E.112 On veut réaliser, dans le pa-tron ci-dessous une boîte rectangulaire sans couvercle. Les longueurs sont exprimées en cm . 1 Quelles sont les valeurs possibles de x ? 2 Vérifier que le volume V de cette boîte s’exprime, en fonction de x , par : V ( x ) = 4 · x 3 − 52 · x 2 + 160 · x . 3 a Vérifier que : V ( x )=12 · x 2 − 104 · x +160 Étudier son signe sur l’intervalle [0 ; 5] . b Construire le tableau de variations de la fonction V sur l’intervalle [0 ; 5] . c En déduire les dimensions de la boite finale afin que le volume maximal. E.73 Un fabricant de boîtes en carton dispose, pour sa fabrication, de rouleaux donnant une bande de carton de 32 cm de large dans laquelle il trace et découpe les patrons de boîtes avant de les coller. Il dispose ses patrons de la manière indiquée dans le dessin ci-dessous : Les boîtes, en forme de pavés droits, comportent deux faces carrées de x cm de côté, munies de deux languettes de 1 cm de large pour le collage, et quatre autres faces dont les dimen-sions en cm sont x et y , ainsi qu’un rabat pour la fermeture. 1 Le fabricant utilise toute la largeur de la bande de carton ; on a donc : y =30 − 2 · x . a Expliquer pourquoi on a nécessairement : 0 <x< 15 . b Démontrer que le volume V , en cm 3 et en fonction de x , de la boîte admet pour expression : V ( x ) = 30 · x 2 − 2 · x 3 2 Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 15] par : f ( x ) = 30 · x 2 − 2 · x 3 https://chingmath.fr chapExoCorrec/7784 sacados/7784 chapExoCorrec/112 sacados/112 16cmxx10cm chapExoCorrec/73 sacados/73 1xyx132
a Déterminer la fonction dérivée f de la fonction f et étudier le signe de f ( x ) sur l’intervalle [0 ; 15] . b En déduire le tableau de variations de la fonction f . (on n’y indiquera pas les valeurs) 3 Pour quelle valeur de x , le volume V est-il maximum? Quelle est alors la valeur de ce volume? Quelle particu-larité présente la boîte dans ce cas-là? E.9703 On considère le cube ci-contre dont les arêtes mesurent 5 cm . Dans ce cube, on dé-coupe un pavé droit représenté en gris et dont certaines mesures sont indiquées sur la fig-ure. On note V le volume de ce pavé droit en cm 3 . 1 a Quelles sont les valeurs possibles pour x ? b Établir l’expression du volume V en fonction de x : V = x 3 − 10 · x 2 + 25 · x 2 a Déterminer l’expression de la fonction V dérivée de la fonction V . b Dresser le tableau de signe de la fonction V . c Dresser le tableau de variation de la fonction V . Indication : il n’est pas demandé de compléter les valeurs du tableau de variations. 3 En déduire la valeur de x pour laquelle le volume V du pavé droit est maximal. E.10450 On considère le pavé droit ci-dessous de dimensions : 8 cm × 5 cm × 5 cm . Sur cette figure, à l’aide d’un nombre x , on indique les dimen-sions d’un autre pavé droit représenté en gris et le volume est noté V . 1 a Quelles sont les valeurs possibles pour x ? b Établir l’expression du volume V en fonction de x : V = x 3 − 13 · x 2 + 40 · x 2 a Déterminer l’expression de la fonction V dérivée de la fonction V . b Dresser le tableau de variation de la fonction V . Indication : il n’est pas demandé de compléter les valeurs du tableau de variations. 3 En déduire la valeur maximale du volume V du pavé droit grisé. E.5245 On veut réaliser, dans le patron ci-dessous une boîte rectangulaire sans couvercle. Les longueurs sont exprimées en cm . 1 a Quelles valeurs peuvent prendre la variable x dans ce problème? b Donner l’expression du volume V en fonction de la valeur de x . 2 a Déterminer l’expression de la fonction V dérivée de la fonction V . b Dresser le tableau de variations de la fonction V . c Justifier que la fonction V admet une valeur maximale sur l’intervalle 0 ; 11 2 . 3 Quelle est le volume maximal qu’on peut obtenir avec ce type de boite? https://chingmath.fr chapExoCorrec/9703 sacados/9703 xxx5cm chapExoCorrec/10450 sacados/10450 xxx5cm5cm8cm chapExoCorrec/5245 sacados/5245 35cmxx11cm
E.4864 On considère le parallélépipède rect-angle représenté ci-dessous : Le nombre x permet de définir les mesures de ce solide comme indiqué sur la figure. 1 Quelles valeurs la variable x peut-elle prendre? 2 On note V ( x ) le volume de ce solide en fonction de x . Donner la forme développée et réduite de V . 3 a Établir le tableau de variations de la fonction V . b Déterminer la valeur de x pour laquelle le volume du parallélépipède est maximal. E.4632 On souhaite construire une boîte de forme parallélépipédique à partir d’une feuille cartonnée de dimensions 12 cm sur 24 cm . Pour cela, on coupe quatre carrés dans les coins de cette feuille dont les côtés mesurent x cm . On admet que la valeur de x doit être comprise dans l’intervalle 0 ; 6 . Déterminer la valeur de x pour laquelle le volume de la boîte est maximal. 14. Polynômes - modélisation: avec l’usage d’une courbe E.4863 Sous un hangar, dont le toit est de forme ˇ parabolique ı, on souhaite installer une habitation de forme parallélépipédique. Le dessin ci-dessous illustre le problème : On suppose l’habitat s’étalant sur toute la longueur du hangar. Le but de cet exercice est de déterminer les dimen-sions de la façade de cet habitat afin d’en maximaliser le volume. On modélise ce problème par la figure ci-dessous : Le rectangle DEFG admet la droite ( CO ) pour axe de symétrie. On note x la mesure de la longueur AG . Dans le repère A ; I ; J , la courbe C f est la courbe représen-tative de la fonction f définie sur 0 ; 6 par la relation: f ( x ) = − 1 4 · x 2 + 3 2 · x On note A ( x ) l’aire du rectangle DEFG en fonction de x . 1 Le point G appartenant au segment [ AO ] , quelles sont les valeurs possibles pour la variable x ? 2 Démontrer que pour x ∈ 0 ; 3 : A ( x ) = 1 2 · x 3 − 9 2 · x 2 + 9 · x 3 a Déterminer le tableau de variations de la fonction A sur l’intervalle 0 ; 3 . b En déduire la valeur de x pour laquelle l’aire du rect-angle DEFG est maximale. https://chingmath.fr chapExoCorrec/4864 sacados/4864 5−xx1x1 chapExoCorrec/4632 sacados/4632 12cm24cmx chapExoCorrec/4863 sacados/4863 Cfx6mABCODEFGIJ
E.6618 On considère la fonction f définie par la relation: f ( x ) = 1 20 · x 2 + 1 10 · x + 7 16 On note C f la courbe représentative de la fonction f dans un repère O ; I ; J On souhaite encadrer l’aire du domaine du plan compris en-tre la courbe C f et l’axe des abscisses ainsi qu’entre les deux droites d’équations x = 1 2 et x = 5 2 . Pour cela, on va mesurer deux surfaces construites sous forme de trapèze : La première surface est formée à partir de la corde [ MN ] à la courbe C f : son aire majore l’aire recherchée ; La seconde surface sera construite en considérant la tan-gente (Δ) à la courbe C f au point d’abscisse 3 2 : son aire minore l’aire recherchée. On note : A et B les points de l’axe des abscisses ayant pour ab-scisses respectives 1 2 et 5 2 . M et N les points de la courbe C f admettant respective-ment pour abscisses 1 2 et 5 2 . P et Q les points de la droite (Δ) d’abscisses respectives 1 2 et 5 2 . La figure ci-dessous illustre, dans un repère orthogonal pour accentuer la différence de ces deux surfaces, les deux aires à calculer: On rappelle la formule du calcul de l’aire d’un trapèze : B + b × h 2 1 a Déterminer les coordonnées des points M et N . b En déduire l’aire du trapèze ABNM . 2 a Déterminer l’équation réduite de la tangente (Δ) . b Déterminer les coordonnées des points P et Q . c En déduire l’aire du trapèze ABQP 3 a En déduire un encadrement de l’aire A . b Quelle est l’amplitude de cet encadrement? E.5279 On considère la fonction f définie sur R par la rela-tion : f ( x ) = 4 − x 2 Ci-dessous, est donnée la courbe C f représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère O ; I J : Le point M est un point de l’axe des abscisses de coordon-nées ( x ; 0) où x ∈ 0 ; 2 . À partir du point M , on construit le rectangle MNPQ dont les côtés sont parallèles aux axes. Déterminer la position du point M afin que l’aire du rectangle MNPQ soit maximale. Indication : dans cet exercice, toute trace de recherche ou d’initiative, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation. E.5246 On considère la fonction f définie par la relation: f ( x ) = x 2 + x La représentation graphi-que est donnée ci-contre : On considère le point J de coordonnée (0 ; 1) et M un point de la courbe C f . Déterminer la position du point M pour laquelle la longueur JM est mini-male. Indication : on pourra utiliser la factorisation : 4 x 3 + 6 x 2 − 2 = 2( x + 1)(2 x 2 + x − 1) https://chingmath.fr chapExoCorrec/6618 sacados/6618 fichierPlus/6618/ Cf1252IJOMN CfBA32IJOMNPQ bBh chapExoCorrec/5279 sacados/5279 MNPQ2−24Cf chapExoCorrec/5246 sacados/5246 -2-12I-1234JOMCf
E.7573 Joe le cascadeur et sa ˇ 2CV ı doivent réaliser un saut représenté ci-dessous pour un tournage. Il peut choisir sa vitesse et l’angle d’inclinaison du tremplin de départ, mais pour optimiser sa réception, il souhaite at-terrir sur le tremplin d’arrivée avec la même inclinaison que celui-ci. Pour préparer son saut, il fait un repérage sur les lieux de pro- ductions (avec un repère O ; −→ i ; −→ j orthonormé représenté sur la représentation) et obtient les données suivantes : Le point A est à une hauteur de 1 m du sol. Les deux tremplins sont écartés de 9 m . Le point B est à une hauteur de 4 m . La pente du tremplin de réception a une longueur de 5 m . Utilisant ses connaissances de 1 o S , il modélise sa trajectoire par la courbe C f d’une fonction f du second degré. On notera cette fonction : f ( x ) = a · x 2 + b · x + c où a; b; c ∈ R Déterminer les coefficients de ce polynôme. Indication : toute trace de recherche ou d’initiative, même incomplète sera prise en compte dans l’évaluation. 15. Fonctions de références E.5215 Proposition: ci-dessous les dérivées de la fonction inverse et de la fonction racine carrée. Déterminer l’expression des dérivées des fonctions suivantes : 1 f ( x ) = 3 x 2 2 g ( x ) = 1 12 · x 6 3 h ( x ) = 4 x 4 j ( x ) = x 2 5 k ( x ) = 1 2 x 6 l ( x ) = − 2 x E.7679 Pour chaque question, une fonction f est proposée ainsi que l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . Établir l’expression de la fonction f pro-posée : f ( x ) f ( x ) 1 1 x − x 2 − 2 · x 3 − 1 x 2 2 x + x 2 + 1 x 2 · x 3 + x 2 − 1 x 2 3 x 2 + x 4 · x · x + 1 2 · x E.4685 Déterminer l’expression des fonc-tions dérivées de chacune des fonctions ci-dessous : 1 f : x ↦−→ x + 1 x 2 g : x ↦−→ 2 3 · x 3 − x 3 h : x ↦−→ 3 · x − 2 x 4 4 j : x ↦−→ 3 x − 1 x E.93 Déterminer les fonctions dérivées asso-ciées aux fonctions suivantes : 1 f : x ↦−→ x − 2 x 2 g : x ↦−→ 2 × 1 x 3 h : x ↦−→ − 5 x + x 4 k : x ↦−→ x 2 − 1 x E.1945 Déterminer l’expression de la dérivée de chacune des fonctions ci-dessous : 1 f : x ↦−→ x − 1 x 2 g : x ↦−→ 2 · x 3 h : x ↦−→ 3 x − 2 x 4 j : x ↦−→ 2 · x 3 + 2 x On présentera l’expression des dérivées sous la forme d’un quotient. E.4829 Déterminer l’expression des fonc-tions dérivées associées à chacun des fonctions suivantes : 1 f : x ↦−→ 5 + x + 1 x 2 g : x ↦−→ 3 x + 2 √ x 3 h : x ↦−→ 5 · x 3 − 3 x Les dérivées des fonctions g et h seront présentées sous forme de quotient. 16. Fonction inverse et tangentes https://chingmath.fr chapExoCorrec/7573 sacados/7573 ¸OABCD−i−j chapExoCorrec/5215 sacados/5215 Formule générale:f(x1xf(x−1x2g(x5xg(x−5x2h(x−73xh(x73x2 Formule générale:f(xxf(x12xg(x3xg(x32xh(x2x3h(x13x chapExoCorrec/7679 sacados/7679 chapExoCorrec/4685 sacados/4685 chapExoCorrec/93 sacados/93 chapExoCorrec/1945 sacados/1945 chapExoCorrec/4829 sacados/4829
E.2310 1 Donner l’équation réduite de la tangente à la courbe de la fonction carrée au point d’abscisse − 2 . 2 Donner l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction inverse au point d’abscisse 3. E.10451 On considère la fonction f définie sur R ∗ par : f ( x ) = 1 x − x + 2 Dans le plan muni d’un repère orthonormé O ; I ; J , on con-sidère la courbe C représentative de la fonction f donnée ci-dessous : On note ( d ) la tangente à la courbe C au point d’abscisse 1 . 1 Déterminer l’équation réduite de la tangente ( d ) . 2 Tracer dans le repère ci-dessous la tangente ( d ) . Indication : on indiquera les coordonnées des points util-isés pour tracer la tangente. E.5216 On considère la fonction f définie sur 0 ; + ∞ par la relation: f ( x ) = x + 2 x − 2 La courbe C f représentative de la fonction f est donnée ci- dessous dans un repère O ; I ; J orthonormé : 1 Montrer que la fonction f admet pour dérivée la fonction f dont l’expression est donnée par : f ( x ) = x 2 − 2 x 2 2 On souhaite déterminer l’équation réduite de la tangente ( T ) à la courbe C f au point d’abscisse 2 . a Donner le coefficient directeur de la tangente ( T ) . Jus-tifier votre démarche. b Déterminer l’équation réduite de la tangente ( T ) . c Tracer la droite ( T ) dans le repère ci-dessus. 3 On considère la droite ( d ) d’équation réduite : ( d ) : y = 1 2 · x a Sur 0 ; + ∞ , étudier le signe de l’expression : f ( x ) − 1 2 · x b En déduire la position relative de la courbe C f et de la droite ( d ) . 17. Fonction inverse, variations E.10533 On considère la fonction f définie sur R ∗ par : f ( x ) = 4 x + 1 x − 5 1 Établir que la fonction f admet pour fonction dérivée, la fonction f définie par : f ( x ) = 2 · x + 1 2 · x − 1 x 2 2 Dans un repère O ; I ; J , on considère la courbe C de la fonction f . Déterminer l’équation réduite de la tangente ( T ) à la courbe C au point d’abscisse 1 . 3 a Dresser le tableau de signe de la fonction f sur R ∗ . b En déduire les variations de la fonction f sur 0 ; + ∞ . E.10631 On considère la fonction f définie sur 0 ; + ∞ par : f ( x ) = 3 x + 4 x − 7 On munit le plan d’un repère orthonormé O ; I ; J et on donne la courbe C f représentative de la fonction f . https://chingmath.fr chapExoCorrec/2310 sacados/2310 chapExoCorrec/10451 sacados/10451 2I2345JOAB chapExoCorrec/5216 sacados/5216 2345I23JOCf chapExoCorrec/10533 sacados/10533 chapExoCorrec/10631 sacados/10631
1 Établir que la fonction f , dérivée de la fonction f , admet pour expression : f ( x ) = 3 · x 2 − 4 x 2 2 Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe C f au point d’abscisse 2 . 3 a Dresser le tableau de signes de la fonction f . b Dresser le tableau de varia-tions de la fonction f sur 0 ; + ∞ . E.10647 f ( x ) = 3 x + 4 + 3 x + 4 signes + variations E.10648 f ( x ) = 3 x + 2 + x + 1 signes + variations 18. Fonction inverse, modélisation E.1990 Partie A On considère la fonction f définie sur l’intervalle I =[20 ; 150] par : f ( x ) = 2 · x + 13 122 x 1 Montrer que sur l’intervalle I : f ( x )= 2 x 2 · ( x − 81)( x +81) En déduire que sur l’intervalle I : f ( x ) est du signe de ( x − 81) . 2 Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle I . 3 La représentation graphique de la fonction f est donnée ci-dessous : Déterminer avec la précision permise par le graphique, une valeur approchée des solutions de l’équation: f ( x )= 350 (le graphique n’est pas à rendre avec la copie) Partie B Un responsable de club doit organiser un déplacement. Le trajet total est de 600 km et le club dispose d’un bus dont la consommation en carburant, exprimée en litres par heure, est donnée par 5+ v 2 300 où v représente la vitesse moyenne du véhicule en kilomètres par heure. Le prix du litre de carburant est de 1 e et le chauffeur est payé 16 ; 87 e par heure. 1 On désigne par t la durée totale du trajet, exprimée en heures. a Exprimer t en fonction de v . b Démontrer que le coût du carburant, exprimé en euros, pour le trajet total est égal à: 3 000 v + 2 · v c Montrer que le coût du transport, exprimé en euros, est égal à f ( v ) . 2 En utilisant la partie A: a Donner la vitesse moyenne à laquelle doit rouler le bus pour que le coût du transport soit minimal. Quel est alors ce coût? b Le responsable du club dispose d’au plus 350 e pour le transport. Pour des raisons de sécurité, la vitesse moyenne du bus ne peut dépasser 90 kilomètres par heure. Déterminer l’intervalle dans lequel doit se situer la vitesse moyenne du bus, pour que le coût du trans-port ne dépasse pas 350 e . https://chingmath.fr 23I-12345JOCf sacados/10647 sacados/10648 chapExoCorrec/1990 sacados/1990 France - Septembre 2005 - 7 points 010203040506070809010011012013014015050100150200250300350400450500550600650700
E.96 On veut construire le long d’un bâtiment une aire de jeu rectangulaire de 450 m 2 . De plus, on souhaite que les dimensions de ce rectangle soient supérieures ou égales à 10 m . Cet espace de jeu est entouré sur trois côtés d’une allée de 3 m de large comme l’indique le croquis ci-dessous. L’ensemble est clôturé sur les trois côtés [ AB ] , [ BC ] et [ CD ] . On s’intéresse à la longueur L de la clôture : L = AB + BC + CD . On note x et y les dimensions en mètres de l’aire de jeu. 1 a Démontrer que y = 450 x , puis justifier que x appar-tient à l’intervalle 10 ; 45 . b Exprimer la longueur L en fonction de x . 2 Soit f la fonction définie sur l’intervalle 10 ; 45 par : f ( x ) = 2 · x + 12 + 450 x a Déterminer la fonction dérivée f de la fonction f . b Démontrer que, pour tout x appartenant à 10 ; 45 , f ( x ) a le même signe que ( x 2 − 225) . En déduire le signe de f ( x ) suivant les valeurs de x . c Dresser le tableau de variations de f . 3 Déduire de l’étude précédente les dimensions à donner à l’aire de jeu pour que la longueur de la clôture soit la plus petite possible. Quelle est alors cette longueur? 19. Fonction racine carrée E.5220 On considère la fonction f définie sur R + par la relation: f ( x ) = − x + 2 x Dans le repère O ; I ; J ci-dessous, est donnée la courbe C f représentative de la fonction f . 1 a Montrer que la fonction f admet pour dérivée, sur R ∗ + , la fonction f dont l’expression est donnée par : f ( x ) = 1 − x x b Déterminer la valeur des nombres dérivés de la fonc-tion f en 1 4 et en 4 . 2 On note ( d ) et (Δ) les tangentes à la courbe C f aux points d’abscisse respectifs 1 4 et 4 . a Déterminer les équations réduites des tangentes ( d ) et (Δ) . b Montrer que les deux droites ( d ) et (Δ) s’interceptent au point de coordonnées 1 ; 3 2 . c Tracer sur le graphique les droites ( d ) et (Δ) . 20. Quotient: décomposition des fractions rationnelles E.10633 A REVOIR PAS TROP DE SENS On considère la fonction f définie par : f ( x ) = 6 · x 2 − 13 · x + 8 2 · x − 1 1 Établir : f ( x ) = 3 · x − 5 + 3 2 · x − 1 2 En déduire l’expression de la fonction f : f ( x ) = 12 x 2 − 12 x − 3 2 · x − 1 2 21. Exercices non-classés https://chingmath.fr chapExoCorrec/96 sacados/96 3yxABCD chapExoCorrec/5220 sacados/5220 -12345678I-3-2-12JOCf chapExoCorrec/10633 sacados/10633
E.7051 On a représenté ci-dessous la courbe représentative d’une fonction g définie et dérivable sur 0 ; 5 ainsi que sa tangente horizontale au point A d’abscisse 3 . Parmi les quatre propositions ci-dessous, laquelle est exacte? Le signe de la fonction dérivée de g est : a négatif sur 0 ; 1 b positif sur 3 ; 4 c négatif sur 1 ; 4 d change en x =4 E.7008 La représentation graphique d’une fonction f définie et dérivable sur R est tracée ci-dessous ainsi que les tangentes respectives aux points d’abscisses − 3 et 0 . Parmi les quatre réponses ci-dessous, laquelle est correcte: a f (0) = − 1 b f ( − 1) = 0 c f ( − 3) = − 1 d f ( − 3) = 3 E.7037 Indication : dans ce questionnaire à choix multiples, au-cune justification n’est demandée. Pour chacune des ques-tions, une seule des réponses proposées est correcte. Une bonne réponse rapporte 0 ; 75 point. Une mauvaise réponse ou l’absence de réponse n’enlève ni ne rapporte aucun point. Noter sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. Dans un repère orthonormé du plan, on donne la courbe représentative C f d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle − 1 ; 5 . On note f la fonction dérivée de f . La courbe C f passe par le point A (0 ; 1) et par le point B d’abscisse 1 . La tangente T 0 à la courbe au point A passe par le point C (2 ; 3) et la tangente T 1 au point B est parallèle à l’axe des abscisses. 1 La valeur exacte de f (1) est : a 0 b 1 c 1 ; 6 d autre réponse 2 La valeur exacte de f (0) est : a 0 b 1 c 1 ; 6 d autre réponse 3 La valeur exacte de f (1) est : a 0 b 1 c 1 ; 6 d autre réponse https://chingmath.fr chapExoCorrec/7051 sacados/7051 01234-112A chapExoCorrec/7008 sacados/7008 Extrait Liban Mai 2016 -7-6-5-4-3-2-12345I-4-3-2-12345JOCf chapExoCorrec/7037 sacados/7037 Extrait Asie Juin 2016 -10123450,511,522,53CfACBT0T1
E.7048 On considère une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle − 2 ; 5 , croissante sur − 2 ; 2 et décroissante sur 2 ; 5 . On note f la fonction dérivée de la fonction f . La courbe ( C ) tracée ci-dessous représente la fonction f dans le plan muni d’un repère orthonormé ; elle passe par les points A ( − 2 ; 0) , B 2 ; 4 3 et C (4 ; 0) . Elle admet en chacun des points A et B une tangente paral-lèle à l’axe des abscisses et sa tangente ( T ) au point C passe par le point D (2 ; 3) . Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. La jus-tification peut reposer sur le graphique ou sur un calcul. Proposition 1: f (4)= − 2 3 Proposition 2: f (2) = 0 E.7035 La courbe ( C ) ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction f définie et dérivable sur 0 ; 5 ; 6 . Les points A (1 ; 3) et B d’abscisse 1 ; 5 sont sur la courbe ( C ) . Les tangentes à la courbe ( C ) aux points A et B sont aussi représentées en pointillés sur ce graphique, la tangente au point B est horizontale. On note f la fonction dérivée de f . 1 Déterminer f (1 ; 5) . 2 La tangente à la courbe ( C ) passant par A passe par le point de coordonnées (0 ; 2) . Déterminer une équation de cette tangente. E.7022 Soit la fonction f définie pour tout réel x strictement positif par : f ( x ) = 5 − x + 2 · ln x On a représenté ci-dessous la courbe représentative C de la fonction f , ainsi que T , la tangente à la courbe C au point A d’abscisse 4 . Parmi les quatre propositions ci-dessous, laquelle est exacte? Sur l’intervalle 0 ; 10 , l’équation f ( x )=0 admet : a Aucune solution b Une seule solution c Deux solutions d Plus de deux solutions https://chingmath.fr chapExoCorrec/7048 sacados/7048 Extrait Asie Juin 2014 -2-1012345-2-1123(C(TABCD chapExoCorrec/7035 sacados/7035 0123456-2-112345(CAB chapExoCorrec/7022 sacados/7022 012345678910-1123456Cf
E.7062 La fonction f est définie pour tout réel x élément de l’intervalle 1 ; 7 par : f ( x ) = 1 ; 5 · x 3 − 9 · x 2 + 24 · x + 48 On note f la fonction dérivée de la fonction f et f  sa dérivée seconde sur 1 ; 7 1 Calculer f ( x ) 2 Calculer f  ( x ) E.7533 On considère la fonction f définie sur l’intervalle − 3 ; 5 ; 0 ; 5 par la relation: f ( x ) = 0 ; 25 · x 3 + x 2 + x + 0 ; 5 On note C f la courbe représentative de la fonction f dans le repère ci-dessous : 1 Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . 2 Déterminer les valeurs de f (0) et f (0) par la fonction f . 3 a Déterminer l’équation réduite de la tangente ( T ) à la courbe C f au point d’abscisse 0 . b Tracer la tangente ( T ) dans le repère ci-dessus. E.7090 On considère la fonction définie par la relation: f ( x ) = x 2 − 6 x + 5 Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on note C f la courbe représentative de la fonction f . On note ( d ) et (Δ) les deux tangentes à la courbe C f respec-tivement aux points d’abscisses 2 et 5 . 1 Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . 2 Déterminer l’équation de la tangente ( d ) . 3 Déterminer l’équation de la tangente (Δ) . E.7251 Une entreprise fabrique des cro-quettes pour chiens. Chaque jour, elle en fabrique entre 0 et 80 tonnes. Le coût de fabrication de x tonnes, en euros, est modélisé par la fonction C définie par : C ( x ) = x 3 − 105 · x 2 + 3700 · x + 4000 Une tonne de croquettes est vendue 1 900 e . La recette, pour x tonnes vendues, est donc donnée par une fonction R définie sur l’intervalle 0 ; 80 . 1 a Pour x appartenant à l’intervalle 0 ; 80 , donner l’expression de R ( x ) . b En déduire que le bénéfice réalisé par la vente de x tonnes de croquettes est donné par la fonction B définie sur l’intervalle 0 ; 80 par : B ( x ) = − x 3 + 105 · x 2 − 1800 · x − 4000 2 Calculer B ( x ) où B désigne la dérivée de la fonction B . 3 Justifier que le signe de B ( x ) est donné par le tableau suivant : x 0 10 60 80 Signe de B ( x ) − 0 + 0 − 4 En déduire le tableau de variations de la fonction B sur l’intervalle 0 ; 80 . 5 Quelle doit être la quantité de croquettes que l’entreprise doit vendre pour réaliser un bénéfice maximal? Que vaut ce bénéfice? E.7295 Dans le repère O ; I ; J donné ci-dessous, est donnée la courbe C f représentative d’une fonc-tion f définie sur 0 ; 5 ; 7 : Sans justification, dresser le tableau de signes de la fonction f dérivée de la fonction f https://chingmath.fr chapExoCorrec/7062 sacados/7062 chapExoCorrec/7533 sacados/7533 x-3-2-10y-2-11Cf chapExoCorrec/7090 sacados/7090 chapExoCorrec/7251 sacados/7251 chapExoCorrec/7295 sacados/7295 2345678I234JOCf