Première spécialité / Second degré : fonctions, variations, inéquations 81 exercices corrigés

a
ChingQuizz : 8 exercices disponibles pour l’evaluation par QCM : 1. Rappels E.8375 Compléter les tableaux de signe ci-dessous : 1 x −∞ + ∞ 1 − x 2 x + 1 (1 − x )(2 x +1) 2 x −∞ + ∞ x − 3 − 2 x + 4 ( x − 3)( − 2 x +4) 2. Tableau de variations E.3080 Proposition: tableau de variation d’une fonction du sec-ond degré en fonction du coefficient a du terme du second degré : Dresser le tableau de variations des fonctions polynomiales du second degré ci-dessous : a f ( x ) = 3 · x 2 − 3 · x + 2 b g ( x ) = − x 2 − 2 · x + 3 E.2976 Pour chacune des fonctions, dresser le tableau de variations et donner les caractéristiques de leurs extrema: a f : x ↦−→ 2 x 2 + 8 x + 1 b g : x ↦−→ − x 2 + 2 x + 1 E.8380 Pour chacune des fonctions, dresser le tableau de variations et donner les caractéristiques de leur extremum : 1 f ( x ) = − 3 x 2 + 9 x − 2 2 g ( x ) = 3 x 2 + 2 x + 2 E.8522 Pour chacune des fonctions, dresser le tableau de variations et donner les caractéristiques de leur extremum : 1 f : x ↦−→ 1 6 · x 2 + 1 4 x + 1 2 g : x ↦−→ − x 2 + 2 3 x − 1 E.4502 1 On considère la fonction f définie par : f ( x ) = a · x 2 + 3 x + 2 où a ∈ R Sachant que sa courbe représentative passe par le point de coordonnées A ( − 2 ; − 12) , déterminer l’expression complète de la fonction f . 2 Soit g la fonction dont l’image d’un nombre réel x est définie par : g ( x ) = 3 x 2 + b · x + 1 où b ∈ R Sachant que le sommet de la parabole représentative de la fonction g a pour abscisse 1 , déterminer l’expression complète de la fonction g . 3. Tableau de variations et racines E.2977 Soit h la fonction définie par la re-lation: h ( x ) = 4 x 2 + 2 x + 1 1 Dresser le tableau de variations de la fonction h . 2 Justifier que la fonction h ne s’annule jamais sur R . E.8520 Soit f la fonction définie par la re-lation: f ( x ) = 2 x 2 + 3 x + 1 1 Dresser le tableau de variations de la fonction f . 2 Justifier que la fonction f s’annule en deux valeurs. https://chingmath.fr quizzChap/1197 chapExoCorrec/8375 sacados/8375 chapExoCorrec/3080 sacados/3080 x−∞∞Variationsdef−b=2a−∞−∞−4ax−∞∞Variationsdef−b=2a∞∞−4aPoura<0Poura>0 chapExoCorrec/2976 sacados/2976 chapExoCorrec/8380 sacados/8380 chapExoCorrec/8522 sacados/8522 chapExoCorrec/4502 sacados/4502 chapExoCorrec/2977 sacados/2977 chapExoCorrec/8520 sacados/8520
E.8521 Soit g la fonction définie par la rela-tion : g ( x ) = − 4 x 2 + 4 x − 1 1 Dresser le tableau de variations de la fonction g . 2 Justifier que la fonction g s’annule en une unique valeur qu’on précisera. E.4469 Associer à chacune des polynômes ci-dessous sa représentation graphique : A = x 2 +4 x +5 ; B = − x 2 +2 x +2 ; C =4 x 2 − 4 x +1 D = − x 2 − 1 ; E = x 2 − 2 x − 1 ; F = − x 2 +2 x − 1 4. Problèmes et extrémums E.8379 On veut construire le long d’un bâti-ment une aire de jeu rectangulaire. De plus, on souhaite que les dimensions de ce rectangle soient supérieures ou égales à 10 m . Cet espace de jeu est entouré sur trois côtés d’une allée de 3 m de large comme l’indique le croquis ci-dessous. L’ensemble est clôturé sur les trois côtés [ AB ] , [ BC ] et [ CD ] . On s’intéresse à la longueur L de la clôture : L = AB + BC + CD . On note x et y les dimensions en mètres de l’aire de jeu (la valeur de x et de y sont nécessairement positifs) . On dispose de 100 mètres de clôture qu’on souhaite entière-ment utilisé: 1 a Exprimer, dans ces conditions, la valeur de y en fonc-tion de x . b Justifier que la valeur de x doit être inférieure à 44. 2 Déterminer les dimensions afin que les 100 mètres de clô-tures soient utilisés et que l’aire de jeu soit maximale. E.8104 On considère un segment [ AB ] de longueur 1 m , un point M appartenant au segment [ AB ] et les deux disques D 1 et D 2 de diamètres respectif [ AM ] et [ MB ] . Déterminer le ou les emplacements du point M tels que la somme des aires des disques D 1 et D 2 soit minimale. E.4867 Dans son champ, un agriculteur pos-sède un poulailler de forme rectangulaire et de dimensions 5 m et 2 m . Il souhaite construire un enclos comme l’indique la figure ci-dessous avec 17 m de clôture : Les nombres x et y représentent les dimensions de ce champ. Le poulailler est représenté par la partie hachurée, la clôture est représentée en pointillés et la partie extérieure dédiée aux poules est représentée par la partie blanche. On note A l’aire de la partie extérieure. 1 Établir la relation suivante entre x et y : x + y = 12 2 Démontrer que l’aire de l’espace extérieur a pour expres-sion : A ( x )= − x 2 +12 · x − 10 3 Dresser le tableau de variations de la fonction A sur R . 4 Déterminer les valeurs de x et de y pour que l’aire de l’espace extérieur réservé aux poules soient maximale. https://chingmath.fr chapExoCorrec/8521 sacados/8521 chapExoCorrec/4469 sacados/4469 IJOCf IJOCg IJOCh IJOCj IJOCk IJOC chapExoCorrec/8379 sacados/8379 3yxABCD chapExoCorrec/8104 sacados/8104 ABMD1D2 chapExoCorrec/4867 sacados/4867 2myx5m
E.8381 Un menuisier dispose d’une baguette de bois de 100 centimètres de longueur et de 3 centimètres de largeur. Il souhaite utiliser toute la longueur de cette baguette pour la confection d’un cadre en bois à l’image du dessin ci-dessous : On note A ( x ) l’aire intérieure du cadre en fonction de x . 1 Dresser le tableau de variations de la fonction A . 2 En déduire les dimensions du cadre afin que l’aire in- térieure soit maximale. E.8430 La figure ci-dessous est composée du segment [ AB ] mesurant 6 cm et d’un point M appartement au segment [ AB ] . Le demi-cercle C 1 (resp. C 2 , C 3 ) admet le segment [ AB ] (resp. [ MB ] , [ AM ] ) pour diamètre. On note x la longueur du segment [ AM ] . Déterminer pour quelle (s) valeur (s) de x l’aire du domaine hachurée est maxi-male. 5. Forme canonique et factorisation E.1829 On considère le polynôme du second degré : P = x 2 − 6 x − 16 1 Déterminer la forme canonique du polynôme P . 2 En déduire la factorisation : P = x − 8 x + 2 3 En déduire que le tableau de signes : x −∞ − 2 8 + ∞ x 2 − 6 x − 16 + 0 − 0 + E.8373 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = 2 · x 2 − 16 · x + 30 1 Établir que la fonction f admet pour forme canonique : f ( x ) = 2 · x − 4 2 − 2 2 En déduire l’expression de la fonction f , puis factoriser sous la forme de deux facteurs de degré 1 . Indication : la fonction f admet une factorisation de la forme : f ( x )=2 · a · x + b c · x + d où a; b; c; d ∈ R 3 Dresser le tableau de signes de la fonction f . E.2249 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = 6 x 2 − 9 x − 6 1 Montrer que l’expression de f ( x ) peut s’écrire: f ( x ) = 6 x − 3 4 2 − 25 16 2 En remarquant que 25 16 = 5 4 2 , factoriser l’expression de la fonction f sous la forme de deux facteurs de degré 1 . 3 Dresser le tableau de signes de la fonction f . E.6397 On considère le polynôme du second degré : P = − 2 x 2 − 13 x − 15 1 Déterminer la forme canonique du polynôme P . 2 En déduire la factorisation : P = − 2 x − 3 x + 5 3 En déduire que le tableau de signes du polynôme P E.8374 On considère la fonction f définie pour tout x ∈ R par : f ( x ) = 2 · x 2 − 6 · x − 8 1 Ci-dessous est donnée la courbe C f représentative de la fonction f dans un repère O ; I ; J orthogonal : Conjecturer le tableau de signes de la fonction f . 2 a Déterminer la forme canonique, puis la forme fac-torisée de la fonction f . b Établir le tableau de signes de la fonction f . 6. Introduction: racines, factorisation et signes https://chingmath.fr chapExoCorrec/8381 sacados/8381 xcmycm3cm chapExoCorrec/8430 sacados/8430 ABMC1C2C3 chapExoCorrec/1829 sacados/1829 chapExoCorrec/8373 sacados/8373 chapExoCorrec/2249 sacados/2249 chapExoCorrec/6397 sacados/6397 chapExoCorrec/8374 sacados/8374 -3-2-123456I-12-8-448JOCf
E.10223 On considère le polynôme: P = 3 · x 2 + 3 · x − 18 1 Déterminer les racines du polynôme P . On note x 1 et x 2 les deux racines du polynôme P . 2 a Développer l’expression x − x 1 x − x 2 . b En déduire une factorisation du polynôme P . c Dresser le tableau de signe de l’expression P sur R . E.10224 On considère le polynôme: P = − 9 · x 2 + 6 · x + 15 1 Déterminer les racines du polynôme P . On note x 1 et x 2 les deux racines du polynôme P . 2 a Développer l’expression x − x 1 x − x 2 . b En déduire une factorisation du polynôme P . c Dresser le tableau de signe de l’expression P sur R . E.10323 On considère le polynôme: P = − 2 · x 2 − 8 · x + 16 1 Déterminer les racines du polynôme P . Indication : on donnera ces racines sous la forme ˇ a + b · √ c ı où a;b;c ∈ Z . On note x 1 et x 2 les deux racines du polynôme P . 2 a Développer l’expression x − x 1 x − x 2 . b En déduire une factorisation du polynôme P . c Dresser le tableau de signe de l’expression P sur R . 7. Factorisations E.2527 Proposition: la factorisation d’un polynôme a · x 2 + b · x + c du second degré dépend de la valeur de son discriminant Δ : Factoriser, si possible, les expressions suivantes : a x 2 − 3 x + 2 b − 2 x 2 − 2 x + 4 c − x 2 + 2 x − 1 d 4 x 2 + x + 3 E.9518 Donner la forme factorisée des ex-pressions suivantes : a 3 · x 2 − 3 · x − 6 b 2 · x 2 + 12 · x + 18 E.9521 Factoriser, si possible, les polynômes du second degré ci-dessous : a x 2 + 2 x + 1 b 3 x 2 − 4 x + 2 c − 3 x 2 + 4 x − 1 Indication : présenter les résultats sous la forme : a · x + b c · x + d ou a · x + b 2 avec a;b;c;d ∈ Z E.9520 Factoriser, si possible, les expres-sions suivantes : a 8 x 2 − 24 x + 18 b 3 x 2 + x + 1 c − 4 x 2 + x + 3 Indication : présenter les résultats sous la forme : a · x + b c · x + d ou a · x + b 2 avec a;b;c;d ∈ Z E.8427 Factoriser les expressions suivantes : a 6 · x 2 − 7 · x − 3 b 4 · x 2 +12 · x +9 Indication : présenter les résultats sous la forme : a · x + b c · x + d ou a · x + b 2 avec a;b;c;d ∈ Z E.10594 Factoriser, si possible, chacun des polynômes ci-dessous : a 3 x 2 − 12 x + 12 b − 5 x 2 + 2 x − 1 c 6 x 2 + x − 15 E.8290 Factoriser les expressions suivantes : a 4 x 2 + 4 x − 5 b x 2 − 2 x − 4 Indication : on simplifiera au maximum l’expression fac-torisée de ces polynômes, notamment en portant un soin sur l’expression de leurs racines. E.10579 Factoriser les expressions suivantes : a 2 x 2 − 6 x + 2 b − x 2 − 4 x + 8 Indication : on simplifiera au maximum l’expression fac-torisée de ces polynômes, notamment en portant un soin sur l’expression de leurs racines. E.10595 Factoriser l’expression : A = 12 x 2 + 12 x − 3 Indication : on factorise l’expression sous la forme : A = 2 x + ¸ 6 x + ˛ où ¸ et ˛ sont deux nombres réels. https://chingmath.fr chapExoCorrec/10223 sacados/10223 chapExoCorrec/10224 sacados/10224 chapExoCorrec/10323 sacados/10323 chapExoCorrec/2527 sacados/2527 <0Aucunefactorisation0a·xb2·a2>0a·x−¸x−˛où¸et˛sontles deux racines du polynômes chapExoCorrec/9518 sacados/9518 chapExoCorrec/9521 sacados/9521 chapExoCorrec/9520 sacados/9520 chapExoCorrec/8427 sacados/8427 chapExoCorrec/10594 sacados/10594 chapExoCorrec/8290 sacados/8290 chapExoCorrec/10579 sacados/10579 chapExoCorrec/10595 sacados/10595
E.8376 1 Factoriser l’expression : − 2 · x 2 − 3 · x +5 . 2 Pour chaque proposition, une seule réponse est correcte. Cochez la case correspondante. Indication : on utilisera le résultat de la question 1 a La forme de factorisée de − x 2 − 3 2 · x + 5 2 est : x + 5 1 − x x + 5 2 1 − x x + 5 1 − 1 2 · x x + 5 2 1 2 − 1 2 x b La forme de factorisée de − 2 · x 2 − 3 · x +5+ 1 − x est : 2 · x + 5 1 − x 2 · x + 5 · x 2 · x + 6 1 − x 2 · x + 6 2 − x c La forme de factorisée de − 2 · x +1 2 − 3 · x +1 +5 est : 2 · x + 6 1 − x 2 · x + 6 2 − x − 2 · x + 7 · x 2 · x + 7 2 − x 8. Factorisations (degré 3) E.9527 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = x 3 − 7 · x − 6 1 Vérifier que le nombre 3 est un zéro de la fonction f . Indication : le polynôme x 3 − 7 · x − 6 admet le nombre 3 pour racine. Il admet donc une factorisation de la forme : x 3 − 7 · x − 6= x − 3 a · x 2 + b · x + c où a;b;c ∈ R 2 a Pour a , b , c des nombres réels, vérifier l’identité suiv-ante : x − 3 a · x 2 + b · x + c = a · x 3 + b − 3 a · x 2 + c − 3 b · x − 3 c b Déterminer les valeurs de a et b vérifiant : a =1 ; b − 3 a = 0 ; c − 3 b = − 7 ; − 3 c = − 6 c En déduire la forme factorisée de la fonction f en fac-teurs de degré 1 . E.9522 On considère la fonction f définie sur R dont l’expression est : f ( x )=2 · x 3 − 7 · x 2 +4 · x +3 1 Déterminer les nombres réels a , b , c réalisant l’égalité: f ( x ) = 2 · x − 3 a · x 2 + b · x + c 2 En déduire la forme factorisée de la fonction f en produit de facteurs de degré 1 . 9. Tableau de signes E.2277 Le tableau de signes d’un polynôme du second degré dépend du signe du coefficient a du terme du second degré et du signe du discriminant Δ . Les six possibilités sont représentées ci-dessous : Établir le tableau de signes des polynômes du second degré suivant : a x 2 + 3 x + 4 b 4 x 2 + 3 x − 10 c 4 x 2 − 16 x + 16 E.5712 Établir le tableau de signes des ex-pressions suivantes : a 3 x 2 +4 x − 4 b − 4 x 2 +2 x +6 E.10597 Dresser, sur R , le tableau de signes de chacune des fonctions suivantes définies sur R : a f ( x ) = 5 x 2 − 4 x + 1 b g ( x ) = − 3 x 2 + 7 x + 20 E.10580 Établir le tableau de signes des expressions suivantes sur R : a 2 x 2 +11 x +5 b − 3 x 2 + 4 x + 4 E.6505 Dresser le tableau de signes de chacune des expressions ci-dessous : a 2 · x 2 +9 · x +10 b 12 x 2 − 31 x +20 c − 5 x 2 − 3 x − 1 E.8377 Établir le tableau de signes des polynômes du second degré suivant : a − x 2 + 2 x + 6 b 2 x 2 − 8 x − 8 Indication : on indiquera les racines des polynômes sous la forme : a + b c où a;b ∈ R et c ∈ R ∗ + . 10. Tableau de signes et inéquation https://chingmath.fr chapExoCorrec/8376 sacados/8376 chapExoCorrec/9527 sacados/9527 chapExoCorrec/9522 sacados/9522 chapExoCorrec/2277 sacados/2277 <00>0¸et˛sontlesdeuxracinesa>0a<0x−∞∞x−∞∞−x−∞∞−b/2a0x−∞∞−b/2a0−−x−∞∞αβ00−x−∞∞αβ00−− chapExoCorrec/5712 sacados/5712 chapExoCorrec/10597 sacados/10597 chapExoCorrec/10580 sacados/10580 chapExoCorrec/6505 sacados/6505 chapExoCorrec/8377 sacados/8377
E.4460 Résoudre les inéquations suivantes : a x 2 − x − 2 < 0 b − 9 x 2 +12 x − 4 0 E.8378 Résoudre les inéquations suivantes : a − 4 x 2 +2 x +2 0 b 3 · x 2 + x +1 < 0 E.8428 Résoudre les inéquations suivantes : a − 2 · x 2 + x + 3 < 0 b 3 · x 2 − 6 · x − 3 0 E.10581 Résoudre les inéquations suivantes : a x 2 − 3 x +2 > 0 b 5 x 2 +4 x − 1 < 0 E.9519 Résoudre les inéquations : a 6 · x 2 + x − 1 0 b − x 2 + x − 3 > 0 E.9436 Résoudre les inéquations suivantes : a − 10 x 2 − 13 x + 3 0 b (3 x + 1)( x 2 + x + 1) < 0 E.9437 Résoudre l’inéquation: 2 x 2 − 8 x + 2 0 11. Tableau de signe et inéquation (degré 3) E.9523 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = x 3 − 4 · x 2 − 4 · x + 16 1 Vérifier que le nombre 2 est un zéro de la fonction f . Indication : le polynôme x 3 − 4 · x 2 − 4 · x +16 admet le nombre 2 pour racine. Il admet donc une factorisation de la forme, où a;b;c ∈ R : x 3 − 4 · x 2 − 4 · x +16= x − 2 a · x 2 + b · x + c 2 a Pour a , b , c des nombres réels, vérifier l’identité suiv-ante : x − 2 a · x 2 + b · x + c = a · x 3 + b − 2 a · x 2 + c − 2 b · x − 2 c b Déterminer les valeurs de a et b vérifiant : a =1 ; b − 2 a = − 4 ; c − 2 b = − 4 ; − 2 c = 16 Proposer une forme factorisée de la fonction f . c Établir le tableau de signes de la fonction f . E.1643 On considère le polynôme P admet-tant pour expression : P = 2 · x 3 + 7 · x 2 − 7 · x − 12 1 Établir la factorisation suivante où b est un nombre réel à déterminer : P = x + 1 · 2 · x 2 + b · x − 12 2 En déduire le tableau de signes du polynôme P . E.1158 On considère le polynôme du troisième degré : P = 3 x 3 + 5 x 2 − 5 x + 1 On sait que le polynôme P admet une factorisation de la forme : P = 3 x − 1 a · x 2 + b · x + c 1 Déterminer les valeurs de a , b , c vérifiant cette factorisa-tion. 2 En déduire l’ensemble des racines du polynôme P . 3 Dresser le tableau de signes de P . E.2965 1 a Établir que le polynôme P ( x )=2 x 2 − x +1 est stricte-ment positif sur R . b En déduire le signe du polynôme: Q ( x ) = (2 x 2 − x + 1) 2 + 3 · (2 x 2 − x + 1) + 1 2 a Donner la forme développée réduite du polynôme Q . b Justifier que l’équation ci-dessous n’admet aucune so-lution : 4 x 4 − 4 x 3 + 11 x 2 − 5 x + 5 = 0 E.4615 1 Établir l’égalité suivante : ( − 2 · x 2 + 4 · x − 2)( a · x 2 + b · x + c ) = − 2 ax 4 + (4 a − 2 b ) x 3 + ( − 2 c +4 b − 2 a ) x 2 + (4 c − 2 b ) x − 2 c 2 Donner, sans justification, les valeurs de a , b , c réalisant l’égalité suivante : ( − 2 x 2 + 4 x − 2)( a · x 2 + b · x + c ) = − 18 · x 4 + 18 · x 3 + 14 · x 2 − 10 · x − 4 3 Dresser le tableau de signes de la fonction f définie sur R par : f ( x )= − 18 · x 4 +18 · x 3 +14 · x 2 − 10 · x − 4 12. Positions relatives de courbes E.5742 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = − x 2 − 2 x + 3 Ci-dessous est donnée la courbe C f représentative de la fonc-tion f dans un repère O ; I ; J orthonormé : https://chingmath.fr chapExoCorrec/4460 sacados/4460 chapExoCorrec/8378 sacados/8378 chapExoCorrec/8428 sacados/8428 chapExoCorrec/10581 sacados/10581 chapExoCorrec/9519 sacados/9519 chapExoCorrec/9436 sacados/9436 chapExoCorrec/9437 sacados/9437 chapExoCorrec/9523 sacados/9523 chapExoCorrec/1643 sacados/1643 chapExoCorrec/1158 sacados/1158 chapExoCorrec/2965 sacados/2965 chapExoCorrec/4615 sacados/4615 chapExoCorrec/5742 sacados/5742
On considère la fonction affine g définie par la relation: g ( x ) = − x + 1 1 Tracer dans le repère ci-dessous la droite ( d ) représenta-tive de la fonction g . 2 a Établir le tableau de signes de l’expression : f ( x ) − g ( x ) . b En déduire la position relative des courbes C g et C f sur R . E.6506 On considère les deux fonctions f et g définies sur R par : f ( x ) = x 2 − 6 · x + 7 ; g ( x ) = 2 · x 2 − 2 · x + 2 Dans le plan muni d’un repère orthogonal O ; I ; J , on donne les courbes C f et C g représentatives respectivement des fonc-tions f et g . Déterminer la position relative des courbes C f et C g . E.5054 On considère la fonction f dont l’image de tout nombre réel x est définie par la relation: f ( x )= − 2 x 2 +4 x +2 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère la courbe C représentative de la fonction f et la droite (Δ) pre-mière bissectrice du plan admettant pour équation y = x . Algébriquement, étudier la position relative de la courbe C f et de la droite (Δ) . E.7105 Dans le plan muni d’un repère ( O ; I ; J , on considère les courbes C f et C g représentatives des fonctions f et g définies par : f ( x ) = − 2 · x 2 − 5 x + 1 ; g ( x ) = 6 · x 2 + x − 4 Ci-dessous est donnée la représentation graphique de ces deux courbes : Déterminer la position relative de ces deux courbes. E.7084 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère les courbes C f et C g représentatives des fonctions f et g définies par : f ( x ) = − x 2 + 4 · x − 3 ; g ( x ) = 7 2 · x 2 − 5 x + 1 Déterminer la position relative de ces deux courbes. 13. Positions relatives de courbes (degré 3) E.9524 On considère les deux fonctions f et g définies sur R \{ 5 } par les relations : f ( x ) = 5 4 x 2 + 1 ; g ( x ) = − x + 2 Étudier la position relative des courbes C f et C g représenta-tives respectivement des fonctions f et g . https://chingmath.fr -5-4-3-2-123I-1234JOCf chapExoCorrec/6506 sacados/6506 -1234567I-2246JOCfCg chapExoCorrec/5054 sacados/5054 -3-2-12345I-1234JO chapExoCorrec/7105 sacados/7105 -4-3-2-101234-4-224CfCg chapExoCorrec/7084 sacados/7084 -2-1234I-12JOCfCg chapExoCorrec/9524 sacados/9524
14. Problèmes et inéquations E.8383 On considère la figure ci-dessous composée : du carré AEFG , de deux rectangles ABCD et CIFH . Les points B , D , I , H ap-partiennent aux côtés du carré AEFG . On considère le domaine grisé représenté ci-contre et on note son aire A : (les mesures sont exprimées en centimètre) Déterminer l’ensemble des valeurs de x réalisant l’inéquation: A 37 4 Indication : toute trace de recherche ou de prise d’initiative sera prise en compte dans l’évaluation. E.6443 On considère la configuration ci-dessous où : où : les quadrilatères ABCD et CRNQ sont des rectangles et AMNP est un carré les points M , Q , R , P appartiennent respectivement aux segments [ AB ] , [ BC ] , [ CD ] , [ DA ] AB = 10 cm et AD = 5 cm . On note x la longueur du segment [ AM ] et on note A l’aire de la partie non hachurée de cette figure : 1 Montrer que l’aire A s’exprime en fonction de x par : A = − 2 · x 2 + 15 · x 2 a Résoudre l’équation A = 27 b Déterminer les positions du point M pour que la sur-face non hachurée ait une aire supérieure ou égale à 27 cm 2 . 3 De même, on déterminera les positions du point M pour que la surface non hachurée ait une aire supérieure ou égale à 18 cm 2 . E.8429 On considère la figure ci-contre où ABCD est un carré dont les côtés mesurent 5 cm . On considère un point M sur le segment [ AB ] et on place le point P sur le segment [ AD ] et les points N et Q afin que AMNP soit un carré et BCQM est un rectangle. On note x la mesure du segment [ AM ] . Déterminer l’ensemble des valeurs de x afin que l’aire du carré AMNP soit strictement supérieure à l’aire du rectangle BCQM . E.8382 On veut réaliser, dans le patron ci-dessous une boîte rectangulaire sans couvercle. Les longueurs sont exprimées en cm . 1 a Lorsque la boîte sera construire, le nombre x représentera quelle dimension? La longueur, la largeur ou la hauteur? b Quelles valeurs peuvent prendre la variable x dans ce problème? c Donner l’expression du volume V en fonction de la valeur de x . 2 Dans cette question, nous cherchons pour quelles valeurs de ˇ x ı, cette boîte possède un volume égal à 144 cm 3 : a Déterminer la valeur des réels de a et de b vérifiant la factorisation suivante : 4 x 3 − 52 x 2 + 160 x − 144 = ( a · x + b )(2 x − 4) 2 b En déduire les valeurs de x pour lesquelles V ( x ) a pour valeur 144. https://chingmath.fr chapExoCorrec/8383 sacados/8383 ABCDEFGHI2xx4cm4cm chapExoCorrec/6443 sacados/6443 ABCDMNPRQ chapExoCorrec/8429 sacados/8429 ABCDMNPQ chapExoCorrec/8382 sacados/8382 16cmxx10cm
E.2956 Dans le plan muni d’un repère ( O ; I ; J ) orthonormé, on considère la représentation des deux fonctions f et g dont l’image de x est défini par : f ( x ) = 8 x + 1 ; g ( x ) = − 6 x + 1 + 6 Le nombre x appartient à l’intervalle [0 ; 8] . On considère les points A et B d’abscisse x appartenant respectivement aux courbes représentatives C f et C g . Parallèlement aux axes, on construit deux rectangles représen-tés ci-dessus ; on note A 1 et A 2 chacune de leurs aires. 1 Déterminer l’expression des aires A 1 et A 2 en fonction de la valeur de x . 2 Déterminer pour quelles valeurs de x , on a: A 2 A 1 15. Problèmes, inéquations et racines carrées E.8105 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère le disque D de centre A (3 ; 1) et de rayon 2 et la droite ( d ) passant par les points B (0 ; 3 ; 5) et C (1 ; 5 ; 3) : Déterminer l’ensemble des abscisses des points de la droite ( d ) inclus dans le disque D . Indication : on s’intéressera à l’ensemble des points M de la droite ( d ) tels que AM 2 4 E.8110 Dans le plan munit d’un repère O ; I ; J , on considère le disque D de centre A 3 2 ; 0 et de rayon 5 et la droite ( d ) passant par les points B ( − 2 ; 5) et C (1 ; − 1) : Déterminer l’ensemble des abscisses des points de la droite ( d ) inclus dans le disque D . Indication : on s’intéressera à l’ensemble des points M de la droite ( d ) tels que AM 2 25 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/2956 sacados/2956 IJOCfCgx8A1A2AB chapExoCorrec/8105 sacados/8105 DA23456I234JO(d chapExoCorrec/8110 sacados/8110 DA-4-3-2-12345678I-6-5-4-3-2-123456JO(d
E.5821 On considère la fonction f dont l’image d’un nombre x est définie par : f ( x ) = 2 x − − x 2 + 6 x − 8 1 a Résoudre l’inéquation: − x 2 +6 x − 8 0 . b Démontrer que l’équation suivante n’admet aucune so-lution : x = − x 2 + 6 x − 8 c Donner l’ensemble de définition D f de la fonction f 2 Démontrer que la fonction f est positive sur son ensemble de définition. 16. Fractions rationnelles et simplifications E.7154 On considère la fonction f définie par : f ( x )= x 2 − 6 · x − 7 1 Déterminer la forme factorisée de la fonction f . 2 On considère la fonction g définie sur R \{ 3 ; 7 } par : g ( x ) = x 2 − 6 · x − 7 x − 3 x − 7 . a Simplifier l’expression de la fonction g . b Dresser le tableau de signes de la fonction g . E.7102 Simplifier la fraction rationnelle suiv-ante : x 2 − x − 2 2 x 2 − 3 x − 2 E.2528 Simplifier l’expression des fractions rationnelles ci-dessous : a 3 x − 1 3 x 2 + 2 x − 1 b 6 x 2 − 5 x + 1 1 − 4 x 2 E.2746 On considère la fonction f dont l’image de x est définie par la fraction rationnelle ci-dessous : f ( x ) = 8 x 2 + 6 x − 5 14 x 2 − 13 x + 3 Donner l’ensemble de définition de la fonction f , puis déter-miner, si elle existe, la forme simplifiée de f ( x ) . E.7103 Simplifier l’expression rationnelle ci-dessous : 3 x 2 − 6 x − 6 x 2 − 3 + 2 x + 3 + 1 17. Tableau de variations et tableau de signes E.2276 On considère les fonctions f et g définies sur R définies par les relations : f ( x ) = x 2 + x + 1 ; g ( x ) = − 2 x 2 − 3 x + 5 1 Dresser le tableau de variations de chacune de ces fonc-tions. 2 Établir le tableau de signes de chacune de ces fonctions. E.7083 Déterminer le tableau de signes des expressions suivantes sur R : a 2 x 2 − 3 x − 2 b (2 x + 1)(3 x 2 − 2 x − 1) 18. Partage E.2973 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère les courbes C f et C g représentatives des fonctions f et g définies par : f ( x ) = x 2 + 3 2 · x − 1 ; g ( x ) = − 1 2 · x 2 + x + 1 On répondra algébriquement aux questions ci-dessous : 1 Déterminer les zéros des fonctions f et g . (c’est-à-dire les antécédents de 0 par chacune de ces deux fonctions) 2 Déterminer, algébriquement, la position relative des courbes C f et C g . E.2279 On considère la parabole P d’équation y = x 2 − x − 10 et la droite D d’équation y =2 x − 1 . 1 Déterminer les coordonnées des points d’intersection de D et P . 2 Donner les valeurs de x pour lesquelles le point P ayant pour abscisse x se trouve au-dessus du point de D ayant même abscisse. https://chingmath.fr chapExoCorrec/5821 sacados/5821 chapExoCorrec/7154 sacados/7154 chapExoCorrec/7102 sacados/7102 chapExoCorrec/2528 sacados/2528 chapExoCorrec/2746 sacados/2746 chapExoCorrec/7103 sacados/7103 chapExoCorrec/2276 sacados/2276 chapExoCorrec/7083 sacados/7083 chapExoCorrec/2973 sacados/2973 -4-3-2-1234I-2-12JOCfCg chapExoCorrec/2279 sacados/2279
19. Exercices non-classés E.4614 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = − x 2 − 7 2 x + 2 Dans le plan munit d’un repère O ; I ; J orthonormé, est don-née la courbe C f représentative de la fonction f et la droite ( d ) d’équation : y = − 3 4 · x + 5 4 1 a Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbe C f avec l’axe des abscisses. b Déterminer les coordonnées du point d’intersection de la courbe C f avec l’axe des ordonnées. 2 Déterminer la position relative des courbes C f et ( d ) sur R . E.11675 On considère le triangle ABC rect-angle en A tel que : AB = 9 cm ; AC = 4 cm On considère un point D appartenant au segment [ AB ] et on note x la longueur du segment [ BD ] . On construit à partir du point D un rectangle DEFA tel que : E ∈ [ BC ] ; F ∈ [ AC ] On note A l’aire du rectangle DEFA . 1 a Déterminer l’expression de la longueur FA en fonc-tion de x . b Justifier, brièvement, que le nombre réel x appartient à l’intervalle 0 ; 9 . 2 Établir que l’aire A s’exprime en fonction de x par : A ( x ) = 4 x − 4 9 · x 2 3 a Dresser le tableau de variations de la fonction A sur l’intervalle 0 ; 9 . b Quelle est l’aire maximale atteint par l’aire A ? 4 On souhaite connaître les valeurs de x pour lesquelles l’aire A ait supérieure ou égale à 5 cm 2 : a Établir la factorisation suivante : − 4 x 2 + 36 x − 45 = (2 x − 15)(3 − 2 x ) b Résoudre l’inéquation: A ( x ) 5 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/4614 sacados/4614 -5-4-3-2-12I-2246JOCf(d chapExoCorrec/11675 sacados/11675 x9cm4cmABCDEF
E.9550 Partie A 1 Résoudre dans R l’équation: x 2 − 42 · x +80=0 2 Dresser le tableau de signe dans R de x 2 − 42 · x +80 . 3 En déduire l’ensemble solution de l’inéquation: x 2 − 42 · x +80 0 Partie B Un terrain rectangulaire a pour longueur 30 m et pour largeur 12 m . On se propose d’aménager un chemin de largeur x , en mètres, le long de deux côtés consécutifs comme le montre la figure ci-contre. On souhaite que la partie restante du terrain ait une aire supérieure ou égale à 280 m 2 . 1 Modéliser le problème et justifier que cela revient à ré-soudre l’inéquation: x 2 − 42 · x +80 0 2 Quelles sont les valeurs possibles pour la largeur du chemin? E.7329 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = 3 · x 2 + 4 · x + 1 Ci-dessous, est donnée la courbe représentative C f de la fonc-tion f dans un repère O ; I ; J orthonormé : 1 On considère la droite ( d ) passant par les points A ( − 3 ; 2) et B ( − 2 ; 1) . a Tracer la droite ( d ) dans le repère ci-dessous. b Déterminer l’équation réduite de la droite ( d ) . 2 Déterminer la position relative de la courbe C f et de la droite ( d ) . E.2838 On considère la fonction f définie par la relation: f ( x ) = − x + 1 La représentation graphique est donnée ci-dessous : On considère le point A de coordonnée (3 ; 1) et M un point de la courbe C f . Déterminer la position du point M sur C f afin que la longueur AM soit minimale. E.10596 Soit ABCD un rectangle de dimension 6 cm et 4 cm . On considère les points E et G , situés hors du rectangle ABCD , appartenant respectivement aux demi-droites [ AB ) et [ AD ) et le point F tels que le quadrilatère AGFE est un rectangle. On note x et y les deux distances suivantes : x = DG ; y = BE On impose aux points E et G de former un rectangle AEFG dont le périmètre est de 28 cm . 1 a Montrer que la longueur y s’exprime en fonction de x par : y =4 − x b En déduire les valeurs possibles de x . On note A l’aire de la partie hachurée (celle du polygone BEFGDC ) . 2 Établir que l’aire de la partie hachurée s’écrit en fonction de x est obtenue par l’égalité: A ( x ) = − x 2 + 2 x + 24 3 Dresser le tableau de variations de la fonction A sur 0 ; 4 . (on indiquera la valeur de l’extrémum local) . 4 Donner la valeur de l’aire maximale de la partie hachurée? Pour quelles valeurs de x est-elle atteinte? https://chingmath.fr chapExoCorrec/9550 sacados/9550 30m12mxx chapExoCorrec/7329 sacados/7329 -4-3-2-1I-12JOCf chapExoCorrec/2838 sacados/2838 -2-1234I-2-12JOAMCf chapExoCorrec/10596 sacados/10596 4cm6cmyxABCDEFG