Première STMG / Probabilité 32 exercices (dont 31 corrigés)

a
1. Dénombrements E. 7653 Une urne contient 12 boules blanches, 5 boules noires et 8 boules bleues indiscernables au toucher. On considère notre univers d’expérience composé des trois événements élémentaires suivants : A : ˇ La boule tirée est blanche ı B : ˇ La boule tirée est noire ı C : ˇ La boule tirée est bleue ı Compléter le tableau ci-dessous, au centième près, représen-tant la loi de probabilité de notre expérience : X A B C P ( X ) 2. Ensemble E. 7654 Le tableau ci-dessous donne, d’après un échantillon de 800 personnes interrogés en 2005 , un aperçu de la lecture de la presse quotidienne en France. Tous les jours ou presque Une ou deux fois par se-maine Seule-ment pendant cer-taines périodes Rare-ment Jamais Total Agriculteurs exploitants 1 10 2 8 79 100 Artisans, commerçants , chefs d’entreprise 11 11 5 7 66 100 Cadres 17 16 10 18 39 100 Professions inter-médiaires 8 15 7 15 55 100 Employés 6 7 4 9 74 100 Ouvriers (y compris agricoles) 4 5 3 5 83 100 Retraités 6 7 2 6 79 100 Autres inactifs 5 9 4 9 73 100 Total en effectif 58 80 37 77 548 800 Pourcentages du total 7,25 % 10 % 4,625 % Dans cet exercice, les résultats seront donnés sous forme déci-male et éventuellement arrondis à 0 ; 001 près. Partie A. 1 La dernière ligne du tableau ci-dessous représente la part de chaque catégorie par rapport à l’échantillon total. Cal-culer les valeurs manquantes de cette dernière ligne. 2 Donner la probabilité qu’une personne choisie au hasard parmi les cadres ne lise jamais. Partie B. On choisit au hasard une personne dans cet échantillon de 800 personnes. Dans cette partie, on note les événements suivants : J l’événement : ˇ la personne choisie ne lit jamais ı ; O l’événement : ˇ la personne choisie est un ouvrier ı. 1 Calculer la probabilité de l’événement J et la probabilité de l’événement O . 2 Calculer la probabilité de l’événement J ∩ O . 3 Calculer la probabilité de l’événement J ∪ O E. 7657 Une expérience aléatoire consiste à tirer au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. 1 Déterminer les probabilités des événements suivants : A : ˇ La carte tirée est un pique ı ; B : ˇ La carte tirée est une figure ı ; C : ˇ La carte tirée est noire ı ; D : ˇ La carte tirée est le valet ı ; 2 Déterminer les probabilités des événements suivants : a A ∩ B b A ∩ C c A ∪ B d B ∪ C e C ∩ D f C ∪ D E. 7659 Ci-dessous sont représentés l’univers Ω d’une expérience aléatoire et deux événements A et B de Ω . Pour chacune des représentations ci-dessous, hachurer l’ensemble demandé. 3. Tableau à double entrée https://chingmath.fr chapExoCorrec/7653 sacados/7653 chapExoCorrec/7654 sacados/7654 chapExoCorrec/7657 sacados/7657 AsAsAsAsRRRRDDDDVVVV10101010999988887777♥♦♠♣ chapExoCorrec/7659 sacados/7659 AB AAB BAB ABAB ABAB
E. 11392 La direction d’un établissement sco-laire fait le point sur les élèves inscrits en demi-pension : L’établissement compte 852 élèves ; Au total, il y a 213 élèves inscrits au régime ˇ externe ı ; Pour les filles, 123 filles sont inscrites au régime ˇ externe ı et 312 sont en demi-pension 1 Compléter le tableau ci-dessous : Garçons Filles Total Externe Demi-pension Total 2 Sur la liste des élèves, on choisit au hasard un élève : a Quelle est la probabilité que l’élève soit une fille? b Quelle est la probabilité que l’élève soit un demi-pensionnaire? c Sachant que l’élève est un garçon, quelle est la proba-bilité qu’il soit un externe? E. 11427 On s’intéresse à trois classes de six-ièmes d’un établissement scolaire. Le Volley-ball et le Foot-ball sont proposés en activité extra-scolaire et regroupent à eux deux 354 adhérents. Voici quelques informations complémentaires recueillies: 76 filles se sont inscrites au Volley-Ball Le Volley-Ball compte 132 adhérents. Les garçons sont au nombre de 238 . 1 Compléter le tableau : Volley-ball Football Total Garçons Filles Total 2 On choisit au hasard un élève de sixième: a Quelle est la probabilité que cet élève pratique le Volley-ball? b Quelle est la probabilité que cet élève soit une fille? c Sachant que l’élève choisi est un garçon, quelle est la probabilité qu’il pratique le Football? E. 11618 On s’intéresse à trois classes de six-ièmes d’un établissement scolaire. Le Volley-ball et le Foot-ball sont proposés en activité extra-scolaire et regroupent à eux deux 354 adhérents. Voici quelques informations complémentaires recueillies: 76 filles se sont inscrites au Volley-Ball. Le Volley-Ball compte 132 adhérents. Les garçons sont au nombre de 238. 1 Compléter le tableau : Volley-ball Football Total Garçons Filles Total 2 On choisit au hasard un élève de sixième: a Quelle est la probabilité que cet élève pratique le Volley-ball ? b Quelle est la probabilité que cet élève soit une fille ? c Sachant que l’élève choisi est un garçon, quelle est la probabilité qu’il pratique le Football ? 4. Situation non équiprobable E. 11509 Une expérience aléatoire consiste à lancer deux dés, rouge et bleu, à six faces simultanément et à consid-érer la somme obtenue par ces deux dés. On suppose les dés parfaitement équili-brés. 1 Décrire l’univers des issues possibles. 2 a Compléter le tableau ci-dessous : https://chingmath.fr chapExoCorrec/11392 sacados/11392 chapExoCorrec/11427 sacados/11427 chapExoCorrec/11618 sacados/11618 chapExoCorrec/11509 sacados/11509 112233445566BleuRouge
a Déterminer la loi de probabilité associée à cette ex- périence aléatoire. 5. Arbres de choix E. 7655 Une urne contient deux boules noires et une boule blanche ; le jeu se fait avec remise de la boule tirée: c’est-à-dire qu’une fois tirée, la boule est remise dans l’urne avant d’effectuer le tirage suivant. Voici un arbre de décision basée sur le tirage de deux boules : 1 En tenant compte de l’ordre de tirage des boules, quel est le nombre possible de tirages différents? 2 Déterminer la probabilité des événements suivants : a A : ˇ La première boule tirée est blanche ı. b B : ˇ Les deux boules tirées sont de couleurs dif-férentes ı. c C : ˇ La seconde boule est une boule noire ı. 3 Donner les probabilités des événements suivants : a A ∩ B b A ∩ C c A ∪ C E. 7662 Une urne contient deux boules rouges et une boule bleue indiscernables au toucher. Avec cette urne, on construit deux jeux : On tire une première boule dans l’urne, puis sans la remettre, on tire une seconde boule. On tire une première boule dans l’urne, on observe sa couleur puis on la remet dans l’urne. On tire alors une seconde boule. Dans ces deux jeux, on considère que le jeu est gagné si les deux boules tirées sont de la même couleur. On propose les deux arbres de choix ci-dessous : 1 Associer à chacun des jeux sa représentation sous la forme d’un arbre de choix. 2 Déterminer la probabilité de gagner pour chacun de ses jeux. E. 7658 Un QCM (questionnaire à choix mul-tiple) est proposé à des élèves : il comporte deux questions et quatre réponses sont proposées dont une seule est juste. On souhaite étudier le pourcentage de réussite à ce QCM si les élèves y répondent complétement de réponse aléatoire; on suppose alors que les réponses données à chacune des ques-tions sont indépendantes entre elles. On note : F i : ˇ La réponse fournit à la question i est fausse ı ; V i : ˇ La réponse fournit à la question i est vraie ı ; Voici l’arbre de choix associé à cette situation : On considère l’expérience aléatoire consistant à choisir au hasard les réponses à ces deux questions 1 Donner la probabilité d’obtenir les deux bonnes réponses. 2 Donner la probabilité d’obtenir une seule bonne réponse. https://chingmath.fr chapExoCorrec/7655 sacados/7655 EvènementsélémentairesNNNNNNNBBNNNNNNNNBBNBNNBNNBBBB1ertirage2etirage chapExoCorrec/7662 sacados/7662 RRBRRRBRRRBBReprésentation 1 RBRRBRRRBReprésentation 2 chapExoCorrec/7658 sacados/7658 V2F2F2F2V1V2F2F2F2F1V2F2F2F2F1V2F2F2F2F1
E.11510 Une urne contient deux boules noires et une boule blanche ; le jeu consiste à extraire deux boules de l’urne sans remise : la première boule tirée ne sera pas remise dans l’urne. Ci-contre un arbre de choix représentant les tirages de ce jeu. 1 En tenant compte de l’ordre de tirage des boules, quel est le nombre possible de tirages différents? 2 Déterminer la probabilité des événements suivants : a A : ˇ La première boule tirée est blanche ı. b B : ˇ La seconde boule tirée est blanche ı. c C : ˇ Les deux boules tirées sont de couleurs distinctes ı. 3 Donner les probabilités des événements suivants : a A ∩ B b A ∩ C c C E. 11619 On considère deux urnes contenant des boules sur lesquelles est inscrit un chiffre. L’expérience aléatoire consiste à tirer une boule au hasard dans l’urne A, puis une boule au hasard dans l’urne B et à faire la somme. 1 Voici le contenu de l’urne : On associe à cette expérience l’arbre de choix: Quelle est la probabilité d’obtenir la somme 6 ? 2 On modifie les urnes : a Construire l’arbre de choix correspondant à cette ex-périence. b Quelle est la probabilité d’obtenir la somme 7 ? 6. Arbre de probabilités E. 7656 On considère un questionnaire à choix multiple composé de 3 questions proposant chacune 4 réponses dont une seule est exacte. On crée une expérience aléatoire en demandant aux partici-pants de répondre au hasard aux questions proposées dans le formulaire. On représente cette situation par l’arbre de choix ci-dessous : 1 Compléter le tableau de probabilités ci-dessous : k 0 1 2 3 Probabilité d’obtenir k bonnes réponses En remarquant que, pour chaque question du Q.C.M., la prob-abilité d’avoir une bonne réponse est de 1 4 et une mauvaise réponse est de 3 4 . On simplifie l’arbre de choix par l’arbre de probabilité ci-dessous : https://chingmath.fr chapExoCorrec/11510 sacados/11510 NNNBNBNNNNBNBNNBNNBNB chapExoCorrec/11619 sacados/11619 123546UrneBUrneA 213214215216 122564UrneBUrneA chapExoCorrec/7656 sacados/7656 VFFFVVFFFFVFFFFVFFFFVVFFFVVFFFFVFFFFVFFFFFVFFFVVFFFFVFFFFVFFFFFVFFFVVFFFFVFFFFVFFFFF
On souhaite retrouver les résultats de la question 1 à l’aide de cet arbre de probabilités : 2 a Quel calcul, en utilisant les données de l’arbre ci-dessous, permet de retrouver la probabilité d’obtenir 3 réponses correctes au Q . C . M . ? b Quel calcul, en utilisant les données de l’arbre ci-dessous, permet de retrouver la probabilité d’obtenir 0 réponse correcte au Q . C . M . ? c Quel calcul, en utilisant les données de l’arbre ci-dessous, permet de retrouver la probabilité d’obtenir 1 réponse correcte au Q . C . M . ? E. 7670 On considère un schéma de Bernoulli de paramètres 3 et 0 ; 4 . 1 Compléter l’arbre de probabilité ci-dessous : 2 Combien d’issues a cette expérience aléatoire? 3 Déterminer la probabilité d’obtenir 3 succès. 4 a Combien d’issues représentent 2 succès? b Déterminer la probabilité d’obtenir 2 succès dans cette expérience aléatoire. E. 7671 On considère un schéma de Bernoulli de paramètres 4 et 0 ; 4 . 1 Compléter l’arbre de probabilités ci-dessous : 2 Combien d’issues a cette expérience aléatoire? 3 Déterminer la probabilité d’obtenir 4 succès. 4 a Combien d’issues représentent 3 succès? b Déterminer la probabilité d’obtenir 3 succès dans cette expérience aléatoire. 7. Loi binomiale E.7681 1 Dans une urne se trouve quatre boules : trois boules noires et une boule blanche. On tire successivement et avec remise deux boules de cette urne. L’arbre de choix ci-dessous illustre tous les événements élémentaires de cette expérience aléatoire: a Construire l’arbre de probabilités associées b On note X la variable aléatoire associant le nombre de boules blanches tirées. Déterminer les probabilités suivantes : P X =0 ; P X =2 2 Dans une urne se trouve cinq boules : trois boules noires et deux boules blanches. On tire successivement et avec remise deux boules de cette urne. L’arbre de choix ci-dessous illustre tous les événements élémentaires de cette expérience aléatoire: https://chingmath.fr 141414V34FV3414V34FFV341414V34FV3414V34FFF chapExoCorrec/7670 sacados/7670 ESESESESESESES chapExoCorrec/7671 sacados/7671 ESESESESESESES chapExoCorrec/7681 sacados/7681 NNNBNNNNBNNNNBNNNNBB
a Construire l’arbre de probabilités associées b On note X la variable aléatoire associant le nombre de boules blanches tirées. Déterminer les probabilités suivantes : P X =1 ; P X =2 E.7682 1 a Construire un arbre de probabilité associé à un schéma de Bernoulli de paramètre 2 et 0 ; 4 . b On note X une variable aléatoire suivant une loi bino-miale de paramètre 2 et 0 ; 4 . Déterminer les probabil-ités suivantes : P X =0 ; P X =1 2 a Construire un arbre de probabilité associé à un schéma de Bernoulli de paramètre 3 et 0 ; 4 . b On note X une variable aléatoire suivant une loi bino-miale de paramètre 3 et 0 ; 4 . Déterminer les probabil-ités suivantes : P X =0 ; P X =1 8. Loi binomiale et espérance E.7720 Proposition: l’espérance d’une variable aléatoire X suiv-ant une loi binomiale de paramètres n et p est le nombre n × p et se note E ( X ) . Interprétation : l’espérance est la valeur moyenne ob-servée du nombre de succès réalisée dans le schéma de Bernoulli lorsqu’on réalise un grand nombre de fois cette expérience aléatoire. 1 On considère une variable aléatoire X suivant la loi bino-miale de paramètres 10 et 0 ; 3 . Déterminer l’espérance de la variable aléatoire X . 2 On considère une variable aléatoire X suivant la loi bino-miale de paramètres 24 et 0 ; 45 . Déterminer l’espérance de la variable aléatoire X . E.7680 Cinq garçons et trois filles participent écrivent leur nom sur un bout de papier et l’insèrent dans une urne. On extrait, successivement et avec remise, deux bouts de pa-pier de l’urne. On considère que les deux tirages sont indépen-dants. 1 À chaque tirage, on regarde si le papier tiré désigne un garçon ou une fille. Construire l’arbre de probabilité lié à cette expérience. 2 Soit X la variable aléatoire associant à une issue de ce tirage le nombre de filles sélectionnées. a Déterminer la loi de probabilité de X . b Calculer son espérance mathématique de E ( X ) . On arrondira le résultat au millième près. E.7685 On dispose d’un dé cubique bien équili-bré dont les faces sont numérotées de 1 à 6 . En lançant le dès, on considère que la partie est gagnée si on obtient une valeur paire. On lance le dé bien équilibré trois fois de suite et on désigne par X le nombre de fois où un nombre pair a été obtenu. 1 Dresser l’arbre de probabilité associé à cette expérience aléatoire. 2 Donner la valeur exacte, puis la valeur arrondie au mil-lième de la probabilité P ( X =2) . 3 Donner l’espérance de la variable aléatoire X . 9. Loi binomiale et représentation E.7686 Ci-dessous est représentée la loi de la variable aléatoire X suivant la loi binomiale de paramètres n =10 et p =0 ; 3 : Donner une valeur approchée des probabilités suivantes : a P X =1 b P X =3 E.7689 Ci-dessous est donnée la représentation de la loi d’une variable aléatoire X suivant une loi binomiale de paramètre n =10 et p =0 ; 7 .: Donner l’inégalité qui est vérifiée: a P X < 5 0 ; 5 b P X < 5 0 ; 5 https://chingmath.fr NNNBBNNNNBBNNNNBBNNNNBBBNNNBBB chapExoCorrec/7682 sacados/7682 chapExoCorrec/7720 sacados/7720 chapExoCorrec/7680 sacados/7680 chapExoCorrec/7685 sacados/7685 chapExoCorrec/7686 sacados/7686 12345678910 chapExoCorrec/7689 sacados/7689
10. Loi binomiale et calculatrice E.7684 On considère une variable aléatoire X suivant une loi binomiale de paramètre 0 ; 2 et 20 . On répondra aux questions à l’aide de la calculatrice. Les résultats seront arrondis à 10 − 3 près : 1 Déterminer la valeur des probabilités suivantes : a P X =5 b P X =9 2 Déterminer la valeur des probabilités suivantes : a P X 5 b P X 9 E.7807 On considère une variable aléatoire X suivant une loi binomiale de paramètre 30 et 0 ; 24 . On répondra aux questions à l’aide de la calculatrice. Les résultats seront arrondis à 10 − 3 près : 1 Déterminer la valeur des probabilités suivantes : a P X =10 b P X =12 2 Déterminer la valeur des probabilités suivantes : a P X 10 b P X 18 E.7687 On considère une variable aléatoire X suivant la loi binomiale de paramètres n =5 et p =0 ; 63 . On donnera les valeurs des probabilités arrondies au millième. 1 Déterminer les probabilités suivantes : a P X =0 b P X =1 c P X =5 2 Donner la probabilité de l’événement X 4 . E.7721 Pour le concert de fin d’année, l’auditorium du conservatoire dispose de 400 places réservées aux parents d’élèves. On s’intéresse au nombre X de parents d’élèves assistant au concert de fin d’année dans l’auditorium. On estime à 0 ; 75 la probabilité que chacun des 500 parents d’élèves assiste au concert. On admet que X suit la loi bino- miale de paramètres 500 et 0 ; 75 . 1 Calculer l’espérance de X . 2 Déterminer la probabilité que le nombre de places réservées aux parents d’élèves soit suffisant. On ar-rondira le résultat au millième. E.7688 Un vaccin est en phase de test sur une population de 100 individus. 30 d’entre eux réagissent avec ce vaccin avec de fortes fièvres. Chaque phase de test est effectuée sur un groupe de 5 individus choisis au hasard et indépendamment entre chaque test. Notons X la variable aléatoire qui associe à chaque phase de test le nombre d’individus ayant eu une réaction avec de fortes fièvres. 1 Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres 5 et 0 ; 3 . 2 Déterminer la probabilité pour que 2 individus aient réagi au vaccin avec de la fièvre sur une phase de test. 3 Sur une phase de test, quelle est la probabilité qu’au plus 4 individus aient réagi avec de la fièvre. E.7690 En choisissant un élève au hasard parmi les élèves inscrits à la demi-pension, on sait que la probabilité pour que l’élève choisi soit satisfait de la demi-pension est de 0 ; 675 . On note X la variable aléatoire égale au nombre d’élèves déclarant être satisfaits de la qualité des repas. Le nombre d’élèves étant suffisamment grand, on admet que X suit une loi binomiale de paramètres 4 et 0 ; 675 . Les résultats seront arrondis au millième. 1 Calculer la probabilité de l’événement A : ˇ aucun élève n’est satisfait ı. 2 Calculer la probabilité de l’événement B : ˇ les quatre élèves sont satisfaits de la qualité des repas ı. 11. Intervalle de fluctuation E.7852 Un agriculteur conditionne ses tomates en fonc-tion de leur taille (calibre) . À ses fournisseurs, il annonce que 40 % de ses tomates ont un calibre supérieur ou égal à 6 (un diamètre supérieur à 47 mm ) . Se rendant dans l’exploitation, un fournisseur prélève 30 tomates et observent que, parmi elles, 10 tomates sont d’un calibre supérieur ou égal à 6 . Ci-contre est donnée la loi cumulative d’une vari-able aléatoire binomiale de paramètres 30 et 0 ; 4 . On peut y extraire les résultats ci-dessous : P X 10 ≈ 0 ; 2915 ; P X 20 ≈ 0 ; 9991 1 a Déterminer la valeur du plus petit entier a réalisant la condition : P X a > 0 ; 025 b Déterminer la valeur du plus petit entier b réalisant la condition : P X b 0 ; 975 c En déduire l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence observée pour la variable aléatoire X . (on arrondira les bornes à 10 − 3 ) 2 Que peut-on dire de l’observation du fournisseur? https://chingmath.fr chapExoCorrec/7684 sacados/7684 chapExoCorrec/7807 sacados/7807 chapExoCorrec/7687 sacados/7687 chapExoCorrec/7721 sacados/7721 chapExoCorrec/7688 sacados/7688 chapExoCorrec/7690 sacados/7690 chapExoCorrec/7852 sacados/7852
E.7853 On considère une variable aléatoire X suivant une loi binomiale de paramètre 30 et 0 ; 32 : X∼B 30 ; 0 ; 32 k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P ( X k ) 0 0 0 ; 001 0 ; 005 0 ; 018 0 ; 049 0 ; 11 0 ; 208 0 ; 341 k 9 10 11 12 13 14 15 16 17 P ( X k ) 0 ; 494 0 ; 645 0 ; 774 0 ; 871 0 ; 934 0 ; 97 0 ; 988 0 ; 995 0 ; 999 k 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 P ( X k ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Déterminer les plus petits entiers a et b tels que : P X a ) > 0 ; 025 ; P X b 0 ; 975 2 Justifier que : P a X b 0 ; 95 3 En notant F = X 30 la variable aléatoire qui représente la fréquence aléatoire du succès. Justifier que : P a 30 F b 30 0 ; 95 12. Exercices non-classés E.11858 Un jeu consiste à faire tourner des roues portant des nombres : Lorsque les roues s’arrêtent, on additionne les nombres obtenues et on regarde si la somme est paire On considère les deux évènements : P : ˇ le nombre est pair ı V : ˇ la lettre est une voyelle ı Déterminer les probabilité L’arbre de probabilité est : Soit A l’évènement : A : ˇ la somme est impaire ı. E.11859 L’exercice n’existe pas. https://chingmath.fr chapExoCorrec/7853 sacados/7853 sacados/11858 sacados/11859