Première spécialité / Questions de cours 10 exercices corrigés

a
Questions de cours issues du programme de 1s de 2012 à 2020 1. Fonstions de référence E.5991 Montrer que la fonction racine carrée est croissante sur 0 ; + ∞ . E.5992 On considère la fonction identité, la fonction carrée, la fonction racine carrée notées respective- ment : f : x ↦−→ x ; g : x ↦−→ x 2 ; h : x ↦−→ √ x 1 Comparer les fonctions f et g sur l’intervalle 0 ; + ∞ . 2 Comparer les fonctions f et h sur l’intervalle 0 ; + ∞ . 2. Suites E.5993 1 Soit u n une suite arithmétique de premier terme u 0 et de raison r . Montrer que, pour tout entier naturel n , on a: u 0 + u 1 + · · · + u n = n + 1 · u 0 + u n 2 2 Soit v n une suite géométrique de premier terme v 0 et de raison q . Montrer que, pour tout entier naturel n , si q =1 , alors on a: v 0 + v 1 + · · · + v n = v 0 · 1 − q n +1 1 − q 3. Produit scalaire E.5994 Soit A et B deux points du plan et I le milieu de [ AB ] . Pour tout point M du plan, on a l’égalité: MA 2 + MB 2 = 2 · MI 2 + AB 2 2 E.5995 Montrer que pour tout réel a et b , on a toujours : cos a − b = cos a · cos b + sin a · sin b E.6082 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé, tout cercle admet une équation cartési-enne de la forme : x 2 + y 2 + a · x + b · y + c = 0 où a;b;c ∈ R 4. Probabilités E.5996 Soit X une variable aléatoire. Pour tout nombre réels a et b , on a: a E a ·X + b = a · E X + b b V a ·X = a 2 · V X 5. Loi binomiale E.5997 Établir que pour tout entier naturel n et pour tout entier k tel que 0 k<n , on a: n k +1 + n k = n +1 k +1 6. Exercices non-classés E.6080 On considère le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé. Soit ( d ) une droite admettant le vecteur directeur −→ u ¸ ˛ . Alors la droite ( d ) admet une équation cartésienne de la forme : ˛ · x − ¸ · y + c = 0 https://chingmath.fr chapExoCorrec/5991 sacados/5991 chapExoCorrec/5992 sacados/5992 chapExoCorrec/5993 sacados/5993 chapExoCorrec/5994 sacados/5994 chapExoCorrec/5995 sacados/5995 chapExoCorrec/6082 sacados/6082 chapExoCorrec/5996 sacados/5996 chapExoCorrec/5997 sacados/5997 chapExoCorrec/6080 sacados/6080
E.6083 On considère le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé. Soit A ( x A ; y A ) , B ( x B ; y B ) , C ( x C ; y C ) trois points du plan. Les nombres suivants ont tous la même valeur: a x B − x A x C − x A + y B − y A y C − y A b AB × AC × cos −−→ AB ; −→ AC c 1 2 · −−→ AB + −→ AC 2 − −−→ AB 2 − −→ AC 2 d En notant H le projeté orthogonal du point C sur la droite ( AB ) , on considère le nombre ¸ défini suivant les deux cas : https://chingmath.fr chapExoCorrec/6083 sacados/6083 HABHAB¸AB×AH¸−AB×AHABCHABCH