Première spécialité / Second degré : équations 91 exercices corrigés

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Davantage d’exercices sur le 2nd degré en suivant le lien: https://chingmath.fr/hp-lycee/fonction-second-degre-canonique ChingQuizz : 13 exercices disponibles pour l’evaluation par QCM : 1. Manipulation de polynomes du second degré E.432 On considère la fonction f dont l’image d’un nombre x est définie par : f ( x ) = 2 x 2 − 8 x + 6 1 a Établir l’égalité: f ( x )=2 · ( x − 3)( x − 1) b Résoudre l’équation: f ( x )=0 . c Résoudre l’inéquation: f ( x ) 0 . 2 a Établir l’égalité: f ( x )+2=2 x − 2 2 b En déduire que, pour tout nombre x réel, on a: f ( x ) − 2 E.439 On considère la fonction f dont l’image d’un nombre x est définie par : f ( x ) = − 4 x 2 +36 x + 63 1 a Établir l’égalité: f ( x )=(21 − 2 · x )(2 · x +3) b Déterminer l’ensemble des solutions de l’équation: f ( x )=0 . c Résoudre l’inéquation: f ( x ) > 0 2 a Établir l’égalité: f ( x ) − 144= − 4 · x − 9 2 2 . b En déduire que, pour tout nombre x réel, on a: f ( x ) 144 E.418 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = − 2 · x 2 + 12 · x − 16 1 a Déterminer les valeurs des réels a et b réalisant l’identité: f ( x ) = x − 2 a · x + b b Résoudre l’inéquation: f ( x ) < 0 2 a Déterminer les valeurs des réels c et d réalisant l’identité f ( x ) = − 2 · x + c 2 + d b En déduire que, pour tout nombre réel x , on a: f ( x ) 2 2. Forme canonique E.4458 Proposition-Définition: tout polynôme du second degré a · x 2 + b · x + c admet une expression de la forme : f : x ↦→ ¸ · x − ˛ 2 + ‚ où ¸ , ˛ , ‚ sont des nombres réels avec ¸ =0 . Cette expression s’appelle la forme canonique . Associer à chacun des polynômes du second degré sa forme canonique : E.9397 Déterminer la forme canonique de chacune des expressions ci-dessous : a x 2 − 4 x + 1 b x 2 + 6 x + 3 E.9398 Déterminer la forme canonique de chacun des polynômes du second degré suivants : a x 2 + 4 x − 5 b x 2 − 2 x − 1 E.9405 Déterminer la forme canonique de chacun des polynômes du second degré suivants : a x 2 + 2 x − 3 b x 2 − 6 x − 2 c x 2 + 12 x + 5 d x 2 − 10 x + 5 E.4456 Déterminer la forme canonique de chacun des polynômes du second degré suivants : a x 2 + 4 x b x 2 − 14 x + 9 E.4406 Déterminer la forme canon-ique de chacun des polynômes du second degré suivants : a 2 x 2 + 12 x − 4 b 7 x 2 − 14 x + 10 E.2259 Donner la forme canonique de cha-cun des trinômes du second degré ci-dessous : a 2 x 2 + 8 x − 6 b 3 x 2 + 6 x + 6 E.9404 Donner la forme canonique de cha-cun des trinômes du second degré ci-dessous : a 2 x 2 + 12 x − 4 b 3 x 2 + 30 x + 12 https://chingmath.fr https://chingmath.fr/hp-lycee/fonction-second-degre-canonique quizzChap/746 chapExoCorrec/432 sacados/432 aa chapExoCorrec/439 sacados/439 chapExoCorrec/418 sacados/418 chapExoCorrec/4458 sacados/4458 4x28x7(x2−5x24x−1(x−2−4x2−8x204(x234x2−16x64(x−2−10−4x2−16x−12(x−24x2−8x12−4(x−24−4x216x−12−4(x24 chapExoCorrec/9397 sacados/9397 chapExoCorrec/9398 sacados/9398 chapExoCorrec/9405 sacados/9405 chapExoCorrec/4456 sacados/4456 chapExoCorrec/4406 sacados/4406 Utilisation des quotients dans l'exercice chapExoCorrec/2259 sacados/2259 chapExoCorrec/9404 sacados/9404
E.10553 Donner la forme canonique de cha-cun des trinômes du second degré ci-dessous : a 9 x 2 + 18 x + 27 b 5 x 2 + 10 x + 2 E.2248 Déterminer la forme canon-ique de chacune des expressions ci-dessous : a x 2 + x + 2 b x 2 − 3 x − 1 E.10552 Déterminer la forme canonique de chacune des expressions ci-dessous : a x 2 + 1 2 x − 3 b x 2 + x − 1 3 E.9396 Déterminer la forme canonique de chacun des polynômes du second degré suivants : a x 2 + 1 4 x + 1 b x 2 + x + 1 E.2250 Soit a , b , c trois nombres réels. Développer l’expression suivante : a · x + b 2 a 2 − b 2 − 4 ac 4 a E.7101 Déterminer la forme canonique du polynôme ci-dessous : 2 · x 2 − 3 · x + 1 3. Forme canonique et équations E.7227 Rappel: pour résoudre une équation se présentant sous la forme de l’égalité de deux carrés, on utilise la troisième iden-tité remarquable pour se ramener à une équation-produit : Résolvons l’équation x + 1 2 = 9 : x + 1 2 = 9 x + 1 2 = 3 2 x + 1 2 − 3 2 = 0 D’après l’identité remarquable : x + 1 + 3 x + 1 − 3 = 0 x + 4 x − 2 = 0 Un produit est nul si, et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul : x + 4 = 0 x = − 4 x − 2 = 0 x = 2 Cette équation a pour solution : − 4 et 2 . On considère le polynôme ( P ) : x 2 +6 x − 7 1 Déterminer la forme canonique du polynôme P . 2 À l’aide de la forme canonique du polynôme, déterminer les deux solutions de l’équation: x 2 +6 x − 7=0 E.9763 On considère le polynôme: P =3 · x 2 − 12 · x +17 . 1 Parmi les expressions ci-dessous, laquelle est la forme canonique du polynôme P : 3 · x − 2 2 +5 3 · x +1 2 +7 3 · x − 3 2 − 17 2 En utilisant la forme canonique du polynôme P , résoudre l’équation: 3 · x 2 − 12 · x +17=8 E.7220 On considère le polynôme ( P ) : x 2 +4 · x +9 . 1 Déterminer les valeurs des nombres a et b réalisant l’identité: x 2 +4 · x +9= x + a 2 + b 2 En déduire que l’équation x 2 +4 · x +9=1 n’admet aucune solution. E.10200 1 Donner la forme canonique de l’expression : 3 · x 2 + 12 · x + 2 2 a Résoudre l’équation: 3 · x + 2 2 = 27 b En déduire les solutions de l’équation: 3 · x 2 + 12 · x + 2 = 17 E.9442 On considère l’équation: ( E ): 2 x 2 +4 x +4=20 . 1 Déterminer la forme canonique du polynôme: 2 x 2 +4 x − 16 . 2 En déduire les solutions de l’équation ( E ) . E.4410 On considère l’expression : ( E ): x 2 +3 x +10 1 Déterminer l’expression de la forme canonique de ( E ) . 2 En déduire que l’équation x 2 +3 x +10=0 n’admet pas de solution. E.10564 1 Déterminer la forme canonique de l’expression : x 2 − 6 x + 3 2 Résoudre l’équation: x 2 − 6 x + 3 = 19 E.2246 1 Factoriser chacune des expressions suivantes en produit de facteurs du premier degré : a 4 x 2 − 81 b x 2 − 5 c (2 x − 4) 2 − 9 d x 2 − 6 · x + 9 2 Trouver un argument permettant de justifier que l’expression x 2 +1 ne peut se factoriser sous la forme d’un produit de facteurs du premier degré. on aura alors établi l’assertion suivante : Il n’existe pas de nombres réels ¸ , ˛ , ‚ , ‹ tel que : x 2 + 1 = ( ¸ · x + ˛ )( ‚ · x + ‹ ) E.2247 On considère l’expression P définie par : P = x − − 3 + 5 2 x − − 3 − 5 2 1 Donner la forme développée et réduite de l’expression P . 2 Résoudre l’équation: x 2 +3 · x +1=0 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/10553 sacados/10553 chapExoCorrec/2248 sacados/2248 Utilisation des quotients dans l'exercice chapExoCorrec/10552 sacados/10552 chapExoCorrec/9396 sacados/9396 chapExoCorrec/2250 sacados/2250 chapExoCorrec/7101 sacados/7101 chapExoCorrec/7227 sacados/7227 chapExoCorrec/9763 sacados/9763 chapExoCorrec/7220 sacados/7220 chapExoCorrec/10200 sacados/10200 chapExoCorrec/9442 sacados/9442 chapExoCorrec/4410 sacados/4410 chapExoCorrec/10564 sacados/10564 chapExoCorrec/2246 sacados/2246 chapExoCorrec/2247 sacados/2247
E.9533 Soit la fonction f dont l’image de x est définie par : f ( x ) = x 2 − 2 x − 2 1 Déterminer les valeurs des deux réels ¸ et ˛ vérifiant l’égalité suivante : f ( x ) = x − ¸ 2 + ˛ 2 Déterminer la forme factorisée de la fonction f . 3 Déduire de la question précédente, les antécédents de 0 par la fonction f . 4. Calcul du discriminant E.4459 Définition: le discriminant d’un polynôme a · x 2 + b · x + c du second degré est un nombre qui se calcule à l’aide des coefficients du polynôme: Δ = b 2 − 4 × a × c Compléter le tableau ci-dessous pour chacun des polynômes du second degré : a b c Δ= b 2 − 4 · a · c 2 x 2 +5 x +1 − x 2 +7 x +3 x 2 − 5 x +4 2 x 2 − 4 x − 1 − x 2 − x − 1 x 2 +7 E.4408 Déterminer le discriminant des polynômes du second degré ci-dessous : a x 2 + 2 x + 4 b 2 x 2 + 4 x + 1 c x 2 − 2 x + 1 E.10201 Déterminer le discriminant de cha-cun des polynômes du second degré ci-dessous : a 3 · x 2 + 5 · x + 2 b − x 2 − 3 · x + 2 c 2 · x 2 − 1 3 · x + 1 E.10554 Déterminer le discriminant des polynômes du second degré ci-dessous : a − 2 x 2 + 2 x + 1 b x 2 − x − 1 c 3 x 2 + x − 2 5. Equation du second degré E.2253 Définition: les racines d’un polynôme sont les valeurs an-nulant ce polynôme. Proposition: pour un polynôme a · x 2 + b · x + c du second degré, le nombre de racines existantes dépend du discrimi-nant : Déterminer les racines des polynômes ci-dessous : a x 2 + 4 x − 5 b x 2 + x + 1 c 2 x 2 − 13 x + 15 d 3 x 2 − 6 x + 3 E.7082 Déterminer les racines des polynômes ci-dessous : a 2 x 2 − 3 x − 2 b − 4 x 2 + 12 x − 9 c 3 x 2 − 4 x + 2 E.770 Déterminer les racines des polynômes ci-dessous : a 3 x 2 − 5 x + 6 b 3 x 2 − 24 x + 48 c − 2 · x 2 + x + 6 E.2260 Déterminer les racines des polynômes suivants : a x 2 + 2 x − 15 b 3 x 2 − 5 x + 7 E.10551 Déterminer les racines des polynômes suivants : a 3 x 2 − 24 x + 48 b − 4 · x 2 − x + 3 E.7086 Déterminer les racines des polynômes du second degré suivants : a 4 · x 2 − 8 · x + 3 b 9 x 2 + 12 x + 4 E.9534 Déterminer les racines des polynômes du second degré suivants : a − 2 · x 2 − 5 · x − 3 b 2 · x 2 + 5 · x + 2 https://chingmath.fr chapExoCorrec/9533 sacados/9533 chapExoCorrec/4459 sacados/4459 chapExoCorrec/4408 sacados/4408 chapExoCorrec/10201 sacados/10201 chapExoCorrec/10554 sacados/10554 chapExoCorrec/2253 sacados/2253 <0Aucune racine01racine−b2·a>02racine−b−2·a;−b2·a chapExoCorrec/7082 sacados/7082 chapExoCorrec/770 sacados/770 chapExoCorrec/2260 sacados/2260 chapExoCorrec/10551 sacados/10551 chapExoCorrec/7086 sacados/7086 chapExoCorrec/9534 sacados/9534
E.10555 Déterminer les racines des polynômes du second degré suivants : a x 2 + x − 2 b 3 · x 2 + 4 · x + 2 E.5710 Déterminer les racines, sous forme simplifiée, des polynômes suivants : a 2 x 2 − 3 x − 9 b 5 x 2 − 8 x + 5 c 2 x 2 − 8 x + 8 E.7104 Résoudre les équations suivantes : a x 2 − 4 · x − 5 = 0 b 3 · x 2 − x − 2 = 0 E.9464 Déterminer les racines des polynômes ci-dessous : a 2 3 · x 2 + x − 3 b − 2 · x 2 − 11 3 · x − 1 c 3 · x 2 − 3 · x + 2 3 E.9400 Résoudre les équations suivantes : a 2 7 · x 2 − 5 3 · x − 7 3 = 0 b − 1 2 · x 2 − 4 5 · x + 2 5 = 0 E.7047 Parmi les quatre propositions ci-dessous, laquelle est correcte? L’équation − x 3 3 + x 2 +3 · x =0 admet sur R : a la solution est − 2 b trois solutions distinctes c aucune solution d une unique solution 6. Equation du second degré E.10546 Déterminer les racines des polynômes du second degré : a x 2 − 3 x + 1 b 5 x 2 + 5 x + 1 E.10550 Déterminer les racines des polynômes du second degré : a x 2 − 7 x + 9 b − 2 x 2 − 3 x + 1 E.10547 Déterminer les racines des polynômes : a − 3 x 2 + 6 x + 1 b 4 x 2 − 6 x + 1 Indication : pensez à simplifier le radical 7. Equation du second degré et manipulation algébrique E.9399 Résoudre l’équation suivante : x ( x − 2)( x + 1) = ( x − 2)( − 7 − 3 x ) E.10548 Résoudre l’équation: x − 1 x + 1 = 1 − 2 · x E.10549 Résoudre l’équation: 2 x − 1 2 x + 1 = 1 − x 8. Problèmes E.10202 On considère le rectangle ci-dessous ayant pour dimension 6 cm et 3 cm . À l’intérieur de ce rectan-gle, on construit le carré ABCD et le rectangle CEFG dont les côtés sont parallèles au rectangle les contenant. On note x la longueur du segment [ AB ] . Déterminer s’il est possible que la partie hachurée de cette figure ait une aire de 8 cm 2 . E.10328 On considère la figure ci-dessous composée : du carré AEFG , de deux rectangles ABCD et CIFH . Les points B , D , I , H ap-partiennent aux côtés du carré AEFG . On considère le domaine grisé représenté ci-contre et on note son aire A : (les mesures sont exprimées en centimètre) Déterminer l’ensemble des valeurs de x réalisant l’équation: A = 37 4 https://chingmath.fr chapExoCorrec/10555 sacados/10555 chapExoCorrec/5710 sacados/5710 chapExoCorrec/7104 sacados/7104 chapExoCorrec/9464 sacados/9464 chapExoCorrec/9400 sacados/9400 chapExoCorrec/7047 sacados/7047 Extrait Antilles-Guyanes Juin 2014 chapExoCorrec/10546 sacados/10546 chapExoCorrec/10550 sacados/10550 chapExoCorrec/10547 sacados/10547 chapExoCorrec/9399 sacados/9399 chapExoCorrec/10548 sacados/10548 chapExoCorrec/10549 sacados/10549 chapExoCorrec/10202 sacados/10202 ABCDEFG6cm3cm chapExoCorrec/10328 sacados/10328 ABCDEFGHI2xx4cm4cm
Indication : Toute trace de recherche ou de prise d’initiative sera prise en compte dans l’évaluation. E.2955 On considère un carré ABCD de 10 centimètres de côté ; un point I appartient à la diagonale [ AC ] , il est repéré comme l’indique la figure ci-dessous par la longueur x : À partir de ce point I , on construit deux car-rés de diagonales re-spectives [ AI ] et [ IC ] . Déterminer la valeur de x pour laquelle la somme des aires de ces deux carrés vaut les 5 = 8 de l’aire du carré ABCD . E.9463 Indication : la rédaction et toute trace de recherche sera pris en compte lors de l’évaluation de cet exercice On considère un segment [ AB ] de longueur 19 m et un point M appartenant à ce segment. On note x la longueur du segment [ AM ] et on place sur cette figure les points N et P tels que AMNP soit un carré. Déterminer la valeur du nombre x pour que l’aire du polygone ABNP soit égale à 91 m 2 . E.10190 On considère le carré ci-dessous de côté 5 cm et hachuré un triangle rectangle isocèle et un trapèze rectangle: Déterminer la valeur de x pour que la surface de la partie hachurée mesure 16 cm 2 . E.5713 Adossé à sa maison, Jean possède un jardin de forme rectangulaire ayant pour dimensions 9 m et 5 m . Il souhaite construire sur trois des côtés de ce jardin une al-lée ayant la même largeur et il plantera de la pelouse sur le reste du jardin. Il propose le schéma ci-dessous où la partie hachurée est l’espace de la pelouse Quelle doit-être la largeur de l’allée pour que l’ensemble de la pelouse ait une surface de 10 m 2 ? E.5972 Indication : Dans cet exercice, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. On considère un rectangle ABCD dont les dimensions sont données ci-dessous : AB =6 m ; AD =4 m . Pour un nombre réel x compris entre 0 et 4 , on place les points M et N respectivement sur les côtés [ AB ] et [ BC ] tels que : AM = x ; BN = x Déterminer la ou les valeurs possibles de x pour que l’aire du triangle MBN soit égales à 1 6 de l’aire totale du rectangle ABCD . E.5706 On considère la figure ci-dessous où ABCD est un rectangle tel que : ABCD est un rectangle. Les points I , J , K , L sont des points appartenant respective-ment aux segments [ AB ] , [ BC ] , [ CD ] et [ AD ] vérifiant : IB = JC = KD = LA Déterminer, si possible, la ou les positions du point K afin que le domaine grisé ait pour aire 25 cm 2 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/2955 sacados/2955 ABCDIxcm10cm chapExoCorrec/9463 sacados/9463 ABMNPx19m chapExoCorrec/10190 sacados/10190 5cmxx chapExoCorrec/5713 sacados/5713 9m5mx chapExoCorrec/5972 sacados/5972 ABCDMNxx chapExoCorrec/5706 sacados/5706 ABCDIJKLxcm7cm5cm
E.6786 1 Vérifier que : 10 2 +11 2 +12 2 =13 2 +14 2 2 Existe-t-il d’autres séries de 5 entiers naturels consécutifs tels que la somme des carrés des deux plus grands soit égale à la somme des carrés des plus petits? E.7152 Soit m un nombre réel. On considère le polynôme P défini par : P =( m +1) · x 2 +(2 − m ) · x +1 Pour quelles valeurs de m , le polynôme P n’admet aucune racine? 9. Problèmes avec substitution E.8384 1 Résoudre l’équation: x 2 − 37 2 · x +85=0 2 On considère un rectangle ayant 37 m pour périmètre et 85 m 2 pour aire. On notera respectivement L et ‘ , la longueur et la largeur de ce rectangle. a Exprimer ‘ en fonction de L . b Déterminer les dimensions de ce rectangle. E.10565 La figure ci-dessous est composée de deux rectangles et d’un carré: On note P le polygone ABCDEF . 1 a Exprimer le périmètre L du polygone P en fonction de x et de y . b Exprimer l’aire A du polygone P en fonction de x et de y . 2 Déterminer l’ensemble des couples ( x ; y ) réalisant les deux conditions suivantes : L = 15 ; A = 14 E.8196 Un rectangle a pour périmètre 19 m et pour aire 12 m 2 . Déterminer les dimensions de ce rectangle. E.8309 Iliam veut construire un poulailler, de forme rectangulaire, dans son jardin. La figure ci-dessous indique la dimension du jardin d’Iliam et la place du poulailler qui sera adossé au mur de sa maison : Le poulailler est représenté par la surface hachurée. Il dispose de 17 m de grillage pour construire sa clôture et souhaite utiliser tout le grillage pour construire son poulailler d’une aire de 30 m 2 . Déterminer la dimension du poulailler réalisant ses conditions. 10. Problèmes et courbes représentatives de fonctions E.9444 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé, on considère la droite ( d ) passant par les points A (0 ; 6) et B (3 ; 0) : On considère les 4 points M , N , P , Q vérifiant les propriétés suivantes : on a les coordonnées : Q (2 ; 0) ; M ( x ; 0) où x appartient à l’intervalle 0 ; 2 . les points N et P appartiennent à la droite ( d ) . les points M et P ont la même abscisse et les points Q et P ont la même abscisse. 1 a Déterminer l’expression de la fonction affine f ad-mettant la droite ( d ) pour courbe représentative. b En déduire les coordonnées du point P . c En déduire l’expression des coordonnées du point N en fonction de x . 2 On note A l’aire du trapèze MNPQ : a Donner l’expression de l’aire A en fonction de x . b Déterminer la position du point M afin que l’aire A vaille 3 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6786 sacados/6786 Olympiade Amiens 2015 chapExoCorrec/7152 sacados/7152 chapExoCorrec/8384 sacados/8384 chapExoCorrec/10565 sacados/10565 ABCDEFxy chapExoCorrec/8196 sacados/8196 chapExoCorrec/8309 sacados/8309 5m20m chapExoCorrec/9444 sacados/9444 3I23456JOAB(dMNQP
E.8308 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé, on considère la droite ( d ) passant par les points J et A (6 ; 0) : Le point Q a pour abscisse 4 et l’abscisse du point M appartient à l’intervalle 0 ; 4 ; Le point N (resp. P) appartient à la droite ( d ) et a même abscisse que le point M (resp. Q) dont l’abscisse est noté x . 1 Déterminer les coordonnées du point N en fonction de x . 2 Déterminer la position du point M sur l’axe des abscisses afin que l’aire du trapèze MNPQ vaille 7 4 . E.10204 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère la courbe C f de la fonction f affine admettant pour expression : f ( x ) = − 1 3 · x + 2 Soit x un nombre appartenant à l’intervalle 0 ; 6 . On note N le point de la courbe C f d’abscisse x et on construit le rectangle OMNP dont les côtés sont parallèles aux axes. Déterminer le (ou les) coordonnées du point N tel que le rect-angle OMNP ait une aire de 5 3 . E.6691 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère la droite ( d ) passant par les points A (4 ; 0) et J . On considère un point M appartenant à la droite ( d ) et d’abscisse x tel que x ∈ 0 ; 4 . Déterminer la position du point M sur la droite ( d ) telle que le rectangle OPMQ et le triangle MPA aient la même aire. Indication : Toute trace de recherche et de prise d’initiatives seront prises en compte au cours de l’évaluation. E.6754 On considère la fonction f définie par : f ( x ) = 2 − x pour tout réel x de l’intervalle 0 ; 1 . On admet que : f ( x ) > 0 , pour tout réel x de l’intervalle 0 ; 1 . On note C la courbe représen-tative de la fonction f dans un repère orthonormé, et D le do-maine plan compris d’une part entre l’axe des abscisses et la courbe C , d’autre part entre les droites d’équations x =0 et x = 1 . La courbe C et le domaine D sont représentés ci-contre. Le but de cet exercice est de partager le domaine D en deux domaines de même aire, d’abord par une droite parallèle à l’axe des ordonnées (partie A ) , puis par une droite parallèle à l’axe des abscisses (partie B ) . Partie A Soit a un réel tel que 0 a 1 . On note A 1 l’aire du domaine compris entre la courbe C , l’axe Ox , les droites d’équations x =0 et x = a , puis A 2 celle du domaine compris entre la courbe C , Ox et les droites d’équation x = a et x =1 . A 1 et A 2 sont exprimées en unités d’aire. Déterminer la valeur de a afin que les aires A 1 et A 2 soient égales. Partie B Soit b un réel positif. Dans cette partie, on se propose de partager le domaine D en deux domaines de même aire par la droite d’équation y = b . On admet qu’il existe un unique réel b positif solution. Déterminer la valeur de b . https://chingmath.fr chapExoCorrec/8308 sacados/8308 IJOA(dMNQP chapExoCorrec/10204 sacados/10204 MNP234567I2JOCf chapExoCorrec/6691 sacados/6691 PQMIJO(dA chapExoCorrec/6754 sacados/6754 DI2JOC A1A2aI2JOC
E.7153 On considère la fonction f définie sur l’intervalle 0 ; 2 par la relation: f ( x ) = 17 · x − 48 12 · x − 48 On représente la courbe C f représentative de la fonction f dans le repère O ; I ; J orthonormé ci-dessous : Soit x un nombre appartenant à l’intervalle 0 ; 2 . On désigne par N le point d’abscisse x de la courbe C f . Le point A a pour coordonnées (2 ; 0) et le rectangle OMNP est un rectangle dont les côtés sont parallèles aux axes. Déterminer la ou les valeurs de x afin que les triangles JNP et AMN soient de même aire. E.9465 On considère la fonction f définie sur 0 ; 3 par : f ( x ) = − 3 · x 2 + 9 · x Dans le plan muni d’un repère, on considère la courbe C f représentative de la fonction f et le point M appartenant à la courbe C : On construit le rectangle ayant les points O et M pour som-mets opposés et dont les côtés sont parallèles aux axes du repère. Déterminer l’abscisse du point M afin que l’aire de ce rectan-gle ait pour valeur 12 . Indication : on pourra factoriser l’expression de l’aire du rectangle en fonction de l’abscisse x du point M par une expression de la forme : x − 2 a · x 2 + b · x + c où a;b;c ∈ R 11. Racine et radicaux E.9402 Exprimer les deux racines du polynôme x 2 − 3 x +1 sous la forme a + 5 b où a et b sont deux nombres réels. E.9462 On considère le polynôme P défini par : P = − 4 · x 2 +4 · x +1 Déterminer les deux racines de ce polynôme sous la forme : a + b · 2 où a , b sont des nombres réels. E.8310 Déterminer les racines du polynôme x 2 +8 x +8 . Ses racines sont à exprimer sous la forme : a + b · 2 où a;b ∈ R Indication : on utilisera la simplification : 32=4 2 E.8288 Déterminer les racines des polynômes ci-dessous : a 2 x 2 + 3 x + 3 b x 2 − 2 x − 6 c x 2 + 2 x − 1 Indication : on exprimera ces racines, si elles existent, sous la forme : a + b · c où a ∈ R , b ∈ R , c ∈ R ∗ + E.8289 Déterminer les racines des polynômes du second degré suivants : a − x 2 − 4 x − 2 b − 4 · x 2 − 12 x − 9 c − 2 · x 2 + 2 · x + 1 Indication : on exprimera les racines sous la forme la plus simplifiée possible. E.9401 Déterminer les racines des polynômes du second degré suivants : a − 2 · x 2 − x + 1 b 2 · x 2 − x + 3 c 2 · x 2 − 4 x + 1 Indication : on exprimera les racines sous la forme la plus simplifiée possible. E.1969 1 Soit ( P ) le polynôme défini par : x 2 − 2 · x − 1 Calculer le polynôme ( P ) pour x =1+ 2 . 2 Établir que le nombre − 5 − 17 2 est une racine du polynôme x 2 +5 x +2 . 3 Démontrer que l’équation − 3 x 2 +6 x − 2=0 admet pour ensemble de solution : S = 1 − 3 3 ; 1+ 3 3 12. Somme et produit des racines E.2297 1 Étude théorique: On admet que pour un trinôme ax 2 + bx + c du second degré dont le discriminant Δ est strictement positif, ces https://chingmath.fr chapExoCorrec/7153 sacados/7153 2IJOMNPA chapExoCorrec/9465 sacados/9465 xxyyCfMO chapExoCorrec/9402 sacados/9402 chapExoCorrec/9462 sacados/9462 chapExoCorrec/8310 sacados/8310 chapExoCorrec/8288 sacados/8288 chapExoCorrec/8289 sacados/8289 chapExoCorrec/9401 sacados/9401 chapExoCorrec/1969 sacados/1969 chapExoCorrec/2297 sacados/2297
deux racines s’expriment sous la forme : x 1 = − b − √ Δ 2 a ; x 2 = − b + √ Δ 2 a a Montrer que la somme des racines vaut − b a . b Montrer que le produit des racines vaut c a 2 Application : En utilisant les propriétés établies à la question précé-dentes, répondre aux questions suivantes : a On considère le polynôme 2 x 2 +4 x − 16 . Après avoir vérifié que 2 est une racine de ce polynôme, déterminer la valeur de l’autre racine. b Déterminer un trinôme du second degré admettant deux racines dont la somme des racines vaut 3 et le produit des racines vaut − 10 . 13. D’autres équations E.8106 On considère la fonction f définie par : f ( x ) = 4 · x 3 − 18 · x 2 + 16 · x − 4 1 Déterminer les réels a , b , c réalisant l’identité: f ( x ) = 2 · x − 1 a · x 2 + b · x + c 2 Dresser le tableau de signes de la fonction f . E.2255 On considère la fonction polynôme P de degré 3 définie par : P ( x ) = 3 x 3 + x 2 − 8 x + 4 1 Déterminer les valeurs de a , b , c tel que : P ( x ) = ( x + 2) a · x 2 + b · x + c 2 En déduire l’ensemble des zéros du polynôme P . E.2256 On considère la fraction rationnelle suivante : Q ( x ) = 2 x 2 + 2 x − 8 9 x 2 − 3 x + 1 1 Déterminer l’ensemble de définition de la fonction Q . 2 Déterminer l’ensemble des zéros de cette fonction. 14. Evolutions et problèmes E.8195 Un objet coûte au départ 128 e puis subit une augmentation de t % pour finalement subir une ré-duction de t % . Son nouveau prix est de 126 e . Déterminer la valeur du nombre t associé à chacune de ces évolutions. E.8194 Néo a ouvert un compte en 2017 et place le 1 er janvier 2017, le 1 er janvier 2018, le 1 er janvier 2019 toujours la même somme qu’on notera x . Son compte est rémunéré à un taux constant 4 % par an. Sachant que son compte est crédité, au 1 er janvier 2019, de 468 ; 24 e , déterminer la somme x déposée par Néo chaque an-née sur son compte. 15. Exercices non-classés E.2245 On considère la fonction f définie sur R dont l’image d’un nombre x est définie par la relation algébrique: f ( x ) = 4 x 2 + 4 x − 3 1 a Démontrer que pour tout x ∈ R , on a: f ( x ) = (2 x − 1)(2 x + 3) b Démontrer que pour tout x ∈ R , on a: f ( x ) = (2 x + 1) 2 − 4 2 Pour chacune des questions suivantes, utiliser la forme la plus adaptée : a Déterminer les antécédents de 0 par la fonction f . b Sachant que le carré d’un nombre est toujours positif ou nul, établir que la fonction f est minorée par − 4 . c Déterminer le signe de la fonction f sur R . d Résoudre l’inéquation: f ( x ) 5 . E.7221 Résoudre l’équation ci-dessous en donnant les réponses arrondies au centième près : 3 · x 2 + x − 1=0 E.8213 On considère la fonction f définie par le polynôme du second degré : f ( x )=4 x 2 − 12 x +8 1 Déterminer la forme canonique de l’expression de f . 2 Établir qu’en x = 3 2 , la fonction f admet un minimum. On donnera les éléments caractéristiques de cet ex-tremum. a Vérifier que le nombre 1 est un zéro de la fonction f . b En déduire la forme factorisée de la fonction f . c Dresser le tableau de signes de la fonction f . https://chingmath.fr chapExoCorrec/8106 sacados/8106 chapExoCorrec/2255 sacados/2255 chapExoCorrec/2256 sacados/2256 chapExoCorrec/8195 sacados/8195 chapExoCorrec/8194 sacados/8194 chapExoCorrec/2245 sacados/2245 chapExoCorrec/7221 sacados/7221 chapExoCorrec/8213 sacados/8213
E.9525 On considère les deux fonctions f et g définies sur R par : f ( x ) = x 2 − 6 · x + 7 ; g ( x ) = 2 · x 2 − 2 · x + 2 Dans le plan muni d’un repère orthogonal O ; I ; J , on donne les courbes C f et C g représentatives respectivement des fonc-tions f et g . 1 Déterminer les zéros de la fonction f . 2 Déterminer la position relative des courbes C f et C g . E.9526 Dans le plan muni d’un repère orthogo-nal O ; I ; J , on considère la courbe C f représentative de la fonction f définie sur R par : f ( x ) = x 2 − 6 · x + 7 Voici la représentation de la courbe C f : Déterminer les zéros de la fonction f . E.10203 Soit m un nombre réel ( m ∈ R ) . Pour tout nombre m , on considère la fonction f m définie sur R par : f m ( x ) = 4 · x 2 + 5 − m x + m Déterminer l’ensemble des valeurs de m pour lesquelles la courbe de la fonction f m intercepte une seule fois l’axe des abscisses. E.10563 Proposition: (admise) Un polynôme est factorisable sous la forme d’un carré, si et seulement si, son discriminant est nul. Soit a un nombre connu, on considère le polynôme P défini par : P = x + 10 x + 10 + a + k Déterminer la valeur de k en fonction de a afin que le polynôme P soit factorisable sous la forme d’un carré. Indication : toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte lors de l’évaluation. https://chingmath.fr chapExoCorrec/9525 sacados/9525 -1234567I-2246JOCfCg chapExoCorrec/9526 sacados/9526 -1234567I-2246JOCf chapExoCorrec/10203 sacados/10203 chapExoCorrec/10563 sacados/10563