Première STMG / Nombre dérivée et fonction du second degré 47 exercices (100% corrigés)

a
1. Rappels: fonctions affines E.11341 On considère la fonction affine définie par la relation: f ( x ) = − 1 ; 25 x + 0 ; 25 Dans le repère ci-dessous, on considère les deux points A et B représentés ci-dessous et on note C f la droite représentative de la fonction f : 1 a Justifier que les points A et B appartiennent à la droite C f . b Tracer la droite C f représentative de la fonction f . 2 a Donner une valeur approchée de l’abscisse de l’unique point C de C f ayant − 0 ; 5 pour ordonnée. b Justifier algébriquement que l’antécédent du nombre − 0 ; 5 est 0 ; 6 . E.7370 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = 0 ; 75 x + 1 ; 25 1 Compléter le tableau de valeur ci-dessous : x − 3 − 2 − 1 0 1 2 f ( x ) 2 Représenter la courbe C f de la fonction f dans le repère ci-dessous : E.7371 Proposition: Si le coefficient directeur est positif, la fonction affine est croissante. Si le coefficient directeur est négatif, la fonction affine est décroissante. 1 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = 3 · x + 4 ; 5 a Résoudre l’équation: f ( x )=0 b Compléter le tableau de signes de la fonction f : x −∞ + ∞ f ( x ) 2 On considère la fonction g définie sur R par la relation: g ( x ) = − 2 · x + 0 ; 5 a Résoudre l’équation: g ( x )=0 b Compléter le tableau de signes de la fonction g : x −∞ + ∞ g ( x ) E.7372 Dans chaque cas, on considère la droite ( d ) passant par les points A et B . Déterminer le coefficient directeur de chacune des droites ( d ) . a A (1 ; 2) ; B (5 ; 3) b A ( − 1 ; 2) ; B (3 ; − 2) c A (0 ; 1) ; B (2 ; 5) d A (5 ; 1) ; B (1 ; 4) https://chingmath.fr chapExoCorrec/11341 sacados/11341 x-4-3-2-101234y-2-1123AB chapExoCorrec/7370 sacados/7370 -4-3-2-1234I-2-123JO chapExoCorrec/7371 sacados/7371 chapExoCorrec/7372 sacados/7372
E.7373 Proposition: Soit f une fonction affine passant par les points A ( x A ; y A ) et B ( x B ; y B ) . Le coefficient directeur m de la fonction f a pour valeur: m = y B − y A x B − x A Le graphique suivant présente trois droites représentées dans un repère O ; I ; J orthonormé : On considère les deux points A ( − 2 ; 3) et B (4 ; 0) appar-tenant à la droite ( d 1 ) : 1 a Montrer que le coefficient directeur de la droite ( d 1 ) a pour valeur − 1 2 . b Déterminer l’équation réduire de la droite ( d 1 ) . 2 Déterminer l’équation réduite de la droite ( d 2 ) . E.7374 On considère la fonction f définie par la relation est : f ( x ) = 0 ; 25 · x 2 − 0 ; 5 · x − 2 Dans le plan muni d’un repère orthonormé O ; I ; J , on note C f la courbe représentative de la fonction f : 1 a Effectuer le tracé de la droite ( d ) dont l’équation est : y = 0 ; 5 · x − 3 b Quelle particularité a la droite ( d ) relativement à la courbe C f ? 2 a Effectuer le tracé de la droite (Δ) dont l’équation est : y = − 1 ; 5 · x − 3 b Quelle particularité a la droite (Δ) relativement à la courbe C f ? E.7420 Compléter les tableaux de signe ci-dessous : 1 x −∞ + ∞ 1 − x 2 x + 1 (1 − x )(2 x +1) 2 x −∞ + ∞ x − 3 − 2 x + 4 ( x − 3)( − 2 x +4) https://chingmath.fr chapExoCorrec/7373 sacados/7373 (d1AB(d2-6-4-20246-224J chapExoCorrec/7374 sacados/7374 -3-2-12345I-4-3-2-12JO chapExoCorrec/7420 sacados/7420
E.11342 Compléter les tableaux de signe ci-dessous : 1 x −∞ + ∞ x + 5 − 2 x − 8 x +5 − 2 x − 8 2 x −∞ + ∞ x − 1 4 − x − x − 1 ( x − 1)(4 − x )( − x − 1) E.7421 On considère l’expression algébrique suivante : 2 x + 7 x + 3 − 4 x + 4 2 x + 1 1 Réduire l’expression précédente au même dénominateur. 2 Dresser le tableau de signes de cette expression. 3 En déduire les solutions de l’inéquation: 2 x + 7 x + 3 4 x + 4 2 x + 1 E.11556 1 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = 4 · x − 3 a Résoudre l’équation: f ( x )=0 b Compléter le tableau de signes de la fonction f : x −∞ + ∞ f ( x ) 2 On considère la fonction g définie sur R par la relation: g ( x ) = − 3 · x + 1 ; 8 a Résoudre l’équation: g ( x )=0 b Compléter le tableau de signes de la fonction g : x −∞ + ∞ g ( x ) E.11557 Dans le plan muni d’un repère, on considère la droite (Δ) représentative de la fonction affine : f ( x )=4 x − 1 Parmi les points ci-dessous, lesquels appartiennent à la droite (Δ) ? a A ( − 3 ; − 13) b B (6 ; 23) c C (2 ; 8) d D (0 ; − 2) E.11558 On considère deux fonctions affines f et g vérifiant les égalités suivantes f (1)= − 0 ; 5 ; f ( − 2)=1 ; g ( − 1)= − 1 ; g (1)=0 ; 5 Dans le plan muni d’un repère, on considère les droites C f et C g représentative des fonctions f et g : Pour chacune de ces droites, on a mis en évidence deux de leurs points ainsi qu’un vecteur indiquant la direction de la droite. 1 Déterminer le coefficient directeur de la fonction f . 2 Déterminer le coefficient directeur de la fonction g . 2. Rappels: second degré E.7503 Proposition: les racines d’un polynôme sont les valeurs annulant ce polynôme. Pour un polynôme a · x 2 + b · x + c du second degré, le nombre de racines existantes dépend du discriminant : Résoudre les équations suivantes : a 2 · x 2 − 6 · x + 4 = 0 b 4 · x 2 − 9 · x + 5 = 0 c x 2 + 4 · x + 5 = 0 d 3 · x 2 + 6 · x + 3 = 0 e − x 2 + x − 1 = 0 f − 4 · x 2 − 9 · x − 5 = 0 https://chingmath.fr chapExoCorrec/11342 sacados/11342 chapExoCorrec/7421 sacados/7421 chapExoCorrec/11556 sacados/11556 chapExoCorrec/11557 sacados/11557 chapExoCorrec/11558 sacados/11558 x-3-2-10123y-11CfCgABCD chapExoCorrec/7503 sacados/7503 <0Aucune racine01racine−b2·a>02racines−b−2·a;−b2·a
E.7509 Proposition: le tableau de signes d’un polynôme du sec-ond degré dépend du signe du coefficient du terme du sec-ond degré et du signe du discriminant. Les six possibilités sont représentées ci-dessous : Dresser le tableau de signes de chacune des expressions suiv-antes : a − x 2 + 4 · x + 5 b x 2 − 4 · x + 5 c x 2 + x − 6 d − 4 · x 2 − 4 · x + 8 e 2 · x 2 + 12 · x + 18 f − 4 · x 2 − 6 · x − 2 E.7642 Dresser le tableau de signes de chacun des polynômes du second degré ci-dessous : a − x 2 − 8 · x − 7 b 3 · x 2 + 6 · x − 9 3. Rappels: lecture graphique E.7587 On considère dans le repère O ; −→ i ; −→ j la courbe représentative C f de la fonction f définie sur l’intervalle − 3 ; 5 ; 3 ; 5 : 1 Par lecture graphique, compléter le tableau de valeurs ci-dessous : x − 3 0 1 2 4 f ( x ) 2 Résoudre graphique les équations suivantes : a f ( x ) = 0 b f ( x ) = 2 3 Graphiquement, résoudre les inéquations : a f ( x ) 0 b f ( x ) 2 E.7588 On munit le plan d’un repère et on considère la fonction f définie sur l’intervalle − 1 ; 5 ; 2 ; 5 dont la courbe représentative C f est donnée ci-contre. 1 Compléter, graphiquement, le tableau de valeurs ci-dessous : x − 1 0 0 ; 5 1 1 ; 5 f ( x ) 2 Graphiquement, résoudre les équations : a f ( x ) = 0 b f ( x ) = 2 3 Graphiquement résoudre les inéquations : a f ( x ) 0 b f ( x ) 2 4. Rappels: tableau de variations E.7601 1 On considère la fonction f définie sur l’intervalle − 2 ; 3 par l’expression : f ( x ) = 0 ; 5 · x 2 − x + 2 Ci-dessous est donné le tableau de variations de la fonc-tion f où certaines informations n’ont pas été donnés : 2 On considère la fonction g définie sur l’intervalle − 1 ; 4 par l’expression : g ( x ) = − x 2 + 2 · x − 1 Ci-dessous est donné le tableau de variations de la fonc- https://chingmath.fr chapExoCorrec/7509 sacados/7509 <00>0¸et˛sontlesdeuxracinesa>0a<0x−∞∞x−∞∞−x−∞∞−b/2a0x−∞∞−b/2a0−−x−∞∞αβ00−x−∞∞αβ00−− chapExoCorrec/7642 sacados/7642 chapExoCorrec/7587 sacados/7587 -4-3-2-1234I-2-123JOCf chapExoCorrec/7588 sacados/7588 x-1012y-2-112Cf chapExoCorrec/7601 sacados/7601 −203.........xVariationdef
tion g où certaines informations n’ont pas été donnés : 5. Introduction E.7510 On considère la fonction f du second degré définie pour tout nombre réel x par la relation: f ( x ) = 0 ; 25 · x 2 − x + 1 ; 5 1 La droite ( d 1 ) est une fonction affine ayant pour équation réduite : ( d 1 ) : y = a · x + b où a et b sont deux nombres dérivés. a Donner les coordonnées des points A et B . b Déterminer le coefficient directeur de la droite ( d 1 ) . c En déduire l’expression de l’équation réduite de la droite ( d 1 ) . 2 a Choisir un point C de la droite ( d 2 ) et donner ses coordonnées. b Déterminer l’équation réduite de la droite ( d 2 ) . 6. Fonction dérivée E.7643 Définition: soit f une fonction du second degré définie par l’expression : f ( x ) = a · x 2 + b · x + c où a , b et c sont trois nombres réels avec a =0 . On appelle la fonction dérivée de la fonction f , la fonc-tion f définie par : f ( x ) = 2 a · x + b Recopier et compléter le tableau ci-dessous afin d’obtenir l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f : f ( x )= a · x 2 + b · x + c a b c f ( x )=2 a · x + b − 2 · x 2 − x + 1 0 ; 25 · x 2 + x − 1 x 2 − x − 4 · x 2 − 2 E.7742 Recopier et compléter le tableau ci-dessous afin d’obtenir l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f : f ( x )= a · x 2 + b · x + c a b c f ( x )=2 a · x + b 2 · x 2 − 3 · x + 1 − 2 · x 2 + 0 ; 25 · x − 1 2 · x 2 − 3 3 · x 2 + 2 · x E.7551 Donner l’expression des fonctions f des fonctions f du second degré définies ci-dessous : a f ( x ) = 2 · x 2 + x − 1 b f ( x ) = 4 · x 2 + 8 · x + 4 c f ( x ) = x 2 − 3 · x + 3 d f ( x ) = − 2 · x 2 + 2 e f ( x ) = − x 2 − 3 · x + 4 f f ( x ) = 0 ; 4 x 2 + x − 4 https://chingmath.fr −114.........xVariationdeg chapExoCorrec/7510 sacados/7510 -3-2-10123456-11234Cf(d3(d2AB chapExoCorrec/7643 sacados/7643 chapExoCorrec/7742 sacados/7742 chapExoCorrec/7551 sacados/7551
E.7552 On considère la fonction f du second degré définie par : f ( x ) = 3 · x 2 − x + 1 1 Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . 2 Calculer les images suivantes par la fonction f : f (2) f (1) f (0 ; 5) f (0) E.7553 On considère la fonction f du second degré dont la courbe représentative est donnée dans le repère ci-dessous : 1 a La droite ( d 1 ) est la tangente à la courbe C f au point de coordonnées (1 ; − 0 ; 5) . Déterminer le coefficient directeur de la droite ( d 1 ) . b La droite ( d 2 ) est la tangente à la courbe C f au point de coordonnées ( − 2 ; − 2) . Déterminer le coefficient directeur de la droite ( d 2 ) . 2 L’expression de la fonction est définie par : f ( x ) = 0 ; 5 · x 2 + x − 2 a Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . b Calculer les images suivantes par la fonction f : f (1) f ( − 2) E.7705 On considère la fonction f définie sur ; par la relation: f ( x ) = − 0 ; 5 · x 2 − 0 ; 25 · x + 1 ; 5 On note C f la représentation de la fonction f dans un repère. 1 a Résoudre l’équation f ( x )=0 b Parmi les quatre représentations de courbes ci-dessous, une seule est la courbe C f . Laquelle? Justifier votre réponse. 2 a Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . b Parmi les quatre propositions ci-dessous, une seule est exacte. Laquelle? Justifier votre réponse. f (2) = − 2 ; 25 f (2) = − 1 ; 75 f (2) = − 1 ; 25 f (2) = − 0 ; 75 E.11616 On considère la fonction f du second degré définie par : f ( x ) = − x 2 + 2 · x − 4 1 Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . 2 Calculer les images suivantes par la fonction f : f (1) f (0) f ( − 2) f ( − 0 ; 5) E.11697 Donner l’expression des fonctions f des fonctions f du second degré définies ci-dessous : 1 f ( x ) = 5 · x 2 − x + 5 2 f ( x ) = − 3 · x 2 − 3 · x + 1 7. Tangente: recherche de l’équation E.7564 On considère la fonction f définie sur − 1 ; 3 par la relation: f ( x ) = 0 ; 5 · x 2 − x − 2 On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère: 1 Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . https://chingmath.fr chapExoCorrec/7552 sacados/7552 chapExoCorrec/7553 sacados/7553 xxyy-5-4-3-2-10123-4-3-2-11Cf(d1(d2 chapExoCorrec/7705 sacados/7705 C1x-3-2-10123y-112 C2x-3-2-10123y-2-11 C3x-3-2-10123y-2-11 C4x-3-2-10123y-112 chapExoCorrec/11616 sacados/11616 chapExoCorrec/11697 sacados/11697 chapExoCorrec/7564 sacados/7564 x-10123y-3-2-11CfABC
2 On note T la tangente à la courbe C f au point d’abscisse 2 . a Déterminer les coordonnées du point A d’abscisse 2 de la courbe C f . b Déterminer le coefficient directeur de la tangente ( T ) . c Déterminer l’équation réduite de la tangente ( T ) . 3 a Donner les coordonnées de deux points appartenant à la tangente ( T ) . b Tracer la tangente ( T ) dans le repère ci-dessus. E.7565 On considère la fonction f définie sur − 5 ; − 1 par la relation: f ( x )= − 0 ; 5 · x 2 − 3 · x − 1 On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère: 1 Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . 2 On note T la tangente à la courbe C f au point d’abscisse − 2 . a Déterminer le coefficient directeur de la tangente C f . b Détermine l’équation réduite de la tangente ( T ) . 3 Tracer la tangente ( T ) dans le repère ci-dessus. E.7589 On considère la fonction f définie sur − 1 ; 3 par la relation: f ( x ) = x 2 − x − 2 ; 5 On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère: 1 Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . 2 On note T la tangente à la courbe C f au point d’abscisse 1 ; 5 . a Déterminer les coordonnées du point A d’abscisse 1 ; 5 de la courbe C f . b Déterminer le coefficient directeur de la tangente ( T ) . c Déterminer l’équation réduite de la tangente ( T ) . 1 a Donner les coordonnées de deux points appartenant à la tangente ( T ) . b Tracer la tangente ( T ) dans le repère ci-dessus. 8. Tangente: utilisation de la formule E.7609 Proposition: soit f une fonction f dérivable en a et no-tons C la courbe représentative de la fonction f dans un repère. La tangente à la courbe C au point d’abscisse a a pour équation réduite : y = f ( a ) · x − a + f ( a ) On considère la fonction f définie pour tout nombre x appar-tenant à l’intervalle 0 ; 7 par : f ( x ) = − 0 ; 5 · x 2 + 3 ; 5 · x − 3 On note C f la courbe représentative de la fonction f dans un repère et A le point d’abscisse 2 appartenant à C f . 1 Donner les coordonnées du point A . 2 Déterminer la valeur du nombre dérivée de la fonction f en x =2 . 3 Déterminer l’équation réduite de la tangente ( T ) à la courbe C f au point A . 4 Tracer la tangente ( T ) dans le repère ci-dessous : https://chingmath.fr chapExoCorrec/7565 sacados/7565 x-5-4-3-2-10y1234Cf chapExoCorrec/7589 sacados/7589 x-10123y-3-2-11Cf chapExoCorrec/7609 sacados/7609 x01234567y-11234Cf
E.7610 On considère la fonction f définie pour tout nombre x appartenant à l’intervalle − 3 ; 1 ; 5 par : f ( x ) = 0 ; 5 · x 2 + 1 ; 5 · x − 1 On note C f la courbe représentative de la fonction f dans un repère et A le point d’abscisse 1 appartenant à C f . 1 Donner les coordonnées du point A . 2 Déterminer la valeur du nombre dérivée de la fonction f en x =1 . 3 Déterminer l’équation réduite de la tangente ( T ) à la courbe C f au point A . 4 Tracer la tangente ( T ) dans le repère ci-dessous : E.7641 On considère la fonction f définie pour tout nombre x appartenant à l’intervalle − 2 ; 5 par : f ( x ) = 0 ; 25 · x 2 − 0 ; 75 · x − 1 On note C f la courbe représentative de la fonction f dans un repère et A le point d’abscisse 2 appartenant à C f . 1 Donner les coordonnées du point A . 2 Déterminer la valeur du nombre dérivée de la fonction f en x =2 . 3 Déterminer l’équation réduite de la tangente ( T ) à la courbe C f au point A . 4 Tracer la tangente ( T ) dans le repère ci-dessous : E.7707 On considère la fonction f définie pour tout nombre x appartenant à l’intervalle − 2 ; 5 par : f ( x ) = 0 ; 5 · x 2 + 0 ; 25 · x − 0 ; 75 On note C f la courbe représentative de la fonction f dans un repère et A le point d’abscisse 1 appartenant à C f . 1 Donner les coordonnées du point A . 2 Déterminer la valeur du nombre dérivée de la fonction f en x =1 . 3 Déterminer l’équation réduite de la tangente ( T ) à la courbe C f au point A . 4 Tracer la tangente ( T ) dans le repère ci-dessous : On indiquera sur la copie les coordonnées des deux points utilisés pour tracer la tangente. 9. Signe du nombre dérivé et variation E.7563 Soit f la fonction du second degré définie sur − 4 ; 4 par la relation: f ( x )= x 2 +5 · x +1 1 a Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . b Résoudre l’équation: f ( x )=0 c Compléter le tableau de signes ci-dessous : x − 4 4 f ( x ) 2 On note C la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère. Laquelle de ces trois courbes est la courbe C : https://chingmath.fr chapExoCorrec/7610 sacados/7610 x-3-2-1012y-4-3-2-11234Cf chapExoCorrec/7641 sacados/7641 x-2-1012345y-2-11Cf chapExoCorrec/7707 sacados/7707 x-4-3-2-10123y-11Cf chapExoCorrec/7563 sacados/7563 xyC1−2;5 xyC2−2;5 xyC3−2;5
E.7566 Soit f la fonction du second degré définie sur − 2 ; 5 par la relation: f ( x )= − x 2 +2 · x +1 1 a Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . b Résoudre l’équation: f ( x ) = 0 c Compléter le tableau de signes ci-dessous : x − 2 5 f ( x ) 2 Parmi les tableaux de variations ci-dessous, lequel est le tableau de variations de la fonction f : a b c E.7602 On considère la fonction f définie sur l’intervalle − 2 ; 5 par l’expression : f ( x ) = 2 · x 2 + x + 1 1 Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . 2 Déterminer la valeur de f (2) . 3 On considère le tableau de variations ci-dessous : Justifier que ce tableau de variations ne peut pas être le tableau de variations de la fonction f . E.11617 On considère la fonction g définie sur l’intervalle − 4 ; 3 par l’expression : g ( x ) = − x 2 + 2 · x − 1 1 Déterminer l’expression de la fonction g dérivée de la fonction g . 2 Déterminer la valeur de g ( − 1) . 3 On considère le tableau de variations ci-dessous : Justifier que ce tableau de variations ne peut pas être le tableau de variations de la fonction g . 10. Etude des variations E.7603 On considère la fonction g définie sur l’intervalle − 3 ; 4 définie par : g ( x ) = − x 2 + 2 · x + 3 1 Déterminer l’expression de la fonction g dérivée de la fonction g . 2 Compléter le tableau de signes ci-dessous : x − 3 4 g ( x ) 3 Compléter le tableau de variations ci-dessous : E.7606 On considère la fonction g définie sur l’intervalle 0 ; 5 par : g ( x ) = 6 · x 2 − 3 · x + 3 1 Donner l’expression de la fonction g dérivée de la fonc-tion g . 2 Étudier le signe de la fonction g sur l’intervalle 0 ; 5 . 3 Dresser le tableau de variations de la fonction g sur 0 ; 5 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/7566 sacados/7566 −215-71-14xVariationdef −215-72-14xVariationdef −2157114xVariationdef chapExoCorrec/7602 sacados/7602 −114.........xVariationde ... chapExoCorrec/11617 sacados/11617 −203.........xVariationde ... chapExoCorrec/7603 sacados/7603 −34xVariationdeg chapExoCorrec/7606 sacados/7606
E.7708 On considère la fonction f définie sur l’intervalle − 3 ; 3 par : f ( x ) = 2 · x 2 − 3 · x + 3 1 Donner l’expression de la fonction f dérivée de la fonc-tion f . 2 Étudier le signe de la fonction f sur l’intervalle − 3 ; 3 . 3 Dresser le tableau de variations de la fonction f sur − 3 ; 3 . E.11634 Méthode: soit f une fonction définie sur un intervalle a ; b dont on notera la fonction f sa fonction dérivée : Si f est positive sur a ; b alors la fonction f est crois-sante : Pour x ∈ a ; b ; f ( x ) 0 = ⇒ f est croissante. Si f est négative sur a ; b alors la fonction f est décroissante : Pour x ∈ a ; b ; f ( x ) 0 = ⇒ f est décroissante. Ainsi, si la fonction f admet le tableau de signes suivant : x a ¸ ˛ b f ( x ) − 0 + 0 − alors la fonction f admet le tableau de variations : On considère la fonction f définie sur l’intervalle 0 ; 10 définie par : f ( x ) = x 2 − 12 · x − 10 1 Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . 2 Compléter le tableau de signes ci-dessous : x 0 10 f ( x ) 3 Compléter le tableau de variations ci-dessous : E.11635 On considère la fonction f définie sur l’intervalle − 4 ; 2 par : f ( x ) = − 2 · x 2 − 4 · x + 3 1 Donner l’expression de la fonction f dérivée de la fonc-tion f . 2 Étudier le signe de la fonction f sur l’intervalle − 4 ; 2 . 3 Dresser le tableau de variations de la fonction f sur − 4 ; 2 . 11. Problèmes E.7709 À l’occasion d’un festival py-rotechnique, un artificier se prépare à lancer des fusées à par-tir d’une plate-forme située à 8 mètres de hauteur. Il dispose de deux types de fusée, notés A et B . Partie A La hauteur, en mètre, atteinte par les fusées de type A en fonction de leur temps de vol x , en dixième de seconde, est modélisée par la courbe ci-dessous. Répondre aux deux questions suivantes avec la précision per-mise par le graphique. 1 Quelle hauteur atteindra la fusée après 0 ; 7 seconde de vol? 2 Pour des raisons de sécurité, la fusée doit exploser à une altitude supérieure à 40 mètres. Déterminer l’intervalle de temps auquel doit appartenir x pour satisfaire cette contrainte. Partie B On modélise la hauteur, en mètre, atteinte par les fusées de type B en fonction de leur temps de vol x , en dixième de sec-onde, par la fonction f définie pour tout réel x appartenant à l’intervalle 0 ; 20 : f ( x ) = − 0 ; 5 · x 2 + 10 · x + 8 Comme dans le cas des fusées de type A , l’explosion des fusées de type B doit avoir lieu lorsque celles-ci sont situées à une altitude supérieure ou égale à 40 mètres. On cherche à déter-miner l’intervalle dans lequel doit se trouver x pour satisfaire à cette contrainte. 1 a Montrer que pour satisfaire à la contrainte posée, x https://chingmath.fr chapExoCorrec/7708 sacados/7708 chapExoCorrec/11634 sacados/11634 010xVariationdef 010xVariationdef chapExoCorrec/11635 sacados/11635 chapExoCorrec/7709 sacados/7709 Temps de vol(en dixième de seconde)02468101214161820222426Hauteur(en mètre)1020304050
doit être solution de l’inéquation: − 0 ; 5 · x 2 +10 · x − 32 0 . b Dresser le tableau de signes de la fonction qui à x asso-cie − 0 ; 5 · x 2 +10 · x − 32 sur l’intervalle 0 ; 20 et répon-dre alors au problème posé. 2 a Pour tout réel x de l’intervalle 0 ; 20 , calculer f ( x ) , f étant la fonction dérivée de f . b L’artificier souhaite connaître le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse 0 de la courbe représentative de f . Donner le coefficient directeur recherché. 3 Pour des raisons d’esthétique, l’artificier souhaite faire exploser ses fusées de type B lorsque celles-ci seront à la hauteur maximale. Quel temps de vol avant l’explosion doit-il alors program-mer? E.7711 On s’intéresse à la trajectoire d’un ballon de basketball lancé par un joueur faisant face au panneau. Cette trajectoire est modélisée dans le repère ci-dessous. Dans ce repère, l’axe des abscisses correspond à la droite pas-sant par les pieds du joueur et la base du panneau, l’unité sur les deux axes est le mètre. On suppose que la position initiale du ballon se trouve au point J et que la position du panier se trouve au point P . La trajectoire du ballon est assimilée à la courbe C représen-tant d’une fonction f . Les coordonnées du ballon sont donc ( x ; f ( x )) . 1 Étude graphique En exploitant la figure ci-dessus, répondre aux questions suivantes : a Quelle est la hauteur du ballon lorsque x =0 ; 5 m ? b Le ballon atteint-il la hauteur de 5 ; 5 m ? 2 Étude de la fonction f La fonction f est définie sur l’intervalle 0 ; 6 par : f ( x ) = − 0 ; 4 · x 2 + 2 ; 2 · x + 2 a Calculer f ( x ) où f est la dérivée de la fonction f . b Étudier le signe f ( x ) et en déduire le tableau de vari-ations de f sur l’intervalle 0 ; 6 . c Quelle est la hauteur maximale atteinte par le ballon lors de ce lancé? 3 Modification du lancer En réalité, le panneau, représenté par le segment [ AB ] dans la figure ci-dessus, se trouve à une distance de 5 ; 3 m du joueur. Le point A est à une hauteur de 2 ; 9 m et le point B est à une hauteur de 3 ; 5 m . Le joueur décide de modifier son lancer pour tenter de faire rebondir le ballon sur le panneau. Il effectue alors deux lancers successifs. Dans le premier lancer, la trajectoire du ballon est mod-élisée par la fonction g est définie sur l’intervalle 0 ; 6 par : g ( x ) = − 0 ; 2 · x 2 + 1 ; 2 · x + 2 Dans le second lancer, la trajectoire du ballon est mod-élisée par la fonction h définie sur l’intervalle 0 ; 6 par : h ( x ) = − 0 ; 3 · x 2 + 1 ; 8 · x + 2 Pour chacun de ces deux lancers, déterminer si le ballon rebondit ou non sur le panneau. E.7710 En 2012 , le gérant d’une brasserie de bord de plage propose le midi, un menu à 9 ; 80 e . À ce tarif, il sert en moyenne 420 couverts par semaine. Cette formule rencontre un tel succès qu’il décide d’augmenter son prix les étés suivants. Il observe une légère diminution du nombre de couverts, mais sa formule demeure rentable. 1 Le nombre hebdomadaire moyen de couverts en fonction du prix x du menu est : N ( x )= − 19 · x +604 Le prix x du menu est exprimé en euro. a Calculer le nombre hebdomadaire moyen de couverts lorsque le prix du menu est de 11 e . b Calculer le chiffre d’affaires hebdomadaire réalisé par la brasserie lorsque le menu est au prix de 11 e . c On note C ( x ) le chiffre d’affaires hebdomadaire en euro pour un prix du menu de x euros. Montrer que : C ( x )= − 19 · x 2 +604 · x . 2 On considère la fonction c définie sur l’intervalle 0 ; 25 par : C ( x )= − 19 · x 2 +604 · x a Déterminer l’expression de la fonction dérivée C de C . b Donner le signe de C ( x ) sur l’intervalle 0 ; 25 . c Dresser le tableau de variations de la fonction C sur l’intervalle 0 ; 25 . 3 a Pour quel prix du menu le chiffre d’affaires hebdo-madaire de la brasserie est-il maximal? On arrondira le résultat au centième. b À ce prix, quel est le chiffre d’affaires hebdomadaire de la brasserie? On arrondira le résultat à l’unité. https://chingmath.fr chapExoCorrec/7711 sacados/7711 Distance en mètres0123456Hauteur en mètres12345CfJPAB chapExoCorrec/7710 sacados/7710 Extrait Antilles-Guyane Juin 2017
E.7712 Une entreprise fabrique un mod-èle de meubles de bois. Elle peut produire au maximum 100 meubles par jour. Pour x meubles fabriqués et vendus, le coût de production journalier (exprimé par jour) , noté C ( x ) , est donné par : C ( x ) = 2 ; 25 · x 2 − 6 · x + 20 Chaque meuble est vendu 299 e . L’entreprise est ouverte cinq jours par semaine. Le chef d’entreprise a réalisé la feuille de calcul suivante : 1 a Donner une formule qui, saisie dans la cellule B2 , permet d’obtenir par copie vers le bas, la recette en fonction du nombre de meubles fabriqués et vendus chaque jour. b Donner une formule qui, saisie dans la cellule C2 , per-met d’obtenir, par copie vers le bas, le coût en fonction du nombre de meubles fabriqués et vendus chaque jour. c Calculer les valeurs associées aux cellules B7 , C7 et D7 . 2 Montrer que le bénéfice journalier correspond à la pro-duction et la vente de x meubles ( x ∈ 0 ; 100 ) est donné par : B ( x ) = − 2 ; 25 · x 2 + 305 · x − 20 3 Calculer B ( x ) et donner le tableau de variations de B sur 0 ; 100 . 4 Combien de meubles faut-il produire et vendre pour réaliser un bénéfice journalier maximal? Déterminer le bénéfice maximal que peut réaliser l’entreprise sur une période de quatre semaines? https://chingmath.fr chapExoCorrec/7712 sacados/7712 Antilles-Guyane Juin 2015 123456789101112ABCDxRecetteCoûtBéné∏ce0020-2010299018528052030405060708090100