Première spécialité / Nombres dérivés 79 exercices corrigés

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D’autres exercices pour ce chapitre sont disponibles en suivant le lien: https://chingmath.fr/hp-lycee/derivees ChingQuizz : 10 exercices disponibles pour l’evaluation par QCM : 1. Rappels: manipulation d’expressions rationnelles E.8366 Établir les identités ci-dessous : a 2 x + 5 x + 1 = 7 · x + 2 x · x + 1 b 3 x + 3 − 2 5 · x − 1 = 13 x − 9 x + 3 5 x − 1 E.6002 Établir les égalités suivantes : a x x + 1 − 2 x − 3 x − 1 = 3 − x 2 x − 1 · x + 1 b x + 1 3 x − 2 − x + 2 3 x + 1 = 5 3 x − 2 3 x + 1 E.10592 Simplifier les expressions ci-dessous sous la forme d’un quotient où : le numérateur est développé et réduit le dénominateur est écrit sous la forme d’un produit. a x 2 · x − 1 + 4 x + 1 b x + 3 x 2 + 1 − 4 x + 3 E.10588 Établir l’égalité suivante : 1 x + 1 + 2 2 x − 1 x = 4 x + 1 x · ( x + 1) · (2 x − 1) E.10593 Établir les égalités suivantes : a 1 x + 4 − 1 x + 4 x 2 = 16 x 2 · x + 4 b 1 x + 1 x + 1 + 1 ( x + 1) 2 = 2 x 2 + 4 x + 1 x · x + 1 2 E.6003 Exprimer chacune des expressions al-gébriques ci-dessous sous la forme d’un quotient où le numéra-teur et le dénominateur sont des produits de facteurs du pre-mier degré : a 3 x x + 2 + x + 2 1 − x b x 2 + x + 3 x + 1 − x 2 + 4 x x + 2 2. Travail préliminaire sur l’obtention des nombres dérivés E.8368 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = x 2 + x + 1 Établir les égalités suivantes : a f (1+ ı ) = ı 2 + 3 · ı + 3 b f (2+ h ) = h 2 + 5 · h + 7 où h ∈ R E.6060 Soit f la fonction définie par la re-lation: f ( x ) = x 2 − 3 · x + 2 a Établir, pour tout h ∈ R , l’identité: f (2+ h ) = h 2 + h b Pour h ∈ R , déterminer une expression simplifiée de f (1+ h ) . E.9552 On considère la fonction g définie sur R par : g ( x ) = x + 1 x 2 + 1 Pour h ∈ R , établir l’égalité suivante : g (1+ h ) − g (1) = − h · h + 1 h 2 + 2 · h + 2 E.10587 Soit f la fonction définie sur 2 ; + ∞ par la relation: f ( x ) = x − 2 + 3 1 On considère l’expression A définie par : A = f (4+ h ) − f (4) a Justifier que, pour h = − 3 , l’expression A n’est pas définie. b Justifier que, pour toute h ∈ − 3 2 ; 3 2 , l’expression A est définie. 2 Pour tout h ∈ − 3 2 ; 3 2 , établir l’égalité: A = h h + 2 + 2 E.8367 Soit f la fonction définie sur 1 2 ; + ∞ par la relation: f ( x ) = 2 x − 1 − 3 Établir , pour tout h ∈ − 3 2 ; + ∞ , l’égalité: f ( h +2) − f (2) = 2 · h 2 h + 3 + 3 https://chingmath.fr https://chingmath.fr/hp-lycee/derivees quizzChap/937 chapExoCorrec/8366 sacados/8366 chapExoCorrec/6002 sacados/6002 chapExoCorrec/10592 sacados/10592 chapExoCorrec/10588 sacados/10588 chapExoCorrec/10593 sacados/10593 chapExoCorrec/6003 sacados/6003 chapExoCorrec/8368 sacados/8368 chapExoCorrec/6060 sacados/6060 chapExoCorrec/9552 sacados/9552 chapExoCorrec/10587 sacados/10587 chapExoCorrec/8367 sacados/8367
3. Approche des tangentes et coefficient directeur des fonctions affines E.2291 Proposition: soit f une fonction affine dont la courbe représentative passe par les deux points A ( x A ; y A ) et B ( x B ; y B ) . Le coefficient directeur m de la fonction f a pour valeur: m = y B − y A x B − x A Déterminer les coefficients directeurs des droites ( d 1 ) et ( d 2 ) représentées ci-dessous : E.9560 Déterminer les coefficients directeurs des droites ( d 1 ) et ( d 2 ) représentées ci-dessous : E.4713 On considère la fonction f définie par la relation est : f ( x ) = 1 4 · x 2 − 1 2 · x − 2 Dans le plan muni d’un repère orthonormé O ; I ; J , on note C f la courbe représentative de la fonction f : 1 a Effectuer le tracé de la droite ( d ) dont l’équation est : y = 1 2 · x − 3 b Effectuer le tracé de la droite (Δ) dont l’équation est : y = − 3 2 · x − 3 2 Quelle particularité possède les droites ( d ) et (Δ) rela-tivement à la courbe C f ? E.5937 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = x 2 − 2 · x − 1 On munit le plan d’un repère O ; I ; J orthonormé. On donne ci-dessous la courbe C f représentative de f . On note respectivement ( d ) et (Δ) les tangentes à la courbe C f au point d’abscisse 1 2 et 2 . 1 Déterminer les coordonnées des points de la courbe C f ayant respectivement 1 2 et 2 pour abscisse. 2 a Graphiquement, donner l’équation réduite de la droite ( d ) . b Déterminer l’équation réduite de la droite (Δ) . E.6878 On donne ci-dessous la courbe C représentative d’une fonction dans un repère 0 ; I ; J : 1 a Tracer la tangente ( d ) à la courbe C au point d’abscisse 4 . b Donner le coefficient directeur de la droite ( d ) . 2 a Tracer la tangente (Δ) à la courbe C au point d’abscisse 1 . b Donner le coefficient directeur de la droite (Δ) . 4. Champs de tangentes https://chingmath.fr chapExoCorrec/2291 sacados/2291 -4-3-2-1234I-12JO(d1(d2 chapExoCorrec/9560 sacados/9560 -4-3-2-1234I-12JO(d2(d1 chapExoCorrec/4713 sacados/4713 -5-4-3-2-12345I-3-2-12JOCf chapExoCorrec/5937 sacados/5937 -4-3-2-1234I-3-2-1JOCf(d chapExoCorrec/6878 sacados/6878 -3-2-123456I-123JO
E.4654 Ci-dessous est représentée, dans le repère ( O ; I ; J ) , la courbe C f et quatre de ses tangentes : 1 La droite ( T 1 ) s’appelle: ˇ La tangente à la courbe C f au point d’abscisse − 1 ; 5 ı Nommer de même les trois autres droites. 2 a La tangente ( T 1 ) passe par les points A (0 ; 2 ; 5) et B ( − 3 ; 1) . Déterminer le coefficient directeur de la droite ( T 1 ) . b Déterminer les coefficients directeurs des tangentes ( T 2 ) , ( T 3 ) et ( T 4 ) . E.2313 Tracer la courbe représentative d’une fonction passant par tous les points indiqués et respec-tant en chacun d’eux la tangente représentée : E.2311 On considère une fonction f définie sur l’intervalle − 4 ; 4 dont des informations sur cette fonc-tion et sa courbe représentative sont données dans le tableau ci-dessous : x − 4 − 2 0 2 4 f ( x ) 2 ; 5 − 2 2 0 − 1 ; 5 Coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse x − 2 0 0 − 1 5 4 Dans le plan muni du repère ci-dessous, tracer une courbe respectant les informations données sur la fonction f et sa courbe C f : 5. Taux d’accroissement E.2292 Définition: Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a , b deux nombres réels appartenant à I . On appelle taux d’accroissement de la fonction f en-tre a et b , le nombre t définit par : t = f ( b ) − f ( a ) b − a Remarque: Dans un repère et en considérant la courbe C représentative de la fonction f sur I , le taux d’accroissement de la fonction f entre a et b corre-spond au coefficient directeur de la courbe entre les points A et B d’abscisse respective a et b : https://chingmath.fr chapExoCorrec/4654 sacados/4654 -4-3-2-12345I-3-2-123JOCfAB(T1(T2(T3(T4 chapExoCorrec/2313 sacados/2313 -4-224I-22JO chapExoCorrec/2311 sacados/2311 IJO chapExoCorrec/2292 sacados/2292 IJOAB|xB−xA||yB−yA|tyB−yAxB−xA
Dans le repère ( O ; I ; J ) or-thonormé ci-contre est donnée la courbe C f représentative de la fonction f . On considère les points A , B , C de la courbe C f d’abscisses re-spectives 0 , 1 et 2 . 1 Placer les points A , B et C et par lecture graphique, donner leur coordonnée. 2 Calculer le taux d’accroissement de la fonction f : a entre 0 et 2 ; b entre 1 et 2 . E.5945 On considère le plan muni d’un repère O ; I ; J dans lequel sont représentées : La courbe C f représentative de la fonction f ; Les cordes ( d 1 ) , ( d 2 ) , ( d 3 ) et ( d 4 ) à la courbe C f respec-tivement aux points d’abscisses ( 0 ; 5 et 5 ), ( 1 et 5 ), ( 2 et 5 ), ( 3 et 5 ). 1 a Déterminer le taux d’accroissement de la fonction f entre 0 ; 5 et 5 . b Déterminer les coefficients directeurs des cordes ( d 2 ) , ( d 3 ) , ( d 4 ) à la courbe C f (si nécessaire, arrondies au millième près) . 2 a Tracer, à l’aide d’une règle, la tangente ( T ) à la courbe C f au point de coordonnées (5 ; − 1) . b Donner la valeur du coefficient directeur de la tangente ( T ) , arrondie au centième près. E.8385 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = 1 1 + x 2 Dans le repère O ; I ; J ci-dessous, est donnée la courbe représentative de la fonction C f : 1 Déterminer les taux d’accroissements de f : a entre 1 et 3 b entre 1 et 2 c entre 1 et 4 3 2 Tracer la tangente ( d ) à la courbe C f au point d’abscisse 1 , puis conjecturer la valeur du coefficient directeur de la tangente ( d ) . 3 Que peut-on dire de la suite de nombres : − 1 5 ; − 3 10 ; − 21 50 ; − 1 2 6. Première notion de limites E.2295 Première approche de la notion de limite et de con-vergence: Pour une valeur (terme d’une suite ou image par une fonc-tion) assujetti à la variation d’un paramètre (rang du terme ou variation de la variable) lorsque celle-ci se ˇ stabilise ı vers une valeur, on parle alors de convergence . Dans le cas d’une convergence, on parlera de valeur limite 1 a Saisir le code suivant dans votre éditeur Python : x=1; for i in range(1,10): x=x/10 y=(x*x+x)/(2*x*x+3*x) print(x,"\t",y) b Après l’exécution de ce code et en analysant l’affichage de la console, répondre aux questions suivantes : Les valeurs successives prises par la variable x sem-blent se stabiliser vers quelles valeurs? Même question, pour les valeurs successives de la variable y ? https://chingmath.fr -123I-4-3-2-123JOCf chapExoCorrec/5945 sacados/5945 23456I-1234JO(d1(d2(d3(d4Cf chapExoCorrec/8385 sacados/8385 -1234IJOCf chapExoCorrec/2295 sacados/2295
Synthèse: considérons la fonction f définie sur R ∗ + par : f ( x ) = x 2 + x 2 · x 2 + 3 · x Le tableau de valeurs, ci-contre, de la fonction f présente des valeurs de x se stabilisant vers 0 , on remarque que leurs images convergent vers 1 3 . On peut conjecturer que ˇ la limite de f ( x ) , lorsque x tend vers 0 , a pour valeur 1 3 ı et on note : lim x ↦→ 0 f ( x ) = 1 3 . 2 À l’aide du programme précédent, conjecturer la valeur des limites suivantes : a lim x ↦→ 0 x + 1 x + 2 b lim x ↦→ 0 x> 0 1 + x x c lim x ↦→ 0 3 x 2 + x x 2 E.10327 Ci-dessous est représentée la courbe représentative C f de la fonction f définie sur l’intervalle R \{− 2 ; 1 : 1 Sur l’intervalle −∞ ; − 2 , conjecturer les limites suiv-antes : lim x ↦→ + ∞ f ( x ) ; lim x ↦→− 2 f ( x ) 2 Sur l’intervalle − 2 ; 1 , conjecturer les limites suivantes : lim x ↦→− 2 f ( x ) ; lim x ↦→ 1 f ( x ) 3 Sur l’intervalle 1 ; + ∞ , conjecturer les limites suiv-antes : lim x ↦→ 1 f ( x ) ; lim x ↦→ + ∞ f ( x ) E.2803 On considère trois fonctions f , g et h trois fonctions définies sur R ∗ + par les relations : f ( x ) = x + 2 x 2 + 3 ; g ( x ) = 2 · x − 1 √ x ; h ( x ) = 2 · x 2 + x 5 · x 1 Vérifier l’exactitude des égalités suivantes : f (0 ; 01)= 2 ; 01 3 ; 00101 ; g (0 ; 0001)= − 0 ; 9998 0 ; 01 ; h (0 ; 01)= 0 ; 0102 0 ; 05 2 On donne, ci-dessous, les tableaux de valeurs des fonc-tions f , g et h : x 1 0 ; 1 0 ; 01 0 ; 001 0 ; 0001 f ( x ) 3 4 2 ; 1 3 ; 01 2 ; 01 3 ; 000 1 2 ; 00 1 3 ; 000 001 2 ; 000 1 3 ; 000 000 01 x 1 0 ; 01 0 ; 000 1 0 ; 000 001 g ( x ) 1 − 0 ; 98 0 ; 1 − 0 ; 999 8 0 ; 01 − 0 ; 999 998 0 ; 00 1 x 1 0 ; 1 0 ; 01 0 ; 001 0 ; 000 1 h ( x ) 3 5 0 ; 12 0 ; 5 0 ; 010 2 0 ; 05 0 ; 001 002 0 ; 005 0 ; 000 100 02 0 ; 000 5 À l’aide de la calculatrice, compléter le tableau ci-dessous à l’aide des valeurs arrondies au dix-millième près : 3 Conjecturer la valeur des trois limites suivantes : lim x ↦→ 0 f ( x ) ; lim x ↦→ 0 g ( x ) ; lim x ↦→ 0 h ( x ) E.2288 On considère la fonction f définie sur R \ − 3 2 ; 0 par : f ( x ) = x 2 + x 2 · x 2 + 3 · x 1 a Montrer que : f (10 − 2 )= 101 302 b Montrer que : f (10 − 2 )= 1 3 + 1 906 2 Pour tout entier naturel n ( n ∈ N ) : a Montrer que : f 10 − n = 10 n + 1 3 × 10 n + 2 b Montrer que : f 10 − n = 1 3 + 1 9 × 10 n + 6 3 a À l’aide de la question 2 b , compléter le tableau ci-dessous : x 0 ; 1 0 ; 01 0 ; 001 0 ; 0001 0 ; 00001 f ( x ) 1 3 + 1 96 1 3 + 1 906 b En déduire la valeur de la limite: lim n ↦→ + ∞ f 10 − n 7. Introduction au nombre dérivé https://chingmath.fr xf(x10,40,10,343750,010,33343708...0,0010,33334444...0,00010,33333444...0,000010,33333334... chapExoCorrec/10327 sacados/10327 -4-3-2-1234I-2-123JOCf chapExoCorrec/2803 sacados/2803 xf(xg(xh(x10;10;010;0010;00010;000010;000001 chapExoCorrec/2288 sacados/2288
E.6059 Dans un repère O ; I ; J , on considère la courbe représenta-tive de la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = x 2 − 4 x + 2 Au cours de cet exercice, nous allons déterminer l’équation ré-duite de la tangente à la courbe C f au point A (1 ; − 1) . 1 a Établir l’égalité suivante : f ( x ) − f (1) x − 1 = x − 3 pour tout x ∈ R \{ 1 } b En déduire le coefficient directeur de la corde à la courbe C f passant par les points A et B (2 ; − 2) . Véri-fier graphiquement votre réponse. 2 On considère les deux fonctions u et v définie sur R \{ 1 } par les relations : u ( x ) = f ( x ) − f (1) x − 1 ; v ( x ) = x − 3 a Voici deux tableaux de valeurs de u et de v : x 1 ; 1 1 ; 01 1 ; 001 1 ; 000 1 u ( x ) − 0 ; 19 0 ; 1 − 0 ; 0199 0 ; 01 − 0 ; 001999 0 ; 001 − 0 ; 00019999 0 ; 0001 x 1 ; 1 1 ; 01 1 ; 001 1 ; 000 1 v ( x ) − 1 ; 9 − 1 ; 99 − 1 ; 999 − 1 ; 9999 Que peut-on dire de la valeur de u ( x ) lorsque le nombre x se rapproche de la valeur 1 ? b Tracer dans le repère la droite ( d ) d’équation : ( d ) : y = − 2 x + 1 E.5946 On considère la courbe C de la fonc-tion racine carrée donnée ci-dessous dans le repère O ; I ; J orthonormé. 1 Tracer la corde ( D ) de la courbe C passant par les points d’abscisse 2 et 4 . 2 On considère la fonction u définie par : u ( x ) = x − 2 x − 4 Justifier que le coefficient directeur de la corde ( D ) est u (2) . 3 On considère la fonction v définie par : v ( x )= 1 x +2 a Établir l’égalité u ( x )= v ( x ) pour tout x ∈ R \{ 4 } . b Les fonctions u et v sont-elles définies pour x =4 ? 4 a Voici un tableau ˇ presque ı de valeurs pour chacune des fonctions u et v : x 4 ; 41 4 ; 0401 4 ; 004001 4 ; 00040001 u ( x ) 0 ; 1 0 ; 41 0 ; 01 0 ; 0401 0 ; 001 0 ; 004001 0 ; 0001 0 ; 00040001 u ( x ) x 4 ; 41 4 ; 0401 4 ; 004001 4 ; 00040001 v ( x ) 1 4 ; 1 1 4 ; 01 1 4 ; 001 1 4 ; 0001 v ( x ) Compléter ces deux tableaux avec les valeurs décimales arrondis à 10 − 5 près. b Quelle valeur peut-on conjecturer pour la limite: lim x ↦→ 4 x − 4 x − 4 ? 8. Calcul de nombre dérivé (version 1): fonctions polynomiales E.727 Définition: Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un nombre appartenant à I . On dit que la fonction f est dérivable en a si la limite suivante existe: lim x ↦→ a x = a f ( x ) − f ( a ) x − a Alors cette limite s’appelle le nombre dérivé en a de la fonction f et on le note f ( a ) . Le nombre dérivé de la fonction carrée en 3 : 1 Pour x =3 , établir l’égalité suivante : x 2 − 3 2 x − 3 = x +3 2 On considère f la fonction carrée: a À l’aide de la question 1 , déterminer la valeur de la limite: lim x ↦→ 3 f ( x ) − f (3) x − 3 b Donner la valeur du nombre dérivée en 3 de la fonction carrée. https://chingmath.fr chapExoCorrec/6059 sacados/6059 -12345I-3-2-123JOCf chapExoCorrec/5946 sacados/5946 2345I2JO chapExoCorrec/727 sacados/727
E.10325 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = 2 · x 2 − x + 1 1 Établir l’identité ci-dessous, pour tout x ∈ R \{ 1 : f ( x ) − f (1) x − 1 = 2 · x + 1 2 En déduire la valeur du nombre dérivée en 1 de la fonc-tion f . E.10598 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = 4 · x 2 − 7 · x + 3 1 Établir l’identité ci-dessous pour tout x ∈ R \{ 2 } : f ( x ) − f (2) x − 2 = 4 x + 1 2 En déduire la valeur du nombre dérivé en 2 de la fonction f . E.10347 On considère la fonction f définie par : f ( x ) = − 3 · x 2 + 4 · x + 1 1 Montrer que pour tout x ∈ R \{− 2 , on a: f ( x ) − f (2) x − 2 = − 3 x − 2 2 a En déduire la valeur de la limite: lim x ↦→ 2 f ( x ) − f (2) x − 2 b Donner le nombre dérivé de la fonction f en 2 . E.10606 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = 2 · x 2 − 5 · x + 3 1 Déterminer les réels a et b réalisant l’identité sur R \{ 1 } : f ( x ) − f (1) x − 1 = a · x + b 2 En déduire la valeur du nombre dérivé f (1) de la fonc-tion f en 1 . 9. Calcul de nombre dérivé (version 1): fonctions rationnelles E.9553 1 Pour x =3 , établir l’égalité suivante : 1 x − 1 3 x − 3 = − 1 3 x 2 On note f la fonction inverse. a Déterminer la limite: lim x ↦→ 3 f ( x ) − f (3) x − 3 b Donner la valeur de f (3) . E.10599 On considère la fonction f définie sur R \ − 1 3 : f ( x ) = 4 3 · x + 1 1 Pour tout x ∈ R \ − 1 3 ; 1 , établir l’identité: f ( x ) − f (1) x − 1 = − 3 3 · x + 1 2 a En déduire la limite: lim x ↦→ 1 f ( x ) − f (1) x − 1 b Donner la valeur du nombre dérivé f (1) de la fonction f en 1 . E.10589 On considère la fonction f définie sur R \{ 2 } par : f ( x ) = 1 3 x − 6 1 Établir l’égalité: f ( x ) − f (3) x − 3 = − 1 3 x − 6 2 a Déterminer la valeur de la limite: b En déduire la valeur nombre dérivée de la fonction f en 3 . E.10326 On considère la fonction f définie sur R \ − 1 2 par : f ( x ) = x + 1 2 · x − 1 1 Établir l’identité ci-dessous, pour tout x ∈ R \ − 2 ; − 1 2 : f ( x ) − f ( − 2) x − ( − 2) = 3 5 · 2 · x − 1 2 En déduire la valeur du nombre dérivée en − 2 de la fonc-tion f . E.10600 On considère la fonction f définie sur R \ − 1 par : f ( x ) = 2 · x − 1 x + 1 1 Établir l’identité pour tout x ∈ R \ − 2 ; − 1 : f ( x ) − f ( − 2) x − ( − 2) = − 3 x + 1 2 a En déduire la valeur de la limite: lim x ↦→− 2 f ( x ) − f ( − 2) x − ( − 2) b Donner la valeur du nombre dérivé de la fonction f en − 2 . 10. Calcul de nombre dérivé (version 1): avec radicaux E.9554 1 Pour x =3 , établir l’identité: x − 3 x − 3 = 1 x + 3 https://chingmath.fr chapExoCorrec/10325 sacados/10325 chapExoCorrec/10598 sacados/10598 chapExoCorrec/10347 sacados/10347 chapExoCorrec/10606 sacados/10606 chapExoCorrec/9553 sacados/9553 chapExoCorrec/10599 sacados/10599 chapExoCorrec/10589 sacados/10589 chapExoCorrec/10326 sacados/10326 chapExoCorrec/10600 sacados/10600 chapExoCorrec/9554 sacados/9554
2 On note f la fonction racine carrée. a En déduire la valeur de la limite: lim x ↦→ 3 f ( x ) − f (3) x − 3 b Donner la valeur de f (3) . E.10601 On considère la fonction f définie sur − 1 2 ; + ∞ par : f ( x ) = 2 · x + 1 1 Établir l’identité pour tout x ∈ − 1 2 ; + ∞ \ 4 : f ( x ) − f (4) x − 4 = 2 2 · x + 1 + 3 2 a Déterminer la limite: lim x ↦→ 4 f ( x ) − f (4) x − 4 b Déterminer la valeur du nombre dérivé f (4) de la fonc-tion f en 4 . 11. Calcul de nombre dérivé (version 2): fonctions polynomiales E.2822 Définition: Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un nombre appartenant à I . On dit que la fonction f est dérivable en a si la limite suivante existe: lim h ↦→ 0 h =0 f ( a + h ) − f ( a ) h Alors cette limite s’appelle le nombre dérivé en a de la fonction f et on le note f ( a ) . On considère la fonction f définie par : f : x ↦−→ 3 · x 2 − 2 x 1 Pour tout h ∈ R , établir l’identité: f (2+ h ) = 3 · h 2 + 10 · h + 8 2 a Établir que : lim h ↦→ 0 f (2+ h ) − f (2) h = 10 b Donner la valeur de f (2) . E.9605 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = x 2 − 3 · x + 1 1 Soit h un nombre réel non-nul. Montrer que : f (2+ h ) − f (2) h = h + 1 . 2 En déduire la valeur de f (2) E.10608 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = − 3 · x 2 + 4 · x − 2 1 a Établir l’identité ci-dessous : f (1+ h ) − f (1) h = − 3 h − 2 b Donner la valeur du nombre dérivé de la fonction f en 1 . 2 On note C f la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère. Déterminer l’équation réduite de la tangente ( T ) à la courbe C f au point d’abscisse 1 . E.10602 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = 3 · x 2 − 4 · x + 1 1 Pour tout h ∈ R ∗ , simplifier l’expression : f (1+ h ) − f (1) h 2 En déduire le nombre dérivé f (1) de la fonction f en 1 . E.9555 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = x 2 + 3 · x + 1 Déterminer le nombre dérivé de la fonction f en − 1 . 12. Calcul de nombre dérivé (version 2): fonctions rationnelles E.10591 On considère la fonction f définie sur R \{− 2 par : f ( x ) = 6 x + 2 1 Établir que, pour tout h tel que 1+ h ∈ R \{− 2 , on a: f (1+ h ) − f (1) = − 2 h h + 3 2 Déterminer le nombre dérivé de la fonction f en 1 . E.10590 On considère la fonction f définie sur R \ − 1 par : f ( x ) = − 3 x + 1 Déterminer le nombre dérivé de la fonction f en 1 . E.8488 On considère la fonction f définie sur R \{− 2 } par : f ( x ) = 2 · x + 1 x + 2 Déterminer le nombre dérivé de la fonction f pour x =1 . E.10603 On considère la fonction f définie sur R \ 5 2 par : f ( x ) = 2 · x + 1 2 · x − 5 1 Pour tout h ∈ R ∗ \ − 1 2 , donner la forme simplifiée de l’expression : f (3+ h ) − f (3) h 2 En déduire le nombre dérivé f (3) de la fonction f en 3 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/10601 sacados/10601 chapExoCorrec/2822 sacados/2822 chapExoCorrec/9605 sacados/9605 chapExoCorrec/10608 sacados/10608 chapExoCorrec/10602 sacados/10602 chapExoCorrec/9555 sacados/9555 chapExoCorrec/10591 sacados/10591 chapExoCorrec/10590 sacados/10590 chapExoCorrec/8488 sacados/8488 chapExoCorrec/10603 sacados/10603
13. Calcul de nombre dérivé (version 2): avec radicaux E.9556 On considère la fonction f définie sur R + par : f ( x ) = x · x Déterminer le nombre dérivé de la fonction f en 4 . 14. Calcul de nombres dérivées et coefficient directeur des tangentes E.2810 Proposition: (admis) Soit f une fonction définie sur un intervalle I et dérivable en a ∈ I . On note C f la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère. La courbe C f admet une tangente au point d’abscisse a et cette tangente a pour coefficient directeur le nombre f ( a ) . On considère la fonction f définie sur R par la relation: f : x ↦−→ 1 2 · x 2 − 2 · x + 1 1 a Montrer que, pour tout h ∈ R , on a: f (4+ h ) − f (4) = 1 2 · h 2 + 2 · h b Déterminer la valeur de la limite: lim h ↦→ 0 f (4+ h ) − f (4) h 2 Dans le plan muni d’un repère ( O ; I ; J ) orthonormé, sont tracées la courbe C f représentative de la fonction f et la tangente ( T ) à la courbe C f au point d’abscisse 4 : Donner le coefficient directeur de la tangente ( T ) . E.9557 On considère la fonction f définie sur − 1 ; + ∞ par : f ( x ) = 3 · x − 1 x + 1 Dans le plan muni du repère O ; I ; J orthonormé, sont représentées la courbe C f représentative de la fonction f et la tangente ( T ) à la courbe C f au point d’abscisse 2 . 1 Pour tout h ∈ − 1 ; 1 , établir l’identité: f (2+ h ) − f (2) h = 4 3 · h + 3 2 Déterminer le coefficient directeur de la tangente ( T ) . E.9606 On considère la fonction f définie sur R \{− 1 } par : f ( x ) = x + 3 x + 1 1 Établir que pour tout entier h tel que h +1 =0 , on a: f (1+ h ) − f (1) h = − 1 h + 2 2 En déduit le nombre dérivé de la fonction f en 1 . On note C f la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère. 3 Déterminer l’équation réduite de la tangente ( T ) à la courbe C f au point d’abscisse 1 . E.2350 On considère la fonction f définie par : f ( x ) = 6 x + 1 x 2 − x + 2 1 Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f . 2 a Établir l’égalité suivante : f (1+ h ) − f (1) h = − 7 h + 5 2( h 2 + h + 2) b En déduire la valeur du nombre dérivée de la fonction f en 1 . 3 Dans le plan muni du repère O ; I ; J , est donnée la courbe représentative C f de la fonction f : En justifiant votre démarche, tracer la tangente ( T ) à la courbe C f au point d’abscisse 1 . 15. Equation réduite de la tangente https://chingmath.fr chapExoCorrec/9556 sacados/9556 chapExoCorrec/2810 sacados/2810 IJOCf(T4 chapExoCorrec/9557 sacados/9557 IJO(TCf2 chapExoCorrec/9606 sacados/9606 chapExoCorrec/2350 sacados/2350 -6-5-4-3-2-123456I-2-1234JOCf
E.9558 Proposition: soit f une fonction définie sur un intervalle I et dérivable en a ∈ I . La tangente à la courbe C f au point d’abscisse a a pour équation réduite : y = f ( a ) · x − a + f ( a ) On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = 0 ; 1 · x 2 + 0 ; 2 · x − 0 ; 8 On donne la courbe C f représentative de la fonction f dans le repère O ; I ; J orthonormé ci-dessous : 1 a Pour tout h ∈ R , établir l’identité: f (2+ h ) − f (2) h =0 ; 1 · h +0 ; 6 b En déduire le nombre dérivé de la fonction f en 2 . 2 a Déterminer l’équation réduite de la tangente ( T ) à la courbe C f au point d’abscisse 2 . b Tracer la tangente ( T ) dans le repère ci-dessus. E.9607 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = 2 · x 2 − 3 · x + 1 On note C f la courbe représentative de la fonction f dans le repère O ; I ; J ci-dessous 1 Établir que : f (1) = 1 2 Déterminer l’équation réduite de la tangente ( T ) à la courbe C f au point d’abscisse 1 . E.9559 On considère la fonction f définie sur l’intervalle − 1 ; + ∞ par : f ( x ) = 3 · x + 1 2 · x + 2 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J muni d’un repère or-thonormé, est donnée la courbe C f représentative de la fonc-tion f . 1 Démontrer que : f (1) = 1 4 2 a Déterminer l’équation réduite de la tangente ( T ) à la courbe C f au point d’abscisse 1 . b Tracer la tangente ( T ) dans le repère ci-dessous. E.10604 On considère la fonction f définie sur R \{− 2 par : f ( x ) = 3 x + 2 1 a Pour toute valeur de h ∈ R \{ 0 ; − 3 , déterminer la simplification de l’expression : f (1+ h ) − f (1) h b En déduire la valeur du nombre dérivé f (1) de la fonc-tion f en 1 . 2 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on note C f la courbe représentative de la fonction f . Déterminer l’équation réduite ( T ) de la tangente à la courbe C f au point d’abscisse 1 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/9558 sacados/9558 -6-5-4-3-2-1234I-2-1JOCf chapExoCorrec/9607 sacados/9607 -3-2-1234I2JOCf chapExoCorrec/9559 sacados/9559 -2-123456I-12JOCf chapExoCorrec/10604 sacados/10604
E.2843 Soit f la fonction dont l’image d’un nombre réel x est définie par la relation: f ( x ) = 3 · x 2 − 2 x 2 + 1 1 a Pour tout nombre réel h non-nul, établir l’égalité: f (1+ h ) − f (1) h = 5 · h + 10 2 · h 2 + 4 · h + 4 b En déduire la valeur du nombre dérivée f (1) de la fonction f en 1 . 2 On considère le plan muni d’un repère O ; I ; J et on note C f la courbe représentative de la fonction f . a Déterminer l’équation de la tangente ( T ) à la courbe C f au point d’abscisse 1 . b Tracer la tangente ( T ) dans le repère. 3 Déterminer les coordonnées des différents points d’intersection de ( T ) et de C f . E.9612 Remarque: en choisissant, une droite dans le plan, il est toujours possible d’ajuster les coefficients d’un polynôme du second degré pour que cette droite soit une tangente en − 1 à la courbe de la fonction : On considère la fonction f du second degré définie par : f ( x ) = a · x 2 + 2 · x + b où a;b ∈ R Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on note C f la courbe représentative de la fonction f . La droite ( T ) d’équation réduite y = x +2 est la tangente à la courbe C f au point d’abscisse − 1 . 1 Pour tout h ∈ R ∗ , établir l’identité: f ( − 1+ h ) − f ( − 1) h = a · h − 2 · a +2 2 En déduire l’expression de la fonction f . E.10607 On considère la fonction f définie sur R \{− 1 par : f ( x ) = 2 · x + 3 x + 1 1 a Déterminer les réels a et b réalisant l’identité: f (1+ h ) − f (1) h = − 1 a · h + b b Établir que : f (1) = − 1 4 2 On note C f la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère. Déterminer l’équation réduite de la tangente ( T ) à la courbe C f au point d’abscisse 1 . E.10609 On munit le plan d’un repère or-thonormé O ; I ; J et on considère : la fonction f définie par : f ( x ) = a x + b où a;b ∈ R et on note C f sa courbe représentative. la droite ( T ) représentative de la fonction g définie par : g ( x ) = − 4 x + 4 Déterminer les valeurs de a et b pour que la droite ( T ) soit la tangente à la courbe C f au point d’abscisse 2 . 16. Tangente et position relative E.2961 On considère la fonction f dont l’image d’un nombre x est définie par la relation: f ( x ) = 2 · x 3 − 3 · x 2 − x + 1 Dans le plan muni d’un repère ( O ; I ; J ) , on note C f la courbe représentative de la fonction f . On note ( T ) la tangente à la courbe C f au point d’abscisse 1 . 1 a Pour tout nombre réel h non-nul, établir l’identité: f (1+ h ) − f (1) h = 2 · h 2 + 3 · h − 1 b Quel est le coefficient directeur de la tangente ( T ) ? Justifier votre démarche. 2 Déterminer l’équation de la tangente ( T ) à la courbe C f . 3 a Déterminer la valeur des réels a , b et c réalisant l’identité: f ( x ) + x = x − 1 · a · x 2 + b · x + c b En déduire les coordonnées des points d’intersection de la courbe C f avec la tangente ( T ) . 17. Nombre dérivée: lecture graphique https://chingmath.fr chapExoCorrec/2843 sacados/2843 fichierPlus/2843/diapoCorrection.pdf -6-5-4-3-2-123456I-2-123JO chapExoCorrec/9612 sacados/9612 IJOAjustement de la valeura IJOAjustement de la valeurb chapExoCorrec/10607 sacados/10607 chapExoCorrec/10609 sacados/10609 chapExoCorrec/2961 sacados/2961
E.7714 La représentation graphique d’une fonction f définie et dérivable sur R est tracée ci-dessous ainsi que les tangentes respectives aux points d’abscisses − 3 et 0 . Parmi les quatre réponses ci-dessous, laquelle est correcte: a Le nombre dérivé de f en 0 vaut − 1 ; b Le nombre dérivé de f en − 1 vaut 0 ; c Le nombre dérivé de f en − 3 vaut − 1 ; d Le nombre dérivé de f en − 3 vaut 3 . E.7713 On considère une fonction f définie pour tout réel x strictement positif et dont la courbe représentative C de la fonction f , ainsi que T , la tangente à la courbe C au point A d’abscisse 4 sont représentées ci-dessous : Parmi les quatre propositions ci-dessous, laquelle est exacte? Sur l’intervalle 0 ; 10 , le nombre dérivé de la fonction f prend la valeur 0 : a Aucune fois b Une fois c Deux fois d Plus de deux fois E.7715 Indication : dans ce questionnaire à choix multiples, au-cune justification n’est demandée. Pour chacune des ques-tions, une seule des réponses proposées est correcte. Une bonne réponse rapporte 0 ; 75 point. Une mauvaise réponse ou l’absence de réponse n’enlève ni ne rapporte aucun point. Noter sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. Dans un repère orthonormé du plan, on donne la courbe représentative C f d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle − 1 ; 5 . On note f la fonction dérivée de f . La courbe C f passe par le point A (0 ; 1) et par le point B d’abscisse 1 . La tangente T 0 à la courbe au point A passe par le point C (2 ; 3) et la tangente T 1 au point B est parallèle à l’axe des abscisses. 1 La valeur exacte du nombre dérivé de la fonction f en 1 est : a 0 b 1 c 1 ; 6 d autre réponse 2 La valeur exacte du nombre dérivé de la fonction f en 0 est : a 0 b 1 c 1 ; 6 d autre réponse 3 La valeur exacte de f (1) est : a 0 b 1 c 1 ; 6 d autre réponse https://chingmath.fr chapExoCorrec/7714 sacados/7714 -7-6-5-4-3-2-12345I-2-12345JOCf chapExoCorrec/7713 sacados/7713 012345678910-1123456CfA(T chapExoCorrec/7715 sacados/7715 -10123450,511,522,53CfACBT0T1
E.4772 On considère une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle − 4 ; 3 , et l’on note f la fonction dérivée de f . La courbe représentative de f est la courbe Γ donnée ci-dessous. On admet que la courbe Γ possède les propriétés suivantes : La courbe Γ passe par le point A (0 ; 5) ; La tangente en A à la courbe Γ passe par le point B ( − 2 ; 4) ; La courbe Γ admet une tangente parallèle à l’axe des abscisses au point d’abscisse 0 ; 5 . En outre, la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle − 4 ; 0 ; 5 et strictement décroissante sur l’intervalle 0 ; 5 ; 3 . 1 Placer les points A et B et tracer la tangente en A à la courbe Γ . 2 Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l’équation f ( x )=3 , et donner pour chaque solution un encadrement par deux entiers consécutifs. 3 a Donner le nombre dérivé de la fonction f en 0 (au-cune justification n’est demandée) . b Sur son ensemble de définition, combien de fois le nom-bre dérivé de la fonction f vaut 0 . Justifier votre réponse. c Sur quel intervalle le plus grand, le nombre dérivé de la fonction f est strictement négatif. 18. Nombres dérivés et racines carrées E.8386 On considère la fonction g définie par la relation: g : x ↦−→ 3 · x + 1 Montrer que : g (1) = 3 4 Rappel: g (1) = lim h ↦→ 0 g (1+ h ) − g (1) h E.2309 On considère la fonction f définie sur − 1 2 ; + ∞ par la relation: f ( x ) = 2 · x + 1 1 a Établir l’égalité suivante : f (4+ h ) − f (4) h = 2 2 · h + 9 + 3 b En déduire la valeur du nombre dérivée de la fonction f en 4 . Rappel: f (4) = lim h ↦→ 0 f (4+ h ) − f (4) h 2 a Donner les coordonnées du point A de la courbe C f ayant pour abscisse 4 . b Déterminer l’équation réduite de la tangente ( d ) à la courbe C f au point d’abscisse 4 . E.2836 On considère la fonction f dont l’image de x est définie par : f ( x ) = 5 − 2 · x 1 Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f . 2 a Pour tout nombre réel h vérifiant : h =0 ; − 2+ h ∈D f Établir l’égalité: f ( − 2+ h ) − f ( − 2) h = − 2 9 − 2 · h + 3 b En déduire la valeur du nombre dérivée de la fonction f en − 2 . 3 On note C f la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé. Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe C f au point d’abscisse − 2 . E.6044 On considère la fonction f définie sur − 5 2 ; + ∞ par la relation: f ( x ) = 2 · x + 5 On note C f la courbe représentative de la fonction f dans un repère O ; I ; J orthonormé. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe C f au point d’abscisse 2 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/4772 sacados/4772 -4-3-2-123I-12345JO chapExoCorrec/8386 sacados/8386 chapExoCorrec/2309 sacados/2309 chapExoCorrec/2836 sacados/2836 chapExoCorrec/6044 sacados/6044
E.2837 1 Soit f la fonction définie par la relation: f : x ↦−→ − 2 x 2 + x + 1 a Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f . b Déterminer la valeur de la limite suivante : lim h ↦→ 0 f 1 2 + h − f 1 2 h c En déduire l’équation de la tangente à la courbe C f au point d’abscisse 1 2 . 2 Soit g la fonction définie par la relation: g : x ↦−→ − 2 x 3 + 3 x 2 + x − 1 a Déterminer la valeur de la limite suivante : lim x ↦→ 0 g (1+ h ) − g (1) h b En déduire l’équation de la tangente à la courbe C g au point d’abscisse 1 . 3 La représentation des courbes représentatives de ces deux fonctions est donnée ci-dessous : Tracer les deux tangentes obtenues précédemment dans le repère ci-dessus. E.2669 On considère la fonction f dont l’image de x est donnée par la relation: f ( x ) = x 2 − 3 · x + 1 1 Établir l’égalité suivante : f (3+ h ) − f (3) h = h + 3 h 2 + 3 · h + 1 + 1 2 a En déduire la valeur de la limite suivante : f (3) = lim h ↦→ 0 f (3+ h ) − f (3) h b Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe C f au point d’abscisse 3. E.5177 On considère la fonction f dont l’image de x , pour x ∈ [1 ; + ∞ [ , est définie par la relation: f ( x ) = ( x 2 − 4 · x + 3) 2 · x − 2 1 Donner une forme simplifiée de : f (1+ h ) h pour h> 0 . 2 En déduire le nombre dérivé de la fonction f en 1. 19. Exercices non-classés E.10612 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = − 3 · x 2 + 10 x − 1 1 a Déterminer la valeur de a et b réalisant l’identité suivante pour tout h ∈ R ∗ : f (2+ h ) − f (2) h = a · x + b b En déduire la valeur du nombre dérivé de la fonction f en 2 . 2 On considère le plan muni d’un repère orthonormé. On note C f la courbe représentative de la fonction f et ( T ) la tangente à C f au point d’abscisse 2 . Déterminer l’équation réduite de la tangente ( T ) . E.10613 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = x 3 · x − 1 1 a Déterminer la valeur de a et b réalisant l’identité suivante pour tout h ∈ R ∗ : f (1+ h ) − f (1) h = − 1 a · x + b b En déduire la valeur du nombre dérivé de la fonction f en 1 . 2 On considère le plan muni d’un repère orthonormé. On note C f la courbe représentative de la fonction f et ( T ) la tangente à C f au point d’abscisse 1 . Déterminer l’équation réduite de la tangente ( T ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/2837 sacados/2837 -2-123I-12JOCfCg chapExoCorrec/2669 sacados/2669 chapExoCorrec/5177 sacados/5177 chapExoCorrec/10612 sacados/10612 chapExoCorrec/10613 sacados/10613
E.10614 On considère la fonction f définie sur R \{ 2 } par : f ( x ) = 1 2 − x 1 Soit a et h tels que : a ∈ R \{ 2 } ; h ∈ R ∗ ; a + h ∈ R \{ 2 } Établir l’identité: f ( a + h ) − f ( a ) = h 2 − a 2 − h − a 2 On munit le plan d’un repère et on note C f la courbe représentative de la fonction f . Déterminer les équations réduites des deux tangentes ( T ) et ( T ) à la courbe C f ayant pour ordonnée à l’origine la valeur − 4 . E.10615 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = x 3 1 Soit a et h tels que h ∈ R ∗ , établir l’identité: f ( a + h ) − f ( a ) = h · h 2 + 3 · a · h + 3 · a 2 2 On munit le plan d’un repère et on note C f la courbe représentative de la fonction f . Déterminer l’équation réduite de l’unique tangente ( T ) à la courbe C f ayant 2 pour ordonnée à l’origine. E.2925 On considère la fonction f , définie sur − 1 5 ; + ∞ , dont l’image d’un nombre réel x est donnée par la relation: f ( x ) = 5 · x + 1 1 Pour x ∈D f et h ∈ R tel que h =0 et ( x + h ) ∈D f , établir l’égalité suivante : f ( x + h ) − f ( x ) h = 5 5 · x + 5 · h + 1 + 5 · x + 1 2 En déduire l’expression de la fonction dérivée de la fonc-tion f . https://chingmath.fr chapExoCorrec/10614 sacados/10614 chapExoCorrec/10615 sacados/10615 chapExoCorrec/2925 sacados/2925