Première spécialité / Génération d'une suite 63 exercices corrigés

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ChingQuizz : 3 exercices disponibles pour l’evaluation par QCM : 1. Mode de génération explicite E.7184 Pour chaque question, déterminer les quatre premiers termes de la suite u n n ∈ N : a u n = n + 1 n + 2 b u n = n 2 + n + 1 c u n = n − 2 n + 1 E.9484 Pour chacune des questions, déter-miner les cinq premiers termes de la suite u n définie par : a u n = 3 · n 2 + n + 2 n + 2 pour tout n ∈ N b u n = 2 n 2 + n + 5 n + 1 pour tout n ∈ N E.7185 On considère la suite u n n ∈ N dont le terme de rang n est donné par la relation: u n = − 7 4 · 1 − ( − 1) n + 3 1 Déterminer les cinq premiers termes de cette suite. 2 Que peut-on dire de la valeur des termes de la suite u n ? E.8486 On considère la suite v n n ∈ N définie par la formule explicite: v n = 2 n 2 − 3 n + 2 pour tout entier naturel n . On souhaite étudier la différence entre deux termes consécu-tifs de la suite ( v n ) : 1 Donner l’expression du terme v n +1 en fonction de n . 2 Étudier la valeur de v n +1 − v n en fonction de n . 2. Mode de génération par récurrence E.2377 On définit la suite par récurrence u n n ∈ N par la relation: u 0 =5 ; u n +1 = 2 · u n − 1 pour tout n ∈ N Déterminer les cinq premiers termes de la suite ( u n ) . E.9510 On considère la suite v n n ∈ R définie par : v n +1 = 1 − v n 1 + v n ; v 0 = 3 1 Déterminer les cinq premiers termes de la suite v n . 2 Que remarque-t-on? E.9509 Pour chaque question, déterminer les quatre premiers termes de la suite u n n ∈ N : a u n +1 = 2 · u n − 2 ; u 0 = 3 b u n +1 = 2 · u n − 2 ; u 0 = 1 c u n +1 = u n − 2 u n + 1 ; u 0 = 2 E.5041 Justifier que, dans chaque question, les informations ci-dessous ne définissent pas de suites : a u 0 = 5 ; u n +1 = 2 · u n − 3 pour tout n ∈ N ∗ b u 0 = 1 ; u 1 = 4 ; u n +1 = u n − 3 pour tout n ∈ N c u 0 = 3 ; u n = 2 · u n − 1 − 2 pour tout n ∈ N d u 0 = − 1 ; u n = u n − 1 − 2 u n − 1 + 1 pour tout n ∈ N ∗ 3. Mode de génération par récurrence d’ordre 2 E.9513 On considère la suite u n définie pour tout n ∈ N par les relations : u 0 = 2 ; u 1 = 3 ; u n +1 = u n + 2 · u n − 1 pour tout n ∈ N ∗ Déterminer les quatre premiers termes de la suite u n . E.5857 On considère la suite u n définie par : u 0 = 3 ; u 1 = 1 u n +2 = 2 · u n +1 + u n pour tout n ∈ N Donner les cinq premiers termes de la suite u n . E.10358 On considère la suite u n définie pour tout entier naturel n par : u 0 = 1 ; u 1 = − 2 ; u n +2 = 2 · u n +1 − u n + 2 u n +1 + u n − 2 1 Déterminer les 4 premiers termes de la suite u n . 2 Que peut-on en déduire de la suite u n . E.10359 On considère la suite u n définie pour tout entier naturel n par : u 0 = 2 ; u 1 = − 2 ; u n +2 = u n +1 − u n + 2 2 · u n +1 + 2 · u n + 2 Montrer que la suite u n est périodique de période 2 à partir du terme de rang 4 . https://chingmath.fr quizzChap/1271 chapExoCorrec/7184 sacados/7184 chapExoCorrec/9484 sacados/9484 chapExoCorrec/7185 sacados/7185 chapExoCorrec/8486 sacados/8486 chapExoCorrec/2377 sacados/2377 chapExoCorrec/9510 sacados/9510 chapExoCorrec/9509 sacados/9509 chapExoCorrec/5041 sacados/5041 chapExoCorrec/9513 sacados/9513 chapExoCorrec/5857 sacados/5857 chapExoCorrec/10358 sacados/10358 chapExoCorrec/10359 sacados/10359
4. Autres modes de générations E.9512 On considère la suite u n définie pour tout n ∈ N par les relations : u 0 = − 1 ; u n +1 = u n + n − 2 pour tout n ∈ N Déterminer les quatre premiers termes de la suite u n . E.8405 On considère la suite u n définie pour tout n ∈ N par : u 0 = 2 ; u n +1 = 3 · u n − 2 · n + 1 Déterminer les quatre premiers termes de la suite u n . E.9515 On considère la suite v n définie par : v 0 = − 3 ; v n +1 = n − 2 · v n pour tout n ∈ N Donner les quatre premiers termes de la suite v n . E.9539 On considère la suite u n définie pour tout n ∈ N par : u 0 = 5 ; u n +1 = u n − 4 · n + 3 Déterminer les quatre premiers termes de la suite u n . E.5104 On considère la suite u n définie pour tout n ∈ N par les relations : u 0 = 2 ; u n +1 = 1 2 · u n + 3 pour tout n ∈ N Déterminer les quatre premiers termes de la suite u n . E.8045 On considère la suite u n définie pour tout n ∈ N par : u 0 = 1 ; u n +1 = 4 · u n 3 · n − 2 Déterminer les cinq premiers termes de la suite u n E.8404 On considère la suite v n définie pour tout n ∈ N par : v 0 = 1 ; v n +1 = 3 · v n 2 · n − 3 Déterminer les six premiers termes de la suite v n E.5134 Pour chacune des questions, déter-miner les cinq premiers termes de la suite u n définie par : v 0 = 1 ; v n +1 = − 4 · v n 3 · n − 4 pour tout n ∈ N E.9511 On définit la suite par récurrence v n n ∈ N ∗ par la relation: v 1 = − 2 ; v n +1 = 1 − v n n pour tout n ∈ N ∗ Déterminer les cinq premiers termes de la suite ( v n ) . E.4628 On considère la construction d’une figure par étapes successives : À l’étape 0 , la figure est constituée d’un carré de côté 4 . On construit une série d’étapes en rajoutant un carré dont le côté mesure la moitié du carré précédemment ajouté. Voici les trois premières étapes de construction de cette fig-ure : On note u n l’aire totale de la figure construite à l’étape n e . Ainsi, la suite u n est définie pour tout entier naturel n et on a: u 0 = 16 1 Justifier que la suite u n vérifie la relation de récurrence : u n +1 = u n + 4 2 2 n 2 On admet l’existence de deux nombres réels ¸ et ˛ tels que la suite u n admette pour expression explicite: u n = ¸ + ˛ · 1 4 n . Conjecturer les valeurs de ¸ et ˛ E.7306 On considère la suite u n définie par : u 0 = 1 ; u n +1 = n + 2 · u n + 1 n + 1 pour tout n ∈ N 1 Déterminer les quatre premiers termes de la suite u n . 2 Conjecturer la nature de la suite u n en justifiant votre démarche. 5. Utilisation de suites auxiliaires E.3020 Soit u n n ∈ N la suite définie par la relation: u n = 7 × 4 n − 2 × 3 n 1 Montrer que la suite ( u n ) vérifie la relation suivante : u n +2 = 7 · u n +1 − 12 · u n . 2 On considère la suite v n n ∈ N définie par la relation: v n = u n +1 − 3 · u n Montrer que la suite ( v n ) est une suite géométrique. On donnera le premier terme et la raison. 6. Suites définies conjointement https://chingmath.fr chapExoCorrec/9512 sacados/9512 chapExoCorrec/8405 sacados/8405 chapExoCorrec/9515 sacados/9515 chapExoCorrec/9539 sacados/9539 chapExoCorrec/5104 sacados/5104 chapExoCorrec/8045 sacados/8045 chapExoCorrec/8404 sacados/8404 chapExoCorrec/5134 sacados/5134 chapExoCorrec/9511 sacados/9511 chapExoCorrec/4628 sacados/4628 Etape no0 Etape no1 Etape no2 chapExoCorrec/7306 sacados/7306 chapExoCorrec/3020 sacados/3020
E.9514 On considère les deux suites u n et v n définies par les relations : u 0 = − 2 ; v 0 =1 ; u n +1 = u n + v n − 3 v n +1 = 2 · u n − v n + 1 pour tout n ∈ N Déterminer les quatre premiers termes de ces deux suites. E.9541 On considère les deux suites u n et v n définies pour tout entier naturel n par : u 0 = 2 ; v 0 = 3 ; u n +1 = 2 · u n + v n 3 v n +1 = u n + 5 · v n 6 1 Déterminer les trois premiers termes de chacune des suites u n et v n . 2 On considère la suite w n définie pour tout entier na-turel n par : w n = u n − v n Démontrer que la suite w n est une suite géométrique dont on précisera les éléments caractéristiques. E.10396 On considère les deux suites u n et v n définie sur N par : u 0 = 10 ; v 0 = 7 ; u n +1 = u n − 4 · v n 3 v n +1 = − 5 · u n + 2 · v n 3 1 Déterminer les trois premiers termes de chacune de ces deux suites. 2 On définit la suite w n , pour tout entier naturel n , par : w n = u n − v n a Établir que la suite w n est une suite géométrique. On précisera sa raison. b Sachant que u 19 =699 042 et en laissant les étapes de votre raisonnement, déterminer la valeur de v 19 . E.10397 On considère les suites u n et v n définies pour tout n ∈ N par : u 0 =5 ; v 0 =2 ; u n +1 = 4 · u n − 3 · v n v n +1 = 2 · u n − v n pour tout n ∈ N 1 On définit la suite w n définie pour tout entier n ∈ N : w n = u n − v n a Établir que la suite w n est une suite géométrique de raison 2 dont on précisera le premier terme. b Donner l’expression explicite des termes de la suite w n en fonction de n . 2 Sachant que v 22 =25 165 820 , déterminer la valeur du terme u 22 . E.10454 On considère les suites u n et v n définies sur N par : u 0 = 2 u n +1 = 0 ; 1 · u n + 0 ; 4 · v n u n + v n = 5 Justifier que ces deux suites vérifient les conditions ci-dessous : u 0 = 2 ; v 0 = 3 u n +1 = 0 ; 1 · u n + 0 ; 4 · v n v n +1 = 0 ; 9 · u n + 0 ; 6 · v n 7. Tout mode de génération E.6645 On considère trois suites u n , v n et t n dont les premiers termes ont été donnés dans la feuille de calcul ci-dessous : 1 Vérifier que les formules ci-dessous sont vérifiées par les valeurs du tableau : B 5=2 ∗ B 4+1 C 3= C 2 − A 2+3 D 6= D 5 − 2 ∗ D 4 2 Utiliser ces formules pour en déduire la formule de récur-rence définissant chacun des termes de ces suites. E.6522 On considère les suites de nombres ci-dessous : a 4 ; 7 ; 10 ; 13 ; 16 ; 19 ; 22 . . . b 1 ; − 2 ; 4 ; − 8 ; 16 ; − 32 ; 64 . . . c 2 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 12 ; 17 . . . d 0 ; 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 . . . e 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 . . . f 1 ; 2 ; 1 ; 2 ; 1 ; 2 ; 1 . . . Associer à chacune de cette suite une relation ci-dessous qui permet d’obtenir un terme en fonction de ses prédécesseurs : 1 u n + u n +1 = u n +2 2 2 u n = u n +1 3 u n + n = u n +1 4 − 2 × u n = u n +1 5 u n + 3 = u n +1 6 u n = n 2 https://chingmath.fr chapExoCorrec/9514 sacados/9514 chapExoCorrec/9541 sacados/9541 chapExoCorrec/10396 sacados/10396 chapExoCorrec/10397 sacados/10397 fichierPlus/10397/ chapExoCorrec/10454 sacados/10454 chapExoCorrec/6645 sacados/6645 1234567ABCDnunvntn01234537153163255581011111064-8-16032 chapExoCorrec/6522 sacados/6522
E.7305 On considère une suite u n dont on connait la valeur de ses cinq premiers termes : u 0 =0 ; u 1 =11 ; u 2 =20 ; u 3 =27 ; u 4 =32 Parmi les expressions de suites ci-dessous, lesquelles permet-tent d’obtenir ces mêmes cinq premiers termes? a u 0 = 0 u n +1 = u n + n + 11 pour tout n ∈ N b u 0 = 0 u n +1 = − u n + 3 n + 11 pour tout n ∈ N c u 0 = 0 u n +1 = u n − 2 n + 11 pour tout n ∈ N d u n = 13 · n − 2 · n 2 e u n = − n 2 + 12 · n f u n = 2 · n 2 + 9 · n 8. Approfondissement: un peu plus loin E.2986 On considère la construction d’un château de cartes : On considère la suite u n n ∈ N désignant le nombre de cartes utilisées dans la construction du château à l’étape n . 1 Déterminer les quatre premiers termes de la suite u n . 2 Pour tout entier naturel n , déterminer une expression du terme u n +1 en fonction du terme précédent u n et du rang n . 3 À quelle étape de construction peut-on arriver avec deux jeux de 72 cartes? E.5858 On construit successivement un ob-jet comme le représente le schéma ci-dessous : Pour tout entier naturel n non-nul, on note u n le nombre de planches nécessaires pour construire la figure à l’étape n . Donner une relation de récurrence caractérisant la suite u n . E.6132 On considère les constructions suiv-antes : On note u n la suite numérique définie sur N ∗ où u n représente le nombre d’allumettes nécessaire à la construction de la n ième étape. 1 Déterminer une relation de récurrence entre un terme de la suite u n et de son prédécesseur. 2 On considère la suite v n définie par la relation: v n = 2 · n 2 + 2 · n pour tout n ∈ N À l’aide d’un tableur, déterminer les 10 premiers termes des suites u n et v n . E.7245 On considère la construction d’un château de cartes : On note u n le nombre de cartes nécessaires à la construction de château de cartes à l’étape n . On définit ainsi une suite u n définie sur N ∗ . Conjecturer une relation de récurrence sur les termes de la suite u n . https://chingmath.fr chapExoCorrec/7305 sacados/7305 chapExoCorrec/2986 sacados/2986 u0u1u2 chapExoCorrec/5858 sacados/5858 Une plancheu1u2u3 chapExoCorrec/6132 sacados/6132 1erétape2ièmeétape3ièmeétape chapExoCorrec/7245 sacados/7245 1erétape2ièmeétape3ièmeétape
E.8047 On considère la construction ci-dessous effectuée d’étapes en étapes la construction de tri-angles équilatéraux à l’aide d’allumettes : Pour tout entier naturel n non-nul, on note u n le nombre d’allumettes nécessaires à la construction de la figure à l’étape n . Ainsi, on a: u 1 =3 1 Parmi les relations ci-dessous, laquelle vérifie les termes de la suite u n : a u n +1 = 3 · u n + 3 b u n +1 = u n + 3 · n + 3 c u n +1 = u n + 6 · n d u n +1 = u n − 3 · n + 9 2 Parmi les relations ci-dessous, laquelle vérifie les termes de la suite u n : a u n = 3 2 · n 2 + 3 2 · n b u n = n 2 + 2 · n c u n = 3 2 · n 2 − 1 2 · n + 1 d u n = n 2 + 3 2 · n + 1 2 3 Donner la valeur du terme u 6 . E.7244 On considère les constructions suiv-antes : On note u n la suite numérique définie sur N ∗ où u n représente le nombre d’allumettes nécessaire à la construction de la n ième étape. Conjecturer une relation de récurrence entre un terme de la suite u n et de son prédécesseur. E.7310 Ci-dessous sont présentés les étapes récurrentes de la construction d’une figure géométrique À chaque étape, chaque segment de la figure est divisée en 3 parties égales et sur le segment du milieu, on construit un carré dont on efface le segment du milieu: Sachant que le carré de l’étape 1 a ses côtés qui mesurent 1 , déterminer le périmètre de la figure obtenue à l’étape 4 . On donnera la valeur exacte et la valeur arrondie au centième près. https://chingmath.fr chapExoCorrec/8047 sacados/8047 1erétape2ièmeétape3ièmeétape chapExoCorrec/7244 sacados/7244 1erétape2ièmeétape3ièmeétape chapExoCorrec/7310 sacados/7310 Etape 1 Etape 2 Etape 3 Etape 4
E.11578 On considère la construire d’une figure étape par étape ci-dessous : où on entoure au fure et à mesure un carré de côté 2 par des arreaux de côté 1 . On note u n le nombre de carreaux utilisés à l’étape n . 1 Compléter le tableau ci-dessous : n 1 2 3 4 5 u n 2 Déterminer les valeurs de a;b ∈ R vérifiant la relation: u n +1 = u n + a · n + b La figure ci-dessous met en avance les éléments ajoutés d’une étape à l’autre: On note v n le nombre de carreaux ajoutés pour obtenir la figure à l’étape n . 2 a Compléter le tableau ci-dessous : n 1 2 3 4 5 v n b Quelle est la nature de la suite v n ? Donner ses élé-ments caractéristiques. 3 On remarque que : u 2 = v 1 + v 2 ; u 3 = v 1 + v 2 + v 3 ; . . . a Comment peut-on décrire les termes de la suite u n en fonction des termes de la suite v n ? b Etablir que pour tout n ∈ N ∗ , on a: u n = 4 · n 2 + 8 · n E.11583 On considère la construire d’une figure étape par étape ci-dessous : où on entoure au fure et à mesure un carré de côté 2 par des arreaux de côté 1 . On note u n le nombre de carreaux utilisés à l’étape n . 1 Compléter le tableau ci-dessous : n 1 2 3 4 5 u n 2 Déterminer les valeurs de a;b ∈ R vérifiant la relation: u n +1 = u n + a · n + b La figure ci-dessous met en avance les éléments ajoutés d’une étape à l’autre: On note v n le nombre de carreaux ajoutés pour obtenir la figure à l’étape n . 2 a Compléter le tableau ci-dessous : n 1 2 3 4 5 v n b Quelle est la nature de la suite v n ? Donner ses élé-ments caractéristiques. 3 On remarque que : u 2 = v 1 + v 2 ; u 3 = v 1 + v 2 + v 3 ; . . . a Comment peut-on décrire les termes de la suite u n en fonction des termes de la suite v n ? b Etablir que pour tout n ∈ N ∗ , on a: u n = 3 · n 2 + 3 · n 9. Activité TICE E.7556 On considère la suite u n définie par : u 0 = 1 ; u n +1 = 2 · u n + 3 n pour tout n ∈ N . 1 a Vérifier la valeur des deux termes suivants : u 1 = 3 ; u 2 = 9 b Déterminer la valeur du terme de rang 3 de la suite u n . 2 a Compléter l’algorithme ci-dessous afin que la vari- able u prenne successivement les 20 premiers termes de la suite u n u ← 1 Pour i allant de 0 à ... u ← ... Fin Pour b Saisir cet algorithme dans AlgoBox afin qu’il affiche les 20 premiers termes de la suite u n . Quelle conjecture peut-on faire sur la nature de la suite u n ? https://chingmath.fr sacados/11578 Etape 1Etape 2Etape 3Etape 4 Etape 1Etape 2Etape 3Etape 4 sacados/11583 Etape 1Etape 2Etape 3Etape 4 Etape 1Etape 2Etape 3Etape 4 chapExoCorrec/7556 sacados/7556
E.7557 On considère la suite u n définie par : u 0 = 3 ; u n +1 = 9 × 2 n − u n 1 a Vérifier la valeur des deux termes suivants : u 1 = 6 ; u 2 = 12 b Déterminer la valeur du terme de rang 3 de la suite u n . 2 a À l’aide d’une feuille de calcul, générer les 20 pre-miers termes de cette suite. b Quelle conjecture peut-on faire sur la nature de la suite u n ? E.7558 On considère la suite u n définie par : u 0 = 1 ; u n +1 = n + 2 · u n + 1 n + 1 pour tout n ∈ N 1 a Vérifier la valeur des deux termes suivants : u 1 = 3 ; u 2 = 5 b Déterminer la valeur du terme de rang 3 de la suite u n . 2 a À l’aide d’une feuille de calcul, générer les 20 pre-miers termes de cette suite. b Quelle conjecture peut-on faire sur la nature de la suite u n ? E.7559 On considère la suite u n n ∈ N définie par la relation de récurrence et vérifiant les conditions : u 0 = 5 ; u 1 = 11 ; u n +2 = 2 · u n +1 − u n pour tout n ∈ N 1 a Vérifier la valeur des deux termes suivants : u 2 = 17 ; u 3 = 23 b Déterminer la valeur du terme de rang 4 de la suite u n . 2 a Compléter l’algorithme suivant afin que la variable a prenne au cours de l’exécution de l’algorithme les 20 premiers termes de la suite u n : a ← 5 b ← a a ← 11 Pour i allant de 2 à ... c ← a a ← ... b ← c Fin Pour b Saisir cet algorithme dans AlgoBox afin qu’il affiche les 20 premiers termes de la suite u n . Quelle conjecture peut-on faire sur la nature de la suite u n ? E.7285 On considère la suite u n géométrique de premier terme de 2 et de raison 2 : 1 Saisir l’algorithme ci-dessous. n ← 0 u ← 2 Tant que u<1000 u ← 2 × u n ← n + 1 Fin Tant que Interpréter la valeur de la variable n à la fin de l’exécution de l’algorithme. 2 Modifier l’algorithme pour connaitre le rang du premier terme supérieur à 5 000 . E.8357 On considère l’algorithme ci-dessous : a ← 2 Pour i allant de 0 à 5 a ← a + 3 Fin 1 Afin de connaître la valeur de la variable a à la fin de l’exécution de cet algorithme, saisissez cet algorithme dans le langage Python : a=2; for i in range(0,6): a=a+3; print(a) 2 Parmi les suites ci-dessous laquelle a été implémentée dans l’algorithme précédent : a u 0 = 3 u n +1 = u n + 2 b u 0 = 3 u n +1 = 2 × u n c u 0 = 2 u n +1 = u n + 3 d u 0 = 2 u n +1 = 3 × u n E.8358 On considère la suite u n géométrique de premier terme 4 et de raison 2 . 1 Parmi les algorithmes ci-dessous, lequel permet d’afficher le terme de rang 8 de la suite u n : a a ← 4 Pour i allant de 0 à 8 a ← a × 2 Fin Pour Afficher a b a ← 4 Pour i allant de 1 à 8 a ← a × 2 Fin Pour Afficher a c a ← 2 Pour i allant de 0 à 8 a ← a × 4 Fin Pour Afficher a d a ← 2 Pour i allant de 1 à 8 a ← a × 4 Fin Pour Afficher a 2 Modifiez l’algorithme pour obtenir la valeur du terme u 12 https://chingmath.fr chapExoCorrec/7557 sacados/7557 chapExoCorrec/7558 sacados/7558 chapExoCorrec/7559 sacados/7559 chapExoCorrec/7285 sacados/7285 chapExoCorrec/8357 sacados/8357 chapExoCorrec/8358 sacados/8358
E.5092 On considère l’algorithme suivant : a ← − 1 Pour i allant de 0 à 4 a ← a × 2 − i+1 Fin Pour 1 Donner les différentes valeurs prises par la variable a lors d’une exécution pas à pas de cet algorithme. 2 Donner l’expression d’une suite u n dont les cinq pre-miers termes sont les différentes valeurs prises par la vari-able a lors de l’exécution de cet algorithme. E.5091 On considère l’algorithme suivant : a ← 2 Pour i allant de 0 à 5 a ← a × 2 Fin Pour 1 Lors de son exécution pas à pas, indiquer les différentes valeurs prises par la variable a 2 Parmi les expressions choisies qu’elle (s) peuvent être l’expression d’une suite u n afin que ses six premiers termes soient les valeurs prises par la variable a lors de l’exécution de l’algorithme précédent : a u n = 2 · n; ∀ n ∈ N b u n = 2 n ; ∀ n ∈ N c u n = 2 n +1 ; ∀ n ∈ N d u 0 = 2 u n +1 = 2 · u n ; ∀ n ∈ N e u 0 = 2 u n = 2 · u n +1 ; ∀ n ∈ N f u 0 = 2 u n = 2 · u n − 1 ; ∀ n ∈ N ∗ E.5090 On considère l’algorithme suivant : Pour i allant de 0 à 5 a ← i × (i − 1) Fin Pour 1 Lors de l’exécution pas à pas de cet algorithme, donner les valeurs prises par la variable a . 2 Donner l’expression d’une suite u n dont les six pre-miers termes sont les valeurs affichées par l’algorithme. E.7190 1 a Dans un langage de programmation, saisir l’algorithme suivant : a ← 2 Pour i allant de 0 à 4 a ← a+3 Fin Pour b En effectuant une exécution pas à pas, noter les valeurs successives prises par la variable a : . . . ; . . . ; . . . ; . . . ; . . . ; . . . 2 a Modifier l’algorithme pour que les valeurs succes-sives prises par la variable a soit : 2 ; 6 ; 10 ; 14 ; 18 ; 22 b Modifier l’algorithme pour que les valeurs successives prises par la variable a soit : 5 ; 10 ; 15 10. Autour des suites arithmétiques et géométriques E.9540 On considère la suite v n définie pour tout n ∈ N par : v 0 = 2 ; v 1 = 3 ; v n +2 = v n +1 + 2 · v n − 3 Justifier que la suite v n n’est pas une suite arithmétique. E.10360 On considère la suite u n définie pour tout n ∈ N par : u 0 = 4 ; u n +1 = 3 · u n − 4 · n − 4 Justifier que la suite u n n’est pas une suite géométrique. E.9542 On considère la suite u n définie pour tout n ∈ N par : u 0 = 4 ; u n +1 = 2 · u n − 3 · n − 1 1 a Déterminer les quatre premiers termes de la suite u n . b Quelle conjecture peut-on poser pour la nature de la suite u n ? 2 On considère la suite v n n ∈ N arithmétique de premier terme 4 et raison 3 . a Exprimer l’expression v n +1 − 2 · v n en fonction de n . b Montrer que les suites u n et v n sont égales. E.9543 On considère les deux suites u n et v n définies pour tout entier naturel n par : u 0 = 3 ; v 0 = − 1 ; u n +1 = 6 · u n + 3 · v n 6 v n +1 = 8 · u n − 2 · v n 4 1 Déterminer les trois premiers termes de chacune des suites u n et v n . 2 On considère la suite w n définie pour tout entier na-turel n par : w n = u n − v n Démontrer que la suite w n est une suite géométrique dont on précisera les éléments caractéristiques. 11. Exercices non-classés https://chingmath.fr chapExoCorrec/5092 sacados/5092 chapExoCorrec/5091 sacados/5091 chapExoCorrec/5090 sacados/5090 chapExoCorrec/7190 sacados/7190 chapExoCorrec/9540 sacados/9540 chapExoCorrec/10360 sacados/10360 chapExoCorrec/9542 sacados/9542 chapExoCorrec/9543 sacados/9543
E.8046 On considère la suite u n définie sur N par la relation: u 0 =1 ; u n +1 =3 · u n − 6 · n +1 pour tout n ∈ N 1 Déterminer les valeurs des quatre premiers termes. 2 Quelle conjecture peut-on émettre sur la nature de la suite et de ses éléments caractéristiques? E.5119 1 On considère la suite u n définie par : u 0 = 1 ; u n +1 = 2 · u n + 3 n pour tout n ∈ N . a Déterminer les cinq premiers termes de u n . b Quelle conjecture peut-on faire sur la nature de u n ? 2 Montrer que la suite géométrique v n de premier terme 1 et de raison 3 vérifie la relation: v n +1 = 2 · v n + 3 n . E.7304 On considère la suite u n définie par : u 0 = 3 ; u n +1 = 9 × 2 n − u n pour tout n ∈ N 1 Déterminer la valeur des quatre premiers termes de la suite u n . 2 Conjecturer la nature de la suite u n en justifiant votre démarche. E.5173 On considère les deux suites a n et b n définies conjointement par les relations : a 0 = 0 ; 40 b 0 = 0 ; 41 ; a n +1 = 0 ; 6 a n + 0 ; 3 b n b n +1 = 0 ; 3 a n + 0 ; 6 b n pour tout n ∈ N 1 Donner la valeur exacte des trois premiers termes de cha-cune des suites a n et b n . 2 On définit les deux suites u n et v n définies sur N par : u n = a n + b n ; v n = b n − a n pour tout n ∈ N . a Démontrer que la suite u n est une suite géométrique de raison 0 ; 9 . On précisera également le premier terme. b Démontrer que la suite v n est une suite géométrique dont on précisera les éléments caractéristiques. E.10225 1 On considère la suite u n n ∈ N définie pour tout n ∈ N : u 0 = 0 ; u n +1 = u n + 2 · n + 2 Déterminer les quatre premiers termes de la suite u n . 2 On considère la suite v n n ∈ N définie, pour n ∈ N , par : v n = n · n + 1 a Déterminer les quatre premiers termes de la suite v n . b Développer et réduire l’expression v n +1 − v n . c En déduire l’égalité des suites u n et v n . E.10324 On considère la suite u n définie, pour tout n ∈ N , on a: u 0 = 2 ; u n +1 = u n + 3 · n 2 + 3 · n − 2 1 Développer, réduire puis factoriser l’expression : n + 2 n − 1 2 + 3 · n 2 + 3 · n − 2 2 En déduire que la suite u n admet pour forme explicite: u n = n + 2 n − 1 2 E.10617 On considère la suite u n définie sur N ∗ par la relation: u n = n n + 1 2 n + 1 6 Établir que la suite u n vérifie la relation de récurrence : u n +1 = u n + n + 1 2 Remarque: on vient d’établir que pour tout entier n ∈ N ∗ , on a: 1 2 + 2 2 + · · · + n 2 = n n + 1 2 n + 1 6 https://chingmath.fr chapExoCorrec/8046 sacados/8046 chapExoCorrec/5119 sacados/5119 chapExoCorrec/7304 sacados/7304 chapExoCorrec/5173 sacados/5173 chapExoCorrec/10225 sacados/10225 chapExoCorrec/10324 sacados/10324 chapExoCorrec/10617 sacados/10617