Première spécialité / Probabilité et évènements indépendants 23 exercices corrigés

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1. Définition E.10582 On considère l’expérience aléa-toire d’univers Ω représenté ci-dessous et muni de la loi d’équiprobabilité: 1 On considère les deux évènements A et B représentés ci-dessous : Déterminer les probabilités suivantes : a P A B b P B 2 On considère les deux évènements C et D représentés ci-dessous : Déterminer les probabilités suivantes : a P C D b P D Définition: soit A et B deux évènements. Les évènements A et B sont dits indépendants P A B = P B . 3 Les couples ( A ; B ) et ( C ; D ) sont-ils des couples d’évènements indépendants. E.5834 Un jeu consiste à faire tourner la roue ci-contre une première fois et de noter la couleur de la case obtenue, puis de faire tourner la roue une seconde fois et de noter le nombre obtenu. Les deux lancers de la roue sont évidemment indépendants entre eux. On considère les deux événements : A : ˇ la case obtenue est grise lors du premier tirage ı ; B : ˇ la case obtenue porte le numéro 0 lors du second tirage ı. 1 a Déterminez les probabilités : P B ; P A B b Les événements A et B sont-ils indépendants? 2 Compléter l’arbre de probabilité : E.3733 Dans une classe de 30 élèves sont formés un club dessin et un club théâtre. Le club dessin est composé de 10 membres, le club théâtre de 6 membres. Il y a deux élèves qui sont membres des deux clubs à la fois. On interroge un élève de la classe pris au hasard. On appelle: D l’évènement : ˇ L’élève fait partie du club dessin ı ; T l’évènement : ˇ L’élève fait partie du club théâtre ı. Montrer que les évènements D et T sont indépendants. E.8321 Dans une expérience aléatoire, on considère deux événements A et B permettant de construire l’arbre de probabilité : 1 Déterminer la probabilité de l’événement B . 2 Établir que les événements A et B sont indépendants. E.10583 On considère l’expérience aléa-toire d’univers Ω représenté ci-dessous et muni de la loi d’équiprobabilité: Sont également représentés les évènements A , B et C . Parmi les deux couples d’évènements ( A ; B ) et ( A ; C ) , lequel (s) est un couple d’évènements indépendants? 2. Propriétés https://chingmath.fr chapExoCorrec/10582 sacados/10582 AB CD chapExoCorrec/5834 sacados/5834 0112101102011112 BBABBA chapExoCorrec/3733 sacados/3733 Extrait France Juin 2000 chapExoCorrec/8321 sacados/8321 0;20;41B0;59BA0;80;41B0;59BA chapExoCorrec/10583 sacados/10583 CBA
E.10584 Définition: soit A et B deux événements. Les événements A et B sont indépendants si, et seulement si,: P A ∩ B = P A ×P B . Dans un espace probabilisé Ω ; P , on considère les deux événements A et B tels que : P A = 0 ; 2 ; P B = 0 ; 25 ; P A ∪ B = 0 ; 4 1 Déterminer la probabilité P A ∩ B . 2 Justifier que les événements A et B sont indépendants. E.136 Un jardinier a à sa disposition un sac rempli de 1000 bulbes de tulipes. Parmi ceux-ci: 60 % sont des bulbes de tulipe jaune ; 25 % sont des bulbes de tulipe rouge ; le reste est constitué de bulbes de tulipe noire. Par ailleurs: 28 % de la totalité de ces bulbes ne fleuriront pas ; 80 % des bulbes de tulipe jaune fleuriront ; 60 bulbes de tulipe noire ne fleuriront pas. Partie A Recopier et compléter le tableau ci-dessous : Partie B Le jardinier tire dans son sac un bulbe au hasard. On note : F l’événement : ˇ Le bulbe fleurira ı ; J : ˇ Le bulbe est celui d’une tulipe jaune ı ; R : ˇ Le bulbe est celui d’une tulipe rouge ı ; N : ˇ Le bulbe est celui d’une tulipe noire ı. 1 Déterminer les probabilités des événements suivants : J ∩ F , J , F , J ∪ F . 2 Les événements J et F sont-ils indépendants? Justifier la réponse. E.3734 On dispose d’un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6 . On désigne par p k la probabilité d’obtenir, lors d’un lancer la face numérotée k ( k est un entier et 1 k 6 ) . Ce dé a été pipé de telle sorte que : les six faces ne sont pas équiprobables ; les nombres p 1 , p 2 , p 3 , p 4 , p 5 , p 6 , dans cet ordre, sont six termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison r ; les nombres p 1 , p 2 , p 4 dans cet ordre, sont trois termes consécutifs d’une suite géométrique. 1 Démontrer que : p k = k 21 pour tout entier k tel que 1 k 6 . 2 On lance ce dé une fois et on considère les événements suivants : A : ˇ le nombre obtenu est pair ı ; B : ˇ le nombre obtenu est supérieur ou égal à 3 ı ; C : ˇ le nombre obtenu est 3 ou 4 ı. a Calculer la probabilité de chacun de ces événements. b Calculer la probabilité que le nombre obtenu soit supérieur ou égal à 3 sachant qu’il est pair. c Les événements A et B sont-ils indépendants? Les événements A et C sont-ils indépendants? E.10578 Au cours de la fabrication d’une paire de lunettes, la paire de verres doit subir deux traite-ments notés T 1 et T 2 . On prélève au hasard une paire de verres dans la production. On désigne par A l’événement : ˇ la paire de verres présente un défaut pour le traitement T 1 . On désigne par B l’événement : ˇ la paire de verres présente un défaut pour le traitement T 2 ı. On note respectivement A et B les évènements contraires de A et B . Une étude a montré que : la probabilité qu’une paire de verres présente un défaut pour le traitement T 1 , notée P A , est égale à 0 ; 1 . la probabilité qu’une paire de verres présente un défaut pour le traitement T 2 , notée P B , est égale à 0 ; 2 . la probabilité qu’une paire de verres ne présente aucun des deux défauts est 0 ; 75 . 1 Recopier et compléter le tableau suivant avec les proba-bilités correspondantes. A A Total B B Total 1 2 a Déterminer, en justifiant la réponse, la probabilité qu’une paire de verres, prélevée au hasard dans la pro-duction, présente un défaut pour au moins un des deux traitements T 1 ou T 2 . b Donner la probabilité qu’une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente deux défauts, un pour chaque traitement T 1 et T 2 . c Les évènements A et B sont-ils indépendants ? Justi-fier la réponse. 3. Arbres de probabilité https://chingmath.fr chapExoCorrec/10584 sacados/10584 chapExoCorrec/136 sacados/136 NombredebulbesdetulipejauneNombredebulbesdetuliperougeNombredebulbesdetulipenoireTotalNombredebulbesdetulipequiπeurirontNombredebulbesdetulipequineπeurirontpasTotal1000 chapExoCorrec/3734 sacados/3734 Extrait de Polynesie Septembre 2000 chapExoCorrec/10578 sacados/10578
E.10585 On considère un espace (Ω ; P ) prob-abilisé et deux évènements A et B indépendants. On a les informations suivantes : P A = 0 ; 6 ; P B = 0 ; 7 1 Compléter l’arbre de probabilité ci-dessous : 2 Déterminer les probabilités suivantes : P A ∩ B ; P A ∪ B E.6764 Un circuit électronique est composé de deux composants identiques numérotés 1 et 2 . On note D 1 l’événement ˇ le composant 1 est défaillant avant un an ı et on note D 2 l’événement ˇ le composant 2 est défaillant avant un an ı. On suppose que les deux événements D 1 et D 2 sont indépen-dants et que : P D 1 = P D 2 =0 ; 39 Deux montages possibles sont envisagés, présentés ci-dessous : 1 Compléter l’arbre de probabilités ci-dessous : 2 a Lorsque les deux composants sont montés ˇ en paral-lèle ı, le circuit A est défaillant uniquement si les deux composants sont défaillants en même temps. Calculer la probabilité que le circuit A soit défaillant avant un an. b Lorsque les deux composants sont montés ˇ en série ı, le circuit B est défaillant dès que l’un au moins des deux composants est défaillant. Calculer la probabilité que le circuit B soit défaillant avant un an. 4. Probabilité de l’union E.4174 Une usine produit des sacs. Chaque sac fabriqué peut présenter deux défauts : le défaut a et le défaut b . Un sac est dit défectueux s’il présente au moins l’un des deux défauts : Les probabilités demandées seront données avec leurs valeurs décimales exactes. On prélève un sac au hasard dans la production d’une journée. On note A l’événement ˇ le sac présente le défaut a ı et B l’événement ˇ le sac présente le défaut b ı. Les probabilités des événements A et B sont respectivement : P ( A ) = 0 ; 02 ; P ( B ) = 0 ; 01 ; On suppose que ces deux événements sont indépendants. 1 Calculer la probabilité de l’événement : C : ˇ le sac prélevé présente le défaut a et le défaut b ı 2 Calculer la probabilité de l’événement : D : ˇ le sac est défectueux ı 3 Calculer la probabilité de l’événement : E : ˇ le sac ne présente aucun défaut ı 4 Sachant que le sac présente le défaut a , quelle est la prob- abilité qu’il présente aussi le défaut b ? E.3739 Une usine d’horlogerie fab-rique une série de montres. Au cours de la fabrication peuvent apparaître deux types de défauts, désignés par a et b . 2 % des montres fabriquées présentent le défaut a et 10 % le défaut b . Une montre est tirée au hasard dans la production. On définit les événements suivants : A : ˇ La montre tirée présente le défaut a ı ; B : ˇ La montre tirée présente le défaut b ı ; C : ˇ La montre tirée ne présente aucun des deux dé-fauts ı ; D : ˇ La montre tirée présente un et un seul des deux défauts ı. On suppose que les événements A et B sont indépendants. 1 Montrer que la probabilité de l’événement C est égale à 0 ; 882 . 2 Calculer la probabilité de l’événement D . 5. Manipulation algébrique https://chingmath.fr chapExoCorrec/10585 sacados/10585 BBABBA chapExoCorrec/6764 sacados/6764 Extrait d'Antilles-Guyane Juin 2015 12Circuit en parallèleA12Circuit en sérieB D2D2D1D2D2D1 chapExoCorrec/4174 sacados/4174 chapExoCorrec/3739 sacados/3739
E.4322 Soient A et B deux événe-ments indépendants d’un même univers Ω tels que : P ( A ) = 0 ; 3 ; P ( A ∪ B ) = 0 ; 35 . Déterminer la probabilité de l’événement B . E.4169 On désigne par A et B deux événements indépendants d’un univers muni d’une loi de prob-abilité P . On sait que : P ( A ∪ B )= 4 5 ; P ( A )= 3 5 Déterminer la probabilité de l’événement B . E.5506 On considère un espace probabilisé (Ω ; P ) . Soit A et B deux événements indépendants. Montrer que les événements A et B sont également indépendants. E.4150 Soient A , B et C trois événe-ments d’un même univers Ω muni d’une probabilité P . On sait que : A et B sont indépendants ; P ( A ) = 2 5 ; P ( A ∪ B ) = 3 4 P ( C ) = 1 2 ; P ( A ∩ C ) = 1 10 Sans justification, indiquer si chacune des propositions suiv-antes est vraie ou fausse. Proposition 1: P ( B ) = 7 12 Proposition 2: P A ∪ C = 2 5 où A ∪ C désigne l’événement contraire de A ∪ C . 6. Arbre non-symétrique E.9447 Avec trois vannes identiques V 1 , V 2 et V 3 , on fabrique le circuit hydraulique ci-contre. Le circuit est en état de marche si V 1 est en état de marche ou si V 2 et V 3 le sont simultanément. On assimile à une expérience aléatoire le fait que chaque vanne est ou n’est pas en état de marche après 6 000 heures. On note : F 1 l’événement : ˇ la vanne V 1 est en état de marche après 6 000 heures ı. F 2 l’événement : ˇ la vanne V 2 est en état de marche après 6 000 heures ı. F 3 l’événement : ˇ la vanne V 3 est en état de marche après 6 000 heures ı. E l’événement : ˇ le circuit est en état de marche après 6 000 heures ı. On admet que les événements F 1 , F 2 et F 3 sont deux à deux indépendants et ont chacun une probabilité égale à 0 ; 3 . 1 L’arbre probabiliste ci-contre représente une partie de la situation. Reproduire cet arbre et placer les probabilités sur les branches. 2 Démontrer que : P ( E )=0 ; 363 . 3 Sachant que le circuit est en état de marche après 6 000 heures, calculer la probabilité que la vanne V 1 soit en état de marche à ce moment-là. Arrondir au millième. E.4256 Un jeu consiste à lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en quatre secteurs, comme indiqué sur figure ci-dessous : On suppose que les lancers sont indépendants et que le joueur touche la cible à tous les coups. Le joueur lance une fléchette. On note : p 0 la probabilité d’obtenir 0 point ; p 3 la probabilité d’obtenir 3 points ; p 5 la probabilité d’obtenir 5 points. On a les probabilités suivantes : p 0 = 1 2 ; p 3 = 1 3 ; p 5 = 1 6 Une partie de ce jeu consiste à lancer trois fléchettes au max-imum. Le joueur gagne la partie s’il obtient un total (pour les trois lancers) supérieur ou égal à 8 points. Si au bout de 2 lancers, il a un total supérieur ou égal à 8 points, il ne lance pas la troisième fléchette. On note les événements : G 2 : ˇ le joueur gagne la partie en 2 lancers ı ; G 3 : ˇ le joueur gagne la partie en 3 lancers ı ; P : ˇ le joueur perd la partie ı. On note P ( A ) la probabilité d’un événement A . 1 Montrer, en utilisant un arbre pondéré que : P ( G 2 ) = 5 36 On admettra dans la suite que : P ( G 3 ) = 7 36 2 En déduire P ( P ) 7. Avec un peu d’algèbre https://chingmath.fr chapExoCorrec/4322 sacados/4322 Extrait d'Antilles Juin 2011 chapExoCorrec/4169 sacados/4169 Extrait de Liban Juin 2009 chapExoCorrec/5506 sacados/5506 chapExoCorrec/4150 sacados/4150 chapExoCorrec/9447 sacados/9447 V1V2V3 F1F1F2F3 chapExoCorrec/4256 sacados/4256 5points0point3points0point
E.5527 On désigne par x un réel ap-partenant à l’intervalle 0 ; 80 . Une urne contient 100 petits cubes en bois dont 60 sont bleus et les autres rouges. Parmi les cubes bleus, 40 % ont leurs faces marquées d’un cercle, 20 % ont leurs faces marquées d’un losange et les autres ont leurs faces marquées d’une étoile. Parmi les cubes rouges, 20 % ont leurs faces marquées d’un cercle, x % ont leurs faces marquées d’un losange et les autres ont leurs faces marquées d’une étoile. On tire au hasard un cube de l’urne. 1 Démontrer que la probabilité que soit tiré un cube mar-qué d’un losange est égale à 0 ; 12+0 ; 004 x . 2 Déterminer x pour que la probabilité de tirer un cube marqué d’un losange soit égale à celle de tirer un cube marqué d’une étoile. 3 Déterminer x pour que les événements ˇ tirer un cube bleu ı et ˇ tirer un cube marqué d’un losange ı soient in-dépendants. 4 On suppose dans cette question que x =50 . Calculer la probabilité que soit tiré un cube bleu sachant qu’il est marqué d’un losange. E.10586 Une urne contient des boules de couleurs bleues et des boules de couleurs rouges. Certaines de ces boules portent une étoile. Voici le tableau des effectifs de cette urne : porte une étoile ne porte pas une étoile Boule bleue 5 6 Boule rouge 7 8 On considère l’expérience aléatoire consistant à choisir au hasard une boule dans cette urne et de noter sa couleur et la présence ou non d’une étoile. On considère les deux événements : A : ˇ la boule tirée est rouge ı B : ˇ la boule tirée porte une étoile ı 1 Établir que les événements A et B ne sont pas indépen-dants. 2 On rajoute 30 boules portant une étoile de couleur rouge ou bleue de telle sorte que les événements A et B sont indépendants. Déterminer le nombre de boules rouges et le nombre de boules bleues qui ont été rajoutées. 8. Avec plusieurs évènements E.8325 On considère une expérience aléa-toire et trois de ses événements A , B et C donnant l’arbre de probabilités ci-dessous : 1 Déterminer la probabilité de l’événement C . 2 Établir que les événements A et C sont indépendants? E.3738 On considère trois urnes qui contiennent chacune des boules noires et rouges. Une expérience consiste à tirer au hasard une boule de chaque urne. Pour tout i ∈ 1 ; 2 ; 3 , on considère les évènements suivants : N i : ˇ on tire une boule noire de l’urne U i ı ; R i : ˇ on tire une boule rouge de l’urne U i ı. On considère l’arbre de probabilité suivant : 1 Déterminer la probabilité de l’évènement N 3 . 2 Les évènements N 1 et N 3 sont-ils indépendants? https://chingmath.fr chapExoCorrec/5527 sacados/5527 chapExoCorrec/10586 sacados/10586 chapExoCorrec/8325 sacados/8325 0;30;40;2C0;8CB0;60;5C0;5CBA0;70;90;4C0;6CB0;10;2C0;8CBA chapExoCorrec/3738 sacados/3738 354535N325R3N21525N335R3R2N1252515N345R3N23545N315R3R2R1U7U6U5U4U3U2U1