Première spécialité / Probabilité et variables aléatoires 49 exercices corrigés

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ChingQuizz : 3 exercices disponibles pour l’evaluation par QCM : 1. Rappels E.3115 Un tournoi d’échec affronte deux équipes contenant chacune un homme et une femme. Une partie oppose une personne de chaque équipe. On choisit au hasard une personne de chaque équipe pour s’affronter au cours d’une partie. On considère les trois événe-ments qui ˇ composent ı l’univers des possibilités : A : ˇ Deux hommes s’affrontent dans cette partie ı B : ˇ Deux femmes s’affrontent dans cette partie ı C : ˇ Un homme et une femme s’affrontent dans cette partie ı 1 Conjecturer la probabilité de chacun de ces événements. 2 On utilise la notation suivante pour désigner la composi-tion de chaque groupe : G 1 = H 1 ; F 1 ; G 2 = H 2 ; F 2 a Décrire toutes les parties organisables lors de ce tournoi. b Donner la probabilité des événements A , B et C . E.5866 1 Ci-dessous sont représentés l’univers Ω d’une expérience aléatoire et deux événements A et B de Ω . Pour cha-cune des représentations ci-dessous, hachurer l’ensemble demandé. 2 Donner, sans justification, une expression simplifiée des ensembles : a A ∩ B b A ∪ B E.5179 On considère un jeu de carte 32 cartes et les trois événements suivants : A : ˇ La carte tirée est un coeur ı B : ˇ La carte tirée est une figure ı C : ˇ La carte tirée est un nombre dont la valeur est comprise strictement entre 7 et 10 ı 1 On tire une carte au hasard dans le jeu de cartes. Déterminer la probabilité des événements suivants : a A b B c C d A ∩ B e A ∪ B f A ∪ C 2 La carte ˇ Roi de coeur ı a été retirée du jeu, puis on tire au hasard une carte. Déterminer la probabilité des événements suivants : a A b B c C E.7578 On considère une expérience aléatoire comprenant n événements élémentaires. La loi d’équiprobabilité s’applique à cette expérience aléatoire. Deux événements A et B sont composés respectivement de 432 et 72 événements élémentaires et vérifient les propriétés suivantes : P A ∩ B = 0 ; 25 ; P A ∪ B = 0 ; 5 Quel est le nombre d’événements élémentaires composant l’univers Ω : a 496 b 540 c 643 d 672 E.2929 Après étude d’un dé truqué dont les faces sont numérotées de 1 à 6, on obtient la loi de probabilité suivante : x i 1 2 3 4 5 6 p i 0 ; 2 0 ; 15 0 ; 12 0 ; 17 0 ; 08 0 ; 28 Déterminer les probabilités de chacun des éléments suivants : 1 A: ˇ Le résultat est supérieur ou égal à 4ı . 2 B : ˇ Le résultat est un nombre impair ı. 3 C : ˇ Le résultat est un nombre pair ı. https://chingmath.fr quizzChap/761 chapExoCorrec/3115 sacados/3115 chapExoCorrec/5866 sacados/5866 AB AAB AAB BAB ABAB ABAB ABAB ABAB ABAB ABAB ABAB ABAB chapExoCorrec/5179 sacados/5179 AsAsAsAsRRRRDDDDVVVV10101010999988887777♥♦♠♣ chapExoCorrec/7578 sacados/7578 chapExoCorrec/2929 sacados/2929
E.7802 Un jeu consiste à lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en quatre secteurs, comme indiqué sur figure ci-dessous : On suppose que les lancers sont in-dépendants et que le joueur touche la cible à tous les coups. Le joueur lance une fléchette. On note : p 0 la probabilité d’obtenir 0 point ; p 3 la probabilité d’obtenir 3 points ; p 5 la probabilité d’obtenir 5 points. Sachant que p 5 = 1 2 · p 3 et que p 5 = 1 3 · p 0 , déterminer les valeurs de p 0 , p 3 et p 5 . E.8183 1 Exprimer chacune des parties hachurées ci-dessous à l’aide des ensembles A , B et C : a b 2 Hachurer l’ensemble indiqué sur chacune des figures ci-dessous : a b E.8184 1 Exprimer chacune des parties hachurées ci-dessous à l’aide des ensembles A , B et C : a b 2 Hachurer l’ensemble indiqué sur chacune des figures ci-dessous : a b E.6630 Une urne contient 18 pièces de bois de formes, de couleurs et portant des numéros différents. On tire au hasard un élément de cette urne. On suppose que le tirage s’effectue de manière équiprobable. On considère les événements suivants : A : ˇ la pièce est un triangle ı B : ˇ la pièce est de couleur blanche ı C : ˇ la pièce porte le numéro 2 ı D : ˇ la pièce n’est pas un cercle ı E : ˇ la pièce porte un numéro pair ı Sans justification, donner la probabilité des événements suiv-ants : a A b A ∩ C c C ∩ B ∪ A d A ∩ C e A ∩ D f A ∩ E ∪ C ∩ D g C ∩ E h C ∪ D i A ∪ C 2. Loi de probabilité d’une variable aléatoire E.5170 Une urne contient quatre boules bleues numérotées de 1 à 4 , trois boules rouges numérotées de 1 à 3 et deux boules vertes numérotées de 1 à 2 . 1 On note X la variable aléatoire qui associe à chacune des boules le numéro inscrit sur celui-ci. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X . 2 Au tirage d’une boule dans cette urne, on associe les rè-gles de jeu suivantes : Si la boule tirée est bleue et porte un entier pair, le https://chingmath.fr chapExoCorrec/7802 sacados/7802 5points0point3points0point chapExoCorrec/8183 sacados/8183 ABC ABC ABCCB ABCACB chapExoCorrec/8184 sacados/8184 ABC ABC ABCBA ABCCBA chapExoCorrec/6630 sacados/6630 133421243221124331 chapExoCorrec/5170 sacados/5170
joueur gagne 2 e . Si la boule tirée n’est pas bleue et porte un entier pair, le joueur gagne 3 e . Sinon le joueur ne gagne rien. On note Y la variable aléatoire qui associe au tirage d’une boule le gain obtenu. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire Y . E.5188 Un jeu consiste à lancer dé dodécaè-dre parfaitement équilibré dont les faces sont numérotés de 1 à 12 . Le jeu consiste à lancer une fois le dé. On considère la variable aléatoire X qui associe à chaque valeur d’une face le nombre de diviseurs de cette valeur. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X . E.7336 On considère une urne contenant 11 boules. Certaines sont rondes, d’autres carrés. Certaines sont blanches, d’autres sont rayés. Elles sont représentées ci-dessous : On suppose qu’en appuyant sur un bouton, les boules sortent au hasard de l’urne. On vient de constituer une expérience aléatoire suivant la loi d’équiprobabilité. On associe un gain à chacune des boules de la manière suiv-ante : Une boule rapporte 1 e alors qu’un carré rapporte 2 e . De plus, si l’élément est rayé, le gain est augmenté de 1 e . Cette association d’une valeur à chaque événement élémen-taire constitue une variable aléatoire. Notons-la X . 1 Déterminer la loi de probabilité de la variable X lorsque le contenu de l’urne est représenté ci-dessous : 2 Déterminer la loi de probabilité de la variable X lorsque le contenu de l’urne est représenté ci-dessous : 3. Variables aléatoires et fonction de répartition E.4801 Définition: on définit l’ensemble X 2 comme l’ensemble des événements élémentaires prenant une valeur inférieure ou égale à 2 : X 2 = ! ∈ Ω ⏐ ⏐ X ( ! ) 2 Dans le cas Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dans N , on a: X 2 = X =0 ∪ X =1 ∪ X =2 Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs entières de 1 à 6 et dont la loi de probabilité est donnée dans le tableau ci-dessous : x i 1 2 3 4 5 6 P X = x i 0 ; 05 0 ; 12 0 ; 15 0 ; 23 0 ; 17 1 Compléter le tableau de la loi de probabilité de X . 2 Déterminer les probabilités suivantes : a P X 3 b P X > 3 E.8461 Dans un jeu basé sur une expérience aléatoire, la variable aléatoire X mesure le gain réalisé par le participant. Le tableau suivant présente la loi de probabilité de la variable X : x 0 1 2 3 6 P ( X = x ) 0 ; 34 0 ; 3 0 ; 19 0 ; 15 0 ; 02 Déterminer les probabilités suivantes : a P ( X < 3) b P ( X 3) c P (2 X < 5) E.8462 On dispose d’un dé équilibré à 6 faces et on associe à chaque face un gain de la manière suivante : la face ˇ 6 ı rapporte 5 e . la face ˇ 1 ı rapporte 2 e . les autres faces portant un numéro pair rapportent 1 e . les autres faces ne rapportent rien. On note X la variable aléatoire qui, à chaque lancer du dé, associe le gain réalisé. 1 Déterminer la valeur de la probabilité P X =1 . 1 6 2 6 3 6 4 6 2 Déterminer la valeur de la probabilité P X > 1 . 1 6 2 6 3 6 4 6 https://chingmath.fr chapExoCorrec/5188 sacados/5188 chapExoCorrec/7336 sacados/7336 chapExoCorrec/4801 sacados/4801 chapExoCorrec/8461 sacados/8461 chapExoCorrec/8462 sacados/8462
E.8463 On dispose d’un dé équilibré à 6 faces et on associe à chaque face un gain de la manière suivante : la face ˇ 6 ı rapporte 5 e . les faces ˇ 1 ı et ˇ 3 ı rapportent 2 e . les autres faces portant un numéro pair rapportent 1 e . la face ˇ 5 ı ne rapporte rien. On note X la variable aléatoire qui, à chaque lancer du dé, associe le gain réalisé. 1 Déterminer la valeur de la probabilité P X =1 . 1 6 2 6 3 6 4 6 2 Déterminer la valeur de la probabilité P X > 1 . 1 6 2 6 3 6 4 6 E.8211 On considère l’expérience aléatoire consistant à un jeté un dé truqué à 6 faces. On considère la variable aléatoire X qui, à chaque lancer, renvoie le numéro de la face obtenue. Ci-dessous est donnée la loi de distribution cumulative de la variable aléatoire X : k 1 2 3 4 5 6 P X k 0 ; 275 0 ; 34 0 ; 51 0 ; 6 0 ; 84 1 1 Déterminer les probabilités suivantes : a P X > 3 b P X 4 2 a Justifier que : P X =2 =0 ; 065 b Déterminer les probabilités suivantes : P X =3 ; P X =6 3 Déterminer les probabilités suivantes : a P 2 X 5 b P 3 < X 5 E.4799 Soit n un entier naturel non-nul ( n ∈ N ∗ ) . Une urne contient : 8 boules rouges numérotées de 1 à 8 . 1 boule verte numérotée 1 . n boules bleues numérotées de 1 à n . On suppose que les boules sont indiscernables au toucher et on considère l’expérience aléatoire consistant à tirer au hasard une boule de cette urne. On note X qui associe à chaque boule tirée un nombre de points en suivant les règles suivantes : Une boule rouge apporte 1 point, la boule verte apporte 2 points, une boule bleue apporte 3 point. Une boule portant un nombre impair apporte 1 point supplémentaire. De plus, on sait que : P X 3 = 3 4 Déterminer la ou les valeurs de n réalisant toutes ces condi-tions. Indication: on effectuera une disjonction de cas sur la parité de l’entier n . E.4800 Soit X une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée ci-dessous : x i 0 1 2 3 P X = x i 0 ; 15 0 ; 24 0 ; 35 0 ; 26 1 Justifier que le tableau ci-dessous représente bien une loi de probabilité. 2 Déterminer les probabilités suivantes : a P X 2 b P X < 2 c P {X =1 } ∪{X =3 } 4. Espérances E.4805 On considère la variable aléatoire X dont la loi de probabilité est donnée dans le tableau ci-dessous : k 0 1 2 5 10 P X = k 0 ; 4 0 ; 38 0 ; 15 0 ; 05 0 ; 02 Déterminer l’espérance de la variable aléatoire X . E.4804 On considère la variable aléatoire X dont la loi de probabilité est donnée dans le tableau ci-dessous : k 0 1 2 3 P X = k 0 ; 51 0 ; 08 0 ; 17 0 ; 24 Déterminer l’espérance de la variable aléatoire X . E.3735 Pour entretenir en bon état de fonctionnement le chauffage, une société immobilière fait con-trôler les chaudières de son parc de logements pendant l’été. On sait que 20 % des chaudières sont sous garantie. On considère les événements suivants : A : ˇ La chaudière est garantie ı ; B : ˇ La chaudière est défectueuse ı. Voici la probabilité de certains éléments : E A A ∩ B A ∩ B P ( E ) 0 ; 2 0 ; 08 0 ; 72 Le contrôle est gratuit si la chaudière est sous garantie. Il coûte 80 euros si la chaudière n’est plus sous garantie et n’est pas défectueuse. Il coûte 280 euros si la chaudière n’est plus sous garantie et est défectueuse. On note X la variable aléa-toire qui représente le coût du contrôle d’une chaudière. https://chingmath.fr chapExoCorrec/8463 sacados/8463 chapExoCorrec/8211 sacados/8211 chapExoCorrec/4799 sacados/4799 chapExoCorrec/4800 sacados/4800 chapExoCorrec/4805 sacados/4805 chapExoCorrec/4804 sacados/4804 chapExoCorrec/3735 sacados/3735 Inspiree d'Antilles-Guyane Juin 2002
Déterminer la loi de probabilité de X et son espérance math-ématique. E.5351 Un jeu consiste à tirer une boule au hasard d’une urne. Le gain du jeu est associé à la couleur de la boule tirée: Une boule rouge rapporte 10 e . Une boule bleue rapporte 1 e . Une boule verte ne rapporte aucun gain. 1 L’urne A comporte 1 boule rouge, 10 boules bleues et 5 boules vertes. On note X la variable aléatoire associée au gain d’une boule tirée dans l’urne A . a Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X . b Déterminer l’espérance de la variable aléatoire X . 2 L’urne B comporte 3 boules rouges, 3 boules bleues et 20 boules vertes. On note Y la variable aléatoire associée au gain d’une boule tirée dans l’urne B . a Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire Y . b Déterminer l’espérance de la variable aléatoire Y . (on arrondira la valeur au centième près) . 3 Paul souhaite participer au jeu. Quelle est l’urne la plus avantageuse pour lui? E.5911 On dispose d’un dé équilibré à 6 faces et on associe à chaque face un gain de la manière suivante : la face ˇ 6 ı rapporte 5 e . la face ˇ 1 ı rapporte 2 e . les autres faces portant un numéro pair rapportent 1 e . les autres faces ne rapportent rien. On note X la variable aléatoire qui, à chaque lancer du dé, associe le gain réalisé. Déterminer l’espérance de la variable aléatoire X . 9 6 10 6 11 6 12 6 E.5912 On dispose d’un dé équilibré à 6 faces et on associe à chaque face un gain de la manière suivante : la face ˇ 6 ı rapporte 5 e . les faces ˇ 1 ı et ˇ 3 ı rapportent 2 e . les autres faces portant un numéro pair rapportent 1 e . la face ˇ 5 ı ne rapporte rien. On note X la variable aléatoire qui, à chaque lancer du dé, associe le gain réalisé. Déterminer l’espérance de la variable aléatoire X . 9 6 10 6 11 6 12 6 E.4806 On considère un jeu de 32 cartes. Un jeu consiste à tirer une carte au hasard parmi ces cartes. On considère les trois événements ci-dessous : A : la carte tirée est un coeur ; B : la carte tirée est une figure ; C : la carte tirée est 7 , 8 ou 9 . On associe un gain à la carte tirée de la manière suivante : les cartes de A ∩ C rapporte 1 point ; les cartes de A ∩ B rapporte 2 points ; les cartes de A ∩ B rapporte 4 points. les autres cartes ne rapportent pas de points. On note X la variable aléatoire qui associe à une carte le nombre de points gagnés. Déterminer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X . E.7800 Un jeu utilise un sac rempli de je-tons portant chacune une lettre sur une de ces faces. Voici ci-dessous le contenu de ce sac : Le joueur tire un jeton avant de le remettre dans le sac et chaque jeton est associé à un nombre de points de la manière suivante : Chaque voyelle rapporte le même nombre de points. Chaque consonne rapporte le double de points d’une voyelle. On note X la variable aléatoire qui associe à chacun des jetons le nombre points associés. Sachant que l’espérance de la variable aléatoire X est 8 5 , déter-miner le nombre de points attribués à chaque voyelle. E.5198 Définition: Soit X une variable aléatoire prenant n +1 valeurs notées x 0 , x 1 , . . . , x n . On appelle espérance de la variable aléatoire X , le nombre noté E X défini par : E X = x 0 ×P X = x 0 + x 1 ×P X = x 1 + ··· + x n ×P X = x n Cette somme se note aussi : n k =0 x k ·P X = x k Dans un jeu basé sur une expérience aléatoire, la variable aléa-toire X mesure le gain réalisé par le participant. Le tableau suivant présente la loi de probabilité de la variable X : k 0 1 2 3 6 P ( X = k ) 0 ; 34 0 ; 3 0 ; 19 0 ; 15 0 ; 02 Déterminer l’espérance de cette variable aléatoire. Remarque: l’espérance aléatoire correspond à la valeur moyenne prise par la variable aléatoire X lorsqu’on répète un grand nombre de fois l’expérience aléatoire. https://chingmath.fr chapExoCorrec/5351 sacados/5351 chapExoCorrec/5911 sacados/5911 chapExoCorrec/5912 sacados/5912 chapExoCorrec/4806 sacados/4806 AsAsAsAsRRRRDDDDVVVV10101010999988887777♥♦♠♣ chapExoCorrec/7800 sacados/7800 ABBCCCDDDDEEEEE chapExoCorrec/5198 sacados/5198
5. Variances E.3117 En fin d’année l’association des élèves d’un lycée organise une tombola: 100 tickets sont mis en vente à 10 euros l’unité. Voici les différents tickets gagnants : 2 tickets gagnent 50 e ; 10 tickets gagnent 20 e ; 20 tickets gagnent 10 e . 1 Quelle est la somme des gains de cette tombola? On considère l’expérience aléatoire consistant à choisir un ticket au hasard et la variable aléatoire X qui à chaque ticket associe sa valeur. 2 Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X . 3 a Déterminer l’espérance E ( X ) de la variable aléatoire X . b Déterminer la variance V ( X ) et l’écart type ff ( X ) de la variable aléatoire X . (on arrondira les valeurs au dixième près) . Remarque: on pourra compléter le tableau ci-dessous pour déterminer la variance de la variable aléatoire X . k 0 10 20 50 k − E ( X ) k − E ( X ) 2 P X = k E.3118 En fin d’année l’association des élèves d’un lycée organise une tombola; 100 tickets à 10 euros chacun sont mis en vente. Voici les différents tickets gagnants : 2 tickets gagnent 100 e ; 15 tickets gagnent 10 e ; 1 a Quelle est la somme des gains dans cette tombola? b Si tous les tickets sont vendus, quel sera le bénéfice réalisé par les organisateurs? On considère l’expérience aléatoire consistant à choisir au hasard un ticket et la variable aléatoire X qui, à chaque ticket, associe sa valeur. 2 Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X . 3 a Déterminer l’espérance E ( X ) de la variable aléatoire X . b Déterminer la variance V ( X ) et ff ( X ) de la variable aléatoire X . (on arrondira les valeurs au centième près) . E.5189 Un jeu consiste à tirer une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. On associe à chaque carte un gain: un as rapporte x points Une figure rapporte 4 points Un 10 rapporte 3 points Les autres cartes ne font gagner aucun point. où x est un nombre strictement positif. On modélise le nombre de points gagnés par la variable aléa-toire X . Déterminer la valeur de x pour que l’écart-type de la variable aléatoire X soit égal à 2 . E.10453 Dans un espace probabilisé (Ω ; P ) , on considère la variable aléatoire X prenant ses valeurs dans l’ensemble 0 ; 3 ; 4 . On a les informations suivantes : P X =0 = x ; P X =3 = 2 x ; V X = 2 où x est un nombre appartenant à l’intervalle 0 ; 1 . Déterminer les valeurs possibles de x réalisant ces conditions. E.10626 On considère une expérience aléatoire à laquelle est associée une variable aléatoire X dont la loi de probabilité est donnée ci-dessous : k 0 3 6 P X = k 0 ; 2 0 ; 5 0 ; 3 1 Montrer que : E X =3 ; 3 . 2 a Compléter le tableau ci-dessous : k 0 3 6 k − E ( X ) k − E ( X ) 2 P X = k b En déduire la valeur de la variance et de l’écart-type de la variable aléatoire X . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3117 sacados/3117 chapExoCorrec/3118 sacados/3118 chapExoCorrec/5189 sacados/5189 AsAsAsAsRRRRDDDDVVVV10101010999988887777♥♦♠♣ chapExoCorrec/10453 sacados/10453 chapExoCorrec/10626 sacados/10626
E.7801 Définition: on considère Ω; P une expérience aléatoire et X une variable aléatoire sur Ω prenant les valeurs k 1 , k 2 , . . . , k n . On appelle variance de X le nombre, noté V ( X ) définit par : V ( X ) = n i =1 k i − E ( X ) 2 ×P X = k i On appelle écart-type de X le nombre, noté ff X définit par : ff X = V ( X ) On considère une expérience aléatoire à laquelle est associée une variable aléatoire X dont la loi de probabilité est donnée ci-dessous : k − 2 1 3 5 8 P X = k 0 ; 3 0 ; 1 0 ; 2 0 ; 1 0 ; 3 1 Montrer que : E X =3 . 2 a Compléter le tableau ci-dessous : k − 2 1 3 5 8 k − E ( X ) k − E ( X ) 2 P X = k b En déduire la valeur de la variance. 6. Variances et calculatrices E.4185 Un joueur lance une fois un dé bien équilibré à 6 faces. Il gagne 10 e si le dé marque 1 . Il gagne 1 e si le dé marque 2 ou 4 . Il ne gagne rien dans les autres cas. Soit X la variable aléatoire égale au gain du joueur. 1 Sans l’usage de la calculatrice, donner la valeur exacte de la variance de la variable aléatoire X . 2 À l’aide de la calculatrice, donner la valeur de l’écart-type de la variable aléatoire X arrondie au centième près. E.5156 Soit X une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée ci-dessus : x i 0 1 2 3 P X = x i 0 ; 15 0 ; 24 0 ; 35 0 ; 26 1 Justifier que le tableau ci-dessous représente bien une loi de probabilité. 2 Déterminer les probabilités suivantes : a P X 2 b P X < 2 c P {X =1 } ∪{X =3 } 3 Donner, à l’aide de la calculatrice et arrondi au millième, l’espérance et l’écart-type de la variable X . 7. Successions indépendantes d’expériences aléatoires E.4796 Un jeu consiste à lancer quatre fois successivement une pièce de monnaie équilibré. À chaque lancer, on note la face obtenue. 1 Construire un arbre de choix représentant cette expéri-ence aléatoire. On admet que les issues de cette expérience sont équiproba-bles. À chacune des issues, on associe un gain en suivant : le gain est de 0 e si le côté face n’apparait pas ; le gain est de 1 e si le côté face apparait 1 fois ; le gain est de 2 e si le côté face apparait 2 fois ; le gain est de 4 e si le côté face apparait 3 fois ; le gain est de 10 e si le côté face apparait 4 fois ; 2 Établir que : P X =4 = 1 4 3 Compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de proba-bilité de la variable aléatoire X : k 0 1 2 4 10 P X = k 4 Compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de distri-bution cumulative de la variable aléatoire X : k 0 1 2 4 10 P X k 1 https://chingmath.fr chapExoCorrec/7801 sacados/7801 chapExoCorrec/4185 sacados/4185 chapExoCorrec/5156 sacados/5156 chapExoCorrec/4796 sacados/4796
E.5197 Un magasin de sport propose à la location des skis de piste, des snowboards et des skis de randonnée. Son matériel loué est constitué de 60 % de skis de piste, le reste étant également réparti entre les snowboards et les skis de randonnées. Après la journée de location, le matériel est contrôlé et éventuellement réparé. Indépendamment du type de matériel loué, 30 % du matériel nécessite une réparation. Chaque paire de ski et chaque snowboard sont répertoriés sur une fiche qui précise son suivi. On tire au hasard une fiche. On considère les événements suivants : S p : ˇ La fiche est celle d’une paire de skis de piste ı ; S n : ˇ La fiche est celle d’un snowboard ı ; S r : ˇ La fiche est celle d’une paire de skis de randonnée ı ; R : ˇ Le matériel nécessite une réparation ı ; R est son événement contraire. Tous les résultats des quatre premières questions seront ar-rondies à 10 − 3 . 1 Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-contre : 2 a Calculer la probabilité que la fiche tirée concerne une paire de skis de piste ne nécessitant pas une répara-tion. b Calculer P S p ∪ R : la probabilité que la fiche tirée concerne une paire de skis de piste ou un matériel ne né-cessitant pas une réparation. 3 Le coût de la location de skis de piste ou d’un snowboard est de 20 e , celui d’une paire de skis de randonnée est de 15 e . En cas de réparation, un surcoût de 15 e est facturé. On considère la variable aléatoire X qui associe à une fiche le montant de la facturation associée. a Dresser un tableau représentant la loi de probabilité de la variable aléatoire X . b Déterminer l’espérance de la variable aléatoire X . E.4810 Cinq garçons et trois filles par-ticipent écrivent leur nom sur un bout de papier et l’insèrent dans une urne. On extrait, successivement et avec remise, deux bouts de pa-pier de l’urne. On considère que les deux tirages sont indépen-dants. 1 À chaque tirage, on regarde si le papier tiré désigne un garçon ou une fille. Construire l’arbre de probabilité lié à cette expérience. 2 Soit X la variable aléatoire associant à une issue de ce tirage le nombre de filles sélectionnées. a Déterminer la loi de probabilité de X . b Calculer son espérance mathématique de E ( X ) . E.5157 Un producteur de fruits rouges pro-pose en vente directe des framboises, des groseilles et des myr-tilles. Le client peut acheter, soit des barquettes de fruits à déguster, soit des barquettes de fruits à confiture. Le producteur a remarqué que, parmi ses clients, 9 sur 10 achètent une barquette de fruits à confiture. Quel que soit le type de barquette achetée, le client choisi à 50 % des cas la myrtille pour fruit, 30 % des framboises dans les autres cas, c’est la groseille qui est choisie. On notera : C l’événement ˇ le client achète une barquette de fruits à confiture ı ; F l’événement ˇ le client demande des framboises ı ; G l’événement ˇ le client demande des groseilles ı ; M l’événement ˇ le client demande des myrtilles ı ; On suppose que le fruit choisit ne dépend pas du type de bar-quette acheté et que chaque client n’achète qu’une barquette. 1 Compléter l’arbre pondéré ci-dessous : 2 Déterminer la probabilité de C ∩ F . 3 Le producteur fixe les prix de ses barquettes de la manière suiv-ante : Le prix de base d’une barquette de fruits à confiture est vendue 5 euros et celui d’une barquette de fruits à déguster est vendue 3 euros ; Si la barquette choisit contient des framboises, il ajoute 1 euro au prix de la barquette ; Si la barquette choisit contient des myrtilles, il ajoute 2 euros au prix de la barquette ; Si la barquette choisit contient des groseilles, le prix de base reste inchangé. On note X la variable aléatoire associant à chaque client le prix de la barquette acheté. a Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire X ? b Dresser le tableau représentant la loi de probabilité de X . c Déterminer l’espérance de la variable aléatoire X . 8. Probabilité conditionnelle E.5572 Une usine produit ses télévisions sur deux chaines de productions A et B . On considère les événements : A : ˇ la télévision est produite sur la chaine A ı B : ˇ la télévision est produite sur la chaine B ı D : ˇ la télévision produite est défectueuse ı https://chingmath.fr chapExoCorrec/5197 sacados/5197 RRSpRRSnRRSr chapExoCorrec/4810 sacados/4810 chapExoCorrec/5157 sacados/5157 FGMCFGMC chapExoCorrec/5572 sacados/5572
À la sortie de la chaîne de production, on choisit au hasard une télévision. On a les probabilités suivantes : P ( A ) = 0 ; 8 ; P A ( D ) = 0 ; 1 ; P B ( D ) = 0 ; 2 1 Compléter l’arbre de probabilité ci-dessous : 2 a Justifier que : P B ∩ D = 0 ; 16 b Justifier que : P D = 0 ; 88 . c Justifier qu’au millième près, on a: P D A ) ≈ 0 ; 667 3 On a les informations suivantes : Une télévision produite sur la chaine A a un coût de revient de 250 $ . Une télévision produite sur la chaine B a un coût de revient de 300 $ . Le coût de répération d’une télévision défectueuse est de 50 $ . On considère la variable aléatoire X qui a une télévision produite dans l’usine, associe son coût total de produc-tion. a Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X b Déterminer, au centième près, l’espérance de X E.3806 Lors d’une épidémie chez des bovins, on s’est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisam-ment tôt chez un animal, on peut le guérir; sinon la maladie est mortelle. Un test est mis au point et essayé sur un échantillon d’animaux dont 1 % est porteur de la maladie. On obtient les résultats suivants : si un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans 85 % des cas ; si un animal est sain, le test est négatif dans 95 % des cas. On choisit de prendre ces fréquences observées comme proba-bilités pour la population entière et d’utiliser le test pour un dépistage préventif de la maladie. On note les événements : M : ˇ l’animal est porteur de la maladie ı ; T : ˇ le test est positif ı. 1 Construire un arbre pondéré modélisant la situation pro-posée. 2 Un animal est choisi au hasard. a Quelle est la probabilité qu’il soit porteur de la maladie et que son test soit positif? b Montrer que la probabilité pour que son test soit posi-tif est 0 ; 058 . 3 Un animal est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif. Quelle est la probabilité pour qu’il soit porteur de la maladie? On arrondira la probabilité au millième près. 4 Le coût des soins à prodiguer à un animal ayant réagi pos-itivement au test est de 100 euros et le coût de l’abattage d’un animal non dépisté par le test et ayant développé la maladie est de 1 000 euros. On suppose que le test est gratuit. D’après les données précédentes, la loi de probabilité du coût à engager par animal subissant le test est donnée par le tableau suivant : Coût 0 100 1 000 Probabilité 0 ; 940 5 0 ; 058 0 0 ; 001 5 a Calculer l’espérance mathématique de la variable aléa-toire associant à un animal le coût à engager. b Un éleveur possède un troupeau de 200 bêtes. Si tout le troupeau est soumis au test, quelle somme doit-il prévoir d’engager? https://chingmath.fr DDADDB chapExoCorrec/3806 sacados/3806
E.9714 D’après une étude ré-cente, il y a 216 762 médecins en France métropolitaine parmi lesquels 0 ; 6 % pratiquent l’ostéopathie et on compte 75 164 kinésithérapeutes parmi lesquels 8 ; 6 % pratiquent l’ostéopathie. On choisit une personne au hasard parmi les médecins et les kinésithérapeutes. On note les évènements suivants : M : ˇ la personne choisie est médecin ı ; K : ˇ la personne choisie est kinésithérapeute ı ; O : ˇ la personne choisie pratique l’ostéopathie ı. 1 On représente la situation à l’aide de l’arbre pondéré suiv-ant : a Reproduire l’arbre de probabilité puis le compléter. b Montrer que la probabilité P O est égale à 0 ; 0268 . c Un patient vient de suivre une séance d’ostéopathie chez un praticien d’une des deux catégories. Détermine la probabilité que le praticien soit un kinésithérapeute. Donner le résultat arrondi au cen-tième. 2 Le prix d’une consultation chez un kinésithérapeute est de 30 e et celle d’un médecin est de 35 e . De plus, si ce praticien pratique l’ostéopathie, il augmente le prix de la consultation de 5 e . On considère la variable aléatoire X qui, à la personne choisie au hasard, associe le prix d’une de ses consulta-tions. a Dresser le tableau représentant la loi de probabilité de la variable aléatoire X . b Déterminer l’espérance de la variable aléatoire X . E.3712 Un jeu est constitué d’un dé équili-bré et des trois urnes ci-dessous composées chacune de boules noires et de boules blanches : Le joueur tire une boule dans une des urnes ; l’urne est choisie en fonction de la face du dé obtenue au cours d’un lancer: Si la face obtenue est 1, il tire la boule dans l’urne U 1 ; Si la face obtenue est paire, il tire la boule dans l’urne U 2 ; Si la face obtenue est 3 ou 5 , il utilisera l’urne U 3 . 1 Déterminer la probabilité de tirée la boule dans l’urne U 1 ; dans l’urne U 2 ; dans l’urne U 3 . 2 a En tirant la boule dans l’urne U 1 , quel est la proba-bilité de tirer une boule noire? b En tirant la boule dans l’urne U 2 , quel est la probabil-ité de tirer une boule noire? c En tirant la boule dans l’urne U 3 , quel est la probabil-ité de tirer une boule noire? 3 Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-contre : 4 Déterminer la probabilité de l’événement suivant : A : ˇ La boule tirée est noire. ı 5 Le joueur gagne 5 e lorsque la dernière boule tirée est une boule noire et perd sinon ; quel est l’espérance de ce jeu? https://chingmath.fr chapExoCorrec/9714 sacados/9714 0;74OOM0;26OOK chapExoCorrec/3712 sacados/3712 U1 U2 U3 :::N:::B:::U1:::N:::B:::U2:::N:::B:::U3
E.7156 Amélie doit traverser la rue principale d’un village qui est jalonnée de deux feux tricolores. Pour n ∈ 1 ; 2 , on note E n l’événement ˇ Amélie est arrêtée par le n e feu rouge ou orange ı et E n l’événement contraire. Le feu orange est considéré comme un feu rouge. Soit p n la probabilité de E n et q n celle de E n . La probabilité, que le premier feu tricolore soit rouge ou orange, vaut 1 8 On suppose que les deux conditions suivantes sont réalisées : La probabilité, que le second feu tricolore soit rouge ou orange si le premier feu est rouge, vaut 1 20 . La probabilité que le second feu tricolore soit rouge ou orange, si le premier feu est vert, est égale à 9 20 . On s’intéresse, tout d’abord, aux premiers feux tricolores. 1 Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous. 2 On note X la variable aléatoire égale au nombre de feux verts parmi ces deux feux tricolores. Déterminer la loi de probabilité de X . E.3731 On dispose de deux urnes U 1 et U 2 contenant des boules indiscernables au toucher. U 1 contient k boules blanches ( k entier naturel supérieur ou égal à 1 ) et 3 boules noires. U 2 contient 2 boules blanches et une boule noire. On tire une boule au hasard dans U 1 et on la place dans U 2 . On tire ensuite, au hasard, une boule dans U 2 . L’ensemble de ces opérations constitue une épreuve. On note B 1 (respectivement N 1 ) l’événement ˇ on a tiré une boule blanche (resp. noire) dans l’urne U 1 ı. On note B 2 (respectivement N 2 ) l’événement ˇ on a tiré une boule blanche (resp. noire) dans l’urne U 2 ı. 1 a Recopier et compléter par les probabilités manquantes l’arbre ci-dessous : b Montrer que la probabilité de l’événement B 2 est égale à: 3 k + 6 4 k + 12 2 Dans la suite, on considère que k =12 . Un joueur mise 8 euros et effectue une épreuve. Si, à la fin de l’épreuve, le joueur tire une boule blanche de la deuxième urne, le joueur reçoit 12 euros. Sinon, il ne reçoit rien et perd sa mise. Soit X la variable aléatoire égale au gain du joueur, c’est-à-dire la différence entre la somme reçue et la mise. a Montrer que les valeurs possibles de X sont 4 et − 8 . b Déterminer la loi de probabilité de la variable X . c Calculer l’espérance mathématique de X . d Le jeu est-il favorable au joueur? E.3714 Une urne contient 10 boules blanches et n boules rouges, n étant un entier naturel supérieur ou égal à 2. On fait tirer à un joueur des boules de l’urne. À chaque tirage, toutes les boules ont la même proba-bilité d’être tirées. Pour chaque boule blanche tirée, il gagne 2 euros et pour chaque boule rouge tirée, il perd 3 euros. On désigne par X la variable aléatoire correspondant au gain algébrique obtenu par le joueur. Le joueur tire deux fois successivement et sans remise une boule de l’urne. 1 Démontrer que : P ( X = − 1)= 20 · n ( n +10)( n +9) 2 Calculer, en fonction de n la probabilité correspondant aux deux autres valeurs prises par la variable X . 3 Vérifier que l’espérance mathématique de la variable aléa-toire X vaut : E ( X ) = − 6 n 2 − 14 n + 360 ( n + 10)( n + 9) 4 Déterminer les valeurs de n pour lesquelles l’espérance mathématique est strictement positive. https://chingmath.fr chapExoCorrec/7156 sacados/7156 vert.........rougeouorange...rougeouorange...vert......... chapExoCorrec/3731 sacados/3731 Extrait Antilles-Guyannes Juin 2008 ::::::B2:::N2B1::::::B2:::N2N1 chapExoCorrec/3714 sacados/3714
E.10452 Le parc d’attraction ˇSix drapeauxı près de la ville de Los Humanos possèdent deux parkings : un parking près de l’entrée principale à 15 e la journée et le sec-ond parking à 10 e . Les habitants de Los Humanos disposent d’une réduction de 5 e sur le prix du parking. Cette société étudie les recettes générées par ces parkings et en choisissant au hasard un client de ce parc d’attraction, on note les évènements L et P définis par : L : le client est un habitant de Los Humanos. P : le client a choisi le parking proche de la porte d’entrée. Cette société nous transmet les informations suivantes : 30 % des clients sont des habitants de Los Humanos 60 % des habitants de Los Humanos choisissent le park-ing proche de la porte d’entrée. 60 % des clients n’habitant pas à Los Humanos choisis-sent le parking excentré. Partie A 1 Construire l’arbre de probabilités modélisant cette étude. 2 Déterminer la probabilité de l’évènement P . 3 Sachant qu’un client a choisi d’utiliser le parking proche de la porte d’entrée, quelle est la probabilité que ce client habite Los Humanos? Partie B On considère la variable aléatoire X qui associe à chaque client le prix payé pour le parking. 4 Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X . 5 À l’aide de la calculatrice, donner l’espérance et l’écart-type de la variable aléatoire X . E.10627 On considère l’urne, représentée ci-contre, et contenant 11 boules indis-cernables au toucher, mais portant des numéros différents et peuvent être col-oriés en bande ou pleines. On considère les deux expériences aléa-toires ci-dessous indépendantes entre elles. Partie A : probabilité conditionnelle On considère l’expérience aléatoire consistant à tirer une pre-mière boule de l’urne et à la mettre de côté, puis tirer une seconde boule de l’urne. On fait alors la somme des deux entiers notés sur ces boules et s’intéresse à la parité de cette somme. On considère les deux événements : P 1 : la première boule tirée porte un numéro pair; P 2 : la seconde boule tirée porte un numéro pair. 1 Justifier que l’évènement P 1 ∩ P 2 a pour probabilité 2 11 2 Construire un arbre de probabilité présentant cette situ-ation. 3 Déterminer la probabilité d’obtenir un entier pair. 4 a Déterminer la probabilité d’obtenir, lors du second tirage, une boule portant un entier impair. b Sachant qu’au second tirage la boule portée un entier pair, quelle est la probabilité que la somme obtenue soit un entier pair. Partie B: variable aléatoire Dans cette partie, l’expérience aléatoire consiste à tirer au hasard une boule de l’urne et de relever sa couleur, puis de la remettre dans l’urne. On associe à chacune des couleurs une valeur: la valeur d’une boule ˇ pleine ı est de 10 , la valeur d’une boule coloriée en bande est de 3 . On note X la variable aléatoire qui associe à chacune des boules sa valeur. 5 Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X . 6 Déterminer l’espérance de la variable aléatoire X . 9. Problèmes E.3730 Une urne A contient quatre boules rouges et six boules noires. Une urne B contient une boule rouge et neuf boules noires. Les boules sont indiscernables au toucher. Partie A Un joueur dispose d’un dé à six faces, parfaitement équilibré, numéroté de 1 à 6 . Il le lance une fois : S’il obtient 1 , il tire au hasard une boule de l’urne A ; Sinon il tire au hasard une boule de l’urne B . 1 Soit R l’événement ˇ le joueur obtient une boule rouge ı. Montrer que P ( R )=0 ; 15 . 2 Si le joueur obtient une boule rouge, la probabilité qu’elle provienne de A est-elle supérieure ou égale à la probabil-ité qu’elle provienne de B ? Partie B Le joueur répète deux fois l’épreuve décrite dans la partie A , dans des conditions identiques et indépendantes (c’est-à-dire qu’à l’issue de la première épreuve les urnes retrouvent leur composition initiale) . Soit x un entier naturel non nul. https://chingmath.fr chapExoCorrec/10452 sacados/10452 chapExoCorrec/10627 sacados/10627 chapExoCorrec/3730 sacados/3730 Liban Juin 2008 4 points
Lors de chacune des deux épreuves, le joueur gagne x euros s’il obtient une boule rouge et perd deux euros s’il obtient une boule noire. On désigne par G la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur en euros au terme des deux épreuves. La variable aléatoire G prend donc les valeurs 2 x , x − 2 et − 4 . 3 Déterminer la loi de probabilité de G . 4 Exprimer l’espérance E ( G ) de la variable aléatoire G en fonction de x . 5 Pour quelles valeurs de x a-t-on E ( G ) 0 https://chingmath.fr