Première spécialité / Trigonométrie 27 exercices corrigés

a
ChingQuizz : 1 exercice disponibles pour l’evaluation par QCM : 1. Rappels E.6038 On considère le triangle ABC rectangle en B représenté ci-dessous : 1 Déterminer la longueur du segment [ BC ] ar-rondie au millimètre près. 2 En déduire la mesure de l’angle CDB arrondie au degré près. E.2182 On considère un triangle ABC rectangle en C . On note : ¸ = CAB ; ˛ = ABC 1 Justifier que les angles CAB et CBA sont deux angles complémentaires. 2 a À l’aide des longueurs des côtés du triangle ABC , exprimer les valeurs de cos ¸ et sin ˛ . b En déduire l’égalité: cos ¸ = sin ı 2 − ¸ 3 a À l’aide des longueurs des côtés du triangle ABC , exprimer les valeurs de tan ¸ et tan ˛ . b En déduire l’égalité: tan ı 2 − ¸ = 1 tan ¸ 4 Établir l’égalité: cos ¸ 2 + sin ¸ 2 = 1 2. Radians E.534 Dans un repère orthonormé ( O ; I ; J ) , on considère un cer-cle de centre O et de rayon 1 (ce cercle passe par les points I et J ) . Un point M du cercle est repéré par la mesure de l’angle MOI 1 a Donner la mesure de la circonférence du cercle. b Compléter le tableau suivant : Valeur de ¸ 0 360 180 90 Longueur de l’arc IM c Que peut-on dire du tableau ci-dessus? 2 À l’aide de la proportionnalité, compléter le tableau ci-dessous : Valeur de ¸ 36 45 60 30 Longueur de l’arc IM E.2203 1 Déterminer la mesure exacte en radian des angles suiv-ants : a 90 o b 60 o c 45 o d 30 o e 72 o f 1 o 2 Déterminer la mesure exacte en degré des angles suiv-ants : a ı 2 rad b ı 3 rad c ı 6 rad d 3 · ı 5 rad e ı 12 rad f 3 · ı 4 rad 3 Effectuer les conversions ci-dessous, arrondie au millième de l’unité près : a 66 o ≈ : : : rad b 137 o ≈ : : : rad c 2 rad ≈ : : : o d 0 ; 69 rad ≈ : : : o https://chingmath.fr quizzChap/1124 chapExoCorrec/6038 sacados/6038 ABCD60o¸4cm8;9cm chapExoCorrec/2182 sacados/2182 ¸˛ACB chapExoCorrec/534 sacados/534 OIJCM¸ chapExoCorrec/2203 sacados/2203
E.2721 Ci-dessous sont représentées deux droites graduées représentant les mesures d’un angle en ra-dian sur l’intervalle 0 ; 2 ı . 1 2 Compléter la graduation du bas (représentant une mesure d’angle en radian) , puis compléter les valeurs du haut représentant la conversion correspondante en degré : E.2188 On a représenté ci-dessous les neuf premiers polygones réguliers inscrit dans le cercle trigonométrique. 1 Donner la mesure, en radians, de l’angle au centre sé-parant deux sommets consécutifs de chacun de ces poly-gones : 2 Nommer chacun de ces polygones. 3. Angles remarquables E.2180 Soit ABC un triangle équilatéral dont la mesure des côtés vaut 1 cm . On note I le milieu du segment [ BC ] . 1 Que représente la droite ( AI ) dans le triangle ABC ? 2 Compléter le tableau ci-dessous : CIA CAB CAI IAC Mesure en radian 3 a À l’aide du théorème de Pythagore, démontrer que : AI = 3 2 cm . b Dans le triangle AIC , déterminer le sinus, le cosinus et la tangente des angles IAC et ICA . Puis, compléter le tableau suivant : ¸ ı 6 rad ı 3 rad cos ¸ sin ¸ tan ¸ https://chingmath.fr chapExoCorrec/2721 sacados/2721 0ı2ı120oı2 0ı2ı135oı2 chapExoCorrec/2188 sacados/2188 OaIABObIABCOcIABCD OdIABCDEOeIABCDEFOfIABCDEFG OgIABCDEFGHOhIABCDEFGHJOiIABCDEFGHJK chapExoCorrec/2180 sacados/2180 ABCI1cm
E.2181 On considère le triangle rectangle-isocèle en C tel que BC =1 cm . 1 Compléter le tableau suivant : ACB CAB Mesure en radian 2 a À l’aide du théorème de Pythagore, déterminer la mesure du côté [ AB ] . c Dans le triangle rectangle ABC , déterminer le sinus, le cosinus et la tangente de l’angle CAB , puis compléter le tableau suivant : ¸ cos ¸ sin ¸ tan ¸ ı 4 rad E.10534 Proposition: tableau trigonométrique des angles remar-quables : ¸ 0 ı 6 ı 4 ı 3 ı 2 cos ¸ 1 √ 3 2 √ 2 2 1 2 0 sin ¸ 0 1 2 √ 2 2 √ 3 2 1 tan ¸ 0 √ 3 3 1 √ 3 × 4. Angles remarquables E.7550 On considère la figure ci-dessous, où C est un demi-cercle de centre O et admettant le segment [ IA ] pour diamètre : Les autres points présents sur cette figure appartiennent au demi-cercle C et vérifient les propriétés suivantes : Le triangle OAD est un triangle équilatéral; Le triangle OCM est un triangle rectangle isocèle en C ; Le triangle AEO est un triangle rectangle en O ; La demi-droite [ OB ) est la bissectrice de l’angle DOA ; Le point F est l’image du point D par la symétrie d’axe ( EO ) ; Les mesures des angles AOG et AOC sont supplémen-taires ; Le point H est le point d’intersection du demi-cercle C avec la droite parallèle à la droite ( AI ) et passant par le point B . Donner la mesure exacte des angles ci-dessous en radian : a AOB b AOC c AOD d AOE e AOF f AOG g AOH h AOI 5. Introduction au cercle trigonométrique E.533 On considère le plan muni du repère orthonormé O ; I ; J . Soit C le cercle de centre O et de rayon 1 : ce cercle s’appelle le cercle trigonométrique . https://chingmath.fr chapExoCorrec/2181 sacados/2181 ABC1cm sacados/10534 chapExoCorrec/7550 sacados/7550 ABHIOCDEFGM chapExoCorrec/533 sacados/533 OIJCMNMxMyNy¸o
On considère la tangente (Δ) au cercle C passant par le point I et perpendiculaire à l’axe des abscisses. On place un point M sur le cercle C , on note : On repère ce point par l’angle ¸ = IOM M x le projeté orthogonal de M sur l’axe ( OI ) ; M y le projeté orthogonal de M sur l’axe ( OJ ) ; On repère ainsi le point M par l’angle qu’il définit : on note M ( ¸ ) , ou par ses coordonnées cartésiennes M ( M x ; M y ) . Le point N , s’il existe, est l’intersection de la droite (Δ) avec la droite ( OM ) . On note : N y le projeté orthogonal de N sur ( OJ ) ; 1 On se place dans le triangle OMM x : a Quelle est la nature du triangle OMM x ? Justifier. b Établir les égalités suivantes : cos ¸ = OM x ; sin ¸ = MM x 2 Dans le triangle ONI rectangle en I , établir l’égalité suiv-ante : tan ¸ = NI 3 Relativement à l’angle ¸ , dire ce que représentent les longueurs OM x , OM y et ON y . 4 Aux vues du travail effectué précédemment, justifier l’égalité: cos ¸ 2 + sin ¸ 2 = 1 E.2183 On considère le plan muni du repère orthonormé O ; I ; J . Soit C le cercle de centre O et de rayon 1 : ce cercle s’appelle le cercle trigonométrique . On considère la tangente (Δ) au cercle C passant par le point I et perpendiculaire à l’axe des abscisses. On place un point M sur le cercle C , on note : On repère ce point par l’angle ¸ = IOM M x le projeté orthogonal de M sur l’axe ( OI ) ; M y le projeté orthogonal de M sur l’axe ( OJ ) ; On repère ainsi le point M par l’angle qu’il définit : on note M ( ¸ ) , ou par ses coordonnées cartésiennes M ( M x ; M y ) . Le point N , s’il existe, est l’intersection de la droite (Δ) avec la droite ( OM ) . On note : N y le projeté orthogonal de N sur ( OJ ) ; 1 On se place dans le triangle OMM x : a Quelle est la nature du triangle OMM x ? Justifier. b Établir les égalités suivantes : cos ¸ = OM x ; sin ¸ = MM x 2 Dans le triangle ONI rectangle en I , établir l’égalité suiv-ante : tan ¸ = NI 3 Relativement à l’angle ¸ , dire ce que représente l’abscisse du point M , l’ordonnée du point M et l’ordonnée du point N . 4 Établir l’identité: cos ¸ 2 + sin ¸ 2 = 1 https://chingmath.fr chapExoCorrec/2183 sacados/2183 OIJCMNMxMyNy¸o
E.597 Sur le cercle trigonométrique, le point M est repéré à partir de l’angle ¸ et le point M est repéré à l’aide de l’angle ¸ +90 . 1 a Donner en fonction de ¸ , la mesure de l’angle x OM . b En déduire la mesure de l’angle M OJ . 2 Trouver des relations entre les valeurs de cos ¸ , cos( ¸ + 90) , sin ¸ et sin( ¸ +90) . E.596 On considère le plan muni du repère orthonormé O ; I ; J . Soit C le cercle de centre O et de rayon 1: ce cercle s’appelle le cercle trigonométrique . On considère la droite (Δ) passant par le point I et perpendiculaire à l’axe des abscisses. On considère le point M du plan appartenant au cercle C , l’angle MOI mesure ¸ degré. 1 Donner une relation faisant intervenir la longueur x et la mesure de l’angle ¸ . 2 Faîtes de même avec la longueur y et l’angle ¸ . 3 a En étudiant le rapport NI OI , donner une relation dans le cercle trigonométrique entre la longueur z et l’angle ¸ . b Comment s’appelle la droite (Δ) relativement au cercle C https://chingmath.fr chapExoCorrec/597 sacados/597 OIJCMNxyz¸oMNxyz180−¸o chapExoCorrec/596 sacados/596 OIJCMNxyz¸o
E.595 Le plan est muni d’un repère orthonor-mal ( O ; I ; J ) . On appelle cercle trigonométrique, le cercle de centre O l’origine du repère et de rayon 1. Pour caractériser tout point M du cercle, on mesure l’angle MOI . C’est le début des repères polaires où chaque point sera caractérisé de manière unique relativement à leur distance à l’origine du repère et l’angle cité précédemment. Un angle aura une valeur positive si on parcourt l’arc IM dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Et l’angle sera négatif, si on parcourt ce même arc dans le sens des aigu-illes d’une montre. Tout point du cercle peut être repéré par un angle. Mais, on peut facilement associer deux angles à un seul point : De même, on pourra parler également d’angle faisant plus d’un tour. Mais, la géométrie plane n’étudie pas des figures dynamiques, mais plutôt des configurations fixes du plan, par-ler d’un angle de 390 o et de 30 o revient au même Que peut-on dire des points caractérisés par les angles : 30 o ; − 330 o ; 390 o 6. Angles associés E.7704 On munit le plan d’un repère or-thonormé O ; I ; J et on considère le cercle trigonométrique ci-dessous : où sont représentés les points M du cercle trigonométrique dont la mesure principale de l’angle orienté −→ OI ; −−→ OM est un angle remarquable. Donner la valeur exacte des rapports ci-dessous : a cos ı 6 b cos ı 4 c cos 5 ı 6 d cos ı e sin − ı 4 f sin 2 ı 3 g sin − 5 ı 6 h sin ı 2 E.2871 1 Tracer un cercle trigonométrique et placer les points suiv-ants dont le repérage par leur mesure principale : a A 2 ı 3 b B − 3 ı 4 c C 5 ı 6 d D ı 4 e E − ı 4 f F − ı 6 2 Préciser les valeurs du cosinus et du sinus associées à chacun des angles repérant les points précédents. https://chingmath.fr chapExoCorrec/595 sacados/595 OIJCM53oM−30o− OIJCM220o−140o chapExoCorrec/7704 sacados/7704 OIJπ6π4π32π33π45π6-π6-π4-π3-2π3-3π4-5π6 chapExoCorrec/2871 sacados/2871
E.2179 On considère le cercle trigonométrique C dans le plan muni d’un repère O ; I ; J 1 a Déterminer les co-ordonnées cartésiennes du point M . b Placer le point M im-age du point M par la symétrie d’axe ( OJ ) . Donner les coordonnées cartésiennes du point M . Puis, donner l’angle repérant le point M dans le cercle C . c Placer le point M  image du point M par la symétrie d’axe ( OI ) . Donner les coordonnées cartésiennes du point M  . Puis, donner l’angle repérant le point M  dans le cercle C . 2 a Déterminer les coordonnées cartésiennes du point N . b Placer le point N image du point N par la symétrie d’axe ( OJ ) . Donner les coordonnées cartésiennes du point N . Puis, donner l’angle repérant le point N dans le cercle C . c Placer le point N  image du point N par la symétrie d’axe ( OI ) . Donner les coordonnées cartésiennes du point N  . Puis, donner l’angle repérant le point N  dans le cercle C . E.6574 1 Dans les quatre cas suivants, un point M est placé sur le cercle trigonométrique repéré par un angle ¸ . On rap-pelle qu’on note alors: IOM = ¸ ou M ¸ . À partir de ce point M est placé un nouveau point M : Exprimer l’angle repérant le point M en fonction de ¸ . 2 Nous utiliserons la définition et les propriétés suivantes : Définition: Deux triangles sont isométriques si leurs côtés sont deux à deux de même mesure. Proposition: Si deux triangles ont un côté de même longueur, adjacent à deux angles respectivement égaux alors ces deux triangles sont isométriques Justifier, dans chaque cas, que le triangle présenté en trait plein et le triangle présenté en pointillés sont isométriques. 3 Ouvrir le fichier ˇ angleAssocie.ggb ı. https://chingmath.fr chapExoCorrec/2179 sacados/2179 OIJMπ6Nπ3 chapExoCorrec/6574 sacados/6574 aOIJM¸−¸MbOIJM¸McOIJM¸MdOIJM¸−¸M aOIJMMbOIJMMcOIJMMdOIJMM
Modifier la position du point M et observer la relation entre les coordonnées du point M et M dans chacun des cas. 4 Indiquer sur la figure les coordonnées du point M en fonction des coordonnées ( x ; y ) du point M : E.591 Sur le cercle trigonométrique, on repère le point M et M relativement à partir des IOM et IOM qu’ils forment à partir de l’axe des abscisses. 1 Comparer : cos ¸ et cos( − ¸ ) . 2 Comparer : sin ¸ et sin( − ¸ ) . 3 Comparer : tan ¸ et tan( − ¸ ) . 7. Angles associées 2 E.2235 Formule des angles associés cos( − x ) = cos x sin( − x ) = − sin x cos( ı + x ) = − cos x sin( ı + x ) = − sin x cos( ı − x ) = − cos x sin( ı − x ) = sin x cos ı 2 + x = − sin x sin ı 2 + x = cos x cos ı 2 − x = sin x sin ı 2 − x = cos x Simplifier chacune des expressions suivantes : a cos x − ı b sin x − ı 2 c sin x + ı 2 d cos x + ı 2 E.2229 Simplifier l’écriture de chacune des ex-pressions ci-dessous : a sin 3 ı + x b cos 5 ı 2 − x c cos x − ı 2 d cos ı 2 + x E.8576 Simplifier l’écriture de chacune des ex-pressions ci-dessous : a sin ı − x + cos ı 2 − x b 3 · sin ı + x − 2 · sin ı − x + 4 · sin x − ı E.2244 1 On donne la valeur exacte: cos ı 8 = 2+ 2 2 . a En utilisant la formule cos x 2 + sin x 2 =1 , déterminer la valeur exacte de sin ı 8 . b En déduire la valeur exacte de cos 5 ı 8 en justifiant votre démarche. c Établir l’égalité: tan ı 8 = 3 − 2 2 . 2 On considère l’expression suivante : A = cos 9 ı 8 − 3 · sin 5 ı 8 + 2 · cos 7 ı 8 Déterminer une écriture de l’expression de A en fonction des rapports trigonométriques de l’angle ı 8 . 8. Relation entre cosinus et sinus https://chingmath.fr aOIJMxyMbOIJMxyMcOIJMxyMdOIJMxyM chapExoCorrec/591 sacados/591 OIJCMNxyz¸oMNxyz−¸o chapExoCorrec/2235 sacados/2235 chapExoCorrec/2229 sacados/2229 chapExoCorrec/8576 sacados/8576 chapExoCorrec/2244 sacados/2244
E.528 Dans le plan muni d’un repère orthonormé et pour ¸ ∈ R , on considère deux points M ( ¸ ) et M ¸ + ı 2 du cercle trigonométrique. 1 À l’aide des coordon-nées des points fig-urant sur la figure, donner les valeurs du cosinus, sinus et tangente pour les an-gles ¸ et ¸ + ı 2 . 2 a Par quelle transformation, le triangle OMM x a pour image le triangle OM M y ? b En déduire les valeurs de cos ¸ + ı 2 et sin ¸ + ı 2 en fonction de cos( ¸ ) et sin( ¸ ) . 3 Nous allons déterminer le signe des différentes valeurs des fonctions trigonométriques pour les angles ¸ et ¸ + ı 2 . Ceci afin de s’assurer de la validité des formules trouvées à la question 2 quelle que soit la valeur de l’angle ¸ : cos ¸ sin ¸ tan ¸ ¸ ∈ 0 ; ı 2 ¸ ∈ ı 2 ; ı ¸ ∈ − ı ; − ı 2 ¸ ∈ − ı 2 ; 0 cos ¸ + ı 2 sin ¸ + ı 2 tan ¸ + ı 2 ¸ ∈ 0 ; ı 2 ¸ ∈ ı 2 ; ı ¸ ∈ − ı ; − ı 2 ¸ ∈ − ı 2 ; 0 On en déduit que : tan ¸ + ı 2 = sin ¸ + ı 2 cos ¸ + ı 2 = cos ¸ − sin ¸ = − tan ¸ . Question subsidiaire: Nous allons montrer d’une autre manière que : tan ¸ + ı 2 = − 1 tan ¸ : 4 a Exprimer ON en fonction de ¸ . b En utilisant le fait que cos ı 2 − ¸ =sin ¸ , exprimer la valeur de ON en fonction de ¸ . c En déduire l’aire du triangle ONN . 5 En utilisant le fait que ( OI ) est la hauteur du triangle ONN issue de O , exprimer l’aire du triangle ONN d’une autre façon. 6 Établir la formule suivante : IN + tan ¸ = 1 cos ¸ × 1 sin ¸ 7 En déduire la relation: tan ¸ + ı 2 = − 1 tan ¸ . https://chingmath.fr chapExoCorrec/528 sacados/528 OIJCMNMxMyNy¸MNMxMyNy¸ı2 OIJCM¸M OIJCM¸M OIJCM¸M OIJCM¸M
E.529 Dans le repère orthonormé ( O ; I ; J ) , on considère le cercle C trigonométrique: c’est-à-dire le cercle de centre O et de rayon 1. On note les points M et M respectivement repéré par les angles complémen-taires ¸ et ˛ ¸ + ˛ = ı 2 . On note : M ( ¸ ) et M ( ˛ ) On note ( d ) la bissectrice de l’angle JOI et P le point d’intersection de C avec ( d ) . 1 Dans cette question, nous allons montrer que les deux points M et M sont images l’un de l’autre par la symétrie d’axe ( d ) . Pour cela, notons N l’image du point M par rapport à la symétrie d’axe ( d ) : a Justifier que le point N est un point du cercle C . b Donner la mesure de l’angle JON en fonction de ¸ . En déduire que le point N appartient à la demi-droite [ OM ) . c Justifier que le point M admet le point M pour image par la symétrie d’axe ( d ) . On note M x (resp. M x ) le projeté orthogonal sur l’axe des abscisses et M y (resp. M y ) le projeté orthogonal sur l’axe des ordonnées du point M (resp. M ) . 2 a Établir des liens entre les coordonnées des points M et M dans le repère ( O ; I ; J ) . b En déduire les relations suivantes : cos ¸ = sin ı 2 − ¸ ; sin ¸ = cos ı 2 − ¸ Pour finir l’étude de comparaison du cosinus et du sinus de deux angles complémentaires, il faut aussi voir ce qui se passe si le point M se trouve sur un autre quadrant sur le cercle trigonométrique. On considère deux points M et N du cercle trigonométrique caractérisés respectivement par les angles ¸ et ˛ ainsi que leurs projetés orthogonaux respectifs sur les axes du repère: 3 a Pour chacune des trois figures ci-dessous, établir oralement la véracité de l’assertion ci-dessous : Les angles ¸ et ˛ sont complémentaires si, et seule-ment si, les points M et N sont images l’un de l’autre par la symétrie d’axe ( d ) b Justifier que ceci nous suffit pour établir pour toute valeur de ¸ , les égalités suivantes : cos ¸ = sin ı 2 − ¸ ; sin ¸ = cos ı 2 − ¸ 4 En déduire la relation reliant tan ¸ et tan ı 2 − ¸ . E.538 On considère un repère or-thonormé O ; I ; J ) et le cercle trigonométrique de ce repère: c’est-à-dire le cercle de centre O et de rayon 1. La droite (Δ) est la tangente en I au cercle C . Soit ¸ un nombre réel quelconque. On considère les points M ( ¸ ) et M ( − ¸ ) . Un exemple de cette situation est donnée dans le graphique ci-contre. 1 Pour mettre en évidence, les différentes valeurs des fonc-tions trigonométriques associées aux angles ¸ et − ¸ : a Tracer le projeté orthogonal de M sur la droite ( OI ) . Le nommer M x . b Tracer le projeté orthogonal de M sur la droite ( OJ ) . Le nommer M y . c Nommer N le point d’intersection des droites ( OM ) et (Δ) . Tracer le projeté orthogonal de N sur la droite ( OJ ) . Le nommer N y . d Faîtes de même pour le point M (en plaçant les points M x , M y , N , N y ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/529 sacados/529 OIJCMMxMy¸oMMxMy˛oP(d OIJCMMxMyNxNy¸(dN˛ OIJCMMxMyNxNy¸(dN˛ OIJCMMxMyNxNy¸(dN˛ chapExoCorrec/538 sacados/538 OIJCM¸oM−¸o
2 a Comparer les abscisses des points M et M . b En déduire une relation entre cos ¸ et cos( − ¸ ) ?. 3 a Comparer les ordonnées des points M et M . b En déduire une relation entre sin ¸ et sin( − ¸ ) ?. 4 a Comparer les ordonnées des points N et N . b En déduire une relation entre tan ¸ et tan( − ¸ ) ?. https://chingmath.fr