Seconde / Arithmétique : diviseurs, entiers premiers 73 exercices (dont 72 corrigés)

a
ChingQuizz : 5 exercices disponibles pour l’evaluation par QCM : 1. Entiers, diviseurs, multiples E.8244 Compléter le tableau par des croix pour indiquer si les entiers présentés sont divisibles par 2, 3, 5, 9. Entiers 123 504 205 1433 2430 Divisible par 2 Divisible par 3 Divisible par 5 Divisible par 9 E.8245 1 Donner l’expression des fractions ci-dessous sous forme irréductible : a 14 26 b 66 27 c 15 55 d 56 40 2 Effectuer les opérations ci-dessous en simplifiant au préal-able chacun des termes du calcul: a 15 25 + 9 15 b 42 14 − 36 12 E.8243 L’entier 10 possède 4 diviseurs qui sont : 1 ; 2 ; 5 ; 10 . Compléter le tableau ci-dessous : Entier x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Nombre de diviseurs de x 4 E.8250 Parmi les nombres ci-dessous, lequel admet exactement 5 diviseurs : 10 25 35 81 125 E.8251 Parmi les nombres ci-dessous, lequel admet exactement 4 diviseurs : 24 28 49 64 343 E.10545 Je suis un nombre divisible par 5 et par 7 , je suis plus petit que 100 et je possède 8 diviseurs. Qui suis-je? E.8252 Je suis un nombre divisible par 6 et par 21 , je suis plus petit que 100 et je possède 8 diviseurs. Qui suis-je? E.8246 Indication : dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. ˇ Le nombre caché : Je suis un nombre entier compris entre 100 et 400. Je suis pair. Je suis divisible par 11. J’ai aussi 3 et 5 comme diviseur. Qui suis-je? ı. Expliquer une démarche permettant de trouver le nombre caché, et donner sa valeur. E.11744 1 Compléter les pointillés: 2 Que peut-on dire de l’écriture des nombres multiples de 3 ? 2. Entiers pairs et impairs E.1771 1 a Effectuer les divisions euclidiennes ci-dessous (et pas les divisions décimales) et compléter la relation in-diquée sous chacune d’elles: 1 5 2 2 8 2 1 3 1 2 2 0 6 2 b Compléter les relations suivantes en lien avec la ques- tion a : • 15 = : : : × 2 + : : : • 28 = : : : × 2 + : : : • 131 = : : : × 2 + : : : • 206 = : : : × 2 + : : : 2 Que peut-on dire du reste de la division euclidienne par 2 d’un nombre pair? du reste de la division euclidienne par 2 d’un nombre impair? https://chingmath.fr quizzChap/1179 chapExoCorrec/8244 sacados/8244 chapExoCorrec/8245 sacados/8245 chapExoCorrec/8243 sacados/8243 chapExoCorrec/8250 sacados/8250 chapExoCorrec/8251 sacados/8251 chapExoCorrec/10545 sacados/10545 chapExoCorrec/8252 sacados/8252 chapExoCorrec/8246 sacados/8246 sacados/11744 13:::×31144×3:::15:::×3165×3:::17:::×32186×3:::19:::×31206×3::: chapExoCorrec/1771 sacados/1771
E.8261 Compléter les deux tableaux à dou-ble entrée suivants : + Pair Impair Pair Impair × Pair Impair Pair Impair E.8259 Compléter sans justification les phrases suivantes à l’aide des mots pair , impair , quel-conque . a La somme de deux entiers pairs est un entier . . . . . . b La somme de deux entiers impairs est un entier . . . . . . c Le produit de deux entiers impairs est un entier . . . . . . d Le produit d’un entier pair par un entier impair est un entier . . . . . . E.8267 Sans justification, dire si les asser-tions suivantes sont vraies, fausses ou indécidables : 1 La somme de deux entiers impairs est un entier pair. 2 Le produit d’un entier pair par un entier impair est pair. 3 Le produit de deux entiers consécutifs est un entier pair. 4 La somme de cinq entiers consécutifs est un multiple de 5. E.8361 Rappel: parité des opérations : + Pair Impair Pair Pair Impair Impair Impair Pair × Pair Impair Pair Pair Pair Impair Pair Impair Soit a un nombre entier tel que l’entier a 2 +9 est un nombre pair. Que peut-on dire de la parité de l’entier a ? Justifier. 3. Parité et manipulations algébriques E.8256 1 a Soit k et k deux entiers relatifs ( k; k ∈ Z ) , dévelop-per et réduire l’expression : 2 · k +1 2 · k +1 b En déduire la parité du produit de deux entiers im-pairs. 2 En déduire la parité du carré d’un nombre impair. E.3027 Montrer que la somme de quatre entiers consécutifs est un entier pair. E.9468 Montrer que, pour tout entier n im-pair, l’expression : 3 · n 2 +2 · n +1 définit un entier pair. E.9469 Montrer que, pour tout entier n , l’expression : n 2 +3 · n est un entier pair. E.233 Dans cet exercice, nous utiliserons le fait que tout entier naturel pair (resp. impair) s’écrit sous la forme 2 × n (resp. 2 × n +1 ) où n est un entier naturel. Démontrer les assertions suivantes : 1 La somme de deux entiers impairs est un entier pair. 2 Le produit d’un entier pair par un entier impair est pair. 3 Le produit de deux entiers consécutifs est un entier pair. 4 La somme de cinq entiers consécutifs est un multiple de 5. E.11259 On considère l’entier A défini par : A = ( n + 1) 2 − ( n − 1) 2 où n ∈ N . Montrer que, pour tout entier n , l’entier A est un multiple de 4 . E.11291 1 Recopier et compléter les pointillés afin que l’expression de gauche soit égale à celle de droite : 2 · k + 1 2 = 2 : : : : : : : : : + 1 2 L’identité de la question précédente permet d’affirmer : " Le carré de . . . . . . . . . est un entier . . . . . . . . . " Recopier et compléter la phrase ci-dessus. E.11445 Soit a et b deux entiers impairs. Montrer que l’entier a 2 + b 2 +6 est un multiple de 8 . E.11257 Montrer que l’entier précédent le carré de tout entier impair est un multiple de 4 . Indication : le but de cet exercice est de généraliser l’observation suivante : 3 2 − 1=8=2 × 4 ; 5 2 − 1=24=6 × 4 ; 7 2 − 1=48=12 × 4 9 2 − 1=80=20 × 4 ; 11 2 − 1=30 × 4 ; 13 2 − 1=42 × 4 https://chingmath.fr chapExoCorrec/8261 sacados/8261 chapExoCorrec/8259 sacados/8259 chapExoCorrec/8267 sacados/8267 chapExoCorrec/8361 sacados/8361 chapExoCorrec/8256 sacados/8256 chapExoCorrec/3027 sacados/3027 chapExoCorrec/9468 sacados/9468 chapExoCorrec/9469 sacados/9469 chapExoCorrec/233 sacados/233 chapExoCorrec/11259 sacados/11259 chapExoCorrec/11291 sacados/11291 chapExoCorrec/11445 sacados/11445 chapExoCorrec/11257 sacados/11257
E.9479 On considère le triangle ABC rect-angle en B , représenté ci-dessous, tel que BC = AB +2 et ses mesures soient entières : On modélise la situation en notant AB = x et AC = y . 1 a Exprimer y 2 en fonction de x sous la forme d’une expression développée et réduite. b En déduire que l’entier y est pair. 2 a Justifier que 2 · x 2 +4 · x +4 est un multiple de 4 . b En déduire que l’entier x est pair. 3 Compléter l’algorithme ci-dessous nous donnant les valeurs de x et de y (avec y< 1000 ) réalisant les dimen-sions de ce triangle: import math for x in range(...): y=math.sqrt(...) if math.floor(...)==...: print(x,y) E.8260 1 Soit M un entier naturel, impair non premier. On suppose que M = a 2 − b 2 où a et b sont deux entiers naturels. Montrer que a et b n’ont pas la même parité. 2 Soit N un entier admettant la factorisation : N = p × q On suppose que cette factorisation est liée à deux entiers a et b permettant l’identité: p = ( a + b ) ; q = ( a − b ) a Exprimer les entiers a et b en fonction de p et de q . b Justifier que les entiers p et q sont de même parité. c En déduire l’écriture de l’entier N sous la forme d’une différence de carrés, en fonction de p et de q . 3 Ecrire, sous trois formes différentes, l’entier 63 comme soustraction de carrés. E.9470 Montrer que pour tout entier k , l’entier k 2 + k est pair. 4. Nombres premiers E.1721 Le crible d’Ératosthène ( III ième siècle avant J.C.) permet de trouver facilement les entiers premiers à partir d’une liste. 1 a Justifier que 2 est un entier premier. b Dans le tableau ci-dessous, hachurer toutes les cases dont l’entier est un multiple de 2 (ne pas hachurer la case ˇ 2 ı) . 2 a Justifier que 3 est un entier premier. b Dans le tableau ci-dessous, hachurer toutes les cases dont l’entier est un multiple de 3 (ne pas hachurer la case ˇ 3 ı) . 3 a La case blanche suivant la case du 3 est la case du 5: justifier, à l’aide de cette observation, que 5 est un entier premier. b Hachurer toutes les cases multiples de 5, sauf la case ˇ 5 ı. 4 a Dans le tableau ci-dessous, quel est la case blanche succédant à ˇ 5 ı? Justifier également, en se servant de l’observation du tableau, que 7 est un entier premier. b Hachurer tous les multiples de l’entier 7 dans le tableau (à l’exception de la case ˇ 7 ı) . 5 Continuer le travail pour hachurer dans le tableau tous les nombres entiers non-premiers présents parmi les nom-bres entiers de 1 à 100. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 https://chingmath.fr chapExoCorrec/9479 sacados/9479 ABCxyx chapExoCorrec/8260 sacados/8260 chapExoCorrec/9470 sacados/9470 chapExoCorrec/1721 sacados/1721
E.8253 Définition: L’ensemble des entiers positifs ou nul s’appelle l’ ensemble des entiers naturels et se note N . Ainsi : N = 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; : : : On dit qu’un entier naturel n ( n ∈ N ) est un entier premier s’il n’admet que deux diviseurs 1 et lui-même. L’entier 7 est un entier premier, car il admet pour diviseur : 1 et 7 . L’entier 9 n’est pas un entier premier, car il admet 3 diviseurs : 1 , 3 et 9 . 1 Justifier que les nombres 32 et 63 ne sont pas des entiers premiers. 2 Justifier que le nombre 17 est un entier premier. E.1722 Un entier naturel est dit premier s’il admet comme diviseur uniquement 1 et lui-même : 3 est un entier premier, car ses seuls diviseurs sont 1 et 3 . 1 Parmi les entiers ci-dessous, lesquels sont premiers? 2 ; 4 ; 7 ; 12 2 Donner tous les entiers premiers de 1 à 25. E.8248 1 Citer les dix entiers premiers inférieurs ou égaux à 30 . 2 Parmi les nombres ci-dessous lesquelles sont des entiers premiers. 33 47 51 28 39 49 85 E.8255 Justifier que chacune des phrases ci-dessous est une assertion fausse : 1 La somme de deux entiers premiers est un entier premier. 2 La différence de deux entiers premiers est un entier pre-mier. 3 Le produit de deux entiers premiers est un entier premier. 5. Décomposition en produit de facteurs premiers E.240 Nous allons étudier l’algorithme de décomposition en produit de facteurs premiers les entiers. 1 Citer les huit entiers premiers inférieurs à 20. Le tableau ci-contre représente l’algorithme de décomposition en produit de facteurs premiers de 30: La colonne de gauche représente l’entier 30 et les quotients successifs obtenus. 30 2 30 ÷ 2 = 15 15 3 15 ÷ 3 = 5 5 5 5 ÷ 5 = 1 1 La colonne de droite représente les diviseurs utilisés ; on remarquera qu’on utilise que des nombres entiers pre-miers. L’algorithme s’arrête lorsqu’on obtient 1 dans la colonne de gauche. 2 a Justifier, à la vue du tableau ci-dessus, l’égalité suiv-ante : 30 2 3 5 = 1 b Soit x un nombre réel et a , b et c trois nombres réels non-nul, établir l’égalité suivante : x a b c = x a × b × c c Déduire des questions précédentes, que la décomposi-tion en facteurs premiers de 30 est : 30 = 2 × 3 × 5 E.7122 1 Utiliser l’algorithme précédent afin de déterminer la dé-composition en produit de facteurs premiers des entiers suivants : a 84 b 144 c 140 d 196 2 En déduire la décomposition en produit de facteurs pre-miers des produits suivant : a 84 × 144 b 140 × 196 E.255 Donner la décomposition en produit de facteurs premiers des trois entiers ci-dessous : a 16 × 25 b 34 × 12 c 72 × 18 × 10 d 32 × 121 6. Produit de facteurs premiers, diviseurs et multiples E.11288 1 Donner la décomposition en produit de facteurs premiers des entiers 60 et 84 . 2 En déduire la décomposition en produit de facteurs pre- https://chingmath.fr chapExoCorrec/8253 sacados/8253 chapExoCorrec/1722 sacados/1722 chapExoCorrec/8248 sacados/8248 chapExoCorrec/8255 sacados/8255 chapExoCorrec/240 sacados/240 chapExoCorrec/7122 sacados/7122 chapExoCorrec/255 sacados/255 chapExoCorrec/11288 sacados/11288 60 84
miers de 5040 . Indication , on remarquera: 60 × 84 = 5040 E.9578 Voici la décomposition en produit de facteurs premiers de l’entier 360 : 360 = 2 3 × 3 2 × 5 1 Justifier que les entiers suivants sont des diviseurs de 360 : a 2 1 × 3 2 b 2 × 5 c 2 2 × 3 0 × 5 2 Parmi les entiers suivants, quels sont les diviseurs de 360: a 2 0 × 3 0 × 5 0 b 2 4 × 3 c 2 × 5 2 d 2 3 × 3 2 × 5 3 Quelles conditions, sur les exposants, peut-on donner à l’entier 2 n × 3 n × 5 p pour qu’il soit un diviseur de 360? 7. Produit de facteurs premiers et réduction de fractions E.8424 1 Donner la décomposition en produit de facteurs premiers des nombres 60 et 450 . 2 En déduire l’expression simplifiée du quotient 60 450 3 Effectuer la somme : 1 60 + 1 450 E.234 1 Donner la décomposition en produits de facteurs pre-miers des entiers 108 et 30 . 2 Mettre en avant votre démarche pour les deux questions suivantes : a Simplifier la fraction 30 108 . b Effectuer la soustraction ci-dessous et donner le résul-tat sous forme de fraction irréductible : 5 108 − 7 30 E.1805 1 Donner la décomposition en produit de facteurs premiers des entiers 20 et 135. 2 Répondre aux questions ci-dessous en justifiant la dé-marche ou en indiquant les étapes des calculs : a Simplifier la fraction 20 135 . b Effectuer la soustraction suivante : 7 20 − 8 135 E.9529 1 Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de l’entier 36 . 2 On donne la décomposition en produit de facteurs pre-miers suivante : 56=2 3 × 7 a Donner le plus grand diviseur commun à 36 et 56 . b En déduire l’expression réduire de l’expression 36 56 3 On donne la décomposition en produit de facteurs pre-miers suivante : 42=2 × 3 × 7 a Donner les valeurs des entiers naturels a , b , c tels que l’entier n =2 a × 3 b × 7 c soit le plus petit multiple de 36 et 42 . b En déduire la somme de : 1 36 + 1 42 E.3361 1 Donner la décomposition en produit de facteurs premiers des entiers suivants : a 2 016 b 2 100 c 864 2 Effectuer les opérations suivantes et donner le résultat sous forme simplifiée : a 2 016 2 100 b 1 2 100 + 1 864 8. Puissances E.7123 1 Donner la décomposition en produit de facteurs premiers des entiers : 16 ; 24 2 a Déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers du produit : 16 × 24 . b Déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers du produit : 16 3 × 24 2 . 3 Déterminer la décomposition en produit de facteurs pre-miers du quotient : 24 5 16 2 . E.9466 Simplifier l’écriture des entiers suiv-ants sous forme de produit de facteurs premiers : a 18 × 15 2 × 9 × 82 b 9 2 × 15 − 2 × 4 4 E.3362 Simplifier l’écriture des entiers suiv-ants sous forme de produit de facteurs premiers : a 5 × 3 4 × 12 2 21 2 × 15 3 https://chingmath.fr chapExoCorrec/9578 sacados/9578 chapExoCorrec/8424 sacados/8424 chapExoCorrec/234 sacados/234 chapExoCorrec/1805 sacados/1805 chapExoCorrec/9529 sacados/9529 chapExoCorrec/3361 sacados/3361 chapExoCorrec/7123 sacados/7123 chapExoCorrec/9466 sacados/9466 chapExoCorrec/3362 sacados/3362
E.26 1 Dîtes si les nombres suivants sont des cubes d’entier na-turel : a 9 b 27 c 3 3 × 7 3 d 11 9 × 19 6 × 67 3 e 2 2 × 5 3 × 11 2 a Trouver le nombre b tel que 180 × b soit le cube d’un entier naturel b Ce nombre b est-il unique? E.235 En utilisant la décomposition en pro- duit de facteurs premiers, donner une écriture des nombres ci-dessous sous la forme : 2 m × 3 n × · · · où les exposants sont des entiers relatifs . a 9 24 b 28 2 32 c 81 × 6 4 27 2 × 7 5 d 38 2 × 11 6 5 × 4 4 × 19 E.9467 Simplifier l’écriture des quotients suivants sous forme de produit de facteurs premiers : a 5 2 × 3 2 5 5 · 3 4 + 3 4 b 2 2 × 5 − 4 2 21 + 2 22 9. Entiers et nombres de diviseurs E.260 L’arbre de décision ci-dessous permet d’obtenir tous les 24 diviseurs de l’entier 360 . En vous inspirant de cet exemple, déterminer l’ensemble des diviseurs des entiers suivants : a 12 b 135 E.9530 On considère l’entier: a =156 1 Donner la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre a . 2 a Justifier que 2 2 × 17 ne peut être un diviseur de a . b Justifier que l’entier 2 2 × 3 2 n’est pas un diviseur de a . 3 Donner l’ensemble des diviseurs de l’entier a . Rappel: les entiers premiers inférieurs à 20 sont : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 E.276 1 Déterminer la décomposition de 245 en produit de fac-teurs premiers. 2 Utiliser un arbre de choix, afin de déterminer l’ensemble des diviseurs de 245. E.9536 1 Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de l’entier 306 . 2 Donner l’ensemble des diviseurs de l’entier 306 . 10. Approfondissement: parité et raisonnement par l’absurde E.8257 1 Prouver que l’assertion ci-dessous est vraie: ˇ Il n’existe pas d’entier impair admettant un diviseur pair ı? Indication : pour prouver cette assertion, on suppose qu’il existe un entier n admettant un diviseur k pair. Il suffit alors de montrer que cette supposition entraine une contradiction : cette supposition ne peut donc pas être vraie. 2 Que pensez-vous de l’assertion : ˇ Un entier pair n’admet pas de diviseur impair ı? 11. Approfondissement: parité et raisonnement par disjonction de cas E.8360 Prouver que la somme de deux en-tiers de même parité est un entier pair. Indication : pour cela, on étudiera séparément : la somme de deux entiers pairs et la somme de deux entiers impairs. https://chingmath.fr chapExoCorrec/26 sacados/26 chapExoCorrec/235 sacados/235 chapExoCorrec/9467 sacados/9467 chapExoCorrec/260 sacados/260 20305020×30×5015120×30×515315020×31×5035120×31×5115325020×32×5095120×32×514521305021×30×5025121×30×5110315021×31×5065121×31×5130325021×32×50185121×32×519022305022×30×5045122×30×5120315022×31×50125122×31×5160325022×32×50365122×32×5118023305023×30×5085123×30×5140315023×31×50245123×31×51120325023×32×50725123×32×51360 chapExoCorrec/9530 sacados/9530 chapExoCorrec/276 sacados/276 chapExoCorrec/9536 sacados/9536 chapExoCorrec/8257 sacados/8257 chapExoCorrec/8360 sacados/8360
E.9532 Montrer que la différence des carrés de deux entiers consécutifs est toujours un entier impair. E.1847 On souhaite montrer que l’expression A = n 2 + n +2 définit un nombre pair pour tout entier n naturel ( n ∈ N ) . Pour cela, on décompose le raisonnement en deux questions : 1 Lorsque n est un entier pair, montrer que l’expression A définit un entier pair. 2 Lorsque n est un entier impair, montrer que l’expression A définit un entier pair. E.8263 On considère un entier relatif a ( a ∈ Z ) , tel que l’entier a 2 +9 est un entier pair. Donner la parité de l’entier a . E.65 Montrer que 3 n 2 +3 n +6 est un multi-ple de 6 pour tout n ∈ N E.8262 Montrer que, dans l’ensemble des entiers relatifs, le prédécesseur du carré de tout entier impair est un multiple de 8 . Indication : dans un premier temps, on montrera que cet en-tier est un multiple de 4 , puis par une disjonction de cas, on montrera qu’il est nécessairement multiple de 8 . E.8258 1 Pour tout entier relatif n ( n ∈ Z ) , on considère l’expression : p =2 · n 2 +3 · n +3 a Si n est pair, montrer que l’expression p définit un entier impair. Indication : un entier n pair s’écrit 2 · k où k ∈ Z b Montrer que, si n est impair, l’expression p définit un entier pair. 2 Justifier que l’expression n 2 + n +3 définit un entier im-pair pour tout entier relatif n . 12. Approfondissement: critère de primalité E.8247 On admet les deux propositions suivantes : Proposition (admise) : Soit n un entier naturel ( n ∈ N ) . Si n n’est pas un en-tier premier alors il existe au moins un entier premier p diviseur de n tel que p soit compris entre 2 et n . Proposition contraposée: Soit n un entier naturel ( n ∈ N ) . Si l’entier n n’admet aucun diviseur p premier compris entre 2 et n , alors l’entier n est premier. 1 Utilisons la proposition : a Citer tous les entiers premiers compris entre 2 et 143 . b Justifier que le nombre 143 n’est pas un entier premier. 2 Utilisant la proposition contraposée : a Citer tous les entiers premiers compris entre 2 et 157 . b Justifier que le nombre 157 est un entier premier. 3 Dans la liste de nombres ci-dessous, barrer les nombres qui ne sont pas des entiers premiers : 93 119 253 383 399 631 Pour voir la démonstration de la ˇ proposition admise ı, suivez le lien ci-contre r749-0 E.1783 Déterminer si les entiers ci-dessous sont premiers ou non. Justifier votre démarche. a 251 b 623 E.8254 Parmi les entiers strictement inférieurs à 1 000 , donner le plus grand entier premier. E.1727 Cet exercice a pour but d’établir la proposition suivante : Proposition: Tout entier naturel n non-premier admet un diviseur premier compris dans l’intervalle 2 ; n . Pour cela, prenons un entier naturel x non-premier ; il existe alors deux entiers naturels a et b supérieur ou égal à 2 tels que : x = a × b Supposons que a est plus petit que b (cela est possible en inversant au besoin le rôle de ˇ a ı et de ˇ b ı) Pour montrer que a appartient à l’intervalle 2 ; x nous allons faire un raisonnement par l’absurde. Pour cela, supposons que l’entier appartient à l’intervalle x ; + ∞ 1 Justifier l’inégalité suivante : a × b>x 2 En déduire que : a ∈ 2 ; x . La démonstration se termine du fait que a est un diviseur de x appartenant à l’intervalle 2 ; x : soit a est premier ; soit a n’est pas premier et a admet alors des diviseurs premiers ; ces diviseurs seront également des diviseurs premiers de x appartenant à l’intervalle considéré. 13. Plus grand diviseur commun: décomposition en produit de facteurs premiers https://chingmath.fr chapExoCorrec/9532 sacados/9532 chapExoCorrec/1847 sacados/1847 chapExoCorrec/8263 sacados/8263 chapExoCorrec/65 sacados/65 chapExoCorrec/8262 sacados/8262 chapExoCorrec/8258 sacados/8258 chapExoCorrec/8247 sacados/8247 r749-0 chapExoCorrec/1783 sacados/1783 chapExoCorrec/8254 sacados/8254 chapExoCorrec/1727 sacados/1727
E.10653 Méthode: soit a et b deux entiers dont on connait la dé-composition en produit de facteurs premiers. La décomposition en produit de facteurs premiers de PGCD( a , b ) vérifie: ses facteurs sont les facteurs communs à chacune des décompositions de a et de b . l’exposant de chacun de ses facteurs est le plus petit ex-posant de ce facteur rencontré dans les décompositions de a et de b . Exemple: pour a = 36 et b = 60 , on a: a = 2 2 × 3 3 ; b = 2 2 × 3 × 5 Ainsi, la décomposition de PGCD( 32 , 60 ) vérifie: ses facteurs sont 2 et 3 . L’exposant du facteur 2 est 2 ; l’exposant du facteur 3 est 1 . On en déduit la valeur de : PGCD (36 ; 60) = 2 2 × 3 1 = 4 × 3 = 12 1 a Déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers de 126 . b Déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers de 108 . 2 En déduire la valeur PGCD (126 ; 108) . E.10693 1 Déterminer la décomposition en produit de facteurs pre-miers des entiers 168 et 192 . 2 En déduire le PGCD des entiers 168 et 192 . E.10694 1 Déterminer la décomposition en produit de facteurs pre-miers des entiers 162 et 378 . 2 En déduire le PGCD des entiers 162 et 378 . E.10700 1 Déterminer la décomposition en produit de facteurs pre-miers des entiers 171 et 228 . 2 En déduire le PGCD des entiers 171 et 228 . E.10576 1 Déterminer les décompositions en produit de facteurs pre-miers des entiers 756 et 792 . 2 En déduire le PGCD des entiers 756 et 792 . 14. Plus petit multiple commun avec la décomposition E.10662 Méthode: soit a et b deux entiers dont on connait la dé-composition en produit de facteurs premiers. La décomposition de PPCM ( a;b ) possède les caractéris-tiques suivantes : l’ensemble des facteurs contenus dans les décomposi-tions de a et de b les exposants de chacun de ces facteurs est l’exposant maximal rencontré dans les décompositions de a et de b . Exemple: pour 12 = 2 2 × 3 et 15 = 3 × 5 . le PPCM ( a;b ) a pour facteur 2 , 3 et 5 . le PPCM ( a;b ) récupère les exposants les plus grands de la décomposition de 12 et 15 . On a: PPCM (12 ; 15) = 2 2 × 3 1 × 5 1 = 4 × 3 × 5 = 60 . 1 Déterminer la décomposition en produit de facteurs pre-miers de 20 et de 75 . 2 En déduire la valeur de PPCM (20 ; 75) . E.10895 1 Déterminer les décompositions en produit de facteurs pre-miers des entiers 252 et 336 . 2 En déduire la valeur du PPCM des entiers 252 et 336 . E.10896 1 Déterminer la décomposition en produit de facteurs pre-miers des entiers 336 et 840 . 2 En déduire le plus petit commun multiple aux entiers 336 et 840 . E.10897 1 Déterminer la décomposition en produit de facteurs pre-miers des entiers 448 et 560 . 2 En déduire le plus petit commun multiple aux entiers 448 et 560 . 15. Exercices non-classés E.9584 Parmi les entiers suivants, dire s’ils sont premiers ou non. Justifier vos réponses : a 903 b 167 https://chingmath.fr chapExoCorrec/10653 sacados/10653 chapExoCorrec/10693 sacados/10693 chapExoCorrec/10694 sacados/10694 chapExoCorrec/10700 sacados/10700 chapExoCorrec/10576 sacados/10576 chapExoCorrec/10662 sacados/10662 chapExoCorrec/10895 sacados/10895 chapExoCorrec/10896 sacados/10896 chapExoCorrec/10897 sacados/10897 chapExoCorrec/9584 sacados/9584