Première spécialité / Suites arithmétiques et géométriques et autres suites 94 exercices corrigés

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ChingQuizz : 18 exercices disponibles pour l’evaluation par QCM : 1. Quelques rappels E.2905 Rappels: On considère une valeur x subissant une évolution pour obtenir la valeur y : Réduction de a % : y = x · 1 − a 100 Augmentation de a % : y = x · 1+ a 100 1 Trouver les coefficients multiplicateurs représentant cha- cune des évolutions suivantes : a +10 % b +2 ; 5 % c +115 % d − 22 % e − 10 ; 7 % f − 65 % 2 Pour chaque coefficient multiplicateur, retrouver l’évolution associée et le pourcentage correspondant : a 1 ; 02 b 1 ; 375 c 2 ; 1 d 0 ; 15 e 0 ; 85 f 0 ; 912 2. Introduction aux suites E.2379 1 On considère la suite logique: 3 ; 7 ; 11 ; 15 ; 19 En notant successivement u 0 , u 1 , u 2 , . . . les termes de cette suite, donner la valeur de u 6 . Indication : c’est-à-dire que le terme 3 est noté u 0 , le terme 7 est noté u 1 , le terme 11 est noté u 2 . . . 2 On considère la suite logique: 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 En notant v 0 , v 1 , v 2 , . . . les termes de cette suite, donner la valeur de v 5 . 3 On considère la suite logique: -1 ; 2 ; − 4 ; 8 ; − 16 ; 32 En notant w 0 , w 1 , . . . les termes de cette suite, donner la valeur de w 6 . 4 On considère la suite logique: 1 ; 3 ; 17 ; 5 ; 33 ; 41 En notant s 0 , s 1 , . . . les termes de cette suite, donner la valeur de s 6 . 5 On considère la suite logique: 2 ; 3 2 ; 4 3 ; 5 4 En notant t 0 , t 1 , . . . les termes de cette suite, donner la valeur t 5 E.6517 On considère les deux procédés d’obtention suivant de nombres : Procédure A On multiplie le nombre donné par 3 Procédure B Au nombre donné, on lui soustrait 2 . Pour chaque question, donner les six premiers termes obtenus en répétant les consignes autant de fois que nécessaire. 1 Le nombre de départ est 3 et on répète la procédure A ; 2 Le nombre de départ est 11 et on répète la procédure B . E.7308 On considère les deux algorithmes ci-dessous : Algorithme 1 u ← 4 Pour i allant de 1 à 53 u ← u + 3 Fin Pour Algorithme 2 u ← 1 Pour i allant de 1 à 4 u ← 2 × u + 1 Fin Pour Pour chacun des algorithmes, donner la valeur contenue dans la variable u après l’exécution de l’algorithme. E.6516 Compléter les suites logiques de nom-bres pour obtenir les 8 premiers termes de chacune d’elles: a 4 - 7 - 10 - 13 - . . . b 3 - 6 - 12 - 24 - . . . c 20 - 19 - 17 - 14 - . . . d 5 - 7 - 11 - 17 - . . . e 1 - 4 - 9 - 16 - . . . E.7183 Voici des exemples de suites de nombres : a ( 2 ; 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; : : : ) b ( 2 ; 6 ; 18 ; 54 ; 162 ; : : : ) c ( 6 ; − 6 ; 6 ; − 6 ; 6 ; : : : ) d ( 1 ; 3 ; 7 ; 15 ; 31 ; : : : ) Pour chacune de ces suites des nombres ; trouver la relation qui permet d’obtenir une valeur en fonction des valeurs précé-dentes. https://chingmath.fr quizzChap/752 chapExoCorrec/2905 sacados/2905 chapExoCorrec/2379 sacados/2379 chapExoCorrec/6517 sacados/6517 chapExoCorrec/7308 sacados/7308 chapExoCorrec/6516 sacados/6516 chapExoCorrec/7183 sacados/7183
E.9483 On considère les suites logiques de nombres ci-dessous : a ( 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; : : : ) b ( 1 ; 6 ; 11 ; 16 ; 21 ; : : : ) c ( 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; : : : ) d ( 1 ; 2 ; 3 ; 2 ; 5 ; 6 ; : : : ) e ( 1 ; 1 2 ; 1 3 ; 1 4 ; 1 5 ; : : : ) En notant u 0 , u 1 , u 2 , . . . les termes successifs de cette suite, donner la valeur du terme u 6 de chacune de ces suites. 3. Introduction au vocabulaire E.7194 1 On considère la suite de nombres ci-dessous : 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 12 ; 17 ; 23 ; 30 a Dans cette suite, quel est le terme qui succède à 12 ? b Dans cette suite, quel est le terme qui précède 8 ? 2 De manière générale, on indique les termes d’une suite en utilisant en index la position du terme dans la suite (on commence l’indexation à 0 ) : u 0 ; u 1 ; u 2 ; u 3 ; · · · ; u n − 1 ; u n ; u n +1 a Quel est le terme successeur de u 2 ? b Quel est le terme prédécesseur de u 4 ? c Quel est le terme successeur de u n ? d Quel est le terme successeur de u n +2 ? e Quel est le terme prédécesseur de u n ? f Quel est le terme prédécesseur de u n +2 ? E.7192 1 On considère la suite dont le premier terme vaut 2 et dont ˇ le successeur a pour valeur le double de celle de son prédécesseur ı Construire les quatre premiers termes de la suite. 2 On considère la suite dont le premier terme vaut − 3 et dont ˇ le successeur a pour valeur celle de son prédécesseur augmentée de 3 . ı Construire les quatre premiers termes de la suite. 3 On considère la suite dont les termes sont indexés à par-tir de 0 et dont ˇ la valeur d’un terme est le carré de son rang ı. Construire les quatre premiers termes de la suite. E.6519 On considère les trois suites dont le premier terme vaut 2 et définies de la manière suivante : 1 un terme vaut l’inverse de son prédécesseur auquel on ajoute 2 . 2 un terme vaut le double de son prédécesseur auquel on ajoute 2 . 3 un terme a pour valeur le double de son rang auquel on ajoute 2 . Associer à chacune de ces suites, la définition qui lui corre-spond : a u n =2 · n +2 b u n +1 = 1 u n +2 c u n +1 =2 · u n +2 4. Introduction à la génération de suite arithmétique et géométrique E.2906 Des scientifiques étudient une culture de bactéries contenant deux souches qu’on nommera A et B . Au début de l’expérience (au temps ˇ0ı) , on dénombre 200 bactéries de souche A et 300 bactéries de souche B . Les scientifiques relèvent les évolutions suivantes : à chaque minute, la population des bactéries A augmente de 10 % , alors que celle de la souche B diminue de 20 bactéries. 1 a Au temps ˇ 0 min ı, quel est le pourcentage représenté par les bactéries de la souche A par rapport à l’ensemble des bactéries? b Au temps ˇ 1 min ı, quel est le pourcentage représenté par les bactéries de la souche A par rapport à l’ensemble des bactéries? c Compléter le tableau ci-dessous : 2 n désigne un nombre entier naturel ( n ∈ N ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/9483 sacados/9483 chapExoCorrec/7194 sacados/7194 chapExoCorrec/7192 sacados/7192 chapExoCorrec/6519 sacados/6519 chapExoCorrec/2906 sacados/2906 1234567ABCDTempsPopulationdelasoucheAPopulationdelasoucheBPopulationtotale0200300
On note a n la population de bactéries de la souche A au temps ˇ n min ı ; ainsi, a 0 =200 . On note b n la population de bactéries de la souche B au temps ˇ n min ı ; ainsi b 0 = 300 . Compléter les pointillés ci-dessous : a 1 = a 0 . . . . . . . . . . . . b 1 = b 0 . . . . . . . . . . . . a 2 = a 1 . . . . . . . . . . . . b 2 = b 1 . . . . . . . . . . . . a 3 = a 2 . . . . . . . . . . . . b 3 = b 2 . . . . . . . . . . . . a 4 = a 3 . . . . . . . . . . . . b 4 = b 3 . . . . . . . . . . . . On généralise par : a n +1 = a n . . . . . . . . . . . . b n +1 = b n . . . . . . . . . . . . 3 Compléter les deux diagrammes ci-dessous : a b 4 Compléter les pointillées: a 1 = a 0 . . . . . . . . . . . . b 1 = b 0 . . . . . . . . . . . . a 2 = a 0 . . . . . . . . . . . . b 2 = b 0 . . . . . . . . . . . . a 3 = a 0 . . . . . . . . . . . . b 3 = b 0 . . . . . . . . . . . . a 4 = a 0 . . . . . . . . . . . . b 4 = b 0 . . . . . . . . . . . . On généralise par : a n = a 0 . . . . . . . . . . . . b n = b 0 . . . . . . . . . . . . E.2372 La société Mandine embauche Arthur au 1 er janvier 2009 avec un salaire de 1525 e et lui propose deux types d’avancement : Chaque 1 er janvier, son salaire se verra augmenter de 32 e . Chaque 1 er janvier, son salaire augmente de 2 % . 1 Compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs au dixième près : Année 2009 2010 2011 2012 Avancement A Avancement B Année 2013 2014 2015 2016 Avancement A Avancement B 2 À partir de quelle année, Arthur aura un salaire plus important en choisissant l’avancement B ? E.7195 Un demandeur d’emploi se voit pro-poser deux offres : Un salaire initial de 1150 euros par mois et une augmen-tation de 5 % par mois. On note a n la suite de ces revenus mensuels avec cette proposition. Un salaire initial de 1200 euros par mois et une augmen-tation de 3 % par mois. On note b n la suite de ces revenus mensuels avec cette proposition. 1 Donner la nature et les éléments caractéristiques de cha-cune des suites a n et b n . 2 Compléter le tableau ci-dessous en arrondissant les valeurs des termes au centième près. n 0 1 2 3 4 a n b n 3 a Au bout du 5 ième mois, quelle est la proposition ren-dant le salaire le plus avantageux? b À la vue de la somme reçue au terme des cinq mois, quelle est la proposition la plus avantageuse? 5. Suites arithmétiques: premiers termes E.8523 Définition: On appelle suite arithmétique toute suite de nombres dont le successeur d’un terme est obtenu en additionnant à celui toujours le même nombre. Ce nombre s’appelle la raison de cette suite arithmétique. On considère la suite u n arithmétique, où n ∈ N , de premier terme u 0 =5 et de raison 3 . Recopier et compléter la ligne ci-dessous pour obtenir les cinq premiers termes de cette suite : u 0 = : : : ; u 1 = : : : ; u 2 = : : : ; . . . E.5121 Déterminer les cinq premiers ter-mes de la suite u n , définie pour tout n ∈ N , arithmétique de premier terme 2 et de raison 3 . E.7309 On considère la suite u n arithmé-tique, définie pour tout n ∈ N , de premier terme 2 et de raison − 3 . Déterminer les quatre premiers termes de la suite u n . https://chingmath.fr a0×:::a1×:::a2×:::a3×:::a4×:::×:::×:::×::: b0−:::b1−:::b2−:::b3−:::b4−:::−:::−:::− chapExoCorrec/2372 sacados/2372 chapExoCorrec/7195 sacados/7195 chapExoCorrec/8523 sacados/8523 chapExoCorrec/5121 sacados/5121 chapExoCorrec/7309 sacados/7309
E.7717 1 a Dans un langage de programmation, saisir l’algorithme suivant : a ← 2 Pour i allant de 0 à 4 a ← a+3 Fin Pour b En effectuant une exécution pas à pas, noter les valeurs successives prises par la variable a : . . . ; . . . ; . . . ; . . . ; . . . ; . . . 2 a Modifier l’algorithme pour que les valeurs succes-sives prises par la variable a soit : 2 ; 6 ; 10 ; 14 ; 18 ; 22 b Modifier l’algorithme pour que les valeurs successives prises par la variable a soit : 5 ; 10 ; 15 E.10234 Définition: soit u n une suite définie pour tout n ∈ N et soit r ∈ R . On dit que la suite u n est une suite arithmétique de raison r si elle vérifie la relation: u n +1 = u n + r pour tout n ∈ N . Soit u n une suite arithmétique de raison 3 . Simplifier les expressions suivantes : a u 4 + 3 b u 10 − 3 c u 7 + 6 E.7193 On considère la suite u n , définie pour n ∈ N ∗ , arithmétique de premier terme 3 et de raison 5 . Déterminer les cinq premiers termes de cette suite. E.7540 Déterminer les cinq premiers ter-mes de la suite v n , définie pour tout n ∈ N , arithmétique de premier terme 3 et de raison − 2 3 . E.7186 On considère la suite v n arithmé-tique définie par : v 0 = 6 ; v n +1 = v n − 2 pour tout n ∈ N Déterminer la valeur des 6 premiers termes de la suite v n . 6. Suites arithmétiques: introduction à la formule explicite E.7191 On considère la suite u n n ∈ N dont les premiers termes sont : u 0 =3 ; u 1 =7 ; u 2 =11 ; u 3 =15 Parmi les quatre propositions, citer les deux relations vérifiées par les quatre premiers termes de la suite u n . Lesquelles ? a u n +1 = u n + 4 b u n +1 = 4 · u n c u n = 3 + 3 · n d u n = 3 + 4 · n E.9488 On considère la suite u n , définie pour n ∈ N , arithmétique et dont les premiers termes ont pour valeur: n 0 1 2 3 4 u n 3 7 11 15 19 1 Donner les éléments caractéristiques de cette suite. 2 Parmi les relations ci-dessous, lesquelles sont vérifiées par la suite u n : a u n +1 = u n + 4 b u n +1 = u n + 3 c u n = 4 · n + 3 d u n = 3 · n + 4 7. Suites arithmétiques: formules explicites E.10253 on considère la suite u n arithmé-tique de premier terme 5 et de raison − 2 . Parmi les expres-sions suivantes, lesquelles représente le terme u 27 : a u 26 + 2 b u 26 − 2 c u 26 + 5 d u 26 − 5 e − 2 + 5 × 27 f 5 − 2 × 27 E.9460 Proposition: soit u n une suite arithmétique de premier terme u 0 et de raison r . Pour tout n ∈ N , on a: u n = u 0 + r · n Cette relation s’appelle la formule explicite des termes d’une suite arithmétique. On considère la suite u n n ∈ N définie par la relation de récur- rence : u 0 = 5 ; u n +1 = u n − 2 1 Quelle est la nature de cette suite? 2 Donner la formule explicite donnant la valeur de u n en fonction de n . 3 Déterminer la valeur de u 20 . E.10228 On considère la suite u n , définie pour tout n ∈ N , arithmétique de premier terme 3 et de raison 2 3 . 1 Donner la formule explicite des termes de la suite u n en fonction de n . 2 Déterminer l’expression du terme de rang 112 de la suite u n . https://chingmath.fr chapExoCorrec/7717 sacados/7717 chapExoCorrec/10234 sacados/10234 chapExoCorrec/7193 sacados/7193 chapExoCorrec/7540 sacados/7540 chapExoCorrec/7186 sacados/7186 chapExoCorrec/7191 sacados/7191 chapExoCorrec/9488 sacados/9488 chapExoCorrec/10253 sacados/10253 chapExoCorrec/9460 sacados/9460 chapExoCorrec/10228 sacados/10228
8. Suites arithmétiques: formules explicites (étendues) E.10236 Proposition: soit u n une suite arithmétique de raison r et soit k , n deux entiers naturels. On a la relation: u n = u k + n − k · r Soit v n une suite arithmétique définie pour tout n ∈ N et de raison q . Compléter les expressions suivantes : a u 7 = u 3 + : : : × r b u 25 = u 11 + : : : × r c u 3 = u 8 + : : : × r d u 15 = u 23 + : : : × r E.5120 Soit u n une suite arithmétique de raison r . Compléter les expressions suivantes : a u 12 = u 5 + : : : × r b u 57 = u 38 + : : : × r c u 3 = u 8 + : : : × r d u 23 = u 38 + : : : × r E.10229 On considère la suite u n , définie pour tout n ∈ N ∗ , arithmétique de premier terme 15 et de rai-son − 3 . 1 Donner la formule explicite des termes de la suite u n en fonction de n . 2 Déterminer la valeur du terme de rang 17 de la suite u n . E.9508 On considère la suite u n , définie pour tout n ∈ N , arithmétique de raison 3 et dont le terme de rang 8 a pour valeur: u 8 =25 1 Déterminer la valeur du terme u 14 . 2 Déterminer la valeur du terme u 3 . 9. Suites arithmétiques: rang d’un terme E.6530 On considère la suite u n n ∈ N arith-métique de premier terme 3 et de raison − 2 . 1 Déterminer la valeur des termes u 12 et u 43 . 2 Déterminer la valeur du rang n réalisant les égalités: a u n = − 21 b u n = − 57 E.9537 On considère la suite u n définie pour tout n ∈ N ∗ arithmétique de premier terme de 2 et de raison 0 ; 25 . Déterminer le rang n du terme de la suite u n tel que : u n = 15 ; 75 E.8048 On considère la suite u n n ∈ N arith-métique de premier terme 4 et de raison 1 3 . 1 Déterminer la valeur du terme u 8 . 2 Déterminer le rang n tel que : u n = 16 E.8406 On considère la suite u n définie sur N arithmétique de premier terme 2 et de raison 3 4 . Déterminer le rang du terme ayant pour valeur 53 4 10. Suites arithmétiques: éléments caractéristiques E.5135 Soit u n n ∈ N une suite arithmétique, définie pour tout n ∈ N , dont on connait les deux termes : u 4 = 12 ; u 22 = − 24 Donner, en justifiant votre démarche, les éléments caractéris-tiques de cette suite. E.6546 On considère la suite u n , définie pour tout n ∈ N ∗ , arithmétique dont on connait les valeurs des deux termes suivants : u 10 = 5 ; u 16 = 14 Déterminer le premier terme u 1 et la raison de cette suite. E.10237 Soit w n n ∈ N la suite arithmétique telle que : w 6 = 7 ; w 8 = 1 Déterminer les éléments caractéristiques de la suite u n . E.10238 Soit w n n ∈ N ∗ la suite arithmétique qui vérifie: w 15 = 54 ; w 99 = 180 Déterminer les éléments caractéristiques de la suite u n . E.8524 Soit v n n ∈ N ∗ une suite arithmétique telle que : v 7 = 13 ; v 15 = 39 Déterminer la valeur du premier terme et de la raison de la suite. E.2400 Soit w n n ∈ N une suite arithmétique telle que : w 0 = 5 ; w 9 = 25 Déterminer les éléments caractéristiques de la suite u n . https://chingmath.fr chapExoCorrec/10236 sacados/10236 chapExoCorrec/5120 sacados/5120 chapExoCorrec/10229 sacados/10229 chapExoCorrec/9508 sacados/9508 chapExoCorrec/6530 sacados/6530 chapExoCorrec/9537 sacados/9537 chapExoCorrec/8048 sacados/8048 chapExoCorrec/8406 sacados/8406 chapExoCorrec/5135 sacados/5135 chapExoCorrec/6546 sacados/6546 chapExoCorrec/10237 sacados/10237 chapExoCorrec/10238 sacados/10238 chapExoCorrec/8524 sacados/8524 chapExoCorrec/2400 sacados/2400
E.2452 Soit u n une suite arithmétique définie pour tout n ∈ N ∗ dont on a connaissance des deux ter-mes suivants : u 7 = 3 ; u 19 = 11 Déterminer le premier terme et la raison de cette suite. E.2428 On considère la suite u n n ∈ N arith-métique dont on connait la valeur de deux termes : u 14 =2 ; u 20 =0 1 Déterminer le premier terme et la raison de cette suite. 2 a Déterminer l’expression du terme u n en fonction de la valeur de n . b Déterminer le rang du terme valant 10 3 E.8359 On considère une suite u n , définie pour tout n ∈ N , arithmétique telle que : u 2 soit le double de u 0 ; u 6 soit le carré de u 2 . Déterminer les éléments caractéristiques des deux suites arith-métiques réalisant ces conditions. 11. Reconnaitre une suite arithmétique E.7187 On considère la suite u n , définie pour tout n ∈ N , dont les premiers termes sont : u 0 = 2 ; u 1 = 5 ; u 2 = 9 ; u 3 = 12 Justifier que la suite u n n’est pas une suite arithmétique. E.6523 On considère les deux suites u n et v n définies pour tout n ∈ N et dont les premiers termes sont donnés ci-dessous : u 0 =3 ; u 1 =5 ; u 2 =7 ; u 3 =10 ; u 4 =12 ; u 5 =14 v 0 =6 ; v 1 =3 ; 5 ; v 2 =1 ; v 3 = − 1 ; 5 ; v 4 = − 4 ; v 5 = − 6 ; 5 Pour quelle (s) suite (s) , peut-on conjecturer que la suite est une suite arithmétique? Pour quelle (s) suite (s) , peut-on affirmer que la suite n’est pas arithmétique. E.9547 On considère la suite u n définie pour tout entier n ∈ N par : u n = 2 + 3 × n 1 Soit n ∈ N , simplifier l’expression u n +1 − u n . 2 En déduire la nature de la suite u n , ainsi que ses élé-ments caractéristiques. 12. Suites géométriques: premiers termes E.7188 Définition: on appelle suite géométrique toute suite de nombres dont le successeur d’un terme est obtenu en mul-tipliant celui-ci par le même nombre. Ce nombre s’appelle la raison de la suite géométrique. On considère la suite u n , définie pour tout n ∈ N , géométrique de premier terme 2 et de raison 3 . Déterminer les cinq premiers termes de cette suite. E.7189 On considère la suite v n définie par la relation de récurrence : v 0 = 64 ; v n +1 = 1 2 · v n pour tout n ∈ N 1 Quelle est la nature de cette suite? 2 Donner, sans justification, la valeur de v 6 . E.9496 On considère la suite v n géométrique définie par : v 0 = − 2 ; v n +1 = 1 2 · v n pour tout n ∈ N Déterminer les valeurs des 6 premiers termes de la suite v n . E.5122 La suite v n est définie pour tout n ∈ N : Déterminer les quatre premiers termes de la suite v n géométrique de premier terme 3 et de raison − 3 2 . E.10235 Définition: soit u n une suite définie pour tout n ∈ N et soit q ∈ R . On dit que la suite u n est une suite géométrique de raison q si elle vérifie la relation: u n +1 = u n × q pour tout n ∈ N . Soit u n une suite géométrique de raison 3 . Simplifier les expressions suivantes : a 3 × u 10 b u 12 3 c u 5 × 3 2 E.8525 Soit u n une suite géométrique définie pour n ∈ N , de raison 2 et dont le premier terme a pour valeur 3 8 . Déterminer les six premiers termes de cette suite. E.9499 On considère la suite v n , définie pour tout n ∈ N ∗ , géométrique de premier terme 54 et de rai-son 1 3 . Déterminer les quatre premiers termes de la suite v n . 13. Suites géométriques: formule explicite https://chingmath.fr chapExoCorrec/2452 sacados/2452 chapExoCorrec/2428 sacados/2428 chapExoCorrec/8359 sacados/8359 chapExoCorrec/7187 sacados/7187 chapExoCorrec/6523 sacados/6523 chapExoCorrec/9547 sacados/9547 chapExoCorrec/7188 sacados/7188 chapExoCorrec/7189 sacados/7189 chapExoCorrec/9496 sacados/9496 chapExoCorrec/5122 sacados/5122 chapExoCorrec/10235 sacados/10235 chapExoCorrec/8525 sacados/8525 chapExoCorrec/9499 sacados/9499
E.7272 Proposition: soit u n une suite géométrique de premier terme u 0 et de raison q . Pour tout n ∈ N , on a: u n = u 0 × q n Cette relation s’appelle la formule explicite des termes d’une suite géométrique. Soit u n une suite géométrique, définie pour tout n ∈ N de raison 2 et de premier terme 5 Déterminer la valeur de u 8 . E.6531 On considère la suite u n géométrique, définie pour tout n ∈ N , de premier terme 2 4 3 et de raison 3 2 . Déterminer la valeur des termes u 11 et u 28 . E.8049 On considère la suite u n géométrique, définie pour tout entier naturel n , de premier terme 4 et de raison 2 3 . Déterminer, sous forme simplifiée, la valeur du terme u 4 . E.9538 On considère la suite u n , définie pour tout n ∈ N , géométrique de premier terme 3 4 7 6 et de rai-son 3 × 7 2 . Donner l’expression du terme u 10 sous la forme : u 10 = 3 k × 7 où k;‘ ∈ N E.9505 On considère la suite u n définie sur N géométrique de premier terme 2 et de raison 3 4 . Déterminer la valeur du terme de rang 6 . 14. Suites géométriques: formule explicite (étendue) E.10254 On considère la suite géométrique, définie sur N , de premier terme 4 et de raison 3 . Parmi les expressions suivantes, lesquelles représentent le terme u 27 : a u 5 × 3 22 b u 5 × 3 27 c u 31 × 3 4 d u 31 × 3 − 4 E.5123 Définition: soit u n une suite géométrique de raison q et soit k , n deux entiers naturels. On a la relation: u n = u k · q n − k Soit v n une suite géométrique définie pour tout n ∈ N et de raison q . Compléter les expressions suivantes : a u 7 = u 3 × q ... b u 25 = u 11 × q ... c u 3 = u 8 × q ... d u 15 = u 23 × q ... E.8407 On considère la suite u n définie sur N ∗ géométrique de premier terme 5 3 et de raison 5 7 . Déterminer l’expression, sous forme simplifiée, du terme de rang 7 de la suite u n . E.9498 Soit v n une suite géométrique définie pour tout n ∈ N , de raison 3 2 et telle que v 6 =12 . Déter-miner la valeur de v 3 . E.9497 Soit v n une suite géométrique, définie pour n ∈ N , de raison 1 2 et telle que v 7 =3 2 × 2 3 . Déter-miner la valeur de v 20 . E.7275 Soit u n une suite géométrique, définie pour tout n ∈ N de raison 3 et telle que : u 7 = 3 2 × 2 2 Déterminer la valeur de u 2 . 15. Suites géométriques: déterminer le rang d’un terme E.10241 Proposition 1: Soit m et n deux entiers et un nombre a strictement positif tels que a m = a n alors m = n . Proposition 2: (admise) Soit x et y deux nombres strictement positifs tels qu’il ex-iste un entier n non-nul tel que x n = y n . Si n est impair alors x = y . Si n est pair alors x = y ou x = − y . 1 Pour chaque égalité, déterminer la valeur de l’entier n : a 2 n = 64 b 3 n = 81 c 3 4 n = 27 64 2 Pour chaque égalité, déterminer la ou les valeurs possi-bles du nombre réel x tels que : a x 3 = 1 8 b x 4 = 81 625 c x 2 = 36 49 E.9504 On considère la suite u n définie sur N ∗ géométrique de premier terme 5 3 et de raison 5 7 . Déterminer le rang du terme ayant pour valeur 5 12 7 9 https://chingmath.fr chapExoCorrec/7272 sacados/7272 chapExoCorrec/6531 sacados/6531 chapExoCorrec/8049 sacados/8049 chapExoCorrec/9538 sacados/9538 chapExoCorrec/9505 sacados/9505 chapExoCorrec/10254 sacados/10254 chapExoCorrec/5123 sacados/5123 chapExoCorrec/8407 sacados/8407 chapExoCorrec/9498 sacados/9498 chapExoCorrec/9497 sacados/9497 chapExoCorrec/7275 sacados/7275 chapExoCorrec/10241 sacados/10241 chapExoCorrec/9504 sacados/9504
E.9506 On considère la suite u n géométrique, définie pour tout entier naturel n , de premier terme 4 et de raison 2 3 . À l’aide de la calculatrice, déterminer la valeur du rang n vérifiant : u n = 8 192 177 147 E.9507 On considère la suite u n géométrique, définie pour tout n ∈ N , de premier terme 2 4 3 et de raison 3 2 . Pour chaque question, déterminer le rang n réalisant l’égalité: a u n = 3 8 2 5 b u n = 3 19 2 16 16. Suites géométriques: éléments caractéristiques E.8526 Soit v n une suite géométrique, définie pour tout n ∈ N , de raison q et dont on connait les deux termes : v 11 = 4 7 ; v 14 = 27 14 1 a Compléter la relation ci-dessous : v 14 = v 11 × : : : b En déduire la valeur de la raison de la suite v n . 2 Déterminer la valeur du premier terme de la suite v n . E.2401 On considère w n une suite géométrique définie pour tout n ∈ N et telle que : w 0 = 5 ; w 3 = 40 Déterminer la raison de la suite u n . E.10239 On considère la suite w n géométrique, définie pour tout n ∈ N et telle que : w 3 = 3 8 ; w 6 = − 3 64 Déterminer les éléments caractéristiques de la suite w n . E.9500 Soit v n , définie pour tout n ∈ N , une suite géométrique dont on connait les deux termes : v 4 = 8 ; v 7 = 64 27 Donner, en justifiant votre démarche, les éléments caractéris-tiques de cette suite. E.9501 On considère la suite v n , définie pour tout n ∈ N ∗ , géométrique dont on connait les valeurs des deux termes suivants : v 4 = 96 ; v 7 = 3 2 Déterminer le premier terme v 1 et la raison de cette suite. E.2429 On considère la suite u n géométrique définie pour tout n ∈ N et dont on connait les termes : u 5 = 2 ; u 8 = 27 4 1 Déterminer le premier terme et la raison de cette suite. 2 a Donner l’expression explicite du terme u n en fonc-tion du rang n . b Déterminer le rang du terme valant 16 27 E.5827 Déterminer les progressions géométriques de sept termes (à termes réels) telles que la somme des trois premiers termes est égale à 2 et la somme des trois derniers termes est égale à 1 250 E.9502 Soit v n une suite géométrique définie pour tout n ∈ N et dont les termes de rangs 4 et 8 valent respectivement 3 et 16 27 . Déterminer les deux valeurs possibles de la raison. Donner la valeur du premier terme de ces deux suites. E.2412 Soit u n une suite définie pour tout n ∈ N dont on connait la valeur des deux termes suivants : u 6 = 36 ; u 10 = 9 4 Montrer qu’il existe au moins deux suites géométriques véri-fiant ces conditions. E.10240 On considère la suite w n géométrique définie pour tout n ∈ N et telle que : w 124 = 2 × 10 − 4 ; w 128 = 1 8 On remarquera qu’il existe deux suites vérifiant ces conditions. On déterminera les éléments caractéristiques de chacune de ces suites. 17. Reconnaitre une suite géométrique E.9482 On considère la suite v n , définie pour tout n ∈ N , dont les premiers termes sont notés dans le tableau ci-dessous : n 0 1 2 3 4 v n 96 48 24 12 6 Parmi les quatre relations proposées, seulement deux d’entre elles permettent de retrouver les cinq premiers termes de la suite v n . Lesquelles ? a v n +1 = 2 · v n b v n +1 = 1 2 · v n c v n = 96 × 1 2 n d v n = 1 2 × 96 n https://chingmath.fr chapExoCorrec/9506 sacados/9506 chapExoCorrec/9507 sacados/9507 chapExoCorrec/8526 sacados/8526 chapExoCorrec/2401 sacados/2401 chapExoCorrec/10239 sacados/10239 chapExoCorrec/9500 sacados/9500 chapExoCorrec/9501 sacados/9501 chapExoCorrec/2429 sacados/2429 chapExoCorrec/5827 sacados/5827 Bac Khmer Juin 1969 chapExoCorrec/9502 sacados/9502 chapExoCorrec/2412 sacados/2412 chapExoCorrec/10240 sacados/10240 chapExoCorrec/9482 sacados/9482
E.9503 On considère la suite v n , définie pour tout n ∈ N , dont les premiers termes sont : v 0 = 8 ; v 1 = 4 ; v 2 = 2 ; v 3 = 1 2 Justifier que la suite v n n’est pas une suite arithmétique. E.6524 On considère les deux suites de nom-bres ci-dessous où sont donnés les six premiers termes : a 8 ; 4 ; 2 ; 1 ; 1 2 ; 1 4 b 1 ; 3 ; 9 ; 18 ; 54 ; 162 Pour chacune des questions, peut-on conjecturer que la suite est une suite géométrique? Si oui, préciser le premier terme et la raison. Sinon, justifier votre rejet de la conjecture. E.9546 On considère la suite u n définie pour tout entier n ∈ N par : u n = 4 × 3 n Remarque: pour tout entier n ∈ N , u n est non-nul. Ce qui s’écrit aussi : ∀ n ∈ N , u n = 0 1 Soit n ∈ N , simplifier l’expression u n +1 u n . 2 En déduire la nature de la suite u n , ainsi que ses élé-ments caractéristiques. E.7274 Pour chaque question est définie une suite u n pour tout entier naturel n . Dire si cette suite géométrique ou non en justifiant votre réponse et en donnant, le cas échéant, ses éléments caractéristiques : a u n = 3 · n + 1 b u n = 5 n + 5 n +1 c u n = 2 × 4 n 3 n +1 d u n = n n +1 E.7273 On considère les deux suites u n et v n définies pour tout entier naturel n explicitement par : u n = 2 n +2 + 2 n ; v n = 4 n +1 3 n Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de cha-cune de ces deux suites. 18. Suites arithmétiques et modélisation E.9585 Un constructeur automobile décide de réduire sa production de voiture thermique. Actuellement, sa production est de 80 000 voitures par mois et il décide de la réduire de 3 000 voitures chaque mois. On décide de noter u 0 la production actuelle de voiture thermique de cette en-treprise et on note u n sa production au bout de n mois (où n ∈ N ) . 1 Préciser la nature de la suite u n ainsi que ces éléments caractéristiques. 2 Donner une formule de récurrence et la formule explicite de la suite u n . 3 Combien faut-il attendre de mois pour que sa production de voitures thermiques passe sous le nombre de 10 000 unités produites par mois? Indication : toute trace de recherche, même incom-plète sera prise en compte dans cette question. 19. Suites géométriques et modélisation E.7260 En 2012 , la population d’un pays est estimé à 45 ; 5 millions d’habitants. On considère que cette population décroit de 3 % chaque année. On note u n la population de ce pays à l’année 2012+ n . On vient ainsi de créer une suite u n défini sur N . 1 Déterminer la population de ce pays en 2013 et 2014 ar-rondies au millier près. 2 a Donner la nature et les éléments caractéristiques de cette suite. b Donner l’expression du terme u n en fonction de son rang n . 3 Déterminer la population de ce pays en 2020 arrondie au millier d’habitants près. E.7024 Un site internet propose à ses abonnés des films à télécharger. Lors de son ouverture, 500 films sont proposés et chaque mois, le nombre de films proposés aux abonnés augmente de 6 % . On modélise le nombre de films proposés par une suite géométrique u n où n désigne le nombre de mois depuis l’ouverture du site. On a donc u 0 =500 . 1 Calculer u 1 et u 2 et donner le résultat arrondi à l’unité. 2 Exprimer u n en fonction de n . 3 Déterminer la valeur du terme de rang 6 arrondie à l’unité. https://chingmath.fr chapExoCorrec/9503 sacados/9503 chapExoCorrec/6524 sacados/6524 chapExoCorrec/9546 sacados/9546 chapExoCorrec/7274 sacados/7274 chapExoCorrec/7273 sacados/7273 chapExoCorrec/9585 sacados/9585 chapExoCorrec/7260 sacados/7260 chapExoCorrec/7024 sacados/7024
E.7270 Le fonctionnement de cer-taines centrales géothermiques repose sur l’utilisation de la chaleur du sous-sol. Pour pouvoir exploiter cette chaleur na-turelle, il est nécessaire de creuser plusieurs puits suffisam-ment profonds. Lors de la construction d’une telle centrale, on modélise le tarif pour le forage du premier puits par la suite u n définie pour tout entier naturel n non nul, par : u n = 2000 × 1 ; 008 n − 1 où u n représente le coût en euros du forage de la n -ième dizaine de mètres. On a ainsi u 1 =2000 et u 2 =2016 , c’est-à-dire que le forage des dix premiers mètres coûte 2 000 euros, et celui des dix mètres suivants coûte 2 016 euros. Dans tout l’exercice, arrondir les résultats obtenus au cen-tième. 1 Calculer u 3 puis le coût total de forage des 30 premiers mètres. 2 Pour tout entier naturel n non nul : a Exprimer u n +1 en fonction de u n et préciser la nature de la suite u n . b En déduire le pourcentage d’augmentation du coût du forage de la ( n +1) -ième dizaine de mètres par rapport à celui de la n -ième dizaine de mètres. E.2928 Ci-dessous sont représentés les six premiers ˇ flocons de Helge Von Koch ı représentant un des fractales les plus simples : Pour passer d’une construction à la suivante, on réalise la manipulation suivante sur chaque segment : Chaque segment est partagé en trois parties égales (étape 1) . On construit un triangle équilatéral sur le segment du milieu (étape 2) . On efface le segment du milieu (étape 3) . 1 a Le passage de l’étape n o 0 à l’étape n o 1 fait appa-raître un triangle équilatéral. Surligner ce triangle en rouge. b Combien de segment comprend la figure de l’étape n o 1 ? Combien de triangles équilatéraux apparaîtront à l’étape n o 2 ? Surligner ces triangles en rouge. 2 On note u n la suite numérique dont le terme de rang n est le nombre de segments composant la figure à l’étape n ième : a Justifier par une phrase que la suite u n vérifie la relation: u n +1 = 4 · u n b Exprimer le terme u n en fonction de son rang n . c Combien de segments comprend la figure de l’étape n o 5 ? 3 On suppose que le segment [ AB ] initial a pour longueur 1 . On note v n la suite numérique dont le terme de rang n est la longueur de la ligne polygone formant la figure à l’étape n ième : a Justifier par une phrase que la suite v n vérifie la re-lation: v n +1 = 4 3 · v n b Exprimer le terme v n en fonction de son rang n . 20. Reconnaitre une suite arithmétique et géométrique E.5859 Les trois suites ci-dessous sont définies pour tout entier n naturel : 1 Justifier brièvement que les premiers termes de la suite u n présentés ci-dessous peuvent être les termes d’une suite arithmétique dont on précisera la raison : u 0 = 2 ; u 1 = 9 2 ; u 2 = 7 ; u 3 = 19 2 2 Justifier brièvement que les premiers termes de la suite v n présentés ci-dessous peuvent être les termes d’une suite géométrique dont on précisera la raison : v 0 = 24 ; v 1 = 6 ; v 2 = 3 2 ; v 3 = 3 8 3 Justifier brièvement que les premiers termes de la suite w n ne représentent ni les premiers termes d’une suite arithmétique, ni les premiers termes d’une suite géométrique w 0 = 1 ; w 1 = 2 ; w 2 = 4 ; w 3 = 16 E.2402 Ci-dessous sont données les quatre premiers termes de cinq suites définies pour tout entier na-turel : 1 u 0 = 3 ; u 1 = 7 ; u 2 = 11 ; u 3 = 15 2 v 0 = 54 ; v 1 = 6 ; v 2 = 2 3 ; v 3 = 2 27 3 w 0 = 2 ; w 1 = − 6 ; w 2 = 18 ; w 3 = − 54 4 a 0 = 3 ; 25 ; a 1 = 5 ; a 2 = 6 ; 75 ; a 3 = 8 ; 25 5 b 0 = 2 ; b 1 = 4 ; b 2 = 8 ; b 3 = 16 Parmi ces suites, pour lesquelles peut-on conjecturer qu’elle soit arithmétique? géométrique? ou alors peut-on affirmer qu’elle ne soit ni arithmétique, ni géométrique. https://chingmath.fr chapExoCorrec/7270 sacados/7270 chapExoCorrec/2928 sacados/2928 ABEtape no0 ABEtape no1 ABEtape no2 ABEtape no3 ABEtape no4 ABEtape no5 Etape0Etape1Etape2Etape3 chapExoCorrec/5859 sacados/5859 chapExoCorrec/2402 sacados/2402
E.1098 On considère les deux suites u n et v n , où leurs rangs sont des entiers naturels positifs ou nuls ( n ∈ N ) , définies par les relations suivantes : u n = n 2 − 2 · n + 2 v 0 = 5 ; v n +1 = v n 2 − 3 · v n 1 Déterminer les quatre premiers termes de chacune de ces deux suites. 2 Justifier que ces deux suites ne sont ni des suites arith- métiques, ni des suites géométriques. E.7307 1 On considère la suite u n définie par : u n = n 2 + n + 2 pour tout entier n ∈ N Établir que la suite u n n’est pas une suite géométrique. 2 On considère la suite v n définie par : v n = 1 n 2 + 2 pour tout entier n ∈ N Établir que la suite v n n’est pas une suite arithmétique. 21. Exercices non-classés E.10343 Les deux parties sont indépen-dantes : Partie A. Fabrice possède une pépinière et met en pot un jeune arbre mesurant 54 cm, 8 mois après que l’arbre a fait sa première feuille. Il l’offre à son fils Alex 4 mois plus tard, l’arbre mesure alors 76 cm. Le père d’Alex lui explique que, chaque mois, la hau-teur de l’arbre augmente de manière constante dès qu’il fait sa première feuille et jusqu’à ce qu’il atteigne sa taille maximale. On note h n la hauteur, en centimètre, de l’arbre n mois après sa première feuille. Ainsi, h 0 est la hauteur de l’arbre lorsqu’il fait sa première feuille. 1 Quels sont les deux termes de la suite ( h n ) donnés dans l’énoncé? (on précisera leur valeur et leur rang) 2 Quelle est la nature de la suite ( h n ) ? Retrouver ses élé-ments caractéristiques. 3 En déduire l’expression de ( h n ) en fonction de n . 4 a Calculer h 24 et interpréter le résultat. b Recopier et compléter le programme Python ci-dessous qui doit afficher en console la valeur du terme h 24 en console : h=... for i in range(...): h = ... print(h) 5 Alex devra replanter l’arbre en sol dès que sa hauteur dé-passera 1 ; 60 m . Déterminer le nombre de mois nécessaire après l’apparition de sa première feuille. Partie B. Soit la suite définie sur N par u n = 3 n 2 + 16 n + 5 n + 5 . 1 Factoriser le numérateur. 2 Simplifier l’expression du terme u n . 3 Prouver que la suite est arithmétique. Donner son pre-mier terme et sa raison. https://chingmath.fr chapExoCorrec/1098 sacados/1098 chapExoCorrec/7307 sacados/7307 chapExoCorrec/10343 sacados/10343 From Maud Saveur