Première STMG / Probabilité conditionnelle 18 exercices (dont 16 corrigés)

a
Seulement pour la première spécifique (2025) 1. Construction d’arbre de probabilité E.11536 On considère un ensemble Ω et deux de ses parties A et B représentés ci-dessous et dont les éléments sont représentés par des croix: De manière équiprobable, on choisit un élément au hasard. 1 Déterminer la probabilité de l’évènement A et de l’évènement A . 2 En supposant que l’élément choisit n’appartient pas à A : a quelle est la probabilité que cet évènement appartienne à B ? b quelle est la probabilité que cet évènement n’appartienne pas à B ? 3 En supposant que l’élément choisit appartient à A : a quelle est la probabilité que cet évènement appartienne à B ? b quelle est la probabilité que cet évènement n’appartienne pas à B ? 4 Compléter l’arbre de probabilités ci-dessous : E.11537 On considère l’univers Ω et ses deux événements A et B sont représentés : On choisit de manière aléatoire un élément de l’univers Ω . 1 Déterminer la probabilité de l’évènement A et de l’évènement A . 2 En supposant que l’élément choisit n’appartient pas à A : a quelle est la probabilité que cet évènement appartienne à B ? b quelle est la probabilité que cet évènement n’appartienne pas à B ? 3 En supposant que l’élément choisit appartient à A : a quelle est la probabilité que cet évènement appartienne à B ? b quelle est la probabilité que cet évènement n’appartienne pas à B ? 4 Compléter l’arbre de probabilités ci-dessous : https://chingmath.fr chapExoCorrec/11536 sacados/11536 AB BBABBA chapExoCorrec/11537 sacados/11537 AB BBABBA
E.11538 Un jeu consiste à secouer et renverser une bouteille afin d’en sortir un de ses éléments. Voici le contenu de cette bouteille: On suppose que la loi d’équiprobabilité s’applique à cette ex-périence aléatoire. On considère les 4 évènements ci-dessous : H : ˇ L’élément sorti est hachuré ı ; C : ˇ L’élément sorti est un carré ı ; T : ˇ L’élément sorti est un triangle ı ; R : ˇ L’élément sorti est un rond ı ; Construire l’arbre de probabilité : E.11539 Une entreprise de jouets est spécialisée dans la fabrication de poupées qui parlent et qui marchent. Chaque poupée peut présenter deux défauts et deux seule-ment : un défaut mécanique, un défaut électrique. Une étude statistique montre que : 7% des poupées présentent le défaut mécanique ; 8% des poupées présentent le défaut électrique; 2 ; 4% des poupées présentent ces deux défauts. La production journalière est de 1000 poupées. 1 Recopier et compléter le tableau ci-dessous qui décrit la production journalière : poupées avec défaut mécanique Poupées sans défaut mécanique total Poupées avec défaut électrique Poupées sans défaut électrique total 70 1 000 Dans la suite de l’exercice, chaque résultat numérique sera donné sous forme décimale. 2 On prélève au hasard une poupée dans la production d’une journée. On considère les deux évènements ci-dessous : E : " la poupée prélevée a un défaut électrique " M : " la poupée prélevée a un défaut mécanique " a Déterminer la probabilité de l’évènement E et de l’évènement E . b En supposant que la poupée prélevée ait un défaut élec-trique, quelle est la probabilité pour cette poupée ait un problème mécanique? c En supposant que la poupée prélevée n’ait pas un dé-faut électrique, quelle est la probabilité pour cette poupée ait un problème mécanique? 3 Compléter l’arbre de probabilité ci-dessous : E.11540 Dans un lycée comptant 2000 élèves, on donne la répartition des effectifs suivant le sexe et le choix de la LV1 Fille Garçons Anglais 712 728 Autre LV1 288 272 1 Un élève affirme " dans ce lycée, il y a autant de filles que de garçons" . A-t-il raison? Justifier. On choisit au hasard, de manière équiprobable, un élève dans ce lycée. On considère les évènements suivants : F : "l’élève est une fille"; A : "l’élève a choisi Anglais pour LV1" Dans les questions qui suivent, on donnera les résultats sous forme d’une fraction qu’il n’est pas demandé de simplifier. 2 Déterminer la probabilité de l’évènement A ∩ F . 3 Déterminer la probabilité de l’évènement A sachant que l’évènement F est réalisé. 4 Les évènement A et F sont-ils indépendants? Justifier. 5 On sait que l’élève choisi est un garçon. On considère l’affirmation suivante : " La probabilité qu’il ait choisi Anglais pour LV1 est plus de trois fois plus grande que la probabilité qu’il n’ait pas choisi Anglais pour LV1 ". Cette affirmation est-elle vraie? Justifier. E.11541 On dispose d’une pièce de mon-naie truquée pour laquelle la probabilité d’obtenir pile lors d’un lancer est égale à 1 4 . 1 Déterminer la probabilité d’obtenir face. 2 On lance trois fois de suite cette pièce de monnaie, les trois lancers étant indépendants, et on note pour chaque lancer le résultat (pile ou face) obtenu. a Représenter la situation par un arbre de probabilités. b Quelle est la probabilité d’obtenir exactement une fois pile lors de ces trois lancers? c Quelle est la probabilité de ne jamais obtenir pile? https://chingmath.fr chapExoCorrec/11538 sacados/11538 CTRRCTRR chapExoCorrec/11539 sacados/11539 MMEMME chapExoCorrec/11540 sacados/11540 chapExoCorrec/11541 sacados/11541
2. Probabilité conditionnelle: introduction E.11511 Dans une étude statistique, on considère une classe de classes de 24 élèves où chaque élève est représenté par une case dans le graphique ci-dessous : G : ˇ l’élève est un garçon ı ; D : ˇ l’élève est demi-pensionnaire ı. L’expérience aléatoire consiste à choisir un élève au hasard dans la classe et de regarder la réalisation ou non de ces deux critères : 1 a Déterminer la probabilité choisir un " garçon ". b Sachant qu’un " garçon "a été choisi, quelle est la prob-abilité de choisir un " demi-pensionnaire " c Déterminer la probabilité de choisir un " garçon "qui soit " demi-pensionnaire ". d Que remarque-t-on? 2 a Déterminer la probabilité choisir une " fille ". b Sachant qu’une " fille "a été choisie, quelle est la prob-abilité de choisir une " demi-pensionnaire " c Déterminer la probabilité de choisir une " fille "qui soit " demi-pensionnaire ". d Que remarque-t-on? E.11513 On considère l’univers Ω et ses deux événements A et B sont représentés : On utilise la loi d’équiprobabilité. 1 a Déterminer la probabilité de l’évènement A . b Sachant que l’évènement A est réalisé, déterminer la probabilité de l’évènement B . c Déterminer la probabilité de l’évènement A ∩ B . d Que remarque-t-on? 2 a Déterminer la probabilité de l’évènement A . b Sachant que l’évènement A est réalisé, déterminer la probabilité de l’évènement B . c Déterminer la probabilité de l’évènement A ∩ B . d Que remarque-t-on? 3. Probabilité conditionnelle E.11512 Dans une étude statistique, on con-sidère une classe de classes de 24 élèves où chaque élève est représenté par une case dans le graphique ci-dessous : Deux caractères sont étudiés chez les individus de cette étude : G : ˇ l’élève est un garçon ı ; D : ˇ l’élève est demi-pensionnaire ı. L’expérience aléatoire consiste à choisir un élève au hasard dans la classe et de regarder la réalisation ou non de ces deux critères. 1 Compléter l’arbre de probabilité. 2 En déduire les probabilités : P D ∩ G ; P D ∩ G ; P G 4. Evènements indépendants E.11591 On considère l’expérience aléa-toire d’univers Ω représenté ci-dessous et muni de la loi d’équiprobabilité: 1 On considère les deux évènements A et B représentés ci-dessous : https://chingmath.fr chapExoCorrec/11511 sacados/11511 Demi-pensionnaireGarçon sacados/11513 AB chapExoCorrec/11512 sacados/11512 ClasseBDemi-pensionnaireGarçon ::::::G:::GD::::::G:::GD chapExoCorrec/11591 sacados/11591
Déterminer les probabilités suivantes : a P A B b P B 2 On considère les deux évènements C et D représentés ci-dessous : Déterminer les probabilités suivantes : a P C D b P D Définition: soit A et B deux évènements. Les évènements A et B sont dits indépendants P A B = P B . 3 Les couples ( A ; B ) et ( C ; D ) sont-ils des couples d’évènements indépendants. E.11592 Un jeu consiste à faire tourner la roue ci-contre une première fois et de noter la couleur de la case obtenue, puis de faire tourner la roue une seconde fois et de noter le nombre obtenu. Les deux lancers de la roue sont évidemment indépendants entre eux. On considère les deux événements : A : ˇ la case obtenue est grise lors du premier tirage ı ; B : ˇ la case obtenue porte le numéro 0 lors du second tirage ı. 1 a Déterminez les probabilités : P B ; P A B b Les événements A et B sont-ils indépendants? 2 Compléter l’arbre de probabilité : E.11593 Dans une expérience aléatoire, on con-sidère deux événements A et B permettant de construire l’arbre de probabilité : 1 Déterminer la probabilité de l’événement B . 2 Établir que les événements A et B sont indépendants. E.11594 Dans une classe de 30 élèves sont for-més un club dessin et un club théâtre. Le club dessin est composé de 10 membres, le club théâtre de 6 membres. Il y a deux élèves qui sont membres des deux clubs à la fois. On interroge un élève de la classe pris au hasard. On appelle: D l’évènement : ˇ L’élève fait partie du club dessin ı ; T l’évènement : ˇ L’élève fait partie du club théâtre ı. Montrer que les évènements D et T sont indépendants. E.11595 Un jardinier a à sa disposition un sac rempli de 1000 bulbes de tulipes. Parmi ceux-ci: 60 % sont des bulbes de tulipe jaune ; 25 % sont des bulbes de tulipe rouge ; le reste est constitué de bulbes de tulipe noire. Par ailleurs: 28 % de la totalité de ces bulbes ne fleuriront pas ; 80 % des bulbes de tulipe jaune fleuriront ; 60 bulbes de tulipe noire ne fleuriront pas. Partie A Recopier et compléter le tableau ci-dessous : Partie B Le jardinier tire dans son sac un bulbe au hasard. On note : F l’événement : ˇ Le bulbe fleurira ı ; J : ˇ Le bulbe est celui d’une tulipe jaune ı ; R : ˇ Le bulbe est celui d’une tulipe rouge ı ; N : ˇ Le bulbe est celui d’une tulipe noire ı. 1 Déterminer les probabilités des événements suivants : J ∩ F , J , F , J ∪ F . 2 Les événements J et F sont-ils indépendants? Justifier la réponse. https://chingmath.fr AB CD chapExoCorrec/11592 sacados/11592 0112101102011112 BBABBA chapExoCorrec/11593 sacados/11593 0;20;41B0;59BA0;80;41B0;59BA chapExoCorrec/11594 sacados/11594 chapExoCorrec/11595 sacados/11595 NombredebulbesdetulipejauneNombredebulbesdetuliperougeNombredebulbesdetulipenoireTotalNombredebulbesdetulipequiπeurirontNombredebulbesdetulipequineπeurirontpasTotal1000
E.11596 Au cours de la fabrication d’une paire de lunettes, la paire de verres doit subir deux traitements notés T 1 et T 2 . On prélève au hasard une paire de verres dans la production. On désigne par A l’événement : ˇ la paire de verres présente un défaut pour le traitement T 1 . On désigne par B l’événement : ˇ la paire de verres présente un défaut pour le traitement T 2 ı. On note respectivement A et B les évènements contraires de A et B . Une étude a montré que : la probabilité qu’une paire de verres présente un défaut pour le traitement T 1 , notée P A , est égale à 0 ; 1 . la probabilité qu’une paire de verres présente un défaut pour le traitement T 2 , notée P B , est égale à 0 ; 2 . la probabilité qu’une paire de verres ne présente aucun des deux défauts est 0 ; 75 . 1 Recopier et compléter le tableau suivant avec les proba-bilités correspondantes. A A Total B B Total 1 2 a Déterminer, en justifiant la réponse, la probabilité qu’une paire de verres, prélevée au hasard dans la pro-duction, présente un défaut pour au moins un des deux traitements T 1 ou T 2 . b Donner la probabilité qu’une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente deux défauts, un pour chaque traitement T 1 et T 2 . c Les évènements A et B sont-ils indépendants ? Justi-fier la réponse. E.11485 Dans une étude statistique, on considère une classe de classes de 24 élèves où chaque élève est représenté par une case dans le graphique ci-dessous : G : ˇ l’élève est un garçon ı ; D : ˇ l’élève est demi-pensionnaire ı. L’expérience aléatoire consiste à choisir un élève au hasard dans la classe et de regarder la réalisation ou non de ces deux critères : Montrer que les deux évènements sont indépendants. E.11620 Une entreprise ferme aux mois de juil-let et août. L’ensemble des 180 employés d’une entreprise prennent leurs congés pendant cette période. On a les informations suivantes : 28 hommes ont pris leurs vacances en juillet. 138 personnes ont pris leurs vacances en août. L’entreprise compte 60 femmes. On crée une expérience aléatoire en choisissant au hasard un employé de cette entreprise. On considère les deux événements ci-dessous : F : "l’employé choisi est une femme "; J : "l’employé choisi prend ses vacances en juillet ". 1 Reproduire et compléter le tableau ci-contre : Juillet Août Total Femmes en vacances Hommes en vacances Total en vacances 2 Donner les probabilités : P ( F ) ; P ( F ∩ J ) ; P ( P ( F ∩ J ) 3 a Déterminer la probabilité P J ( F ) . b Est-ce que les événements F et J sont indépendants ? Justifier. 5. Partage E.11584 Un village propose aux partici-pants de la fête du sport deux épreuves : une randonnée et un cross. Il n’est pas possible de s’inscrire aux deux épreuves à la fois. On dispose des informations suivantes : 90% des participants ont choisi la randonnée, parmi eux, 5% sont licenciés dans un club. 10% des participants ont choisi le cross, parmi eux, 40% sont licenciés dans un club. Un journaliste interroge un participant au hasard. On considère les événements suivants : R : " Le participant a choisi la randonnée " L : " Le participant est licencié dans un club " 1 Par simple lecture de l’énoncé, indiquer : a La probabilité que le participant interrogé soit licencié dans un club sachant qu’il a choisi la randonnée. b La probabilité que le participant interrogé soit licencié dans un club sachant qu’il a choisi le cross. En prenant connaissance de ces deux probabilités, le https://chingmath.fr chapExoCorrec/11596 sacados/11596 chapExoCorrec/11485 sacados/11485 Demi-pensionnaireGarçon chapExoCorrec/11620 sacados/11620 sacados/11584
journaliste estime que s’il choisit un participant parmi ceux qui sont licenciés dans un club, la probabilité qu’il ait effectué le cross sera largement supérieure à 50%. L’objectif des questions suivantes est de vérifier si cette intuition est correcte. 2 Représenter la situation par un arbre de probabilités. 3 a Déterminer la probabilité que le participant inter-rogé ait choisi le cross et soit licencié dans un club. b Vérifier que la probabilité que le participant interrogé soit licencié dans un club est égale à 850 10 000 ; soit 8 ; 5%. 4 Le journaliste interroge un participant licencié dans un club. Déterminer la probabilité que ce participant ait choisi le cross. L’intuition du journaliste est-elle correcte ? https://chingmath.fr