Première spécialité / Somme des termes d'une suite 68 exercices corrigés

a
ChingQuizz : 7 exercices disponibles pour l’evaluation par QCM : 1. Rappels sur les puissances E.7585 Exprimer chacun des calculs sous la forme a n où a est un nombre réel non-nul ( x ∈ R ∗ ) et n un entier relatif ( n ∈ Z ) : a 2 5 × 2 7 b 2 8 2 − 3 c 5 5 5 12 d 3 5 × 3 2 3 4 e 3 2 5 f 3 2 5 3 4 × 5 20 E.7586 1 Établir chacune des égalités suivantes : a 3 9 + 2 × 3 9 = 3 10 b 5 6 + 2 2 × 5 6 = 5 7 2 Établir chacune des égalités suivantes : a 2 5 + 2 6 = 3 × 2 5 b 3 9 − 3 7 = 8 × 3 7 2. Activité d’introduction avec Python E.7581 Depuis le jour de la naissance de leur fille Aline, les parents ont déposé la somme de 100 e par an sur un livret A au nom de leur enfant. On suppose que sur la période d’étude, le taux de rémunéra-tion du livret est resté constant à 1 % . Comme indiqué ci-dessus ont construit les termes u 0 , u 1 , . . . , u 18 associé à la valeur, le jour des 18 ans d’Aline, de chaque somme déposée par les parents. 1 a Donner les valeurs des termes u 0 , u 1 et u 2 . b Donner la valeur de u 18 , arrondi au centième près, représentant la somme acquise par les 100 e déposés le jour de sa naissance. 2 Pour déterminer la somme disposant le livret A le jour de ses 18 ans, nous allons utiliser un logiciel de program-mation. a Dans le logiciel choisi, saisissez l’algorithme suivant : S ← 0 Pour i allant de 0 à 5 u ← 3+2 × i S ← S+u Fin Pour b Justifier qu’à la fin de son exécution, la variable S con-tient la somme des 6 premiers termes de la suite arith-métique de premier terme 3 et de raison 2 . c Modifier cet algorithme pour que la variable S con-tienne, en fin d’exécution de l’algorithme, la somme présente sur le livret A le jour des 18 ans d’Aline. 3 On note S 18 la somme des 19 premiers termes de la suite u n : S 18 = u 0 + u 1 + u 2 + · · · + u 18 Parmi les quatre propositions ci-dessous, une seule est exacte. a S 18 = 100 × 1 ; 01 18 b S 18 = 100 × 1 − 1 ; 01 17 1 − 1 ; 01 c S 18 = 100 × 1 − 1 ; 01 18 1 − 1 ; 01 d S 18 = 100 × 1 − 1 ; 01 19 1 − 1 ; 01 À l’aide des valeurs arrondies au centième obtenue à l’aide du logiciel, conjecturer l’expression correcte de S 18 . https://chingmath.fr quizzChap/1098 chapExoCorrec/7585 sacados/7585 chapExoCorrec/7586 sacados/7586 chapExoCorrec/7581 sacados/7581 Naissance100u181ans100u172ans100u1617ans100u118ansu0
E.7583 Le problème de l’ échiquier de Sissa [. . . ] est un problème de mathématique pouvant s’exprimer ainsi : ˇOn place un grain de blé sur la première case d’un échiquier. Si on fait en sorte de doubler à chaque case le nombre de grains de la case précédente (un grain sur la première case, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, etc. . . ) , combien de grains de riz obtient-on au totalı Source : Wikipédia Pour rappel, un échiquier est composé de 64 cases blanches ou noires. Ainsi, ayant complété les trois premières cases, il y a 7 grains de blé sur l’échiquier. Combien de grains de blé faut-il pour compléter l’échiquier? 1 Combien de grain de blé sera mis dans la 10 ème case? On souhaite approcher la réponse à cet exercice à l’aide d’un langage de programmation. 2 a Dans le langage choisi, saisissez l’algorithme suiv-ant : S ← 0 Pour i allant de 0 à 5 u ← 3+2 × i S ← S+u Fin Pour b Justifier qu’à la fin de son exécution, la variable S con-tient la somme des 6 premiers termes de la suite arith-métique de premier terme 3 et de raison 2 . 3 Adapter cet algorithme afin que la variable S ait, en fin d’exécution, pour valeur le nombre de grains de blé présent sur l’échiquier à la fin du jeu. Donner la valeur approchée de la variable S en fin d’algorithme. 4 Parmi les quatre propositions ci-dessous, une seule : a S = 1 × 2 63 b S = 1 − 2 63 1 − 2 c S = 1 − 2 64 1 − 2 d S = 1 − 2 65 1 − 2 À l’aide du logiciel, donner l’écriture scientifique de ces valeurs, arrondi à deux chiffres dans la partie décimale de la mantisse. Conjecturer l’expression exacte de S . 3. Activité d’introduction E.7582 Le tapis de Sierpinski (1916) du nom de son créateur polonais, est construit par une succes-sion d’étapes définies par : À chaque carré blanc, on le subdivise en 9 carrés identiques en partageant ses côtés en trois segments de même longueur et on colorie en noir le carré central. Voici les six premières étapes de cette construction : 1 Pour les figures obtenues à l’étape 5 et suivant : Combien de carrés noirs de côté 1 3 contient la figure? Combien de carrés noirs de côté 1 9 contient la figure? Combien de carrés noirs de côté 1 27 contient la figure? 2 À l’aide du logiciel de programmation, déterminer le nom-bre exact S 4 de carré noirs présents à l’étape 4 ? 3 À l’aide de la calculatrice, déterminer les valeurs de q et n afin que : S 4 = 1 − q n 1 − q https://chingmath.fr chapExoCorrec/7583 sacados/7583 chapExoCorrec/7582 sacados/7582 Figure initiale Étape 0 Étape 1 Étape 2 Étape 3 Étape 4
E.7584 Un globe-trotter a parié de parcourir 5 000 km à pied. Il peut, frais et dispos, parcourir 50 km en une journée, mais chaque jour, la fatigue s’accumule et donc sa performance diminue de 1 % tous les jours. On note u 0 la distance parcourue le premier jour de course et de manière générale u n le n ème jour de course. 1 a Donner la valeur des termes u 0 , u 1 , u 2 . b Déterminer la distance parcourue le 30 ème jour de course arrondie au mètre près. 2 Pour déterminer la distance parcourue après 45 jours de course, nous allons utiliser une feuille de calcul automa-tisée : a Recopier et compléter la feuille de calcul ci-dessous jusqu’à la colonne AY . b Quelle formule doit-on saisir dans la cellule B2 afin d’être recopiée vers la droite et que la plage de cel-lules B2:AT2 représentent les distances des 45 premiers jours de course? c Donner la distance parcourue par le coureur sur les 45 premiers jours de courses, arrondie au mètre près. 3 On note S 45 la somme des 45 premiers termes de la suite u n : S 45 = u 0 + u 1 + · · · + u 44 Parmi les quatre propositions ci-dessous, une seule est exacte. a S 45 = 50 × 0 ; 99 45 b S 45 = 50 × 1 − 0 ; 99 44 1 − 0 ; 99 c S 45 = 50 × 1 − 0 ; 99 45 1 − 0 ; 99 d S 45 = 50 × 1 − 0 ; 99 46 1 − 0 ; 99 À l’aide de la calculatrice, donner la valeur décimale de ces expressions, arrondie au mètre près. Conjecturer l’expression correcte de S 45 . 4. Première approche de la récurrence E.7554 On considère la suite u n géométrique de premier terme 5 et de raison 3 . On note S n la somme des n +1 termes de la suite u n : S n = u 0 + u 1 + · · · + u n 1 Déterminer la valeur de S 3 . 2 a On admet l’égalité S 6 = 5 2 · 3 7 − 1 . Établir : S 6 + u 7 = 5 2 · 3 8 − 1 b En utilisant le résultat et la démarche précédente, établir une forme simplifiée de la somme S 8 3 Parmi les formules ci-dessous, exprimant la somme S n en fonction de n , une seule est correcte. Laquelle? a u 0 + u 1 + · · · + u n = 5 · 3 n +1 − 1 1 − 3 b u 0 + u 1 + · · · + u n = 5 · 1 − 3 n 1 − 3 c u 0 + u 1 + · · · + u n = 5 · 1 − 3 n +1 1 − 3 d u 0 + u 1 + · · · + u n = 5 · 3 n +1 − 1 1 − 3 E.7555 On considère la suite u n de pre- mier terme 3 et de raison r . On note S n la somme des n +1 termes de la suite u n : S n = u 0 + u 1 + · · · + u n 1 Établir que la somme S 3 admet pour expression : S 3 = 12 + 6 · r 2 a On admet la formule : S 10 = 11 × 6 + 10 · r 2 En déduire la relation: S 11 = 6 × 6 + 11 · r b Établir l’implication suivante : S 11 = 6 × 6 + 11 · r = ⇒ S 12 = 13 × 6 + 12 · r 2 3 Parmi les formules ci-dessous, une seule est exacte: a S n = n · 2 · u 0 + n · r 2 a S n = ( n + 1) · 2 · u 0 + n · r 2 a S n = n · 2 · u 0 + ( n + 1) · r 2 a S n = ( n + 1) · 2 · u 0 + ( n + 1) · r 2 Quelle formule peut-on conjecturer exacte? 5. Nombre de termes d’une suite de termes E.6528 On considère une suite u n n ∈ N . Déterminer le nombre de termes de chacune des sommes ci-dessous : a u 0 + u 1 + u 2 + u 3 + u 4 + u 5 + u 6 + u 7 + u 8 b u 5 + u 6 + u 7 + u 8 + u 9 + u 10 + u 11 + u 12 c u 11 + u 12 + u 13 + : : : + u 25 + u 26 d u 8 + u 9 + u 10 + · · · + u 31 + u 32 https://chingmath.fr chapExoCorrec/7584 sacados/7584 123ABCDEFGHJourdecourse1234567Distanceparcourue(enkm) chapExoCorrec/7554 sacados/7554 chapExoCorrec/7555 sacados/7555 chapExoCorrec/6528 sacados/6528
E.5124 Soit u n n ∈ N une suite numérique. Pour chacune des questions, donner le nombre de termes com-posant la somme : a u 0 + u 1 + · · · + u 32 b u 5 + u 6 + · · · + u 15 c u 0 + u 1 + · · · + u n d u 5 + u 6 + · · · + u n E.10502 Soit u n n ∈ N une suite numérique. Pour chacune des questions, donner le nombre de termes com-posant la somme : a u k + u k +1 + · · · + u 100 b u k + u k +1 + · · · + u n c u 0 + u 2 + · · · + u 88 d u 3 k + u 3 k +3 + · · · + u 99 e 64 k =0 u k f 16 k =5 u 2 k E.6529 Ci-dessous sont présentées des suites ˇ logiques ı de nombres. Déterminer le nombre de termes de chacune de ces sommes : a 1 + 4 + 9 + 16 + : : : + 144 + 169 b 3 + 7 + 11 + 15 + : : : + 79 + 83 c 1 4 + 1 2 + 1 + 2 + : : : + 256 + 512 d 16 + 32 + 64 + : : : + 2 15 + 2 16 6. Introduction à la somme des termes d’une suite arithmétique E.9653 1 On souhaite déterminer la valeur de la somme : S = 1 + 2 + 3 + 4 + · · · + 9 a Compléter les opérations en opérant d’abord colonne par colonne : b D’après l’opération posée précédente, en déduire la valeur de 2 × S . c En déduire la valeur de S . 2 On souhaite déterminer la valeur de la somme : S = 1 + 2 + 3 + 4 + · · · + 100 a Compléter les opérations en opérant d’abord colonne par colonne : b D’après l’opération posée précédente, en déduire la valeur de 2 × S . c En déduire la valeur de S . 3 Utiliser une démarche similaire aux questions précé-dentes pour déterminer la valeur de la somme S  définie par : S  = 1 + 5 + 9 + 13 + · · · + 81 E.6532 On considère une suite u n arith-métique de premier terme u 0 et de raison r . 1 Exprimer u 1 , u 2 et u 3 en fonction de u 0 et de r . 2 Exprimer les termes u n , u n − 1 et u n − 2 en fonction de n , de u 0 et de r . 3 Justifier l’égalité suivante : u 2 + u n − 2 = u 1 + u n − 1 = u 0 + u n 7. Suite arithmétique: somme des premiers termes E.8171 Proposition: soit u n la suite arithmétique de premier terme u 0 et de raison r . On note S la somme des n +1 pre-miers termes de la suite u n . On a: S = u 0 + u 1 + · · · + u n = n + 1 u 0 + u n 2 On considère la suite u n arithmétique de premier terme 2 et de raison 2 . Déterminer la somme S des 100 premiers termes de la suite u n . E.9694 On considère la suite u n arithmé-tique de premier terme 3 et de raison 5 . Déterminer la somme de ses 33 premiers termes. E.9715 On considère la suite u n , définie pour tout n ∈ N , arithmétique de premier terme − 10 et de raison 3 . Déterminer la valeur de la somme S définie par : S = u 0 + u 1 + · · · + u 84 https://chingmath.fr chapExoCorrec/5124 sacados/5124 chapExoCorrec/10502 sacados/10502 chapExoCorrec/6529 sacados/6529 chapExoCorrec/9653 sacados/9653 1928374655647391c1c2c3c4c5c6c7 11002993984975966957948931001c1c2c3c4c5c6c7c8c9 chapExoCorrec/6532 sacados/6532 chapExoCorrec/8171 sacados/8171 chapExoCorrec/9694 sacados/9694 chapExoCorrec/9715 sacados/9715
E.10361 On considère la suite v n définie pour tout entier n naturel par : v n = 4 + 3 · n Déterminer la somme S des 20 premiers termes de la suite v n . E.5860 On considère la suite u n n ∈ N arith-métique de premier terme − 3 et de raison 4 . 1 Donner l’expression du terme u n en fonction de son rang n . 2 Quel est le rang du terme de la suite u n ayant pour valeur 605 ? 3 Déterminer la valeur de la somme S définie par : S = u 0 + u 1 + · + u 100 E.7799 On souhaite déterminer la forme simplifiée du quotient A définie par : A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + · · · + 31 1 + 6 + 11 + 16 + 21 + · · · + 151 1 On considère la suite u n arithmétique de premier terme 1 et de raison 1 . Déterminer la valeur de la somme S définie par : S = u 0 + u 1 + u 2 + · · · + u 30 2 En remarquant la décomposition 496=2 4 × 31 , déter-miner la forme simplifiée du quotient A . 8. Suite arithmétique: somme et reconnaissance de la suite E.8464 On considère la somme S définie par : S = 1 + 3 + 5 + · · · + 101 On admet que les termes de la somme S sont les premiers termes successifs d’une suite arithmétique u n définie sur N . 1 a Donner les éléments caractéristiques de la suite u n . b Déterminer le rang du terme de la suite ayant 101 pour valeur. 2 En déduire la valeur de la somme S . E.8499 On considère la somme S définie par : S = 2 3 + 1 + 4 3 + 5 3 + · · · + 10 On admet que les termes de la somme S sont les premiers termes successifs d’une suite arithmétique u n définie sur N . 1 Donner les éléments caractéristiques de la suite u n et déterminer le rang du terme ayant pour valeur 10 . 2 En déduire la valeur de la somme S E.8500 On considère la somme S définie par : S = 3 3 + 2 3 3 + 3 + · · · + 16 3 3 On admet que les termes de la somme S sont les premiers termes successifs d’une suite u n arithmétique définie sur N . 1 a Donner les éléments caractéristiques de u n . b Déterminer le rang du terme de la suite ayant 16 3 3 pour valeur. 2 En déduire la valeur de la somme S . E.9695 La somme S , définie ci-dessous, est la somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique: S = 7 + 10 + 13 + · · · + 340 En laissant les traces de votre démarche, déterminer la valeur de la somme S . E.8501 On considère la somme S définie par : S = 1+2+101+102+201+202+301+302+ · · · +1501+1502 Déterminer la valeur de S . E.6548 Le prince demande à Sissou de commencer par déposer un grain de riz sur la première case, puis trois grains sur la deuxième case, puis cinq grains sur la troisième case et ainsi de suite pour remplir l’échiquier représenté ci-contre. Déterminer le nombre de grains de riz dont aura besoin Sissou pour compléter l’échiquier. 9. Suite arithmétique: sommmes et équations E.2419 Soit u n n ∈ N la suite arithmétique de premier terme 2 et de raison r On s’intéresse à la somme S des 13 premiers termes de u n : S = u 0 + u 1 + · · · + u 11 + u 12 Déterminer la valeur de r afin que : S =65 E.2426 Soit u n n ∈ N la suite arithmétique de premier terme 5 et de raison 2 . Pour tout entier naturel k non-nul ( k ∈ N ∗ ) , on note : S k = u 0 + u 1 + · · · + u k 1 En fonction de l’entier k , combien de termes comprend la somme S k ? 2 Déterminer la valeur de l’entier k afin que : S k =10 605 https://chingmath.fr chapExoCorrec/10361 sacados/10361 chapExoCorrec/5860 sacados/5860 chapExoCorrec/7799 sacados/7799 chapExoCorrec/8464 sacados/8464 chapExoCorrec/8499 sacados/8499 chapExoCorrec/8500 sacados/8500 chapExoCorrec/9695 sacados/9695 chapExoCorrec/8501 sacados/8501 chapExoCorrec/6548 sacados/6548 chapExoCorrec/2419 sacados/2419 chapExoCorrec/2426 sacados/2426
E.10398 On considère la suite u n arithmétique de premier terme 5 et de raison r . La somme des 72 premiers termes a pour valeur: u 0 + u 1 + u 2 + · · · + u 71 = 76 Déterminer la valeur de la raison r . (on laissera les étapes de son raisonnement) E.10403 On considère la suite u n , définie pour n ∈ N , arithmétique de premier terme 2 et de raison r . La somme des 71 premiers termes a pour valeur: u 0 + u 1 + u 2 + · · · + u 70 = 497 Déterminer la valeur de la raison r . (on laissera les étapes de son raisonnement) 10. Suite arithmétiques: formule générale E.7644 Proposition: soit u n une suite arithmétique de premier terme u 0 et de raison r . On a la propriété : On considère la suite u n arithmétique de premier terme 3 et de raison 2 . Déterminer la valeur de la somme : S = u 12 + u 13 + · · · + u 34 E.10362 On considère la suite v n définie pour tout entier naturel n ( n ∈ N ) par : v n =2 − 3 · n Déterminer la valeur de la somme : S = v 4 + v 5 + · · · + v 15 E.2430 1 Soit u n n ∈ N la suite arithmétique de premier terme 2 et de raison 1 4 . Déterminer la somme S définie par : S = u 11 + u 12 + · · · + u 25 2 Soit v n n ∈ N la suite arithmétique de premier terme 12 et de raison − 3 . Déterminer la somme S définie par : S = v 5 + v 6 + · · · + v 13 11. Suites arithmétiques: formule générale et équations E.8465 Soit u n n ∈ N une suite arithmétique de premier terme 2 et de raison r On considère la somme S des sommes des termes de u n al-lant de u 5 à u 20 : S = u 5 + u 6 + · · · + u 19 + u 20 Déterminer la valeur de la raison r afin de réaliser: S =132 E.8466 Soit u n n ∈ N la suite arithmétique de premier terme 5 et de raison 2 . On considère la somme S des termes successifs de rang 14 au terme de rang k où k est un entier naturel strictement supérieur à 14 . C’est-à-dire que : S = u 14 + u 15 + ··· + u k Déterminer la valeur de k afin que : S =320 12. Suite géométrique: somme des premiers termes E.8172 Proposition: soit u n la suite géométrique de premier terme u 0 et de raison q . On note S la somme des n +1 pre-miers termes de la suite u n . On a: S = u 0 + u 1 + · · · + u n = u 0 · 1 − q n +1 1 − q On considère la suite u n géométrique de premier terme 2 et de raison 2 . Déterminer la somme S des 100 premiers termes de la suite u n . E.10399 On considère la suite géométrique de premier terme 12 et de raison 4 . Déterminer la somme des 100 premiers termes de cette suite. Indication : on donnera l’expression simplifiée de cette somme. E.7645 On considère la suite v n n ∈ N géométrique de premier terme 12 et de raison 1 4 . 1 Donner l’expression du terme v n en fonction de son rang n . 2 Quel est le rang du terme de la suite v n ayant pour valeur 3 64 ? 3 Déterminer une expression simplifiée de la somme S définie par : S = v 0 + v 1 + · · · + v 30 E.10363 On considère la suite v n définie pour tout entier n naturel par : v n = 5 2 n Déterminer la somme S des 20 premiers termes de la suite v n . https://chingmath.fr chapExoCorrec/10398 sacados/10398 chapExoCorrec/10403 sacados/10403 chapExoCorrec/7644 sacados/7644 ukuk···unn−k·ukun2Nombresde termesPremier termeDernier terme chapExoCorrec/10362 sacados/10362 chapExoCorrec/2430 sacados/2430 chapExoCorrec/8465 sacados/8465 chapExoCorrec/8466 sacados/8466 chapExoCorrec/8172 sacados/8172 chapExoCorrec/10399 sacados/10399 chapExoCorrec/7645 sacados/7645 chapExoCorrec/10363 sacados/10363
E.7806 On considère la suite u n définie par : u 0 = 5 ; u n +1 = u n + 2 n pour tout n ∈ N 1 Donner les valeurs des 4 premiers termes de la suite. 2 On note S n la somme des n +1 premiers termes de la suite u n : S n = u 0 + u 1 + u 2 + · · · + u n a Établir l’identité suivante pour tout entier naturel n : S n +1 = S n + 1 − 2 n +1 1 − 2 + 5 b En déduire que les termes de la suite u n admettent comme expression en fonction de n : u n = 2 n + 4 13. Suite géométrique: somme des premiers termes et équation E.2420 Soit u n n ∈ N la suite géométrique de premier terme 2 et de raison 1 2 . Soit k un entier naturel non-nul ( k ∈ N ) , on note S la somme des k +1 premiers termes de la suite u n . C’est-à-dire : S = u 0 + u 1 + ··· + u k Déterminer la valeur de k afin que : S =4 − 1 2 8 E.2427 Résoudre l’équation: 1 − q 3 1 − q = 39 25 E.10402 Soit u n n ∈ N la suite géométrique de premier terme 1 484 et de raison 3 . Pour un entier k stricte-ment supérieur à 0 , on note S la somme des termes successifs de la suite u n du terme du rang 0 au rang k : S = u 0 + u 1 + · · · + u k Déterminer la valeur de l’entier k vérifiant : S =61 Indication : On utilisera le tableau des puissances de 3 : 3 0 =1 ; 3 3 =27 ; 3 6 =729 ; 3 9 =19683 ; 3 12 =531441 3 1 =3 ; 3 4 =81 ; 3 7 =12187 ; 3 10 =59049 ; 3 13 =1594323 3 2 =9 ; 3 5 =243 ; 3 8 =6561 ; 3 11 =177147 ; 3 14 =4782969 14. Suite géométrique: reconnaissance du terme général E.8468 On considère la somme S définie par : S = 27 + 9 + 3 + · · · + 1 81 On admet que les termes de cette somme sont les termes con-sécutifs d’une suite u n géométrique. 1 Donner les éléments caractéristiques de la suite u n . 2 Déterminer le rang du terme de la suite u n dont la valeur est 1 81 , puis donner le nombre de termes de la somme S . 3 Déterminer la valeur de S . E.8473 On considère que la somme S ci-dessous : S = 1 + 2 + 2 + 2 2 + · · · + 8 2 On admet que les termes de cette somme sont les termes con-sécutifs d’une suite u n géométrique. 1 Donner les caractéristiques de la suite géométrique u n . 2 Déterminer le rang du terme de la suite u n dont la valeur est 8 2 . Donner le nombre de termes de la somme S . 3 En déduire la valeur de S . E.8469 On considère la somme numérique suivante : S n = 4 + 2 + 1 + 1 2 + · · · + 1 2 n où n ∈ N On admet que les termes de cette somme sont les premiers termes d’une suite u n géométrique. 1 Donner les éléments caractéristiques de la suite u n . 2 Déterminer le rang du terme de la suite u n valant 1 2 n . Donner le nombre de termes de la somme S n . 3 a Déterminer la valeur de S n en fonction de n . b Justifier que, quelle que soit la valeur de n , la somme S n est majorée par 8 . E.8509 Établir que l’entier 7 20 − 1 est un multiple de l’entier 6 . E.2432 Soit x un nombre réel différent de 1 . 1 Exprimer la somme suivante en fonction de x : S = 1 + x + x 2 + x 3 + : : : + x n 2 En déduire une factorisation du polynôme 1 − x n +1 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/7806 sacados/7806 chapExoCorrec/2420 sacados/2420 chapExoCorrec/2427 sacados/2427 chapExoCorrec/10402 sacados/10402 chapExoCorrec/8468 sacados/8468 chapExoCorrec/8473 sacados/8473 chapExoCorrec/8469 sacados/8469 chapExoCorrec/8509 sacados/8509 chapExoCorrec/2432 sacados/2432
E.8173 Le prince demande à Sissou de commencer par déposer un grain de riz sur la première case, puis deux grains sur la deuxième case, puis quatre grains sur la troisième case et ainsi de suite, en multipliant par 2 le nombre de grains déposés sur la case suiv-ante jusqu’à compléter entière-ment l’échiquier. Déterminer le nombre de grains de riz dont aura besoin Sissou pour compléter l’échiquier. E.7246 Ci-dessous sont représentés les six premiers ˇ flocons de Helge Von Koch ı représentant un des fractales les plus simples : Voici la procédure affectée à chaque segment de la ligne brisée pour construire la figure à l’étape suivante : Chaque segment est partagé en trois parties égales. Sur le segment situé au milieu du segment, on construit un triangle équilatéral. On supprime le segment situé au milieu du segment 1 Pour tout entier naturel n , notons u n le nombre de seg-ments composant le flocon de Helge Von Koch à l’étape n . Conjecturer une relation de récurrence entre les termes de la suite u n . 2 Pour tout entier naturel n , notons v n la longueur de la ligne brisée formant le flocon de Von Koch à l’étape n . Conjecturer une relation de récurrence entre les termes de la suite v n . 15. Suite géométrique: formule générale E.7608 Proposition: soit u n n ∈ N une suite géométrique de pre-mier terme u 0 et de raison q . On a la propriété : On considère la suite u n géométrique de premier terme 4 et de raison 3 . Déterminer la valeur de la somme : S = u 10 + u 11 + · · · + u 19 E.10364 On considère la suite v n dont le terme de rang n , un entier naturel ( n ∈ N ) , est définie par : v n = 3 4 n Déterminer la valeur de la somme S : S = v 5 + v 6 + · · · + v 12 E.2431 Soit u n n ∈ N la suite géométrique de premier terme 5 et de raison 2 3 . Déterminer la valeur de la somme : S = u 10 + u 11 + · · · + u 21 E.9696 On considère la suite u n définie pour tout n ∈ N géométrique de premier terme 2 4 × 3 5 et de raison 1 3 . Déterminer la somme des 100 premiers termes de la suite u n . E.8472 On considère la suite u n n ∈ N géométrique de premier terme 1 et de raison 2 . On note S la valeur de la somme : S = u 2 + u 3 + u 12 + u 13 + u 22 + u 23 + u 32 + u 33 + · · · + u 82 + u 83 + u 92 + u 93 Déterminer la valeur de S . E.10605 Soit v n n ∈ N la suite géométrique de premier terme 12 et de raison − 1 2 . Déterminer la valeur de la somme : S = v 7 + v 8 + · · · + v 12 16. Suite géométrique: formule générale et équations E.8470 Soit u n n ∈ N la suite géométrique de premier terme 2 et de raison 1 2 . Pour un entier k strictement supérieur à 4 , on note S la somme des termes successifs de la suite u n du terme du rang 4 au rang k : S = u 4 + u 5 + · · · + u k Déterminer la valeur de l’entier k vérifiant : S = 127 512 https://chingmath.fr chapExoCorrec/8173 sacados/8173 chapExoCorrec/7246 sacados/7246 ABFigure no0 ABFigure no1 ABFigure no2 ABFigure no3 ABFigure no4 ABFigure no5 Etape0Etape1Etape2Etape3 chapExoCorrec/7608 sacados/7608 ukuk···unuk·1−qn−k1−qPremier termeNombre de termes chapExoCorrec/10364 sacados/10364 chapExoCorrec/2431 sacados/2431 chapExoCorrec/9696 sacados/9696 chapExoCorrec/8472 sacados/8472 chapExoCorrec/10605 sacados/10605 chapExoCorrec/8470 sacados/8470
Indication : on utilisera le tableau des puissances de 2 : 2 0 =1 ; 2 3 =8 ; 2 6 =64 ; 2 9 =512 ; 2 12 =4096 2 1 =2 ; 2 4 =16 ; 2 7 =128 ; 2 10 =1024 ; 2 13 =8192 2 2 =4 ; 2 5 =32 ; 2 8 =256 ; 2 11 =2048 ; 2 14 =16384 E.10400 Soit u n n ∈ N la suite géométrique de premier terme 1 4356 et de raison 3 . Pour un entier k stricte-ment supérieur à 2 , on note S la somme des termes successifs de la suite u n du terme du rang 2 au rang k : S = u 2 + u 3 + · · · + u k Déterminer la valeur de l’entier k vérifiant : S =61 Indication : on utilisera le tableau des puissances de 3 : 3 0 =1 ; 3 3 =27 ; 3 6 =729 ; 3 9 =19683 ; 3 12 =531441 3 1 =3 ; 3 4 =81 ; 3 7 =12187 ; 3 10 =59049 ; 3 13 =1594323 3 2 =9 ; 3 5 =243 ; 3 8 =6561 ; 3 11 =177147 ; 3 14 =4782969 17. Un peu plus loin E.5818 Soit w n n ∈ N une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 1 8 . On considère la somme suivante : S 1 = w 0 + w 1 + · · · + w n Déterminer la valeur de n afin que la somme S 1 a pour valeur 31 . (On sera amené à trouver les racines du polynôme du second degré 2+ x 8 x +1 − 62 ) E.8423 Ci-dessous est représenté un rectangle ABCD vérifiant : AB = 2 cm ; AD = 1 cm À l’intérieur du rectangle, sont inscrits des rectangles dont les côtés sont parallèles aux côtés du rectangle ABCD . On note A i , où i ∈ 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 1 Démontrer que la somme A des aires des domaines grisées est égale à la somme des termes d’une suite géométrique. 2 Justifier que la somme A a pour valeur 2 − 1 16 . E.6549 On souhaite déterminer la valeur de la somme S suivante : S = 9 + 15 + 27 + 51 + 99 + · · · + 3075 . On remarquera que cette somme peut s’écrire par : S = 3 × 2 1 +3 + 3 × 2 2 +3 + 3 × 2 3 +3 + ··· + 3 × 2 10 +3 Déterminer la valeur de S Indication : toutes traces de recherche, même incomplètes, seront prises en compte dans l’évaluation E.7660 On considère une fonction définie sur R + dont la courbe représentative est donnée ci-dessous dans un repère O ; I ; J : De plus, l’ensemble des points A n du plan définis pour tout entier naturel n par leurs coordonnées A n ( n ; 3 × 0 ; 8 n ) appar-tiennent à la courbe C f . Toute trace de recherche ou de raisonnement même incomplet sera prise en compte et valorisée. 1 On définit un domaine du plan en considérant les treize rectangles représentés ci-dessous : où les points A 0 , A 1 , . . . , A 12 forment les sommets ˇen haut à gaucheı de chacun de ses rectangles. Déterminer l’aire de ce domaine. 2 On définit un domaine du plan en considérant les treize rectangles représentés ci-dessous : où les points A 1 , A 2 , . . . , A 13 forment les sommets ˇen haut à droiteı de chacun de ses rectangles. Déterminer l’aire de ce domaine. https://chingmath.fr chapExoCorrec/10400 sacados/10400 chapExoCorrec/5818 sacados/5818 chapExoCorrec/8423 sacados/8423 ABCDA1A2A3A4A5 chapExoCorrec/6549 sacados/6549 chapExoCorrec/7660 sacados/7660 234567891011121314I23JO0A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15ACf 234567891011121314I23JO 234567891011121314I23JO
E.7661 Un ˇ escargot exponentiel ı de paramètre ¸ est une ligne brisée dont les extrémités A i des segments forment une suite de points vérifiant les relations : Pour tout entier naturel i : A i A i +1 = ¸ i Pour tout entier naturel i , le triangle A 0 A i A i +1 est rect-angle en A i . L’angle −−−→ A 0 A i ; −−−−−→ A 0 A i +1 est de mesure positive. Ci-dessous l’escargot exponentiel de paramètre 1 ; 1 : Dans la suite de l’exercice, l’escargot exponentiel a pour paramètre 2 . Toute trace de recherche ou de raisonnement même incomplet sera prise en compte et valorisée. 1 Déterminer la longueur de la ligne brisée A 0 A 1 A 2 : : : A 10 A 11 . 2 Déterminer la longueur du segment [ A 0 A 11 ] . E.10628 Soit a n n ∈ N une suite géométrique de premier terme 2 tel que : a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 = 63 16 Déterminer la raison de cette suite. (On admettra que le polynôme − 32 x 6 +63 x − 31 admet pour racines les nombres 1 2 et 1 ) 18. Exercices non-classés E.6036 On dispose de 800 petits cubes. Quelle est la hauteur de la plus grande pyramide constructible suivant le modèle ci-contre? E.6648 On considère les deux suites a n et b n définies conjointement par les deux relations : a 0 = 0 a n +1 = 2 3 · a n + 1 3 · b n b 0 = 12 b n +1 = 1 4 · a n + 3 4 · b n ∀ n ∈ N 1 On définit la suite u n par la relation: u n = b n − a n a Établir que la suite u n vérifie la relation récurrente : u n +1 = 5 12 · u n b Donner la nature de la suite u n et ses éléments car-actéristiques. c Donner la somme S des 10 premiers termes de la suite u n . 2 On définit la suite v n par la relation: v n = 3 · a n + 4 · b n a Montrer que la suite v n est constante. b Déterminer la somme S  des 10 premiers termes de la suite v n . 3 En déduire la somme S définie par : S = b 0 + b 1 + · · · + b 9 E.9847 Un globe-trotter a parié de parcourir 5 000 km à pied. Il peut, frais et dispos, parcourir 50 km en une journée, mais chaque jour, la fatigue s’accumule et donc sa performance diminue de 1 % tous les jours. On note u 1 la distance parcourue le premier jour de course et de manière générale u n le n ème jour de course. 1 a Donner la valeur des termes u 1 , u 2 , u 3 . b Préciser la nature de la suite u n ainsi que ses élé-ments caractéristiques. c Donnera distance parcourue le 30 ème jour de course arrondie au mètre près. 2 On note v n la suite dont le terme de rang n a pour valeur la distance totale parcourue par le globe-trotter les n premiers jours. a En fonction de n , déterminer l’expression du terme de rang n de la suite v n . b Donner la distance totale parcourue par le globe-trotter sur les 30 premiers jours de la course, arrondie au mètre près. E.11576 On considère une suite u n définie sur N et on note S n la somme de ses n premiers termes. On a le tableau de valeurs : n 0 1 2 3 4 5 S n 5 13 24 38 55 75 Déterminer la nature de la suite u n et ses éléments carac-téristiques. https://chingmath.fr chapExoCorrec/7661 sacados/7661 A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A0 chapExoCorrec/10628 sacados/10628 chapExoCorrec/6036 sacados/6036 chapExoCorrec/6648 sacados/6648 chapExoCorrec/9847 sacados/9847 sacados/11576