Première STMG / Polynôme du second degré 32 exercices (dont 31 corrigés)

a
1. Rappels d’algèbres E.7182 On considère les deux rectangles ABCD et EFGH représentés ci-dessous : 1 Le rectangle ABCD a été découpé en deux rectangles : AMND et BCNM . On donne les dimensions : AM =2 ; MN = x ; AD =3 Justifier que l’aire A du rectangle ABCD peut s’exprimer des deux manières : A = 3 · x + 6 ; A = 3 · x + 2 2 Le rectangle EFGH a été découpé en quatre rectangles : EPOR , PFSO , SGQO et QHRO . On donne les mesures suivantes : EP = x ; PF =2 ; ER =3 ; RH =2 x Justifier que l’aire A du rectangle EFGH peut s’exprimer des deux manières : A = 2 x 2 + 7 x + 6 ; A = 2 x + 3 x + 2 E.7129 Développer les expressions suivantes : a 2 x + 1 x + 1 b 3 · 1 + x − 2 · x + 3 c 2 x + 1 2 d 5 x + 2 x + 2 + 2 1 + x E.7176 Développer et réduire les expressions suivantes : a 3 · 2 · x + 3 + 2 · 4 − x b 2 · x − 1 2 − 3 · x E.7130 Pour chacune des équations ci-dessous, vérifier si le nombre 2 en est une solution : a 2 x + 5 = 5 x − 1 b 2 x + 3 + 1 = 15 c 2 1 − x 2 − 4 = 4 − 4 x d x 2 − 4 x + 1 = − 3 E.7131 Résoudre les équations ci-dessous : a 2 x + 3 = 6 b 5 x + 1 = 2 x + 7 c 3 x − 4 = 7 x + 4 d x + 1 2 = 9 E.7177 Résoudre les équations suivantes : a 3 · x + 2 = 7 − x b 3 · ( x − 2) − 2 · (1 − x ) = 0 E.7132 On considère deux fonctions f et g représentées ci-dessous dans un repère O ; I ; J respective-ment par les courbes C f et C g : Ci-dessous sont proposés deux tableaux de variations. Compléter les pointillés dans chacun de ses tableaux de vari-ations. E.11428 1 a On considère la fonction f affine définie par : f ( x ) = 3 x − 4 Compléter le tableau de signe de la fonction f : x −∞ + ∞ f ( x ) b On considère la fonction g affine définie par : g ( x ) = − 2 x + 1 Compléter le tableau de signe de la fonction g : x −∞ + ∞ g ( x ) 2. Ecriture d’un polynôme du second degré E.7158 Écrire chacune des polynômes ci-dessous sous la forme : a · x 2 + b · x + c a 3 · x 2 + 5 − 2 · x b 5 − x + 3 · x 2 c 2 · x + 1 − x 2 + 3 · x d 3 · x 2 − 1 + x + 3 e 2 · x 2 + x + 3 · 3 − x f ( x + 1)(2 − x ) https://chingmath.fr chapExoCorrec/7182 sacados/7182 ABCDMNx23EFGHPQRSOx22x3 chapExoCorrec/7129 sacados/7129 chapExoCorrec/7176 sacados/7176 chapExoCorrec/7130 sacados/7130 chapExoCorrec/7131 sacados/7131 chapExoCorrec/7177 sacados/7177 chapExoCorrec/7132 sacados/7132 -4-3-2-123I-3-2-12JOCfCg ..................xVariationde... ..................xVariationde... chapExoCorrec/11428 sacados/11428 chapExoCorrec/7158 sacados/7158
E.7159 1 Développer les expressions suivantes : a ( x − 3)( x − 1) b x − 2 2 − 1 2 Développer les expressions suivantes : a 2 · x + 2 x + 4 b 2 · x + 3 2 − 2 3 Développer les expressions suivantes : a − ( x − 5)( x − 1) b 4 − x − 3 2 3. Forme canonique E.7160 Proposition-définition: pour tout polynôme a · x 2 + b · x + c du second degré, il existe deux nombres réels ¸ et ˛ tels que : a · x 2 + b · x + c = a · x + ¸ 2 + ˛ Cette expression s’appelle forme canonique de ce polynôme. 1 a Montrer que x − 3 2 − 4 est la forme canonique du polynôme x 2 − 6 · x +5 b Montrer que x +1 2 − 4 est la forme canonique du polynôme x 2 +2 · x − 3 c Montrer que x − 3 2 − 25 est la forme canonique du polynôme x 2 − 6 · x − 16 Définition: soit a · x 2 + b · x + c un polynôme du second de-gré. On appelle racine de ce polynôme, tout nombre x tel que : a · x 2 + b · x + c = 0 Méthode: pour déterminer les racines d’un polynôme, on se sert de sa forme canonique. Prenons pour ex-emple, l’expression de la question a : x 2 − 6 · x + 5 = 0 x − 3 2 − 4 = 0 x − 3 2 = 4 x − 3 2 = 2 2 On utilise la propriété suivante : ˇ Deux nombres dont les carrés sont égaux sont soit égaux, soit opposés ı. On en déduit les deux équations : x − 3 = 2 x = 2 + 3 x = 5 x − 3 = − 2 x = − 2 + 3 x = 1 Ainsi, le polynôme x 2 − 6 · x +5 admet les deux racines 1 et 5 . 2 En utilisant la même méthode, b Montrer que le polynôme x 2 +2 · x − 3 admet pour racine − 3 et 1 . c Montrer que le polynôme x 2 − 6 · x − 16 admet pour racine − 2 et 8 . E.7178 Recopier et compléter les pointillés de chaque égalité afin d’obtenir la forme canonique de chacun des polynômes : a x 2 + 4 · x − 1 = x + 2 2 + : : : b 2 · x 2 − 8 · x + 10 = 2 · x − : : : 2 + 2 E.7179 On souhaite résoudre l’équation: x 2 + 6 x − 7=0 1 Établir l’égalité: x 2 + 6 x − 7 = x + 3 2 − 16 2 En déduire les deux solutions de l’équation x 2 +6 · x − 7=0 4. Discriminant E.7706 Définition: le discriminant d’un polynôme a · x 2 + b · x + c du second degré est un nombre qui se calcule à l’aide des coefficients du polynôme: Δ = b 2 − 4 × a × c Compléter le tableau ci-dessous pour chacun des polynômes du second degré : a b c Δ= b 2 − 4 · a · c x 2 + x +1 − 0 ; 5 · x 2 +2 · x +1 x 2 +4 2 · x 2 − 3 · x − 1 https://chingmath.fr chapExoCorrec/7159 sacados/7159 chapExoCorrec/7160 sacados/7160 chapExoCorrec/7178 sacados/7178 chapExoCorrec/7179 sacados/7179 chapExoCorrec/7706 sacados/7706
E.7161 Compléter le tableau ci-dessous pour chacun des polynômes du second degré : a b c Δ= b 2 − 4 · a · c 2 · x 2 +5 · x +1 − x 2 +7 · x +3 x 2 − 5 · x +4 2 · x 2 − 4 · x − 1 − x 2 − x − 1 x 2 +7 E.7162 Déterminer le discriminant des polynômes du second degré ci-dessous : a x 2 + 2 x + 4 b 2 x 2 + 4 x + 1 c x 2 − 2 x + 1 d − 2 x 2 + 2 x + 1 e x 2 − x − 1 f 3 x 2 + x − 2 E.7180 Déterminer le discriminant des polynômes ci-dessous : a 2 · x 2 − 3 · x + 3 b − x 2 + 5 · x − 4 5. Equation du second degré E.7163 Définition: les racines d’un polynôme sont les valeurs annulant ce polynôme. Proposition : pour un polynôme a · x 2 + b · x + c du second degré, le nombre de racines existantes dépend du discrimi-nant : Résoudre les équations suivantes : a x 2 + 2 x − 35 = 0 b 2 x 2 + 8 x + 6 = 0 c 5 x 2 − 3 x + 2 = 0 d 9 x 2 − 24 x + 16 = 0 e − 2 x 2 + 3 x − 5 = 0 f 3 x 2 + 12 x + 9 = 0 E.7164 Résoudre les équations suivantes : a 3 x 2 + 9 x + 6 = 0 b 3 x 2 − 4 x + 2 = 0 c − x 2 + 2 x + 3 = 0 d 2 x 2 − 4 x + 2 = 0 e x 2 + 12 x + 27 = 0 f 2 x 2 + 12 x + 10 E.7181 Résoudre les équations suivantes : a − 2 x 2 + 2 x + 4 = 0 b 2 · x 2 − 4 · x + 2 = 0 E.7170 On note x une mesure indéterminée. On considère le rectangle ABCD représenté ci-dessous où : AM =3 ; MB =2 x ; AN =2 ; ND = x 1 Dans le cas particulier où x =2 , établir que l’aire A du rectangle ABCD a pour mesure 28 . 2 On se place dans le cas général où x représente un nom-bre indéterminé : a Montrer que l’aire A du rectangle ABCD a pour valeur: A = 2 · x 2 + 7 · x + 6 b Déterminer la ou les valeurs de x afin que l’aire A du rectangle ABCD a pour valeur 36 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/7161 sacados/7161 chapExoCorrec/7162 sacados/7162 chapExoCorrec/7180 sacados/7180 chapExoCorrec/7163 sacados/7163 <0Aucune solution01solution−b2·a>02solutions−b−2·a;−b2·a chapExoCorrec/7164 sacados/7164 chapExoCorrec/7181 sacados/7181 chapExoCorrec/7170 sacados/7170 ABCDMNP32x2x
E.7171 On note x une mesure indéterminée et on considère le rectangle ABCD , de dimensions 6 et 4 , représenté ci-dessous : où un rectangle, domaine représenté rayé, obtenue en ré-duisant les dimensions de ABCD de x . On note A l’aire du rectangle représenté rayé. 1 Démontrer que l’aire A s’exprime par : A = x 2 − 10 · x +24 2 Déterminer la valeur de x afin que A ait pour valeur 8 . 6. Rappels sur les tableaux de signes E.7173 on considère les deux fonctions f et g définies par : f ( x ) = x + 1 ; g ( x ) = − 0 ; 5 · x − 1 Dans le repère O ; I ; J donné ci-dessous, sont représentés les courbes C f et C g représentatives des fonctions f et g . Sans justification, compléter les tableaux de signes des fonc-tions f et g : x −∞ + ∞ f ( x ) x −∞ + ∞ g ( x ) E.7172 Compléter le tableau de signes de cha-cune des expressions E : 1 x −∞ − 3 − 1 2 + ∞ 2 x + 1 0 3 + x 0 E =(2 x +1)(3+ x ) 0 0 2 x −∞ 3 4 2 + ∞ x − 2 4 x − 3 E =( x − 2)(4 x − 3) 3 x −∞ + ∞ 2 + x 2 − x E = 2+ x 2 − x 7. Tableau de signes E.7174 Proposition: le tableau de signes d’un polynôme du sec-ond degré dépend du signe du coefficient du terme du sec-ond degré et du signe du discriminant. Les six possibilités sont représentées ci-dessous : https://chingmath.fr chapExoCorrec/7171 sacados/7171 ABCDxx64 chapExoCorrec/7173 sacados/7173 IJOCfCg chapExoCorrec/7172 sacados/7172 chapExoCorrec/7174 sacados/7174 <00>0¸et˛sontlesdeuxracinesa>0a<0x−∞∞x−∞∞−x−∞∞−b/2a0x−∞∞−b/2a0−−x−∞∞αβ00−x−∞∞αβ00−−
Dresser le tableau de signes de chacune des expressions suiv-antes : a x 2 + x − 6 b 2 · x 2 − 3 · x + 1 c 3 x 2 + 3 x − 6 d − x 2 + x + 2 e − 2 x 2 + 12 x − 18 f 3 x 2 − 5 x − 2 E.7175 Dresser le tableau de signes des expres-sions suivantes : a 2 · x 2 + 3 · x − 5 b 6 · x 2 + x − 1 c − 2 · x 2 + 4 x + 6 d − 3 · x 2 − 3 · x − 1 8. Inéquations E.7198 Résoudre les inéquations suivantes : a x 2 − 3 x + 2 > 0 b x 2 − x − 2 < 0 c − 9 x 2 + 12 x − 4 0 d 5 x 2 + 4 x − 1 < 0 e − 4 x 2 + 2 x + 2 0 f − x 2 + x − 3 > 0 E.7199 Résoudre les inéquations suivantes : a x 2 + 5 x + 4 < 0 b − x 2 − x + 6 < 0 c 4 x 2 + 4 x + 1 > 0 d − 2 x 2 + 5 x + 3 > 0 e 4 x 2 − 3 x + 2 0 f 12 x 2 + 12 x + 3 0 9. Problèmes E.7200 Dans son champ, un agriculteur possède un poulailler de forme rectangulaire et de dimensions 5 m et 2 m . Il souhaite construire un enclos (représenté en pointillée) comme l’indique la figure ci-dessous avec 17 m de clôture : Le poulailler est représenté par la partie hachurée, la clôture est représentée en pointillés et la partie extérieure dédiée aux poules est représentée par la partie blanche. On note A l’aire de la partie extérieure. 1 Justifier que l’aire A de l’espace extérieur a pour expres-sion : A ( x )= − x 2 +12 · x − 10 2 Pour quelles valeurs de x , l’espace extérieure a une aire de 25 m 2 . E.7201 On veut construire le long d’un bâtiment une aire de jeu rectangulaire. De plus, on souhaite que les di-mensions de ce rectangle soient supérieures ou égales à 10 m . Cet espace de jeu est entouré sur trois côtés d’une allée de 3 m de large comme l’indique le croquis ci-dessous. 1 Exprimer l’aire totale du terrain (en incluant les allées) . 2 Pour quelle valeur de x , l’aire A mesure 84 m 2 . 10. Partage E.11622 Sur un axe gradué en mètres, on organise une course en-tre une tortue et un escargot. La tortue part du point d’abscisse x = 0 . Elle se déplace vers la droite à une vitesse de 2 mètres par minute. L’escargot part du point d’abscisse x = 12 . Il se déplace vers la droite à une vitesse de 50 centimètres par minute. Les deux concurrents partent en même temps. À quel endroit la tortue rattrapera-t-elle l’escargot ? (Toute trace de recherche, même infructueuse, sera prise en compte). https://chingmath.fr chapExoCorrec/7175 sacados/7175 chapExoCorrec/7198 sacados/7198 chapExoCorrec/7199 sacados/7199 chapExoCorrec/7200 sacados/7200 2m12−xx5m chapExoCorrec/7201 sacados/7201 31;5·xxABCD chapExoCorrec/11622 sacados/11622
E.11623 1 Le volume d’un glacier diminue de 3 % chaque année. Si V ( n ) désigne le volume du glacier pour l’année n , on a: a V ( n + 1) = V ( n ) − 0 ; 03 b V ( n + 1) = 0 ; 03 × V ( n ) c V ( n + 1) = 0 ; 97 × V ( n ) d V ( n + 1) = V ( n ) − 0 ; 97 2 Dans un repère du plan on a représenté une droite. Le coefficient directeur de cette droite est égal à: a − 3 b − 1 c 2 d 3 3 Dix stylos coûtent en tout 13 euros. Le prix de trois stylos est égal à: a 3,60 euros b 6,90 euros c 3,90 euros d 6,50 euros 4 Une athlète parcourt 1 km en 5 minutes. Quelle est sa vitesse moyenne ? a 8 km/h b 10 km/h c 12 km/h d 14 km/h 5 Sur 60 personnes présentes à une exposition, on distingue trois groupes : groupe A: 30 personnes groupe B : 12 personnes groupe C : les autres. Quelle représentation décrit la situation ? 6 Donner un ordre de grandeur de 101 × 99 : a 100 b 1 000 c 10 000 d 100 000 7 Un prix augmente de 20% puis diminue de 20%. Après ces deux évolutions, on peut affirmer que : a Le prix est égal à sa valeur de départ. b Le prix est strictement supérieur à sa valeur de départ. c Le prix est strictement inférieur à sa valeur de départ. d On ne peut pas savoir: cela dépend de la valeur de départ. 8 Par combien faut-il multiplier une quantité positive pour que celle-ci diminue de 2,3% ? a 1,23 b 0,977 c 0,77 d 1,023 9 Dans un lycée, 50 élèves étudient le Grec, ce qui représente 4% du nombre d’élèves inscrits dans ce lycée. Le nombre d’élèves inscrits dans ce lycée est égal à: a 2 b 200 c 125 d 1250 10 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = − 2 x 2 + 3 x + 1 . L’image de − 1 par la fonction f est égale à: a 0 b 2 c − 2 d − 4 https://chingmath.fr sacados/11623
11 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = 2 x 2 − 5 x + 3 . Un antécédent de 0 par la fonction f est : a 1 b − 1 c 0 d 2 12 On considère : A = 1 2 − 1 2 × 4 3 a A = 0 b A = − 1 6 c A = 2 3 d A = − 1 https://chingmath.fr