Première spécialité / Produit scalaire 94 exercices corrigés

a
ChingQuizz : 5 exercices disponibles pour l’evaluation par QCM : 1. Rappels E.6486 Définition: dansle plan muni d’un repère orthonormé O ; I ; J , soit A ( x A ; y A ) et B ( x B ; y B ) : Les coordonnées de −−→ AB sont : −−→ AB ( x B − x A ; y B − y A ) Dans le repère orthonormé ( O ; I ; J ) ci-dessous, sont représen-tés quatre vecteurs : Graphiquement, déterminer les coordonnées de ces quatre vecteurs. E.6481 Proposition: dansle plan muni d’un repère orthonormé O ; I ; J , soit A ( x A ; y A ) et B ( x B ; y B ) deux points. La distance AB est définie par : AB = x B − x A 2 + y B − y A 2 Notons K le milieu du segment [ AB ] . Le point K a pour coordonnées : K x A + x B 2 ; y A + y B 2 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé, on con-sidère les trois points suivants : A ( − 4 ; − 2) ; B ( − 1 ; 2) ; C ( − 2 ; 5 ; − 2 ; 5) 1 Placer les points A , B et C . Le graphique sera complété au fur et à mesure des questions l’exercice. 2 a Déterminer les longueurs AC et BC . b On admet que le segment [ AB ] a pour longueur 5 . Dé-montrer que le triangle ABC est rectangle en C . 3 On note K le milieu du segment [ AB ] . a Montrer que le point K a pour coordonnées : K ( − 2 ; 5 ; 0) . b Déterminer la longueur KC . c Tracer le cercle C de centre K et passant par le point A . https://chingmath.fr quizzChap/758 chapExoCorrec/6486 sacados/6486 -8-7-6-5-4-3-2-1234567I-4-3-2-12345JOA1B1A2B2A3B3A4B4 chapExoCorrec/6481 sacados/6481 IJO
E.9596 Définition: on appelle norme d’un vecteur −→ u la longueur de chacun de ses représentants. Exemple: considérons le vecteur −→ u admettant pour représentant le vecteur −−→ AB pour représentant : La norme du vecteur −→ u a pour valeur: −→ u = AB Proposition: dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère le vecteur −→ u x y . La norme du vecteur −→ u a pour valeur: −→ u = x 2 + y 2 On considère le plan muni d’un repère orthonormé. 1 Le vecteur −→ u a pour coordonnées −→ u 5 2 . Déterminer la norme du vecteur −→ u . 2 On considère les deux points A (4 ; 1) et B (0 ; 5 ; 3) . Déter-miner la valeur de −−→ AB . E.7146 Propriétés caractérisantes du parallélogramme : Soit ABCD un quadrilatère. Si les diagonales de ABCD se coupent en leurs milieux alors ABCD est un parallélogramme. Si les côtés opposés de ABCD sont parallèles deux à deux alors ABCD est un parallélogramme. Si les côtés opposés de ABCD sont de même longueur alors ABCD est un parallélogramme. Si deux des côtés opposés sont parallèles et de même longueur alors ABCD est un parallélogramme. On considère les quatre points suivants caractérisés par leurs coordonnées dans un repère ( O ; I ; J ) orthonormé : A (2 ; 3) ; B ( − 2 ; 1) ; C ( − 4 ; − 3) ; D (0 ; − 1) Montrer que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. E.6482 Propriété caractérisante du rectangle : Soit ABCD un quadrilatère: Si ABCD possède trois angles droits alors ABCD est un rectangle. Soit ABCD un parallélogramme: Si ABCD a ses diagonales de même longueur alors ABCD est un rectangle. Si ABCD a un angle droit alors ABCD est un rectan-gle. On considère les quatre points suivants caractérisés par leurs coordonnées dans un repère ( O ; I ; J ) orthonormé : A ( − 4 ; − 1) ; B ( − 3 ; − 4) ; C (3 ; − 2) ; D (2 ; 1) Montrer que le quadrilatère ABCD est un rectangle. E.10625 Définition: soit −→ u x y et −→ v x y , on appelle déterminant des vecteurs −→ u et −→ v , noté det( −→ u ; −→ v ) , défini par : det( −→ u ; −→ v ) = x × y − x × y deux vecteurs −→ u et −→ v sont dits colinéaires si, ces deux vecteurs ont même directions. Proposition: Dans le plan muni d’un repère, on considère les deux vecteurs −→ u et −→ v . Les deux vecteurs −→ u et −→ v sont colinéaires entre eux si, et seulement si, leur déterminant est nul. Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère les quatre points : A ( − 6 ; 3) ; B (2 ; − 1) ; C (4 ; − 1) ; D (10 ; − 4) 1 Déterminer les coordonnées des vecteurs −−→ AB et −−→ CD . 2 Justifier que les vecteurs −−→ AB et −−→ CD sont colinéaires. 2. Introduction E.9589 Dans le plan, on considère le point A et les droites ( d ) , (Δ) , ( ‹ ) : 1 a Parmi les points proposés, noter M le projeté or-thogonal du point A sur la droite ( d ) . b Parmi les points proposés, noter N le projeté orthogo-nal du point A sur la droite (Δ) . 2 Placer le point P projeté du point A sur la droite ( ‹ ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/9596 sacados/9596 ABu chapExoCorrec/7146 sacados/7146 chapExoCorrec/6482 sacados/6482 sacados/10625 chapExoCorrec/9589 sacados/9589 A(d)123456789(Δ)123456789(‹)
E.7432 Dans le plan, on considère les six points et les quatre vecteurs représentés ci-dessous : Remarque: le quadrillage, les points et l’unité ont été choi-sis afin que : AB = 8 u ; AC = 6 u ; DE = 6 u ; DF = 8 u Partie A 1 a Représenter le point M projeté orthogonal du point C sur la droite ( AB ) . b Déterminer la valeur du produit : AB × AM 2 a Représenter le point N projeté orthogonal du point B sur la droite ( AC ) . b Déterminer la valeur du produit : AN × AC Définition: dans le plan, on considère trois points A , B , C (on suppose B distinct de A ) . On note H le projeté du point C sur la droite ( AB ) . On définit le produit scalaire des vecteurs −→ AB et −→ AC comme le nombre défini par : AB × AH si les vecteurs −−→ AB et −−→ AH sont colinéaires et de même sens − AB × AH si les vecteurs −−→ AB et −−→ AH sont colinéaires et de sens opposés. On note ce nombre −−→ AB · −→ AC 3 Que peut-on dire de −−→ AB · −→ AC et −→ AC · −−→ AB ? Partie B 4 Montrer que : −−→ DE · −−→ DF = − 24 5 Justifier que : −−→ DE · −−→ DF = −−→ DF · −−→ DE E.8439 On considère trois points A , B , C distincts deux à deux représentés ci-dessous : On note G (resp. H ) le projeté orthogonal du point C (resp. B ) sur la droite ( AB ) (resp. ( AC ) ) : 1 a Dans le triangle AGC rectangle en G , donner l’expression de cos ¸ . b Dans le triangle ABH rectangle en H , donner l’expression de cos ¸ . 2 En déduire l’égalité: −−→ AB · −→ AC = −→ AC · −−→ AB 3. Produit scalaire et projection E.9588 Définition: Dans le plan, on considère trois points A , B , C (on sup-pose B distinct de A ) . On note H le projeté du point C sur la droite ( AB ) . On définit le produit scalaire des vecteurs −→ AB et −→ AC comme le nombre défini par : AB × AH si les vecteurs −−→ AB et −−→ AH sont colinéaires et de même sens − AB × AH si les vecteurs −−→ AB et −−→ AH sont colinéaires et de sens opposés. On note ce nombre −−→ AB · −→ AC Illustration : https://chingmath.fr chapExoCorrec/7432 sacados/7432 ABCDEF1u chapExoCorrec/8439 sacados/8439 ¸ABCGH chapExoCorrec/9588 sacados/9588 ABCHDEFH−−AB·−ACAB×AH−−DE·−−DF−DE×DH
Dans un quadrillage, on considère les six points ci-dessous : Déterminer la valeur des produits scalaires : a −−→ AB · −→ AC b −−→ DE · −−→ DF E.8440 Dans le plan, on considère le trian-gle équilatéral ABC représenté ci-dessous et le point I milieu du seg-ment [ BC ] . Déterminer les produits scalaires suivants : a −−→ AB · −→ AC b −−→ BA · −→ BI E.9587 Dans le plan, on considère le rectangle DEFG où le point H est le milieu de la diagonale [ DF ] , déterminer les produits scalaires : a −−→ DF · −−→ DE b −−→ DG · −−→ DE c −−→ DF · −−→ HD E.9604 On considère le rectangle ABCD tel que : AB =6 cm et CB =2 ; 5 cm : Les points I , J , K , L sont les milieux respectifs des côtés [ AB ] , [ BC ] , [ CD ] , [ DA ] . Le point O est le centre du rectan-gle ABCD . Déterminer la valeur des produits scalaires suivants : a −→ AI · −→ AC b −→ IA · −→ IB c −→ IA · −→ BI d −→ DL · −−→ DO e −−→ KO · −−→ DB f −−→ AB · −−→ OC 4. Orthogonalité et colinéarité E.9590 Dans le plan, on considère les trois carrés de côté 2 représentés ci-dessous : Établir les égalités suivantes : a −−→ AH · −−→ AB = 0 b −−→ BC · −−→ BC = 4 c −−→ FE · −−→ FH = − 8 E.9591 Proposition: soit −→ u et −→ v deux vecteurs du plan. Si −→ u et −→ v sont colinéaires: si −→ u et −→ v sont de même sens : −→ u · −→ v = −→ u × −→ v si −→ u et −→ v sont de sens opposés : −→ u · −→ v = − −→ u × −→ v Si −→ u et −→ v sont orthogonaux alors: −→ u · −→ v = 0 On considère le carré ABCD de côté 1 et admettant le point O pour centre représenté ci-dessous : Déterminer les produits scalaires : a −−→ BA · −−→ BC b −→ AO · −−→ OC c −−→ DO · −−→ CO d −−→ DC · −−→ BC 5. Produit scalaire et cosinus E.2574 Proposition: pour tout triplet de points A , B , C distincts deux à deux, on a: −−→ AB · −→ AC = AB × AC × cos BAC https://chingmath.fr ABCDEF1u chapExoCorrec/8440 sacados/8440 ABCI3cm chapExoCorrec/9587 sacados/9587 DEFGH5cm2;5cm chapExoCorrec/9604 sacados/9604 ABCDIJKLO6cm2;5cm chapExoCorrec/9590 sacados/9590 ABCDEFGH chapExoCorrec/9591 sacados/9591 ABCDO chapExoCorrec/2574 sacados/2574
On considère la figure ci-dessous où : AE =4 cm et AC =2 cm On munit le plan du repère orthonormé, orienté dans le sens direct, dont l’unité mesure 1 cm , et dont l’axe des abscisses est la droite ( AD ) . Déterminer la valeur des produits scalaires ci-dessous : a −−→ AB · −→ AE b −→ AC · −−→ AD c −−→ DA · −−→ DE Proposition: table trigonométrique des angles remar-quables : ¸ 0 π = 6 π = 4 π = 3 π = 2 cos ¸ 1 √ 3 = 2 √ 2 = 2 1 = 2 0 sin ¸ 0 1 = 2 √ 2 = 2 √ 3 = 2 1 tan ¸ 0 √ 3 = 3 1 √ 3 × E.2573 On considère le repère orthonormé ( O ; I ; J ) ci-dessous : où les angles sont indiqués en radian et les deux demi-cercles vérifient : OA =2 cm et OB =3 cm . 1 Justifier que : −→ OI · −→ OJ = 0 2 Déterminer les valeurs exactes des produits scalaires : a −→ OA · −−→ OC b −−→ OE · −−→ OB 3 Déterminer les produits scalaires, arrondis au dixième près : a −−→ OD · −−→ OE b −−→ OE · −−→ OH Proposition: table trigonométrique des angles remar-quables : ¸ 0 30 o 45 o 60 o 90 o cos ¸ 1 √ 3 = 2 √ 2 = 2 1 = 2 0 sin ¸ 0 1 = 2 √ 2 = 2 √ 3 = 2 1 tan ¸ 0 √ 3 = 3 1 √ 3 × E.3034 Le schéma ci-dessous représente un système de poulies à l’équilibre. Chaque masse exerce sur le noeud une force proportionnelle à son poids. On donne les informations suivantes : −→ F 1 = 8 N ; −→ F 2 = 6 N ; −→ F = 12 N On note R la résultante de toutes ces forces : −→ R = −→ F + −→ F 1 + −→ F 2 1 Déterminer en fonction de ¸ , ˛ et ‚ les trois produits scalaires suivants : −→ R · −→ F 1 ; −→ R · −→ F 2 ; −→ R · −→ F 2 On suppose maintenant que ce système est en position d’équilibre, ainsi on a −→ R = −→ 0 . a Montrer que les mesures des angles vérifient le système suivant : 4 · cos ¸ + 3 · cos ˛ + 6 = 0 6 · cos ¸ + 3 · cos ‚ + 4 = 0 6 · cos ˛ + 4 · cos ‚ + 3 = 0 b En déduire les valeurs de ¸ , ˛ , ‚ pour la position d’équilibre, arrondies au dixième de degrès. 6. Mesure d’un angle et produit scalaire E.8441 On considère les trois configurations présentant à chaque fois deux vecteurs −→ u et −→ v : 1 Pour chaque question, déterminer les valeurs suivantes : −→ u ; −→ v ; −→ u · −→ v 2 Déterminer la mesure de l’angle ¸ arrondie au dixième de degré près. https://chingmath.fr 45o30oABCDE chapExoCorrec/2573 sacados/2573 OIJ30o60o45oABCDEFGHK chapExoCorrec/3034 sacados/3034 −F1¸−F2˛‚−F chapExoCorrec/8441 sacados/8441 1u−u−v¸−u−v¸−u−v¸abc
7. Découverte des propriétés algébriques E.8442 On considère les deux vecteurs −→ u et −→ v représentés ci-dessous : 1 a Placer les points B et C tels que : −→ u = −−→ AB ; −→ v = −→ AC b Déterminer la valeur de : −→ u · −→ v . 2 a Placer le point D tel que : 2 · −→ v = −−→ AD . b Déterminer la valeur de : −→ u · 2 · −→ v . 3 Quelle relation peut-on établir? E.8445 Dans cet exercice, nous allons véri-fier la validité de l’identité ci-dessous dans des cas particuliers : −→ u · −→ v + −→ w Pour cela, on considère 4 points A , B , C et D tels que : −→ u = −−→ AB ; −→ v = −→ AC ; −→ w = −−→ AD Pour étudier la diversité des configurations possibles, nous devrions étudier 4 disjonctions de cas : deux seulement sont proposées ici. Partie A Les projetés des vecteurs −→ v et −→ w sur la direction du vecteur −→ u sont dans le même sens que le vecteur −→ u . 1 a Placer le point H (resp. I ) projeté orthogonal du point C (resp. D ) sur la droite ( AB ) . b Déterminer la valeur de : −→ u · −→ v + −→ u · −→ w 2 a Placer le point J vérifiant la relation: −→ AJ = −→ v + −→ w Placer le point K projeté orthogonal du point J sur la droite ( AB ) . b Déterminer la valeur de : −→ u · −→ v + −→ w Partie B Le projeté du vecteur −→ v (resp. −→ w ) sur la direction du vecteur −→ u est dans le même sens (resp. dans le sens opposé) que le vecteur −→ u . 3 a Placer le point H (resp. I ) projeté orthogonal du point C (resp. D ) sur la droite ( AB ) . b Déterminer la valeur de : −→ u · −→ v + −→ u · −→ w 4 a Placer le point J vérifiant la relation: −→ AJ = −→ v + −→ w Placer le point K projeté orthogonal du point J sur la droite ( AB ) . b Déterminer la valeur de : −→ u · −→ v + −→ w Partie C 5 Quelle conjecture peut-on émettre sur les deux nombres : −→ u · −→ u + −→ v ; −→ u · −→ v + −→ u · −→ w 8. Utilisation des propriétés algébriques, orthogonalité et colinéarité E.10629 Propriétés: soit −→ u et −→ v deux vecteurs : −→ u · −→ v = −→ v · −→ u − −→ u · −→ v = − −→ v · −→ u −→ u · −→ v + −→ w = −→ u · −→ v + −→ u · −→ w On considère les deux triangles ABC et ABD rectangle en B représentés ci-dessous avec leurs mesures : 1 Vérifier l’égalité: −−→ AD ·−−→ DB = − 225 2 Déterminer les produits scalaires : a −−→ BA · −−→ DA b −−→ BC · −→ CA c −→ CA · −−→ DB https://chingmath.fr chapExoCorrec/8442 sacados/8442 A−u−v1u chapExoCorrec/8445 sacados/8445 ABCDABFig.1Fig.2 ABCDABFig.1Fig.2 sacados/10629 8cm10cm17cm6cm15cmABCD
E.10640 On considère les deux triangles ABC et ABD rectangle en B représentés ci-dessous avec leurs mesures : 1 Déterminer les produits scalaires : a −→ AC · −−→ AB b −→ AC · −−→ BD 2 Déterminer la valeur du produit scalaire −→ AC · −−→ AD . E.10630 Proposition: soit −→ u et −→ v deux vecteurs du plan et – ∈ R . On a: – ×−→ u · −→ v = – · −→ u · −→ v On considère le plan muni d’un pavage, représenté ci-dessous, formé de triangles équilatéraux de côté 3 et de cinq points A , B , C , D , E : On note : −→ u = −−→ AB ; −→ v = −→ AC . 1 Déterminer le produit scalaire des vecteurs −→ u et −→ v . 2 Déterminer les produits scalaires : a −−→ AD · −→ AC b −→ AE · −−→ AD E.9598 Proposition: soit −→ u et −→ v deux vecteurs du plan et pour – ∈ R . −→ u · −→ v = −→ v · −→ u – ×−→ u · −→ v = – × −→ u · −→ v Si −→ u et −→ v sont orthogonaux : −→ u · −→ v = 0 Si −→ u et −→ v sont colinéaires de même sens : −→ u · −→ v = −→ u × −→ v Si −→ u et −→ v sont colinéaires de sens contraire: −→ u · −→ v = − −→ u × −→ v On considère les deux triangles ABC et ABD rectangle re-spectivement en A et D représentés ci-dessous : 1 Établir que : BC =17 m ; BD =12 m 2 Déterminer les valeurs des produits scalaires suivants : a −−→ BC · −−→ BA b −−→ AB · −−→ BD c −−→ AD · −−→ DB d −−→ DB · −−→ AB e −−→ DA · −−→ AB f −−→ BC · −→ CA E.10641 On considère les deux triangles ABC et ACD rectangles respectivement en C et D : 1 Déterminer les valeurs des produits scalaires : −−→ AD · −−→ AB ; −−→ AB · −→ AC 2 En déduire la valeur du produit scalaire: −−→ AB ·−−→ CD 9. Décomposition et double-distributivité E.9597 Rappels: −→ u · −→ v + −→ w = −→ u · −→ v + −→ u · −→ w −→ u + −→ v · −→ w + −→ t = −→ u · −→ w + −→ u · −→ t + −→ v · −→ w + −→ v · −→ t Le rectangle ABCD est tel que AB =8 cm et AD =4 cm . https://chingmath.fr sacados/10640 12cm15cm37cm9cm35cmABCD sacados/10630 −u−vABCDE chapExoCorrec/9598 sacados/9598 ABCD8m9m15m chapExoCorrec/10641 sacados/10641 6;5cm6cm2;5cm5;6cm3;3cmABCD chapExoCorrec/9597 sacados/9597
O est le centre du rectangle. Les points I et J sont les milieux respectifs des côtés [ AD ] et [ BC ] . 1 Établir que : −−→ OC · −−→ OD = − 12 2 À l’aide du théorème de Pythagore, montrer que : OC = 2 5 3 Déterminer l’angle orienté COD arrondi au degré près. E.8443 On considère la figure ci-dessous où : AE =4 cm et AC =2 cm et on munit le plan du repère orthonormé, orienté dans le sens direct, dont l’unité mesure 1 cm , et dont l’axe des abscisses est la droite ( AD ) . 1 Déterminer les valeurs exactes des longueurs des côtés des triangles ABC et ADE . 1 Établir l’égalité: −−→ AD + −−→ DE · −−→ AB + −−→ BC = AD × AB − DE × BC 2 Déterminer la valeur du produit scalaire: −→ AE · −→ AC E.8214 On considère le trapèze ABCD représenté ci-dessous : où : AC =2 cm ; CD =3 cm Déterminer la longueur x du segment [ AB ] afin que les diag-onales, [ AD ] et [ BC ] , du trapèze ABCD soient perpendicu-laires. E.2665 Soit a un nombre réel posi-tif. On considère le rectangle ABCD tel que : AB = a ; AD = 2 2 · a . On note I le milieu de [ CD ] . En se servant uniquement des propriétés algébriques, démon-trer que les droites ( AC ) et ( BI ) sont perpendiculaires. E.9796 Établir la propriété suivante : ˇ Dans tout parallélogramme, la somme des carrés des longueurs des côtés est égale à la somme des carrés des longueurs des diagonales. ı E.3014 Dans le plan, on considère le rectan-gle ABCD tel que : AB = 5 cm ; BC = 2 3 · AB I est le milieu du segment [ AB ] ; les droites ( AC ) et ( ID ) s’interceptent au point M . 1 En exprimant les vecteurs à l’aide de −−→ AD et −−→ AB , déter-miner la valeur du produit scalaire −→ ID · −→ AC 2 a Déterminer les longueurs des segments [ DI ] et [ AC ] . b En déduire la mesure de l’angle IMC au dixième de degré près. E.2673 On considère le carré ABCD ci-dessous. M est un point appartenant à la diagonale [ BD ] . On note I le projeté orthogonal de M sur ( DC ) et J le projeté orthogonal de M sur [ BC ] . 1 Établir la relation suivante : −→ DI · −−→ DC = −−→ BC · −→ JC 2 En déduire que les droites ( AI ) et ( DJ ) sont perpendic-ulaires. E.10645 On considère le trapèze ABCD représenté ci-dessous : où : AC =1 ; 5 cm ; CD =4 cm ; AB =6 cm Déterminer la valeur du produit scalaire des diagonales de ce trapèze. https://chingmath.fr ABCD8cm4cmOIJ chapExoCorrec/8443 sacados/8443 45o30oABCDE chapExoCorrec/8214 sacados/8214 ABCD3cm2cmx chapExoCorrec/2665 sacados/2665 ABCDI chapExoCorrec/9796 sacados/9796 chapExoCorrec/3014 sacados/3014 ABCDIM¸5cm chapExoCorrec/2673 sacados/2673 ABCDMIJ chapExoCorrec/10645 sacados/10645 ABCD4cm1;5cm6cm
E.9619 On considère le triangle ABC et H le pied de la hauteur issue du sommet B et dont les mesures sont représentées ci-dessous : 1 Établir que : −−→ BA · −−→ BC = 99 2 En déduire la mesure de l’angle ABC , arrondie au dix-ième de degré près. E.10671 On considère le triangle ACD et on note B le pied de la hauteur issue de A . On a les mesures : AB = 12 cm ; BC = 9 cm ; BD = 16 cm Établir que le triangle ACD est un triangle rectangle en A . 10. Double-distributivité et condition sur un angle E.9620 On considère un rectangle ABCD tel que : AB = 5 cm ; AD = 3 cm On considère le point K appartenant au segment [ AB ] et tel que AK = 2 cm . Soit M un point du segment [ DC ] , on note x la longueur MC . 1 Établir que : −−→ KM · −−→ KB = 9 − 3 x 2 Déterminer la longueur KM en fonction de x . 3 On souhaite déterminer la ou les positions du point M afin que BKM =60 o . a Sachant que cos 60= 1 2 , montrer que la longueur x est solution de l’équation: x 2 − 6 x + 6 = 0 b En déduire la ou les positions du point M satisfaisant BKM = 60 o . E.9618 Dans le plan, on considère le rect-angle ABCD et un point E du segment [ DC ] tels que : BC =5 cm ; AB =6 cm On note M un point du segment [ AD ] et on note x la longueur du segment [ AM ] . 1 Déterminer une expression du produit scalaire −−→ MB · −−→ MC en fonction de x . 2 Déterminer la, ou les valeurs de x , afin que l’angle BMC ait pour mesure : EMB =45 o Indication : on utilisera la factorisation : x 4 − 10 x 3 +107 x 2 − 30 x +756 = x 2 − 5 x +6 x 2 − 5 · x +66 11. Orthogonalité, colinéarité, calcul d’angles E.8444 On considère le rectangle ABCD représenté ci-dessous où I est le point d’intersection de ses diagonales et où les dimensions suivantes sont données : AB = 6 cm ; BC = 2 cm 1 Établir l’égalité suivante : −→ ID · −→ IC = 1 4 · AD 2 − 1 4 · AB 2 = − 8 2 a Déterminer la longueur du segment [ IC ] . b En déduire la mesure de l’angle DIC , arrondi au degré près. https://chingmath.fr chapExoCorrec/9619 sacados/9619 ABCH15cm12cm9cm13cm chapExoCorrec/10671 sacados/10671 ABCD12cm9cm16cm chapExoCorrec/9620 sacados/9620 ABCDKM¸ chapExoCorrec/9618 sacados/9618 M6cm5cmxABCD chapExoCorrec/8444 sacados/8444 ABCDIH
12. Produit scalaire et parallélogramme E.5059 Proposition - Définition: soit −→ u et −→ v deux vecteurs dans le plan muni d’un repère orthonormé. On a les iden-tités : −→ u · −→ v = 1 2 −→ u 2 + −→ v 2 − −→ u − −→ v 2 −→ u · −→ v = 1 2 −→ u + −→ v 2 − −→ u 2 − −→ v 2 −→ u + −→ v 2 + −→ u − −→ v 2 = 2 · −→ u 2 + 2 · −→ v 2 Ces identités s’appellent les identités du parallélo-gramme . On considère le triangle ABC tel que : AB = 2 cm ; AC = 6 cm ; BC = 7 cm 1 À l’aide de la formule : −→ u − −→ v 2 = −→ u 2 + −→ v 2 − 2 ×−→ u · −→ v Déterminer la valeur du produit scalaire: −−→ AB · −→ AC 2 a Placer le point D tel que le quadrilatère ABDC est un parallélogramme. b À l’aide de la formule : −→ u + −→ v 2 = u 2 + v 2 + 2 ×−→ u · −→ v Déterminer la mesure de la diagonale [ AD ] arrondie au millimètre près. E.3011 1 Pour tous vecteurs −→ u et −→ v , établir l’égalité suivante : −→ u + −→ v 2 − −→ u − −→ v 2 = 4 ×−→ u · −→ v 2 On considère le parallélogramme ABCD dans le plan. On note : −→ u = −−→ AB ; −→ v = −−→ BC a Que représentent les vecteurs −→ u + −→ v et −→ u − −→ v pour le parallélogramme ABCD ? b À l’aide des questions précédentes, établir la proposi-tion suivante : ˇDans un parallélogramme, les diagonales sont de même longueur si, et seulement si, les côtés adjacents sont perpendiculaires.ı E.3015 Dans le plan, on considère le paral-lélogramme ABCD ayant les mesures suivantes : AB = 5 cm ; AC = 4 cm ; AD = 3 cm 1 a Développer l’expression : −→ u + −→ v 2 . b En déduire la valeur de −−→ AB · −−→ AD en fonction de normes de vecteurs. 2 a Développer l’expression : −−→ AB − −−→ AD 2 . b En déduire la mesure de la diagonale [ BD ] . 13. Coordonnées et produit scalaire E.7781 Proposition: dans le plan muni d’un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j , on considère les deux vecteurs −→ u x y et −→ v x y . Le produit scalaire des vecteurs −→ u et −→ v est un nombre noté −→ u · −→ v défini par : −→ u · −→ v = x · x + y · y Les vecteurs −→ u et −→ v sont orthogonaux si, et seulement si, leur produit scalaire est nul. On considère le plan muni d’un repère O ; I ; J et les trois points : A ( − 5 ; 1) ; B ( − 3 ; − 5) ; C ( − 2 ; 2) . Montrer que le triangle ABC est rectangle en A . E.9593 On considère le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormal et les trois points : A (2 ; 1) ; B (1 ; − 2) ; C ( − 1 ; 2) . Justifier que le triangle ABC est rectangle en A . E.9615 Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère les trois points : A (4 ; 7) ; B (2 ; 3) ; C (7 ; 6 ; 0 ; 2) Justifier que le triangle ABC est rectangle en B . E.3018 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé, on considère les quatre points suiv-ants : A ( − 3 ; 2) ; B ( − 2 ; − 2) ; C (2 ; − 1) ; D (1 ; 3) . 1 Déterminer la valeur de −−→ AB · −−→ AD . 2 Démontrer que le quadrilatère ABCD est un rectangle. E.9592 On considère le plan muni d’un repère O ; I ; J et les trois points : D ( − 3 ; − 2) ; E (1 ; 1) ; F 2 ; − 26 3 . Montrer que le triangle DEF est rectangle. On précisera le sommet de l’angle droit. https://chingmath.fr chapExoCorrec/5059 sacados/5059 ABC6cm2cm7cm chapExoCorrec/3011 sacados/3011 chapExoCorrec/3015 sacados/3015 ABCD5cm4cm3cm chapExoCorrec/7781 sacados/7781 chapExoCorrec/9593 sacados/9593 chapExoCorrec/9615 sacados/9615 A reouvrir apres interro chapExoCorrec/3018 sacados/3018 chapExoCorrec/9592 sacados/9592
E.8212 On considère le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormal et les trois points : D ( − 1 ; 3) ; E 3 ; 14 3 ; F − 1 6 ; 1 . Justifier que le triangle DEF est rectangle. E.7787 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé, on considère les trois points : A ( − 2 ; 1) ; B ( − 8 ; − 3) ; D − 3 ; 5 2 1 Déterminer les coordonnées du point C tel que le quadri-latère ABCD soit un parallélogramme. 2 Montrer que le quadrilatère ABCD est un rectangle. E.3013 Soit a un nombre réel posi-tif. On considère le rectan-gle ABCD tel que : AB = a ; AD = 2 2 a On note I le milieu de [ CD ] . Une représentation est don-née ci-contre : On considère le plan muni d’un repère orthonormé D ; −→ i ; −→ j ) dans le sens direct où −→ i = −−→ DC : 1 Déterminer les coordonnées des différents points de cette figure. 2 En déduire que les droites ( AC ) et ( IB ) sont perpendic-ulaires. Question subsidiaire : reprendre la question 2 sans utiliser les coordonnées des points. 14. Coordonnées et recherche des coordonnées d’un point E.8432 Dans un repère O ; I ; J , on con-sidère les deux points A ( − 2 ; 3) et B (4 ; − 1) et un point C tel que : le point C ait pour abscisse 3 . le triangle ABC est rectangle en B . Déterminer les coordonnées du point C . E.9654 Dans un repère O ; I ; J , on con-sidère les deux points : B (2 ; 2 ; − 0 ; 5) ; C (3 ; 7 ; − 0 ; 9) . Le point A est tel que : le triangle ABC est rectangle en B ; l’ordonnée du point A a pour valeur 1 . Déterminer les coordonnées du point A . E.9617 Dans un repère O ; I ; J , on con-sidère les deux points A ( − 2 ; 3) et B (4 ; − 1) et un point C tel que : le point C ait pour abscisse 3 . le triangle ABC soit rectangle en B . Déterminer les coordonnées du point C . E.5154 Dans un repère O ; I ; J , on con-sidère les deux points A ( − 2 ; 3) et B (4 ; − 1) et un point C tel que : le point C ait pour abscisse 3 . le triangle ABC soit rectangle en C . Déterminer l’ensemble des points C réalisant ces conditions. E.5155 Dans un repère O ; I ; J , on con-sidère les deux points A (2 ; 2) et B (4 ; − 4) et un point C tel que : le point C ait pour abscisse 3 . le triangle ABC soit rectangle en C . Déterminer les coordonnées du point C . E.9595 Dans le plan muni d’un repère or-thonormé, on considère le cercle C de diamètre [ AB ] et dont on connait les coordonnées : A ( − 3 ; 0) ; B (2 ; 2) Déterminer les coordonnées des deux points M et N intersec-tion du cercle C avec l’axe des ordonnées. On utilisera la proposition admise suivante : Proposition: soit C un cercle de diamètre [ AB ] . pour tout point M de C distinct de A et de B , le triangle ABM est un triangle rectangle en M . https://chingmath.fr chapExoCorrec/8212 sacados/8212 chapExoCorrec/7787 sacados/7787 chapExoCorrec/3013 sacados/3013 −i−jABCDI chapExoCorrec/8432 sacados/8432 chapExoCorrec/9654 sacados/9654 chapExoCorrec/9617 sacados/9617 chapExoCorrec/5154 sacados/5154 chapExoCorrec/5155 sacados/5155 chapExoCorrec/9595 sacados/9595 IJOCABMN
E.9599 Dans le plan muni d’un repère or-thonormé, on considère les points : A ( − 1 ; 1) ; B (3 ; 0) ; C (2 ; 2) Déterminer les coordonnées du projeté du point C sur la droite ( AB ) . 15. Norme d’un vecteur E.8433 Définition: soit −→ u un vecteur, on appelle norme du vecteur −→ u sa longueur et on la note −→ u . Proposition: dans le plan muni d’un repère orthonormé, le vecteur −→ u x y a pour norme : −→ u = x 2 + y 2 On considère le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé, le vecteur −→ u 3 2 et les deux points A (2 ; − 1) et B (4 ; 2) . 1 Déterminer la norme du vecteur −→ u . 2 Déterminer la norme du vecteur −−→ AB . E.8434 1 Soit −→ u − 5 2 4 3 . Montrer que : −→ u = 17 6 2 On considère les deux points A − 2 3 ; 1 2 et B 8 3 ; − 2 . Montrer que : −−→ AB = 25 6 E.8435 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère les deux points A , d’ordonnée 2 5 et B 5 20 ; − 4 5 tels que : −−→ AB = 5 4 . Déterminer l’abscisse du point A . 16. Calcul d’angles dans un repère E.8527 Proposition: Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère trois points ABC . On a l’égalité: −−→ AB · −→ AC = AB × AC × cos BAC On considère le plan muni d’un repère orthonormé ( O ; I ; J ) : Soit A , B , C trois points du plan de coordonnées respectives : ( − 2 ; 3) ; (1 ; − 4) ; (0 ; − 2) . 1 Déterminer les valeurs de −−→ BA · −−→ BC , −−→ BA et −−→ BC . 2 En déduire la mesure de l’angle géométrique ABC au centième près de degrés. E.2596 On considère le plan muni d’un repère orthonormé ( O ; I ; J ) et les trois points suivants ainsi que leurs coordonnées dans ce repère: A (3 ; 2) ; B (5 ; − 1) ; C ( − 2 ; 3) 1 Donner les coordonnées des vecteurs −−→ AB , −→ AC et −−→ BC . 2 Donner les valeurs des produits scalaires suivants : −−→ AB · −→ AC ; −−→ BA · −−→ BC ; −−→ CB · −→ CA 3 Déterminer les distances AB , AC et BC . 4 Déterminer la mesure des 3 angles du triangle ABC ar-rondis au degré près. E.2593 On considère le plan muni d’un repère orthonormé ( O ; I ; J ) . Déterminer une mesure de l’angle orienté EDF où D (3 ; 5) , E ( − 1 ; 0) , F (2 ; 4) au centième de degré près. E.7849 On considère le plan muni du repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé et les points A , B , C de coordonnées : A (1 ; 1) ; B (4 ; 2) ; C (3 ; − 1) Déterminer la mesure de l’angle ABC au dixième de degrés près. E.9616 Dans le plan muni d’un repère or-thonormé, on considère les trois points : A (6 ; 3) ; B (1 ; 1) ; C (3 ; − 1) Déterminer, au dixième de degré près, la mesure de l’angle ACB . 17. Produit scalaire et manipulations algébriques https://chingmath.fr chapExoCorrec/9599 sacados/9599 IJOABCH chapExoCorrec/8433 sacados/8433 chapExoCorrec/8434 sacados/8434 chapExoCorrec/8435 sacados/8435 chapExoCorrec/8527 sacados/8527 chapExoCorrec/2596 sacados/2596 chapExoCorrec/2593 sacados/2593 chapExoCorrec/7849 sacados/7849 chapExoCorrec/9616 sacados/9616
E.3016 On considère le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé et les trois points suivants : A (2 ; 3) ; B (6 ; 5) ; C (0 ; 6) On note : −→ u = −−→ AB ; −→ v = −→ AC 1 a Déterminer les normes −→ u et −→ v . b Déterminer la valeur de : −→ u · −→ v 2 a Développer l’expression : 3 ×−→ u − 2 ×−→ v 2 . b En déduire la norme : 3 ×−→ u − 2 ×−→ v . E.3081 On considère, dans le plan, le rect-angle ABCD de longueur a et de largeur b ; on note J et I les projetés orthogonaux sur la droite ( AC ) respectivement des points D et B : 1 a Justifier l’égalité suivante : −→ AC · −−→ BD = − AC × IJ b Justifier l’égalité suivante : −→ AC · −−→ BD = b 2 − a 2 2 En déduire l’expression de la longueur IJ en fonction de a et de b . 18. Formule d’Al-Kashi: déterminer une longueur E.8528 On considère le triangle ABC dont les mesures sont : AC = 3 ; 7 cm ; BC = 7 cm ; ACB = 48 o Déterminer la mesure, au millimètre près, du segment [ AB ] . E.6687 Proposition: formules d’Al-Kashi appliquées au triangle ABC : AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2 × AC × BC × cos ACB AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2 × AB × BC × cos ABC BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 × AB × AC × cos BAC On considère la configuration ci-dessous : 1 Écrire les trois formules d’Al-Kashi dans le triangle ARP . 2 Recopier et compléter les pointillés ci-dessous : RP 2 = : : : 2 + : : : 2 − 2 × : : : × : : : × cos RMP E.8529 On considère un triangle ABC véri-fiant les mesures : AB = 5 cm ; AC = 3 cm ; ABC = 30 o Déterminer les mesures possibles du segment [ BC ] réalisant ces conditions. (on donnera ces mesures au millimètre près) E.9655 On considère un triangle ABC vérifiant les mesures : BC = 17 cm ; AC = 23 cm ; BAC = 45 o Déterminer les mesures possibles du segment [ AB ] réalisant ces conditions. (on donnera ces mesures au millimètre près) 19. Formule d’Al-Kashi: déterminer un angle E.2590 Proposition: les formules d’Al-Kashi appliquées au trian-gle ABC donnent : AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2 × AC × BC × cos ACB AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2 × AB × BC × cos ABC BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 × AB × AC × cos BAC On considère le triangle ABC dont les mesures sont : AB = 5 ; 3 cm ; AC = 3 ; 7 cm ; BC = 7 cm Déterminer la mesure, au dixième de degrés près, des angles du triangle ABC . E.6706 On considère le triangle ABC ayant les mesures : AB = 6 ; 4 cm ; AC = 4 ; 8 cm ; BC = 8 cm Déterminer la mesure des trois angles du triangle ABC , ar-rondis au dixième de degrés près. E.7850 On considère le triangle ABC dont les mesures sont : AB = 5 ; 5 cm ; AC = 6 ; 2 cm ; BC = 4 ; 7 cm Déterminer la mesure de l’angle BAC au dixième de degrés près. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3016 sacados/3016 chapExoCorrec/3081 sacados/3081 abABCDIJ chapExoCorrec/8528 sacados/8528 chapExoCorrec/6687 sacados/6687 AMPR chapExoCorrec/8529 sacados/8529 chapExoCorrec/9655 sacados/9655 chapExoCorrec/2590 sacados/2590 chapExoCorrec/6706 sacados/6706 chapExoCorrec/7850 sacados/7850
E.7916 Un artisan veut industrialiser sa fabrication de boucles d’oreille (voir ci-dessous) . Pour ce faire, on doit aider le technicien de l’entreprise retenue à déterminer les trois angles du triangle utilisé comme forme géométrique du bijou, car la fabrication de l’outil de découpe l’exige. Les mesures d’angles seront données en degré, avec une pré-cision de 10 − 1 . E.10168 On considère la figure ci-dessous où ABCD est un parallélogramme. Déterminer la mesure de l’angle OAB . A FINIR 20. Caractérisation des points du cercle E.8437 Soit A et B deux points distincts du plan. On note I le milieu du segment [ AB ] . 1 Établir, pour tout point M du plan, la relation: −−→ MA · −−→ MB = −−→ MI 2 − −→ AI 2 2 Considérons un point C tel que le triangle ABC soit rect-angle en C . a Établir que : IC = IB = IA b Que peut-on dire du point C relativement au cercle C de diamètre [ AB ] ? 3 Réciproquement, que peut-on dire du triangle ABM si le point M appartient au cercle C de diamètre [ AB ] ? Établir cette propriété. E.8436 Dans un repère O ; I ; J or-thonormé, on considère les points A et B de coordonnées : A ( − 2 ; 3) ; B (3 ; 0) et le cercle C de diamètre AB . Déterminer les coordonnées des deux points du cercle C ayant pour abscisse 1 . On pourra utiliser la proposition suivante : Proposition: si un triangle est inscrit dans un cercle et qu’un de ses côtés forme un diamètre alors ce triangle est rectangle et ce côté est son hypoténuse. 21. Approfondissement: Formule des sinus E.9594 On considère la configuration ci-dessous : 1 Écrire la formule de l’égalité des sinus dans le triangle RPM 2 Compléter l’égalité: sin ARP = : : : × sin RAP : : : E.2674 On considère le quadrilatère ABCD représenté ci-dessous : 1 La formule d’AL-Kashi donne la formule : DC 2 = BD 2 + BC 2 − 2 × BD × BC × cos DBC En déduire la mesure de la longueur DC arrondie au millimètre près. https://chingmath.fr chapExoCorrec/7916 sacados/7916 From Gilles Lab sacados/10168 ABCDO35o70o chapExoCorrec/8437 sacados/8437 chapExoCorrec/8436 sacados/8436 chapExoCorrec/9594 sacados/9594 AMPR chapExoCorrec/2674 sacados/2674 ABCD48o35o85o6cm
2 Dans le triangle ABD , la formule des sinus s’écrit: sin DBA AD = sin ADB AB = sin DAB DB En déduire les mesures des longueurs AB et AD ar-rondies au millimètre près. E.2664 Un bateau B rejoint le port P en ligne droite ; sur le bord de la rive, Marc et Cléa regardent le bateau rentrer au port. 1 a Déterminer les mesures des angles du triangle BCM . b La formule des sinus s’exprime dans le triangle MBC par : sin BCM BM = sin CMB CB = sin MBC MC En déduire la longueur BC arrondie à l’hectomètre près. 2 Dans le triangle CBP , les formules d’Al-Kashi s’expriment par : PC 2 = PB 2 + BC 2 − 2 × PB × BC × cos PBC PB 2 = PC 2 + BC 2 − 2 × PC × BC × cos PCB CB 2 = CP 2 + PB 2 − 2 × CP × PB × cos CPB En déduire la distance séparant le bateau du port ar-rondie à l’hectomètre près. E.6710 Un bateau B rejoint le port P en ligne droite ; sur le bord de la rive, Marc et Cléa regarde le bateau rentré au port. Les longueurs seront arrondies à la centaine de mètres près. 1 Dans le triangle MCB , déterminer la longueur BC . 2 En déduire la distance séparant le bateau du port. E.3084 Deux observateurs souhaitent mesurer la distance séparant les deux phares présents près de leur côte. Pour cela, ils se séparent de 3 km et effectuent les mesures d’angles suivantes : MAB = 30 o ; MBA = 70 o ; NAB = 95 o ; ABN = 35 o Le schéma ci-dessous représente cette situation : 1 a Déterminer la longueur du segment [ AN ] (au mètre près) . b Déterminer la longueur du segment [ AM ] (au mètre près) . 2 Déterminer la longueur du segment [ MN ] (à l’hectomètre près) . E.6707 Déterminer les mesures des quatre côtés du quadrilatère ABCD au millimètre près. E.3041 On considère la configuration ci-dessous où la droite ( AK ) intercepte les segments [ BC ] et [ DC ] respectivement en I et J : Déterminer, au millimètre près, la longueur AK (les résultats intermédiaires doivent avoir une précision de 10 − 3 cm ) . Remarque: cette méthode dite ˇ par triangulation ı des dis-tances a été très utile au Moyen-Âge pour déterminer des distances terrestres et maritimes. 22. Approfondissement: Droites remarquables et concourance E.2661 Soit ABC un triangle quel-conque. 1 Démontrer que pour tout point M du plan, on a la rela-tion : https://chingmath.fr chapExoCorrec/2664 sacados/2664 5km3;5kmPMCB25o45o chapExoCorrec/6710 sacados/6710 4km2;5kmPMCB30o50o chapExoCorrec/3084 sacados/3084 3kmABM30o70oN95o35o chapExoCorrec/6707 sacados/6707 ABCD52o47o85o6cm chapExoCorrec/3041 sacados/3041 3cmABCI20o60o75oDJ40o85oK115o chapExoCorrec/2661 sacados/2661 Concourances des hauteurs
−−→ AM · −−→ BC + −−→ BM · −→ CA + −−→ CM · −−→ AB = 0 2 En déduire que les hauteurs du triangle ABC sont con-courantes en un point H . E.8438 On considère le triangle ABC représenté ci-dessous : On note I le milieu du segment [ AB ] et on définit le point G par la relation vectorielle: −→ IG = 1 3 · −→ IC 1 a Placer le point G dans la figure ci-dessus. b Justifier que le point G appartient à la médiane du triangle ABC issue du sommet C . 2 a Établir que le point G vérifie la relation vectorielle: −→ GA + −−→ GB + −−→ GC = −→ 0 b Réciproquement, montrer que le point G est le seul point M du plan vérifiant la relation vectorielle: −−→ MA + −−→ MB + −−→ MC = −→ 0 3 On note J le milieu du segment [ AC ] et H le point du plan défini par la relation: −−→ JH = 1 3 · −→ JB a Montrer que le point H vérifie la relation vectorielle: −−→ HA + −−→ HB + −−→ HC = −→ 0 b Que peut-on dire du point H ? Justifier vos réponses. 4 De même, montrer que le point G appartient à la médi-ane du triangle ABC issue du sommet A . 23. Produit scalaire et suites E.11044 On considère les deux suites u n et v n définies sur N par : la suite u n est arithmétique de premier terme − 6 et de raison 3 . la suite v n est géométrique de premier terme 27 et de raison 1 3 . Dans le plan orthogonal, on considère la suite des points M n définis sur N par : M n ( u n ; v n ) Démontrer que les vecteurs −−−→ OM 1 et −−−→ OM 4 sont orthogonaux. E.11045 L’exercice n’existe pas. 24. Produit scalaire et nombre dérivé E.11046 On considère les deux fonctions : f ( x ) = x 2 − 5 x + 2 ; g ( x ) = − x 2 + 5 x − 1 On note respectivement C f et C g les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère orthonormal. Etablir que les tangentes respectives aux courbes C f et C g au point d’abscisse 3 sont orthogonales. 25. Produit scalaire et fonction exponentielle E.11047 On considère les deux fonctions f et g définies sur R par : f ( x ) = e 2 x +2 ; g ( x ) = − 4 · e − 2 x +4 On note C f et C g les courbes représentatives respectives des fonctions f et g dans un repère orthonormal. Pour x un nombre réel, on note M x et N x les deux points d’abscisse x et appartenent respectivement aux courbes C f et C g . Déterminer l’ensemble des valeurs de x tels que les deux vecteurs −−−→ OM x et −−→ ON x soient orthogonaux. E.11048 L’exercice n’existe pas. 26. Exercices non-classés https://chingmath.fr chapExoCorrec/8438 sacados/8438 BAC chapExoCorrec/11044 sacados/11044 sacados/11045 chapExoCorrec/11046 sacados/11046 chapExoCorrec/11047 sacados/11047 sacados/11048
E.2662 Soit ABC un triangle rectangle en A . On note H le pied de la hauteur issue de A . I , J , K sont les milieux respectifs des segments [ AB ] , [ AC ] , [ BC ] . 1 Établir la relation suivante : HA 2 = HB × HC 2 a Établir la relation vectorielle suivante : −→ AI + −→ AJ = −−→ AK b Démontrer que les droites ( HI ) et ( HJ ) sont perpen-diculaires. E.7786 Dans le plan muni d’un repère, on considère les deux droites ( d ) et (Δ) admettant pour équa-tion : ( d ) : y = 3 · x − 1 ; (Δ) : 2 · x + 6 · y + 4 = 0 1 Démontrer que les droites ( d ) et (Δ) sont perpendicu-laires. 2 Déterminer les coordonnées du point d’intersection des droites ( d ) et (Δ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/2662 sacados/2662 chapExoCorrec/7786 sacados/7786