Première STMG / Nombre dérivée et fonction du troisième degré 32 exercices (100% corrigés)

a
1. Tableau de signes E.11647 Compléter les tableaux de signe ci-dessous : 1 x −∞ + ∞ 2 x + 1 3 + x (2 x +1)(3+ x ) 2 x −∞ + ∞ x − 3 − 2 x + 4 ( x − 3)( − 2 x +4) E.11649 Construire le tableau de signes de cha-cune des expressions ci-dessous : a (2 x − 15)(2 x − 3) b x ( x + 1) E.11651 Construire le tableau de signe des ex-pressions : a ( − 2 x − 1)( x + 1) b ( − x + 2)( x + 3) E.11691 Compléter le tableau de signe : x −∞ + ∞ x − 3 − 2 x + 4 ( x − 3)( − 2 x +4) 2. Droite et tangente E.7764 On considère la fonction f définie sur l’intervalle − 1 ; 25 ; 1 ; 75 par : f ( x )= x 3 − x 2 − x +1 Dans le plan muni d’un repère représenté ci-dessous, on donne la courbe représentative C f de la fonction f : 1 On considère la droite ( d ) d’équation : y = − 1 ; 25 · x +1 a Déterminer les coordonnées de deux points, choisis au hasard, de la droite ( d ) . b Tracer la droite ( d ) dans le repère. 2 On considère la droite (Δ) d’équation : y = 0 ; 75 · x +1.5 Tracer la droite (Δ) dans le repère. 3 Compléter les phrases suivantes : a La droite ( d ) est . . . . . . . . . . . . . . . à la courbe C f au point d’abscisse . . . . . . b La droite (Δ) est . . . . . . . . . . . . . . . à la courbe C f au point d’abscisse . . . . . . E.7765 On considère la fonction f définie sur l’intervalle − 1 ; 75 ; 2 ; 25 par : f ( x )= x 3 − x 2 − x +1 Dans le plan muni d’un repère représenté ci-dessous, on donne la courbe représentative C f de la fonction f : 1 On considère la droite ( d ) d’équation : y = − 1 ; 5 · x +2 a Déterminer les coordonnées de deux points, choisis au hasard, de la droite ( d ) . b Tracer la droite ( d ) dans le repère. 2 On considère la droite (Δ) d’équation : y = 0 ; 25 · x − 0.75 Tracer la droite (Δ) dans le repère. 3 Compléter les phrases suivantes : a La droite ( d ) est . . . . . . . . . . . . . . . à la courbe C f au point d’abscisse . . . . . . b La droite (Δ) est . . . . . . . . . . . . . . . à la courbe C f au point d’abscisse . . . . . . 3. Fonction dérivée du troisième degré https://chingmath.fr chapExoCorrec/11647 sacados/11647 chapExoCorrec/11649 sacados/11649 chapExoCorrec/11651 sacados/11651 chapExoCorrec/11691 sacados/11691 chapExoCorrec/7764 sacados/7764 x-2-1012y-112Cf chapExoCorrec/7765 sacados/7765 x-2-1012y-2-1Cf
E.7864 Proposition: une fonction f polynomiale du troisième de-gré admet une expression de la forme : f ( x ) = a · x 3 + b · x 2 + c · x + d où a , b , c , d sont des nombres réels avec a =0 La fonction f est dérivable pour tout nombre réel ( x ∈ R ) et sa fonction dérivée f admet pour expression : f ( x ) = 3 a · x 2 + 2 b · x + c Recopier et compléter le tableau ci-dessous afin d’obtenir l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f : E.7766 Pour chacune des fonctions ci-dessous, donner l’expression de sa fonction dérivée : 1 f ( x ) = 2 · x 3 + x 2 + 4 · x + 1 2 g ( x ) = − x 3 + 2 · x 2 + x − 4 3 h ( x ) = − 4 · x 3 + x + 1 4 j ( x ) = x 3 + 4 · x 2 + 1 5 k ( x ) = − 3 x 3 + x 2 − 3 · x − 4 6 ‘ ( x ) = x 2 + 3 · x − 3 E.7767 1 On considère la fonction f définie pour tout nombre réel ( x ∈ R ) par la relation: f ( x ) = 2 · x 3 − x 2 + 2 · x + 1 On note C f la courbe représentative de la fonction f dans un repère. a Déterminer les coordonnées du point A de la courbe C f au point d’abscisse 1 . b On note ( d ) la tangente à la courbe C f au point d’abscisse 1 . Déterminer le coefficient directeur de la tangente ( d ) . 2 On considère la fonction f définie pour tout nombre réel ( x ∈ R ) par la relation: g ( x ) = − x 3 + 2 · x 2 − x − 2 On note C g la courbe représentative de la fonction f dans un repère. a Déterminer les coordonnées du point B de la courbe C g au point d’abscisse − 2 . b On note (Δ) la tangente à la courbe C f au point B . Déterminer le coefficient directeur de la tangente (Δ) . E.11692 Pour chacune des fonctions ci-dessous, donner l’expression de sa fonction dérivée : 1 f ( x ) = 3 x 3 − 5 x 2 + 4 x − 7 2 g ( x ) = − x 3 + 4 x 2 − 7 x + 4 4. Equation de la tangente E.7590 Définition: soit f une fonction polynomiale de degré 3 admettant pour expression : f ( x ) = a · x 3 + b · x + c · x + d où les nombres a , b , c et d sont des nombres réels. On appelle fonction dérivée de la fonction f du troisième degré , la fonction, notée f , dont l’expression est : f ( x ) = 3 · a · x 2 + 2 · b · x + c f ( x ) = − 2 3 · x 3 − 3 · x 2 + x + 10 Dans un repère O ; I ; J , on note C f la courbe représentative de la fonction f . 1 a Déterminer l’expression de la fonction dérivée f de la fonction f . b Donner la valeur de f ( − 3) . 2 a Donner les coordonnées du point A de C f ayant pour abscisse − 3 . b Déterminer l’expression de la fonction affine g passant par le point de coordonnées ( − 3 ; − 2) et ayant 1 pour coefficient directeur. 3 À l’aide de la calculatrice, effectuer le tracé des courbes de ces deux fonctions. Que remarque-t-on? https://chingmath.fr chapExoCorrec/7864 sacados/7864 123456f(xa·x3b·x2c·xdabcdf(x3a·x2b·xc3·x3·x2xx3−x2·x−4x3−3·x2−x−2·x3;5·x2x−1x3x−x3−x2 chapExoCorrec/7766 sacados/7766 chapExoCorrec/7767 sacados/7767 chapExoCorrec/11692 sacados/11692 chapExoCorrec/7590 sacados/7590
E.7774 On considère la fonction f définie sur l’intervalle − 1 ; 25 ; 1 ; 5 par la relation: f ( x ) = − x 3 + x 2 + x − 1 On note C f la courbe représentative de la fonction f dans le repère ci-dessous : 1 Établir que la fonction f dérivée de la fonction f a pour expression : f ( x ) = − 3 · x 2 + 2 · x + 1 2 Déterminer l’image et le nombre dérivé de − 0 ; 5 par la fonction f . 3 a Déterminer l’équation réduite de la tangente ( T ) à la courbe C f au point d’abscisse − 0 ; 5 . b Tracer la tangente ( T ) dans le repère ci-dessus. E.7775 On considère la fonction f définie sur l’intervalle − 3 ; 5 ; 0 ; 5 par la relation: f ( x ) = 0 ; 25 · x 3 + x 2 + x + 0 ; 5 On note C f la courbe représentative de la fonction f dans le repère ci-dessous : 1 Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . 2 Déterminer les valeurs de f (0) et f (0) par la fonction f . 3 a Déterminer l’équation réduite de la tangente ( T ) à la courbe C f au point d’abscisse 0 . b Tracer la tangente ( T ) dans le repère ci-dessus. E.7776 On considère la fonction f définie sur l’intervalle − 3 ; 5 ; 2 ; 25 par la relation: f ( x ) = 0 ; 5 · x 3 + x 2 − 2 ; 5 · x − 3 On note C f la courbe représentative de la fonction f dans le repère ci-dessous : 1 Établir que la fonction f dérivée de la fonction f a pour expression : f ( x ) = 1 ; 5 · x 2 + 2 · x − 2 ; 5 2 a Déterminer les valeurs de f ( − 2) et f ( − 2) . b Déterminer l’équation réduite de la tangente ( T ) à la courbe C f au point d’abscisse − 2 . c Tracer la tangente ( T ) dans le repère ci-dessus. 3 a Déterminer les valeurs de f (1) et f (1) . b Déterminer l’équation réduite de la tangente ( T ) à la courbe C f au point d’abscisse 1 . c Tracer la tangente ( T ) dans le repère ci-dessus. 5. Tableau de variations avec factorisation donnée https://chingmath.fr chapExoCorrec/7774 sacados/7774 -1I-2-1JOCf chapExoCorrec/7775 sacados/7775 x-3-2-10y-2-11Cf chapExoCorrec/7776 sacados/7776 x-4-3-2-10123y-4-3-2-112Cf
E.11655 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = 5 x 3 − 6 x 2 − 3 x + 1 1 a Montrer que : f ( x ) = 15 x 2 − 12 x − 3 b Etablir que : f ( x ) = (3 x − 3)(5 x + 1) c Dresser le tableau de signes de la fonction f . 2 En déduire le tableau de variations de la fonction f . E.11654 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = − 4 x 3 + 3 x 2 + 6 x − 5 1 a Montrer que : f ( x ) = − 12 x 2 + 6 x + 6 b Etablir que : f ( x ) = ( − 6 x + 6)(2 x + 1) c Dresser le tableau de signe de la fonction f . 2 En déduire le tableau de variations de la fonction f . E.11652 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = 2 x 3 − 2 x 2 − 2 x + 1 1 a Montrer que : f ( x ) = 6 x 2 − 4 x − 2 b Etablir que : f ( x ) = (2 x − 2)(3 x + 1) c Dresser le tableau de signe de la fonction f . 2 En déduire le tableau de variations de la fonction f . E.11653 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = x 3 − 4 x 2 + 4 x − 1 1 a Montrer que : f ( x ) = 3 x 2 − 8 x + 4 b Etablir que : f ( x ) = ( x − 2)(3 x − 2) c Dresser le tableau de signe de la fonction f . 2 En déduire le tableau de variations de la fonction f . E.11693 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = 2 x 3 + 6 x 2 − 18 x + 5 1 a Montrer que : f ( x ) = 6 x 2 + 12 x − 18 b Etablir que : f ( x ) = (6 x − 6)( x + 3) c Dresser le tableau de signe de la fonction f . 2 En déduire le tableau de variations de la fonction f . E.11694 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = 8 x 3 + 15 x 2 + 9 x − 2 1 a Montrer que : f ( x ) = 24 x 2 + 30 x + 9 b Etablir que : f ( x ) = (6 x + 3)(4 x + 3) c Dresser le tableau de signe de la fonction f . 2 En déduire le tableau de variations de la fonction f . E.11695 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = − x 3 + 6 x 2 − 9 x + 4 1 a Montrer que : f ( x ) = − 3 x 2 + 12 x − 9 b Etablir que : f ( x ) = ( − 3 x + 9)( x − 1) c Dresser le tableau de signe de la fonction f . 2 En déduire le tableau de variations de la fonction f . E.11696 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = − 5 x 3 + 12 x 2 − 9 x + 1 1 a Montrer que : f ( x ) = − 15 x 2 + 24 x − 9 b Etablir que : f ( x ) = ( − 3 x + 3)(5 x − 3) c Dresser le tableau de signe de la fonction f . 2 En déduire le tableau de variations de la fonction f . 6. Tableau de variations E.7803 On considère la fonction f définie sur l’intervalle − 3 ; 3 par l’expression : f ( x ) = 4 · x 3 + 3 · x 2 − 6 · x + 1 1 Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . 2 a Résoudre l’équation 12 · x 2 +6 · x − 6=0 b Dresser le tableau de signes de la fonction f sur l’intervalle − 3 ; 3 3 Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle − 3 ; 3 . E.7804 On considère la fonction f définie sur l’intervalle − 2 ; 4 par l’expression : f ( x ) = − 5 · x 3 − 6 · x 2 + 3 · x + 2 1 Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . 2 a Résoudre l’équation − 15 · x 2 − 12 · x +3=0 b Dresser le tableau de signes de la fonction f sur l’intervalle − 2 ; 4 3 Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle − 2 ; 4 . 7. Problèmes avec factorisation donnée E.11668 Une entreprise fabrique des croquettes pour chiens. Chaque jour, elle en fabrique entre 0 et 80 tonnes. Le coût de fabrication, en euros, de x tonnes est modélisé par la fonction C définie par : C ( x ) = x 3 − 105 · x 2 + 3700 · x + 4000 Une tonne de croquettes est vendue 1 900 e . La recette, pour x tonnes vendues, est donc donnée par une fonction R définie sur l’intervalle 0 ; 80 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/11655 sacados/11655 chapExoCorrec/11654 sacados/11654 chapExoCorrec/11652 sacados/11652 chapExoCorrec/11653 sacados/11653 chapExoCorrec/11693 sacados/11693 chapExoCorrec/11694 sacados/11694 chapExoCorrec/11695 sacados/11695 chapExoCorrec/11696 sacados/11696 chapExoCorrec/7803 sacados/7803 chapExoCorrec/7804 sacados/7804 chapExoCorrec/11668 sacados/11668
1 a Pour x appartenant à l’intervalle 0 ; 80 , donner l’expression de R ( x ) . b En déduire que le bénéfice réalisé par la vente de x tonnes de croquettes est donné par la fonction B définie sur l’intervalle 0 ; 80 par : B ( x ) = − x 3 + 105 · x 2 − 1800 · x − 4000 2 Justifier que : B ( x ) = (180 − 3 x )( x − 10) 3 Justifier que le signe de B ( x ) est donné par le tableau suivant : x 0 10 60 80 Signe de B ( x ) − 0 + 0 − 4 En déduire le tableau de variations de la fonction B sur l’intervalle 0 ; 80 . 5 Quelle doit être la quantité de croquettes que l’entreprise doit vendre pour réaliser un bénéfice maximal? Que vaut ce bénéfice? E.11669 Une entreprise produit et vend un tissu en coton de forme rectangulaire de 1 mètre de large; on note x sa longueur exprimée en kilomètre, x étant un nombre com-pris entre 0 et 10 . Le coût total de production en euro de ce tissu est donné, en fonction de x , par : C ( x ) = 15 · x 3 − 120 · x 2 + 350 · x + 1 000 Le cours du marché offre un prix de 530 e le kilomètre de tissu fabriqué par l’entreprise. Pour tout x ∈ 0 ; 10 , on note R ( x ) la recette et B ( x ) le béné-fice générés par la production et la vente de x kilomètres de tissu par l’entreprise. 1 Exprimer R ( x ) en fonction de x . 2 Montrer que pour tout x ∈ 0 ; 10 : B ( x ) = − 15 · x 3 + 120 · x 2 + 180 · x − 1 000 3 Justifier que : B ( x ) = (90 − 15 x )(3 x + 2) 4 Étudier le signe de B ( x ) et en déduire les variations de la fonction B sur 0 ; 10 . 5 a Pour quelle longueur de tissu produite et vendue l’entreprise réalise-t-elle un bénéfice maximal? b Donner alors la valeur de ce bénéfice maximal? E.11670 Partie A On considère les fonctions f et g définies sur R par : f ( x ) = 1 10 · x 3 − 6 · x 2 + 120 · x ; g ( x ) = 40 · x . 1 a Calculer le nombre dérivé f ( x ) et vérifier que : f ( x ) = 3 10 · ( x − 20) 2 . b Étudier le sens de variation de la fonction f sur R . c Calculer f (10) , f (20) et f (40) . 2 La courbe ( C f ) représentative de la fonction f est tracée sur la feuille annexe que l’on remettra avec la copie. a Déterminer une équation de la tangente T A à courbe ( C f ) au point A d’abscisse 10. b Montrer que la courbe ( C f ) et la courbe ( C g ) se coupent au point d’abscisse 40. c Tracer sur la feuille annexe la courbe ( C g ) représenta- tive de la fonction g . Partie B Le coût exprimé en euros d’une production est fonction du nombre d’unités x fabriquées est égal à f ( x ) où f est la fonc-tion étudiée dans la partie A . 1 Montrer que pour x unités produites et vendues 40 euros l’unité, le bénéfice en euros s’exprime par g ( x ) − f ( x ) . 2 a Déterminer graphiquement les solutions de l’équation f ( x )= g ( x ) sur l’intervalle 0 ; 45 . On fera les traits de constructions utiles et on vérifiera que les valeurs entières lues sont solutions. b Déterminer l’intervalle auquel doit appartenir le nom-bre d’unités fabriquées x pour que l’entreprise soit bénéficiaire. E.7771 Une entreprise fabrique chaque jour des pièces métalliques pour l’industrie automobile. La production quotidienne varie entre 0 et 25 pièces. Le montant des charges correspondant à la fabrication de x pièces, exprimé en euros, est modélisé par la fonction C définie sur l’intervalle 0 ; 25 par : C ( x ) = x 3 − 30 · x 2 + 400 · x + 100 On suppose que l’entreprise vend chaque jour sa production journalière. Chaque pièce est vendue au prix de 247 euros. 1 On note B la fonction bénéfice, exprimée en euros. Jus-tifier que l’expression de B ( x ) sur l’intervalle 0 ; 25 est : B ( x ) = − x 3 + 30 · x 2 − 153 · x − 100 2 On note B la fonction dérivée de la fonction B . a Donner l’expression de la fonction B ( x ) . b Justifier : B ( x ) = 51 − 3 x )( x − 3) 3 Justifier le tableau suivant : x 0 3 17 25 Signe de B ( x ) − 0 + 0 − 4 En déduire le tableau de variations complet de la fonction B sur l’intervalle 0 ; 25 . 5 Déterminer le nombre de pièces que l’entreprise doit pro-duire chaque jour pour que le bénéfice réalisé soit maxi-mal. Que vaut alors ce bénéfice maximal? https://chingmath.fr chapExoCorrec/11669 sacados/11669 chapExoCorrec/11670 sacados/11670 -20-1001020304050-2000-10001000200030004000 chapExoCorrec/7771 sacados/7771
8. Problèmes E.7772 Une étude de l’INSEE a listé l’évolution en France des salaires nets annuels moyens de 1990 à 2010 . En se servant des données de cette étude, on modélise l’évolution des salaires nets annuels moyens jusqu’en 2020 : Pour les hommes par la fonction h définie sur 0 ; 30 par : h ( x ) = 0 ; 25 · x 3 + 2 · x 2 + 318 · x + 17 865 Pour les femmes par la fonction f définie sur 0 ; 30 par : f ( x ) = 0 ; 6 · x 3 − 13 · x 2 + 470 · x + 13 324 Ainsi, h (0) désigne le salaire net annuel des hommes en 1990 , f (1) désigne le salaire net annuel des femmes en 1991 , etc. . . 1 Calculer h (15) et f (15) puis interpréter les résultats. 2 Calculer l’écart des salaires nets annuels moyens prévus par ce modèle entre les hommes et les femmes en 2020 . 3 Montrer que l’écart entre ces deux salaires peut être mod-élisé par la fonction g définie sur 0 ; 30 par : g ( x ) = − 0 ; 35 · x 3 + 15 · x 2 − 152 · x + 4 541 4 On note g la dérivée de la fonction g . Calculer g ( x ) . 5 Déterminer le signe de g ( x ) sur 0 ; 30 . 6 Peut-on affirmer que l’écart entre les salaires nets annuels moyens des hommes et des femmes n’a fait que diminuer depuis 1990 ? E.7773 Une entreprise produit et vend un tissu en coton de forme rectangulaire de 1 mètre de large; on note x sa longueur exprimée en kilomètre, x étant un nombre compris entre 0 et 10 . Le coût total de production en euro de ce tissu est donné, en fonction de x , par : C ( x ) = 15 · x 3 − 120 · x 2 + 350 · x + 1 000 Le cours du marché offre un prix de 530 e le kilomètre de tissu fabriqué par l’entreprise. Pour tout x ∈ 0 ; 10 , on note R ( x ) la recette et B ( x ) le béné-fice générés par la production et la vente de x kilomètres de tissu par l’entreprise. 1 Exprimer R ( x ) en fonction de x . 2 Montrer que pour tout x ∈ 0 ; 10 : B ( x ) = − 15 · x 3 + 120 · x 2 + 180 · x − 1 000 3 Déterminer B ( x ) pour x ∈ 0 ; 10 où B désigne la fonc-tion dérivée de B . 4 Étudier le signe de B ( x ) et en déduire les variations de la fonction B sur 0 ; 10 . 5 a Pour quelle longueur de tissu produite et vendue l’entreprise réalise-t-elle un bénéfice maximal? b Donner alors la valeur de ce bénéfice maximal? E.7825 Une entreprise fabrique des cro-quettes pour chiens. Chaque jour, elle en fabrique entre 0 et 80 tonnes. Le coût de fabrication, en euros, de x tonnes est modélisé par la fonction C définie par : C ( x ) = x 3 − 105 · x 2 + 3700 · x + 4000 Une tonne de croquettes est vendue 1 900 e . La recette, pour x tonnes vendues, est donc donnée par une fonction R définie sur l’intervalle 0 ; 80 . 1 a Pour x appartenant à l’intervalle 0 ; 80 , donner l’expression de R ( x ) . b En déduire que le bénéfice réalisé par la vente de x tonnes de croquettes est donné par la fonction B définie sur l’intervalle 0 ; 80 par : B ( x ) = − x 3 + 105 · x 2 − 1800 · x − 4000 2 Calculer B ( x ) où B désigne la dérivée de la fonction B . 3 Justifier que le signe de B ( x ) est donné par le tableau suivant : x 0 10 60 80 Signe de B ( x ) − 0 + 0 − 4 En déduire le tableau de variations de la fonction B sur l’intervalle 0 ; 80 . 5 Quelle doit être la quantité de croquettes que l’entreprise doit vendre pour réaliser un bénéfice maximal? Que vaut ce bénéfice? 9. Exercices non-classés E.11676 Partie A On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 30] par : f ( x ) = − 2 x 3 + 60 x 2 + 2000 1 On note f la dérivée de f . Calculer f ( x ) pour x appar-tenant à [0 ; 30] . 2 Vérifier que f ( x ) = 6 x (20 − x ) pour x appartenant à [0 ; 30] , puis étudier le signe de f . 3 Dresser le tableau de variations de f sur l’intervalle [0 ; 30] . 4 Tracer dans le même repère la droite D d’équation : y = 150 x + 4500 . 5 Déterminer graphiquement les coordonnées des points d’intersection de la courbe C et de la droite D . Partie B https://chingmath.fr chapExoCorrec/7772 sacados/7772 chapExoCorrec/7773 sacados/7773 chapExoCorrec/7825 sacados/7825 chapExoCorrec/11676 sacados/11676 x024681012141618202224262830y200040006000800010000
Le club de théâtre du Lycée Louis XIV a loué une grande salle de spectacle et organise une représentation de " Ubu Roi " d’Alfred Jarry. Le prix de location de la salle est de 4500 F. Il espère avoir un maximum de spectateurs parmi la popula-tion des environs, aussi il décide de faire passer des messages publicitaires sur radio locale. Soit x le nombre de jours de publicité. Pour x compris entre 0 et 20, la recette prévue est donnée par f ( x ) où f est la fonction définie dans la partie A. Chaque jour de publicité est facturé 150 F. 1 On fait un calcul sur 20 jours de publicité. a Quelle est la recette prévisible ? b Calculer les frais engagés : publicité et location. c Calculer le bénéfice dans le cas où la recette est con-forme à la prévision. 2 Quel est le bénéfice si on prévoit 5 jours de publicité ? 3 Établir la formule donnant, en fonction du nombre x de jours de publicité, le montant total des frais engagés C ( x ) . 4 Combien de jours de publicité au minimum faut-il envis-ager pour que le bénéfice prévisible soit positif ou nul ? https://chingmath.fr