Première STMG / Suite 47 exercices (dont 46 corrigés)

a
1. Introduction E. 11420 Voici des exemples de suites de nombres : a ( 2 ; 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; : : : ) b ( 2 ; 6 ; 18 ; 54 ; 162 ; : : : ) c ( 6 ; − 6 ; 6 ; − 6 ; 6 ; : : : ) d ( 1 ; 3 ; 7 ; 15 ; 31 ; : : : ) Déterminer les trois termes suivants de chacune de ces suites. E. 7387 On construit les figures ci-dessous à l’aide de petites baguettes de bois. On note : u 1 le nombre de baguettes nécessaires pour construire l’étape 1; u 2 le nombre de baguettes nécessaires pour construire l’étape 2 . . . Compléter le tableau ci-dessous : u 1 u 2 u 3 u 4 E.7323 On considère la construction d’un château de cartes : On note : u 1 le nombre de cartes pour l’étape 1 u 2 le nobmre de cartes pour l’étape 2 . . . Compléter le tableau : u 1 u 2 u 3 u 4 E.7320 1 On considère la suite de nombres : 1 ; 1 2 ; 1 3 ; 1 4 ; 1 5 ; : : : a Déterminer les trois termes suivants de cette suite. b On considère la fonction f définie par la relation: f ( x ) = 1 x . Quelle relation existe entre la fonction f et la suite de nombres? 2 a On considère la suite de nombres : 1 ; 2 ; 3 ; 2 ; 5 ; 6 : : : Avec quelle fonction g , cette suite de nombre est-elle liée? b On considère la suite de nombres : 1 2 ; 2 3 ; 3 4 ; 4 5 ; 5 6 ; 6 7 ; : : : Avec quelle fonction h , cette suite de nombre est-elle liée? E.11419 Des scientifiques étudient une cul-ture de bactéries contenant deux souches qu’on nommera A et B . Au début de l’expérience (au temps ˇ0ı) , on dénombre 200 de bactéries de souches A et 300 bactéries de souches B . Les scientifiques relèvent les évolutions suivantes : à chaque minute, la population des bactéries A augmente de 10 % , alors que celle de la souche B diminue de 20 bactéries. 1 a Au temps ˇ 0 min ı, quel est le pourcentage représenté par les bactéries de la souche A par rapport à l’ensemble des bactéries? b Au temps ˇ 1 min ı, quel est le pourcentage représenté par les bactéries de la souche A par rapport à l’ensemble des bactéries? c Compléter le tableau ci-dessous : 2 n désigne un nombre entier naturel ( n ∈ R ) . On note a n la population de bactéries de la souche A au temps ˇ n min ı ; ainsi, a 0 =200 . On note b n la population de bactéries de la souche B au temps ˇ n min ı ; ainsi b 0 = 300 . Compléter les pointillés ci-dessous : https://chingmath.fr chapExoCorrec/11420 sacados/11420 chapExoCorrec/7387 sacados/7387 1erétape2eétape3eétape chapExoCorrec/7323 sacados/7323 1erétape2ièmeétape3ièmeétape chapExoCorrec/7320 sacados/7320 chapExoCorrec/11419 sacados/11419 1234567ABCDTempsPopulationdelasoucheAPopulationdelasoucheBPopulationtotale0200300
a 1 = a 0 . . . . . . . . . . . . b 1 = b 0 . . . . . . . . . . . . a 2 = a 1 . . . . . . . . . . . . b 2 = b 1 . . . . . . . . . . . . a 3 = a 2 . . . . . . . . . . . . b 3 = b 2 . . . . . . . . . . . . a 4 = a 3 . . . . . . . . . . . . b 4 = b 3 . . . . . . . . . . . . On généralise par : a n +1 = a n . . . . . . . . . . . . b n +1 = b n . . . . . . . . . . . . 3 Compléter les deux diagrammes ci-dessous : a b 4 Compléter les pointillées: a 1 = a 0 . . . . . . . . . . . . b 1 = b 0 . . . . . . . . . . . . a 2 = a 0 . . . . . . . . . . . . b 2 = b 0 . . . . . . . . . . . . a 3 = a 0 . . . . . . . . . . . . b 3 = b 0 . . . . . . . . . . . . a 4 = a 0 . . . . . . . . . . . . b 4 = b 0 . . . . . . . . . . . . On généralise par : a n = a 0 . . . . . . . . . . . . b n = b 0 . . . . . . . . . . . . 2. Introduction: définition par récurrence E. 7324 Dans cet exercice, les suites sont définies pour une valeur de n entier positif ou nul ( n ∈ N ) : 1 On considère la suite u n dont le premier terme u 0 a pour valeur 3 et dont on passe d’un terme au suivant en multipliant par un même nombre. Compléter le diagramme ci-dessous permettant de con-naître les premiers termes de la suite u n : 2 On considère la suite v n dont le premier terme u 0 a pour valeur − 2 et dont on passe d’un terme au suivant en additionnant par un même nombre. Compléter le diagramme ci-dessous permettant de con-naître les premiers termes de la suite v n : E. 7340 1 On considère la suite de nombres ci-dessous : 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 12 ; 17 ; 23 ; 30 a Dans cette suite, quel est le terme qui succède à 12 ? b Dans cette suite, quel est le terme qui précède 8 ? 2 On considère une suite de nombres qu’on note u et dont on indexe les termes à l’aide d’un entier naturel positif ou nul : ainsi, on ˇ numérote ı les valeurs de la suite en commençant par 0 : u 0 ; u 1 ; u 2 ; u 3 ; · · · ; u n − 1 ; u n ; u n +1 a Quel est le terme successeur de u 2 ? b Quel est le terme prédécesseur de u 4 ? c Quel est le terme successeur de u n ? d Quel est le terme successeur de u n +2 ? e Quel est le terme prédécesseur de u n ? f Quel est le terme prédécesseur de u n +2 ? E.7322 Dans cet exercice, les suites sont indexées à l’aide d’un entier n positif ou nul ( n ∈ N ) : 1 On considère la suite dont le premier terme vaut 2 et dont ˇ le successeur vaut le double de son prédécesseur ı Construire les quatre premiers termes de la suite. 2 On considère la suite dont le premier terme vaut − 3 et dont ˇ le successeur vaut son prédécesseur augmenté de 3 . ı Construire les quatre premiers termes de la suite. 3 On considère la suite dont les termes sont indexés à par-tir de 0 et dont ˇ la valeur d’un terme est le carré de son rang ı. 3. Suites arithmétiques: premiers termes E. 7338 Dans cet exercice, les suites sont définies pour les entiers n positifs ou nul : 1 On considère la suite u n arithmétique de premier terme 3 et de raison 5 . Compléter le diagramme ci-dessous pour obtenir les qua-tre premiers termes de la suite : https://chingmath.fr a0×:::a1×:::a2×:::a3×:::a4×:::×:::×:::×::: b0−:::b1−:::b2−:::b3−:::b4−:::−:::−:::− chapExoCorrec/7324 sacados/7324 3u0×2u1×2u2×2u3×2u4 −2v0v1v2v3v4 chapExoCorrec/7340 sacados/7340 chapExoCorrec/7322 sacados/7322 chapExoCorrec/7338 sacados/7338
2 On considère la suite v n arithmétique de premier terme 6 et de raison − 2 . Compléter les pointillés ci-dessous pour obtenir les qua-tre premiers termes de la suite : v 0 = : : : : : : v 1 = : : : : : : + ( − 2) = : : : : : : v 2 = : : : : : : + ( − 2) = : : : : : : v 3 = : : : : : : + ( − 2) = : : : : : : E. 7341 Dans cet exercice, les termes des suites ont pour rang un entier n positif ou nul ( n ∈ N ) . 1 Déterminer les cinq premiers termes de la suite u n arithmétique de premier terme 2 et de raison 3 . 2 Déterminer les cinq premiers termes de la suite v n arithmétique de premier terme 3 et de raison − 3 2 . E.4572 On considère la suite u n , où n ∈ N , arithmétique de premier terme 3 et de raison 5 . Déterminer les cinq premiers termes de cette suite. E.11549 On considère la suite u n , où n ∈ N , arithmétique de premier terme 11 et de raison − 2 . Déterminer les quatre premiers termes de cette suite. 4. Suites géométriques: premiers termes E. 7339 Dans cet exercice, les suites sont indexées à l’aide d’un entier n positif ou nul ( n ∈ N ) . 1 On considère la suite u n géométrique de premier terme 2 et de raison 3 . Compléter le diagramme ci-dessous pour obtenir les qua-tre premiers termes de la suite : 2 On considère la suite v n géométrique définie par : v 0 = − 2 ; v n +1 = 1 2 · v n Compléter les pointillés ci-dessous pour obtenir les qua-tre premiers termes de la suite : v 0 = : : : : : : v 1 = : : : : : : × 1 2 = : : : : : : v 2 = : : : : : : × 1 2 = : : : : : : v 3 = : : : : : : × 1 2 = : : : : : : E. 7342 Dans cet exercice, les termes des suites ont pour rang un entier n positif ou nul ( n ∈ N ) . 1 Déterminer les quatre premiers termes de la suite u n géométrique de premier terme 2 et de raison 3 . 2 Déterminer les quatre premiers termes de la suite v n géométrique de premier terme 3 et de raison − 3 2 . E.9495 On considère la suite v n géométrique définie, pour tout n ∈ N , par : v 0 = − 2 ; v n +1 = 1 2 · v n Déterminer la valeur des 6 premiers termes de la suite v n . E.11550 On considère la suite v n géométrique définie, pour tout n ∈ N , par : v 0 = 64 ; v n +1 = 0 ; 2 · v n Déterminer la valeur des 4 premiers termes de la suite v n . 5. Suites arithmétiques et géométriques: premiers termes E. 11548 Dans cet exercice, les suites sont définies pour une valeur de n entier positif ou nul ( n ∈ N ) : 1 On considère la suite u n arithmétique de premier terme 3 et de raison 2 . Compléter le diagramme permettant de connaître les pre-miers termes de la suite u n : 2 On considère la suite v n géométrique de premier terme 0 ; 375 et de raison 4 . Compléter le diagramme ci-dessous permettant de con-naître les premiers termes de la suite v n : E. 7356 Dans cet exercice, les termes des suites ont pour rang un entier n positif ou nul ( n ∈ N ) . 1 Déterminer les cinq premiers termes de la suite u n arithmétique de premier terme 10 et de raison − 3 . 2 Déterminer les cinq premiers termes de la suite v n géométrique de premier terme 3 et de raison. 1 2 . On donnera, si nécessaire, les valeurs arrondies au cen-tième près des termes de la suite v n . https://chingmath.fr u0u1u2u3 chapExoCorrec/7341 sacados/7341 chapExoCorrec/4572 sacados/4572 chapExoCorrec/11549 sacados/11549 chapExoCorrec/7339 sacados/7339 u0u1u2u3 chapExoCorrec/7342 sacados/7342 chapExoCorrec/9495 sacados/9495 chapExoCorrec/11550 sacados/11550 chapExoCorrec/11548 sacados/11548 u0u1u2u3 v0v1v2v3 chapExoCorrec/7356 sacados/7356
E. 7388 Dans cet exercice, les termes des suites ont pour rang un entier n positif ou nul ( n ∈ N ) . 1 Déterminer les quatre premiers termes de la suite u n arithmétique de premier terme 3 et de raison − 3 4 . 2 Déterminer les quatre premiers termes de la suite v n géométrique de premier terme 5 et de raison 1 4 . On donnera, si nécessaire, les valeurs arrondies au cen-tième près des termes de la suite v n . 6. Suites non-arithmétiques et non-géométriques: E. 7337 Dans cet exercice, les suites sont indexées à l’aide d’un entier n positif ou nul ( n ∈ N ) : 1 On considère la suite u n dont les premiers termes sont : u 0 = 2 ; u 1 = 5 ; u 2 = 9 ; u 3 = 12 Justifier que la suite u n n’est pas une suite arithmé-tique. 2 On considère la suite v n dont les premiers termes sont : v 0 = 8 ; v 1 = 4 ; v 2 = 2 ; v 3 = 1 2 Justifier que la suite v n n’est pas une suite géométrique. E. 7390 Dans cet exercice, les suites sont indexées à l’aide d’un entier n positif ou nul ( n ∈ N ) : 1 On considère la suite u n dont les premiers termes sont : u 0 = 5 ; u 1 = 6 ; 4 ; u 2 = 7 ; 8 ; u 3 = 9 Justifier que la suite u n n’est pas une suite arithmé- tique. 2 On considère la suite v n dont les premiers termes sont : v 0 = 20 ; v 1 = 8 ; v 2 = 3 ; 2 ; v 3 = 1 ; 44 Justifier que la suite v n n’est pas une suite géométrique. E.11551 Dans cet exercice, les suites sont indexées à l’aide d’un entier n positif ou nul ( n ∈ N ) : 1 On considère la suite u n dont les premiers termes sont : u 0 = 5 ; u 1 = 6 ; 35 ; u 2 = 7 ; 7 ; u 3 = 9 ; 15 ; u 4 = 10 ; 5 Justifier que la suite u n n’est pas une suite arithmé-tique. 2 On considère la suite v n dont les premiers termes sont : v 0 = 4000 ; v 1 =2560 ; v 2 =1600 ; v 3 =1000 ; v 4 =625 Justifier que la suite v n n’est pas une suite géométrique. 7. Suites arithmétiques: formule explicite E.11452 On considère la suite u n définie pour n ∈ N et arithmétique de premier terme 5 et de raison 2 . 1 Soit n un entier positif ( n ∈ N ) , donner l’expression du terme u n de rang n . 2 Donner la valeur du terme de rang 100 . E.7346 On considère la suite u n définie par la relation de récurrence : u 0 =5 ; u n +1 = u n − 2 1 Donner la nature de la suite u n et ses éléments carac-téristiques. 2 Donner la formule explicite donnant la valeur de u n en fonction de n . 3 Déterminer la valeur de u 20 . E.4575 On considère la suite u n définie explicitement par la relation en fonction du rang n : u n = 3 · n + 2 pour tout n ∈ N Justifier que la suite u n est une suite arithmétique. Donner la raison de cette suite. E.7568 On considère la suite u n , où n ∈ N , définie par la relation de récurrence : u 0 = 5 ; u n +1 = u n − 2 1 Quelle est la nature de cette suite? 2 Donner la formule explicite donnant la valeur de u n en fonction de n . 3 Déterminer la valeur de u 20 . E.11552 On considère la suite u n , où n ∈ N , définie par la relation de récurrence : u 0 = − 4 ; u n +1 = u n + 2 1 Quelle est la nature de cette suite? 2 Donner la formule explicite donnant la valeur de u n en fonction de n . 3 Déterminer la valeur de u 20 . 8. Suites géométriques: formule explicite https://chingmath.fr chapExoCorrec/7388 sacados/7388 chapExoCorrec/7337 sacados/7337 chapExoCorrec/7390 sacados/7390 chapExoCorrec/11551 sacados/11551 chapExoCorrec/11452 sacados/11452 chapExoCorrec/7346 sacados/7346 chapExoCorrec/4575 sacados/4575 chapExoCorrec/7568 sacados/7568 chapExoCorrec/11552 sacados/11552
E.11453 Soit u n la suite définie pouur n ∈ N et géométrique de premier terme 10 et de raison 0 ; 9 . 1 Donner la formule explicite donnant la valeur du terme u n de rang n (où n ∈ N ) . 2 Déterminer la valeur du terme de rang 10 arrondie au millième près. E.7865 On considère la suite v n n ∈ N définie par la relation de récurrence : v 0 = 64 ; v n +1 = 1 2 · v n 1 Quelle est la nature de cette suite? 2 Donner la formule explicite donnant la valeur de v n en fonction de n . 3 Déterminer la valeur de v 6 . E.11553 On considère la suite v n définie par la relation de récurrence : v 0 = 2 ; 048 ; v n +1 = 1 ; 25 · v n pour tout n ∈ N 1 Donner la nature de la suite v n et ses éléments carac-téristiques. 2 Donner la formule explicite donnant la valeur de v n en fonction de n . 3 Déterminer la valeur de v 5 . E.9486 On considère la suite v n définie par la relation de récurrence : v 0 = 64 ; v n +1 = 1 2 · v n pour tout n ∈ N 1 Donner la nature de la suite v n et ses éléments carac-téristiques. 2 Donner la formule explicite donnant la valeur de v n en fonction de n . 3 Déterminer la valeur de v 6 . 9. Suites arithmétiques: déterminer le rang E.11480 On considère la suite u n définie pour tout n ∈ N et arithmétique de premier terme 4 et de raison 3 . 1 Donner la formule explicite de la suite u n . 2 Déterminer le rang n tel que : u n = 115 E.11482 On considère la suite u n définie pour tout n ∈ N et arithmétique de premier terme 9 et de raison − 2 . 1 Donner la formule explicite de la suite u n . 2 Déterminer le rang n tel que : u n = − 137 E.11484 On considère la suite u n définie pour tout n ∈ N et arithmétique de premier terme 5 et de raison 0 ; 3 . 1 Donner la formule explicite de la suite u n . 2 Déterminer le rang n tel que : u n = 30 ; 2 E.11554 On considère la suite u n définie pour tout n ∈ N et arithmétique de premier terme 4 et de raison 0 ; 6 . 1 Donner la formule explicite de la suite u n . 2 Déterminer le rang n tel que : u n = 37 10. Suites géométriques: déterminer le rang E.11481 On considère la suite u n géométrique et définie pour tout n ∈ N de premier terme 9 et de raison 2 . 1 Donner la formule explicite de la suite u n . 2 Déterminer le rang n tel que : u n = 2 359 296 2 2 = 4 ; 2 3 = 8 ; 2 4 = 16 ; 2 5 = 32 2 6 = 64 ; 2 7 = 128 ; 2 8 = 256 ; 2 9 = 512 2 10 = 1024 ; 2 11 = 2048 ; 2 12 = 4096 2 13 = 8192 ; 2 14 = 16384 ; 2 15 = 32768 2 16 = 65536 ; 2 17 = 131072 ; 2 18 = 262144 2 19 = 524288 ; 2 20 = 1048576 ; 2 21 = 2097152 E.11483 On considère la suite u n géométrique et définie pour tout n ∈ N de premier terme 5 et de raison 3 . 1 Donner la formule explicite de la suite u n . 2 Déterminer le rang n tel que : u n = 17 433 922 005 3 2 = 9 ; 3 3 = 27 ; 3 4 = 81 ; 3 5 = 243 3 6 = 729 ; 3 7 = 2187 ; 3 8 = 6561 ; 3 9 = 19683 3 10 = 59049 ; 3 11 = 177147 ; 3 12 = 531441 3 13 = 1594323 ; 3 14 = 4782969 ; 3 15 = 14348907 3 16 = 43046721 ; 3 17 = 129140163 ; 3 18 = 387420489 3 19 = 1162261467 ; 3 20 = 3486784401 3 21 = 10460353203 ; 3 22 = 31381059609 https://chingmath.fr chapExoCorrec/11453 sacados/11453 chapExoCorrec/7865 sacados/7865 chapExoCorrec/11553 sacados/11553 chapExoCorrec/9486 sacados/9486 chapExoCorrec/11480 sacados/11480 chapExoCorrec/11482 sacados/11482 chapExoCorrec/11484 sacados/11484 chapExoCorrec/11554 sacados/11554 chapExoCorrec/11481 sacados/11481 chapExoCorrec/11483 sacados/11483
E.11555 On considère la suite u n géométrique et définie pour tout n ∈ N de premier terme 23 et de raison 2 . 1 Donner la formule explicite de la suite u n . 2 Déterminer le rang n tel que : u n = 188 416 2 2 = 4 ; 2 3 = 8 ; 2 4 = 16 ; 2 5 = 32 2 6 = 64 ; 2 7 = 128 ; 2 8 = 256 ; 2 9 = 512 2 10 = 1024 ; 2 11 = 2048 ; 2 12 = 4096 2 13 = 8192 ; 2 14 = 16384 ; 2 15 = 32768 2 16 = 65536 ; 2 17 = 131072 ; 2 18 = 262144 2 19 = 524288 ; 2 20 = 1048576 ; 2 21 = 2097152 11. Suites arithmétiques et géométriques: éléments caractéristiques E.7349 1 On considère la suite u n arithmétique définie pour tout entier n positif ou nul ( n ∈ N ) dont on ne connait que les deux termes suivants : u 4 = 3 ; u 7 = 15 Déterminer le premier terme et la raison de cette suite arithmétique. 2 On considère la suite v n géométrique définie pour tout entier n positif ou nul ( n ∈ N ) dont on ne connait que les deux termes suivants : v 2 = 2 ; v 5 = 54 Déterminer le premier terme et la raison de cette suite géométrique. Indication : voici quelques valeurs numériques à connaitre : 2 2 = 4 2 3 = 8 2 4 = 16 2 5 = 32 3 2 = 9 3 3 = 27 3 4 = 81 3 5 = 243 4 2 = 16 4 3 = 64 4 4 = 256 4 5 = 1024 5 2 = 25 5 3 = 125 5 4 = 625 5 5 = 3125 6 2 = 36 6 3 = 216 6 4 = 1296 6 5 = 7776 E.7357 1 On considère la suite u n arithmétique définie pour tout entier n positif ou nul ( n ∈ N ) dont on ne connait que les deux termes suivants : u 3 = 4 ; 5 ; u 6 = 9 Déterminer le premier terme et la raison de cette suite arithmétique. 2 On considère la suite v n géométrique définie pour tout entier n positif ou nul ( n ∈ N ) dont on ne connait que les deux termes suivants : v 2 = 8 ; v 5 = 1 Déterminer le premier terme et la raison de cette suite arithmétique. Indication : voici quelques valeurs numériques à connaître : 0 ; 1 2 = 0 ; 1 0 ; 1 3 = 0 ; 01 0 ; 1 4 = 0 ; 001 0 ; 2 2 = 0 ; 04 0 ; 2 3 = 0 ; 008 0 ; 2 4 = 0 ; 0016 0 ; 25 2 = 0 ; 0625 0 ; 25 3 = 0 ; 15625 0 ; 25 4 = 0 ; 00390625 0 ; 4 2 = 0 ; 16 0 ; 4 3 = 0 ; 064 0 ; 4 4 = 0 ; 0256 0 ; 5 2 = 0 ; 25 0 ; 5 3 = 0 ; 125 0 ; 5 4 = 0 ; 0625 0 ; 6 2 = 0 ; 36 0 ; 6 3 = 0 ; 216 0 ; 6 4 = 0 ; 1296 0 ; 75 2 = 0 ; 5625 0 ; 75 3 = 0 ; 421875 0 ; 75 4 = 0 ; 31640625 0 ; 8 2 = 0 ; 64 0 ; 8 3 = 0 ; 512 0 ; 8 4 = 0 ; 4096 E.7389 1 On considère la suite u n arithmétique définie pour tout entier n positif ou nul ( n ∈ N ) dont on ne connait que les deux termes suivants : u 6 = 5 ; u 15 = 15 ; 8 Déterminer le premier terme et la raison de cette suite arithmétique. 2 On considère la suite v n géométrique définie pour tout entier n positif ou nul ( n ∈ N ) dont on ne connait que les deux termes suivants : v 2 = 32 ; v 5 = 131 ; 072 Déterminer le premier terme et la raison de cette suite géométrique. Indication : voici quelques valeurs numériques à connaître : 1 ; 2 2 = 1 ; 44 1 ; 2 3 = 1 ; 728 1 ; 2 4 = 2 ; 0736 1 ; 25 2 = 1 ; 5625 1 ; 25 3 = 1 ; 953125 1 ; 25 4 = 2 ; 44140625 1 ; 4 2 = 1 ; 96 1 ; 4 3 = 2 ; 744 1 ; 4 4 = 3 ; 8416 1 ; 5 2 = 2 ; 25 1 ; 5 3 = 3 ; 375 1 ; 5 4 = 5 ; 0625 1 ; 6 2 = 2 ; 56 1 ; 6 3 = 4 ; 096 1 ; 6 4 = 6 ; 5536 1 ; 75 2 = 3 ; 0625 1 ; 75 3 = 5 ; 359375 1 ; 75 4 = 9 ; 37890625 1 ; 8 2 = 3 ; 24 1 ; 8 3 = 5 ; 832 1 ; 8 4 = 10 ; 4976 12. Suites et évolutions E. 7347 La société Mandine embauche Arthur au 1 er janvier 2009 avec un salaire de 1525 e et lui propose deux types d’avancement : Chaque 1 er janvier, son salaire se verra augmenter de 32 e . Chaque 1 er janvier, son salaire augmente de 2 % . 1 Compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs au dixième près : Année 2009 2010 2011 2012 Avancement A Avancement B https://chingmath.fr chapExoCorrec/11555 sacados/11555 chapExoCorrec/7349 sacados/7349 chapExoCorrec/7357 sacados/7357 chapExoCorrec/7389 sacados/7389 chapExoCorrec/7347 sacados/7347
Année 2013 2014 2015 2016 Avancement A Avancement B 2 À partir de quelle année, Arthur aura un salaire plus important en choisissant l’avancement B ? E.7348 Dans un pays imaginaire noté I , il y a une capitale P et un ensemble de villages V . Au 1 er janvier 2002, P et V comptaient respectivement 200 000 et 300 000 habitants. Chaque année, la population de P augmente de 10 % , alors que celle de V diminue de 20 000 habitants. 1 a Au 1 er janvier 2002, quel pourcentage représente la population de P par rapport à celle de I ? b Calculer la population de P , celle de V , puis celle de I au 1 er janvier 2003. Quel pourcentage représente alors la population de P par rapport à celle de I ? c Compléter le tableau ci-dessous en arrondissant à l’unité près : 2 n désigne un nombre entier naturel ( n ∈ R ) . On note p n la population de P au 1 er janvier (2002+ n ) ; ainsi : p 0 =200 000 . On note v n la population de V au 1 er janvier (2002+ n ) ; ainsi : v 0 =300 000 . a Exprimer p n +1 en fonction de p n . b Exprimer v n +1 en fonction de v n . 3 Compléter les deux diagrammes ci-dessous : a b E.7350 Un site internet propose à ses abon-nés des films à télécharger. Lors de son ouverture, 500 films sont proposés et chaque mois, le nombre de films proposés aux abonnés augmente de 6 % . On modélise le nombre de films proposés par une suite géométrique u n où n désigne le nombre de mois depuis l’ouverture du site. On a donc : u 0 =500 . 1 Calculer u 1 et u 2 et donner le résultat arrondi à l’unité. 2 Exprimer u n en fonction de n . 13. Partage E.11621 Victor sort un plat du four. La température du plat est alors égale à 180 ° C. Il place ce plat dans une pièce dont la température est égale à 25 ° C. Le plat refroidit. Le plat ne pourra être servi que lorsque sa tempéra-ture sera devenue inférieure ou égale à 40 ° C. On étudie le refroidissement du plat selon deux modèles math-ématiques. Partie A : Premier modèle On suppose que la baisse de la température du plat est propor-tionnelle à la durée du refroidissement, c’est-à-dire au nombre de minutes écoulées depuis la sortie du four. On constate que 3 minutes après la sortie du four, la tempéra-ture du plat est égale à 105 ° C. 1 De combien de degrés le plat a-t-il baissé en 3 minutes ? En 1 minute ? 2 Vérifier que la température du plat, 5 minutes après la sortie du four, est égale à 55 ° C. 3 Selon ce modèle, quelle serait la température du plat, 8 minutes après la sortie du four ? Ce premier modèle semble-t-il pertinent ? Partie B: Second modèle On dispose toujours des données suivantes : la température de la pièce est égale à 25 ° C ; la température du plat à la sortie du four est égale à 180 ° C ; la température du plat, 3 minutes après la sortie du four, est égale à 105 ° C. Pour tout entier naturel n , on note U n la différence entre la température du plat et la température de la pièce, n minutes après la sortie du four. Exemple: 3 minutes après la sortie du four, l’écart avec la température de la pièce est égal à 105 − 25 = 80 . On a donc U 3 = 80 . 1 Justifier que U 0 = 155 . 2 On suppose que chaque minute la différence U n diminue de 20%. a Justifier que, pour tout entier naturel n , on a U n +1 = 0 ; 8 U n . b En déduire la nature de la suite ( U n ) et donner sa rai-son. https://chingmath.fr chapExoCorrec/7348 sacados/7348 1234567ABCDAnnéePopulationdePau1janvierPopulationdeVau1janvierPopulationdeIau1janvier2002200000300000 p0×:::p1×:::p2×:::p3×:::p4×:::×:::×:::×::: v0−:::v1−:::v2−:::v3−:::v4−:::−:::−:::−::: chapExoCorrec/7350 sacados/7350 sacados/11621
c Exprimer U n en fonction de n , pour tout entier naturel n . d On dispose des données suivantes : n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 U n (arrondi à 10 − 1 ) 80 64 51 , 2 41 32 , 8 26 , 2 21 16 , 8 13 , 4 10 , 7 8 , 6 6 , 9 5 , 5 Au bout de combien de minutes Victor pourra-t-il servir le plat ? 14. Exercices non-classés E.7325 On considère les suites numériques dont les termes sont définies pour tout entier n strictement positif ( n ∈ N ∗ ) par les relations ci-dessous : a u n = 2 n b v n = 3 n − 4 c w n = n 2 + 3 d x n = 2 n Déterminer les cinq premiers termes de chacune de ces suites. E.7321 Pour chaque question, la suite est définie pour des valeurs de n strictement positives ( n ∈ N ∗ ) . Déter-miner les quatre premiers termes de la suite u n n ∈ N : a u n = n + 1 n + 2 b u n = n 2 + n + 1 https://chingmath.fr chapExoCorrec/7325 sacados/7325 chapExoCorrec/7321 sacados/7321